结构力学第十一讲资料

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结构力学第十一讲

• 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
• 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零。
20
11.5 位移法计算连续梁及无侧移刚架
Ai
由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
18
11.4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
Δ1
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1
F2
位移法
基本体系
F1=0 F2=0
k111 k122 F1P 0 k211 k222 F2P 0
（5）杆件分析是结构分析的基础。
11.2 等截面直杆的形常数、载常数
形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力
载常数:由跨中荷载引起的固端力
MAB
一、杆端力和杆端位移的正负规定 1.杆端转角、杆两端相对位移Δ以顺
QAB θA
θB
时针为正。
2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；杆端剪力以使作用截面顺时针转
基本要求：熟练掌握位移法的基本原理和超静定梁、刚架在荷载作用下内力的计算。
主要内容：﹡位移法的基本概念 ﹡等截面直杆的形常数和载常数 ﹡位移法的基本未知量和基本体系 ﹡位移法方程 ﹡位移法计算连续梁和刚架
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。
M图 (kN.m)
21
例1：作图示刚架弯矩图
基本未知量 1 B , 2 C （1）取基本体系

第十一章双向板

米）的肋梁形成，肋可以是单向或双向的。双向密肋楼盖由于双向共同承受荷载作用，受力性能较好，且双向密肋较单向密肋美观，一般建筑上可不吊项，比较经济，应用较广。与平板相比．由于省去了薄板和小肋间的混凝土，可节约混凝土30％～50％。楼板自重大为减轻．钢材用量大量降低。技术经济合理，适应了大空间多层或高层建筑的需要。
二
构造要求 1 厚度 ≥80㎜ 2 刚度 h/lo1 ≥1/45 （4边简支） h/lo1 ≥1/50 （4边连续） 3 配筋弯起式和分离式 A弹性正弯矩：中间满，边缘半负弯矩：均匀满布 B塑性基本同上
11.3.5 双向板支撑梁的设计
双向板上的荷载按就近传递的原理向两个方向的支承梁传递，这样我们可以将双向板按45°角平分线分成四部分。每根支承梁承受两侧双向板上三角形或梯形部分的荷载，如图，为简化计算可把三角形或梯形荷载按照支座弯矩相等的原则转化为等效均布荷载，再用结构力学的方法计算支座弯矩，然后根据支座弯矩和实际荷载计算跨中弯矩。

11.3.2 弹性理论内力计算
单块双向板多跨连续双向板
一单块双向板在设计中，采用简化计算法，即假定支承梁无垂直变形，板在梁上可自由转动，应用单跨双向板的计算系数表进行计算，按这种方法进行计算时要求，在同一方向的相邻最小跨与最大跨跨长之比应大于0.75。 1 弯矩 m=表中系数×pl201 2 关于 m mν1=m1+νm2 mν2=m2+νm1 ν—泊松比对于砼可取0.2
正槽板
倒槽板
夹心板
通常做成自防水保温板，中间填充泡沫混
凝土等保温材料，集承重、保温和防水于一体。
预制大楼板（双向板）
各种预制板

同济大学朱慈勉结构力学第11章_结构的稳定计算

§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
P
即 : P 3klP k l 0
2 2 2
A 1.618
1
2.618kl 3 5 特征值: P kl 2 0.382kl
B C
k
Pcr 0.382kl ---临界荷载
y1 1 ---失稳形式 y2 1.618
P A
EI
y1
k k
y2
ky1
l
B
EI
ky2
l
C
(2lk P ) y1 kly2 0 整理得：(kl P ) y Py 0 1 2
为使y1、y2 不同时为零，令：
HB’
P
A’ B’
VB’
ky1 ky2
2kl P kl 0 ----稳定方程 kl P P
y
y(l ) l
y(l ) tanl
经试算： (l )min 4.493
2 Pcr min EI 4.493 2 EI ( ) EI 20.19 2 l l
2
3 2
5 2
l
§11-3 无限自由度体系的稳定——静力法
例11.8 求体系的临界荷载Pcr 。 P P
第十一两类稳定问题概述 §11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
§11-3 无限自由度体系的稳定 ——静力法 §11-4 无限自由度体系的稳定 ——能量法
§11-1 概述
强度验算薄壁结构刚度验算结构设计高强材料结构稳定验算——某些时候是必须的（如钢结构）主要受压的结构等强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的结构的计算简图来分析的；而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。

