九年级数学-点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解-提高

初中数学直线和圆的位置关系知识点总结直线和圆的位置关系是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到点、线、圆之间的相对位置关系。

我们可以通过以下几个方面来总结这一知识点：1.判定圆和直线的位置关系：a.直线包含于圆内：当直线上的所有点都在圆内时，称直线包含于圆内。

此时，直线与圆的交点为无穷个（无限多个）。

b.直线与圆相交：当直线和圆有一个或两个交点时，称直线与圆相交。

相交的情况还可以细分为相离相交、相切相交和截割相交。

-相离相交：直线和圆相切于两个点，相交与标准的两个正数圆相交；-相切相交：直线和圆相交于一个点，直线切圆；-截割相交：直线和圆相交于两个点，直线截割圆；c.直线与圆相离：当直线上的所有点都不在圆内时，称直线与圆相离。

此时，直线与圆的交点为零个。

d.直线与圆重合：当直线上的所有点都在圆上时，称直线与圆重合。

2.圆心与直线间的距离：a.圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于圆心到直线的垂直距离，垂直距离是圆心到直线的最短距离。

b.两圆心间的距离：两个圆心之间的直线距离等于两个圆相切时的直线距离。

3.判断点与直线的位置关系：a.点在直线上：当一个点恰好在直线上时，称这个点在直线上。

b.点在直线上方：当一个点位于直线的上方时，称这个点在直线上方。

c.点在直线下方：当一个点位于直线的下方时，称这个点在直线下方。

4.判断点与圆的位置关系：a.点在圆内：当一个点位于圆内时，称这个点在圆内。

b.点在圆上：当一个点正好位于圆上时，称这个点在圆上。

c.点在圆外：当一个点位于圆外时，称这个点在圆外。

5.判断直线与圆相交的条件：a.直线与圆有交点的条件：直线和圆有交点当且仅当直线的距离小于圆的半径。

b.直线与圆相切的条件：直线和圆相切当且仅当直线的距离等于圆的半径。

6.判断两圆的位置关系：a.内离：两圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和，此时两个圆的内部没有共同点。

b.相离：两圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，此时两个圆相切于外公切点。

点、直线、圆和圆的位置关系（一）基础知识1.点与圆的三种位置关系如果圆O半径为r，已知点P到圆心的距离OP=d，则：点P在圆外⇔d>r点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d<r2.过三点的圆（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆（2）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.3.直线和圆的位置关系（1）定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆相离；直线和圆只有一个公共点，直线和圆相切；直线和圆有两个公共点，直线和圆相交.（2）等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则：直线和圆相离⇔d>r直线和圆相切⇔d=r直线和圆相交⇔d<r4.圆的切线（1）切线的判定方法①用定义判断②用等价条件判断③用定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线比必经过圆心（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.5.两圆的位置关系设R、r（R>r）为两圆的半径，d为圆心距，则：两圆相离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r两圆内切⇔d=R-r两圆内含⇔d<R-r6.性质相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两外公切线所夹的角.相切的两圆的连心线必过切点.7.公切线两圆的两条外公切线长相等；两条内公切线的长也相等.8.公切线的条数与两圆的位置关系两圆相离⇔4条公切线两圆外切⇔3条公切线两圆相交⇔2条公切线两圆内切⇔1条公切线两圆内含⇔0条公切线9.常见辅助线（1）连心线；（2）公共弦；（3）内、外公切线（二）经典例题1.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30 ，BC=4D是线段BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由2.（2009湖北荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：BM =ND ．3.（1）如图，在A B C 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.（2）已知：如图，O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 与D ，以O 为圆心，以OD 为半径作圆O ，求证：⊙O 与AC 相切4.ADFCM E BN5.（1）如图，A B C的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，AB=11cm，BC=13cm，CA=14cm，求AD、BE、CF的长（2）在Rt A B C中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，求A B C内切圆的半径.6.（1）已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内含（2）已知关于x的一元二次方程22R r x d-++=没有实数根，其中R、rx2()0分别为⊙O1，⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系（）A.外离B.外切C.相交D.内切7.（三）历年中考试题1.（2011上海）2. （2006安徽）3.设⊙O 的半径为2，点P 到圆心O 的距离为m ，且满足方程2210x m -+-=有实数根，则定点P 的位置为（ ）A. 在⊙O 内B. 在⊙O 外C. 在⊙O 上D. 不在⊙O 外 4.（2011杭州）5.（2011日照）6.（2009年泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7.（2009年益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）8. (2009年湖州)已知1O ⊙与2O ⊙外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距12O O 的长是（ ）A ．12O O =1B ．12O O ＝5C ．１＜12O O ＜５D ．12O O ＞５9. （2009年遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于 A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）B ． 3 1 0 2 4 5D ．3 1 0 24 5A ．1 0 C ． 3 1 02 4 5A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-3210. （2010浙江绍兴）如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1,⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm ,弧AB 的最低点到l 1的距离为30 mm ,公切线l 2与l 1间的距离为100 mm .则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm 11.（2011舟山）12.(2009成都)如图，A 、B 、c 是⊙0上的三点，以BC 为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC 上一点P ，作PE∥AB 交BD 于点E ．若∠AOC=60°，BE=3，则点P 到弦AB 的距离为_______．13.（2009年贵州省黔东南州）如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是_____________第10题图AB单位：mml 1l 214.（2009年益阳市）如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm .15.(2009年南充)A B C △中，10cm 8cm 6cm A B A C B C ===，，，以点B 为圆心、6cm 为半径作B ⊙，则边AC 所在的直线与B ⊙的位置关系是 ．16.（2010重庆市潼南县）如图，在矩形ABCD 中，AB=6 ， BC=4， ⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是 .17.（2010湖北孝感）P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为18.（2009襄樊市）已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ，且121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系为 ．19.（2009年浙江省绍兴市）如图，A ⊙，B ⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距A B 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线A B 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．20.（2009威海）如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3，连接O 1O 2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次．21.（2009年崇左）如图，正方形A B C D 中，E 是B C 边上一点，以E 为圆心.E C 为半径的半圆与以A 为圆心，A B 为半径的圆弧外切，则sin E A B ∠的值为 ．22.（2010 四川巴中）⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程27110x x -+=的两根，如果两圆外切，那么圆心距a 的值是 23.（2010福州）24.（2009柳州）如图10，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：C F B F =；（2）若2AD =，⊙O 的半径为3，求BC 的长．D C EB A25.（2010济宁）26.（2011福州）27.（2009安顺）28.（2011盐城）29.（2011菏泽）30.（2011十堰）31.（2010湖北十堰）如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C . （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2；（2）证明：AB ·BC =2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC =12，O 2C =4，求AO 1的长.32.（2010湖北黄石）在△ABC 中，分别以AB 、BC 为直径⊙O 1、⊙O 2，交于另一点D. ⑴证明：交点D 必在AC 上；⑵如图甲，当⊙O 1与⊙O 2半径之比为4︰3，且DO 2与⊙O 1相切时，判断△ABC 的形状，并求tan ∠O 2DB 的值；⑶如图乙，当⊙O 1经过点O 2，AB 、DO 2的延长线交于E ，且BE ＝BD 时，求∠A 的度数.。

