正方形的性质及判定复习课程

第05讲正方形的性质与判定1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.考点1：正方形的性质例1．正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角线平分一组对角例2．正方形具有而菱形不一定有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角相等D ．四条边相等考点2：利用正方形的性质求长度例3．正方形一条对角线长为22，则周长为（）A ．4B ．42C ．8D ．82例4．如图，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长是（）A ．13cm B ．15cm C ．17cm D ．20cm例5．如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，作EF AB ⊥于点F ，连接DE ，若114BC BF ==，，则DE 的长为（）A ．36B ．62C ．213D 65考点3：利用正方形的性质求角度例6．一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若1∠=α，则2∠=（）A ．45α-︒B ．90α-︒C ．270α︒-D ．180α︒-例7．如图，以正方形ABCD 的一边BC 向正方形外作等边EBC ，则AED ∠的度数是（）A ．30︒B ．20︒C ．15︒D ．10︒例8．如图，已知正方形ABCD 中，DA DE =，CF AE ∥，则ECF ∠的度数是（）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒考点4：利用正方形的性质求面积例9．如图，正方形ABCD 的边长为8，在各边上顺次截取6AE BF CG DH ====，则四边形EFGH 的面积是（）A ．34B ．36C ．40D ．100例10．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，4AB =，则正方形ACEF 的面积为（）A ．8B ．12C ．16D ．20例11．如图，在ABC 中，90B Ð=°，2AB =，4BC =．四边形ADEC 是正方形，则正方形ADEC 的面积是（）A ．8B ．12C ．18D ．20例12．如图将边长为a 的大正方形与边长为b 的小正方形放在一起(0,0)a b >>，则三角形AEG 的面积（）A ．与a 、b 大小都有关B ．与a 、b 的大小都无关C ．只与a 的大小有关D ．只与b 的大小有关考点5：正方形的判定例13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，下列条件中，能使矩形ABCD 成为正方形的是（）A ．AC BC =B ．60AOB ∠=︒C ．OA AD =D ．BC CD =例14．有下列四个条件：①90ABC ∠=︒；②AC BD ⊥；③AB BC =；④AC BD =；从中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD 为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④考点6：中点四边形例15．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（）A ．菱形的四条边都相等B ．菱形的对角线互相垂直C ．菱形的对角线互相平分D ．以上答案都不对例16．如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，顺次连接四边形ABCD 各边中点得到四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（）A ．AC ⊥BDB ．AB ＝CDC ．AB ∥CD D ．AC ＝BD例17．若顺次联结一个四边形各边的中点得到的图形是矩形，则这个四边形的对角线（）A ．互相平分B ．相等C ．互相垂直D ．互相垂直且平分考点7：正方形的判定与性质综合例18．如图，点E 是正方形对角线AC 上一点，过E 作EF AD ∥交CD 于F ，连接BE ，若5BE =，4DF =，则AC 的长为（）A ．42B ．52C ．62D ．72例19．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 边上一点（与点A 、D 不重合），连接CE ，交BD 于点F ．当DEF 是等腰三角形时，则AE 的长为（）A ．12B ．23C ．21-D ．22-例20．如图，正方形ABCD 边长为10，点M 在对角线AC 上运动，N 为DC 上一点，DN ＝2，则DM +MN 长的最小值为（）A ．8B ．10C ．241D ．102例21．如图，ABCD 为正方形，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为Rt △，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例22．ABCD 是边长为1的正方形，BPC 是等边三角形，则BPD 的面积为()A ．14B 314-C ．18D ．318考点8：正方形的判定与性质解答题例23．如图，若四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且2OA OB OC OD AB ===，则四边形ABCD 是正方形吗？例24．如图，M 、N 分别是正方形ABCD 的边AD CD 、的中点，CM 与BN 交于点P ，连结AP ，求证：AP AB =．例25．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF =BE ．（1）求证：CE =CF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE =45°，则GE =BE +GD 成立吗？为什么？例26．如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE ＝DF ．(1)≌△CDF ；(2)若AB ＝2，BE ＝2，求四边形AECF 的面积．例27．如图，正方形ABCD 中，AE BF =．(1)求证：BCE CDF ≌；(2)求证：CE DF ⊥；(3)若6CD =，且2241DG GE +=，则BE =_______．