建筑力学第十一章静定结构的内力分析ppt课件

11.2 多跨静定梁
【例11-3】试作图11-16(a)所示的多跨静定梁的内力图。
11.2.2 多跨静定梁的内力
11.2 多跨静定梁
11.2.2 多跨静定梁的内力
11.2 多跨静定梁
11.2.2 多跨静定梁的内力
图10-17
11.1.1 结构计算简图
11.1 概述
(1)结构的简化。以梁的轴线取代实际构件,取桥墩中心距离l为计算跨度。
(2)结点的简化。只有一个构件,无结点。 (3)支座的简化。梁的实际支座结构如图11-7(ａ)所示。梁在竖向不能移动,水平方向也不能移动(梁与桥墩之间有摩擦力),温度变化时梁可伸缩。因此左端处可简化为固定铰链支座,右端处可简化为可动铰链支座,符合梁的实际受力变形特征。如果把右端处简化为固定铰链支座,则左端处可简化为可动铰链支座,也符合梁的实际受力变形特征。 (4)荷载的简化。将梁自重取为均布线荷载q,车辆重量以P1、P2 该结构简化后的计算简图如图11-7(c)
和内力图的绘制。（3）能够运用内力分析法和内力图进行实际工程计算。
11.1 概述
用一个简化的图形来代替实际结构,这个图形称为结构的计算简图。
11.1.1 结构计算简图
11.1 概述
1.计算简图的简化原则
要反映结构主要受力、几何及变形特征。
分清主次，略去次要因素，便于结构的力学计算。
11.1.1 结构计算简图
11.1 概述
1.梁
梁是一种以弯曲为主要变形的结构。截面内力:剪力和弯矩。
单跨梁多跨连续梁
11.1.2 平面杆系结构的分类
11.1 概述

CH11结构力学龙驭球第十一章位移法

5、已知杆端弯矩求剪力：取杆件为分离体建立矩平衡方程：
M AB M BA 0 QAB QAB l
QAB
θB
QBA
转角位移方程
MAB QAB MAB
‘ Q’ AB
P
QBA MBA
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时针转向为正。 0 QAB 是简支梁的剪力。 2、
P
0 QAB
+
‘ ’ QBA
4I 1 1
D
k11D1 k12D 2 F1P 0 k 21D1 k 22D 2 F2 P 0
E
4）画MP 、Mi;由平衡求2 ij、FiP k 2
ql 20 4 40 kN .m mBA =4i+3i+3i= 10i k11 8 2 8 52 ql 20 mBC =2i 41.7 kN .m k21 12 12 3i mCB 41.7 kN .m
2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
θA
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
ql2/12
2 EI A l
A l
βA EI=常数
C
A
C
F1=0
A A
B
A A A A
F1 0 F1 0
4 EI A l
Δ2
F2
4
3kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
F1P
4i
F1P=4 F2P=－6 6i
k11
1.5i
k21
k12
Δ2=1

《建筑力学》高版本教学课件建筑力学第十一章 (最终)

(a)
(b)
图 11-4
4. 超静定结构的类型常见的超静定结构的类型有梁、刚架、拱、桁架及组合结构等，如图11-5 所示。
图 11-5
11.1.2 超静定次数的确定
超静定结构具有多余约束，因而具有相应的多余未知力。通常将多余约束的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。
超静定结构的超静定次数常采用去掉多余约束的方法来确定。该方法就是去掉结构中的多余约束，代之以相应的多余未知力，使原结构变成静定结构，则
由于原结构在支座 B 处与Fx1相应的竖向位移 1等于零，所以，要使基本结构的受力与原结构完全一致，那么基本结构在荷载 q 和多余未知力
Fx1 共同作用下产生的 B点的竖向位移1也应等于零，这就要求 Fx1具有某一确定的数值。只有当 Fx1的值能保证 1= 0时，基本结构才能还原成原结构。所以，超静定结构只有唯一的一组解能同时满足静力平衡条件和变形
协调条件，这就是超静定结构解的唯一性定理。
根据上述 1 =0 的条件基本结构，可列写出求解多余未知力 Fx1 的力法方程。
设 11和 1P 分别表示基本结构在多余力 Fx1 和载荷 q 单独作用下 B 点沿 Fx1方向的位移，如图11-14b、c 所示，并规定与所设 Fx1正方向相同者为正。根据叠加原理，则有
量，梁会产生向上弯曲变形，故梁会因温度改变而产生内力。
(a)
(b)
图 11-3
除上述主要特征外，超静定结构还具有整体性强、变形小、受力较为均匀等特点，因而这种结构在实际工程中被广泛采用。例如，图11-4a 所示的两跨连续梁较图11-4b 所示的两跨简支梁，在力 F 作用点处的弯矩和挠度均为小。
解：① 选取力法的基本结构去掉 C 支座支杆，代之以多余未知力Fx1，得到如图11-15b 所示基本结构。 ② 建立力法方程以建立在 C 点处无竖向位移 (或沿Fx1方向总位移 1 = 0) 为条件，建立其力法方程，有

