高等数学幂级数40页PPT

收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用

即
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有

n 1 f n 1 R x x x , 介 x 于 与 x 之 ， 间 n 0 0 n 1 !
——拉格朗日余项
2.级数收敛的必要条件 3.幂级数及其和函数的性质
1
一、泰勒级数 问题：给定函数 f x, 是否能找到一个幂级数，它在某个区间 内收敛，且其和恰好是给定的函数 f x? 若能找到这样的幂级数，则说函数f (x)在该区间内能展开成 幂级数. 泰勒公式： 若函数 f x在 x 0 某邻域内有直到 n1 阶的导数，则 n f x f x 2 n 0 0 (1) f x f x f x x x x x x x R x 0 0 0 0 0 n 2 ! n ! n 1 f n 1 R x x x , 介 x 与 于 x 之 ， 间 n 0 0 n 1 ! ——拉格朗日余项
2 n 0 f x a a x a x a x a 0 f 0 1 2 n 2 n 1 f 0 f x a 2 a x 3 a x na x a 1 1 2 3 n
即
f n 0 n ! a n 1 n n 1 2 a x f x an n n 1 n! n f 0 f 0 2 n f x f 0 f 0 x x x 得证 2 ! n !
问题: （1）x x0 时, 级数(3)是否收敛? （2）若级数(3)收敛, 是否收敛于 f x?
n f x f x 2 n 0 0 x f x 则 f x 设 在 定理 : 在该邻域内能展 f x f x f x x x x x x x 某邻域内有任意阶导数， 0 0 0 0 0 0 2 ! n ! 成泰勒级数(3)的充分必要条件是

收敛半径为 R 1, 收敛区间为
1 n 时, 级数成为 (1) (1 ) n n 1
n

当
(0, 2)
，发散 ，发散
(0, 2)
x 1 1
当
x 1 1
1 n 时, 级数成为 (1 ) n n 1

1 n ( lim (1 ) e ) n n

cn 1 2n 2n 2 (2) cn 2 , lim lim 2, 2 n c n ( n 1) n n
1 1 收敛半径 R , 收敛圆为 z i 2 2
例 3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域:
( x 1) (1) n n 1 cn 1 1 解 (1) cn , lim lim n n n cn


n 1
S (x)

ln 3 ln(3 x) x
1 3
x 3, 0 0, 3
x0
2n 1 2 n 2 (6) z , 并求 n 2 n 1

2n 1 2n n 1

的和.
解
R 2

z 2
2n 1 2 n 2 1 S ( z) z n ( z 2 n 1 ) 2n n 1 n 1 2
当 |z|<R时,级数绝对收敛,当 |z| >R 时,级数发散,
当 |z|=R 时,不 一定.
x
|z|<R
R
0
R
R Sup{ z
z B}
注 1. R---收敛半径 ,
cn z n : z R
n 0

---收敛圆 ---收敛区间

u1(x) + u2 (x)+ ···+ un (x)+ ···

称为函数项级数， 记为 un (x) 。 n 1
(8-3)
在函数项级数(8-3)中,若令x取定义域中某一确定值x0，
则得到一个数项级数
u1(x0) + u2 (x0)+ ···+ un (x0)+ ··· 若该数项级数收敛， 则称点x0为函数项级数(8-3)的一个 收敛点； 反之，则称点x0为函数项级数(8-3)的发散点。 收敛点的全体构成的集合，称为函数项级数的收敛域。
在这里，有两个问题需要我们去解决：
(1) 在式(8-7)中，系数 a0, a1, a2, ···, an, ···如何确定？ (2) f (x)满足什么条件才能展开为x的幂级数？
先解决问题(1): 不妨假设(8-7)式成立，那么根据幂级数的逐项求导法，
对式(8-7)依次求出各阶导数：
f (x) a1 2a2x 3a3x2 nanxn1
克劳林级数，在收敛区间内是否一定收敛于函数本身呢？
因此，还要解决问题(2)，研究f(x)满足什么条件才能展开 为x的幂级数， 或着说麦克劳林级数满足什么条件才能收 敛于f (x)。