一、单选题1．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）下列命题为假命题的是（）A ．对角线相等的平行四边形是矩形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C ．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D ．有一组邻边相等的矩形是正方形2．（2021·广西玉林·统考中考真题）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：a .两组对边分别相等b .一组对边平行且相等c .一组邻边相等d .一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c则正确的是：（）点F是边AB上一点，连接A．45︒B．侧作正方形APCD、正方形PBEF,A．2αB．90°﹣度数为（）A．50°B．55°二、填空题、相交于点O，6．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC BD在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形ABCD是正方形．7．（2015·广西南宁·中考真题）如图，在正方形ABCD外作等边ADE，则∠=___________︒．BED8．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，点P 是正方形ABCD 内位于对角线AC 下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC 的度数为_____°．三、解答题9．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是正方形，G 为线段AD 上任意一点，CE BG ⊥于点E ，DF CE ⊥于点F ．求证：DF BE EF =+．10．（2019·四川内江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一点，点F 是CD 延长线上的一点，且BE DF =，连结,,AE AF EF ．（1）求证：ABE ∆≌ADF ∆；（2）若5AE =，请求出EF 的长．11．（2021·山东泰安·统考中考真题）四边形ABCD 为矩形，E 是AB 延长线上的一点．（1）若AC EC =，如图1，求证：四边形BECD 为平行四边形；（2）若AB AD =，点F 是AB 上的点，AF BE =，EG AC ⊥于点G ，如图2，求证：DGF △是等腰直角三角形．12．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）以Rt ABC ∆的两边AB 、AC 为边，向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，过点A 作AM BC ⊥于M ，延长MA 交EG 于点N ．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，AB AC =，易证：EN GN =；（2）如图2，90BAC ∠=︒；如图3，90BAC ∠≠︒，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．13．（2023·陕西·模拟预测）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE ，CF ．(1)如图1，求证：ADE V ≌CDF ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若4AB =，2DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值．一、单选题长为()A ．5cm4．如图，四边形ABCDA．22.5°B 5．如图，正方形A．406．如图，在正方形若AB=4，则线段AE的长为（A．22B交CD于点G．若1AE=，A．2B．1 AF相交于点G，点A．3439．如图，在正方形接DE，F是DE的中点，连接CF的距离为（）A ．235B ．435()A ．①③二、填空题11．正方形是有一组邻边_______，并且有一个角是_______的平行四边形，因此它既是______又是________．12．若正方形的边长为a ，则它的对角线长为__________．13．已知矩形ABCD ，给出三个关系式：①;AB BC =②;AC BD =③,AC BD ⊥如果选择关系式__________作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是_______________________________.14．在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE =AB ，则∠EBC 的度数是___________．15．作正方形ABCD 中对角线AC 的平行线BF ，点E 在直线BF 上，且四边形AEFC 是菱形，贴EAB ∠=_______．16．如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CE ，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点F ．若6AF =，10EC =，则正方形ABCD 的面积为___．17．如图，在正方形ABCD交AD于F．当∠18．如图,点P是正方形⑤PD=2EC，其中正确结论的序号是=+．求证：AF DF BE20．如图，若四边形ABCD则四边形21．如图，求证：22．如图，交AG23．如图，E ，F 是正方形(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)若AB ＝32，BE ＝2，求四边形24．如图，正方形ABCD 中，EF ED ⊥，交AB 于点F ，以(1)求证：①EFB EBF ∠=∠②矩形DEFG 是正方形；(2)求AG AE +的值．25．已知，四边形ABCD 是正方形，连接AE ，CF(1)如图1，求证：ADE CDF V V ≌；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 点N ，证明矩形BMGN 是正方形②如图3，连接BG ，若4AB =，2DE =直接写出在DEF 旋转的过程中，线段最小值．。