24.2.2 直线和圆的位置关系知识梳理1.由直线与圆的公共点的个数,得出直线和圆的以下三种位置关系:(1) 叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的.(2) 叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的,唯一的公共点叫做.(3) 叫做直线和圆相离.2.如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么(1)直线l和⊙O相交⇔；(2)直线l和⊙O相切⇔；(3)直线l和⊙O相离⇔；3.切线的性质:圆的切线；切线的判定: 是圆的切线.4. 是圆外一点到圆的切线长.切线长定理:从圆外一点引圆的条切线,它们的切线长,圆心和这一点的连线两条切线的夹角.5.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的,内切圆的圆心是三角形的的交点,叫做三角形的心.疑难突破1.对切线的判定定理的理解.剖析:定理中有两个条件:①经过半径外端,②垂直于这条半径；这两个条件缺一不可.如图24-2-2-1.图24-2-2-1图(1)中直线l经过半径外端,但不与半径垂直；图(2)(3)中直线l与半径垂直,但不经过半径外端.从以上三个反例可以看出,只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.2.如图24-2-2-2,作△ABC的内切圆,怎样画?图24-2-2-2剖析:作圆的关键是使它和已知三角形的各边都相切.假设⊙I是所求作的圆,⊙I和三角形三边都相切,圆心I应满足:圆心I到三角形三边的距离都相等.这样的点I应在三角形的内角平分线上,只需作出三角形的两条内角平分线的交点即可.圆心I确定后,半径就是圆心I到三角形边的距离.(如图24-2-2-3)图24-2-2-3问题探究问题 1 作一个圆,把直尺的边缘看作一条直线.固定圆,当直尺由远及近向圆平移时,直线与圆的哪些量发生了变化?它们怎样变化的?探究:直线与圆的公共点的个数发生了变化.圆心到直线的距离也发生了变化.当直尺由远及近向圆平移时,直线与圆的公共点的个数由0个增加一个,然后是两个.当直尺由远及近向圆平移时,圆心到直线的距离d由大变小,经历了d大于r,d等于r,d小于r.问题2 如何利用直线和圆的位置关系去判定直线是圆的切线呢?图24-2-2-4探究:图24-2-2-4中直线l是⊙O的切线,怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线,但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察,那就是直线和圆的位置怎样时,直线也是圆的切线呢?直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径,直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.发现:(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径OC.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.典题精讲例1 如图24-2-2-5,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于B,AD∥OC交⊙O于D,连结CD.求证:CD 是⊙O的切线.图24-2-2-5思路解析连结OD,只需证CD⊥OD.证明:连结OD.∵AD∥OC,∴∠3=∠A,∠1=∠2.∵OD=OA,∴∠A=∠2.∴∠1=∠3.∵OD=OB,OC=OC,∴△COB≌△COD(SAS).∴∠B=∠ODC.∵BC是⊙O的切线,∴∠B=90°.∴∠ODC=90°.∴CD是⊙O的切线.例2 如图24-2-2-8,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.图24-2-2-8思路解析欲证直线AB是⊙O的切线,只需证O到直线AB的距离等于半径,即AB⊥OC.证明:连结OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.直线AB经过半径的外端C,并且垂直于半径OC,所以AB是⊙O的切线.例3 如图24-2-2-10,在△ABC中,∠ABC＝45°,∠ACB＝75°,点O是三角形的内心.求∠BOC的度数.图24-2-2-10思路解析要求∠BOC的度数,只要求出∠OBC和∠OCB的度数之和就可,即求∠1+∠3的度数.因为O是△ABC的内心,所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线,再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数.解:连结OB、OC,则∵点O是三角形的内心,∴OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线,∴∠1＝12∠ABC,∠3＝12∠ACB.∵∠ABC＝45°,∠ACB＝75°,∴∠1+∠3＝12∠ABC+12∠ACB＝60°.∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=120°.知识导学1.直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”,这与直线与圆有一个公共点的含义不同.直线和圆除了上述三种位置关系外,没有第四种关系(即一条直线和圆的公共点不能多于两个).2.直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径大小关系的对应,它既可作为各种位置关系的判定,又可作为性质.3.切线的判定方法有三种:(1)直线与圆有唯一公共点；(2)直线到圆心的距离等于该圆的半径；(3)切线的判定定理.4.注意“连结圆心和角顶点”这一辅助线的添加和应用.5.在学习概念时,应注意区别“内”与“外”,“接”与“切”.疑难导析1.切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素:一是经过半径外端,二是直线垂直于这条半径；开始时掌握不好并极容易忽视.2.利用作三角形的内角平分线,任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心,交点到任意一边的距离是圆的半径.和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个.问题导思1.给定圆,直线在动,从几条直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的理解.2.切线的判定定理中的切线应满足两个条件:①经过半径外端；②垂直于这条半径.在应用定理时,注意:这两个条件缺一不可.直线和圆位置关系中的相切,是给出了“圆心到直线的距离等于半径”这个条件,这里的“距离”即包含垂直(点到直线距离的定义),“等于半径”即说明直线和圆的唯一公共点就是这半径的外端,这与切线的判定定理相吻合.典题导考绿色通道判定一条直线是圆的切线,当直线和圆的交点确定时,则应连半径,证垂直.典题变式如图24-2-2-6,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:A T是⊙O的切线.证明:(略).图24-2-2-6典题变式如图24-2-2-7,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.图24-2-2-7证明:(略).典题变式如图24-2-2-9,已知△ABC中,AB=AC,O是BC中点,以O为圆心的圆与AB切于D点.求证:AC是⊙O的切线.图24-2-2-9证明:连结OD,过O点作OE⊥AC于E点,∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵O 是BC 中点,∴BO=CO. ∵AB 是切线,∴OD ⊥AB. ∴∠BDO=90°.∵∠OEC=90°,∴∠BDO=∠CEO. ∴△DBO ≌△ECO.∴OD=OE. ∵OD 是半径,∴OE 是⊙O 的半径. ∴AC 是⊙O 的切线. 绿色通道连结圆心和角顶点这一辅助线是解决有关三角形的内心的角的问题的常用方法. 典题变式如图24-2-2-11,△ABC 的内心为I,外心为O,且∠BIC=115°,求∠BOC 的度数.图24-2-2-11解:∵I 为△ABC 的内心,∴∠IBC=12∠ABC,∠ICB=12∠ACB. ∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°.∴∠ABC+∠ACB=130°.∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=50°. 又∵O 是△ABC 的外心, ∴∠BOC=2∠A=100°.。

