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取棋子游戏问题摘要：棋子是一种很普通的东西，可是我们怎样能在已知的规则之下，取的胜利，这是我们本文的目的。
我们的规则是: ( 1）第一次拿者不可以拿掉所有棋子。
（2）其后两人轮流拿，每次最多拿掉前次拿掉棋子数目的两倍。
本文的特点是简单明了。
关键字：棋子，分析法问题重述：1 先拿胜还是后拿胜2 赢得策略模型假设与符号说明：1 当棋子数量足够多2 双方每次都拿很少模型的建立与计算：现在分析当乙拿完之后的情况，举几种特例，来总结一下。
当然，我们假设双方每次都拿很少，为了不让对方一次全部拿走。
(一)乙拿完之后剩余4个。
这个时候只要甲拿走一个，不管乙怎么拿甲都胜利。
（二）乙拿完之后剩余5个。
因为甲不能拿走全部，所以不管甲怎么拿，乙都胜利。
（三）乙拿完之后剩余6个。
甲拿一个。
（1）之后如果乙拿一个的话，则剩余四个，情况同前面，甲必胜；（2）如果乙拿两个，甲可以拿剩余的三个，甲胜利。
（三）乙拿完之后剩余7个。
甲拿两个。
（1）如果乙拿一个，则剩余四个，甲胜；（2）如果乙拿两个或大于两个，甲可以拿走剩余全部，甲胜。
（四）乙拿完之后剩余8个。
甲不能全部拿走，（1）甲拿一个，乙拿两个，乙胜（2）甲拿两个乙拿1个，乙胜（3）甲拿3个以上，乙就全拿走，乙胜。
剩余8个，乙必胜。
（五）乙拿完之后剩余9个。
甲拿1个，剩余8个，前面分析了，剩余8个的时候如果不能全部拿走，那么轮到谁拿谁就输。
所以甲胜。
（六）乙拿完之后剩余10个。
甲拿两个，还是给乙留8个，还是甲胜。
（七）乙拿完之后剩余11个。
甲拿三个，还是给乙留8个，还是甲胜。
（八）乙拿完之后剩余12个。
甲拿一个，（1）乙拿一个，胜10个，如前所述，甲胜;（2）乙拿两个，剩余9个，还是甲胜。
（九）乙拿完之后剩余13个，还是甲胜，还用多说么。
必胜策略已经出炉了。
当棋子足够多的时候，只要甲每次只拿一个，控制乙，乙只能拿一个或者两个。
那么慢慢拿下去，因为每个轮次最多只拿走三枚棋子，到最后就一定会出现乙拿完之后剩余11，10，9这三种情况之一，就是甲必胜。
七、取棋子游戏（必胜策略）姓名例题1：桌上有9个棋子，两人轮流取，每人每次取1个或2个，取到最后一个棋子的获胜。
●●●●●●●●●保证获胜的方法是：1、（先取个后取）2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
如果对手取1个，我就取个；如果对手取2个，我就取个；例题2：桌上有10个棋子，两人轮流取，每人每次取1个或2个，取到最后一个棋子的获胜。
●●●●●●●●●●保证获胜的方法是：1、（先取个后取）2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
如果对手取1个，我就取个；如果对手取2个，我就取个；练习1、桌上有15个棋子，两人轮流取，每人每次取1个或2个，取到最后一个棋子的获胜。
应该怎样取，才能保证获胜？●●●●●●●●●●●●●●●保证获胜的方法是：1、（先取个后取）2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
练习2、桌上有17个棋子，两人轮流取，每人每次取1个或2个，取到最后一个棋子的获胜。
应该怎样取，才能保证获胜？●●●●●●●●●●●●●●●●●保证获胜的方法是：1、（先取个后取）2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
练习3、桌上有12个棋子，两人轮流取，每人每次可以取1个、2个或3个，取到最后一个棋子的获胜。
应该怎样取，才能保证获胜？●●●●●●●●●●●●保证获胜的方法是： 1、（先取个后取）2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
如果对手取1个，我就取个；如果对手取2个，我就取个；如果对手取3个，我就取个；练习4、桌上有13个棋子，两人轮流取，每人每次可以取1个、2个或3个，取到最后一个棋子的获胜。
应该怎样取，才能保证获胜？●●●●●●●●●●●●●保证获胜的方法是：1、（先取个后取）2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
小学奥数精讲：对策问题之必胜策略知识点总结：一取余制胜（取棋子，报数游戏）1．每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可无余则后，总与对手凑成1+n即可2. 每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。
二．抢占制胜点（倒推法）1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2. 处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
三．对称法1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16 (4)有余数，先拿必胜，甲必胜。
