《点集拓扑讲义》集合论初步学习笔记

点集拓扑学的基本概念参考文献:熊金城, 点集拓扑讲义(第二版), 第二章.1.度量空间与连续映射首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数R R f →:被称为在点R x ∈0处是连续的，如果对于任意实数0>ε，存在实数0>δ，使得对于任何R x ∈，当δ<-0x x 时，恒有ε<-)()(0x f x f .在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．定义 1.1 设X 是一个集合，R X X →⨯:ρ是映射．如果对于任何X z y x ∈,,，有(1)正定性，0),(≥y x ρ，并且0),(=y x ρ当且仅当y x =； (2)对称性，),(),(x y y x ρρ=； (3) 三角不等式，),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤.则称ρ是X 上的一个度量。

若ρ是集合X 上的一个度量，则称偶对),(ρX 是一个度量空间，或称X 是一个具有度量ρ的度量空间．当度量ρ早有约定时，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X 是一个度量空间．此外，对于任意两点X y x ∈,，实数),(y x ρ称为点x 和点y 之间的距离．例1.2 实数空间R .对于实数集合R ，定义R R R →⨯:ρ如下：对于任意R y x ∈,,令y x y x -=),(ρ容易验证ρ是R 的一个度量，因此偶对),(ρX 是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量ρ称为R 的通常度量，并且常常略而不写ρ，简称R 为实数空间． 例1.3 n 维欧式空间n R .对于实数集合R 的n 重笛卡尔集R R R R n ⨯⨯⨯= ，定义R R R n n →⨯:ρ如下：对于任意的n n n R y y y y x x x x ∈==),,,(),,,,(2121 ，令∑=-=n i i i y xy x 12)(),(ρ.容易验证ρ是n R 的一个度量，因此偶对),(ρn R 是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n 维欧氏空间．这里定义的度量ρ称为n R 的通常度量，并且常常略而不写ρ，而称n R 为n 维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．例1.4 Hilbert 空间记H 为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<∈∈==∑∞=1221,,),,(i i i x N i R x x x x H定义R H H →⨯:ρ如下：对任意的H y y y x x x ∈==),,(),,(21,21 ，∑∞=-=12)(),(i i i y xy x ρ容易验证ρ是H 的一个度量，偶对（H ，ρ）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert 空间。

度量空间与连续映射2章第它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．度量空间与连续映射§2.1本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中,R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考.察出发，抽象出度量和度量空间的概念，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R（）x=×→R如下：对于任意ρ定义,： y=，令）＝y xρ（，页40 共* 页2 第是的一个度量，因此偶容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ，ρ)是一个度量空间．(这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．对这里定，称为义的度量ρ的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即)|<∞} ＝ {x=(H定义ρ如下：对于任意＝（）∈H），yx ＝（(x,y)= 令ρ（即验证<∞）以及验证ρ是说明这个定义是合理的H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert 空间．例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（的一个离散度量，如果对于每一个x，y） y∈X，x≠y，成立．＞对于任何页40 共** 页3 第例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有(x,y)=ρ容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻记作B（x，ε域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．页40 共* 页4 第，）是x∈XB（x (2)如果B（x的两个球形邻域，任意选取实，）和数}min{ ，则易见有ε＞0，使得ε＜，）∩B（x，））B （x，εB（x 即B（x，ε）满足要求．）．显然．＞0．如果xρ（，yz∈B，（3）设y∈B（xε＝）．令ε-，），则（y ）＜xy，）+ρ）+ρ（y，x=ε（（（z，x）≤ρz，yρ，y）ε）．这证明B（εB（x，）．，所以z∈B（x定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}页40 共** 页5 第却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：本身和空集都是开集；X （1）集合（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 满足开集的条件；空集X中不包含任何一个点，也自然地可以认为中，所以它满足开集的条件．的一个球形邻x如果x∈U∩V，则存在U设和V是X中的两个开集．（2）．根据V，的一个球形邻域B（x）包含于域B（x，）包含于U，也存在x ，（xε）同时包含于BB（2），x有一个球形邻域（x，）和B定理2.1.1，），因此（x，）U∩V B（x，B（x，）∩B（xε）由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．页40 共* 页6 第中的开集构成的子集族．如果，则存在是一个由X3）设*Α（A有一个球形邻域包含于是一个开集，所以由于∈*x使得，显x∈然这个球形邻域也包含于中的一个开集．．这证明是X此外，根据定理2.1.1（3）可见，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈VU，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈VU，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．页40 共** 页7 第f(如果对于)是两个度量空间，f:X→Y，∈X以及定义2.1.5 设X和Y （ε），，存在δ的某一个球形邻域B），的任何一个球形邻域B（f(),），则称映射在点处是连续的．（)，δ）），εB（使得f(Bf（如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果在点f处连续，可以说成：和Y设ρ中的度量，则和分别是度量空间X对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，x∈B （,δ）便有）＜δ（即f(f(x)∈B（.（即(f(x),f())ε））．＜ε)，下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．以及∈X．X→Y则下述条件Y是两个度量空间，f：和定理2.1.4 设X：和（*2）*（1）和（2）分别等价于条件（1））f处是连续的；在点（1的每一个邻域的原象是的一个邻域；（1）*f( )（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．（）的一个邻域．根令U为f成立．1）蕴涵（）*：设（1）1证明条件（），ε）包含于B（fU（．由于f）有一个球形邻域2.1.3据定理，f（处是连续的，所以在点有一个球形邻域（（BfBεB（fB）），δ（（），）．然而，（（）使得，δf 页40 共* 页8 第），所以（），εU）（）是）B），这证明（（U（U的一个邻域．，δ（f1）*成立．任意给定）的一个邻条件（1）*蕴涵（1）．设条件（，根据定理2.1.3是（的一个邻域．f()，ε域B（εf(),），）则（B ）包含于δ（，有一个球形邻域B （）．f），ε（B（（f（B在点处连续．因此，δ））B（f（），ε）．这证明f中的一个开集，为Y*．设条件（2）成立．令V2条件（）蕴涵（2）是一个开集，所Vx）∈V．由于）．对于每一个x∈U，我们有f（U（＝VxU是1）*，）的一个邻域．由于以V是f（xf在每一点处都连续，故根据（由U＝∪x∈UUx．U．易见Ux的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得 U是一个开集．都是开集，根据定理2.1.2，于每一个Ux）的x是f（2）*成立，对于任意x∈X，设U条件（2）*蕴涵（2）．设（根．U）（（的一个开集x）V U．从而Vx∈）f一个邻域，即存在包含（x的一个邻域，对于U据条件（2）*，（V）是一个开集，所以）是x（是任意选取的，所以处连续．由于点x在点*成立，于是fx）而言，条件（1 f是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念性质（定理2.1.2作业：P47 1.2.3.4.页40 共** 页9 第拓扑空间与连续映射§2.2:本节重点. 并在此空间上建立起来的连续映射的概念拓扑与拓扑空间的概念,: 注意区别. 拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理 2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．ττ满足如下X是一个集合，定义2.2.1 设X的一个子集族．如果是条件：τ∈（；lX），Tτ；（2）若A，B∈A∩B∈，则（3）若τ是X的一个拓扑．则称ττ）是一个拓扑空间，或X如果，是集合X的一个拓扑，则称偶对（τT是一个相对于拓扑而言的拓扑空间；此外称集合的每一个元素都叫做Xττ．即：A∈A是开集.）或（开集XX拓扑空间（，）中的一个（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．页40 共* 页10 第现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．中的所有开集构为由ρ）是一个度量空间·令定义X2.2.2 设（X，的一个拓扑．我们称2.1.2）是，（X 为成的集族．根据定理，X的X由．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度度量ρ诱导出来的拓扑）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，X，ρρ）为拓扑量空间（空间时，指的就是拓扑空间（X，）空），HilbertR因此，实数空间，n维欧氏空间（特别，欧氏平面间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．TT是X，}．容易验证，设X是一个集合．令的一个拓扑，称之为 ={X T）为一个平庸空间．在平庸空间（；并且我们称拓扑空间（X，X，的X平庸拓扑T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．TP（X），即由XX是一个集合．令 =的所有子集构成的族．容易验证，设TT）为一X；并且我们称拓扑空间（，的一个拓扑，称之为X的离散拓扑是X T）中，X的每一个子集都是开集．在离散空间（X，个离散空间.T ={，{a}，{a，b}，{a，{a，bc}．令，b，c}}．＝2.2.3 例设X TT）是一个拓扑空间．这个拓扑X的一个拓扑，因此（，容易验证，是X空间既不是平庸空间又不是离散空间．页40 共** 页11 第例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令X|T ={U 的一个有限子集}∪{是X}T是X的一个拓扑：先验证；另外，根据定义便有∈T．）X∈T (因为 =)（1T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A（2）设A，B∈和B T ．的一个有限子集，所以A∩B∈是都不是空集．这时X,显然有）设（3．令，则如果X任意选取．这时是设的一个有限子集，所以P是X的一个拓扑，称之为3），X的有限补拓根据上述（1），（2）和（P）称为一个有限补空间．，扑．拓扑空间（X例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T 的一个可数子集}∪{X}={U X|是T 是X2.2.4通过与例中完全类似的做法容易验证（请读者自证）的一个T ）称为一个可数补空间．，的可数补拓扑．拓扑空间（拓扑，称之为XX页40 共* 页12 第一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？P使）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量设（X，ρ定义2.2.3PP）是一个ρ诱导出来的拓扑可度量化空，则称（得拓扑X，即是由度量间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑可以看出，和从§2．1中的习题23空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是中给出的那个空间只含有三个点，2.2.3离散空间，因此它不是可度量化的；例拓扑空间是比可度量空间的但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这范围要广泛．是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．U定义2.2.4 是两个拓扑空间，f:X→Y．如果中每一个开集Y设X和Y的一个连续映射，或简称Xf是中的一个开集，则称X到Y（的原象U）是映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）页40 共** 页13 第但所指出的却是连续映射的最重要的下面的这个定理尽管证明十分容易，性质．都是拓扑空间．则，Y和ZX定理2.2.1 设是一个连续映射；1:X→X）恒同映射：（也是连续映射．和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z（2）如果f:X→Y l连续．），所以证明（）设2f:X→Y,g:Y →Z都是连续映射（连续．这证明gof如在线性代数中我们考在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后群论中的同构，者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．是一个—一映射，f：X→Y Y设X和是两个拓扑空间．如果2.2.5 定义和f是一个同胚映射或同胚．都是连续的，则称：Y→X并且f定理2.2.2 设X都是拓扑空间．则Y和Z，：X→X）恒同映射（1是一个同胚；）如果f：X→Y（：Y→X也是一个同胚；2是一个同胚，则页40 共* 页14 第：X→Z也是一个同胚．：Y→Z都是同胚，则gof（3）如果f：X→Y和g 2.2.1，定理证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理．5．4．．53和定理1．l是一个—一映射，并且（l是同胚．），都是连续的，从而是一个—一映射，并且f和）设f：X→Y是一个同胚．因此f都（2也都是连续的，也是一个—一映射并且是连续的．于是和所以也是一个同胚．，f都是—一映射，并且因此f和gf）设：X→Y和g：Y→Z都是同胚．（3和且gof射，并—因此gof也是一映，g续和都是连的． gof是一个同胚．都是连续的．所以：X→Y，则f和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚设定义2.2.6 X ．同胚于YX是同胚的，或称X与Y同胚，或称X称拓扑空间与拓扑空间Y 粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．都是拓扑空间．则和Z设X，Y定理2.2.3X同胚；1）X与（同胚；Y与X同胚，则（2）如来X与Y Z同胚．同胚，则与ZX与同胚，）如果（3X与YY 2.2.2直接得到．证明从定理在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，我们可以说：根据定理2.2.3，因而同胚关系将这个拓扑空两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．页40 共** 页15 第，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚P拓扑空间的某种性质．换言之，拓拓扑不变性质的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这段时期才完成的工作．种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某也正因为如此，是一个去粗取精的过程．一个方面）的精粹而进行的一次提升，新的概念和理论往往有更多的包容．一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正拓扑学无疑也是如此，的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3 邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．页40 共* 页16 第我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，定义2.3.1 设（X，P使得x∈VU，则称U满足条件：存在一个开集V∈是点x的一个邻域．点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．是空集，以下证明充分性．如果U证明定理中条件的必要性是明显的． U ≠．根据定理中的条件，当然U是一个开集．下设使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．页40 共** 页17 第是一个拓扑空间．记为点x∈XX的邻域系．则：定理2.3.2 设U∈x∈X，；并且如果≠，则（1）对于任何x∈U；U ∩V∈，V∈ U，则；（2）如果V∈并且U； V （3）如果，则U∈V∈满足条件：(a)VU和，则存在(b) （4）如果对于任何U∈ V ∈．y∈V，有P且由定义,∴X∈证明（1）,∴,≠如果 X,X∈，则x∈UU∈PP和使得∈则存在设2（）U，V∈．U．和∈ T,∴U∩V∈成立．从而我们有, U∈，并且设3（）P．V满足条件已经满足条件（a），根4（）设U∈．令V∈据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一P子集族x ∈X，个拓扑T使得对于每一点在拓扑空间恰是点x（X，)中的邻域系．(证明略)页40 共* 页18 第现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果的原象（U）是Ux∈X的一个邻域，则称映射ff（x）∈Y的每一个邻域是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发．并且该定理也保证了：当X 和Y是两个度量空间时，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则）恒同映射：X→X在每一点x∈X（1处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．页40 共** 页19 第x处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点f连续．这就证明了作业: ,掌握证明一个映射是否连续的方法．掌握证明一个子集是邻域的方法§2.4 导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，AX．如果点x∈X的每一个邻域U ，则称点xx中异于的点，即U∩（A-{x}是集合）≠A的一个凝聚中都有A点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如＝，）U ∩（A-{x}使得即存在x果x∈A并且不是A的凝聚点，x的一个邻域U 的一个孤立点．为Ax则称):(牢记即页40 共* 页20 第在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，）＝． d（A从而A的导集是空集，即2.4.2 例平庸空间中集合的凝聚点和导集．是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：设X是一个平庸空间，A A显然没有任何一个凝聚点，亦即第1种情形：．这时A=．（可以参见定理2.4.1中第（d（A）l=）条的证明．）。

拓扑学笔记整理一、拓扑学基础概念。

1. 拓扑空间。

- 定义：设X是一个集合，T是X的一个子集族。

如果T满足以下三个条件：- 空集∅和X都属于T。

- T中任意多个元素（即子集）的并集仍属于T。

- T中有限个元素的交集仍属于T。

- 则称T为X上的一个拓扑，(X, T)为一个拓扑空间。

- 例子：- 离散拓扑：设X是一个集合，T = P(X)（X的幂集，即X的所有子集组成的集合），则(X, T)是一个拓扑空间，称为离散拓扑空间。

- 平凡拓扑：设X是一个集合，T={∅, X}，则(X, T)是一个拓扑空间，称为平凡拓扑空间。

2. 开集与闭集。

- 开集：在拓扑空间(X, T)中，T中的元素称为开集。

- 闭集：集合A是拓扑空间(X, T)中的闭集当且仅当X - A是开集。

- 性质：- 空集∅和X既是开集又是闭集（在任何拓扑空间中）。

- 开集的任意并集是开集，闭集的任意交集是闭集。

- 开集的有限交集是开集，闭集的有限并集是闭集。

3. 邻域。

- 定义：设(X, T)是一个拓扑空间，x∈X。

如果存在开集U∈T，使得x∈U⊆N，则称N是x的一个邻域。

- 性质：- 一个集合是开集当且仅当它是其每个点的邻域。

二、拓扑空间中的连续映射。

1. 连续映射的定义。

- 设(X, T₁)和(Y, T₂)是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。

如果对于Y中的任意开集V∈T₂，f⁻¹(V)（V在f下的原像）是X中的开集（即f⁻¹(V)∈T ₁），则称f是连续映射。

2. 连续映射的等价定义。

- 对于X中的任意一点x和任意邻域N(f(x))（f(x)在Y中的邻域），存在x在X 中的邻域M，使得f(M)⊆N(f(x))。

- 对于Y中的任意闭集C，f⁻¹(C)是X中的闭集。

三、拓扑空间的基与子基。

1. 基的定义。

- 设(X, T)是一个拓扑空间，B是T的一个子集族。

如果对于任意的U∈T以及任意的x∈U，存在B中的元素B，使得x∈B⊆U，则称B是拓扑T的一个基。

点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中，最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。

集合是元素的无序集合，而拓扑空间是一个集合，其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。

这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。

1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集，从而为集合赋予了拓扑性质。

具体来说，给定一个集合X，如果满足以下条件：（1）空集和X本身是开集；（2）任意开集的任意并集仍然是开集；（3）有限个开集的任意交集仍然是开集。

那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。

1.3 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个非常重要的概念。

开集是指每个点都包含在集合内部的集合，闭集则是指包含了其边界的集合。

开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。

1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质，一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并，则称为连通的。

连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。

二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间，度量是一种满足一系列性质的函数，用来度量空间中两点之间的距离。

度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构，这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。

2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。

这种空间具有较强的分离性质，能够更好地描述空间中点的位置关系。

2.3 紧空间在拓扑学中，紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。

紧空间具有重要的性质，例如有限覆盖性质和闭性性质，这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。

2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。

换句话说，连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的，没有间断。

这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。

2.5 分离性和局部性在拓扑学中，还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理，包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。