直线与圆、圆与圆的位置关系是九年级下学期第一章第二节的内容．重点是理解直线与圆的三种位置关系和圆与圆之间的五种位置关系，掌握它们数量表达，并学会判断直线与圆、圆与圆的位置关系．难点是直线与圆、圆与圆位置关系在实际中的应用，及分类讨论的思想．1、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的割线．2、数量关系描述直线与圆的位置关系如果O的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，那么：直线l与相交0d R⇔≤<；直线l与相切d R⇔=；直线l与相离d R⇔>．3、切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．直线与圆、圆与圆的位置关系内容分析知识结构模块一：直线与圆的位置关系知识精讲例题解析【例1】在ABC∠=︒，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以C为圆心，r为半径的圆C∆中，90与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r = 2 cm；（2）r = 2.4 cm；（3）r = 3 cm．【难度】★【答案】（1）相离；（2）相切；（3）相交．【解析】由题意得圆心C到直线AB的距离为 2.4d cm=，（1）∵r d<，∴直线AB于圆相离；（2）∵r d=，∴直线AB于圆相切；（3）∵r d>，∴直线AB于圆相交．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【例2】经过O上一点P作O的切线．【难度】★【答案】如图所示．【解析】连接OP，过点P作OP的垂线l，则l为O的切线．【总结】本题考查了切线的作法．【例3】已知，O的圆心O的坐标是（4，6），半径为5，则x轴与O的位置关系是______．【难度】★【答案】相离．【解析】∵O的圆心O的坐标是（4，6），∴圆心O到x轴的距离6d=，∵d r>，∴则x轴与O相离．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【例4】 直线l 与半径为r 的O 相交，且点O 到直线l 的距离为5，则r 的取值范围是______．【难度】★★ 【答案】5r >．【解析】∵直线l 与半径为r 的O 相交，∴r d >，即5r >． 【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【例5】 如图，在射线OA 上取一点A ，使OA = 4 cm ，以A 为圆心，作一个直径为4 cm的圆．问射线OB 与OA 所夹锐角α取怎样的值时，OB 与O 相离、相切、相交？【难度】★★【答案】当030α<<︒，OB 与O 相交；当30α=︒，OB 与O 相切； 当3090α︒<<︒，OB 与O 相交．【解析】作OH AB ⊥于点H ， 当OB 与O 相切时，4OA cm =，2AH cm =，此时30α=︒， ∴当030α<<︒，OB 与O 相交； 当30α=︒，OB 与O 相切；当3090α︒<<︒，OB 与O 相交．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【例6】 等腰ABC ∆，AB = AC = 5，CB = 6，以BC 中点为圆心作圆，两腰所在直线与圆相离，则半径r 的取值范围为______．【难度】★★ 【答案】1205r <<． 【解析】如图，作AD BC ⊥，DE AC ⊥，由题意易得3DC =，4AD =∴125DE =，∵两腰所在直线与圆相离，∴0r DE <<，∴1205r <<．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．AOH【例7】在ABC∆中，90C∠=︒，AC = 5，BC = 12，若以C为圆心，R为半径，所作的圆与斜边AB没有公共点，则R的取值范围是____________．【难度】★★【答案】6013R<<或12R>．【解析】圆心C到斜边AB的距离6013d=，∴当圆与AB相离时，6013R<<，当边AB所有点都在圆内部时，12R>，综上，6013R<<或12R>．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【例8】如图，已知O是以平面直角坐标系的原点O为圆心，半径为1的圆，45AOB∠=︒，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与有公共点，设P的横坐标为x，则x的取值范围是（）A．02x≤≤B．22x−≤≤C．11x−≤≤D．2x>【难度】★★【答案】B．【解析】作l∥OA且与O相切，过O点作OH⊥直线l，则45HCO AOB∠=∠=︒，∵1OH=，∴2OC=，∴x的取值范围是22x−≤≤．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．ABO P xyHC【例9】 在ABC ∆中，4AB =，22AC =，若以A 为圆心，2为半径的圆与直线BC相切，则BAC ∠的度数为______．【难度】★★ 【答案】105︒或15︒． 【解析】当BAC ∠为钝角时，作AD BC ⊥于D ，则2AD =， ∵4AB =，22AC =， ∴60BAD ∠=︒，45CAD ∠=︒， ∴6045105BAC ∠=︒+︒=︒；当BAC ∠为锐角时，作AD BC ⊥于D ，则2AD =， 同理可得604515BAC ∠=︒−︒=︒． 【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【例10】 如图，AB 是O 的弦，C 是O 外一点，OC 交AB 于点D ，若OA OC ⊥，CD = CB ．求证：CB 是O 的切线．【难度】★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接OB ，∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠， ∵CD CB =，∴CDB CBD ∠=∠， ∵OA OC ⊥，∴90OAD ADO ∠+∠=︒， ∵CDB ADO ∠=∠，∴90OBA CBD ∠+∠=︒， ∴CB 是O 的切线．【总结】本题考查了切线的判定定理．OABCDAB OD 【例11】 已知：如图，O 的半径为6 cm ，OD AB ⊥，垂足为点D ，AOD B ∠=∠，AD = 12 cm ，BD = 3 cm ． 求证：AB 是O 的切线．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵AOD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴AOD ∆∽ABO ∆，∴AO AD AB AO =，即1215AO AO=，解得：65AO =． ∵OD AB ⊥，∴226OD OA AD =−=， ∵6OD R ==厘米，∴AB 是O 的切线． 【总结】本题考查了切线的判定定理．【例12】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 5，BC = 12，O 的半径为3．（1）当圆心O 与C 重合时，O 与AB 的位置关系怎样？ （2）若点O 沿CA 移动时，当OC 为多少时，O 与AB 相切； （3）若点O 沿CA 移动时，当OC 为多少时，O 与AB 有公共点．【难度】★★【答案】（1）相离；（2）74；（3）754OC ≤≤． 【解析】（1）作CH AB ⊥于点H ，∵AC = 5，BC = 12，∴13AB =，60313CH =>， ∴O 与AB 相离； （2）∵O 与AB 相切， ∴OD AB ⊥，3OD R ==，设OC x =，则5AO x =−， 则OD BC OA AB =，即312513x =−，解得74x =， ∴当74OC =时，O 与AB 相切； （3）O 与AB 有公共点，则O 与AB 相切或相交，∴点O 到直线AB 的距离d R ≤，可得74OC ≥，又∵点O 在AC 边上，∴754OC ≤≤． 【总结】本题考查了切线的性质及点与圆的位置关系与相似三角形结合的综合题．ABC (O )OABC HD【例13】 如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：DC 是O 的切线．【难度】★★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接OD ，∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵OC ∥AD ，∴OAD BOC ∠=∠，ODA DOC ∠=∠， ∴BOC DOC ∠=∠， ∵OB OD =，OC OC =， ∴CBO ∆≌CDO ∆，∵BC 是O 的切线，切点为B ，∴OB BC ⊥， ∴90ODC OBC ∠=∠=︒， ∴DC 是O 的切线．【总结】本题考查了切线的判定定理．【例14】 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD // CB ，90D ∠=︒，且AD + BC = AB ，AB为O 的直径． 求证：O 与CD 相切．