例7 求幂级数 (n 1)xn 的和函数。 n0
解： 所给幂级数的收敛半径R=1，收敛区间为(-1,1)。
注意到 (n 1)xn (xn1) ,
而

(n
1) x n


(xn1)




xn1
n0
n0
n0
在收敛区间(-1,1)内，

和
an(x

n an
n n 1
收敛区间(,).
例2
求幂级数
n0
(2n)! (n!)2
x2n
的收敛半径。
解
级数的一般项为un ( x)
(2n)! ( n !)2
x2n 缺少奇次幂的项应用达贝尔判别法lim un1( x) 4 x 2 , n un ( x)
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
(2) 幂级数对一切x 都收敛,
R , 收敛区间(,).
问题 如何求幂级数的收敛半径? 幂级数的收敛区间，幂级数的收敛域？
15
定理 2 对幂级数 an x n
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x
)
0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数的收敛问题.
4
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或 x 1.
5
例如 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域.
n1 n 1 x
并且从某个 n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
从而级数 an xn发散.
n0
收敛半径 R 1 ;
17
(2) 如果 0, 任意给定x 0,

n0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级 数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.

11
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幂级数
(3) (n!)2 xn
n1 (2n)!
(n 1)!2
R 1
解
பைடு நூலகம்
l i m| an1 | n an
lim n
2(n 1) ( n! )2
! lim (n 1)2 n (2n 1)(2n 2)
1
(2n)!
4
收敛半径R 4.
12
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幂级数
|x| |x0|
|an xn|
|an x0n
xn x0n
|
|an x0n| |
x x0
|n
M
|
x x0
|n
当|
x
| 1 时, 等比级数
M|
x
|n 收 敛,
x0
n0
x0
|an xn| 收 敛, 即级数 an xn(|x| |x0|) 绝对收敛;
n0
n0
(2) 假设当x x0 时发散, 但有一点 x1 适合 |x1| |x0|
(3)当 时, R 0.
证 对 级 数 |an xn|, 由正项级数的比值判别法,
n0
l i m|an1 n |an
x x
n1| n|
l i m|an1| n |an|
|x|
7
第7页/共44页
幂级数
l i m|an1 n |an
x x
n1| n|
l
i
| m
an1|
|
x|
n |an|
(1) 如 果lim| an1 | ( 0) 存 在, 则
当 x = 4 时, 级数为正项级数 (n!)2 4n n1 (2n)!

设幂级数 an x n的收敛半径为R, 和函数为s( x), n0
则在( R, R)内, s( x)可导, 且有逐项求导公式
s( x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x ( R, R)
n0
n1
n1
幂级数 nan x n1与 an x n有相同的收敛半径.
设sn
n
( 1) k 1
k1 (2k 1)(2k 1)!
rn
s sn
un1
1
104
(2n 1)(2n 1)!
(2n 1)(2n 1)! 104
取n 3, 7 7! 104
1 sin x
3
(1) k 1
11
dx
1 0.9461.
0x
k1 (2k 1)(2k 1)! 3 3! 5 5!
n0
an n
x 1
n1与
n0
an
x
n具有相同的收敛半径.
例1、求幂级数 x n 的收敛半径,收敛区间及收敛域,并求和函数.
解 lim
1
n0 n 1
1 lim n 1 1; R 1;
n n (1)n
n0 n 1 s( x)
2 莱
n 1 n n 2 1n 布 尼 兹 级 数,收 敛. n0 n
解
1
( x)n (1)n x n
1 x 1.
1 x n0 x
1
n0
dx
x
(1)n x ndx
( 1) n
x x ndx
ln(1 x)
(1)n
n0
x n1 n1
x 0
0 1 x
(1)n
n0

的 收 敛 域. [解] 问: 这个幂级数有什麽特点？
缺项!
利用达朗贝尔判别法
lim un1( x) n un ( x)
2n x2n1

lim
n
2n1
x 2n1
lim 2 x 2 2 x 2 n
当2 x 2 1时,即 x 1 时,级 数 收 敛 2
当2 x 2 1时,即 x 1 时,级 数 发 散 2
an xn
第十三章 级数
第8页
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§13.2 幂级数
2、幂级数的收敛半径

对于幂级数 an x n , 若R > 0，且 n0
（1）当| x | < R时，幂级数绝对收敛；
（2）当| x | > R时，幂级数发散。
则称 R为该幂级数的收敛半径。
3、幂级数的收敛区间： (－R，R)
§13.2 幂级数
性 质4

若 幂 级 数 an xn的 收 敛 半 径R 0, n0
则

x 0
an
x
n
dx

、 (an xn )'
n0
n0
与 原幂 级数 有 相同 的 收敛 半径.
第十三章 级数
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§13.2 幂级数
性 质5