《建筑力学》课件第十一章

建筑力学
第十一章
静定结构的位移计算
第一节概述第二节刚体虚功原理及应用第三节变形体虚功原理及应用第四节荷载作用下静定结构的位移计算第五节图乘法计算位移
第一节概述
建筑结构在施工和使用过程中，由于荷载作用、温度变化、支座沉降、装配误差等因素的影响会发生变形。变形时，结构中各杆件横截面的位置会发生变动，这种位置的变动称为结构的位移。结构的位移分线位移和角位移两类。
结构位移计算的方法以刚体虚功原理为理论基础。
第二节刚体虚功原理及应用
一、刚体虚功原理
当体系在位移过程中，不考虑材料应变，各杆件只发生刚体运动时，
则该体系属于刚体体系。
功是代数量，当力与位移的方向相同时，功为正值；当力与位移的方
向相反时，功为负值；当功与位移相互垂直时，功为零。做功的力可以是
一个集中力，也可以是一个力偶，有时也可能是一个力系。用一个统一的
刚片DBC可以绕铰支座B做自由转动，D位移到D1，C位移到C1；因为AD刚片与DBC刚片是用两个平行于杆轴的链杆相连，位移后AD2仍应与D1BC1平行，点A因有竖向支杆竖向位移为零，故得到一虚设的可能位移状态，如下图所示。令上图所示的平衡力系在下图的虚位移上做虚功，
得虚功方程如下： FX X FF 0
q
FQC
2l
q (b a) 2
2．虚设一平衡力系，求静定结构的位移——虚力原理即单位荷载法
上图为一伸臂梁，支座 A 向下移动距离为 c1，现在拟求点
C 竖向位移。
上图中位移状态是给定的，为了应用虚功原理，应该虚设一平衡力系。为了能在点C竖向位移上做虚功，即与拟求的点C竖向位移对应，在点C加一竖向力F，则支座A的反力为Fb/a。F与相应的支座反力组成一平衡力系，如下图所示，这是一个虚设的力系状态。

建筑力学邹建奇第十一章

教学目标
理解位移法的基本概念，了解等截面直杆单跨超静梁的杆端内力，理解位移法的基本未知量和基本结构，理解位移法的典型方程，熟练应用位移法计算简单超静定梁和刚架。
教学要求
知识要点位移法的基本概念等截面直杆单跨超静梁的杆端内力位移法的基本未知量和基本结构位移法典型方程能力要求 (1) 理解位移法求解的基本思路 (1) 了解单跨超静定梁的固端弯矩和固端剪力 (2) 了解单跨超静定梁刚度系数力法相关知识
Ky
Kx
、
、
图11.3基本未知量和基本结构
2.独立结点线位移的确定。用位移法计算刚架时，一般忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，并且在微小变形的情况下，可认为杆件变形前的直线长度与变形后两端点联线长度相等，从而使每一个受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了独立的结点线位移数目。例如图11.3（a）中各弯曲杆变形前后长度保持不变，故1、2、3三个结点均有相同水平位移，因此只有一独立的结点线位移。独立结点线位移确定也可采用刚结点铰化的方法，即将所有的刚结点及固定端支座均改为铰结，从而得到一个相应的铰接体系。对所得到的铰接体系进行几何组成分析，若为几何不变体系，则体系没有结点线位移。若为几何可变体，则需在结点上添加支座链杆，使其成为几何不变体系。所需添加支座链的数目等于独立的结点线位移数。图11.3（b）示体系是几何可变的，必须在某结点处添加一根非竖向支座链杆（如虚线所示），才能成为几何不变体，故知原结构独立的结点线位移数目是1。
表11.2 单跨超静定梁刚度系数
11.3位移法的基本未知量和基本结构
位移法的基本未知量应是各结点的独立角位移和独立线位移。在计算时，应首先确定独立的结点角位移和线位移的数目。 1.独立角位移的确定。刚结点数目就是独立角位移数目。由于刚结点的特点，一个刚结点只有一个独立角位移。固端支座处，其转角等于零或已知的支座位移值。铰结点或铰支座处各杆端的转角，不是独立的，确定杆内力时可以不需要它们的数值，故可不作为基本未知量。例如图11.3（a）所示刚架,其独立角位移数是2。