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】作OH DC ⊥于点H ，∵AD // CB ，90D ∠=︒，AO BO =， ∴OH 是梯形ABCD 的中位线，∴()12OH AD BC =+， ∵AD BC AB +=，∴12OH AB OA ==， ∴O 与CD 相切． 【总结】本题考查了切线的证明．ABCDOA BCDOH图5图4图3图2图11、 圆与圆的位置关系外离：图1中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．外切：图2中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．相交：图3中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．内切：图4中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．内含：图5中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时，称它们为同心圆．综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切． 2、 相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线．模块二：圆与圆的位置关系知识精讲3、 两圆位置关系的数量表达如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+； 两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔−<<+； 两圆内切120d R R ⇔<=−； 两圆内含120d R R ⇔≤<−． 4、 相关定理（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．【例15】 （1）一个圆的半径为9厘米，另一圆的半径为4厘米，圆心距为3厘米，判断两个圆的位置关系（2）相切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？【难度】★【答案】（1）内含；（2）2或8．【解析】（1）∵0d R r <<−，∴两个圆内含；（2）∵两圆相切，∴d R r =−，即53R =−，解得：12R =，28R =． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．例题解析【例16】两圆的半径比为2 : 3，圆心距等于小圆半径的2倍，则这两个圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切或内含【难度】★【答案】C．【解析】设两圆半径分别为2k、3k，则圆心距4=，d k∵R r d R r−<<+，∴两圆相交．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．【例17】30）和（0，1）它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是______．【难度】★【答案】内切．【解析】圆心距312d=+=，∵d R r=−，∴两圆内切．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．【例18】设R、r是两圆的半径，d为圆心距，如果它们满足222R r Rd d−−+=，那20么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含【难度】★★【答案】B．【解析】∵222−−+=，∴()22R r Rd d20−=，∴R r dR d r+=，−=或R r d ∴两个圆相切．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．A BC【例19】 若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交于一点C ．平行或交于一点D ．有两条弦平行，第三条与它们相交【难度】★★ 【答案】C ．【解析】∵三圆两两相交得到三条公共弦，∴三条公共弦垂直于三条连心线，如图：【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．【例20】 如图，已知A 、B 和C 两两外切，AB = 5厘米，BC = 6厘米，AC = 7厘米，求这三个圆的半径．【难度】★★【答案】3A R cm =，2B R cm =，4C R cm =． 【解析】∵A 、B 和C 两两外切，AB = 5厘米，BC = 6厘米，AC = 7厘米， ∴567A B B C A C R R R R R R +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得324A B CR R R =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴这三个圆的半径分别是3A R cm =，2B R cm =，4C R cm =． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．【例21】 已知1O 与2O 相交于A 、B 两点，1O 与2O 的半径分别为2和2，公共弦长为2，则12O AO ∠=______．【难度】★★ 【答案】105︒或15︒．【解析】∵1O 和2O 相交于A 、B 两点，∴12AB O O ⊥，112AH AB ==， ∵12O A =，∴160O AH ∠=︒，∴22O A =，∴245O AH ∠=︒，∴126045105O AO ∠=︒+︒=︒； 当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得12604515O AO ∠=︒−︒=︒； 综上可知，12O O 的长为47+或47−． 【总结】本题考查了相交圆的性质．【例22】 如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A 、B 间的距离为______．【难度】★★ 【答案】4． 【解析】()()2241414AB =+−−=．【总结】本题考查了切线的相关性质及勾股定理．ABA BC D【例23】 如图，以2O 为圆心的两个同心圆和1O 分别交于A 、B 、C 、D 四点．求证：四边形ABCD 为等腰梯形．【难度】★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接12O O ，∵以2O 为圆心的两个同心圆和1O 分别交于A 、B 、C 、D 四点， ∴12O O AB ⊥，12O O CD ⊥，∴AB ∥CD ，∴AD BC =，又∵AB DC ≠， ∴四边形ABCD 为等腰梯形．【总结】本题考查了相交圆的有关性质及梯形的证明．【例24】 如图，1O 、2O 外切与点A ，过点A 的直线分别交1O 和2O 于点P 、C ．求证：112::PA PC O A O O =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】连接12O O 、1O P 、2O C ，∵1O 、2O 外切与点A ，∴12O O 经过点A ，∵11O PA O AP ∠=∠，22O AC O CA ∠=∠，12O AP O AC ∠=∠ ∴1O AP ∆∽2O AC ∆，∴12O APA AC O A=， ∴112O A PA PA AC O A O A =++，即112O A PA PC O O =，∴112::PA PC O A O O =．【总结】本题考查了垂径定理及三角形的相似．APC【例25】 已知相交两圆的半径分别为5和4，公共弦长为6，求两圆的圆心距长． 【难度】★★【答案】47+或47−．【解析】∵1O 和2O 相交于A 、B 两点，∴12AB O O ⊥，132AH AB ==， ∵15O A =，∴22114O H O A AH =−=，∴24O A =，∴22227O H O A AH =−=，即12O O 的长为47+； 当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得12O O 的长为47−； 综上可知，12O O 的长为47+或47−． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．【例26】 如图，矩形ABCD ，AB = 5，BC = 12．分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D在圆C 内，点B 在圆C 外，求圆A 的半径r 的取值范围．【难度】★★★【答案】两圆外切时，18A R <<；内切时，1825A R <<． 【解析】连接AC ，∵AB = 5，BC = 12，∴13AC =，∵点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，∴512C R <<， 当两圆外切时，13A C R R +=，13A C R R =−，∴18A R <<； 当两圆内切时，13A C R R −=，13A C R R =+，∴1825A R <<． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及点与圆的位置关系．ABCD【例27】 如图，PQ = 10，以PQ 为直径的圆与一个半径为20的圆O 内切于点P ．