微积分 第九章 第四节 幂级数

幂级数展开在微积分中的应用微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和连续的性质，并广泛应用于科学、工程、经济学等领域。

在微积分中，幂级数展开是一种重要的工具，可以用于计算复杂函数的近似值，解决微积分问题，近似解方程等。

本文将介绍幂级数展开在微积分中的应用。

一、幂级数展开的基本概念在微积分中，幂级数展开是一种用无限项级数来逼近函数的近似方法。

幂级数展开可以将任意的函数表示为一系列多项式的和，其一般形式为：$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$$其中 $a_n$ 是常数项，$x_0$ 是幂级数展开的中心点，$n$ 取遍整数。

当 $x=x_0$ 时，级数的和是 $a_0$；当 $x$ 离 $x_0$ 越远时，高次项的权重越小，这种逼近方法的精度也会越高。

二、1.计算函数的近似值幂级数展开可以将复杂函数表示为一系列简单的多项式的和，由此可以得到函数的近似值。

例如，对于 $\sin x$ 函数，可以将其幂级数展开为：$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots $$当 $x$ 很小的时候，可以截去高次项的部分，得到近似的表达式 $\sin x \approx x$。

这种方法在计算科学和工程中经常被使用，可以大大减少计算量。

2.解决微积分问题幂级数展开还可以用于解决微积分问题，如求导、积分等。

例如，对于 $\ln(1+x)$ 函数，可以将其幂级数展开为：$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$对其求导得：$$(\ln(1+x))'=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots $$这种方法可以用于求解高阶导数、不定积分等问题。

同时，幂级数展开还可以用于计算曲线的弧长、面积等。

微积分中的幂级数展开幂级数展开是微积分中的重要概念之一，它是将一个函数表示成一系列幂函数的和的形式，是微积分中对函数进行近似和研究的基础。

本文将从幂级数的基本概念和定义开始，进一步探讨幂级数展开的应用和实际意义。

一、\hspace{0.5em}幂级数的基本概念和定义幂级数是指由函数$f(x)$的幂次组成的无穷级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n +...$$其中$a_n$称为幂级数$f(x)$的系数，也就是说，幂级数展开的核心就在于求解幂级数的系数。

对于幂级数的收敛性，我们需要使用柯西收敛原理。

具体地，如果序列$\{a_n\}$满足：$$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$$则幂级数的收敛半径为$R=\dfrac{1}{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}$。

幂级数在其收敛半径内的收敛性由黑格尔定理（或阿贝尔定理）给出：如果幂级数$f(x)$的收敛半径$R>0$，那么$f(x)$在$(-R,R)$内一致收敛；如果幂级数$f(x)$在某个点$x_0\neq 0$处发散，那么幂级数在所有点$x$处均发散。

二、\hspace{0.5em}幂级数展开的应用幂级数展开在数学中有着广泛的应用，下面将介绍一些具体的例子。

1.泰勒级数泰勒级数是指将一个函数$f(x)$在某一点$x=a$处展开的幂级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在点$x=a$处的$n$阶导数。

泰勒级数可以用于求解函数的近似值，以及函数的性质和应用。

例如，我们可以通过泰勒级数在$x=0$处展开$\sin x$和$\cos x$，得到：$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$$2.幂级数解微分方程通过对微分方程进行幂级数变换，我们可以得到幂级数解，并且可以在一定程度上揭示微分方程的一些性质和规律。

幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。

我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。

当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。

当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。

2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。

收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。

3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。

我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。

二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。

2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。

具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。

三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。

注意：对于级数u n ，当 u n 收敛时，U n 绝对收敛故原级数绝对收敛§ 7.5 幕级数教学目的：弄清幕级数的相关概念；掌握幕级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幕级数的性质，能灵活正确运用性质 求幕级数的和函数重难点：掌握幕级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幕 级数的性质，能灵活正确运用性质求幕级数的和函数，以及常 数项级数的和.教学方法：启发式讲授 教学过程：一、函数项级数的概念 1 .【定义】设 u 1 (x), u 2 (x),, u n (x),U n (X ) 5(X )U 2(X )U n (X )n 1称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2.收敛域 (1) 收敛点X o I --- 常数项级数U n (X o )收敛；n 1(2) 发散点X oI ――常数项级数U n (X o )发散；n 1(3) 收敛域D ----- 函数项级数 u n (X)的所有收敛点形成的集合D ；U n——U_2绝对收敛：令(2n 1)2U n (1)n1 (2n 1)2，则1 1(2n 1)2 [n (n 1)]21 1冷，冷收敛n n 1 nU n ；收敛是定义在区间I 上的函数，则例如:(X 1)n均为幕级数n!n 13•和函数S(x) ―― S(x) u n(x) , x D.n 1若函数项级数u n(x)在收敛域内每一点都对应于S(x)的一个函数值，n 1则称S(x)为函数项级数u n(x)的和函数.n 1n4•余项「n(X)―― g(X)S(x) S n(X), S n(X)U^X), X D .k 1注：①只有在收敛域D 上, r n(x)才有意义；② limr n(x) 0, x D.n二、幕级数及其收敛半径和收敛域1.【定义】形如a n(x X o)n的函数项级数称为(X X o)的幕级数.(也n 0称为一般幕级数)，其中a o,a「a2丄.a.丄为常数，称为幕级数的系数.当x o 0时，a n X n称为x的幕级数(也称为标准幕级数)，其中n 0常数a n ( n 0,1,2丄)称为幕级数的系数.结论：对于级数a n(X X0)n，作代换t X X0可以将一般幕级数化n 0为标准幕级数a n t n，所以我们只研究标准幕级数敛散性的判别方法.n 0a n x n的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.n 0显然：x0 D (收敛域)，即幕级数总在x x0点处收敛.⑷发散域G U n(X)的发散点的全体构成的集合G .显然：x n 的收敛域D ( 1,1),其发散域G ( , 1] [1,).n 0且和函数S(x) x n —, |x| 1•此结论可当公式使用•n 01 X2.级数的收敛域上述分析显示级数a n x n 在一个以原点为中心，从R 到R 的区间内n 01绝对收敛，区间(R,R)称为幕级数的 收敛区间，R 为收敛半径.l若级数a n x n 仅在点x 0收敛，则规定Rn 0把级数a n x n 的各项取绝对值得正项级数n 0na n X ，n 0记limnlimnn 1 a n 1X na n X于是由比值判别法知1 (1)若 lx 1,(l0)，即 X 1lR ， a n x n绝对收敛. n 0⑵若lx 1，即X ⑶若lx 1，即X1 l1 lR ， a n X n 发散.n 0R ，比值法失效， a n x n 敛散另行判定n 0(4)若 I 0，即 lx0 1,此时对任意X ，a n X n 收敛.n 00，级数的收敛域为x 0l ，则例如级数n!x nn 01 x 2!x2 L n!x n由于lim |U^U n limnn！lim n xn•••级数收敛域为(n 1)!x0或｛0｝；独点集.1(x 0),若a n X n 对任意x 都收敛，则R，级数的收敛域为（，）.n 0当OR 时，要讨论级数在x R 处的敛散性才能确定收敛域 .此时收敛域可能是下列区间之一： （R, R ）, [ R, R ）, （ R, R], [ R, R].|x | *0〔，有x D 即级数a n X n 发散.n 0a n X n 收敛 X D 即对I X I I X 0 | , a n X n 收敛且绝对收敛n 0 n 0 由(1)⑵ X 0 D ,假若有X 1D 满足|x i | | X 01 a n x 0收敛n 0X 0 D 矛盾•所以|x| |x 01,有 a n X n 发散，即x D .n 0注意:(1)若 x 。

数学幂级数知识点总结一、幂级数的基本概念1. 幂级数的定义幂级数是由形如$a_n z^n$（$n$从0到$\infty$）的无穷多项式组成的级数。

其中$a_n$是级数的系数，$z$是自变量，$n$是正整数。

换句话说，级数的每一项都是$z$的幂函数。

2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径（又称为收敛域）是幂级数收敛到的最大半径，它可以通过求幂级数系数的极限来确定。

具体地说，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 存在，并且等于$R$，那么幂级数的收敛半径就是$R$。