紧致性第7章7.1 紧致空间§本节重点：（这些方法哪些掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即在§5.3空间定义中的“可数LindeloffLindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的任何一个子集为有界闭集的充分必R的Heine－Borel定理断言：实数空间中我们将要推广要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3 这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．的每一个开覆盖有一个有限子X7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果定义 X是一个紧致空间．覆盖，则称拓扑空间空间．但反之不然，例如包含着Lindeloff明显地，每一个紧致空间都是空间，但它不是一个紧致空间．无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff不是一个紧致空间．这是因为如果我们设实数空间R例7.1.1AA）R|b∈Z+},则的任何一个有限子族，＝{（－nn由于它的并为{ },})(-max{},max{ 1A的开覆盖没有任何一个有限子覆盖．R的一个子覆盖．因此R所以不是的X中的一个子集,如果Y作为定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X 的一个紧致子集．子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的紧致子集意味着每一个由子X拓扑空间X中的一个子集Y是根据定义，这并不明显地意味着由的开覆盖有一个有限子覆盖，空间Y中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要YX中的开集构成的每一个的．的一XX中的一个子集．则Y是X定理7.1.1 设是一个拓扑空间，Y是此的覆盖都有有限子覆盖．（个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）A是Y,中的一个紧致子集的一个覆盖，它证明必要性设Y是拓扑空间XA}也是中的开集构成．则容易验证集族Y由X的一个覆盖，它A有一个有限子覆盖，设为由Y中的开集构成．因此A的有限子族覆盖Y{},于是．充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设AA存在X中的一个中的开集构成．则对于每一个A∈的一个覆盖，是Y它由YA}是由X中的开集构成的A=∩Y．因此Y的一个使得开集覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{}A{此时易见的子族 Y｝覆盖Y．这证明是X的一个紧致子集．下面介绍关于紧致性的一个等价说法．页26 共** 页2 第AA（即定义7.1.3 设的每一个有限子族都有非空的交是一个集族．如果AA是一个具有有限交性的一个有限子族，则如果），则称是质的集族．中的是一个紧致空间当且仅当X设X是一个拓扑空间．则X定理7.1.2每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．F中的一个具有有是设X 是一个紧致空间．用反证法．设X证明 :F≠限交性质的闭集族．设．如果AF={ ，则令}．由于∈AA{设为的一个开覆盖．是X于是有一个有限子覆盖，所以．}从而F 不具有有限交性质．矛盾．这说明中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证”，设“X AA有一个有限子的一个开覆盖．我们需要证明是X是一个紧致空间，设明X AA的的每一个子族都是以及=X，则，这蕴涵覆盖．如果X=AAF中的一个非空闭集族，并且便是覆盖．以下假定}．此时={|A∈≠X设也就是说，它不具有有限交性质．它有一个有限子族其交为空集．因此，F，则的这个有限子族为{}的一个有限子覆盖．是X 3BB的一个覆盖当X的一个基，那么由X中的元素构成的如果是紧致空间然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．B*B*中的元素构成是拓扑空间X的一个基，并且X的由定理7.1.3 设X是一个紧致空间．的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则B*A*A* 的一个子族X的一个开覆盖．对于每一个A∈证明存在设是使得令由于B*的一个覆盖，所以有一个有限子覆是一个由X 故的元素构成的设为盖，，i=1,2,…n，一,对于每，个A* {} 于是对于的有限于族有A*是一个紧致}也就是说．这证明有一个有限子覆盖{ X 空间．A是一个连续映射．如果X7.1.4 定理设和Y是两个拓扑空间，f:X→Y Y）是的一个紧致子集．AX是的一个紧致子集，则f（CC，C∈中的开集组成．它由）（是证明设*fA的一个覆盖，Y对于每一个*）是（f由于是一个连续映射，CX中的一个开集页26 共** 页4 第CA的一个紧致子集，XA是*}所以是＝A{的一个开覆盖．(C)|C∈由于A{有一个有限子族，设为}，覆盖A所以C的）是Y）．这证明f（}是A*的一个子族并且覆盖f（即{A 一个紧致子集．由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚由此可见，由于实数空间R 的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．定理A的一个覆盖，它由中的一个闭子集．如果Y是证明设Y是紧致空间X BB的一个有限子1X 的一个开覆盖．设是X中的开集构成．则是AB的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y便是}是族并且覆盖X．则X1-{的一个紧致子集．每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间．定理7.1.6T)的元素．令是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X设证明:(X, X*=X∪{∞}TT∪{X*}*=∪T})中的一个紧致闭集是拓扑空间={E 其中X*|X*-E(X,T*是集合X*的一个拓扑．首先验证 (略)5T:(X*,是一个紧致空间*)其次．证明C*C*X*-CC∈是X*的一个开覆盖．则存在C ∈,使得∞∈C．于是设因此C*C*设为是紧致的,并且有一个有限子族-{C}是它的一个开覆盖．于是,-{C}C*CC X*-C．易见1∪{C}是．的一个有限子族,并且覆盖X*1,覆盖TT的一个开子空间．这是)是拓扑空间我们指出拓扑空间(X,(X*,*)最后,T及 =X是X*的一个开集．因为TT通常(X*,*),)构造出来的紧致空间在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T的一点紧化．称为拓扑空间(X,)由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的．以下定理表明紧致性是可积性质．空空n≥1是个紧致定间理7.1.7 设．则积间是一个紧致空间．) 证明 (略作业: ．5．P188 14．§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.页26 共** 页6 第在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后空间的连续映射的一个十分重要的Hausdorff半部分，我们给出从紧致空间到性质．x∈X的一个不包含点A是X定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果．和V使得的紧致子集，则点xU∩V=和紧致子集A分别有开邻域U 是一个．对于每一个y∈A，由于是一个紧致子集，x∈证明设AX域个开邻故存在x的一Hausdorffy和的一个开邻域空间，它有一个A的一个开覆盖，．集族{|y∈A}明显是紧致子集，它们分A．令}有限子族，设为 {，覆盖有：i=1，2，…，n别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个所以Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．推论7.2.2x∈X，如果的一个紧致子集．对于任何设A是Hausdorff空间X 证明中，的凝聚点都在A因此凡x，xA则根据定理7.2.1可见不是A的凝聚点．A A从而是一个闭集．结合定理推论7.2.2 可见：7.1.5空间中，一个集合是闭集的充分必Hausdorff在一个紧致的推论7.2.3要条件是它是一个紧致子集．7中的几个简单而常7.2.3和推论7.1.5，推论7.2.2为了加强读者对定理用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致子集紧致空间：闭集空间：闭集紧致子集 Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间都是正则空间．7.2.4 每一个紧致的Haudorff推论中的一个不Xx是设证明 A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，），所7.1.5A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理属于集合VU和A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域以 X使得是一个正则空间．U∩V=．这就证明了的两个无交的B是X和定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A ．V 使得紧致子集，则它们分别有开邻域U U∩V=和x∈A，根据定理X的两个无交的紧致子集．对于任何A 设和B是证明|x∈A}是{．集族和集合B分别有开邻域7.2.1，点x A它有一个有限子族，设为{．令}，覆盖A紧致子集的一个开覆盖，有，2，…，n由于对于每一个i＝1 U∩V=∩V=，所以．7.2.5空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理由于Hausdorff 立即有：7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是推论的，页26 共** 页8 第根据这个推论联6.4.3直接推出．这个结论也可以根据推论7.2.4和定理我们可空间这一事实，并且留意到每一个紧致空间都是系着表6.1Lindeloff 在紧致空间中分离性公理显得特别简单．有图表7.1．从这个图表中可以看出，：紧致空间中的分离性公理图表7.1是UX是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，定理7.2.7 设使得的一个开邻域，则存在．A的一个开邻域AV的一个开邻域．对于A中的一个紧致子集，是正则空间XU是证明设A的|x∈A}是紧致子集集族{x∈A，点任何xA有一个开邻域使得．令A}，它一个开覆盖，它有有限子族，设为，覆盖{A是的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并空间，所以它明显地蕴Lindeloff不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是涵于定理6.4.3中．．在那个正．3然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2 规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．9是一个连Y是一个紧致空间，是一个Hausdorff空间，f:X→Y证明设X A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理续映射．如果中的一个紧致子集（参见Hausdorff空间Y）是7.1.5），因此它的象集f（A ）．这证明f是一个闭映射．定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：空间的任何一个既单且满的（即—7.2.9 从紧致空间到Hausdorff推论一的）连续映射都是同胚．:作业 1.2. P192n 维欧氏空间§7.3中的紧致子集使＞0AX．如果存在实数M定义7.3.1 设（X，ρ）是一个度量空间，的一个有界子集；如果XA是对于所有x，y∈A得ρ（x，y）＜M成立，则称X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，ρ）是一个有界度量空间．定理7.3.1 紧致度量空间是有界的．证明设（X，ρ）是一个紧致度量空间．由球形邻域构成的集族{B（x，1）|x ∈X}是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{B（x1，1），B（x2，1），…，B（xn，1）}．令M＝rnax{ρ(xi，xj）|1≤i，j≤n}十2如果x，y∈X，则存在i，j，1≤i，j≤n，使得x∈B（xi，l）和y∈B（xj，l）．于是ρ（x，y）＜ρ（x，xi）＋ρ（xi，xj）十ρ（xj，y）＜M页26 共** 页10 第的n维欧氏空间因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集．特别每一个紧致子集都是有界的．是一个紧致空间的证明．尽管读者可[0,1]下面作为引理给出单位闭区间能早已熟知这个结论．引理7.3.2 单位闭区间[0,1]是一个紧致空间．A是[0，1] 设的一个开覆盖．令证明A有一个有限子族覆盖[0，P＝{x∈[0，l]|x]}它是[0，1]的一个子集．对于集合P，我们依次证明，P．因为显然0∈P;（l）（2）P是一个开集．A{}，覆盖[0，设x∈P．则x]有一个有限子族，设为．当x=1时，易见P＝[0，l]，它是一个开集．因此x是P的一个内点．下设x＜1．这由于是[0，i0,1≤i0≤n,有x1]∈.中的一个开集，所以时对于某一个)ε)x＋[0，．于是[0，.．这蕴涵使得存在实数ε＞0[x，x+εPx+ε)．由于[0，x＋ε）是[0，1]中的一个包含x的开集，所以x是P的一个内点．以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.（3）P是一个闭集．1]．另外根据(1)的定义可见，[x设，x∈=[0,1]-P．根据集合P A使得x∈A．由于A是一个开集，所以存在实数ε0可见．＜x.选取选取A∈,x]∩P≠，设z ∈（x－ε（A．假如x－ε，x]∩P．则x]－0＞使得（xε，AAAA1∪{A}覆盖[0，x]有一个有限子族，这1覆盖[0,z]，因此的有限子族,1],从而,(x-ε,x]－（，即xεεx所以P与x矛盾．（－，x]∩P=的一个内点．这证明x因此是是一个开集，即P是一个闭集．11是一[0,1]，l]中的一个既开又闭的非空子集．由于根据上述三条，P是[0A有一个有限子族覆盖个连通空间，所以P=[0,1]，特别，1∈P．这也就是说是一[0，1]，［0，1］．以上证明了[01]的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故个紧致空间．］同胚，所，1b任何一个闭区间[a，b]（a＜），由于它和单位闭区间［0中任何一个闭维欧氏空间以是紧致的．并且作为紧致空间的积空间，可见n方体（a＜b）也是紧致空间．是一个紧致子集n维欧氏空间则A定理7.3.3 中的一个子集．设A是是一个有界闭集．当且仅当A设证明ρ是n维欧氏空间的通常度量．，它是有界”:如果7.3.1A是一个紧致子集，则根据定理“，它是一个闭集．的；由于是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2是紧致的．下设是一个有界闭集．如果”:设AA=，则“A ．任意选取(xM，yA）＜＞．于是存在实数M0使得对于任何x，y∈A有ρ）∈0），其中，x00=，…，（0，0（x0∈A，并且令．容易验证N=M十ρ0作为紧致空间．（根据三角不等式）A中的一个闭子因此A 集必定是紧致的．则存是一个连续映射．设7.3.4 X是一个非空的紧致空间，f:X→R定理有x0在，x1∈X使得对于任意x∈X ）≤f(x)≤f(x1) f（x0换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点．页26 共** 页12 第中的一Rf（X）是实数空间由于X紧致，故根据定理7．1．4可见证明Mf(X)是一个闭集．设m和个紧致子集．由于R是一个Hausdorff空间，所以使得，M∈f(X)．因此存在x0，x1∈Xm分别为集合f（X）的下，上确界，则f．根据上，下确界的定义立即可见，对于任何x∈X有f(x0)＝m和f(x1)=M （x0）≤f(x)≤f(x1).维欧氏空是一个有界闭集，所以是紧致的，此外，由于mn 维单位球面不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：间维单位球面与n不同胚．设定理7.3.5 m，n∈Z+．则m维欧氏空间这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子．作业:1. 2. P196几种紧致性以及其间的关系§7.4:本节重点掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．实数空间中的一个子集读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：A如果满足以下条件（l）～（4）中的任何一条，则满足其他的几条．（l）A是一个有界闭集；（2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；（4）A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点．13不难发现这四条中以读者应当早就有所体会了．这几个条件的重要意义，）三条中所涉及惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是（2），（3）和（4一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下 5）作为讨论的中间站．条件（ A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖．（5）的每一个可数开覆盖都有有限定义7.4.l 是一个拓扑空间．如果X设X 子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间．以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证．每一个紧致空间都是可数紧致空间．定理7.4.1的可数紧致空间都是紧致空间．定理7.4.2 每一个Lindeloff的每一个无限子集都有凝聚点，X是一个拓扑空间．7.4.2 设X如果定义 X是一个列紧空间．则称拓扑空间定理7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间．证明设X是一个可数紧致空间．为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点．首先这蕴涵A是一个闭集．此外对于所以存在a的一个开邻域使得不是每一个a∈A，由于aA的凝聚点，}是|a ∈A}∪{X的一个开覆盖．由于X是可数紧致∩A={a}．于是集族{页26 共** 页14 第无交，由于{与A} 空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为所以必定覆盖{A．因此，})∩A={a1,a2,…an}是一个有限集．这是一个A=(矛盾．是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：定义7.4.3 设 i∈Z+成立，即对于每一个则称序列是一个下降序列．在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．是一个可数紧致空间当是一个拓扑空间．则拓扑空间X引理7.4.4 设X集下降序列，有非个任何一非空空闭的交，即且中仅当由X得使序列降闭中空证明数设可紧致间X的非空集下于是}{ 设为的一个开覆盖，X是它有一个有限子覆盖，由此可得这是一个矛盾．中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交．如X另一方面，设拓扑空间没有{ 有一个可数开覆盖，X则X果不是一个可数紧致空间，设为}， i∈Z+，令有限子覆盖．对于每一个15的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：X}则也是{．由此因此是一个非空闭集下降序列，所以．也就是说}{不是的一个覆盖，这是一个矛盾．可见X每一个列紧的7.4.5 定理空间都是可数紧致空间．不是一个可数紧致空间，则根据空间．如果证明 X设X是一个列紧的中有一个非空闭集下降序列，,使得在每一个引理7.4.4X A={中选取一点}，并且考虑集合，和一个正整数的严格递增序列n1如果A是一个有限集，则必有一点x∈A ．这是因为，n2，…使得于是对于任何i∈Z+有x∈，这与反证假设矛盾．于是x∈有一个凝聚点，设为是一个无限集．由于X是一个列紧空间，所以AA设空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个．由于X是一个y于由凝个聚点；又也i∈Z+，点y合是集的一．这也与反证假定矛盾．中的每一个序列都有一个收敛X设X是一个拓扑空间．如果定义7.4.4是一个序列紧致空间．的子序列，称拓扑空间X定理7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间．页26 共** 页16 第{}是X设X是一个序列紧致空间，中的一个非空闭集下降证明．在每对于每一个i∈Z+，序列．．根据引理7.4.4X是一个可数紧致空间．定理7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间．证明设X是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设．于是i∈Z+，令和．对于每一个是拓扑空间X中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理7.4.4，我们有．由于X满足第一可数性公理，根据定理5.1.8，在点x处有一个可数邻域满足条件：}对于任基{ 意j∈Z+成立．令l，令对于每一个i＞是一个严格递增的于是 ,对于每一个正整数序列．并且i∈Z+成立．存在U设是x的一个邻域．：收敛于的子序列}我们来证明序列{{}x时我们有k i某一个k∈Z+,使得，于是当＞7.2根据本节中的各个定理，我们可以得到图表．17根据这个表立即可以知：的一个子设X是一个满足第二可数性公理的X空间，推论A7.4.8 是集．则下列条件等价：的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（Al）（）2A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；中的点；（3）A中的每一个序列都有子序列收敛于A （ 4）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中．的子集以上推论成立，并且推论中的每维欧氏空间特别，对于n 是一个有界闭集．一个条件都等价于A作业:P201 1度量空间中的紧致性§7.5本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff页26 共** 页18 第本并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．空间，因此从定理7.4.2 节研究这个问题并给出肯定的回答．的直径）中的一个非空子集．集合，ρA定义7.5.1 设A是度量空间（X （A）定义为diam (x,y)|x,y∈A}若A是有界的 diam(A)=sup{ρ A是无界的diam(A)=∞若AλX的一个开覆盖．实数定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，是A只要中的任何一个子集A＞0称为开覆盖，的一个Lebesgue数，如果对于X A包含于开覆盖的某一个元素之中．diam（A）＜λ，则 A Lebesgue的开覆盖数不一定存在．例如考虑实数空间R {(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}数．（请读者自补证明．）则任何一个正实数都不是它的Lebesgue序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有数定理] 定理7.5.1[Lebesgue一个Lebesgue数．A是XX设是一个序列紧致的度量空间，的一个开覆盖．假若开覆证明AA的Lebesgue不是数，所数,则对于任何i∈Z+,实数1/i盖没有LebesgueA的任何元素之中．不包含于 EiE）＜1/i并且E,以X有一个子集使得diam（之中任意选取一个点,由于在每一个X是一个序列紧致空间，所以序A是X列．由于的一个开覆盖，故有一个收敛的子序列A使得y∈A，并且存在实数ε＞0使得球形邻域B（yA．由存在A∈，ε）时．令k为任＞于，所以存在整数M0使得当i>M 则对于任何,M+2/有 k意一个整数，使得＞ε19εy ρ）＜（（x，y）≤ρ（x，，）＋ρ这证明A的选取矛盾．与每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间．定理7.5.2A的一个开覆盖．根据定理是X 设X是一个序列紧致的度量空间，证明A 0．Lebesgue数，设为λ7.5.1，X的开覆盖＞有一个BB有一个有的一个开覆盖．我们先来证明/3)}．它是令X={B(x,λ限子覆盖．B，假定点1．对于i假设＞没有有限子覆盖．任意选取一点∈X 已经取定，由于．按照归纳原则，序列,选取不是X的覆盖(i,j∈Z+,i≠j，有ρλ/3．序列已经取定．易见对于任何)>中最λ/6)没有任何收敛的子序列．（因为任何y∈X的球形邻域B(y, X是序列紧致空间相矛盾．多只能包含这个序列中的一个点．）这与B的一个有限子覆{}是开覆盖现在设存在i=1,2,…,n盖．由于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个使得A的一个子覆盖．{}λB(,是/3)．于是以及前一节中的讨论可见：因此，根据定理7.5.2定理7.5.3 设X 是一个度量空间．则下列条件等价：页26 共** 页20 第是一个紧致空间；）X （1 ）X是一个列紧空间；（2 ）X是一个序列紧致空间；（3 X是一个可数紧致空间．）（4以示强调．的结论列为图表我们将定理7.5.37.3作业: P205 1．本章总结： 1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系．（ 2）度量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握．（）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵（3 涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集．仿紧致空间§7.6 局部紧致空间,:本节重点掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义．性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系．21中的每一个点都有一个紧致的如果X定义7.6.1 设X是一个拓扑空间, 则称拓扑空间X是一个局部紧致空间．邻域,因为紧致空间本身每一个紧致空间都是局部紧致空间,,由定义立即可见便是它的每一个点的紧致邻域．因为其中的任何一个球形邻域的闭包都维欧氏空间也是局部紧致空间,n 是紧致的．定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间．的一个开邻x∈X,U是x是一个局部紧致的Hausdorff空间,设证明设X中的是XHausdorff空间X的紧致子集,DD域．令是x的一个紧致邻域,作为所以是一个空间,闭集．由推论7.2.4,D 作为子空间是一个紧致的Hausdorff在拓是集合中的一个开邻域,D其中正则空间．是x在子空间D中DD中有一个开邻域V使得它在子空间扑空间X中的内部．从而x在子空间V因此,并且又包含于W,．一方面的闭包包含于WV是子空间D中的一个开集另也是X中的开集．是WX中的一个开集,所以V 是子空间W中的一个开集,而因此点中的闭包D中的闭包便是V在X的闭集一方面,由于D是X,所以V在使得是一个正则空间．．因此Vx在X中的开邻域X的所有紧致邻定理7.6.2 设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x 域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基．是则x的一个开邻域．设证明 U是x∈X令D为的一个紧致邻域,闭使得．Vx,X的一个开邻域．x因为是正则空间所以存在的开邻域页26 共** 页22 第以上证并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的．集是x的一个闭邻域,中包含着某一个紧致邻域的任何开邻域U．明了在x:从前面两个定理立即可以推出的所是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X．则点xX推论7.6.3 设处的一个邻域基．有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间．定理是一个完全正则空间我们验证X设X是一个局部紧致的正则空间．证明:如下由的一个开邻域．使得是B和是X中的一个闭集,x设x∈X 的一个子空间是使得XV作为7.6.2,定理存在x的一个紧致闭邻域V,．因此是完全正则的．因而存在连续映射),(正则是可遗传的紧致的正则空间g(y)=1．g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有定义映射hh:是一个连续映射使得．显然 f:X→[0,1],使得对于任何z∈X定义映射因为如果,f首先,映射的定义是确切的其,则有g(z)=1=h(z)．f(x)=0,显。

《点集拓扑》～畅想系列本文作者：鲍祥平注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。

本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张祖景，熊金城。

由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。

点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。

其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。

这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。

拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。

由于点集拓扑学发展较晚，里面很多理论，观点都不是很成熟，本文遵循客观规律，对点集拓扑学做部分更改，水平有限。

第一章：关系与映射第一节集合及其运算集合论的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。

朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在数学理论中得到了广泛的运用。

集合的定义：① 公认定义：具有共同归属的对象的全体称为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。