正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形外部，且与CD 相切与点Q ，求AB 的长．【难度】★★★ 【答案】8419+．【解析】连接OA 、OB ，连接PO 并延长交AB 于点E ，由对称性可知PO 经过点Q ，∵以PQ 为直径的圆与CD 相切与点Q ，∴PQ CD ⊥，∵CD ∥AB ，∴PE AB ⊥，∴AE BE =， 设正方形的边长为a ，则2aAE =，10OE a OQ a =−=−，20OA =， 由222AE OE OA +=，即()22210202a a ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，解得：18419a =+，28419a =−（舍）， ∴AB 的长为8419+．【总结】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系．【例28】 （1）计算：如图1，直径为a 的三等圆1O 、2O 、3O 两两外切，切点分别为A 、B 、C ，求1O A 的长（用含a 的代数式表示）；（2）探索：若干个直径为a 的圆圈分别按如图2所示的方案一和如图3所示的方案2的方式排放，探索并求出这两种方案中n 层圆圈的高度n h 和h’n （用含n 和a 的代数式表示）；（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3．1米，高为3．1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0．1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管最多？并求出这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（3 1.73≈）【难度】★★★图1A B CA BC DOPQ E【答案】（1）32a ；（2）n h na =，()312n n h a a −'=+； （3）方案二装运更多，可以装运1068根钢管．【解析】（1）连接1O A ，∵直径为a 的三等圆1O 、2O 、3O 两两外切，∴133212O O O O O O ==，∴123O O O ∆是等边三角形，∴12360O O O ∠=︒， ∵1312O O O O =，∴132O A O O ⊥，∴1123sin 602O A O O a =⋅︒=． （2）n h na =；()312nn h a a −'=+；（3）方案二这种集装箱中装运钢管数多．理由：方案一：0.1 3.1n ≤，解得31n ≤，3131961⨯=（根）． 方案二：根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根， 设钢管的放置层数为n ，可得()310.10.1 3.12n −⨯+≤，解得35.6n ≤， ∵n 为正整数，∴35n =，钢管放置的最多根数为：311831171068⨯+⨯=（根）【总结】本题考查了相切两圆的性质，综合运用了等边三角形的性质和勾股定理．… 图2图31层 2层3层 n 层1层2层3层 n 层h’1h’2 h’3h’n……………A BC DEF【例29】 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，求sin EAB ∠的值．【难度】★★★【答案】35．【解析】设正方形的边长为1，EC r =，则1BE r =−， ∵以E 为圆心、EC 为半径的半圆与 以A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切， ∴1AE r =+，由222AB BE AE +=，得：()()22111r r +−=+，解得：14r =，∴34BE =，54AE =，∴3sin 5EB EAB EA ∠==． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．【例30】 如图，'O 经过O 的圆心，E 、F 是两圆的交点，直线'OO 交于点Q 、D ，交'O 于点P ，交EF 于点C ，且EF =215，1sin 4P ∠=．（1）求证：PE 是O 的切线； （2）求O 和'O 的半径的长．【难度】★★★【答案】（1）详见解析；（2）O 的半径为4，'O 的半径为8． 【解析】（1）连接O E '、OE ，∵O O O E O P '''==，∴O OE O EO ''∠=∠，O EP P '∠=∠， ∴90O EP O EO ''∠+∠=︒，∴PE 是O 的切线； （2）∵EF =215，∴15EC =， ∵1sin 4P ∠=，∴415EP =，15PC =，∵PEC ∆∽POE ∆， ∴PE PC PO PE =，即41515415PO =，解得16PO =，∴'O 的半径为8， ∵1OC PO PC =−=，∴224OE OC CE =+=，∴O 的半径为4， 综上可知，O 的半径为4，'O 的半径为8．【总结】本题考查了切线的证明、相交圆的性质及勾股定理的综合应用．C DE FO PQ【习题1】已知O 的直径为10厘米，如果一条直线和圆心O 的距离为10厘米，则这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相离【难度】★ 【答案】A ．【解析】由题意得半径5r cm =，圆心距10d cm =， ∵r d <，∴直线和这个圆相离． 【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【习题2】已知在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB = 4，BC = 3，以A 为圆心，以r 为半径的圆与BC 有公共点，则r 的取值范围是______．【难度】★ 【答案】45r ≤≤．【解析】当圆A 与BC 相切时，可知4r =，当点B 在圆内，点C 在圆外或圆上时， 45r <≤，综上45r ≤≤．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【习题3】已知1O 和2O 的半径分别是5厘米和7厘米，圆心距12O O 是2厘米，则这两个圆的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【难度】★ 【答案】D ．【解析】∵圆心距2d R r cm =−=，∴两个圆内切． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．随堂检测【习题4】已知两圆的半径之比为3 : 5，两圆内切时，圆心距为6，则两圆的半径分别是____________，这两圆外切时，圆心距为______．【难度】★★【答案】半径分别是9和15；圆心距为24．【解析】设两圆的半径分别为3k，5k，则由题意得536k k−=，解得3k=，∴两圆的半径分别为9和15，当两圆外切时，圆心距1596d=−=．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．【习题5】已知点A和点B都在x轴上，分别以点A和点B为圆心的两圆相交于点M（3a b−，5）、N（9，23a b+），则b a的值为______．【难度】★★【答案】18．【解析】由题意知：MN的垂直平分线为x轴，∴39235a ba b−=⎧⎨+=−⎩，解得：23ab=⎧⎨=−⎩，∴3128ba−==．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．【习题6】如图，O的半径为3厘米，B为O外一点，OB交O于点A，AB = OA，动点P从点A出发，以π厘米/秒的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为______秒时，BP与O相切．【难度】★★【答案】1或5秒．【解析】连接OP，当BP与O相切时，OP PB⊥，由题意得3OP=，6OB=，∴30B∠=︒，60AOP∠=︒，当P在OA上方时，∴P点走过的路程606360lππ=⋅⋅=厘米，此时时间1t=秒；当P在OA下方时，∴P点走过的路程27065360lππ=⋅⋅=厘米，此时时间5t=秒；综上，点P运动的时间为1或5秒时，BP与O相切．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．AB OP【习题7】在直角坐标系中，A 与B 只有一个公共点，A 和B 的半径分别为2和6，点A 的坐标为（2，1），点B 为x 轴上一点，求点B 的坐标．【难度】★★【答案】()2150+，、()2150−，、()2370+，、()2370−，． 【解析】设(),0B x ，则圆心距()221d AB x ==−+，∵A 与B 只有一个公共点，∴A 和B 相切，当A 与B 内切时，B A r r d −=，即()2421x =−+，解得：1215x =+，2215x =−； 当A 与B 外切时，B A r r d +=，即()2821x =−+，解得：1237x =+，2237x =−．综上，点B 的坐标为()2150+，、()2150−，、()2370+，、()2370−，． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．【习题8】如图，等边ABC ∆的边长为10，以AB 为直径作1O ，点2O 在BC 边上，且22CO =，以2O 为圆心，2O C 为半径作2O ，请判断1O 与2O 的位置关系，并证明你的结论．