[选修4－1：几何证明选讲]一、填空题1．(2021·广东卷)如图，在矩形中ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，那么ED ＝__________.解析：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3， ∴AC ＝32＋32＝23.∵AB2＝AE·AC， ∴AE ＝3223＝32.过E 作EF ⊥AD ，得：AEAC ＝EFCD. ∴3223＝EF 3，∴EF ＝34， 又∵EF ∥CD ，∴AFAD ＝AEAC，∴AF 3＝3223，∴AF ＝34. ∴FD ＝3－34＝94.在△EFD 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝844＝212. 答案：2122．(2021·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，那么PE ＝__________. 解析：如图，∵PE ∥BC ， ∴∠PED ＝∠C ， 又∵∠A ＝∠C ，∴∠PED ＝∠A ， 又∵∠P 是公共角． ∴△PDE ∽△PEA.∴PEPA ＝PDPE ，∴PE2＝PA·PD＝3×2＝6. ∴PE ＝ 6. 答案：63．(2021·天津卷)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.假设AB ＝AD ＝5，BE ＝4，那么弦BD 的长为__________． 解析：∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠BCD ，∠2＝∠3， 又∵∠ABE ＝∠ADC ，∠1＝∠2， ∴∠ADC ＝∠BCD ， ∴BC ＝AD ＝5， 又AE 为切线，∴AE2＝EB·EC＝4×9＝36，∴AE ＝6. 又∠BAE ＝∠1，∠1＝∠2， ∴∠BAE ＝∠3，又∠DCB ＝∠ABE ， ∴△DCB ∽△ABE.∴DB AE ＝BC BE ，∴DB ＝6×54＝152. 答案：152二、解答题4．(2021·新课标全国卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D. (1)证明：DB ＝DC ； (2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解析：(1)连接DE ，交BC 为G ，由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE ，BE ＝CE ，又因为DB ⊥BE ，因此DE 为直径，由勾股定理得DB ＝DC ，(2)由(1)，∠CDE ＝∠DBE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，故BG ＝32，圆心为O ，连接BO ，那么∠BOG＝60°，∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，因此CF ⊥BF ，故外接圆半径为32.5．(2021·新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 别离为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．解析：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，因此∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DCEA ，故△CDB ∽△AEF ，因此∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°，因此∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连结CF ，因为∠CBE ＝90°，因此过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC2＝DB·BA＝2DB2，因此CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.6．(2021·辽宁卷)如图，AB 为⊙O 直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE.证明： (1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB.故∠FEB ＝∠CEB.(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，因此BC ＝BF ， 类似可证：Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF2＝AF·BF， 因此EF2＝AD·BC.[选修4－4：坐标系与参数方程] 一、填空题1．(2021·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴成立直角坐标系，那么曲线C 的参数方程为__________．解析：将极坐标化为直角坐标得：ρ2＝2ρ·cosθ. ∴x2＋y2＝2x ，即(x －1)2＋y2＝1. 令x －1＝cosθ，y ＝sinθ.得参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosθ，y ＝sinθ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosθ，y ＝sinθ.2．(2021·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，假设直线l1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t为参数)平行，那么常数a 的值为__________．解析：利用消参法化l1，l2的方程为一样形式是：x －2y －2＝0,2x －ay －a ＝0，由l1∥l2可得－a －(－2)×2＝0，解得a ＝4. 答案：43．(2021·陕西卷)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝2t ，(t 为参数)的核心坐标是__________．解析：化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝2t 为一般方程为y2＝4x ，∴核心坐标为(1,0)． 答案：(1,0)4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cosαy ＝3sinα(α为参数)的交点个数为__________．解析：将直线化为一样方程为x ＋y －1＝0，曲线转化为一样方程为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线的距离d ＝12＝22＜r ＝3，故直线与曲线的交点个数为2.答案：25．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asinθy ＝3cosθ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝__________.解析：曲线C1：y ＝3－2x 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，此点也在曲线C2：x2a2＋y29＝1上，代入可得a ＝32.答案：326．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，核心为F ，准线为l.过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E.假设|EF|＝|MF|.点M 的横坐标为3，那么p ＝__________.解析：消参得抛物线方程为y2＝2px ， ∵|EF|＝|MF|＝|ME|，∴△MEF 为正三角形，那么|EM|＝2|DF|， 即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：27．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t －12，(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的直角坐标为__________． 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －12化为直角坐标方程是y ＝(x －2)2，射线θ＝π4化为直角坐标方程是y ＝x(x≥0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －22，y ＝x x≥0，消去y 得x2－5x ＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.因此y1＝1，y2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋x22，y1＋y22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫52，528．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1与C2的参数方程别离为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθy ＝2sinθ(θ为参数)，那么曲线C1与C2的交点坐标为__________．解析：C1与C2的一般方程别离为：y ＝x 和x2＋y2＝2，联立方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴其交点为(1,1)．答案：(1,1)二、解答题9．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cost ，y ＝5＋5sint ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ≤2π)．