哈尔滨工业大学 11 结构力学—— 结构的极限荷载-PPT文档资料

s
k F Pu F [ F ] 塑性设计时的荷载条件： Pw Pu k
哈工大土木工程学院

4
17 结构的塑性分析和极限荷载
理想弹塑性材料假设：
• 在OA段线性，满足 E
• 在 AB 段应力达到屈服，材料进入塑性流动；

s
A
C
B
E • 在C点卸载，满足
加载时是弹塑性，卸载时是弹性。
17 结构的塑性分析和极限荷载
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组李强
哈工大土木工程学院
1
17 结构的塑性分析和极限荷载
§17.1 极限荷载的概述
此前主要讨论结构的弹性分析： • • • 假定应力应变关系是线性的；荷载卸去后，结构无任何残余变形；应力达到材料的极限应力即认为结构将破坏；正常使用条件下弹性计算能给出足够准确的结果；以弹性极限作为设计依据的设计方法称弹性设计法。
• 塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；
• 截面弯矩一旦小于极限弯矩(卸载)，塑性铰即消失。
塑性铰与普通铰的差别：
1.塑性铰可承受极限弯矩～普通铰不承担弯矩 2.塑性铰是单向的～普通铰是多向铰 3.塑性铰卸载时消失～普通铰与荷载无关 4.塑性铰随荷载分布可出现于不同截面～普通铰位置固定
哈工大土木工程学院
哈工大土木工程学院

3
17 结构的塑性分析和极限荷载
为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的荷载，直至结构破坏。 • 结构所能够承担的最大荷载叫作极限荷载；
• 结构即将达到破坏时的状态称作极限状态；

龙驭球《结构力学Ⅱ》(第3版)章节题库-第十一章至第十八章【圣才出品】

δ11x1＋△1P＝0
（2）利用已知（a）作弯矩图。MP， M 1 如图 12-3
图 12-3 （3）图乘法计算系数和常数
5 / 52
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（4）确定基本未知量（5）作最后弯矩图如 12-4。
图 12-4 3．对图 12-5a 所示刚架选择计算方法，并作 M 图。
分配系数为
“固端弯矩”为杆 CE、BD 因其两端有相对线位移△1＝1 所产生的杆端弯矩，即
力矩分配计算（过程略）可得图，如图 12-5c 所示。由杆端弯矩求得杆端剪力为
由此求得
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（4）求自由项 F1p 用力矩分配法求荷载作用下图 12-5b 所示基本结构的 Mp 图，分配系数同上。固端弯矩为
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第 12 章超静定结构总论
1．图 12-1 所示结构各杆 EI 均为常数。试问求图示结构内力时采用什么计算方法最简便？（各小题均可简化到只有一个基本未知量。）
图 12-1
解：（a）力法；（b）半结构，位移法（或力矩分配法）；（c）分解荷载，半结构，力法：（d）半结构，位移法（或力矩分配法）；（e）q 作用下，取半结构，位移法；FP 分解，在反对称分量下取半结构，无剪力分配法；（f）取结构，力法。
图 12-5
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解：（1）分析可知，若仅用力法或位移法求解，基本未知量过多。又因结点 D 有竖向线位移，不能单独用力矩分配法，可运用位移法与力矩分配法联合求解。