（集合的归属性指的是元素满足该集合的要求），我把该定义中的属性改成了归属，一个定义必须文字表达要准确，属性和归属性是两个完全不同的概念，这里用归属性比较恰当。

例如：三个没有共同属性的正交向量,,组成的集合{},,，很显然只能用归属性定义集合，否者就会有矛盾，产生悖论。

② 个人（本人）定义：我们在各种或者所有对象中按照某种要求进行抽样，把抽出的对象集中起来作为一个群体来研究，因此把所有符合或者满足要求的具有相同归属性的个体称为集合。

完整word版点集拓扑讲义连通性学习笔记4章连通性第局部连通性和弧连本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别通性，并且涉及某些简单的应用．一些互不同胚的空间．连通空间§4.1:本节重点掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．）l（0，我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间）20，）∪［l，2）＝（，和［12），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1），1，2），它们的并（00却是一个“整体”；而另外两个区间（，1）和（1）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一，2∪（1）中；而对于后一种情形，两2在［1，种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．X中的两个子集．如果A和B是拓扑空间定义4.1.1 设B是隔离的．A则称子集和页29 共* 页1 第同时成立，也就是明显地，定义中的条件等价于和B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．说，A与）2）和（1，应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1 不是隔离的．[1，2)是隔离的，而子集（0，l）和又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．和A是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集定义4.1.2 设X 是一个连通空间．是一个不连通空间；否则，则称XB使得X=A∪B，则称X显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．是一个拓扑空间．则下列条件等价：设X定理4.1.1是一个不连通空间；）X（l 成立；A∪B＝A∩B=X和中存在着两个非空的闭子集（2）XA和B使得B使得A∩B=成立；A∪B＝X和3（）X中存在着两个非空的开子集A和X中存在着一个既开又闭的非空真子集．（4）中的两个非空的设（条件（l）蕴涵（2）:1）成立．令A和B是X证明，显然，并且这时我们有A∩B=隔离子集使得A∪B＝X中的一个闭子集．这证明也是一个X是X中的一个闭子集；同理A因此B 2）中的要求．和B满足条件（了集合A）中的要求，所2B 满足条件（A）蕴涵（3）．如果X的子集和条件（2AB也是开集，所以和A、AB为闭集，则由于这时有A＝B=，因此、以）中的要求．也满足条件（和B3页29 共* 页2 第条件（3）蕴涵（4）．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所B=易见A和B都是AX＝和中的闭集，因此A、B以A、B 是开集，则由中既开又闭的真（∵A、B≠，A∪B=X，∴A、B≠X）子集，所以条件（4是X）成立．B=．则A．令（l）．设X中有一个既开又闭的非空真子集条件（4）蕴涵A和B 都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l）成立．例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间．证明我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.1，在R中有两个非空闭A∩B=和A∪B＝R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性B集A和使得和中的两个非空闭=A∩[a,b]，和是=B∩[a,b]．．可设a ＜bR令于是成立．集合b]，并且使得∩==[a和集分别包含∪a和b有上界，，并且因此可见＜∈b是一个闭集，所以，故有上确界，设为．由于b]（矛盾．∩将导致b，因为＝b因此b∈=∩．由，，而这与∈=于∈矛盾．是一个闭集，所以．这又导致，也与∩∩定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集．页29 共* 页3 第拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即．因此，如果，则Y是X)Y的连通与否与X的连通与否没有关系．的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，BY．则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集．因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B 使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．A在Y，分别表示X 证明中的闭包．因为用、因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B 使得YAUB，则或者YA，或者YB．AUB，则证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y因此根据定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果B∩Y ＝，同理可见YA．BY，据上式立即可见，如果A∩Y= X是拓扑空间满足条件X的一个连通子集，ZY4.1.5 定理设的一个连通子集．也是Z．则X页29 共* 页4 第证明假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B，因此YAUB．由于Y是连通的，根据定理4.1.4，或者YA． , 或者YB,同理．这两种情形都与假设矛盾．设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果定理4.1.6是X的一个连通子集．，则使得X中的两个隔离子集，A和B是＝A∪B．，任意选取证明设，由于∈Γ，不失一般性，设连通，根据x∈A．对于每一个γx∈者或理4.1.4；由于，以∩A，所x∈定或者这就证明了，是连通的．．根据定理4.1.3定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x，y∈Y存，y∈Y，则Yx是中的一个连通子集在XX 中的一个连通子集．使得Y≠证明如果是连通的．下设Y=，显然任意选取a∈Y，容易验Y,a ∈．应用定理4.1.6，可见并且Y证Y＝是连通的．所2拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质我们曾经说过，（参见§2．）．乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间谓拓扑不变性质，所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．页29 共* 页5 第拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．以下定理4.1.8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．定理4.1.8 设f:X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射．则f（X）是Y的一个连通子集．证明如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A）和（B）是X的非空子集，并且和B使得f（X）＝A∪B．于是（A（B）是A所以X）和的非空隔离子集．此外，（=(f(X))=X ）＝A（A∪B））∪B （（这说明X不连通．与定理假设矛盾．页29 共* 页6 第拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n＞0个拓扑空间，蕴涵着积空间也具有性质pp．都具有性质都是离散空间（平庸空例如，容易直接证明，如果拓扑空间也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说间），则积空间拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质．根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p 是一个拓扑不变性质．为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间．则积空间也n 个连通空间．是设定理4.1.9．是连通空间根据前一段中的说明，我们只要对于证明n=2的情形加以证明．两个点有一个坐标相首先我们指出：如果y x同，则有一个连通子集同时包含和不失一般性，设： k定义映射使得对于任何．有由于是取常值的映射，为恒同映射，页29 共* 页7 第个坐标空间的和第2分别是到第它们都是连续映射，1其中k(k是一个连续映射．根据定理4.1.8，是连通的．此外易)投射．因此，．，因此它同时包含x和y见，同时现在来证明：中任何两个点的某一个连通子集．这是因为这时若令，则属于可见有根据前段结论，同时包含x和z，也有的一个连通子集，z∈，因此根据定理y和z．由于4.1.6同时包含的一个连通子集y．是连通的，它同时包含x和可见于是应用定理4.1.7是一个连通空间．又是一R的笛卡儿积，而实数空间因为n维欧氏空间是n个实数空间R维欧氏空间个连通空间，所以应用这个定理可见，是一个连通空间． n作业:．．6．814． P116 3．5连通性的某些简单应用§4.2本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.页29 共* 页8 第掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，则有[a，b]={x∈R|a≤x≤b}E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：（-∞，∞），（a，∞），［a，∞），（-∞，a），(-∞，a］（a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果E R是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将E归入以上9类之一在定理4．1．2中我们证明了实数空间R是一个连通空间．因为区间（a，∞），（－∞，a）和（a，b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于根据定理4．1．5可见区间[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是连通的．另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E,也就是说,存在a<c通综合以上两个方面，我们已经证明了：页29 共* 页9 第定理4.2.1 设E是实数空间R的一个子集．E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间．定理4.2.2 设X是一个连通空间，f:X→R是一个连续映射．则f(X)是R中的一个区间．因此，如果x，y∈X，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)≤f(y)时，f(x)≤t≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t≤f(x))，存在z∈X 使得f(z)=t．证明这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4.2.1的明显推论．以下证明第二段．设x，y∈X．如果f（x）＝f（y），则没有什么要证明的．现在设f（x）≠f（y），并且不失一般性，设f（x）＜f（y）．由于f（X）是一个区间，所以［f（x），f（y）］f（X）．因此</c。

！！！！！！！！！！！！第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．§3.1子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×YX×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的n维单位球面:n维单位开、闭球体:以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）．定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y．证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为半径的球形邻域为，.首先指出：有=∩Y.这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε.现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是！！！！！！！！！！！！设，∴U=V∩Y另一方面，设U＝V∩Y，其中V∈．如果y∈U，则有y∈Y和y∈V．,有按照定理3.1.1的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务．定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合．集族{A∩Y|A∈A}称为集族A 在集合Y上的限制，记作引理3.1.2 设Y是拓扑空间（X，T)的一个子集．则集族是Y的一个拓扑．证明我们验证满足拓扑定义中的三个条件：（1）由于X∈T和Y=X∩Y，所以Y∈；由于∈T,=∩Y,所以∈（2）如果A，B∈，即于是（3）如果是集族的一个子集族，即对于每一个A∈，定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集．Y的拓扑称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y，，）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间．我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X的拓扑而言的相对拓扑．此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．假设Y是度量空间X的一个子空间．现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑．事实上定理3.1.1已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的．下面把这层意思重新叙述一遍．定理3.1.3 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间．定理3.1.4 设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y是X的一个子空间，Z是Y 的一个子空间，则Z是X的一个子空间．证明当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有；并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是（）={U∩Y|U∈T}={U∩Y∩Z|U∈T}={U∩Z|U∈T}=因此Z是X的一个子空间．定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则（l）分别记T和为X和Y的拓扑，则=；（2）分别记F和为X和Y的全体闭集构成的族，则=；！！！！！！！！！！！！（3）分别记和y为点y在X和Y中的邻域系，则y= ．证明（1）即是子空间和相对拓扑的定义．（2）成立是因为：={(X-U)∩Y|U∈T}={Y-U∩Y|U∈T}=（3）设则，因此存在使得V＝∩Y,令,由于并且＝V∪U＝U所以U∈.以上证明．类似的论证指出定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集．则（1）A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交；（2）A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交．证明为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为d（A）和；而记A在Y中的导集和闭包分别为（A）和（A）．（l）一方面，设y∈（A）．则对于y在X中的任何一个邻域U，根据定理 3.1.5，U∩Y是y在Y中的一个邻域，所以因此y∈d（A）．此外当然有y∈Y．所以y∈d(A)∩y．这证明(A)d（A）∩Y．另一方面，设y∈d(A)∩Y,所以y∈(A)．这证明d（A）d（A）∩Y．（2）成立是因为(A)=A∪(A)=A∪(d(A)∩Y)=(A∪d(A))∩(A∪Y)=∩Y 定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则（1）如果B是拓扑空间X的一个基，则是子空间Y的一个基；（2）如果是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则是点y在子空间Y中的一个邻域基．证明（1）设B是X的一个基．对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得U=V∩Y；存在B的一个子族,使得V＝．因此U＝由于上式中的每一个B∩Y是中的一个元素，所以在上式中U 已经表示成了中的某些元素之并了．因此是Y的一个基．（2）证明（略）．“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分．这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味,然而我们在§2．2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间．在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：！！！！！！！！！！！！定义3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚．如果存在一个嵌入f: X→Y，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y．事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚．换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”Y 的一个子空间．不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去；反之，一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去．欧氏平面中的单位圆周是否可以嵌入到实数空间（即直线）中去呢？这个问题我们到第四章中再作处理．本书中我们还会涉及一些比较深刻的嵌入定理．本节关键:掌握拓扑空间中的子集(这里称为子空间)的开集、闭集、闭包、导集”长”得什么模样．作业:P95 1.2.5.7.§3.2（有限）积空间本节重点:掌握乘积空间的度量与拓扑的定义．掌握积拓扑的基与子基的结构．掌握投射的定义与性质．掌握定理3.2.7与定理3.2.9的作用．给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空间中的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果x=,y=,则x与y的距离定义为其中是R中的两个点的通常距离．这种定义方式推广到有限个度量空间的笛卡儿积中去不会产生任何困难．！！！！！！！！！！！！定义3.2.1 设是n≥1个度量空间．令X＝．定义ρ：X×X→R使得对于任何x=y=∈X，容易验证ρ是X的一个度量．（请自行验证，注意验证中要用到2．1节附录中的Schwarz引理）我们称ρ为笛卡儿积X＝的积度量；称度量空间（X，ρ）为n个度量空间的度量积空间．根据上述定义明显可见，n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间，先来考察积度量所诱导出来的拓扑有什么样的性质，以便使我们得到在拓扑空间中应该如何引出积空间的概念的启示．定理3.2.1 设是n＞0个度量空间，（X，ρ）是它们的积空间．又设和分别是由度量和ρ所诱导出来的和X的拓扑，其中i＝l，2，…，n．则X的子集族:B={| i=1,2,…n}是X的拓扑的一个基．证明：我们仅就n=2的情形加以证明．首先根据积度量的定义容易得到（请自行验证）：对于任意x=∈X 和任意ε＞0，我们有：设∈B,其中分别是中的开集．如果x=∈则其中ε=min{}．这说明．由于x是中的任意一个点，因此．这证明了这就是说，X中的每一个开集是B中的某些元素的并．这完成了B是的一个基的证明．一般情形的证明是完全类似的，请读者自己补证．在定理3.2.1的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念．定理3.2.2 设是n≥1个拓扑空间．则X＝有惟一的一个拓扑T以X的子集族B={| ,i=1,2,…n} 为它的一个基．证明我们有：（1）由于X＝∈B所以！！！！！！！！！！！！（2）如果,∈B，其中，i＝1，2，…，n，则（,）∩()＝应用第二章中的定理2．6．3可见本定理的结论成立．定义3.2.2 设是n≥1个拓扑空间．则X＝的以子集族B={ | ,i=1,2,…n}为它的一个基的那个惟一的拓扑T称为拓扑的积拓扑，拓扑空间（X，T）称为拓扑空间的（拓扑）积空间．设是n≥1个度量空间．则笛卡儿积X＝可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后再由积度量诱导出X 的拓扑；另一是先用每一个的度量诱导出的拓扑，然后再将X考虑作为诸拓扑空间的拓扑积空间．定理3.2.1实际上已经指出这两种拓扑是一致的，现将这一点明确陈述如下：定理3.2.3 设X＝是n≥1个度量空间的度量积空间．则将X和都考虑作为拓扑空间时，X是的（拓扑）积空间．特别地，作为拓扑空间，n维欧氏空间便是n个实数空间R的（拓扑）积空间．定理3.2.4 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，对于每一个i＝1，2，…，n，拓扑空间有一个基．则X的子集族={|,i=1,2,…n}是拓扑空间X的一个基．证明设为的拓扑，i＝1，2，…，n．令B如积拓扑的定义中的积拓扑的那个基．为证明是积空间X的一个基，只需证明B中的每一个元素均可以表示为中的某些元素的并．为证此，设∈B,其中．由于是的一个基，故对于每一个i，存在使得于是其中D={|,i=1,2,…n}这就完成了我们所需的证明．例3.2.1 由于实数空间R有一个基由所有的开区间构成，故应用定理3.2.4立即可见，n维欧氏空间中的所有开方体构成的一个基．特别地，欧氏平面有一个基由所有的开矩形构成．定理3.2.5 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间．令T为X的拓扑，为的拓朴，i=1，2，…，n．则X以它的子集族！！！！！！！！！！！！为它的一个子基．其中，对于每一个i，映射：X→是笛卡儿积X到它的第i个坐标集的投射．证明我们仅证明n＝2的情形．首先注意，对于任何有根据积空间的定义，是它的一个基．令为的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即由于显然有，综上我们有．明显地，是X的一个基．因此，是X的一个子基．一般情形的证明是完全类似的，留给读者自己补证定理3.2.6 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，则对于每一个i＝l，2，…，n，笛卡儿积X到它的第i个坐标集的投射：X→是一个满的连续开映射．证明显然是一个满射．对于X中每一个开集，根据定理3.2.5，是X的某一个子基的元素，所以必定是X中的一个开集．这证明的连续性．令B为积拓扑定义中X的那个基．由于一族集合的并的象等于先求这一族集合中每一个集合的象然后再求并（参见定理1．6．3），所以为了证明是一个开映射，只需验证B中每一个元素的象是中的开集即可；然而这是显然的，因为如果分别是中的开集，则是X 中的一个开集．例3.2.2 积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射．例如考虑欧氏平面到它的第一个坐标空间R的投射．容易验证集合是中的一个闭集，然而（B）＝R-{0}却不是R中的闭集．定理3.2.7 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间．又设Y也是一个拓扑空间．则映射f:Y→X连续当且仅当对于每一个i＝1，2，…，n，复合映射f:Y→连续，其中，：X→Y是积空间X对于第i 个坐标空间的投射．证明根据定理3.2.6，每一个投射连续，所以当f连续时，每一个f连续．另一方面，假设对于每一个i=1，2，…，n，复合映射f:Y→连续．X 的子基（参见定理3.2.5）中的每一个元素的f原象是Y中的一个开集．根据定理2．6．5可见f连续．下面的定理3、2．8说明积拓朴的一个重要特性定理3.2.8 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，T是X的积拓朴，设是X的某一个拓扑满足条件：对于X的拓扑而言，！！！！！！！！！！！！从X到它的第i个坐标空间的投射：X→是连续映射，i=1，2，…，n．则换言之，积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑．证明(略)定理3.2.9 设是n＞1个拓扑空间．则积空间同胚于积空间．证明设根据定理3.2.6，所有这些投射都是连续的．定义映射k：使得对于任何∈，k＝容易验证k是一个—一映射．为证明映射k连续，根据定理3.2.7，只要证明映射和连续．映射:是连续的，这是因为对于每一个j ＝l，2，…，n－l，映射连续，此外也连续．通过完全类似的证明也可见连续．因此k是一个同胚．在定理3.2.9中，尽管和作为集合可以是完全不同的，但这个定理告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，那么这两个拓扑空间却是一样的．这个定理还告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，有限个拓扑空间的积空间可以通过归纳的方式予以定义．(即要证的某个定理时只须证明n=2的情形即可)作业:P104 1． 5． 6(1)．§3.3商空间本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”！！！！！！！！！！！！起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．定义3.3.1 设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族．是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f 而言的）商拓扑．容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中F Y是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集．定理3.3.1 且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则（1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射；（2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．证明（1）根据定义自明．（2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明．定义3.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．定理3.3.2 设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续．证明由于商映射f连续，故当g连续时g f连续．另一方面，设g f连续，若W∈，则．然而所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续．为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．定义3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．！！！！！！！！！！！！证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．反之，如果V∈，则，由于f是一个开的满射，所以，因此．从而,．综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f是闭映射的情形时，证明是类似的．定义3.3.4 设（X，T）对是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p：X→X/R而言的）商拓扑称为X／R的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，）称为拓扑空间（X，T）的（相对于等价关系R而言的）商空间．如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X→X／R是一个商映射．通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子．例3.3.1 在实数空间R中给定一个等价关系={（x，y）∈|或者x，y∈Q；或者x，y Q}所得到的商空间R/实际上便是由两个点构成的平庸空间．（请读者自行验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系有时是很麻烦的，我们经常采用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/说成是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”．例3.3.2 在单位闭区间I＝[0,1]，中给定一个等价关系～={（x，y）∈|或着x＝y，或者{x，y}={0,1}}，我们便得到了一个商空间［0，1］/～．由于与例3.3.l中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间与单位圆周同胚．类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点（0，x）和（1，x）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点（0，x）和（1，1-x）粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．作业:P109 1．2．5．本章总结：本章的学习重点是§3.1．难点也是它．也就是说,今后若遇到有关X空间的子集的各种概念时,指的都是子空间的各种概念,概念中涉及到的开集、闭集、导集、闭包等均指的是子空间的开集、闭集、导集、闭包，它们与X 空间的开集、闭集、导集、闭包不相同（见引理3.1.2,定理3.1.5,3.1.6)．一定要记住这一点．本章的§3.2与§3.3是作为应理解的知识,理解就行．！！！！！！！！！！！！########################。

点集拓扑学教案为开设数学专业本科自学考试及宁德师专数学系数学教育专业“点集拓扑”课程,按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章编写的教案。