收敛半径的值可以是0，也可以是正无穷大，也可以是一个实数。

3. 幂级数的收敛区间除了收敛半径外，幂级数还有一个收敛区间。

如果收敛半径是$R$，那么收敛区间就是令幂级数收敛的所有复数$z$的集合，这个集合可以是一个区间，也可以是一个线段，也可能是一个点。

4. 幂级数的性质幂级数有很多重要的性质，比如线性性质、微分和积分的性质、幂级数求导和求和的性质等，这些性质在分析和求解问题中非常有用。

二、幂级数的收敛性1. 幂级数的收敛域收敛域是指使幂级数收敛的所有自变量的集合。

根据幂级数的定义和收敛半径的概念，我们可以很容易地确定一个幂级数的收敛域。

2. 幂级数的收敛测试在实际应用中，我们常常需要判断一个幂级数是否收敛。

为了判断幂级数的收敛性，我们可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等各种不同的方法。

3. 幂级数的绝对收敛性如果一个幂级数的每一项都是非负数，并且级数的收敛性不依赖于幂级数的项的排列顺序，那么这个幂级数就是绝对收敛的。

4. 幂级数的一致收敛性一致收敛是一种比较强的收敛性，它要求幂级数在其收敛域内的每一个点上都收敛，并且幂级数的收敛速度是一致的。

一致收敛的幂级数在求导、求和等操作中有着重要的应用。

三、幂级数的求和1. 幂级数的求和函数幂级数的和函数是指将收敛域内的每一个复数$z$代入幂级数中得到的函数。

幂级数的系数幂级数是数学中重要的概念，它描述了一种无穷级数的形式。

幂级数的系数是指无穷级数中每一项的系数。

在本文中，我们将探讨幂级数的系数和其在数学和应用中的重要性。

幂级数是一种形式为anxn的无穷级数，其中an是每一项的系数，x是变量。

幂级数可以表达为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...当x取某个特定的值时，幂级数可能收敛或发散。

如果幂级数收敛于某个特定的值，我们可以将该值视为幂级数在该点的和。

幂级数的系数具有重要的数学性质。

通过研究幂级数的系数，我们可以了解幂级数的性质和特征。

例如，系数的正负号和绝对值大小可以告诉我们幂级数在不同点的收敛性和收敛半径。

如果幂级数的系数随着n的增大而趋于零，那么幂级数往往在更多的点上收敛。

幂级数的系数在微积分中扮演重要的角色。

以泰勒级数为例，泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以表示许多函数在某点附近的近似值。

通过求解函数各阶导数在该点的取值，我们可以确定泰勒级数的系数。

这个过程被称为函数的泰勒展开。

幂级数的系数还在数值分析和近似计算中扮演关键的角色。

许多数学问题可以通过幂级数展开来近似求解。

通过计算出幂级数的系数，我们可以得到问题的近似解。

例如，通过计算正弦函数的幂级数展开的系数，我们可以计算任意给定角度的正弦值。

在物理学和工程学中，幂级数的系数也起着重要作用。

许多物理和工程问题可以通过幂级数展开来描述和解决。

例如，在电路分析中，我们可以使用幂级数展开来近似计算电流和电压。

幂级数的系数还在概率论和统计学中得到广泛应用。

概率生成函数和特征函数是两个常见的幂级数展开形式，它们在概率论和统计学的各种问题中起到重要的作用。

通过计算幂级数的系数，我们可以获得与概率和统计相关的有用信息。

综上所述，幂级数的系数是数学中重要的概念，它们描述了幂级数的性质和特征。

通过研究幂级数的系数，我们可以了解幂级数的收敛性和近似值计算等重要信息。

幂级数的系数在数学、物理和工程学、概率论和统计学等领域中都有广泛的应用。

幂级数展开的通用公式在数学领域中，幂级数是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域，包括微积分、物理学、工程学等。

幂级数的展开是将一个函数表示为一列无限级数的形式，可以通过幂级数的通用公式来实现。

本文将介绍幂级数的基本概念、通用公式以及具体的应用案例。

一、幂级数的基本概念幂级数是一种形如 f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... 的级数，其中a₀, a₁, a₂, a₃, ... 是常数系数，被称为幂级数的系数。

x 是变量，表示幂级数的自变量。

对于每个给定的 x 值，幂级数可以收敛或发散。

幂级数的收敛性需要通过一些数学方法判断，例如比值测试、根值测试等。

如果幂级数在某个区间内对于所有 x 值都收敛，那么该幂级数在该区间内是收敛的。

二、幂级数展开的通用公式幂级数可以通过通用公式进行展开。

幂级数展开的通用公式可以表示为：f(x) = Σ(aₙ * (x - c)ⁿ)在通用公式中，aₙ 是幂级数的系数，(x - c) 是幂级数的基，n 是指数。

幂级数展开的通用公式表达了幂级数的每一项，通过不同的系数和指数可以获得不同的幂级数展开形式。

三、幂级数展开的应用案例幂级数展开在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用案例：1. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是将一个函数在某个特定点处展开成幂级数的形式。