结构力学第十一章

第一节
第二节章目录第三节
图 11.2
结构力学课件
第十一章结构的稳定性计算
第 1 节结构稳定问题概述
章目录
11.1.2
•
结构的失稳形式
通常,结构随荷载的增大,其原始平衡状态由稳定平衡转为不稳定平衡,此过程称为结构失稳。由于结构丧失稳定时,因变形迅速增大而具有突然性,常会给工程带来严重的不良后果,因此,结构设计除了需保证足够的强度和刚度外,还需要保证结构具有必要的稳定性。
第一节
第二节章目录第三节
结构力学课件
第十一章结构的稳定性计算
第 1 节结构稳定问题概述
章目录
11.1.2
• •
结构的失稳形式
根据结构失稳前后变形性质是否改变,结构失稳可分为两种基本形式:分支点失稳和极值点失稳. (１)分支点失稳(第一类稳定问题) 图11.2所示为
第一节
第二节章目录第三节
第一节
第二节章目录第三节
结构力学课件
第十一章结构的稳定性计算
第 1 节结构稳定问题概述
章目录
本节目录
11.1.1 11.1.2 结构的平衡状态结构的失稳形式
第一节
第二节章目录第三节
结构力学课件
第十一章结构的稳定性计算
第 1 节结构稳定问题概述
章目录
11.1.1
•
•
结构构件在荷载作用下将在某一位置保持平衡.从稳定的角度
考察平衡问题,其存在以下三种平衡状态: (１)稳定平衡状态如图11.1(a)所示,体系处于某种平衡状态,由于受微小干扰而偏离其平衡位置,在干扰消除后,仍能恢复至初始平衡位置,保持原有形式的平衡,则原始的平衡状态称为稳定平衡状态.

结构力学第11章

Fp=1
p
1
换句话说，在虚位移过程中单位荷载位置的位移图 p(x)反映了反力RB 随Fp=1荷载位置变化规律。即位移图p(x)就代表了RB 的影响线。
机动法作影响线的步骤： (a)欲求某一量值的影响线，解除与之相应的约束，用相应未知量代替； (b)沿相应未知量方向上产生单位位移，则所得位移图即为相应量的影响线。
§11.3
*间接荷载作用下
的影响线
上节中讨论影响线时，单位荷载都是直接作用于梁上，故称直接荷载作用下的影响线。在实际工程中，还存在另一种形式的荷载——间接荷载。如图(a)所示桥梁结构，主梁承受间接荷载（又称结点荷载）作用。下面讨论间接荷载作用下影响线的特点及绘制方法。 (1)容易证明，反力影响线及结点处MC和MD的影响线与直接荷载作用下的影响线完全相同。
A
x Fp=1
C l B
RA
a
b
RB
图(a)
1

图(b) RA影响线
1

图(c) RB影响线
a b/
A
求任一截面C的弯矩MC影响线，易得
x M C RB b b l lx M C RA a a l
(0 x a) (b)
l

图(d) MC影响线
(a x l)
RA
1
图(c)
RB
RA：

图(d)
(2)影响线: 当一个方向不变的单位荷载（广义荷载）沿一结构移动时，表示某一量值（反力、内力等）随荷载位置变化规律的函数图形，称为该量值的影响线。影响线是活载作用下结构分析计算的工具。影响线的用途 (a)确定一组荷载对结构某一量值的影响 (b)确定最不利荷载的位置及相应的最大值绘制影响线常用的方法有两种：静力法机动法

第11章结构的计算简图

第三篇结构力学第十一章结构的计算简图学习目标：1．了解结构的概念、构件的基本类型及荷载的分类；2．掌握结构计算简图的概念及结点、支座、荷载的计算简图；3．了解平面杆系结构的分类。

第一节结构及其类型一、结构建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分称为工程结构，简称为结构。