自考生授课30学时,专科生授课45学时。

教学内容与进度安排如下。

章节自考生授课主要内容时数1朴素集合论22.1-2.3度量空间、拓扑空间、连续映射、邻域42.4-2.7闭集闭包、内部、边界、基、序列43子空间、积空间、商空间34连通、连通分支、局部连通、道路连通35第一、二可数性、可分性、Lindelöf性36.1-6.4各种分离性公理T0-T436.5-6.6分离公理的运算保持、Urysohn度量化定理27.1-7.3紧致性、分离性及R n中的紧致子集37.4-7.5各种紧致性、度量空间中的紧致性27.6局部紧致空间、仿紧致空间1章节专科生授课主要内容时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论5习题课时11.1集合、映射与关系21.2无限集、选择公理2二拓扑空间与连续映射14习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射22.3邻域与邻域系1不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包3不讲例2.4.4,定理2.4.8 2.5内部、边界12.6基与子基1部分证明定理 2.6.3,邻域基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列1三子空间、有限积空间、商空间5习题课时13.1子空间 1.5嵌入在6.6中介绍3.2积空间 1.53.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性6习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支0.54.4局部连通空间14.5道路连通空间0.5道路连通分支不讲五有关可数性的公理5习题课时15.1第一与第二可数性公理25.2可分空间1定理5.2.1不讲5.3Lindelöf空间1六分离性公理8习题课时26.1T0、T1、Hausdorff空间 1.56.2正则、正规、T3、T4空间1例6.2.2讲部分6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理0.5不讲定理6.3.1,6.3.4的证明6.4完全正则空间,Tychonoff空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时3(含总复习)7.1紧致性 2.5定理7.1.6讲部分7.2紧致性与分离性公理0.5引理7.3.2用分析中的结论7.3n维欧氏空间R n中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系 1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间,仿紧致空间1定理7.6.8不讲第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.一.集合的运算幂集P(X),交∩、并∪、差－(补,余CA,A').运算律:De Morgan律:(1)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(2)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并,如记A i.A1∪A2∪…∪A n=(A1∪…∪A n-1)∪A n=∪i≤n A i=∪ni=1规定0个集之并是∅,不用0个集之交.二.关系R是集合X的一个关系,即R⊂X×X,(x,y)∈R记为xRy,称x与y是R相关的.R称为自反的,若∀x∈X,xRx;R称为对称的,若xRy,则yRx;R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.等价关系:自反、对称、传递的关系.如, Δ(X)={(x, x)|x∈X},恒同关系,它是等价关系;{(x,y)|x,y∈R,x<y},小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系,∀x∈X,x的R等价类或等价类[x]R或[x]为{y∈X|xRy},[x]R的元称为[x]R的代表元;商集X/R={[x]R|x∈X}.定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系,则(1)∀x∈X,x∈[x]R;(2)∀x,y∈X,或者[x]R=[y]R,或者[x]R∩[y]R=∅.证(2).设z∈[x]R∩[y]R,则zRx,zRy,于是[x]R⊂[y]R且[y]R⊂[x]R,于是[x]R=[y]R.三.映射函数f: X→Y. ∀A⊂X,f(A)={f(x)|x∈A}像;∀B⊂Y,f-1(B)={x∈X|f(x)∈B}原像.满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射i X、限制f|A、扩张、内射i X|A: A→X.X i={(x1,…,x n)|x i∈X i,i≤n}到第i个坐标集集合X i,i≤n,笛卡儿积X1×X2×…×X n= Пi≤n X i=Пni=1X i的投射p i:X→X i定义为p(x)=x i,其中x=(x1,…,x n).对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射p:X→X/R定义为p(x)=[x]R.四.集族数列{x n}={x n}n∈Z+,有标集族{Aγ}γ∈Γ,指标集Γ,与{Aγ|γ∈Γ}不同,可记有标集族A={A}A∈A;类似地,定义其并∪γ∈ΓAγ(或∪A)、交∩γ∈ΓAγ(或∩A),不定义0个集的交.与有限集族有相同的运算律,如De Morgan律A-(∪γ∈ΓAγ)=∩γ∈Γ(A-Aγ),A-(∩γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γ(A-Aγ).映射对应的集族性质:f(∪γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γf(Aγ),f(∩γ∈ΓAγ)⊂∩γ∈Γf(Aγ),f-1(∪γ∈ΓBγ)=∪γ∈Γf-1(Bγ),f-1(∩γ∈ΓBγ)=∩γ∈Γf-1(Bγ).五.无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(∅或与某{1,2,…,n}有一一映射),无限集,可数集(∅或存在X到Z+的单射),不可数集.易验证:有限集是可数集,可数集的子集是可数集,可数集的映像是可数集.定理1.7.3X是可数集⇔X是Z+的映像.由此,Q是可数集,两可数集的笛卡儿积集是可数集,可数个可数集之并集是可数集.定理1.7.8R是不可数集.利用Cantor对角线法证明开区间(0,1)中的实数不可数.直观上,集合A中元素的个数称为该集合的基数,记为card A,或|A|.|Z+|=ℵ0,|R|=ℵ.若存在从集合A到集合B的单射,则定义|A|≤|B|.连续统假设:不存在基数α,使得ℵ0<α<ℵ.选择公理:若A是由非空集构成的集族,则∀A∈A,可取定ε(A)∈A.由选择公理可证明,若α,β是基数,则下述三式中有且仅有一成立:α<β,α=β,α>β.第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.§2.1度量空间与连续映射在R 上,|x-y|表示点x 与y 之间的距离.绝对值是一非负函数,具有三条重要性质.定义2.1.1设X 是一集合,ρ:X ⨯X →R .如果ρ满足正定性、对称性和三角不等式,则称ρ是X 的一个度量.(X,ρ)称为度量空间,ρ(x,y)表示两点x,y 之间的距离.例2.1.1实数空间R .ρ(x,y)=|x-y|,R 的通常度量.例2.1.2n 维欧氏空间R n =R ⨯R ⨯…⨯R .对于x ∈R n,记x=(x i ).定义ρ(x,y)=∑=n1i 2i i )y -(x ,R n 的通常度量,n 维欧氏空间.R 2称为欧氏平面或平面.例2.1.3Hilbert 空间H .H ={x=(x 1,x 2,…)|x i ∈R ,i ∈Z +;∑∞=1i 2ix <∞}.定义ρ(x,y)=∑∞=1i 2i i )y -(x ,则度量空间(H ,ρ)称为Hilbert 空间.例2.1.4离散度量空间.度量空间(X,ρ)称为离散的,若∀x ∈X,∃δx >0,使得不存在X 中的点y ≠x,满足ρ(x,y)<δx .如对集合X,按如下方式定义ρ:X ⨯X →R 是X 上的离散度量:⎩⎨⎧≠==y.x 1,y,x 0,y)(x,ρ定义2.1.2设(X,ρ)是度量空间.B(x,ε)={y ∈X |ρ(x,y)<ε}称为以x 为心,ε为半径的球形邻域,或ε邻域,或球形邻域.对(R ,|.|),B(x,ε)=(x-ε,x+ε).定理2.1.1度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质:(1)∀x ∈X,ε>0,x ∈B(x,ε);(2)∀x ∈X,ε1,ε2>0,∃ε>0,使B(x,ε)⊂B(x,ε1)∩B(x,ε2);(3)若y ∈B(x,ε),∃δ>0使B(y,δ)⊂B(x,ε).证(2)0<ε<min{ε1,ε2};(3)δ=ε-ρ(x,y),则B(y,δ)⊂B(x,ε).定义2.1.3X的子集A称为(X,ρ)的开集,若∀a∈A,∃ε>0,使B(a,ε)⊂A.每一球形邻域是开集.例2.1.5R中的开区间是开集.∀x∈(a,b),让ε=min{x-a,b-x},则B(x,ε)⊂(a,b).同样可证,无限开区也是开集.闭区间[a,b]不是开集.定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质:(1)X,∅是开集;(2)两开集的交是开集;(3)任意开集族之并是开集.证(1)由定理2.1.1(1);(2),(3)由定理2.1.1(2).定义2.1.4设X是度量空间,x∈X,U⊂X.U称为x的邻域,若∃开集V,使x∈V⊂U.定理2.1.3U是X中点x的邻域⇔∃ε>0,使B(x,ε)⊂U.定义2.1.5设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,称f在x0连续,若∀f(x0)的球形邻域B(f(x0),ε)(∀ε>0),∃x0的球形邻域B(x0,δ)(∃δ>0),使f(B(x0,δ))⊂B(f(x0),ε)(当ρX(x,x0)<δ时,ρY(y,f(x0))<ε).称f在X连续,若f在X的每一点连续.定理2.1.4设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,那么(1)f在x0连续⇔若U是f(x0)的邻域,则f–1(U)是x0的邻域;(2)f在X连续⇔若U是Y的开集,则f–1(U)是X的开集.证(1)利用定义2.1.5,2.1.4.(2)“⇒”f–1(U)是每一点的邻域.“⇐”证每一点连续,利用(1).由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.§2.2拓扑空间与连续映射定义2.2.1设T是集合X的子集族,若T满足:(1)X,∅∈T;(2)∀A,B∈T⇒A∩B∈T;(3)∀T1⊂T,∪T1∈T;称T是X的一个拓扑.(X,T)是拓扑空间,T的元称为X的开集.空间X的拓扑是X的全体开集的族.定义2.2.2(X,ρ)度量空间.Tρ由X的所有开集构成的族.(X,Tρ)称为由度量ρ诱导出的拓扑空间.简称Tρ为度量拓扑.度量空间⇒拓扑空间.例2.2.1平庸拓扑T={X,∅}.平庸空间.例2.2.2离散拓扑T=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.∪∅}.例2.2.4有限补拓扑T={U⊂X|U'是X的有限子集}{验证T是X上的拓扑.(1)显然.(2)∀A,B⊂X,讨论A∩B时分两种情形,一是A,B中有一是∅,二是A,B都不是∅.(3)设T1⊂T,不妨设∃∅≠A0∈T1,利用De Morgan律.有限补空间.∪∅}.例2.2.5可数补拓扑T={U⊂X|U'是X的可数子集}{定义2.2.3可度量化空间.离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一.本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解.定义2.2.4X,Y是两拓扑空间.f:X→Y.称f连续,若Y中每一开集U的原象f-1(U)是X中的开集.定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.定义2.2.5f:X→Y称为同胚或同胚映射,若f是一一映射且f及f-1均连续.定义2.2.6称两空间X与Y同胚,或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.定理2.2.2(2.2.3)恒同映射同胚(X与X同胚);f同胚⇒f-1同胚(若X与Y同胚,则Y与X同胚);同胚的复合是同胚(若X与Y同胚,且Y与Z同胚,则X与Z同胚).空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务:研究拓扑不变性质.抽象化过程:欧氏空间→度量空间→拓扑空间;点距离→度量→开集.§2.3邻域定义2.3.1设(X,T)是拓扑空间.x∈X,U⊂X称为x的邻域,如果存在V∈T使x∈V⊂U;若U 是开的,U称为x的开邻域.定理2.3.1设U⊂X.U是X的开集⇔U是它的每一点的邻域.证由定义得“⇒”;利用开集之并为开得“⇐”.x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系,记为U x.定理2.3.2U x的性质:(1)X∈U x;∀U∈U x,x∈U;(2)U,V∈U x⇒U∩V∈U x;(3)U∈U x且U⊂V⇒V∈U x;(4)U∈U x⇒∃V∈U x使V⊂U且∀y∈V,V∈U y.证由定义2.3.1得(1);由开集的交是开集得(2);由定义2.3.1得(3);取V为满足x∈V⊂U的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论,显得自然,但不流行.利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集,从U x(∀x∈X)具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发,定义T={U⊂X|∀x∈U,U∈U x},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一点x的邻域系恰是U x.详见定理2.3.3.定义2.3.2(点连续)映射f:X→Y称为在点x∈X连续,如果U是f(x)在Y中的邻域,则f-1(U)是x在X中的邻域.定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.另一方面,关于点的连续性,易验证(定理 2.3.4),恒等映射在每一点连续,两点连续的函数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理2.3.5设f:X→Y. 则f连续⇔f在每一x∈X连续.证“⇒”若U是f(x)的邻域,∃开集V使f(x)∈V⊂U,x∈f-1(V)⊂f-1(U).“⇐”若U是Y的开集,∀x∈f-1(U),U是f(x)的邻域,f-1(U)是x的邻域,所以f-1(U)在X中开.§2.4导集、闭集、闭包定义2.4.1设A⊂X.x称为A的聚点(凝聚点,极限点),如果x的每一邻域U中有A中异于x 的点,即U∩(A-{x})≠∅.A的全体聚点之集称为A的导集,记为d(A).x称为A的孤立点,若x不是A的聚点,即存在x的邻域U使U∩(A-{x})=∅,即U∩A⊂{x}.例2.4.1X是离散空间.若A⊂X,则d(A)=∅.∀x∈X,取U={x},则U∩A⊂{x},所以x∉d(A).例 2.4.2X是平庸空间,A⊂X.若A=∅,则d(A)=∅;若|A|=1,则d(A)=X-A;若|A|>1,则d(A)=X.对于x∈X,若U是x的邻域,则U=X,于是U∩(A-{x})≠∅⇔A-{x}≠∅⇔A⊄{x},由此,易计算d(A).定理2.4.1A,B⊂X,则(1)d(∅)=∅;(2)A⊂B⇒d(A)⊂d(B);∪∪;(3)d(A B)=d(A)d(B)(4)d(d(A))⊂A d(A).∪证由定义2.4.1得(1)和(2).∪分别存在x的邻域U,V使得关于(3).由(2)得d(A)∪d(B)⊂d(A B)∪.设x∉d(A)d(B),∪)⊂{x}.U∩A⊂{x},V∩B⊂{x},令D=U∩V,则D∩(A B∪存在x的邻域U,使得U∩A⊂{x},取x的开邻域V⊂U,则V∩A=∅,关于(4).设x∉A d(A),∀y∈V,V∩(A-{y})=∅,y∉d(A),V∩d(A)=∅,x∉d(d(A)).定义2.4.2A⊂X称为X的闭集,如果d(A)⊂A.定理2.4.2A闭⇔A'开.证“⇒”∀x∈A',由于d(A)⊂A,存在x的邻域U使U∩A=∅,于是U⊂A'.“⇐”∀x∈A',A'∩A=∅, x∉d(A),所以d(A)⊂A.例2.4.3R的闭区间是闭集.∪+∞)开集.(a,b)不是闭集,因为a是聚点.[a,b]'=(-∞,a)(b,定理2.4.3记F是空间X的全部闭集族,则(1)X,∅∈F;(2)A,B∈F⇒A B∪∈F;(3)∅≠H⊂F⇒∩H∈H H∈F.证利用De Morgan定律及拓扑的定义.F={U'|U∈T}.直接验证可得(1)、(2).(3)令U={H'∣H∈H}.则∪H∈H H'∈T,从而∩H∈H H=∩H∈H H''=(∪H∈H H')'∈F.Cantor集(例2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子,它说明R中的闭集可以是很复杂的,在此不介绍.∪称为A的闭包,记为A,A-或c(A).定义2.4.3A d(A)定理2.4.5对A,B⊂X,有(1)∅-=∅;(2)A⊂A-;(3)(A∪B)-=A-∪B-;(4)(A-)-=A-.∪∪∪∪∪∪A-∪B-.证(3)(A∪B)-=A B d(A B)=A d(A)B d(B)=(4)(A-)-=(A∪d(A))-=A-∪d(A)-=A d(A)d(d(∪∪A))=A-.上述4条确定了闭包运算,称为Kuratowski闭包公理,由此可建立拓扑空间的概念.事实上,记此运算为c(A),定义T={U⊂X|c(U')=U'},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一c(A)=A-,详见定理2.4.8.关于闭包的几个相关结果:(1)x∈A-⇔对x的任一邻域有U∩A≠∅.(定义2.4.3后)(2)d(A)=(A-{x})-.(3)A闭⇔d(A)⊂A⇔A=A-.(定理2.4.4)(4)A-是闭集.(定理2.4.6)(5)A-是包含A的所有闭集之交,是包含A的最小闭集.(定理2.4.7:设F是包含A的所有闭集之交,则A⊂F⊂A-,A-⊂F,所以F=A-.)定义2.4.5(X,ρ)是度量空间.对非空的A⊂X,x∈X,定义ρ(x,A)=inf{ρ(x,y)|y∈A}.定理2.4.9对度量空间(X,ρ)的非空子集A,(1)x∈A-⇔ρ(x,A)=0;(2)x∈d(A)⇔ρ(x,A-{x})=0.证ρ(x,A)=0⇔∀ε>0,∃y∈A,ρ(x,y)<ε⇔B(x,ε)∩A≠∅⇔∀U∈U x, U∩A≠∅⇔x∈A-.定理2.4.10设f:X→Y,则下述等价(1)f连续;(2)若B闭于Y,则f-1(B)闭于X;(3)∀A⊂X,f(A-)⊂f(A)-.证(1)⇒(2)B是Y的闭集,B'是Y的开集,f-1(B')=f-1(B)'是X的开集,f-1(B)是X的闭集.(2)⇒(3)f(A)⊂f(A)-,A⊂f-1(f(A)-),A-⊂f-1(f(A)-),f(A-)⊂f(A)-.(3)⇒(1)设U是Y的开集,U'是Y的闭集且f(f-1(U')-)⊂f(f-1(U'))-⊂U'-=U',f-1(U')-⊂f-1(U'), f-1(U')=f-1(U)'是闭,f-1(U)是开.§2.5内部、边界定义2.5.1若A是x的邻域,则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部,记为A︒.定理2.5.1对A⊂X,A︒=A'-',A-=A'︒'.证x∈A︒,由于A∩A'=∅,于是x∉A'-,从而x∈A'-'.反之,x∈A'-',x∉A'-,∃x的邻域V∩A'=∅, V⊂A,x∈A︒.因此,A︒=A'-'.从而A'︒=A''-'=A-',A︒-=A'︒'.定理2.5.3对A,B⊂X,有(1)X︒=X;(2)A︒⊂A;(3)(A∩B)︒=A︒∩B︒;(4)A︒︒=A︒.证(1)、(2)是显然的.(A∩B)︒=(A'∪B')-'=A'-'∩B'-'=A︒∩B︒.而A︒︒=A'-''-'=A'-'=A︒.关于内部的几个相关结果:(1)A是x的邻域⇔x∈A︒.(2)A︒是开集.(定理2.5.4)(3)A是开集⇔A=A︒.(定理2.5.2)(4)A︒是A所包含的所有开集之并,是含于A内的最大开集.(定理2.5.5)证(2)A︒=A'-'是开集.(3)A开⇔A'闭⇔A'=A'-⇔A=A'-'=A︒.(4)设O是含于A内的所有开集之并,A︒⊂O⊂A,O⊂A︒,所以O=A︒.定义2.5.2x称为A的边界点,若x的每一邻域,既含有A中的点又有A'中的点.A的边界点之集称为边界,记为∂A.定理2.5.6对A⊂X,有(1)∂A=A-∩A'-=∂(A');(2)A-=A︒∪∂A;(3)A︒=A--∂A.∪︒-)=A-.∪'-)=A-∩(A︒A∪-)∩(A︒A∪-∩A'-)=(A︒A证(2)A︒∪∂A=A︒(A(3)A--∂A=A--(A-∩A'-)=A--A'-=A-∩A'-'=A︒.§2.6基与子基度量空间→球形邻域→开集→拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义2.6.1设T是空间X的拓扑,B⊂T,如果T中每一元是B中某子集族之并,称B是X的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理2.6.2设B⊂T.B为X的基⇔∀x∈X及x的邻域U x,∃V x∈B使x∈V x⊂U x.证“⇒”∃开集W x使得x∈W x⊂U x,∃B1⊂B使得W x=∪B1,∃V x∈B1⊂B使x∈V x⊂U x.“⇐”设U∈T,∀x∈U,∃V x∈B使x∈V x⊂U,从而{V x|x∈U}⊂B且U=∪x∈U V x.在度量空间中,所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理2.6.1).所有开区间的族是R的基.定理2.6.3拓扑空间X的基B满足:(i)∪B=X;(ii)∀B1,B2∈B,x∈B1∩B2,∃B3∈B使x∈B3⊂B1∩B2.反之,若集合X的子集族B满足(1)、(2),定义T={∪B1|B1⊂B},则T是X的以B作为基的唯一拓扑.证验证T是X的拓扑.(1)∅=∪∅.