正方形的性质与判定（1）主讲：叶良国课题：正方形的性质与判定（1）课型：新授课教学目标：1．了解正方形概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质和判定定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重难点：重点：探索正方形的性质与判定。

难点：掌握正方形的性质和判定的应用方法。

关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容教学过程教学过程：一、回忆童年，情境引入想一想：什么是矩形？是菱形？做一做：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．设计意图：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．猜一猜：什么样的平行四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形看一看：几何画板演示动画设计意图：从学生的生活实际出发，从制作、动画中，提出问题，创设情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲。

我们这节课就来研究正方形．板书课题【正方形的性质与判定】二、实践探究，交流新知师：其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形），所以说正方形既是菱形又是矩形．平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．生：画图展示设计意图：锻炼学生文本信息图形化的能力．构建他们之间的逻辑关系；重建学生的认知结构．师：正方形都具有什么性质呢？生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．（多媒体补充显示性质）正方形性质①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．师：同学们从正方形定义中能尝试口述这两个命题的证明过程吗？生：学生独立完成，并相互交流师：正方形有几条对称轴？生：思考或者画图验证师：什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？（多媒体演示）设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系，明确正方形的判定。

正方形的性质与判定教学目标：1. 理解正方形的定义及其性质。

2. 学会使用正方形的性质进行判定。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 正方形的性质。

2. 正方形的判定方法。

教学难点：1. 正方形性质的灵活运用。

2. 正方形判定方法的掌握。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 正方形模型或图片。

3. 练习题。

教学过程：第一章：正方形的定义1.1 引入：展示正方形模型或图片，引导学生观察并猜测正方形的定义。

1.2 讲解：正方形是四条边相等且四个角都是直角的四边形。

1.3 互动：让学生举例说明生活中常见的正方形，如棋盘、正方形纸等。

第二章：正方形的性质2.1 引入：展示正方形模型或图片，引导学生观察正方形的性质。

2.2 讲解：正方形的性质包括：四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。

2.3 互动：让学生运用正方形的性质解决问题，如计算正方形对角线的长度。

第三章：正方形的判定3.1 引入：展示非正方形的模型或图片，引导学生思考如何判断一个四边形是否为正方形。

3.2 讲解：正方形的判定方法包括：四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。

3.3 互动：让学生举例说明如何判断一个四边形是否为正方形。

第四章：正方形的应用4.1 引入：展示正方形应用的例子，如正方形图案设计、正方形桌面等。

4.2 讲解：正方形在实际生活中的应用，如建筑设计、电路板设计等。

4.3 互动：让学生举例说明正方形在实际生活中的应用。

第五章：总结与练习5.1 总结：回顾本节课所学的内容，强调正方形的定义、性质和判定。

5.2 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。

教学反思：本节课通过展示正方形模型或图片，引导学生观察和思考正方形的性质和判定。

通过互动和举例，让学生更好地理解和应用正方形的性质。

在教学过程中，要注意引导学生主动参与，培养他们的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

第六章：正方形边的性质6.1 引入：通过正方形模型或图片，引导学生关注正方形边的性质。

《正方形的判定》讲义一、正方形的定义在平面几何中，正方形是一种特殊的四边形。

它的定义为：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。

要深刻理解正方形的定义，我们需要明确以下几个关键点：1、四条边相等：这意味着正方形的边长长度是完全一致的。

2、四个角都是直角：直角的度数为 90 度，所以正方形的四个角都是 90 度。

二、正方形的性质在探讨正方形的判定方法之前，我们先来了解一下正方形所具有的一些重要性质：1、边的性质四条边长度相等。

对边平行。

2、角的性质四个角均为直角（90 度）。

3、对角线的性质对角线相等。

对角线互相垂直平分。

对角线平分一组对角。

4、对称性正方形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。

正方形也是轴对称图形，有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线以及两组对边中点连线所在的直线。