通过将函数进行幂级数展开，可以将复杂的函数近似表示为简单的幂级数形式，从而方便进行计算。

例如，将函数 sin(x) 展开成泰勒级数可以得到它的近似值。

2. 函数逼近：幂级数展开可以用于函数逼近问题。

通过选择合适的系数和指数，可以将一个给定的函数逼近成一个幂级数。

这对于需要近似计算的函数，在一定精度要求下可以提供快速的计算解决方案。

3. 物理学应用：幂级数展开在物理学中有广泛的应用。

例如，电磁场的势能可以通过幂级数展开来进行描述和计算。

这种展开可以帮助解决复杂的物理问题，并为物理学家提供更好的理解和预测能力。

【微积分】09-函数项级数1. ⼀致收敛函数1.1 函数项级数 前⾯讨论了数列的极限和级数，它们都是对单点的逼近，现在我们把这些讨论扩展到函数对象。

设u_1(x),u_2(x),\cdots是同⼀定义域上的函数序列，则式（1）左被称为函数项级数，式（1）右是它的部分和函数。

如果S_n(x)处处收敛于S(x)，则S(x)称为函数项级数的和函数。

函数项级数问题的本质其实就是函数序列\{S_n(x)\}的问题，下⾯的叙述更多地是讨论函数序列\{f_n(x)\}的性质。

\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots;\quad S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x)\quad\tag{1} 关于函数项级数（函数序列），我们更关⼼的不是它在单点的收敛条件，⽽是着重讨论和函数S(x)（极限函数f(x)）的分析性质。

主要包括它的连续性、可微性和可积性，以及这些分析性质与函数序列分析性质的关系，这样的讨论反过来可以⽤函数序列的分析性质来近似和函数的分析性质，这使得⽤简单函数模拟和研究复杂函数成为可能。

但要有这样的关系，函数序列还要满⾜⼀些条件。

⽐如函数序列x^n在[0,1]上都是连续的，但它们的极限函数在[0,1)上为0，但在x=1时为1，并不连续。

再看函数序列\dfrac{\sin{nx}}{\sqrt{n}}，它的极限函数恒为0，导数⾃然为0，但通项的导函数\sqrt{n}\cos{nx}在有理点极限却为⽆穷。

再⽐如函数序列2nxe^{-nx^2}，它在[0,1]上的极限函数恒为0，故积分也为0，但通项的积分却恒为1。

1.2 ⼀致收敛的判定 仔细观察上⾯分析性质不⼀致的例⼦，你会发现本质上是因为，函数序列在每⼀点并不是“同时”收敛于极限函数，这导致了函数序列与极限函数并不“相似”，从⽽也就不会有相同的分析性质。

为此我们定义⼀种类似⼀致连续的收敛，即对任意\varepsilon>0，当n⾜够⼤后总有式（2）成⽴，则称函数序列f_n(x)⼀致收敛于f(x)。

函数展成幂级数的公式摘要：1.幂级数的概念2.函数展成幂级数的公式3.常见函数的幂级数展开4.幂级数在数学和物理学中的应用正文：1.幂级数的概念幂级数是指一个函数可以表示为多个幂函数（形如x^n，n 为实数）的和，这些幂函数的系数为实数。

幂级数是一种重要的数学工具，它在微积分、概率论、物理学等领域有广泛的应用。

2.函数展成幂级数的公式一个函数可以展成幂级数的充分必要条件是该函数在区间[0, 1] 上连续，在(0, 1] 上可微，且满足一定的条件。

对于这样的函数f(x)，它的幂级数展开可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 +...+ anx^n +...，其中a0, a1, a2,..., an,...为实数，n 为非负整数。

3.常见函数的幂级数展开许多常见的数学函数都可以展开为幂级数。

例如：- 指数函数：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! +...+ x^n/n! +...- 对数函数：ln(1+x) = x - x^2/2! + x^3/3! - x^4/4! +...- 三角函数：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...，cos(x) = 1 -x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...4.幂级数在数学和物理学中的应用幂级数在数学和物理学中有许多重要应用，如：- 在数值分析中，幂级数可以用来逼近非线性函数，从而求解微分方程、积分等；- 在概率论中，幂级数常用来表示随机变量的概率密度函数；- 在物理学中，幂级数常用来表示势能、动能等物理量，从而求解物理问题。

总之，幂级数是一种重要的数学工具，它在微积分、概率论、物理学等领域有广泛的应用。

幂级数收敛区间1. 引言幂级数是数学分析中的一个重要概念，经常被应用在微积分、数值分析、物理学、工程学等学科中。

幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些范围内的数值可以被计算出来，而在哪些范围外的数值则无法计算。

本文将详细阐述幂级数的收敛性以及如何求解幂级数的收敛区间。

2. 幂级数的定义幂级数是一个形如 $ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ 的级数，其中 $ a_0, a_1, a_2, ... $ 是一系列常数，$ x $ 是变量。