（1）甲先拿4个；（2）乙拿a个，甲就拿6-a个2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。
同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。
请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10无余数，后拿必胜。
甲拿a个，乙就拿8-a个必胜3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。
规定将棋子移到最后一格者谁赢。
甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124 (7)有余，先走必胜。
（1）甲先走7格（2）乙走a格，甲就拿8-a个必胜4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。
谁取最后一张谁输。
必胜的策略是什么？分析：先拿4张，留给别人1张就行。
5.现有1000根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿1根，最多拿7根，谁取最后一根谁输。
30必胜策略知识点一．取余制胜（取棋子，报数游戏）1．每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可无余则后，总与对手凑成1+n即可。
2.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。
二．抢占制胜点（倒推法）1.能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位。
2.处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
三．对称法1.同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
2.不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16……4有余数，先拿必胜，甲必胜。
（1）甲先拿4个；（2）乙拿a个，甲就拿6-a个。
2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。
同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。
请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10无余数，后拿必胜。
甲拿a个，乙就拿8-a个必胜。
3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。
规定将棋子移到最后一格者谁赢。
甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7有余，先走必胜。
（1）甲先走7格（2）乙走a格，甲就拿8-a个必胜4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。
谁取最后一张谁输。
必胜的策略是什么？分析：先拿4张，留给别人1张就行。
5.现有1000根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿1根，最多拿7根，谁取最后一根谁输。
必胜策略知识点总结：一取余制胜（取棋子，报数游戏）1．每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可无余则后，总与对手凑成1+n即可2. 每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。
二．抢占制胜点（倒推法）1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2. 处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
三．对称法1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16 (4)有余数，先拿必胜，甲必胜。
（1）甲先拿4个；（2）乙拿a个，甲就拿6-a个2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。
同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。
请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10无余数，后拿必胜。
甲拿a个，乙就拿8-a个必胜3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。
规定将棋子移到最后一格者谁赢。
甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124 (7)有余，先走必胜。