三、正方形的判定方法1、有一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形若一个平行四边形满足邻边相等，那么它已经是菱形。

而如果在菱形的基础上，再有一个角是直角，那么根据矩形的定义（有一个角为直角的平行四边形是矩形），这个图形既是菱形又是矩形，所以它就是正方形。

例如，在平行四边形 ABCD 中，如果 AB ＝ AD 且∠A ＝ 90°，那么四边形 ABCD 就是正方形。

2、有一组邻边相等的矩形是正方形矩形的特点是四个角都是直角。

当矩形的一组邻边相等时，它就满足了正方形四条边相等的条件，从而成为正方形。

比如，矩形 ABCD 中，若 AB ＝ AD ，那么它就是正方形。

3、有一个角为直角的菱形是正方形菱形的特点是四条边相等。

当菱形有一个角为直角时，它就满足了正方形四个角都是直角的条件，进而成为正方形。

例如，菱形 ABCD 中，若∠A ＝ 90°，那么它就是正方形。

4、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形如果一个四边形的对角线互相垂直平分，那么它是菱形；如果对角线还相等，那么它就同时满足了矩形的特征（对角线相等的平行四边形是矩形）。

正方形的性质和判定（讲学稿）一、正方形的定义一般定义：有一组邻边，并且有一个角是角的四边形叫做。

特殊定义：有一组邻边的形叫做。

有一个角是角的形叫做。

二、正方形的性质1、从正方形“从属于矩形的范畴”来看，正方形有什么性质（1）、从“特殊定义”来看，正方形是形，所以矩形具有的性质，正方形都（填：该、不该）拥有。

（2）、可见正方形的“四个角”都是角，两条对角线除了互相，还。

2、从正方形“从属于菱形的范畴”来看，正方形有什么性质（1）、从“特殊定义”来看，正方形是形，所以菱形具有的性质，正方形都（填：该、不该）拥有。

（2）、可见正方形的“四条边”都，两条对角线除了互相，还互相，并且每一条对角线都一组对角。

3、全面总结正方形的性质（1）、正方形的四个角都是角，四条边都，两条对角线互相，且，并且并且每一条对角线都一组对角成度。

（2）、正方形是对称图形，两条对角线的交点是它的；正方形是对称图形，两条对角线、以及对边中点连线所在的直线是它的。

（3）、正方形的“一条”对角线把它分割成“两个”全等的三角形；正方形的“两条”对角线把它分割成“四个”全等的三角形；三、正方形的判定思路1、从定义来看先证明它是平行四边形，再证明它有一组相等，且有一个角是角。

2、从其它方面来看（1）、先证明它是“菱形”，再证明它有；（2）、先证明它是“菱形”，再证明它的对角线；（3）、先证明它是“矩形”，再证明它有；（4）、先证明它是“矩形”，再证明它的对角线；〈总结〉：以上四种判定方法的思路是：要证明一个四边形是“正方形”，我们可以设法证明它既是形，又是形。