解析：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cost ，y ＝5＋5sint ，消去参数，得(x －4)2＋(y －5)2＝25即x2＋y2－8x －10y ＋16＝0，故C1极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. (2)C2的一般方程为x2＋y2－2y ＝0，联立C1，C2得方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，因此交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.10．(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)上，对应参数别离为t ＝α与l ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判定M 的轨迹是不是过坐标原点．解析：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cosα，sinα＋sin2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosα＋cos2α，y ＝sinα＋sinα，(α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x2＋y2＝2＋2cosα(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．11．(2021·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sinθ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t3＋a ，y ＝b2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解析：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4， 直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，y1＝4.⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2，y2＝2.因此C1与C2交点的极坐标别离为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，因此⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.12．在直角坐标系xOy 中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x －2)2＋y2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，别离写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.(2)方式一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得圆C1与C2交点的直线坐标别离为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t≤ 3.⎝⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y≤3 方式二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ. 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tanθ，－π3≤θ≤π3. 13．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N的极坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cosθy ＝－3＋2sinθ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判定直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x.(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233，因此直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交． 14．已知曲线C1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosφy ＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的极点都在C2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针顺序排列，点A的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 解析：(1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，那么S ＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，因此S 的取值范围是[32,52]．[选修4－5：不等式选讲]一、填空题1．(2021·陕西卷)设a ，b ∈R ，|a －b|＞2，那么关于实数x 的不等式|x －a|＋|x －b|＞2的解集是__________． 解析：由数轴上两点间距离的几何意义，可知|x －a|＋|x －b|≥|a－b|＞2.∴不等式|x －a|＋|x －b|＞2的解集为(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)2．假设存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，那么实数a 的取值范围是______________．解析：存在实数x 使不等式|x －a|＋|x －1|≤3成立，只要|x －a|＋|x －1|的最小值小于等于3即可，由于|x －a|＋|x －1|≥|(x－a)－(x －1)|＝|a －1|，故|a －1|≤3即可，解得－2≤a≤4.答案：－2≤a≤43．不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为__________．解析：令f(x)＝|2x ＋1|－2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x≤－12，4x －1，－12＜x ＜1，3，x≥1.f(x)＝0的根为x ＝14，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞14 二、解答题4．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 解析：当a ＝－2时，令y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x ≤12，－x －2，12≤x≤1，3x －6，x ＞1做出函数图象可知，当x ∈(0,2)时，y ＜0，故原不等式的解集为{x|0＜x ＜2}； (2)依题意，原不等式化为1＋a≤x＋3，故x≥a－2对⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a－2，故a≤43，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 5．(2021·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ca≤13； (2)a2b ＋b2c ＋c2a≥1. 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca. 由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.因此3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13. (2)因为a2b ＋b≥2a，b2c ＋c≥2b，c2a＋a≥2c， 故a2b ＋b2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即a2b ＋b2c ＋c2a≥a＋b ＋c. 因此a2b ＋b2c ＋c2a≥1. 6．(2021·辽宁卷)已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)＝4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 析不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a 的值．解析：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x≥5；因此f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，那么h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a －22≤x≤a ＋12. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.7．已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)假设a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9. 解析：(1)因为f(x ＋2)＝m －|x|，f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m 有解，得m≥0，且解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