(2)先设B1,B2∈B,∀x∈B1∩B2,∃W x∈B使x∈W x⊂B1∩B2,于是B1∩B2=∪{W x|x∈B1∩B2}∈T.如果A1,A2∈T,设A1=∪B1,A2=∪B2,则A1∩A2=∪{B1∩B2| B1∈B1,B2∈B2}∈T.(3)设T1⊂T,∀A∈T1,∃B A⊂B,使得A=∪B A,那么∪T1=∪(∪{B A|A∈T1}).较强于(ii)且易于验证的条件是(ii')∀B1,B2∈B,B1∩B2∈B.例2.6.1实数下限拓扑空间.令B={[a,b)|a,b∈R,a<b},则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间,记为R l.开区间是R l中的开集,因为(a,b)=∪i∈Z+[a+1/i,b).定义2.6.2设(X,T)是拓扑空间,S⊂T.若S的元之所有有限交构成的族是T的基,则称S是T的子基.S的元之有限交构成的族{S1∩S2∩…∩S n S∣i∈S,i≤n∈Z+}.显然,空间X的基是子基.∪-∞,b)b∣∈R}是R的子基.∣∈R}{(例2.6.2S={(a,+∞)a对照定理2.6.3,集合X的子集族S要作为子基生成X上的拓扑的充要条件是∪S=X.(定理2.6.4)映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理2.6.5设X,Y是两拓扑空间,f:X→Y,下述等价:(1)f连续;(2)Y基B,使得B中每一元的原像在X中开;(3)Y有子基S,使得S中每一元的原像在X中开.证(3)⇒(2)设B是S的元之所有有限交构成的族,则B满足(2).(2)⇒(1)设U在Y中开,则U=∪B1,于是f-1(U)=∪{f-1(B)|B∈B1}在X中开.类似地,可定义点的邻域基与邻域子基的概念,同时用它们来验证映射的连续性等.在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.§2.7拓扑空间中的序列可以与R中一样地定义序列、常值序列、子序列,见定义2.7.1,2.7.3.定义2.7.2X中序列x i→x.极限,收敛序列.平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.数学分析中的一些收敛性质还是保留的,如常值序列收敛,收敛序列的子序列也收敛.(定理2.7.1)定理2.7.2A-{x}中序列x i→x⇒x∈d(A).证∀x的邻域U,U∩(A-{x})≠∅,所以x∈d(A).定理2.7.3f在x0连续且x i→x0⇒f(x i)→f(x0).证设U是f(x0)的邻域,则f-1(U)是x0的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈f-1(U),从而f(x i)∈U.上述两定理的逆命题均不成立.例2.7.1设X是不可数集赋予可数补拓扑,则(1)在X中x i→x⇔∃n∈Z+,当i>n时有x i=x;(2)若A是X的不可数子集,则d(A)=X.证(1)的必要性.令D={x i|x i≠x,i∈Z+},则D'是x的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈D',即x i=x.证(2)∀x的邻域U,A-{x}⊄U'(可数集),所以U∩(A-{x})≠∅,x∈d(A).定理2.7.2的逆命题不真.如例2.7.1,取定x0∈X,让A=X-{x0},则x0∈d(A),但A中没有序列收敛于x0.定理2.7.3的逆命题不真.取X是实数集赋予可数补拓扑,让i:X→R是恒等映射,若在X中x i→x,则在R中f(x i)→f(x),但i在x不连续,因为x在R的开邻域(x-1,x+1)的原像i-1((x-1, x+1))=(x-1,x+1)在X中不是开的.定理2.7.4设{x i}是度量空间(X,ρ)中的序列,则x i→x⇔ρ(x i,x)→0.证x i→x⇔∀x的邻域U,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈U⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈B(x,ε)⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有ρ(x i,x)<ε⇔ρ(x i,x)→0.第三章子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法,引入遗传性、可积性、可商性等概念,这些是研究拓扑性质的基本构架.§3.1子空间对于空间X的子集族A及Y⊂X,A在Y上的限制A|Y={A∩Y|A∈A}.(定义3.1.2)引理3.1.2设Y是空间(X,T)的子集,则T|Y是Y上的拓扑.证按拓扑的三个条件逐一验证.如,设T1⊂T|Y,∀A∈T1,∃B A∈T,使得A=B A∩Y,于是∪T1=∪{B A∩Y|A∈T1}=(∪{B A|A∈T1})∩Y∈T|Y.定义3.1.3对Y⊂X,(Y,T|Y)称为(X,T)的子空间,T|Y称为相对拓扑.“子空间”=“子集”+“相对拓扑”.易验证,若Z是Y的子空间,且Y是X的子空间,则Z是X的子空间.(定理3.1.4)定理3.1.5(3.1.7)设Y是X的子空间,y∈Y,则(1)若T,T*分别为X,Y的拓扑,则T*=T|Y;(2)若F,F*分别为X,Y的全体闭集族,则F*=F|Y;(3)若U y,U y*分别为y在X,Y中的邻域系,则U y*=U y|Y;(4)若B是X的基,则B|Y是Y的基.证(2)F*∈F*⇔Y-F*∈T|Y⇔Y-F*=U∩Y,U∈T⇔F*=(X-U)∩Y,U∈T⇔F*∈T|Y.(4)∀U开于Y,∃X的开集V,使得U=V∩Y,∃B1⊂B,满足V=∪B1,则U=∪(B1|Y).在R的子空间(0,+∞)中(0,1]是闭集.定理3.1.6设Y是X的子空间,A⊂Y,则(1)d Y(A)=d X(A)∩Y;(2)c Y(A)=c X(A)∩Y.证(1)y∈d Y(A),∀y在X中的邻域U,U∩(A-{y})⊃(U∩Y)∩(A-{y})≠∅,所以y∈d X(A)∩Y.反之,设y∈d X(A)∩Y,∀y在Y中的邻域V,∃y在X中的邻域U使V=U∩Y,于是V∩(A-{y})=(U∩(A-{y}))∩Y=U∩(A-{y})≠∅,所以y∈d Y(A).∪X(A)∩Y)=(A d∪c X(A)∩Y.∪X(A))∩(A Y)=∪Y(A)=A(d(2)c Y(A)=A d§3.2有限积空间就平面的球形邻域B d(x,ε)而言,我们知道球形邻域内含有方形邻域,方形邻域内含有球形邻域.从基的角度而言,形如B1(x1,ε1)⨯B2(x2,ε2)的集合就是平面拓扑的基了.对于两个拓扑空间X,Y,在笛卡儿积集X⨯Y中可考虑形如U⨯V的集合之全体,其中U,V分别是X,Y的开集.对于有限个空间X1,X2,…,X n,可考虑形如U1⨯U2⨯…⨯U n的集合.定理3.2.2设(X i,T i)(i≤n)是n个拓扑空间,则X=X1⨯X2⨯…⨯X n有唯一的拓扑,以X的子集族B={U1⨯U2⨯…⨯U n|U i∈T i,i≤n}为它的一个基.证验证B满足定理2.6.3的条件(i),(ii').(1)X=X1⨯X2⨯…⨯X n∈B,∪B=X;(2)若U1⨯U2⨯…⨯U n, V1⨯V2⨯…⨯V n∈B,则(U1⨯U2⨯…⨯U n)∩(V1⨯V2⨯…⨯V n)=(U1∩V1)⨯…⨯(U n∩V n)∈B.定义3.2.2以定理3.2.2中B为基生成X1⨯X2⨯…⨯X n上的唯一拓扑,称为拓扑T1,T2,…,T n的积拓扑.(X,T)称为(X1,T1),…,(X n,T n)的(有限)积空间.定理3.2.4设X=X1⨯X2⨯…⨯X n是积空间,B i是X i的基,则B*={B1⨯B2⨯…⨯B n|B i∈B i,i≤n}是积拓扑T的基.证利用定理2.6.2.设x ∈U ∈T ,∃U i ∈T i 使x ∈U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U,∃B i ∈B i 使x i ∈B i ⊂U i ,那么x ∈B 1⨯B 2⨯…⨯B n ⊂U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U.例3.2.1形如(a 1,b 1)⨯(a 2,b 2)⨯…⨯(a n ,b n )的集合构成 n 的基.设(X 1,ρ1),(X 2,ρ2)是两个度量空间.令ρ(x,y)=22222211)y ,x ()y ,x (ρρ+,则ρ是X 1⨯X 2上的度量,导出X 上的度量拓扑T .对于n 个度量空间之积可类似地定义.(定义3.2.1)定理3.2.1度量空间的有限积:积拓扑与度量拓扑一致.验证n=2的情形.易验证B 1(x 1,ε/2)⨯B 2(x 2,ε/2)⊂B(x,ε)⊂B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε),于是每一B(x,ε)是积拓扑的开集,且每一B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε)是度量拓扑的开集,所以导出相同的拓扑.定理3.2.5有限积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 以S ={p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}为子基,其中T i 是X i 的拓扑,p i :X →X i 是投射.仅证n=2的情形.p -11(U 1)=U 1⨯X 2,p -12(U 2)=X 1⨯U 2,所以p -11(U 1)∩p -12(U 2)=U 1⨯U 2∈B .定义3.2.3f:X →Y 称为开(闭)映射,若U 开(闭)于X,则f(U)开(闭)于Y .定理3.2.6p i :X →X i 是满、连续、开映射,未必是闭映射.由于p -1i (U i )=X 1⨯X 2⨯…⨯U i ⨯…⨯X n ,所以p i 连续.由于p i (U 1⨯U 2⨯…⨯U n )=U i ,所以p i 是开的.但是p 1:R 2→R 不是闭的.定理3.2.7设映射f:Y →X,其中X 是积空间X 1⨯X 2⨯…⨯X n .则f 连续⇔∀i ≤n,p i ◦f:Y →X i 连续.证充分性.对X 的子基S ={p -1i (U i )|i ≤n,U i ∈T i },f -1(p -1i (U i ))=(p i ◦f)-1(U i )开于Y .多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理3.2.8积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑.即设T 是积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 的积拓扑,若集合X 的拓扑T *满足:每一投射p i :(X,T *)→X i 连续,则T ⊂T *.证由于{p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}⊂T *,所以T ⊂T *.§3.3商空间回忆,商集X/R,及自然投射p:X →X/R 定义为p(x)=[x]R .问题:设X 是拓扑空间,要在X/R 上定义拓扑,使p 连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形,设(X,T )是拓扑空间且f:X →Y 是满射.赋予集合Y 什么拓扑,使f 连续的最大的拓扑.若f连续,且U是Y的开集,则f-1(U)是X的开集.让T1={U⊂Y|f-1(U)∈T},易验证T1是Y上的拓扑.定义3.3.1(3.3.2)称T1是Y的相对于满射f而言的商拓扑,f:(X,T)→(Y,T1)称为商映射.这时,U在Y中开⇔f-1(U)在X中开;F在Y中闭⇔f-1(F)在X中闭.定理3.3.1商拓扑是使f连续的最大拓扑.证设f:(X,T)→(Y,T1)是商映射.显然,f是连续的.如果T2是Y的拓扑使f:(X,T)→(Y,T2)连续,则∀U∈T2,f-1(U)∈T,于是U∈T1,即T2⊂T1,所以T1是使f连续的最大拓扑.定理3.3.2设f:X→Y是商映射.对于空间Z,映射g:Y→Z连续⇔映射g◦f:X→Z连续.证设g◦f:X→Z连续,∀W开于Z,(g◦f)-1(W)=f-1(g-1(W))开于X,由于f是商映射,所以g-1(W)开于Y,故g连续.定理3.3.3连续,满开(闭)映射⇒商映射.证设f:(X,T X)→(Y,T Y)是连续的满开(闭)映射,T1是Y的相对于f而言的商拓扑,要证T Y= T1.由定理3.3.1,T Y⊂T1.反之,∀V∈T1,f-1(V)∈T X.对于开映射的情形,V=f(f–1(V))∈T Y;对于闭映射的情形,V=Y-f(X-f–1(V))∈T Y,所以总有T1⊂T Y.定义3.3.3设R是空间(X,T)的等价关系,由自然投射p:X→X/R确定了X/R的商拓扑T R,称(X/R,T R)为商空间,这时p:X→X/R是商映射.例3.3.1在R中定义等价关系~:∀x,y∈R,x~y⇔或者x,y∈Q,或者x,y∉Q.商空间R/~是由两点组成的平庸空间.由于Q在R中既是开集,也不是闭集,所以单点集[Q]在R/~中既不是开集,也不是闭集.习惯上,把R/~说成是在R中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例3.3.2在[0,1]上定义等价关系~:∀x,y∈[0,1],x~y⇔或者x=y,或者{x,y}={0,1}.[0,1]/~是在[0,1]中粘合0,1两点所得到的商空间,这商空间同胚于单位圆周S1.第四章连通性本章起的四章介绍4类重要的拓扑不变性质.本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及其在实分析中的一些简单的应用.§4.1连通空间在拓扑中怎样定义连通,分隔区间(0,1),(1,2)的关系与(0,1),[1,2)的关系不同,虽然他们都不相交,但相连的程度不一样.定义4.1.1设A,B⊂X,若A∩B-=A-∩B=∅,则称A,B是隔离的.区间(0,1)与(1,2)隔离,但区间(0,1)与[1,2)不隔离.几个基本事实:(1)两不交的开集是隔离的;(2)两不交的闭集是隔离的;(3)隔离子集的子集是隔离的.定义4.1.2X称为不连通的,若X中有非空的隔离子集A,B使X=A∪B,即X可表为两非空隔离集之并.否则X称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通,平庸空间是连通的.定理4.1.1对空间X,下述等价:(1)X是不连通的;(2)X可表为两非空不交闭集之并;(3)X可表为两非空不交开集之并;(4)X存在既开又闭的非空真子集.证(1)⇒(2)设隔离集A,B之并是X,B-=B-∩(A∪B)=(B-∩A)∪(B-∩B)=B.同理,A也是闭的.(2)⇒(3)设X是两非空不交闭集A,B之并,则X是两非空不交开集A',B'之并.(3)⇒(4)设X是两非空不交开集A,B之并,则A,B都是X的既开又闭的非空真子集.(4)⇒(1)若A是X的开闭集,则A,X-A隔离.例4.1.1Q不是R的连通子空间,因为Q=(Q∩(-∞,π))∪(Q∩(π,+∞)).定理4.1.2R是连通的.证若R不连通,则R是两非空不交Array闭集A,B之并.取定a∈A,b∈B,不妨设a<b.令A*=[a,b]∩A,B=[a,b]∩B,则A*,B*是R两非空不交闭集且[a,b]=A*∪B*.让c=supA*.因A*是闭的,c∈A*,c<b,(c,b]⊂B*.因B*是闭的,c∈B*,从而A*∩B*≠∅,矛盾.定义4.1.3若X的子空间Y是连通的,则称Y为连通子集,否则,称为不连通子集.定理4.1.3设A,B⊂Y⊂X,则A,B是Y的隔离集⇔A,B是X的隔离集.证c Y(A)∩B=c X(A)∩Y∩B=c X(A)∩B;同理,c Y(B)∩A=c X(B)∩A.定理4.1.4设Y是X的连通子集.如果X有隔离子集A,B,使Y⊂A∪B,则Y⊂A或Y⊂B.证A∩Y,B∩Y是Y的隔离集,所以A∩Y=∅,或B∩Y=∅,于是Y⊂B或Y⊂A.定理4.1.5若Y是X的连通子集且Y⊂Z⊂Y-,则Z是连通的.证若Z不连通,∃X的非空隔离集A,B使Z=A∪B⊃Y,于是Y⊂A或Y⊂B,不妨设Y⊂A,那么Z⊂Y-⊂A-,于是B=Z∩B=∅,矛盾.定理4.1.6设{Yγ}γ∈Γ是空间X的连通子集族.如果∩γ∈ΓYγ≠∅,则∪γ∈ΓYγ连通.证若∪γ∈ΓYγ是X中隔离集A,B之并,取定x∈∩γ∈ΓYγ,不妨设x∈A,则∀γ∈Γ,Yγ⊂A,所以∪γ∈ΓYγ⊂A,于是B=∅.定理4.1.7设Y⊂X.若∀x,y∈Y,∃X的连通子集Y xy使x,y∈Y xy⊂Y,则Y连通.证设Y≠∅.取定a∈Y,则Y=∪y∈Y Y ay且a∈∩y∈Y Y ay,所以Y连通.定理4.1.8(连续映射保持)设f:X→Y连续.若X连通,则f(X)连通.证若f(X)不连通,则f(X)含有非空的开闭真子集A.由于f:X→f(X)连续,于是f-1(A)是X的非空开闭真子集.连续映射保持性⇒可商性⇒拓扑不变性.有限可积性.对于拓扑性质P,要证有限可积性,因为X1⨯X2⨯…⨯X n同胚于(X1⨯…⨯X n-1)⨯X n,所以只须证:若X,Y具性质P,则X⨯Y具有性质P.定理4.1.9(有限可积性)设X1,X2,…,X n连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n连通.证仅证若X,Y连通,则X⨯Y连通.取定(a, Array b)∈X⨯Y.∀(x,y)∈X⨯Y,令S xy=(X⨯{y})∪({a}⨯Y),由于X⨯{y}同胚于X,{a}⨯Y同胚于Y,所以X⨯{y},{a}⨯Y都连通且(a,y)∈(X⨯{y})∩({a}⨯Y),由定理4.1.6,S xy连通且(x,y)∈S xy,再由定理 4.1.7,X⨯Y=∪{S xy|(x,y)∈X⨯Y}连通.§4.2连通性的应用利用R连通性的证明(定理4.1.2)知,区间都是连通的.区间有9类：无限区间5类：(-∞,+∞),(a,+∞),[a,+∞),(-∞,a),(-∞,a].有限区间4类：(a,b),[a,b),(a,b],[a,b].定理4.2.1设E⊂R,则E连通⇔E是区间.证若E不是区间,∃a<c<b,使a,b∈E但c∉E.令A=(-∞,c)∩E,B=(c,+∞)∩E,则E是不交的非空开集A,B之并.定理4.2.2设X连通,f:X→R连续,则f(X)是R的一个区间.注∀x,y∈X,如果t介于f(x)与f(y)之间,则∃z∈X,使f(z)=t.事实上,不妨设f(x)≤t≤f(y),则t∈[f(x),f(y)]⊂f(X),所以∃z∈X,使f(z)=t.定理4.2.3(介值定理)设f:[a,b]→R连续,若r介于f(a)与f(b)之间,则∃z∈[a,b]使f(z)=r.定理4.2.4(不动点定理)设f:[0,1]→[0,1]连续,则∃z∈[0,1]使f(z)=z.证不妨设0<f(0),f(1)<1.定义F:[0,1]→R使F(x)=x-f(x),则F连续且F(0)<0<F(1),∃z∈[0,1]使得F(z)=0,即f(z)=z.定义f:R→R2为f(t)=(cos2πt,sin2πt),则f连续且f(R)=S1,于是S1是连通的.对x=(x1,x2)∈S1, -x=(-x1,-x2)∈S1称为x的对径点,映射r:S1→S1定义为r(x)=-x称为对径映射,则r连续.定理4.2.5(Borsuk-Ulam定理)设f:S1→R连续,则∃x∈S1,使得f(x)=f(-x).证定义F:S1→R为F(x)=f(x)-f(-x),则F连续.若∃a∈S1,使得f(a)≠f(-a),则F(a)⋅F(-a)<0,由定理4.2.2,∃z∈S1,使得F(z)=0,即f(z)=f(-z).定理4.2.6R n-{0}连通,其中n>1,0=(0,0,⋯,0)∈R n.证只证n=2的情形.令A=[0,+∞)⨯R-{0},B=(-∞,0]⨯R-{0},则A∪B=R2-{0},A∩B≠∅.由于(0,+∞)⨯R⊂A⊂c((0,+∞)⨯R),所以A连通.同理,B连通,从而A∪B连通.定理4.2.7R2与R不同胚.证若∃同胚f:R2→R,令g=f|R2-{0}:R2-{0}→R,则g连续,从而g(R2-{0})=R-{f(0)}连通,矛盾.§4.3连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通子集(“连通分支”)之并.定义4.3.1x,y∈X称为连通的,若∃X的连通子集同时含x,y,记为x~y.点的连通关系~是等价关系：(1)x~x;(2)x~y⇒y~x;(3)x~y,y~z⇒x~z.定义4.3.2空间X关于点的连通关系的每一等价类称为X的一个连通分支.x~y⇔x,y属于X的同一连通分支.X是X的全体连通分支的互不相交并.定理4.3.1设C是空间X的连通分支,则(1)若Y是X的连通子集且Y∩C≠∅,则Y⊂C;(2)C是连通的闭集.证(1)取定x∈Y∩C,∀y∈Y,则x~y,所以y∈C.(2)取定c∈C.∀x∈C,∃X的连通集Y x∍c,x,由于Y x∩C≠∅,Y x⊂C,于是C=∪{Y x|x∈C}且c∈∩{Y x|x∈C},所以C是连通的.从而C-连通且C-∩C≠∅,于是C-⊂C,故C闭.以上说明：连通分支是最大的连通子集.连通分支可以不是开集.Q的连通分支都是单点集,不是Q的开子集.∀x,y∈Q,由定理4.2.1,不存在Q的连通子集同时含有x,y,所以Q的连通分支都是单点集.§4.4局部连通空间例4.4.1(拓扑学家的正弦曲线)令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]},T={0}⨯[-1,1],S1=S∪T,则S-=S1,于是S,S1连通.在S1中,S中点与T中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性.定义4.4.1设x∈X.若x的每一邻域U中都含有x的某一连通的邻域V,称X在x是局部连通的.空间X称为局部连通的,若X在每一点是局部连通的.S1是连通,非局部连通的.多于一点的离散空间是局部连通,非连通的.定理4.4.1对空间X,下述等价:(1)X是局部连通;(2)X的任一开集的任一连通分支是开集;(3)X有一个基,每一元是连通的.证(1)⇒(2)设C是X的开集U的连通分支.∀x∈C,∃x的连通的邻域V⊂U,于是V∩C≠∅, V⊂C,所以C是x的邻域,故C开.(2)⇒(3)令B={C⊂X|C是X的开集U的连通分支},则B是X的基.(3)⇒(1)设U是x的邻域,∃开集V使x∈V⊂U,∃连通开集C使x∈C⊂V⊂U,所以X局部连通.定理4.4.2设f:X→Y是连续开映射.若X局部连通,则f(X)局部连通.证∀y∈f(X),及y在f(X)中的邻域U,取x∈f-1(y),则f-1(U)是x的邻域,∃X的连通开集V使x∈V⊂f-1(U),于是y=f(x)∈f(V)⊂U.定理4.4.3局部连通性是有限可积性,即设X1,X2,…,X n局部连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n局部连通.证仅证若X1,X2局部连通,则X1⨯X2局部连通.设B1,B2分别是X1,X2的由连通开集组成的基,则{B1⨯B2|B1∈B1,B2∈B2}是X1⨯X2的由连通开集组成的基(定理3.2.4).。