四、图形的形状判定练习1、四条边都相等的四边形是形；2、四个角都相等的四边形是形；3、对角线的“四边形”是平行四边形；4、四条边都相等，并且有个角是的四边形是正方形；5、四个角都相等，并且有组的四边形是正方形；6、对角线的“矩形”是正方形；7、对角线的“菱形”是正方形；8、对角线的“平行四边形”是正方形；9、对角线的“四边形”是正方形；10、两组对边都平行的四边形是形；11、两组对边都相等，并且有一组邻边相等的四边形是形；12、一组对边平行且相等，并且有一个角是直角的四边形是形；13、一组对边平行且相等，并且两条对角线相等的四边形是形；14、两组对边都相等，并且两条对角线互相垂直的四边形是形；15、两组对边都平行，并且对角线相等，且互相垂直的四边形是形；五、猜图形的形状1、有一个四边形，它的对角线互相平分，并且有一组对边相等，那么它是形；2、有一个四边形，它的对角线相等，那么它一定是矩形吗？答：；3、有一个四边形，它的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗？答：；4、有一个四边形，它的对角线互相平分，那么它一定是平行四边形吗？答：；5、有一个四边形，它的对角线相等且互相平分，那么它一定是矩形吗？答：；6、有一个四边形，它的对角线互相垂直平分，那么它一定是菱形吗？答：；7、有一个四边形，它的对角线相等且互相垂直，那么它一定是正方形吗？答：；8、某四边形，它的对角线相等且互相垂直平分，那么它一定是正方形吗？答：；9、某四边形，它的对角线相等且互相平分，并且有一个角是直角，那么它是形；10、某四边形，它的对角线互相垂直平分，并且有一组邻边相等，那么它是形；11、两条对角线互相垂直平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；12、两条对角线相等且互相平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；13、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线互相垂直，那么它是形；14、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线也相等，那么它是形；15、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线互相平分，那么它是形；16、对角线相等且互相平分，并且四条边都相等的四边形是形；17、对角线相等且互相垂直，并且四条边都相等的四边形是形；18、对角线互相垂直平分，并且四条边都相等的四边形是形；19、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；20、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；21、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线相等且互相垂直，那么它是形；22、对角线相等且互相平分，并且四个角都相等的四边形是形；23、对角线相等且互相垂直，并且四个角都相等的四边形是形；24、对角线互相垂直平分，并且四个角都相等的四边形是形；25、有一个四边形，它的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗？答：；26、某四边形，它有一组邻边相等，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；27、某四边形，它有一组邻边相等，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；28、某四边形，它有一组邻边互相垂直，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；29、某四边形，它有一组邻边互相垂直，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；30、对角线相等且互相平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；31、对角线相等且互相垂直平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；32、对角线相等且互相垂直平分，并且两条对角线都平分对角的四边形是形；33、对角线相等且互相垂直平分的四边形是形；六、理解从属关系，让基本图形之“性质”、“判定”皆归于简单平行四边形是特殊的形，菱形是特殊的形，矩形是特殊的形，正方形是特殊的形，也是特殊的形，更是特殊的形，更更是特殊的形。

正方形的性质与判定教案教案：正方形的性质与判定一、教学目标1.理解正方形的定义和性质。

2.能够判断一个图形是否为正方形。

3.能够运用正方形的性质解决相关问题。

二、教学内容1.正方形的定义和性质。

2.正方形的判定方法。

3.正方形的应用。

三、教学过程Step 1：引入话题（5分钟）教师向学生介绍正方形这一图形，并引出正方形的定义和一些常见的性质。

Step 2：正方形的定义（15分钟）1.教师通过投影或者板书向学生展示正方形的定义：四条边相等且四个角都是直角的四边形。

2.引导学生观察正方形，并与定义进行比较，确保学生理解正方形的定义。

3.教师提供一些真实生活中的正方形图像，让学生找出图中的正方形，并对其进行命名。

再让学生用自己的话解释正方形的定义。

Step 3：正方形的性质（15分钟）1.教师通过投影或者板书讲解正方形的一些常见性质，如：四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且垂直等。