【难度】★★★ 【答案】外切．【解析】连接12O O ，作1O H BC ⊥于点H ，由题意得15O B =，60ABC ∠=︒， ∴52BH =，1532O H =，∵28O B =，∴2212127O O O H O H =+=， ∵1212O O O O R R =+，∴1O 与2O 外切． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．ABCH【习题9】如图，1O 和2O 相交于A 、B 两点，135O A =，25O A =，13cos 5AO B ∠=． 求：2sin BAO ∠的值．【难度】★★★【答案】45．【解析】作1AH O B ⊥于点H ，∵135O A =，13cos 5AO B ∠=， ∴1255AH =，1955O H =，∴95653555BH =−=， ∴226AB AH BH =+=，∵1O 和2O 相交于A 、B 两点，∴132AC AB ==，22224O C O A AC =−=， ∴2224sin 5O C BAO O A ∠==．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及三角比的综合运用．【习题10】 如图，三个半圆的半径均为R ，它们的圆心1C 、2C 、3C 在同一条直线上，且每一圆心都在另一半圆的圆周上．4C 与这三个半圆均相切，用r 表示4C 的半径，求R : r ．【难度】★★★ 【答案】:4:1R r =．【解析】连接14C C 、34C C 、24C C ，∵4C 与这三个半圆均相切，∴14C C R r =+，24C C R r =−，12C C R =， ∵222122414C C C C C C +=，∴()()222R r R R r −+=+，解得4R r =， ∴:4:1R r =．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．ABHC【作业1】O 的半径为R ，直线l 和O 有公共点，若圆心到直线l 的距离是d ，则d 与R 大小关系是（ ） A ．d R >B ．d R <C ．d R ≥D ．0d R ≤≤【难度】★ 【答案】D ．【解析】∵直线l 和O 有公共点，∴直线直线l 和O 相交或相切，∴0d R ≤≤． 【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【作业2】已知圆的直径是13厘米，圆心到直线l 的距离为6厘米，则直线和这个圆的公共点的个数是______个．【难度】★ 【答案】两个． 【解析】由题意得132r =，6d =，∵r d <，∴直线和这个圆相交，∴有两个交点． 【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【作业3】（1）有两个圆，一个圆的半径R = 4，两圆的圆心距是5，另一个圆的半径r 满足什么条件时这两个圆外离？（2）两个圆的圆心距为2厘米，一个圆的半径为10厘米，要使这两个圆内含，另一个圆的半径应满足什么条件？（3）已知两个圆内切，圆心距是2厘米，如果一个圆的半径是3厘米，那么另一圆的半径是多少？【难度】★★【答案】（1）1r >；（2）08cm r cm <<或12r cm >；（3）半径是1或5厘米． 【解析】（1）∵两个圆外离，∴d R r >+，即54r <+，解得1r >；（2）∵两个圆内含，∴0d R r ≤<−，即210r <−，解得08cm r cm <<或12r cm >；（3）∵两个圆内切，∴d R r =−，即23r =−，解得11r =，25r =，∴圆的半径是1或5厘米．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．课后作业【作业4】O 的半径为6，O 的一条弦AB 长63，以3为半径的同心圆与直线AB 的关系是______．【难度】★★ 【答案】相切．【解析】如图，作OH AB ⊥于点H ，∴33BH =，∴223OH OB BH =−=， ∵d OH =，∴直线AB 与圆相切．【总结】本题考查了垂径定理及直线与圆的位置关系．【作业5】若线段PQ 与O 只有一个公共点，那么这条线段的两个端点P 、Q 只能是（ ）A ．至少有一点在圆外B ．至多有一点在圆内C ．P 、Q 两点中一定有一点在O 外D ．一点在O 的内部，另一点在O 的外部；或PQ 是O 的切线，P 、Q 之一为切点【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵线段PQ 与O 只有一个公共点，∴线段与圆相交或相切，如图所示：综上可知选B ．【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．【作业6】 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB AD ⊥，103AB =，AD 、BC 的长是方程220750x x −+=的两根，那么以点D 为圆心、AD 为半径的圆与以点C 为圆心、BC 为半径的圆的位置关系是______．【难度】★★ 【答案】外切．【解析】∵AD 、BC 的长是方程220750x x −+=的两根，∴5AD =，15BC =，∴5D R =，15C R =，由题意易得20DC =，∴D C DC R R =+，∴两个圆外切． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．【作业7】已知1O 和2O 相交于A 、B 两点，AB = 24，1225O O =，1O 的半径为20，求2O 的半径．【难度】★★ 【答案】15或156．【解析】∵1O 和2O 相交于A 、B 两点，∴12AB O O ⊥，1122AH AB ==， ∵120O A =，∴221116O H O A AH =−=，∴29O H =，∴222215O A O H AH =+=，即2O 的半径为15； 当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得2O 的半径为156； 综上可知，2O 的半径为15或156． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．【作业8】如图，在矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，P 是边AD 上一点（除端点外），过三点A 、B 、P 作O ． （1）指出圆心O 的位置；（2）当AP = 3时，判断CD 与O 的位置关系； （3）当CD 与O 相切时，求BC 被O 截得的弦长．【难度】★★★【答案】（1）线段BP 的中点；（2）相离；（3）5516． 【解析】（1）由题意得O 为Rt BAP ∆的外心，∴圆心O 为线段BP 的中点；（2）过圆心O 作EF ∥AD 交AB 、CD 于点E 、F ， ∵3AB AP ==，∴32BP =，∴322OP =，∵1322OE BP ==，∴35422OF =−=，∵53222>，∴CD 与O 相离． （3）设CD 与O 相切于点Q ，连接OQ ，则OQ CD ⊥， 设BC 被O 截得的弦长为x ，∵ABCD 为矩形，∴AP x =，4PD x =−，∴()1822xOQ BC PD −=+=，29BP x =+，∵CD 与O 相切，∴12OQ BP =， 即28922x x −+=，解得：5516x =， ∴BC 被O 截得的弦长为5516． 【总结】本题考查了切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合应用．AB C DOPE F【作业9】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB BC ⊥，AB = AD = 2，22DC =，点P 在边BC 上运动，若以点D 为圆心、1为半径作D ，以P 为圆心、PC 长为半径作P ，当D 与P 相切时，求CP 的长．【难度】★★★【答案】76或72．【解析】如图，作DH BC ⊥于点H ，由题意易得2DH AB ==，∵22DC =，∴2CH =，设PC x =，则2PH x =−，∴()22242DP DH PH x =+=+−， 综上可知1D R =，P R x =，圆心距()242DP x =+−， 当D 与P 外切时，D P R R DP +=，即()2142x x +=+−，解得76x =， 当D 与P 内切时，P D R R DP −=，即()2142x x −=+−，解得72x =． 综上，当D 与P 相切时，CP 的长为76或72． 【总结】本题考查了圆与圆的相切，要注意分类讨论．【作业10】 如图，扇形OAB 的弦AB = 18，半径为6的C 恰与OA 、OB 和AB 相切，D 又与C 、OA 、OB 相切，求D 的半径．【难度】★★★ 【答案】2．【解析】连接CM 、DN 、OC ，∵C 恰与OA 、OB 和AB 相切，D 又与C 、OA 、OB 相切， ∴CM OB ⊥，DN OB ⊥，OC AB ⊥， 设D 的半径为r ，则由题意得6OC OB =−，12OD OB r =−−，由12AB CM OC OB =，即696OB OB =−，解得18OB =，由12AB DN OD OB=，即9181218r r =−−，解得2r =，∴D 的半径为2．【总结】本题考查了切线的性质及相似三角形的综合．A BCDPH ABCDONM。