《点集拓扑学学习心得》点集拓扑学是由分析、几何、和代数等许多学科的一些基本概念和问题抽象而成的一个数学分支，是理工科相关专业的一门基础课。

它的许多概念、理论、方法广泛的应用与泛函分析、微分几何和微分方程等领域中。

通过这门课程的学习可以加强我们对学习了的数学分析、实变函数、常微分方程等课程的理解。

因此我们有必要努力学好这一门课程。

在学习中我有几点深刻的体会。

第一、这门课程确实很抽象。

它不同于我们学习的其他数学课程，如数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数等，点击拓扑几乎没有计算的内容，逻辑性强。

在学习概念后就是一连串的定理、推论，例子也比较少，且多为证明。

所以学习起来就比较枯燥。

一开始学习的掉以轻心让我后悔不已。

第二、抽象的概念也是有它形成的基础。

点集拓扑学是一门建立在集合论的基础上的一门学科，因此第一章的集合论初步是学习的预备知识。

尤其是映射的像和原像的性质，这些性质对刻画拓扑空间中映射的连续性有重要作用。

而第二章是全书的理论基础，尤其重要。

并且概念和概念之间也是相互联系的。

比如度量给出以后，度量空间的相应概念由此产生。

开集、邻域的概念形成后，导集、闭集、闭包、内部、边界及其性质大都是借助它们来说明的。

因此学习的时候每一个概念都要弄懂。

第三、点集拓扑学中涉及到很多我们已经在其他学科中学习到的知识，因此我们要注意对比分析。

序列的极限、函数的连续性是数学分析的基础，其中涉及两个实数的距离。

数学分析中绝大多数问题都离不开距离。

而点集拓扑学中建立了以距离为出发点的距离空间。

数学分析中我们熟知的欧式空间和欧式空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间的连续映射，抽象到拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。

数学分析中数列涉及敛散性、连续性、以及极限存在的条件等，而点集拓扑学中序列也涉及到这些内容，但是它们之间存在着异同之处。

在拓扑空间中一般不能用点列的收敛来刻画聚点，进而拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。

点集拓扑学合肥工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。

是数学与应用数学专业的主干课。

点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。

它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。

这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。

它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。

通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。

G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。

1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版第一章 集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。

1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。

例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。

集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作φ。

第6章分离性公理§6.1,Hausdorff空间本节重点:掌握空间的定义及它们之间的不同与联系；掌握各空间的充要条件；熟记常见的各种空间.与前两章的连通性公理和可数性公理一样，分离性公理也是拓扑不变性质。

回到在第二章中提出来的，“什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来”这一问题．为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．我们将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答．引入：例对于度量空间X，如果x，y∈X，∀x、y ，当x ≠y时，x、y之间应该有一个距离，这个距离用d(x,y)表示，定义6.1.1设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果x，y∈X，x≠y,则或者x有一个开邻域U使得y U,或者y有一个开邻域V使得x V)，则称拓扑空间X 是一个空间．拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间．定理6.1.1 拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包．（即如果x，y∈X，x≠y，则．）证明充分性:设定理中的条件成立．则对于任何x，y∈X，x≠y，由于，因此或者成立，或者成立．当前者成立时，必定有．（因为否则).这推出x 有一个不包含y的开邻域．同理，当后者成立时，y有一个不包含x的开邻域．这证明X是一个空间．必要性:设X是一个空间．若x，y∈X，x≠y，则或者x有一个开邻域U 使得或者y有一个开邻域V使得．若属前一种情形，由于，若属后一种情形，同样也有．定义6.1.2设X是一个拓扑空间．如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X是一个空间．空间当然是空间．但反之不然．例如设X={0,1}，T={,{0},X},则T 是X的一个拓扑，并且拓扑空间(X，T)是的但不是的．（请读者自己验证，）定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：（1）X是一个空间；（2）X中每一个单点集都是闭集；（3）X中每一个有限子集都是闭集．证明（1）蕴涵（2）．设x∈X．当X是一个空间时，对于任何y∈X，y≠x，点x有一个邻域U使得，即.这证明单点集{x}是一个闭集．（2）蕴涵（3）．这是显然的.因为有限个闭集的并仍然是闭集.（3）蕴涵（1）．设x,y∈X,x≠y,当(3)成立时单点集{x}和{y}都是闭集．从而分别是y和x的开邻域，前者不包含x，后者不包含y．这就证明了X是一个空间.下面的两个定理表明，空间中关于凝聚点和序列收敛的性质和我们在数学分析中熟知的多了一些类似之处．定理6.1.3 设X是一个空间．则点x∈X是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点,即U∩A是一个无限集．证明定理充分性部分是明显的．以下证明必要性部分．假设x∈X,x∈d(A)．如果x有一个开邻域U使得U∩A是一个有限集，则集合B=U∩A-{x}也是一个有限集，因此是一个闭集．因此U－B是一个开集，并且是x的一个邻域．此外易见(U－B)∩(A-{x})=.这蕴含着x不是A的凝聚点,与假设矛盾．定理6.1.4 设X是一个空间．则X中的一个由有限个点构成的序列{}（即集合{|i∈Z+}是一个有限集）收敛于点x∈X当且仅当存在N＞0使得=x对于任何i≥N成立．证明由于X是一个空间，集合A＝{|≠x,i=1,2…}是一个有限集，所以是一个闭集．从而是x的一个开邻域．于是存在N＞0使得当i≥N有，因而=x.定义6.1.3 设X是一个拓扑空间．如果X中任何两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交（即如果x，y∈X，x≠y，则点x有一个开邻域U，点y有一个开邻域V，使得U∩V=），则称拓扑空间X是一个Hausdorff空间，或空间．hausdorff空间一定是空间，但反之不然．例6.1.1 非Hausdorff的空间的例子．设X是一个包含着无限多个点的有限补空间．由于X中的每一个有限子集都是闭集，因此它是一个空间．然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空的交．这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集，而X又是一个无限集的缘故．由此易见X必然不是一个空间．定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．证明设{}是Hausdorff空间X中的一个序列，并且有于是对于j＝1，2，点有一个开邻域，使得．故存在＞O使得当i≥时有．任意选取M＞max{}．可见，这是一个矛盾．但在空间中定理6.1.5却可以不成立．例如设拓扑空间X如例6.1.1中所述，{}是X中的任何一个由两两不同的点构成的序列，即当i≠j时有.此时对于任何y∈X和y的任一邻域U,由于U的补集是一个有限集，所以存在N＞0使得当i≥N时有∈U．于是lim=y．也就是说，序列{}收敛于X中的任何一个点．作业:P155 3.4.5.§6.2正则，正规，空间本节重点：掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系．我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．定义6.2.1 设X是一个拓扑空间，A，U X．如果A包含于U的内部，即A，则称集合U是集合A的一个邻域．如果U是A的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域．定义6.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交（即如果x∈X和A X是一个闭集，使得x A，则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正则空间．定理6.2.1 设X是一个拓扑空间．则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得．证明必要性设X是一个正则空间．如果x∈X，集合U是x的一个开邻域，则U的补集便是一个不包含点x的闭集．于是x和分别有开邻域使得．从而，所以充分性设x∈X和A是一个不包含x的闭集．这时A的补集是x的一个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，有x的开邻域U使得．令，所以V是A的一个开邻域，并且易见．这证明X是一个正则空间．定义6.2.3 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果A，B X都是闭集，则存在A的一个开邻域U和B的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正规空间．定理6.2.2 设X是一个拓扑空间．则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A X和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得．证明证明类似于定理6.2.l，请读者自己写出．正则、正规性质与§6.l中定义的以及Hausdorff诸性质之间并无必然的蕴涵关系．例6.2.1 正则且正规的空间但非空间（因而也是非，非Hausdorff 空间）的例子．令X={1,2,3}和T={{1},{2,3},{1,2,3},}．容易验证(X，T)是一个拓扑空间，并且是一个正则且正规的空间．留意点2和点3立即可见它不是一个空间．例6.2.2 Hausdorff空间（因而也是空间）但非正则空间、也非正规空间的例子．(略)拓扑空间的正则性和正规性之间也没有必然的蕴涵关系．例6.2.3 正规空间而非正则空间的简单例子是(X，T)，其中X={1,2,3}和T ={,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}定义6.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间．由于空间中的每一个单点集都是闭集，因此空间一定是空间，空间一定是Hausdorff空间．而非空间的一个例子（它自然也是正则而非正规空间的例子）可见于习题第6题．最后，我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些定义（指至，以及正则正规等）．为此，我们只要证明：定理6.2.3 每一个度量空间都是空间．证明设（X，d）是一个度量空间．如果x，y∈X，x≠y，则d（x，y）＞0.令ε=d（x，y），则球形邻域B（x，ε/2）和B（y,ε/2）分别是x和y的开邻域，并且易见它们无交．因此X是一个Hausdorff空间，自然它也是空间．现在设A和B是X中的两个无交的闭集．假如A和B中有一个是空集，例如B= ．这时我们可以取X为A的开邻域，为B的开邻域，它们的交当然是空集．以下假定A和B都不是空集．根据定理2．4．9可见，对于x，y∈X，如果x B，则d（x，B）＞0；如果y A，则d（y，A）＞0．记ε(x)=d(x,B)/2,δ(x)=d(x,A)/2并且令显然U和V分别是A和B的开邻域．以下证明．若不然设,不失一般性，设．于是我们有这与d（，B）的定义（d（，B）＝inf{（，y）|y∈B}）矛盾．这就证明了X是一个正规空间．作业:P160 1.2.3.§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理本节重点:掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；掌握定理6.3.2的证明方法．定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．证明(略)定理6.3.2 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．证明设C是空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点，任意选取，x,y∈X,x≠y,对于空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1．由于C是X中一个连通子集，因此f（X）也连通．由于0，1∈f（X），因此f（X）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集．作业:P168 1．§6.4完全正则空间，Tychonoff空间本节重点:掌握完全正则空间与空间的定义；掌握正则,正规及完全正则空间之间的关系.定义6.4.1 设X是一个拓扑空间．如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)＝0以及对于任何y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间．完全正则的空间称为Tychonoff空间，或空间．定理6.4.1 每一个完全正则空间都是正则空间．证明设X是一个完全正则空间．设x∈X，B是中的一个不含点x的闭集．则存在连续映射f：X→[0,1]，使得f(x)=0和对任何b∈B有f(b)=1.于是([0,1/2))和((1/2,1])分别是点x和闭集B的开邻域，并且它们无交．这表明X是一个正则空间．根据定理6.4.1明显可见，每一个Tychonoff空间都是空间．根据Urysohn引理也容易看出，每一个空间都是Tychonoff空间，但反之不真，有关的例子可以参见§6.2习题第5题．定理6.4.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间．证明设X是一个既正则又正规的空间．设x∈X，B是X中的一个不包含点x的闭集．由于X是一个正则空间，根据定理6. 2．l，点x有一个开邻域U使得．令则A和B是X中无交的两个闭集．由于X是一个正规空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f: X→[0，l]使得对于任何y∈A有f（y）＝0和对于任何y∈B有f（y）＝1．由于x∈A，故f（x）=0，这就证明了X是一个完全正则空间．定理6.4.3[Tychonoff定理] 每一个正则的Lindeloff空间都是正规空间．证明设X是一个正则的Lindeloff空间．设A和B是X中的两个无交的闭集．对于每一个x∈A，由于，根据定理6.2.1可见，存在x的一个开邻域使得即．集族{|x∈A}是闭集A的一个开覆盖．由于Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间（参见定理5.3.4），易见A的开覆盖{|x∈A}中有一个可数子族，设为，仍然覆盖A．注意：对于每一个i∈Z+，有．同理，集合B也有一个可数开覆盖现在，对于每一个n∈Z+，令显然都是开集．对于任何m，n∈Z+，因为若设m≤n，则有令它们都是开集，并且现在只剩下证明和了．不失一般性，我们验证前者：如果x∈A，则存在n∈Z+使得x∈．另一方面，由于诸与A无交，所以对于任意i∈Z+有．§6.1，§6.2和本节中定义的（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等拓扑空间的性质统称为分离性公理．现将满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴涵关系列为图表6.1．作业:P171 1.2.3§6.5分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间本节重点:掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去作．定理6.5.1 设X和Y是两个同胚的拓扑空间．如果X是一个完全正则的空间，则Y也是一个完全正则的空间．证明设h：X→Y是一个同胚．对于Y中的任意一个点和任何一个不包含点x的闭集B，（x）和（B）分别是X中的一个点和一个不包含点（x）的闭集．由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X→[0,1]使得f((x))=0和对于任何y∈（B）有f（y）＝l．于是连续映射g＝f：Y→[0,1]，满足条件：g(x)＝0和对于任何z∈B有g(z)=1．（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．定理6.5.2 正则空间的每一个子空间都是正则空间．证明设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间，设y∈Y和B是Y的一个闭集使得y B．首先，在X中有一个闭集使得∩Y＝B．因此．由于X是一个正则空间，所以y和分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X而言）使得．令，它们分别是y和B在子空间Y 中开邻域，此外易见.（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是有限可积性质，证明(略)正规和不是有限可积性质．至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．例6.5.1 由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R中给出一个等价关系～使得对于任意x，y∈R，x～y的充分必要条件是或者x，y∈（-∞，0]；或者x，y∈（0，1）；或者x，y∈[1，∞）．将所得到的商空间记为Y．换言之，Y便是在实数空间中分别将集合A=(-∞，0］，B=（0，l）和C=［1，∞）各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上Y＝{A，B，C}．容易验证Y的拓扑便是{，{A,B},{B},{B,C},{A,B,C}}．考察点A和点B可见，Y不是空间，因此也不是（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及空间．此外，考察两个单点闭集{A}和{C}可见，Y既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y是一个空间．上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空间R的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而例3.3.1并不能代替例6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．作业:P175 1.§6.6可度量化空间本节重点:掌握三个定理的结论(前两个定理的证明不要求)先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义．一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来．我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具有的．在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题．定理6.6.1[Urysohn嵌入定理] 每一个满足第二可数性公理的空间都同胚于Hilbert空间H的某一个子空间．证明(略）定理6.6.2 Hilbert空间H是一个可分空间．证明(略)定理6.6.3 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（1）X是一个满足第二可数性公理的空间；（2）X同胚于Hilbert空间H的某一个子空间；（3）X是一个可分的可度量化空间．证明（l）蕴涵（2）．此即定理6.6.1．（2）蕴涵（3）．由于Hilbert空间H是一个可分的度量空间，而可分的度量空间的每一个子空间都是可分的度量空间（参见推论5.2.5），与一个可分的度量空间同胚的拓扑空间是可分的（参见§5.2习题第4题），也是可以度量化的（参见§2.2习题12）．（3）蕴涵（1）．可分的度量空间满足第二可数性公理参见定理5.2.4），可度量化空间是一个空间（参见定理6.2.3）．因此更是一个空间．作业:P180 1.本章总结：（1）性质是描述点的分离性的,熟记各空间的定义、性质、与实数空间的区别.注意它们的充要条件，往往是证明的出发点．（2）正则、正规是描述点、闭集与闭集之间关系的性质．注意它们的充要条件．（3）完全正则、Tychonoff只有一种定义，一定要用映射来描述．（4）有了Urysohn引理，可将正规空间与实数空间联系起来，给证明提供了极大的方便．（完全正则与Tychonoff空间也是如此）（5）掌握它们的关系图及是否是连续映射所能保持的、有限可积的、可遗传的．从而会判断一个空间是哪种空间．。

拓扑学尤承业答案【篇一：点集拓扑学】工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。

是数学与应用数学专业的主干课。

点集拓扑学（point set topology），有时也被称为一般拓扑学（general topology），是数学的拓扑学的一个分支。

它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。

这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。

它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。

通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。

g.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。

1906年m.-r.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版2第一章集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。