若 幂 级 数 an xn的 收 敛 半 径R 0, n0

级数
n(
1
)n1可
以
看
成
是
幂
级

数
nxn1
n1 3
n1
在x 1 处的值 3
第十三章 级数

1 发散
2
n1 n
当x 1 时, 2
级

数
(1)n
1收
敛
n1
n
所 以 ,幂 级 数 的 收 敛 (1域,1]为
22
第十三章 级数
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§[ 1解3[例 .]25令 幂]求 级x数 2 幂 t,级 n 则 1n1n 2数 (1xn 1 2(2x )n 的 2 )n 收 n 1n .1 敛 2tn域
从 故 级 而 n 1数 n 级 n112n 1 t2 n的 (数 x收 2)n的 敛[域 1收 ， 1] 为 敛 [1,3 域 ] 为
第十三章 级数
第12页
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§13.2 幂级数
[例 6 ]求幂 x2 级 x322数 x5 2n 1x2n 1
有
x
S(t)dt
0
x
(
0

antn)dt

0xantndt
n0
n0


an
xn1
n0 n1
第十三章 级数
第17页
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§13.2 幂级数
性质3 (逐项微分 )

若幂级数 anxn 的收敛半R径0,则 n0

和函数 S(x) anxn在收敛区(间R, R) n0
S(t)dt
x
1 dt
0
0 1t
即S ( x ) S ( 0 ) ln 1 x ) (
已 S ( 0 ) 知 0 ,于 S ( x 是 ) ln 1 x ) (
即x(1,1),有
ln1 (x)xx2x3x4 234

1 x 2 1 ,
4
4
1 x 1, 22
所以原级数的收敛域为
Ix
(1 , 2
1) 2
第十九页，本课件共有42页
三、幂级数的运算及性质
（一）幂级数的运算
an
x n a0 a1x a2 x2 an xn
收敛半径
n0
R1
n0
b
n
x
n
b0
b1 x
b2 x2
bn xn
收敛半径 R 2
记 R min { R 1 , R 2 }, 当 x (R, R),
性质2：幂级数
an
xn
n0
的和函数 s (x) 在收敛域 I 上连续；
例如：
(1)n 1 x n
n 1
n
x x 2 x 3 (1) n 1x n
23
n
收敛域为： I (1, 1]
故其和函数 s (x) 在 I (1, 1] 上连续
第二十四页，本课件共有42页
性质3：幂级数 a n x n 的和函数 s (x) 在收敛域 I
c0 c1x c2 x2 cn xn
其中系数 c0 , c1, c2 , 可通过下面等式来确定
a0 a1x an xn
(c0 c1x cn xn ) (b0 b1x bn xn )
相除后的幂级数，其收敛区间可能比原级数小的多。
第二十二页，本课件共有42页
（二）幂级数性质
lim | un 1 | lim
n u n
n
x
2(n 1)
2 n1
1
2n x 2n1
lim x 2 x 2
n 2
2
当 x2 1 时， 即 | x | 2 时，级数收敛 2

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特别声明
版权所有，不得复制。
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周学来 二０００七年四月
3
高等数学
第十三章 级数
第一节、数项级数 第二节、幂级数 第三节、傅里叶级数
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贵州航天职业技术学院 第4页
§13.2 幂级数
一、函数项级数 二、幂级数 三、幂级数的性质
n l im u u n n 1 (( tt)) n l im ( n 1 1 )2 n 1 2t n l i( m n n 1 )2tt
幂当 级 tn 1数 n 11时 2t,n级 的数 n 收 1n12t敛 n都R半 收 1径 敛 收敛区(间 1,1)
第十三章 级数
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§13.2 幂级数

[推论 ] 若 幂 级 数 an x n的 收 敛 半 径 n0 R 0, 且 在x R(或R)处 收 敛,
则 和 函 数S( x)在x R(或R)处
右 连 续(或 左 连 续).即


xl iR m n0anxnn0anRn
从 故 级 而 n 1数 n 级 n112n 1 t2 n的 (数 x收 2)n的 敛[域 1收 ， 1] 为 敛 [1,3 域 ] 为
第十三章 级数
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§13.2 幂级数
[例 6 ]求幂 x2 级 x322数 x5 2n 1x2n 1
为 了 用 幂 级 数 研 究,首 函 先 数 必 须 解 决
两 个 问 题 :
(1)函 数f (x)在 某 个 区 间 上 能 够级用 幂