圆知识要点圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。

2、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中，OD垂直于切线。

4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。

5、过三点的圆（1）、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

(5)、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识【362179 课程名称：《圆》单元复习：经典例题3】1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】B；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果为-2≤OP≤0．故答案为：-2≤OP≤2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【362179 课程名称：《圆》单元复习 ：经典例题1-2】【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O1E⊥O2O3()3333332844AB cm +∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【点评】四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ， ∴OD=CD=2，∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S 阴影=S △OCD ﹣S 扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD ， ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【点评】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【点评】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为. 故选C.。

第六讲 圆与直线、圆与圆知识点一：直线和圆的位置关系：1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线． （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2） 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）2．直线和圆的位置关系性质和判定如果⊙O 的半径r ，圆心O 割直线l 的距离为d ，那么（1）直线l 和⊙O 相交d r ⇔<（图 1）；（2）直线l 和⊙O 相切d r ⇔=（图2）；（3）直线l 和⊙O 相离d r ⇔>（图3）．例1、在ABC ∆中，∠C ＝90º，∠A ＝30º，O 是AB 上一点，OB ＝m(m ›0), ⊙O 的半径r 为1/2, 当m 在什么范围内取值时，BC 与圆O 相离、相切、相交？知识点二：切线的判定和性质：（一）切线的判定1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线． （二）切线的性质1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径； 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径；l图1 l图2l图2l图1l图2l图3（3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．例2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°．（1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由； （2）若CD = 33 ，求BC 的长．知识点三：三角形的内切圆1．三角形的外接圆过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。

九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。

则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ 。

2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。

⑶三角形外心的形成：三角形 的交点， 相等。

1、直线与圆的位置关系有 种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线。

2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔直线l 与⊙O 相切r d _____⇔直线l 与⊙O 相离r d _____⇔3、 切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。

【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。

⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。

【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。

4、 切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆：⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点；（3）内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 。

【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=考点一：切线的性质例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．对应训练1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．考点二：切线的判定例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）对应训练2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．知识点三、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。

九年级数学直线与圆知识点
九年级数学直线与圆的知识点主要包括以下内容：
1. 直线与圆的位置关系：直线和圆可能有三种位置关系，即相离、相切和相交。

2. 直线与圆的性质：直线与圆相交的情况下，有以下性质：
- 直线与圆的切点：直线与圆的切点是直线与圆的交点中，与圆相切的点。

- 圆的切线：直线与圆的切线是通过圆上某一点并与圆垂直的直线。

- 圆的切线定理：直线与圆的切线与该线的切点外的点的连线垂直于直线与圆的半径。

3. 直线与圆的方程：直线与圆的方程表示了直线和圆之间的关系。

直线的方程一般形
式为y = kx + b，而圆的方程一般形式为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)表
示圆心的坐标，r表示半径。

4. 直线与圆的交点求解：直线与圆的交点可以通过联立直线与圆的方程得到。

解方程
组可以求解出直线与圆的交点。

5. 切线方程的求解：如果已知圆的方程和切点的坐标，可以通过切线的斜率和切点求
解切线的方程。

这些知识点是九年级数学直线与圆的基本内容，希望对你有帮助！。

直线与圆的位置关系—知识讲解【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【：356966 经典例题1-2】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5•⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．5-3＝4．在Rt△DOF中，DF＝22∴DE＝DF＝4．【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题.举一反三：【：356966 切线长定理及例题5-7】【变式1】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )A 23 C ．22．3【答案】因为以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，所以∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，22222222AC AB BC =++=C ．。

第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；A2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

第十讲 点和圆、直线和圆的位置关系一、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒d r <⇒ 点C 在圆；2、点在圆上 ⇒d r =⇒ 点B 在圆；3、点在圆外 ⇒d r >⇒ 点A 在圆； 二、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的， （3）相离：直线和圆公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么： 1、直线与圆相离 ⇒d r >⇒ 无交点； 2、直线与圆相切 ⇒d r =⇒ 有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇒d r <⇒ 有两个交点；A三、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