房屋中的梁柱体系，水工建筑物中的闸门和水坝，公路和铁路上的桥梁和隧洞等，都是工程结构的典型例子。

狭义的结构往往指的就是杆系结构，而通常所说的建筑力学就是指杆系结构力学。

二、结构的类型建筑力学研究的直接对象并不是实际的结构物，而是代表实际结构的计算简图。

因此，所谓结构的类型，也就是实际结构物计算简图的类型。

根据不同的观点，结构可分为各种不同的类型，这里只介绍两种最常用的分类方法。

(一)按照空间观点，结构可分为平面结构和空间结构。

组成结构的所有杆件的轴线和作用在结构上的荷载都在同一平面内，则此结构称为平面结构；反之，如果组成结构的所有杆件的轴线或荷载不在同一平面内的结构称为空间结构。

实际工程中的结构都是空间结构，但大多数结构在设计中是被分解为平面结构来计算的。

不过在有些情况下，必须考虑结构的空间作用。

(二)按照儿何观点，结构可分为杆系结构、板壳结构、实体结构1.杆系结构长度方向的尺寸远大于横截面尺寸的构件称为杆件。

由若干杆件通过适当方式连接起来组成的结构体系称为杆系结构。

如图11-1所示为一单层工业厂房中的一个横向承重排架，即为杆系结构。

梁、拱、框架、刚架都是杆系结构的典型形式。

如果组成结构的所有各杆件的轴线都位于某一平面内，并且荷载也作用于此同一平面，则这种结构称为平面杆系结构，否则便是空间杆系结构。

2.板壳结构厚度方向的尺寸远小于长度和宽度方向尺寸的结构。

其中：表面为平面的称为板(如图11-2(a)所示)，表面为曲面的称为壳(如图11-2(b)所示)。

例如一般的钢筋混凝土楼面均为平板结构，一些特殊形体的建筑如悉尼歌剧院的屋面就为壳体结构。

结构力学第三十七讲矩阵位移法

第十一章矩阵位移法
第十一章矩阵位移法
教学内容
教学内容：矩阵位移法基本思想，结构离散化，平面刚架单元的刚度矩阵（局部坐标系、整体坐标系），坐标转换矩阵，单元定位向量，单元集结构整体刚度矩阵，等效结点荷载，结构整体荷载列阵，先处理法。教学要求： 1、了解矩阵位移法的基本概念， 2、理解一般杆单元局部坐标系下的单元刚度方程；单元刚度矩阵的性质；连续梁单元的单元刚度矩阵（局部坐标系）；平面刚架单元的单元刚度矩阵（局部坐标系）；直接结点荷载；单元杆端力两种坐标系下的转换关系；坐标转换矩阵及性质；平面刚架单元整体坐标系下的单元刚度方程；整体刚度矩阵的性质；结构整体刚度方程；矩阵位移法的计算步骤。 3、掌握用矩阵位移法计算连续梁；用矩阵位移法计算刚架。重点：连续梁和刚架的矩阵位移法求解。难点：刚架的矩阵位移法方程的建立。
X ,Y, M满足右手法则。
5
6
6
2 3
3
5
4
1
1
4
2
X
Y
第十一章矩阵位移法
（5）单元杆端位移：
5
每杆端有：两个线位移（轴线、垂
直轴线）、一个角位移（转角）分量。 2
线位移的正方向与坐标正向正负相同， 3
角位移顺时针为正。
1
1
66
3
5
4
4
2
u1
v1 X1
Y
M1
1
Y1
u2
X
M2
v2
2
Y2 X 2
第十一章矩阵位移法
（2）单元杆端力向量
1 1
u1
v1
2 2
u2
v2
(1) (e)
(
2)

结构力学11.8 几点补充说明

结构力学讲稿
§11-8 几点补充说明
1、结点位移分量的编号，单元定位向量
第十一章矩阵位移法
如图所示刚架，进行结点编号，单元编号，结点位移编号。结点位移分量编号，也是结点外力分
量的编号，二者一一对应，见下表。
始末端结点号
单元
i
j
ui
结点位移分量编号（单元定位向量）
vi
i
uj
vj
j
①
1
2
1
2
3
4
5
86
结构力学讲稿
第十一章矩阵位移法
行（列）带宽：每行（列）从主对角线元素起到该行（列）最外一个非零元素止所包含的元素个数。行（列）带宽 = 该行（列）最大结点位移分量号最小结点位移分量号 + 1
最大带宽：所有各行（列）带宽中的最大值最大带宽 = 各单元结点位移分量编号的最大差值 + 1
前面已经介绍了后处理法，下面介绍先处理法。
第十一章矩阵位移法
如图示，共有 6 个结点位移分量作为求解的未知量。单刚中与 0 对应的行和列的元素，不送入总刚，便可直接形成缩减的总刚。忽略轴向变形：与传统位移法类似，各结点线位移不再相互独立。
如图示，采用先处理法，并忽略轴向变形，只有 3 个未知量。
此时，单元①、②、③均采用两端固定的梁单元。铰结点处的角位移需要单独编号。共有 13 个结点位移分量。
引入支承条件时，应考虑第 6 与第 7 个结点位移方向的约束反力为 0，即铰结点处的弯矩应为 0。 5、先处理支承条件及忽略轴向变形影响
88
结构力学讲稿
后处理法：先形成原始总刚，再引入支承条件。先处理法：先考虑支承条件，直接形成缩减的总刚。