1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。

例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。

紧致性第7章7.1 紧致空间§本节重点：（这些方法哪些掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即在§5.3空间定义中的“可数LindeloffLindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的任何一个子集为有界闭集的充分必R的Heine－Borel定理断言：实数空间中我们将要推广要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3 这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．的每一个开覆盖有一个有限子X7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果定义 X是一个紧致空间．覆盖，则称拓扑空间空间．但反之不然，例如包含着Lindeloff明显地，每一个紧致空间都是空间，但它不是一个紧致空间．无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff不是一个紧致空间．这是因为如果我们设实数空间R例7.1.1AA）R|b∈Z+},则的任何一个有限子族，＝{（－nn由于它的并为{ },})(-max{},max{ 1A的开覆盖没有任何一个有限子覆盖．R的一个子覆盖．因此R所以不是的X中的一个子集,如果Y作为定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X 的一个紧致子集．子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的紧致子集意味着每一个由子X拓扑空间X中的一个子集Y是根据定义，这并不明显地意味着由的开覆盖有一个有限子覆盖，空间Y中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要YX中的开集构成的每一个的．的一XX中的一个子集．则Y是X定理7.1.1 设是一个拓扑空间，Y是此的覆盖都有有限子覆盖．（个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）A是Y,中的一个紧致子集的一个覆盖，它证明必要性设Y是拓扑空间XA}也是中的开集构成．则容易验证集族Y由X的一个覆盖，它A有一个有限子覆盖，设为由Y中的开集构成．因此A的有限子族覆盖Y{},于是．充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设AA存在X中的一个中的开集构成．则对于每一个A∈的一个覆盖，是Y它由YA}是由X中的开集构成的A=∩Y．因此Y的一个使得开集覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{}A{此时易见的子族 Y｝覆盖Y．这证明是X的一个紧致子集．下面介绍关于紧致性的一个等价说法．页26 共** 页2 第AA（即定义7.1.3 设的每一个有限子族都有非空的交是一个集族．如果AA是一个具有有限交性的一个有限子族，则如果），则称是质的集族．中的是一个紧致空间当且仅当X设X是一个拓扑空间．则X定理7.1.2每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．F中的一个具有有是设X 是一个紧致空间．用反证法．设X证明 :F≠限交性质的闭集族．设．如果AF={ ，则令}．由于∈AA{设为的一个开覆盖．是X于是有一个有限子覆盖，所以．}从而F 不具有有限交性质．矛盾．这说明中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证”，设“X AA有一个有限子的一个开覆盖．我们需要证明是X是一个紧致空间，设明X AA的的每一个子族都是以及=X，则，这蕴涵覆盖．如果X=AAF中的一个非空闭集族，并且便是覆盖．以下假定}．此时={|A∈≠X设也就是说，它不具有有限交性质．它有一个有限子族其交为空集．因此，F，则的这个有限子族为{}的一个有限子覆盖．是X 3BB的一个覆盖当X的一个基，那么由X中的元素构成的如果是紧致空间然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．B*B*中的元素构成是拓扑空间X的一个基，并且X的由定理7.1.3 设X是一个紧致空间．的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则B*A*A* 的一个子族X的一个开覆盖．对于每一个A∈证明存在设是使得令由于B*的一个覆盖，所以有一个有限子覆是一个由X 故的元素构成的设为盖，，i=1,2,…n，一,对于每，个A* {} 于是对于的有限于族有A*是一个紧致}也就是说．这证明有一个有限子覆盖{ X 空间．A是一个连续映射．如果X7.1.4 定理设和Y是两个拓扑空间，f:X→Y Y）是的一个紧致子集．AX是的一个紧致子集，则f（CC，C∈中的开集组成．它由）（是证明设*fA的一个覆盖，Y对于每一个*）是（f由于是一个连续映射，CX中的一个开集页26 共** 页4 第CA的一个紧致子集，XA是*}所以是＝A{的一个开覆盖．(C)|C∈由于A{有一个有限子族，设为}，覆盖A所以C的）是Y）．这证明f（}是A*的一个子族并且覆盖f（即{A 一个紧致子集．由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚由此可见，由于实数空间R 的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．定理A的一个覆盖，它由中的一个闭子集．如果Y是证明设Y是紧致空间X BB的一个有限子1X 的一个开覆盖．设是X中的开集构成．则是AB的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y便是}是族并且覆盖X．则X1-{的一个紧致子集．每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间．定理7.1.6T)的元素．令是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X设证明:(X, X*=X∪{∞}TT∪{X*}*=∪T})中的一个紧致闭集是拓扑空间={E 其中X*|X*-E(X,T*是集合X*的一个拓扑．首先验证 (略)5T:(X*,是一个紧致空间*)其次．证明C*C*X*-CC∈是X*的一个开覆盖．则存在C ∈,使得∞∈C．于是设因此C*C*设为是紧致的,并且有一个有限子族-{C}是它的一个开覆盖．于是,-{C}C*CC X*-C．易见1∪{C}是．的一个有限子族,并且覆盖X*1,覆盖TT的一个开子空间．这是)是拓扑空间我们指出拓扑空间(X,(X*,*)最后,T及 =X是X*的一个开集．因为TT通常(X*,*),)构造出来的紧致空间在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T的一点紧化．称为拓扑空间(X,)由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的．以下定理表明紧致性是可积性质．空空n≥1是个紧致定间理7.1.7 设．则积间是一个紧致空间．) 证明 (略作业: ．5．P188 14．§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.页26 共** 页6 第在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后空间的连续映射的一个十分重要的Hausdorff半部分，我们给出从紧致空间到性质．x∈X的一个不包含点A是X定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果．和V使得的紧致子集，则点xU∩V=和紧致子集A分别有开邻域U 是一个．对于每一个y∈A，由于是一个紧致子集，x∈证明设AX域个开邻故存在x的一Hausdorffy和的一个开邻域空间，它有一个A的一个开覆盖，．集族{|y∈A}明显是紧致子集，它们分A．令}有限子族，设为 {，覆盖有：i=1，2，…，n别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个所以Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．推论7.2.2x∈X，如果的一个紧致子集．对于任何设A是Hausdorff空间X 证明中，的凝聚点都在A因此凡x，xA则根据定理7.2.1可见不是A的凝聚点．A A从而是一个闭集．结合定理推论7.2.2 可见：7.1.5空间中，一个集合是闭集的充分必Hausdorff在一个紧致的推论7.2.3要条件是它是一个紧致子集．7中的几个简单而常7.2.3和推论7.1.5，推论7.2.2为了加强读者对定理用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致子集紧致空间：闭集空间：闭集紧致子集 Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间都是正则空间．7.2.4 每一个紧致的Haudorff推论中的一个不Xx是设证明 A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，），所7.1.5A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理属于集合VU和A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域以 X使得是一个正则空间．U∩V=．这就证明了的两个无交的B是X和定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A ．V 使得紧致子集，则它们分别有开邻域U U∩V=和x∈A，根据定理X的两个无交的紧致子集．对于任何A 设和B是证明|x∈A}是{．集族和集合B分别有开邻域7.2.1，点x A它有一个有限子族，设为{．令}，覆盖A紧致子集的一个开覆盖，有，2，…，n由于对于每一个i＝1 U∩V=∩V=，所以．7.2.5空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理由于Hausdorff 立即有：7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是推论的，页26 共** 页8 第根据这个推论联6.4.3直接推出．这个结论也可以根据推论7.2.4和定理我们可空间这一事实，并且留意到每一个紧致空间都是系着表6.1Lindeloff 在紧致空间中分离性公理显得特别简单．有图表7.1．从这个图表中可以看出，：紧致空间中的分离性公理图表7.1是UX是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，定理7.2.7 设使得的一个开邻域，则存在．A的一个开邻域AV的一个开邻域．对于A中的一个紧致子集，是正则空间XU是证明设A的|x∈A}是紧致子集集族{x∈A，点任何xA有一个开邻域使得．令A}，它一个开覆盖，它有有限子族，设为，覆盖{A是的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并空间，所以它明显地蕴Lindeloff不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是涵于定理6.4.3中．．在那个正．3然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2 规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．9是一个连Y是一个紧致空间，是一个Hausdorff空间，f:X→Y证明设X A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理续映射．如果中的一个紧致子集（参见Hausdorff空间Y）是7.1.5），因此它的象集f（A ）．这证明f是一个闭映射．定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：空间的任何一个既单且满的（即—7.2.9 从紧致空间到Hausdorff推论一的）连续映射都是同胚．:作业 1.2. P192n 维欧氏空间§7.3中的紧致子集使＞0AX．如果存在实数M定义7.3.1 设（X，ρ）是一个度量空间，的一个有界子集；如果XA是对于所有x，y∈A得ρ（x，y）＜M成立，则称X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，ρ）是一个有界度量空间．定理7.3.1 紧致度量空间是有界的．证明设（X，ρ）是一个紧致度量空间．由球形邻域构成的集族{B（x，1）|x ∈X}是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{B（x1，1），B（x2，1），…，B（xn，1）}．令M＝rnax{ρ(xi，xj）|1≤i，j≤n}十2如果x，y∈X，则存在i，j，1≤i，j≤n，使得x∈B（xi，l）和y∈B（xj，l）．于是ρ（x，y）＜ρ（x，xi）＋ρ（xi，xj）十ρ（xj，y）＜M页26 共** 页10 第的n维欧氏空间因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集．特别每一个紧致子集都是有界的．是一个紧致空间的证明．尽管读者可[0,1]下面作为引理给出单位闭区间能早已熟知这个结论．引理7.3.2 单位闭区间[0,1]是一个紧致空间．A是[0，1] 设的一个开覆盖．令证明A有一个有限子族覆盖[0，P＝{x∈[0，l]|x]}它是[0，1]的一个子集．对于集合P，我们依次证明，P．因为显然0∈P;（l）（2）P是一个开集．A{}，覆盖[0，设x∈P．则x]有一个有限子族，设为．当x=1时，易见P＝[0，l]，它是一个开集．因此x是P的一个内点．下设x＜1．这由于是[0，i0,1≤i0≤n,有x1]∈.中的一个开集，所以时对于某一个)ε)x＋[0，．于是[0，.．这蕴涵使得存在实数ε＞0[x，x+εPx+ε)．由于[0，x＋ε）是[0，1]中的一个包含x的开集，所以x是P的一个内点．以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.（3）P是一个闭集．1]．另外根据(1)的定义可见，[x设，x∈=[0,1]-P．根据集合P A使得x∈A．由于A是一个开集，所以存在实数ε0可见．＜x.选取选取A∈,x]∩P≠，设z ∈（x－ε（A．假如x－ε，x]∩P．则x]－0＞使得（xε，AAAA1∪{A}覆盖[0，x]有一个有限子族，这1覆盖[0,z]，因此的有限子族,1],从而,(x-ε,x]－（，即xεεx所以P与x矛盾．（－，x]∩P=的一个内点．这证明x因此是是一个开集，即P是一个闭集．11是一[0,1]，l]中的一个既开又闭的非空子集．由于根据上述三条，P是[0A有一个有限子族覆盖个连通空间，所以P=[0,1]，特别，1∈P．这也就是说是一[0，1]，［0，1］．以上证明了[01]的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故个紧致空间．］同胚，所，1b任何一个闭区间[a，b]（a＜），由于它和单位闭区间［0中任何一个闭维欧氏空间以是紧致的．并且作为紧致空间的积空间，可见n方体（a＜b）也是紧致空间．是一个紧致子集n维欧氏空间则A定理7.3.3 中的一个子集．设A是是一个有界闭集．当且仅当A设证明ρ是n维欧氏空间的通常度量．，它是有界”:如果7.3.1A是一个紧致子集，则根据定理“，它是一个闭集．的；由于是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2是紧致的．下设是一个有界闭集．如果”:设AA=，则“A ．任意选取(xM，yA）＜＞．于是存在实数M0使得对于任何x，y∈A有ρ）∈0），其中，x00=，…，（0，0（x0∈A，并且令．容易验证N=M十ρ0作为紧致空间．（根据三角不等式）A中的一个闭子因此A 集必定是紧致的．则存是一个连续映射．设7.3.4 X是一个非空的紧致空间，f:X→R定理有x0在，x1∈X使得对于任意x∈X ）≤f(x)≤f(x1) f（x0换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点．页26 共** 页12 第中的一Rf（X）是实数空间由于X紧致，故根据定理7．1．4可见证明Mf(X)是一个闭集．设m和个紧致子集．由于R是一个Hausdorff空间，所以使得，M∈f(X)．因此存在x0，x1∈Xm分别为集合f（X）的下，上确界，则f．根据上，下确界的定义立即可见，对于任何x∈X有f(x0)＝m和f(x1)=M （x0）≤f(x)≤f(x1).维欧氏空是一个有界闭集，所以是紧致的，此外，由于mn 维单位球面不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：间维单位球面与n不同胚．设定理7.3.5 m，n∈Z+．则m维欧氏空间这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子．作业:1. 2. P196几种紧致性以及其间的关系§7.4:本节重点掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．实数空间中的一个子集读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：A如果满足以下条件（l）～（4）中的任何一条，则满足其他的几条．（l）A是一个有界闭集；（2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；（4）A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点．13不难发现这四条中以读者应当早就有所体会了．这几个条件的重要意义，）三条中所涉及惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是（2），（3）和（4一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下 5）作为讨论的中间站．条件（ A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖．（5）的每一个可数开覆盖都有有限定义7.4.l 是一个拓扑空间．如果X设X 子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间．以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证．每一个紧致空间都是可数紧致空间．定理7.4.1的可数紧致空间都是紧致空间．定理7.4.2 每一个Lindeloff的每一个无限子集都有凝聚点，X是一个拓扑空间．7.4.2 设X如果定义 X是一个列紧空间．则称拓扑空间定理7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间．证明设X是一个可数紧致空间．为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点．首先这蕴涵A是一个闭集．此外对于所以存在a的一个开邻域使得不是每一个a∈A，由于aA的凝聚点，}是|a ∈A}∪{X的一个开覆盖．由于X是可数紧致∩A={a}．于是集族{页26 共** 页14 第无交，由于{与A} 空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为所以必定覆盖{A．因此，})∩A={a1,a2,…an}是一个有限集．这是一个A=(矛盾．是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：定义7.4.3 设 i∈Z+成立，即对于每一个则称序列是一个下降序列．在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．是一个可数紧致空间当是一个拓扑空间．则拓扑空间X引理7.4.4 设X集下降序列，有非个任何一非空空闭的交，即且中仅当由X得使序列降闭中空证明数设可紧致间X的非空集下于是}{ 设为的一个开覆盖，X是它有一个有限子覆盖，由此可得这是一个矛盾．中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交．如X另一方面，设拓扑空间没有{ 有一个可数开覆盖，X则X果不是一个可数紧致空间，设为}， i∈Z+，令有限子覆盖．对于每一个15的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：X}则也是{．由此因此是一个非空闭集下降序列，所以．也就是说}{不是的一个覆盖，这是一个矛盾．可见X每一个列紧的7.4.5 定理空间都是可数紧致空间．不是一个可数紧致空间，则根据空间．如果证明 X设X是一个列紧的中有一个非空闭集下降序列，,使得在每一个引理7.4.4X A={中选取一点}，并且考虑集合，和一个正整数的严格递增序列n1如果A是一个有限集，则必有一点x∈A ．这是因为，n2，…使得于是对于任何i∈Z+有x∈，这与反证假设矛盾．于是x∈有一个凝聚点，设为是一个无限集．由于X是一个列紧空间，所以AA设空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个．由于X是一个y于由凝个聚点；又也i∈Z+，点y合是集的一．这也与反证假定矛盾．中的每一个序列都有一个收敛X设X是一个拓扑空间．如果定义7.4.4是一个序列紧致空间．的子序列，称拓扑空间X定理7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间．页26 共** 页16 第{}是X设X是一个序列紧致空间，中的一个非空闭集下降证明．在每对于每一个i∈Z+，序列．．根据引理7.4.4X是一个可数紧致空间．定理7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间．证明设X是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设．于是i∈Z+，令和．对于每一个是拓扑空间X中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理7.4.4，我们有．由于X满足第一可数性公理，根据定理5.1.8，在点x处有一个可数邻域满足条件：}对于任基{ 意j∈Z+成立．令l，令对于每一个i＞是一个严格递增的于是 ,对于每一个正整数序列．并且i∈Z+成立．存在U设是x的一个邻域．：收敛于的子序列}我们来证明序列{{}x时我们有k i某一个k∈Z+,使得，于是当＞7.2根据本节中的各个定理，我们可以得到图表．17根据这个表立即可以知：的一个子设X是一个满足第二可数性公理的X空间，推论A7.4.8 是集．则下列条件等价：的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（Al）（）2A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；中的点；（3）A中的每一个序列都有子序列收敛于A （ 4）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中．的子集以上推论成立，并且推论中的每维欧氏空间特别，对于n 是一个有界闭集．一个条件都等价于A作业:P201 1度量空间中的紧致性§7.5本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff页26 共** 页18 第本并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．空间，因此从定理7.4.2 节研究这个问题并给出肯定的回答．的直径）中的一个非空子集．集合，ρA定义7.5.1 设A是度量空间（X （A）定义为diam (x,y)|x,y∈A}若A是有界的 diam(A)=sup{ρ A是无界的diam(A)=∞若AλX的一个开覆盖．实数定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，是A只要中的任何一个子集A＞0称为开覆盖，的一个Lebesgue数，如果对于X A包含于开覆盖的某一个元素之中．diam（A）＜λ，则 A Lebesgue的开覆盖数不一定存在．例如考虑实数空间R {(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}数．（请读者自补证明．）则任何一个正实数都不是它的Lebesgue序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有数定理] 定理7.5.1[Lebesgue一个Lebesgue数．A是XX设是一个序列紧致的度量空间，的一个开覆盖．假若开覆证明AA的Lebesgue不是数，所数,则对于任何i∈Z+,实数1/i盖没有LebesgueA的任何元素之中．不包含于 EiE）＜1/i并且E,以X有一个子集使得diam（之中任意选取一个点,由于在每一个X是一个序列紧致空间，所以序A是X列．由于的一个开覆盖，故有一个收敛的子序列A使得y∈A，并且存在实数ε＞0使得球形邻域B（yA．由存在A∈，ε）时．令k为任＞于，所以存在整数M0使得当i>M 则对于任何,M+2/有 k意一个整数，使得＞ε19εy ρ）＜（（x，y）≤ρ（x，，）＋ρ这证明A的选取矛盾．与每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间．定理7.5.2A的一个开覆盖．根据定理是X 设X是一个序列紧致的度量空间，证明A 0．Lebesgue数，设为λ7.5.1，X的开覆盖＞有一个BB有一个有的一个开覆盖．我们先来证明/3)}．它是令X={B(x,λ限子覆盖．B，假定点1．对于i假设＞没有有限子覆盖．任意选取一点∈X 已经取定，由于．按照归纳原则，序列,选取不是X的覆盖(i,j∈Z+,i≠j，有ρλ/3．序列已经取定．易见对于任何)>中最λ/6)没有任何收敛的子序列．（因为任何y∈X的球形邻域B(y, X是序列紧致空间相矛盾．多只能包含这个序列中的一个点．）这与B的一个有限子覆{}是开覆盖现在设存在i=1,2,…,n盖．由于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个使得A的一个子覆盖．{}λB(,是/3)．于是以及前一节中的讨论可见：因此，根据定理7.5.2定理7.5.3 设X 是一个度量空间．则下列条件等价：页26 共** 页20 第是一个紧致空间；）X （1 ）X是一个列紧空间；（2 ）X是一个序列紧致空间；（3 X是一个可数紧致空间．）（4以示强调．的结论列为图表我们将定理7.5.37.3作业: P205 1．本章总结： 1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系．（ 2）度量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握．（）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵（3 涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集．仿紧致空间§7.6 局部紧致空间,:本节重点掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义．性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系．21中的每一个点都有一个紧致的如果X定义7.6.1 设X是一个拓扑空间, 则称拓扑空间X是一个局部紧致空间．邻域,因为紧致空间本身每一个紧致空间都是局部紧致空间,,由定义立即可见便是它的每一个点的紧致邻域．因为其中的任何一个球形邻域的闭包都维欧氏空间也是局部紧致空间,n 是紧致的．定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间．的一个开邻x∈X,U是x是一个局部紧致的Hausdorff空间,设证明设X中的是XHausdorff空间X的紧致子集,DD域．令是x的一个紧致邻域,作为所以是一个空间,闭集．由推论7.2.4,D 作为子空间是一个紧致的Hausdorff在拓是集合中的一个开邻域,D其中正则空间．是x在子空间D中DD中有一个开邻域V使得它在子空间扑空间X中的内部．从而x在子空间V因此,并且又包含于W,．一方面的闭包包含于WV是子空间D中的一个开集另也是X中的开集．是WX中的一个开集,所以V 是子空间W中的一个开集,而因此点中的闭包D中的闭包便是V在X的闭集一方面,由于D是X,所以V在使得是一个正则空间．．因此Vx在X中的开邻域X的所有紧致邻定理7.6.2 设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x 域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基．是则x的一个开邻域．设证明 U是x∈X令D为的一个紧致邻域,闭使得．Vx,X的一个开邻域．x因为是正则空间所以存在的开邻域页26 共** 页22 第以上证并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的．集是x的一个闭邻域,中包含着某一个紧致邻域的任何开邻域U．明了在x:从前面两个定理立即可以推出的所是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X．则点xX推论7.6.3 设处的一个邻域基．有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间．定理是一个完全正则空间我们验证X设X是一个局部紧致的正则空间．证明:如下由的一个开邻域．使得是B和是X中的一个闭集,x设x∈X 的一个子空间是使得XV作为7.6.2,定理存在x的一个紧致闭邻域V,．因此是完全正则的．因而存在连续映射),(正则是可遗传的紧致的正则空间g(y)=1．g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有定义映射hh:是一个连续映射使得．显然 f:X→[0,1],使得对于任何z∈X定义映射因为如果,f首先,映射的定义是确切的其,则有g(z)=1=h(z)．f(x)=0,显。