2.学生根据教师的讲解，进行思考和讨论，总结正方形的性质，并记录在笔记中。

3.教师给出一些练习题，让学生运用正方形的性质进行解答。

Step 4：正方形的判定（20分钟）1.教师给出一些图形，让学生判断是否为正方形，并解释判断的依据。

2.学生进行小组合作活动，互相检查答案，并找出判断正方形的关键点。

3.学生将判定的依据总结出来，向全班汇报。

Step 5：正方形的应用（20分钟）1.教师讲解正方形在实际生活中的应用，如：建筑设计、画框制作等。

2.学生通过小组合作，思考并总结其它正方形的应用，并向全班汇报。

3.教师提供一些问题，让学生运用正方形的性质和应用解决问题。

Step 6：课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行小结，并对学生的学习情况进行评价。

四、教学评价方法与学习活动设计1.教学评价方法：-师生互动的提问评价：教师通过提问学生，检查学生对正方形定义和性质的理解程度。

-小组合作评价：学生通过小组合作，互相检查问题、判断正方形、总结正方形性质等活动，从而培养学生的团队协作能力和思维的综合能力。

正方形的性质与判定课时安排：每章25分钟教学目标：1. 理解正方形的性质2. 学会正方形的判定方法教学准备：1. 投影仪2. 正方形模型3. 几何画板一、正方形的定义与性质1.1 正方形的定义介绍正方形的定义：四边相等，四个角都是直角的四边形1.2 正方形的性质展示正方形模型，引导学生观察其性质边长相等对角线互相垂直且平分四个角都是直角四条边都垂直于对边二、正方形的判定2.1 判定方法介绍判定方法：根据正方形的性质，只要满足其中一条即可判定2.2 判定练习给出一些四边形，让学生判断哪些是正方形引导学生运用正方形的性质进行判定三、正方形的对角线3.1 对角线的性质介绍正方形对角线的性质：互相垂直且平分3.2 对角线的判定介绍对角线的判定方法：只要两条对角线互相垂直且平分，则该四边形是正方形四、正方形在实际应用中的例子4.1 生活中的正方形例子展示一些生活中的正方形例子，如瓷砖、骰子等4.2 正方形在数学中的应用介绍正方形在数学中的应用，如坐标系中的正方形网格五、总结与评价5.1 总结正方形的性质与判定回顾本节课所学的正方形的性质与判定方法5.2 学生评价让学生自我评价，了解他们对正方形性质与判定的掌握情况教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看学生对正方形性质与判定的掌握情况，以及是否达到了教学目标。

六、正方形面积的计算6.1 面积公式介绍正方形的面积公式：边长的平方（A = a²）6.2 面积计算练习给出一些边长为整数的正方形，让学生计算它们的面积引导学生运用面积公式进行计算七、正方形的对称性7.1 对称性质介绍正方形的对称性质：有四条对称轴，分别是两条对角线和两组对边的中垂线7.2 对称性练习让学生画出正方形的对称轴给出一些正方形，让学生判断它们是否关于某条对称轴对称八、正方形在几何图形中的特殊性质8.1 相邻角的性质介绍正方形相邻角的性质：相邻角互补，即它们的和为180度8.2 内角与外角的性质介绍正方形内角与外角的性质：内角为90度，外角为180度减去内角九、正方形与其他图形的关系9.1 正方形与矩形的关系介绍正方形是矩形的一种特殊情况，即正方形的对边相等且平行9.2 正方形与菱形的关系介绍正方形是菱形的一种特殊情况，即正方形的对角线互相垂直且平分十、总结与评价10.1 总结正方形的性质与特殊性质回顾本节课所学的正方形的性质、特殊性质以及与其他图形的关系10.2 学生评价让学生自我评价，了解他们对正方形性质与特殊性质的掌握情况教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看学生对正方形性质与特殊性质的掌握情况，以及是否达到了教学目标。

第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。

正方形的性质与判定复习课导学案知识梳理一、考点一：正方形的性质1、边：_____________________________________________________;2、角：_____________________________________________________;3、对角线：_________________________________________________ _________________________________;4、对称性:__________________________________________________. 二、考点二：正方形的判定：1、____________________________________2、____________________________________ 的矩形是正方形；3、____________________________________4、_____________________________________的菱形是正方形；5、___________________________________________________________________ ________________________________________的平行四边形是正方形。

夯实基础1、在正方形ABCD 中，△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 边上的点F 处，则∠CEF=_____（2015年湖北）2、将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD 。

摆动这个四边形，当∠B=90°时（如图1）它的形状是___________，此时测得AC=2；当∠B=60°时（如图2），则AC=________。

（2016年 四川）图1图2B3、已知四边形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，若添加一个条件即可推出该四边形为正方形，则这个条件可以为___________。