结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定

结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
由静力条件，有：
由此得出极限荷载FPu，即有
最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它形式的截面形状，也有类似的结果。
结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
三、稳定问题
的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当 F达到临界值Fcr时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如图b—丧失第二类稳定性。
工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题
在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的
高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯矩是截面所能承受的最大弯矩，称为“极学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
比较两式可知：对于矩形截面，极限弯矩为弹性极限弯矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。
二、塑性铰和极限荷载
图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。
结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
丧失第一类稳定性的特征：
结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，
原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。图a所示由塑性材料制成
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b) 结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性

结构力学第11章静定结构总论

§11-2
零载法所示两体系W=0 图(a)所示两体系所示两体系
2. 从虚功原理角度看零载法
在零荷载作用下,应用虚功原理求约束力得到如图(b)的体系在零荷载作用下,应用虚功原理求约束力FX.得到如图的体系虚功方程为
FX X = 0
X ≠ 0 FX = 0
X = 0 FX × 0 = 0
§11-1
几何构造分析与受力分析之间的对偶关系为一个W=0的对称体系,分析此体的对称体系, 图(a)为一个为一个的对称体系系几何构造分析和受力分析之间的对偶关系. 系几何构造分析和受力分析之间的对偶关系. 几何构造分析: 几何构造分析: α≠0,体系几何不变且无多余约束; α≠0,体系几何不变且无多余约束; α =0,体系为几何可变(瞬变)且有多余约束. ,体系为几何可变(瞬变)且有多余约束. 受力分析(如图 , 受力分析(如图(b), (c) ):
§11-3
空间杆件体系的几何构造分析
规律3 一刚体与另一刚体(基础用六根链杆相联, 基础)用六根链杆相联规律一刚体与另一刚体基础用六根链杆相联,如链杆中有三根位于同一平面内而不交于一点, 根位于同一平面内而不交于一点,当六根链杆不交于同一直线时,则组成几何不变的整体,且无多余约束. 一直线时,则组成几何不变的整体,且无多余约束. 例11-3 试分析图示体系的几何构造. 试分析图示体系的几何构造. 去掉六根支杆, 解去掉六根支杆,分析体系内几何构造 ABCD是一个铰接四面体,在此基础是一个铰接四面体, 是一个铰接四面体按规律1由 , , 联结结点联结结点E, 上:按规律由BE,CE,DE联结结点 , 构成一个大刚体;重复应用规律1, 构成一个大刚体;重复应用规律 ,依次联结结点F, , , 联结结点 ,G,H,构成几何不变且无多余约束的整体. 余约束的整体. 由规律2,体系是无多余约束的几何不变体系. 由规律 ,体系是无多余约束的几何不变体系.

结构力学PPT 第11章

MCD 3iCD 2 3 2
M BE 4iBE 1 3 1
M EB 2iEB 1 1.5 1
MCF 4iCF 2 2 2
MFC 2iFC 2 2
（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量
B
M BA
M BC
M BE
M BA M BE M BC 0
Q 3i / l2
形常数表
单跨超静定梁简图
MAB
θ=1
A
B
4i
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l 12i
l2 3i l
3i l2
0
11.2.2 等截面直杆的载常数
载常数：等截面直杆只受荷载作用时，所得的杆
端力通常称为固端力（固端弯矩或固端剪力）。固
结构力学
<I>
临沂大学建筑学院结构力学学科组
第十一章
§11.1 位移法的基本概念
在解超静定问题时，先求力后求位移叫做力法，若先求位移后求力则称位移法。力法的基本未知量是多余未知力，建立求解未知量的方程是根据变形协调条件，而位移法则是以某些结点的位移作为基本未知量，通过力的平衡条件建立求解未知量的方程。
位移法有两种解题方法：直接平衡方程法和基本体系法。其中直接平衡方程法的计算步骤为：（1）确定基本未知量；（2）将结构拆成超静定（或个别静定）的单杆；（3）查表，列出各杆端转角位移方程；（4）根据平衡条件建立平衡方程（一般对有转角位移的刚结点取力矩平衡方程，有结点线位移时，则考虑线位移方向的静力平衡方程）。（5）解出未知量，求出杆端内力。（6）作出内力图。

