正方形的性质及判定
正方形的性质
及判定
板块名称 中考考试要求层次
A
B
C
正方形
会识别正方形
掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题
会用正方形的知识解决有关问题
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
3．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系
2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。
4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点
教学目标
知识点睛
中考要求
正
方形
菱形
矩形平行四边形
重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点：正方形知识的灵活应用
一、正方形的性质
【铺垫】正方形有条对称轴．
【例1】☆⑴已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则:
BDEF ABCD
S S=
正方形正方形
⑵如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且
20
AE AF AF
⊥=
，，则BE的长为
F
E
D
C
B
A
⑶如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，
若1
AG=，2
BF=，90
GEF
∠=︒，则GF的长为．
【例2】☆将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点
12
...
n
A A A
，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
A5
A4
A3
A2
A1
【例3】☆如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于点E，连接CE，P是CE上任意一点，PM BC
⊥于M，PN BD
⊥于N，则PM PN
+的值为
例题精讲
重、难点
P
N
M
E D
C
B
A
【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．
E
D
C
B
A
【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：
AP EF =.
F E
P
D
C
B A
【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交
于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．
M N C
D
O B A
【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=
P
D
C
B
A
【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：
BEF ∆是等腰直角三角形．
G
E H D
F
C
B
A
【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角
线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．
N
M
F
E
D
C
B
A
【例7】 ☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相
交于点F ，则AFD ∠=
F
E
D
C
B
A
【例8】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结
BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．
3
14
2
F
E G
H
C
D
B
A
【巩固】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，
求证DF DE =．
G
F
E
B
D
A
【例9】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，
BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.