幂级数通常是一种无限级数，也就是说，级数中的项数可以无限增加。

如果变量 $ x $ 取某个值 $ x_0 $ 时，级数$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ 收敛，那么这个值 $ x_0 $ 称为幂级数的收敛点。

幂级数的收敛点可以是一个实数、一个复数或者 $ x\to \infty $ 的情况。

幂级数的收敛性是指级数在什么条件下可以收敛。

幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些范围内的数值可以被计算出来。

如果幂级数在所有数值上都收敛，那么这个幂级数的收敛区间为全体实数或复数。

3. 幂级数的收敛性幂级数的收敛性可以用收敛定理来判断。

下面介绍几个常用的收敛定理。

3.1 比值判别法比值判别法是幂级数收敛性最基本的定理之一。

比值判别法的表述如下：$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L $$如果 $ L < 1 $，则幂级数收敛；如果 $ L > 1 $，则幂级数发散；如果 $ L = 1 $，则不能判断幂级数收敛性。

3.2 根值判别法根值判别法是比值判别法的一种变形，表述如下：$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L $$如果 $ L < 1 $，则幂级数收敛；如果 $ L > 1 $，则幂级数发散；如果 $ L = 1 $，则不能判断幂级数收敛性。

注意：对于级数1nn u∞=∑，当1nn u∞=∑收敛时，1nn u∞=∑绝对收敛.例 证121(1)(21)n n n -∞=--∑绝对收敛：令12(1)(21)n n u n --=-，则 222211111,(21)[(1)]n n u n n n n n ∞===≤-+-∑收敛⇒1n n u ∞=∑收敛故 原级数绝对收敛.§ 幂级数教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数.重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程：一、函数项级数的概念1．【定义】设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在区间I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2．收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— 常数项级数∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——常数项级数∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— 函数项级数∑∞=1)(n nx u的所有收敛点形成的集合D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n nx u的发散点的全体构成的集合G .3．和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n n x u x S , D x ∈.若函数项级数∑∞=1)(n nx u在收敛域内每一点都对应于)(x S 的一个函数值，则称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n nx u的和函数.4．余项)(x r n —— )()()(x S x S x r n n -=, ∑==nk kn x ux S 1)()(, D x ∈.注: ①只有在收敛域D 上, )(x r n 才有意义； ② 0)(lim =∞→x r n n , D x ∈.二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1．【定义】形如nn nx x a )(0∑∞=-的函数项级数称为0()x x -的幂级数.（也称为一般幂级数），其中 012,,,.,n a a a a 为常数，称为幂级数的系数.当00=x 时,∑∞=0n nn xa 称为x 的幂级数（也称为标准幂级数）, 其中常数n a （0,1,2,n =）称为幂级数的系数.结论：对于级数nn nx x a )(0∑∞=-，作代换0t x x =-可以将一般幂级数化为标准幂级数n nn a t∞=∑，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法.∑∞=0n nn xa 的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.显然: D x ∈0(收敛域)，即幂级数总在0x x =点处收敛.例如: ∑∞=0n nx , ∑∞=-0!)1(n nn x 均为幂级数.显然:∑∞=0n nx的收敛域)1,1(-=D ,其发散域),1[]1,(+∞--∞= G .且和函数,11)(0xx x S n n -==∑∞= 1||<x .此结论可当公式使用. 2.级数的收敛域 把级数∑∞=0n nn xa 的各项取绝对值得正项级数nnn a x∞=∑，记 1lim n n na l a +→∞=，则 11lim n n n n n a x l x a x ++→∞=；于是由比值判别法知 （1）若1,(0)l x l <≠，即1x R l <=，∑∞=0n nn x a 绝对收敛.(2) 若1l x >，即1x R l >=，∑∞=0n n n x a 发散.(3) 若1l x =，即1x R l ==，比值法失效，∑∞=0n n n x a 敛散另行判定.（4）若0l =，即01l x =<，此时对任意x ，∑∞=0n nn xa 收敛.