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MAB>0
动为正号。
二、形常数
根据力法求解：
1
QBA MBA
MBA<0
Δ
M AB 4i,
i=EI/l
M BA 2i
2i
4i
M
由单位杆端位移引起的形常数
单跨超静定梁简图
MAB
θ=1
A
B
4i
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
6i l
3i 3i l
i
MBA
2i 6i l
0 0 -i
QAB= QBA
基本体系：把基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的体系，称为原结构的基本体系。
q
原结构
2
1
基本体系
q
基本结构
1
2
基本体系
q
角位移举例：
B、C两个刚结点，有两个角位移。
B为组合结点，它的左右各有一个刚结点，有两个角位移。 CD外伸部分是静定的可以去掉。
线位移举例：
图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成几何不变体系（图b所示），有两个线位移。
8EI l
A
ql 2 12
0
2E l
I
A
B
2E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
B ql2/48
A
ql3 96 EI
4
E l
I
A
位移法要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系. （3）位移法的基本方程是平衡方程；（4）建立基本方程的过程分为两步：
A.把结构拆成杆件，进行杆件分析； B.再把杆件综合成结构，进行整体分析；
力法——以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。位移法——以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架（多层多跨刚架）
力法----有六个未知量。位移法----用结点位移作未知量，只有一个未知量。
11.1 位移法的基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
q
F1P
q
ql2/12
A
C
θA
EI=常数
ql2/12
A
C
F1P
ql 2 12
l
B
ql2/24 A
l
B
4EI l
A
θA
4
E l
I
A
F11 A
2
E l
I
A
C
5ql2/48 C
4
EθIA
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
F1 F11 F1P 0
16
3 2 1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
结点转角的数目：3个
独立结点线位移的数目：2个
17
分析: (1)铰处的转角不作基本未知量。 (2) 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基
本未知量。
D
B
E
C
A
(3)结构带无限刚性梁时，若柱
Δ
子平行，则梁端结点转角为0，若
柱子不平行，则梁端结点转角可
•k11、k21── 基本体系在Δ1=1单独作用时，
附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•k12、k22── 基本体系在Δ2=1单独作用时，附加约
束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加
约束1、2中产生的约束力矩和约束力。
位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。
基本要求：熟练掌握位移法的基本原理和超静定梁、刚架在荷载作用下内力的计算。
主要内容：﹡位移法的基本概念 ﹡等截面直杆的形常数和载常数 ﹡位移法的基本未知量和基本体系 ﹡位移法方程 ﹡位移法计算连续梁和刚架
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。
由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
18
11.4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
Δ1
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1
F2
位移法
基本体系
F1=0 F2=0
k111 k122 F1P 0 k211 k222 F2P 0
• 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
• 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零。
20
11.5 位移法计算连续梁及无侧移刚架
Ai
M图 (kN.m)
21
例1：作图示刚架弯矩图
基本未知量 1 B , 2 C （1）取基本体系
F1P F2P
k11
Δ1 Δ1=1
k21
× Δ1
k12
× Δ2
Δ2=1
k22
19
n个结点位移的位移法典型方程 k111 k122 k1nn F1P 0 k211 k222 k2nn F2P 0 kn11 kn22 knnn FnP 0
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
（5）杆件分析是结构分析的基础。
11.2 等截面直杆的形常数、载常数
形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力
载常数:由跨中荷载引起的固端力
MAB
一、杆端力和杆端位移的正负规定 1.杆端转角、杆两端相对位移Δ以顺
QAB θA
θB
时针为正。
2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；杆端剪力以使作用截面顺时针转
一、位移法基本未知量独立的结点位移：包括角位移和线位移
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角
1
2
1
结点角位移数Байду номын сангаас 刚结点的数目独立结点线位移数：铰结体系的自由度
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
1
2
3
二、基本体系
基本结构:增加附加约束（刚臂、链杆）后,使得原结构的结点不能发生位移的结构。
3m
20kN
B
3m
2kN/m
i
C
6m
k111 F1P 0
1
F1P k11
6 7i
15
A
A 2i
16.72
A
20kN15 9F1P 2kN/m
B
C
15
F1P 9
MP
F1P=15－9=6
4i k11
Δ1=1
B
C
k11 3i
M1
4i
3i k11=4i+3i=7i
11.57 9
30
B
C
11.57
11.57 ∑MB=0
6i l 12i
l2 3i l
3i l2
0
由跨间荷载引起的载常数
单跨超静定梁简图
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
A
B
P
A
B
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B
A
P B
A
l/2
l/2
mAB
ql 2
12 Pl
8 ql2
8 3Pl
16
mBA
ql 2 12 Pl 8
0
0
11.3位移法基本未知量和基本体系

结构力学第十一讲资料

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