四、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的切线，它们的切线长，这点和圆心的连线两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA PB = PO 平分BPA ∠五、圆与圆的位置关系 外离（图1）⇒交点 ⇒d R r >+；外切（图2）⇒ 有交点 ⇒d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒；（图4）⇒ 有一个交点 ⇒d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒d R r <-；图4图51.直线和圆的位置关系2.切线的性质定理和判定定理及应用3.切线长定理的应用例1、在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，5为半径作O ⊙，已知A ，B ，C 三点的坐标分别为()34A ，，()33B --，，(4C ，，试判断A ，B ，C 三点与O ⊙的位置关系. 例2、已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相离B ． 相切C ． 相交D ． 无法判断例3、Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r 的值为（ ） A ． 2cm B ． 2.4cm C ． 3cm D ． 4cm例4、如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．例5、如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ． （1）若OC=5，AB=8，求tan ∠BAC ；（2）若∠DAC=∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．例6、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，圆心距O 1O 2为5cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切例7、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是方程x 2﹣4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ． 外离 B ． 外切 C ． 相交 D ． 内切A 档1、若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为（3，4），点P 的坐标为（5，8），则点P 的位置为( ）A.在⊙A 内B.在⊙A 上C.在⊙A 外D.不确定2、直线l 与半径r 的圆O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，则r 的取值范围是（ ） A 、6<r B 、6=r C 、6>r D 、6≥r3、在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度数分别为（ ）A ． 2，22.5°B ． 3，30°C ． 3，22.5°D ． 2，30°4、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，若∠P=70°，则∠C 的大小为 （度）．5、如图，已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为2cm ，将⊙O 1，⊙O 2放置在直线l 上，如果⊙O 1在直线l 上任意滚动，那么圆心距O 1O 2的长不可能是（ ）A ． 6cmB ． 3cmC ． 2cmD ． 0.5cmB 档6、如图，⊙O 的半径为4cm ，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，AB=4cm ，P 为直线l 上一动点，以1cm 为半径的⊙P 与⊙O 没有公共点．设PO=dcm ，则d 的范围是 ．7、已知1O ⊙的半径1r =2，2O ⊙的半径2r 是方程321x x =-的根，1O ⊙与2O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切8、如图，⊙O 1，⊙O 2、相交于A 、B 两点，两圆半径分别为6cm 和8cm ，两圆的连心线O 1O 2的长为10cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4.8cmB ．9.6cmC ．5.6cmD ．9.4cm9、已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程x 2﹣4x+3=0的两根，且O 1O 2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．10．如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与圆O 相切于E 点．若圆O 的半径为5，且AB=11，则DE 的长度为何？（ ）A ．5B ．6C ．D ．C 档11、如图，在Rt △AOB 中，OA=OB=3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ．12、射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM=MB=2cm ，QM=4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值（单位：秒）13、如图，AB 是⊙O 的直径，∠B =∠CAD ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若点E 是的中点，连接AE 交BC 于点F ，当BD =5，CD =4时，求AF 的值．14、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E 。

点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念.2. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的为位置关系1.已知⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的距离d ＝OD ＝3cm ，在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点与⊙O 位置关系各是怎样的? 【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P 、Q 、R 三点到圆心的距离与圆的半径比较大小． 连接PO ，QO ，RO ．∵ PD ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴ PO ＝2222435PD OD r +=+==． ∴ 点P 在⊙O 上．222223435QO QD OD QD r =+=+>+==，∴ 点Q 在⊙O 外．2222223435RO RD OD RD r =+=+<+==，∴ 点R 在⊙O 内．【总结升华】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．类型二、直线与圆的位置关系2.（2014•武汉模拟）如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A （3，0）的⊙A 被y 轴截得的弦长BC=8，如图，解答下列问题： （1）⊙A 的直径为 ； （2）请在图中将⊙A 先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到⊙D ，观察你所画的图形，则⊙D 的圆心D 的坐标为 ；⊙D 与x 轴的位置关系是 ，⊙D 与y 轴的位置关系是 ，⊙D 与⊙A 的位置关系是 ；【答案与解析】解：（1）半径==5，所以直径为10.（2）（﹣5，6）；相离；相切；外切；【总结升华】本题主要考查了平移作图即图形平移变换的知识，注意图形的平移，变化的是位置，不变的是形状．举一反三：【变式】（2015•甘南州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是多少？【答案】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD，在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10.3.（2014·中山月考）如图所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=12cm,以r为半径作⊙P．(1)当r=7cm时，试判断⊙P与OB位置关系；(2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.【思路点拨】（1）过点P作PC⊥OB于点C，根据直角三角形的性质求出PC的长，再比较出PC与r的大小即可；（2）根据⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.【答案与解析】解（1）过点P作PC⊥OB于点C，∵∠AOB=30°，∴11126()7.22PC OP cm cm ==⨯=＜∵PC＜r,∴⊙P与OB相交；（2）∵⊙P与OB相离，∴0＜r＜PC,∴0cm ＜r＜6cm.【总结升华】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键. 类型三、三角形的外接圆4.如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以证明.【思路点拨】由垂径定理知，点D为AB中点，且AC=BC；再由中位线定义知，DE 12BC，DF12AC，从而可得四边形CEDF 为菱形. 【答案与解析】 四边形CEDF 为菱形.证明：∵AB 为弦，CD 为直径所在的直线，且AB ⊥CD ， ∴AD=BD ，∠ADC=∠CDB ， 在△ADC 和△BDC 中，==AD BD ADC BDC CD CD ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ADC ≌△BDC （SAS ） ∴AC=BC.又∵E ，F 分别为AC ，BC 的中点，D 为AB 中点， DF=CE=12AC ，DE=CF=12BC ， ∴DE=DF=CE=CF ，∴四边形CEDF 为菱形.【总结升华】本题主要考查外接圆与其他知识的综合. 举一反三：【变式】如图，已知，在△ABC 中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.【答案】如图，连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接DB. 由三角形内角和得，∠C=180°－70°－50°=60°. 又∵∠D=∠C=60°且∠ABD=90°， 在Rt △ABD 中，∠DAB=30°，AB=10， 由勾股定理得，AD=3∴半径AO=3即△ABC 外接圆⊙O 的半径为3OBACD类型四、圆与圆的位置关系5. 如图所示，⊙O 的半径为5，点P 为⊙O 外一点，OP ＝8．求：(1)以P 为圆心作⊙P 与⊙O 相切，则⊙P 的半径为多少?(2)当⊙P 与⊙O 相交时，⊙P 的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P 与⊙O 外切时，则有5+r ＝8， ∴ r ＝3．当⊙P 与⊙O 内切时，则有r -5＝8， ∴ r ＝13．∴ 当r ＝3或13时，⊙O 与⊙P 相切． (2)当⊙P 与⊙O 相交时，则有| r -5|＜8＜r+5， 解得3＜r ＜13，即当3＜r ＜13时，⊙P 与⊙O 相交．【总结升华】 两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d ＝R+r 和d ＝R -r (R ＞r )，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，则O 1O 2的长是( )A ．1cmB ．5cmC ．1cm 或5cmD ．0.5cm 或2.5cm【答案】C提示：两圆相切包括外切和内切，当⊙O 1与⊙O 2外切时，d ＝O 1O 2＝R+r ＝3+2＝5(cm)；当⊙O 1与⊙O 2内切时，d ＝O 1O 2＝R-r ＝3-2＝1(cm)．故选C.。