上述分析显示级数∑∞=0n nn xa 在一个以原点为中心，从R -到R 的区间内绝对收敛，区间(,)R R -称为幂级数的收敛区间，1R l=为收敛半径.若级数∑∞=0n nn xa 仅在点0x =收敛，则规定0R =，级数的收敛域为0x =例如 级数20!12!!nn n n xx x n x ∞==+++++∑由于 11lim lim lim 1(0)(1)!nn n n n n nx un x x u n x +-→∞→∞→∞==>≠-n ！， ∴ 级数收敛域为 0x =或 {0}；独点集. 若∑∞=0n nn xa 对任意x 都收敛，则R =+∞，级数的收敛域为(,)-∞+∞.当0R <<+∞时，要讨论级数在x R =±处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：),,(R R -),,[R R -],,(R R -].,[R R - 3.【阿贝尔定理】（补充）设∑∞=0n nn xa 的收敛域为D ，则（1）若D x ∈0且00x ≠, 则对||||0x x <∀,∑∞=0n nn xa 收敛且绝对收敛.(2) 若D x ∉0, 则 对||||0x x >∀,有D x ∉即级数∑∞=0n nn xa 发散.证明: (1) D x ∈0⇒∑∞=0n n n xa 收敛，由∑∞=00n n n xa 收⇒00()nn a x n →→∞0>∃===>M 0||(0nn a x M M ≤>的常数） ||||0x x <===>0000||||n nn nn n x x a x a x M x x ≤=⋅≤,因10<x x , 从而 00nn x M x ∞=∑收敛,⇒正项级数∑∞=0||n nn x a 收敛⇒∑∞=0n nn x a 收敛⇒D x ∈即对||||0x x <∀,∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛.(2) D x ∉0,假若有D x ∈1满足||||01x x >)1(由==>∑∞=0n nn xa 收敛⇒D x ∈0矛盾. 所以||||0x x >∀,有∑∞=0n n n x a 发散，即D x ∉.注意:(1) 若D x ∈0, 则 00(||,||)x x D -⊂(收敛域), )0(0≠x ； (2) 若D x ∉0, 则 00(,||)(||,)x x G -∞-+∞⊂(发散域).4.【定理】若幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足条件 1limn n na l a +→∞=或lim ||n n n a l →∞=（l 为常数或∞），则(1) 当0l <<+∞时, 则1R l=； (2) 当0l =时, 则R =+∞. （3）当l =+∞时, 则0R =. 常用公式: 1lim+∞→=n n n a a R ，1lim n n n R a →∞=.例如: 幂级数∑∞=0n nx的收敛半径1=R ,1x =±时，级数发散，故其敛区与敛域均为(1,1)-. 例1 求幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛半径与收敛域. 解 (1) 级数的通项为 11(1)n n a n-=- 1lim+∞→=n n n a a R 11lim =+=∞→n n n .(2) 当1=x 时, 级数为∑∞=-1)1(n nn 收敛；当1-=x 时, 级数为∑∞=11n n 发散.故收敛区间（敛区）是()1,1-，收敛域为]1,1(-（敛域）.例2（1） 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛半径与收敛域.解: 1!n a n =⇒1lim +∞→=n n n a a R +∞=+=+=∞→∞→)1(lim !)!1(limn n n n n , 故 收敛区间和收敛域均是 ),(+∞-∞. （2） 求幂级数∑∞=0!n nxn 的收敛半径.解: !na n =⇒1lim +∞→=n n n a a R 011lim )!1(!lim =+=+=∞→∞→n n n n n . 练习：求幂级数110(1)n n n x ∞--=-∑的收敛半径与收敛域.提示：1lim11nn n a R R a →∞+==⇒=，又1x =时级数发散.收敛域()1,1-.例3 （1）求幂级数213(1)n nn n x n∞-=⋅-∑的收敛半径与收敛域.（缺项级数） 提示：12(1)112(1)3lim lim 1(1)3n n n n n n n n n nu x nu n x +++-→∞→∞-=⋅+- 223lim31n n x x n →∞==+当21313x x <⇒<时级数收敛；当21313x x >⇒>时级数发散.当 13x =±时，原级数是111(1)n n n ∞-=-∑，收敛的交错级数.所以 收敛半径13R =，收敛区间11(,)33-，收敛域11[,]33-. 注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径.（2）求幂级数1211(1)21n n n x n --∞=--∑的收敛域.解：21221212121lim lim lim 2121n n n n n n nu x n n x x u n x n ++-→∞→∞→∞--=⋅=⋅=++由211x x <<即时级数收敛，由由211x x >>即时级数发散. 得 1R =当1x =时，1121n ∞∑n －n=1（－）－收敛，当1x =-时，121n ∞∑n n=1（－）－收敛，所以 收敛域为 [1,1]-.例4求幂级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数）解 令21t x =+,幂级数变形为1nn t n∞=∑,1111lim lim lim 11112n t t x n n n n a n n R R R a n n→∞→∞→∞++====⇒=⇒=+11122t x <⇒+<时级数绝对收敛，11122t x >⇒+>时级数发散，11,0t x x =⇒=-=，当1x =-时原级数为11(1)nn n∞=-∑收敛， 当0x =时，11n n ∞=∑发散，故 原级数收敛半径12R =，收敛域为[1,0]-. 