（1）甲先走7格（2）乙走a格，甲就拿8-a个必胜4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。
谁取最后一张谁输。
必胜的策略是什么？分析：先拿4张，留给别人1张就行。
5.现有1000根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿1根，最多拿7根，谁取最后一根谁输。
小学奥数必胜策略原理红黑棋
1、每次取1到n个棋子，总数取最后一个赢。
策略是：总数÷（1+n）
有余则先拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可。
无余则后，总与对手凑成1+n即可赢。
2、每次取1到n个棋子，总数取最后一个输。
策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
3、抢占制胜点，倒推法。
能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位，处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
4、对称法
（1）同等情况下模仿对方步骤可以达到制胜目的。
（2）不同等情况下创造对等局面方可制胜。
5、同等情况下，无余数后拿必胜。
有余先走必胜。
例：乙走a格甲就拿8-a个必胜。
第27章取胜策略知识装备我们在进行比赛时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是取胜策略。
在小学数学中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都比较简单，但这类题的解答对我们的智力将是一种很好的锻炼。
初级挑战1小东和小民一起做游戏，他们把20粒棋子放在桌面上，然后轮流拿，每人每次只能拿1粒，取到最后一粒的一方胜出，小东想要获胜，那他应该先拿还是后拿？思路引领：因为每人轮流拿1粒，一个人拿第1、3、5、7…19粒，另一个人拿第2、4、6、8…20粒，所以要（）拿。
答案：后拿能力探索1盒子里有15根小棒，哥哥和妹妹每人每次只能拿1根，两人轮流拿，谁先拿到最后一根谁就赢，妹妹是先拿还是后拿才能赢呢？答案：先拿。
初级挑战2玩报22游戏，两人轮流报，从1开始，每人每次只能报2个数，谁先报到22谁就获胜，问先报的同学获胜还是后报的同学获胜？思路引领：第一个人报1、2，第二个人报3、4；第一个人再报5、6，第二个人再报7、8…，每（）个数为一组。
答案： 22÷4＝5（组）……2，所以要先报。
能力探索2桌子上放着27根火柴棒，贝贝和晶晶轮流每次拿2根，谁拿到最后一根谁就获胜，问先拿的获胜还是后拿的获胜？答案：27÷（2＋2）＝6（组）……3（根），后拿的获胜。
中级挑战1桌上有21个硬币，小邱和小红两人轮流取，每人每次取1个或2个。
谁取到最后一个谁就获胜。
小红该怎样取才能保证获胜？思路引领：小红要确保获胜，则要取到第18个硬币，因为接下来小邱取，无论取1个还是2个，小红一定能取到最后一个。
要取到第18个硬币，则要取到第15个硬币……以此类推。
要获胜必须要找准制胜点，即小红每次取后剩下的个数必须是3的倍数。
答案：21÷（1＋2）＝7（组）。
所以小红要后拿，而且每次拿的要和对手凑3（对手拿1个，我方拿2个，对手拿2个，我方拿1个。
每轮加起来固定拿3个），才能保证获胜。
毕生策略知识点总结：一取余制胜（取棋子，报数游戏）1．每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可无余则后，总与对手凑成1+n即可2. 每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。
二．抢占制胜点（倒推法）1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2. 处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
三．对称法1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16 (4)有余数，先拿必胜，甲必胜。
（1）甲先拿4个；（2）乙拿a个，甲就拿6-a个2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。
同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。
请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10无余数，后拿必胜。
甲拿a个，乙就拿8-a个必胜3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。
规定将棋子移到最后一格者谁赢。
甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124 (7)有余，先走必胜。