点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识．至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述．旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著．文档收集自网络，仅用于个人学习即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较（V和w）,和实数理论中关于实数的完备性的论断何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的．此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理．文档收集自网络，仅用于个人学习§1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体．例如我们常说“正在这里听课的全体学1 / 24生的集合”，“所有整数的集合”等等.集合也常称为集，族，类. 文档收集自网络，仅用于个人学习集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的.例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素.元素也常称为元，点，或成员. 文档收集自网络，仅用于个人学习集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合，既大于1 又小于2的整数的集合都没有任何元素.这种没有元素的集合我们称之为空集，记作.此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集.文档收集自网络，仅用于个人学习集合的表示法：（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式.（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号｛x|关于x的一个命题P｝表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合.例如，集合｛x|x为实数，并且0V X V1｝即通常所谓开区间（0，1）.在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合｛「二是实数｝便是集合「「「，其中x是实数｝的简略表示，不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的.集合表示方式中的竖线“ |”也可用冒号“：”或分号“；”来代替. 文档收集自网络，仅用于个人学习（3）列举法：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合.例如｛：〔、｝表示由元素\ 构成的集合.如果确实不至于发生混淆，在用列举的办法表示集合时容许某种省略. 例如，有时我们可以用｛1 , 2, 3,…｝表示全体正整数构成的集合，用｛1 , 3,厶，…｝表示全体正奇数相成的集合.但我们并不鼓励这种做法，因为后面的规律不是很清楚，容易产生误解.我们再三提请读者注意：不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的. 文档收集自网络，仅用于个人学习在本书中，我们用：「表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；Z表示全体整数构成的集合，称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；R表示全体实数构成的集合，称为实数集；并且假定读者熟知这些集合.以下是一些常用的记号：€ :表示元素与集合的关系，如：x € X，x € ｛x｝等一：表示集合与集合的关系，如：A_B （等价于宀「丄（这个记号即是通常数学课本中的—）-:表示与上述相反的含义.3 / 24=:表示两个集合相等，如：A=B （等价于—一 :）以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的.定理1.1.1 设A, B, C都是集合，则(I ) A= A;(2)若A= B,则B= A;(3)若A= B, B=C 则A= C.定理1.1.2 设A, B, C都是集合，则(I ) A_A；(2)若A_B, B_A，贝S A= B;(3)若A_B, B_C,贝S A_C.证明(I )显然.(2)A_B意即：若x€ A,贝S x€ B；B_ A意即：若x€ B,则x€ A.这两者合起来正好就是A= B的意思.(3)x € A.由于A_ B,故x € B;又由于B _C,从而x€ C.综上所述，如果x€A就有x€ C.此意即A—C.因为空集二不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中.由此我们可以得出结论：空集是惟一的.设A, B是两个集合.如果A—B,我们则称A为B的子集;5 / 24如果A是B的子集，但A又不等于B,即A_B, A M B,也就是说A的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是A的元素，这时，我们称A为B的真子集. 文档收集自网络，仅用于个人学习我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族.例如，A二{{1},{1,2},{1,2,3}} 是一个集族.它的三个元素分别为：{1},{1,2},{1,2,3} 及二. 文档收集自网络，仅用于个人学习设X是一个集合，我们常用P(X)表示X的所有子集构成的集族，称为集合X的幕集.例如，集合{1,2}的幕集是P={{1},{1,2},{2}, : }.文档收集自网络，仅用于个人学习本章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论.在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的. 正因为如此，历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合已是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾.例如，我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素.即：若A是集合则A€A不成立.这一点是容易理解的.例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生.因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了.也因此，我们应当能够了解一个元素a和仅含一个元素a的单点集{a}是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别. 文档收集自网络，仅用于个人学习作业:掌握集合、元素的概念、表示法熟练区分“€”与“ 的意义§ 1.2 集合的基本运算在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联. 文档收集自网络，仅用于个人学习定义1.2.1 设A与B是两个集合.集合｛x|x €A或x€ B｝称为集合A与集合B的并集或并，记作AUB 读为A并B.集合｛x|x €A且x€ B｝称为集合A与集合B的交集或交，记作A A B, 读为A交B.若A A B二二，则称集合A与集合B无交或不相交；反之，若A AB M二，则称集合A与集合B有(非空的)交. 文档收集自网络，仅用于个人学习集合｛x|x €人且x^B｝称为集合A与集合B的差集，记作A\B或A —B，读为A差B，或A减B.关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律.定理1.2.1 设A, B, C都是集合.则以下等式成立：(1)幕等律A U A= A7 / 24A n A=A(2)交换律A U B=B UA A n B=Bn A(3)结合律(A U B) U C= A U (B U C)(A n B) n C= A n (B n C)(4)分配律(A n B) U C= (A U C)n (B U C)(A U B) n C= (A n C)U (B n C)(5)DeMonganf聿A-(BUC)二((A- B) n (A-C)A-((B n C)= (A-B)U(A-C)集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联.定理1.2.2 设A, B是两个集合.下列三个条件等价：(I ) A_B；(2)A n B= A；(3)A U B= B.定义1.2.2 设X是一个基础集.对于X的任何一个子集A,我们称X-A为A (相对于基础集X而言)的补集或余集记作匸. 文档收集自网络，仅用于个人学习我们应当提醒读者，补集匚的定义与基础集的选取有关.所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变. 文档收集自网络，仅用于个人学习定理123 设X是一个基础集.若A, B为X的子集，则A\J A = XMrUSSM = =A以上证明均只须用到集合的各种定义，此处不证，略去.作业:熟记这两节的各种公式掌握证明两个集合A=B与A_ B的基本方法AuE 0 Yxexe B（£= B O 虫匸匸A）§ 1.3 关系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系.为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念. 文档收集自网络，仅用于个人学习定义1.3.1 设X和Y是两个集合.集合{ （x，y）|x € X，y€ Y}9 / 24称为X与丫的笛卡儿积，记作X X Y,读为X叉乘Y.其中（x , y）是一个有序偶，x称为（x, y）的第一个坐标，y称为（x, y）的第二个坐标.X 称为X XY的第一个坐标集，丫称为X XY的第二个坐标集.集合X与自身的笛卡儿积X XX称为X的2重（笛卡儿）积,通常简单记作［.文档收集自网络，仅用于个人学习有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆.因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解. 文档收集自网络，仅用于个人学习给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生.以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法. 文档收集自网络，仅用于个人学习我们应当注意，一般说来集合X与集合丫的笛卡儿积X XY完全不同于集合丫与集合X的笛卡儿积Y X X.定义133 设X,Y是两个集合.如果R是X与丫的笛卡儿积X XY 的一个子集，即R—X X 丫，则称R是从X到丫的一个关系. 文档收集自网络，仅用于个人学习定义1.3.4 设R是从集合X到集合丫的一个关系，即R- X X Y.如果（x , y）€ R,则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy.如果A_X，则丫的子集文档收集自网络，仅用于个人学习{y € Y|存在x€A使得xRy}称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合A的R象，并且记作R( A), R( X)称为关系R的值域.文档收集自网络，仅用于个人学习关系的概念是十分广泛的.读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数(映射)，等价，序，运算等等概念都是关系的特例.这里有两个特别简单的从集合X到集合丫的关系，一个是X XY 本身，另一个是空集二请读者自己对它们进行简单的考查. 文档收集自网络，仅用于个人学习定义135 设R是从集合X到集合丫的一个关系，即R_X X 丫这时笛卡儿积Y XX的子集{ (y，X)€ Y X X|xRy}是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作如果B_Y，X的子集丄」(B)是集合B的.「象,我们也常称它为集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象.特别，关系£ ' 的值域；-(Y)也称为关系R的定义域. 文档收集自网络，仅用于个人学习定义136 设R是从某个X到集合Y的一个关系，即R- X X Y，S 是从集合y到集合Z的一个关系，即S_Y X乙集合{ (x，z)€ X X Y| 存在y€Y 使得xRy并且ySz}是笛卡儿积X XZ的一个子集，即从集合X到集合Z的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积，记作S R.文档收集自网络，仅用于个人学习11 /24定理1.3.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y 到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系.贝心文当收集自网络，仅用于个人学习(1) = R(2) (5 o/?)-1=R-}O S A证明(略)定理132 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y到集合Z的一个关系.则对于X的任意两个子集A和B，我们有：文档收集自网络，仅用于个人学习(1)R (A U B)= R (A)U R ( B);(2)R (A A B) _ R (A)A R (B);(3)( SR)( A)= S(R(A)).证明(略)在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念，它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广.定义137 设忙是n > 1个集合.集合{(*1周■咼)丨*1 €才［內E Ai E "J称为為・爲3“扎的笛卡儿积，并且记作亠二=；或者"」其中J丄」为有次序的n元素组，I(i=1,2,…n)称为n元素组：二-的第i个坐标，…(i = 1，2，…，n)称为笛卡儿积二……的第i个坐标集. 文档收集自网络，仅用于个人学习n> 1个集合X的笛卡儿积X X X X…XX常简单地记作n 个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生，在线性代数中n 维欧氏空间作为集合而言就是n 个直线（作为集合而言）的笛卡儿积．文档收集自网络，仅用于个人学习需要提醒读者的是，如果你在给定的n 个集合中交换了集合的次序，一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合．至今我们并未定义“0个集合的笛卡儿积”，此事将来再以某种方式补充．（参见§ 9．1）文档收集自网络，仅用于个人学习作业:理解“关系”的概念, 掌握“关系”与“映射”的异同,“映射” 与“函数”的异同.（映射要求象惟一,关系没要求.函数要求定义域与值域是数域, 而映射不一定）文档收集自网络，仅用于个人学习掌握运算乘积的概念与性质掌握集合的笛卡儿积中元素的形式§1.4 等价关系初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间．文档收集自网络，仅用于个人学习13 /24定义1.4.1 设X是一个集合.从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系{ (x, x) |x € X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△( X)或△. 文档收集自网络，仅用于个人学习定义142 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果厶(X) _R,即对于任何x€ X,有xRx;关系R称为对称的，如果, 即对于任何x, y € X,如果xRy则yRx;关系R称为反对称的，如果丄：厂-」，即对于任何x, y € X, xRy和yRx不能同时成立；关系R 称为传递的，如果R「R_R,即对于任何x, y, z€ X,如果xRy, yRz, 贝y有xRz.文档收集自网络，仅用于个人学习集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X 中的一个等价关系.容易验证集合X中的恒同关系△( X)是自反、对称、传递的，因此是X中的一个等价关系.集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“相等关系”可以理解为集合RX) x RX)的子集文档收集自网络，仅用于个人学习{ (A, B) |A , B€ RX) , A=B}从定理1.1.1中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P (X) 中的一个等价关系.集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“包含关系”可以理解为集合P(X)x P(X)的子集文档收集自网络，仅用于个人学习{ (A, B) |A , B€ P (X) , A_B}根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是RX)中的一个等价关系. 文档收集自网络，仅用于个人学习集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X) x P(X)的子集文档收集自网络，仅用于个人学习{(A , B)|A , B€ P(X) , A_B,A M B}根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系.实数集合R中有一个通常的小于关系V，即R XR的子集{ (x，y) |x，y€ R, x V y}容易验证关系V是反对称的，传递的，但不是自反的.设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系三p如下：-={ (X，y)€ Z x Z|存在n€Z 使得x-y=np}关系常称为模p等价关系，容易验证模p等价关系；是自反的，对称的，传递的，因此是Z中的一个等价关系.定义143 设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个点x，y，如果满足条件：xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的；对于每一个x€ X，集合X的子集：{y € X|xRy}称为x的R等价类或等价类，常记作或［x］，并且任何一个y €都称为R等价类的一个代表元商集，记作X/ R. 文档收集自网络，仅用于个人学习素；集族{ x€ X}称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X/ R. 文档收集自网络，仅用于个人学习我们考虑整数集合Z中的模2等价关系1,易见，1^3和2【8.因此1与3是【等价的，2和8也是1等价的.整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素.此外易见，商集Z/三1有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合. 文档收集自网络，仅用于个人学习下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.文档收集自网络，仅用于个人学习定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系.贝心(1)如果x € X，则x € ，因而1厂「；(2)对于任意x，y€ X，或者〔山』儿，或者[心门[/]汀0证明(1)设x€ X，由于R是自反的，所以xRx，因此x€,二工J .文档收集自网络，仅用于个人学习(3)对于任意x，y € X，如果，设z € [x] A [y].此时有zRx,且zRy.由于R是对称的，所以xRz.又由于R是传递的，所以xRy.文档收集自网络，仅用于个人学习对于任何一个t €「丄，有tRx，由上述xRy和R的传递性可见tRy，即t € " 一：.这证明二_、5.同理可证二_—因此-^ =?(注意：要证或者…或者…，应从以下入手：否定掉一个，去证另一个)17 / 24在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p的等价关系J将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作，称为整数x的模p同余类. 文档收集自网络，仅用于个人学习让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系~,使得两个固定向量x和y~相关（即x~y）当且仅当x能通过平面（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合.容易验证这个关系〜是X中的一个等价关系.每一个~等价类便称为一个自由向量. 文档收集自网络，仅用于个人学习作业：熟练掌握等价关系，等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成§ 1.5 映射数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念. 文档收集自网络，仅用于个人学习定义1.5.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系.如果对于每一个x€X存在惟一的一个y €Y使得xFy,则称F是从X到Y的一个映射，并且记作F: X-Y.换言之，F是一个映射，如果对于每一个x€ X:文档收集自网络，仅用于个人学习(1)存在y € Y,使得xFy;(2)如果对于€Y有二L和”1 ,则■' _.定义1.5.2 设X和Y是两个集合，F: X-Y(读做F是从X到Y的一个映射).对于每一个x€ X,使得xFy的唯一的那个y€Y称为x的象或值，记作F (x);对于每一个y€ Y,如果x€X使得xFy (即y是x的象)，则称x是y的一个原象(注意：y€Y可以没有原象，也可以有不止一个原象). 文档收集自网络，仅用于个人学习由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合丫的一个映射，那么：(1)对于任何A_X，象F (A)有定义，并且F(A)={F(x)|x € A}(2)对于任何B —Y，原象「’(B)有定义，并且J (B) ={x € X|F(x) € B}(注意：：(x)与J ({x})的异同，前者不一定有意义，而后者总存在；前者表示兀素，后者表示集合)文档收集自网络，仅用于个人学习(3)如果Z也是一个集合并且G: Y-乙则关系的复合GF作为一个从X到Z的关系有定义；(4)F :作为从丫到X的一个关系有定义，但一般说来F :不是一个从丫到X的映射(这要看F是否是---- 映射)；19 / 24(5)F的定义域有定义，并且它就是X;(意味着X中的每个元素都必须有象)(6)F的值域有定义，并且它就是F(X). (F(X)不一定充满Y)定理1.5.1 设X, Y和Z都是集合.如果F: X-Y和G: Y-乙则GF: X- Z;并且对于任何x€ X,有文档收集自网络，仅用于个人学习GF (x)= G(F(x))(这实际上是映射的积的本质)证明(略)(但要理解上式等号左右两边的不同含义，前者是两个映射的积(也是一个映射)作用在x上，后者是F先作用在x上，然后G 再作用在F(x)上).文档收集自网络，仅用于个人学习今后我们常用小写字母f, g, h,……表示映射.定理1.5.2 设X和Y是两个集合，f:X -Y.如果A, B_Y 则(1)八(A U B)= 一八(A)U 一…(B);(2)八(A A B)= 一八(A)门一…(B);J1 -1 /~1 /-I(3)一(A-B)=_ (A) -一(B).简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算.证明(略).定义1.5.3 设X和Y是两个集合，X Y.如果Y中的每一个点都有原象(即f的值域为Y,亦即f (X) =Y),则称f是一个满射，或者称f为一个从X 到丫上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点(即对于任何I ■:■，如果「I,则有■ '1 ■/ ，则称f是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称f为一个既单且满的映射，或者—映射. 文档收集自网络，仅用于个人学习如果f (X)是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当f (X) ={y}时，我们也说f是一个取常值y的映射. 文档收集自网络，仅用于个人学习易见，集合X中的恒同关系△( X)是从X到X的一个一一映射，我们也常称之为(集合X上的)恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号 '或i : X-X来表示它.根据定义易见，对于任何x€ X，有i(x)二x .概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射. 文档收集自网络，仅用于个人学习由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射.定理1.5.3 设X和Y是两个集合.又设f:X -Y.如果f是一个一一映射，则一八便是一个从丫到X的映射(因此我们可以写/ : Y—X)，并且是既单且满的.此外我们还有：文档收集自网络，仅用于个人学习=和门厂F证明(略)定理1.5.4 设X，丫和Z都是集合，f:X -Y，g: Y-乙如果f 和g都是单射，则gof:X —Z也是单射；如果f和g都是满射，则g - f:X -Z也是满射.因此，如果f和g都是一一映射，则gf:X -Z也是一一映射. 文档收集自网络，仅用于个人学习这个定理的证明留给读者.21 / 24定义1.5.4 设X和Y是两个集合，A是X的一个子集.映射f:X -Y 和g: A-Y如果满足条件g _f即对于任何a€A有f (a) =g (a), 则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作「特别地，恒同映射耳：X-X在X的子集A上的限制々\A: A-X称为内射.这时I我们有对于任何a € A,妆A(a)=a . 文档收集自网络，仅用于个人学习将映射定义作为一种特别的关系，从理论上来说是十分清晰的.这样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任何未经定义的对象.如果每一次定义一个映射都要将这个映射写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集，这毕竟是件麻烦事；因此我们在定义映射时宁愿采用我们从前惯用的办法：为定义域中的每一个点指定值域中的一个点作为它的象.以下我们定义往后经常要用到的两个映射作为例子. 文档收集自网络，仅用于个人学习定义1.5.5 设是n>0个集合，1<i <n.从笛卡儿积負一二七…:到它的第i个坐标集…的投射(或称第i个投射)’！: X^ …定义为对于每一一个■■ - ■- - ■'? —-1 _ -i i 文档收集自网络，仅用于个人学习定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系.从集合X到它的商集X/R的自然投射：p:X-X/R定义为对于每一个x € X，p (x) = A .文档收集自网络，仅用于个人学习作业：熟练掌握本节的所有定义与定理；注意定理132(2)与定理1.5.2的区别;熟练记忆P23习题1.2与定理1.5.2 .§ 1.6 集族及其运算设r是一个集合.如果对于每一个丫€『，指定了一个集合A, 我们就说给定了一个有标集族上，或者在不至于引起混淆的情形下干脆说给定了一个集族丄儿「，同时r称为（有标）集族的指标集. 文档收集自网络，仅用于个人学习定理1.6.2 设」…•是一个非空的有标集族，A是一个集合.则（1）对于任何,（2）分配律：（3）DeMorgan律：£-（% 召）=斗）证明（略）如果集族二儿「满足条件：对于每一个丫€ r,二都是某一个集合X 的子集，这时我们称这个集族为集合X的一个子集族.以下的两个定理讨论关系和映射与集族运算之间的关联.23 / 24。