注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.提问：（1） 设幂级数∑∞=1n nn xa 与∑∞=1n nn xb 的收敛半径分别为35与31,则幂级数∑∞=122n n nnx b a 的收敛半径为（A ）(A) 5 (B)35 (C) 31 (D) 51答案 53lim1=+→∞nn n a a ,3lim1=+→∞nn n b b 1R ⇒=519159lim 222121=⋅=⋅++→∞n nn n n a b b a （2） 求级数∑∞=-12)3(n nn x 的收敛域. 解 令3t x =-，级数21n n t n ∞=∑,由1)1(lim lim221=+=→∞+→∞n n a a n nn n 知1t R =, 因此当131<-<-x 即42<<x 时级数收敛.当2=x 时,原级数为∑∞=-12)1(n nn 收敛,当4=x 时,原级数为∑∞=121n n收敛. 所以收敛域为]4,2[.（3） 级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为)4,0(. 答 令(2)nt x =- 对于14n n n t n ∞=⋅∑,由1141lim lim (1)44n n n n n na n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, 于是收敛半径4t R =,则4)2(42<-<-x ,即40<<x 内收敛.当0=x 和4=x 时,原级数都为∑∞=11n n发散,所以收敛域为)4,0(. 三、幂级数以及和函数的运算性质 1.设nn n n n n a xb x ∞∞==∑∑和的收敛半径分别为a b R R 和1）加减法:∑∑∑∞=∞=∞=±=±0)(n n n nn nnn nnx b ax b x a ,()c c R R x ,-∈.其中: },min{b a c R R R =. 2）乘法:0()nnnnnnni jn n n n i j na xb xc x a b x∞∞∞∞====+=⋅==∑∑∑∑∑,()c c R R x ,-∈.其中: },min{b a c R R R =, ∑=-=nk kn k n ba c 0, ,2,1=n .3）除法:∑∑∑∞=∞=∞==0n n n n nn n nnx c xb xa ,()c c R R x ,-∈.其中: c R 待定, 而n c 由系列表达式∑=-=nk kn k n cb a 0, ,2,1=n 确定.此处, +∞==b a R R , 但1=c R . 2.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内是连续.3.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内可积，且有逐项积分公式1()1xx n n nn n n a S x dx a t dt xn ∞∞+====+∑∑⎰⎰,R R x ='<||.(积分前后的收敛半径不变). 例:+++++=-n x x x x2111, 1||<x .逐项积分时在1x =处无 意义. 4.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间上可微，且在收敛区间上101()n n n n n n S x a x na x ∞∞-=='⎛⎫'== ⎪⎝⎭∑∑, R R x ='<||.说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变. 公式11n n x x∞==-∑收敛域为1x < 例5 求幂级数∑∞=+01n n n x 的和函数)(x S ,并求0(1)1nn n ∞=-+∑.解：(1) 1lim +∞→=n n n a a R 112lim =++=∞→n n n .当1-=x 时,级数为∑∞=+-11)1(n n n 收 敛；当1=x 时, 级数为∑∞=+111n n 发散. 故原级数收敛域是)1,1[-. (2) 当1||0<<x 时, 有∑∑∞=∞=+-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='001111])([n nn n x x n x x xS .于是 )1ln(11])([)(00x dt tdt t tS x xS xx--=-='=⎰⎰, 由于(0)1S =且幂级数在其收敛域上连续,1ln(1), 10,01;()1, 0.x x x S x xx ⎧---≤<<<⎪=⎨⎪=⎩或 取 1x =-代入和函数可得 2ln )1(1)1(0=-=+-∑∞=S n n n. （2）求幂级数1211123n n n nxx x nx ∞--==+++++∑的和函数)(x S ，并求级数12n n n ∞=∑及级数123n n n∞=∑的和.解 1）11limlim 1n n n n a n a nρ+→∞→∞+===，所以1R =. 当1x =时，1n n ∞=∑发散，当1x =-时，1(1)nn n ∞=-⋅∑发散.所以 级数敛域为(1,1)-. 2）设11(),(1,1)n n S x nxx ∞-==∈-∑，则 100111()1,(1,1)11xx n n n n xS t dt ntdt x x x x ∞∞-=====-=∈---∑∑⎰⎰201()()(),(1,1)1(1)x d x S x S t dt x dx x x '===∈---⎰为所求和函数.3）令12x =，则有 12111()12(1)2n n n ∞-==-∑，所以122n n n∞==∑.4）令13x =，则有 12111()13(1)3n n n ∞-==-∑，所以12332n n n ∞==∑.