（1）甲先走7格（2）乙走a格，甲就拿8-a个必胜4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。
谁取最后一张谁输。
必胜的策略是什么？分析：先拿4张，留给别人1张就行。
5.现有1000根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿1根，最多拿7根，谁取最后一根谁输。
《取棋子问题》讲题比赛讲稿有两堆棋子，黑子8颗、白子15颗。
现甲、乙两人轮流取棋子。
每次取棋的规则是：若一次只取一种颜色，则可取任意颗；若一次取两种颜色，则两种颜色取的颗数必须相等。
请研究这个游戏的获胜策略。
一、选题背景本题涉及到我国古代的博弈论思想。
Nim game（尼姆博弈）和Wythoff’s （威佐夫博弈）都是博弈论中典型的“双人动态”最优博弈，本题属于Wythoff Game（威佐夫博弈）的一个典型例题。
二、获胜规则Normol规则：谁最后取，谁胜。
Misère 规则：谁最后取，谁输。
此题，我们主要研究Normol规则。
三、题目分析1、难点：过程抽象，可能性很多，较难找到规律。
2、重点：找到必胜的局面。
四、思路分析1、倒推法，即从最后的结果出发。
2、排除法，逐步删去必败局面。
五、解法分析1、根据题意，甲不能留下以下2种局面：（1）只剩一种颜色的棋子（0，n）（2）剩余的不同颜色的棋子数目相同（n，n）这里的n表示黑子或白子。
可排除以下局面。
2、根据倒推法，讨论（1，2）。
甲留下（1，2）给乙，不管乙如何取，甲都可以获胜。
必胜局面（1，2）。
其实甲、乙双方，只要谁将（1，2）留给对方，谁就必胜。
3、讨论甲留下的局面含有1和2的局面。
如果甲留下（1，3）给乙，乙可取走3颗中的1颗，留下（1，2）的局面给甲，此时甲不能获胜。
（1，4）…(1,15)同样的道理。
如果甲留下（2，3）给乙，乙可取走3颗里面的2颗，留下（1，2）的局面给甲，此时甲不能获胜。
（2，4）…(2,15)同样的道理。
规律一：留下的局面不能重复必胜局面中的数字。
根据此规律可排除以下局面。
4、讨论（3，4）局面（3，4）的棋子之差与必胜局面（1，2）的相同，如果甲留下（3，4）这种局面，乙可在两边同时取走2颗，留下（1，2）的局面给甲，甲不能获胜。
规律二：留下的局面中两棋子数目之差不能与必胜局面相同。
根据此规律课排除以下局面。
必胜策略小明和小芳二人轮流取棋子，每次至少取1枚，至多取2枚，一共有20枚棋子，谁取完最后1枚为胜，现在由小明先取，小明首先从棋子中取走2枚，就肯定赢了，这是为什么呢？【正确答案】因为取走2枚棋子以后，剩下的18枚棋子(20-2=18)可以通过不断地减3，一直到0(18- 3- 3-3-3 -3—3=O)．答：小明应该首先从20枚棋子中取走2枚，然后每次取走的棋子数保证和上次小芳取走的棋子数总和为3，小明必胜．如果棋子数改为18枚时，小朋友想一想结论如何？【正确答案】如果棋子数是18枚，先取的小明就一定输了．小朋友可以看出18可以通过不断减3，一直到得到“0”，所以后取的小芳就能取得最终的胜利．小明和小芳二人轮流取棋子，每次至少取l枚，至多取2枚，一共有20枚棋子，谁取完最后一枚算输．小明先取还可以获胜吗？【正确答案】小明是这样想的，只要我能保证取到第19枚棋子．就只剩下20-19=1枚棋子．这样小芳就输了，小明满怀信心地第1次取走1枚棋子，下面不管小芳怎样取棋子，小明总使自己取的棋子数与小芳取的棋子数加起来等于3，当小明最后取走第19枚时，就只剩下1枚了，小芳输了．思考：如果将棋子改为18枚，那么胜负结果又如何呢？请小朋友自己想一想，如果你真正掌握了这几个游戏取胜的“秘密”，那你自己就可以出题考考别的小朋友了．有一筐苹果53个，甲、乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果，规定谁拿走最后1个苹果，算谁输，如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略？【正确答案】53÷(1+2)=17……2，2 -1=1，甲要取胜，必须先拿走1个，然后每次与乙拿的苹果数值和是3，这样甲必胜．两人轮流报数，但报出的数只能是1至10的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到100，谁就获胜．怎样才能确保获胜？【正确答案】这个问题可以倒着想，要想使总和先达到100，应该最后给对方留下多少个数呢？由于每个人报的数最大是10，最小是1，因此对方最后一次报完数后，总和最大是99，最小是90，所以最后一次应该给对方留下11，也就是说要先达到100，就必须党达到89．如何抢到89这个数呢？采用同样的分析方法可知，应先达到78，依此类推，可以得到每次报数应占领的“制高点”是：100，89，78，67，56，45，34，23，12，1．所以解获胜的策略是：先报1，每次对方报一个不大于10的数时，你就报11减去这个数的值，这样每次你都能占领一个“制高点”，以确保获胜．如果对方一定要先报数，那么你可以利用对方不懂得这个秘诀的条件，去占领下一个“制高点”，从而确保获胜。