练习：（1）求幂级数1nn x n∞=∑的和函数)(x S ：[)敛域－1，1()S x ＝－ln(1-x)(2)∑∞=-=11_______)21(n n n . 因为121111()()()(1)11(1)n n n n x S x nxx x x x ∞∞-=='''====-=---∑∑, 令12x =，则有∑∞=-==114)21()21(n n S n ,所以答案为4.例6 设,,2,1,0,d cos sin 40==⎰n x x x I nn π求∑∞=0n n I 的和.解 由4014)(sin 11dsin sin ππ++==⎰n n n x n x x I 1)22(11++=n n ,得∑∑∞=+∞=+=010)22(11n n n n n I ,令∑∞=++=0111)(n n x n x S , 则其收敛半径1=R ,在)1,1(-内x x x S n n-=='∑∞=11)(0,于是 x t tx S x --=-=⎰1ln d 11)(0,令22=x ,则221ln )22(11)22(01--=+=∑∞=+n n n S ,从而∑⎰∑∞=∞=+=-==040)22ln(2211lnd cos sin n n n n x x x I π.例7 求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数)(x f 及其极值. 解 依题意)(x f 211(1)(1)2nnn x x n ∞==+-<∑ ,1)(1)1()(212112x x x x x x f n n n n n +-=-=-='∑∑∞=∞=- 上式两边从0到x 积分,得)1ln(21)d(11121d 1)0()(202202x t t t t t f x f x x+-=++-=+-=-⎰⎰, 由1)0(=f 得)1(),1ln(211)(2<+-=x x x f .令0)(='x f ,求得唯一驻点0=x ,由于,01)0(,)1(1)(222<-=''+--=''f x x x f 可见)(x f 在0=x 处取得极大值,且极大值为1)0(=f . 例8 求幂级数n n x n 21)1121(-+∑∞=在区间)1,1(-内的和函数)(x S . 解 设∑∑∞=∞==+=122121)(,12)(n n n nx x S n x x S , 则 )1,1(),()()(21-∈-=x x S x S x S , 由于∑∞=--=12222,1)(n nx x x x S ),1,1(,1))((12221-∈-=='∑∞=x x x xx xS n n因此 ,11ln 21d 1)(0221xx x t t t x xS x-++-=-=⎰ 又由于,0)0(1=S所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<-++-=.00,,10 ,11ln 211)(1x x xx x x S 故 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<---+=-=.00, ,10 ,1111ln21)()()(221x x x x x x x S x S x S练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数:(1) +-+-753753x x x x 解 该级数为∑∞=----112112)1(n n n x n ,由 22121211212lim 1212lim limx n n x n x n x u u n n n n nn n =+-=-+=→∞-+→∞+→∞,知当12<x 时幂级数绝对收敛. 当1-=x 时,幂级数∑∞=--112)1(n n n 收敛;当1=x 时,幂级数∑∞=---1112)1(n n n 收敛,所以原幂级数的收敛域为]1,1[-.设=)(x S ∑∞=----112112)1(n n n x n ,则当)1,1(-∈x 时有 =')(x S 21121221112111)()1()12)1((x x x x n n n n n n n n n +=-=-='--∑∑∑∞=-∞=--∞=--, 所以 =)(x S ⎰=+x x t t 02arctan d 11.(2) ++++7538642x x x x解 该幂级数为∑∞=-1122n n nx,由22121211lim 2)22(lim lim x n n x nx x n u u n n n n nn n =+=+=→∞-+→∞+→∞, 知当12<x 时幂级数绝对收敛. 当1-=x 时,幂级数∑∞=-1)2(n n 发散;当1=x 时,幂级数∑∞=12n n 发散,所以原幂级数的收敛区间为)1,1(-. 设=)(x S ∑∞=-1122n n nx,则当)1,1(-∈x 时,有22221212)1(2)1()()()(x xx x x x x S n nn n-='-='='=∑∑∞=∞=. 小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别.2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后的收敛区间不变.3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取x 的特值代入和函数即得所求.4．对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间.课后记：存在问题：1.对缺项幂级数以及通项为0()nn a x x -的幂级数求收敛半径以及收敛域 问题多.2.求幂级数的和函数，不知从何下手.不能灵活运用幂级数的性质以及四S x的表达式.个常用公式灵活变形找()3.不能灵活运用和函数求常数项级数的和.。