断裂力学第四章

dx

p2
(a)v1(a,
a)
v1(a, a) 0 G G1 G2
KB2I2dda
K0aEpI12v10aBpdx2 (x)
v1(x, a) a
dx
§4.5 能量法计算应力强度因子
能量差率法
➢ 对称情况
y p1, v1
x 2a
y p2 , v2
x 2a
状态1
状态2
ce


外载作功一半增加弹性体的弹性应变能，一半被形 成新断裂面所消耗
§4.2 能量释放率
能量释放率G的计算
➢ 任意边界情况
裂纹扩展A过程中，边界载荷与位移均发生变化
Soaf
P
P
A 0 时 Soab Soad Soaf
A A A
能量差率法
➢ 对称情况
G

G1

G2

2 E
KI1 KI2
y p1, v1
x 2a
状态1
y p2 , v2
x 2a
状态2
状态1与2载荷共同作用下的总位能(固定载荷情况)
4 1
2
a 0
(
p1

p2
)(v1

v2 )Bdx



2
a 0
p1v1Bdx
aE
Ka

I1
ba
b0p2
aa( x)bbv1( xa,
a)
P
dx
2b 2a
P
x
§4.5 能量法计算应力强度因子
能量差率法
l1
➢ 非对称情况
p1, v1
K 状态1： I1 G1 1
K K 状态2：
左 I2
右 I2
2
推导过程略
l2 2a
状态1
➢例
K 右 I2

➢ 取整体（固定位移情况）
1
11


2
PT

P 2
2
P(T
)
1 2 1 (T )2 2 C 2 CM
A
柔度C
a
B P
P T
柔度CM
§4.4 能量释放率的柔度表示
Irwin & Kies(1952)
➢ 裂纹扩展时，CM 不变，T 不变
GI


A
GI

1 2
P2
dC dA
➢ 单边裂纹
GI

1 2B
P2
dC da
A
a
柔度C
➢ 实验测定能量释放率的基础
B
➢ 只依赖于裂纹扩展引起的裂纹体柔度变P 化
➢ 能量释放率与加载条件无关 P T
柔度CM
§4.4 能量释放率的柔度表示
例：计算双悬臂梁试样的能量释放率和应
力强度因子
P


2v

2
Pa 3 3EI
A闭合时外力所作的功
y
v
U 2 A 0 ydSdv
➢ 线弹性、准静态加载
o
x
yv
o
x
a
U

2
A
1
2
yvdS
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 等厚度板：dS = B da
a
U B 0
yvda
1 U (a a) U (a)
GI
E K I1
l1 l2
p2
(
x)
l1
v1 ( x,
l1,
l2
)dx
K 左 I2


E K I1
l1 l2
p2 (x)
l2
v1(x,l1,l2 )dx
l1 p2 , v2
l2 2a
状态2
§4.5 能量法计算应力强度因子
裂纹闭合积分
G


lim
A0
1 A
1 A 2
TiuidS
x 2a
状态2
状态1与2载荷共同作用下的能量释放率
G 1 d 2B da
G 1 d1 1 d2
2B da 2B da
2 d a B da
a
0 p2v1Bdx
G
G1
G21B2dda2
a
0
4p2v01Bpd2xv1Bdx
§4.5 能量法计算应力强度因子
UAdpdUddtAtp
dUdtp
d
dt
2
dA dt
W U U p 2
A A A
§4.2 能量释放率
系统位能=U-W
U p 2
A A
令 G W U
A A A
Gc

U p A
2
对于同一结构，只要已知一种载荷状态下的应力强
度求因得子任意KI对1与称该载状荷态状下态的裂p2 纹(x)表下面的位应移力v强1(度x,因a)子，即KI可2
➢ 例：计算裂纹表面受对称四个集中
y
PP
载荷P无限大板应力强度因子
E KI2 KI1 P a v1(b, a)
P
KIa2

➢ 固定载荷情况
裂纹扩展A过程中，外载保持不变
U 1 P( ) 1 P 1 P
P
2
22
P
W P 2U U
A A A
ad
b
GI


A


U A
P
U Soad
o
系统释放的能量等于应变能增加

8Pa 3 Eh 3 B

a
h
C

P

8a3 Eh 3 B
P
B
G

P2 2B
C a

12 P 2 a 2 Eh3B2
KI 2
3
Pa h3/2B
注：仅是近似解，未考虑梁的剪切变形，且末端并非刚性固支
§4.5 能量法计算应力强度因子
能量差率法
➢ 含中心裂纹无限大板的裂纹表面位移服从椭圆 分布规律
x 2a
K 状态2： I2 G2 2
状态1
状态1与2载荷共同作用下的应力强度因子
y p2 , v2
x 2a
状态2
KI KI1 KI2
G
K
2 I
E

1 E (KI1
KI2 )2

K2 I1
E

K2 I2
E

2 E KI1 KI2
G

G1

G2

2 E
K I1
KI2
§4.5 能量法计算应力强度因子
例：无限长板条，高2h，无应力状态下，
使上下边界产生位移v=v0，然后予以固定， 设x方向位移不受约束，平面应变状态，求
能量释放率和应力强度因子
➢ 右侧远离裂纹尖端处
应变能密度
W

1
2
y y

1 2
E
1
2

2 y
W

E
2(1
2
)

பைடு நூலகம்
v0 h
2
U W A 2h
lim
1 B a0
U
GI
2
lim
a0
1
A
2
a
a
0
a
yvydvSda
y
o
x
yv
o
x
a
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 假设延长线扩展： = 0，da = dx
y
KI
2x
(平面应变 )
v(x)
1
E
KI
2r 2(1 )
GI

1 2
2 C

1 2
(T )2 CM
T
GI

C12CT M1 (TA)212
2 C2
dC dA

2 C 2 CM
A
柔度C
a
B P
P T
柔度CM
§4.4 能量释放率的柔度表示
Irwin & Kies(1952)
§4.2 能量释放率
裂纹扩展需要消耗的能量
➢ 表面能
d 2dA
➢ 塑性变形能（塑性应变能）Up
能量守恒：裂纹扩展的每一瞬间均满足能 量平衡方程
dW dQ dK dU dU p d dt dt dt dt dt dt
该过W程—不外可力逆功 Q—热 流
K—动 能
➢ 物理意义：结构断裂单位面积时总位能释放出来的能
量
临界能量释放率Gc
GIC

U p A
2
➢ 对于脆性材料， Gc=2，为材料常数
➢ 又称裂纹扩展阻力（R表示）
➢ 物理意义：裂纹扩展单位面积时所需要消耗的能量
§4.2 能量释放率
若板的厚度为B
➢ 单边裂纹： dA = B da
GI
E
K
2 III
前提：假设裂纹沿延长线方向扩展
y
o
y
r
v
x
o
x
a
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 对于复合型裂纹
G lim 1
a0 a
a
0 ( yv xyu yz w)da
y
G

K
2 I

K
2 II

(1 )KI2II
E
E
G GI GII GIII
断裂力学
第四章 裂纹尖端的能量释放率
§4.1 概 述
应力判据
➢ 应力强度因子判据 ➢ 局部参量K 作为判据
能量判据
➢ 系统的总体能量变化作为判据 ➢ 以能量守恒与转化的观点分析裂纹扩展 ➢ Griffith(1921)最先基于能量守恒原理研究脆性
材料的断裂
Griffith提出：如果裂纹扩展释放的能量，足以提供 其扩展所需要的全部能量，则裂纹就将扩展
U—弹性应变能 Up—塑性应变能 —表面能
§4.2 能量释放率
绝热条件下准静态加载
dW dU dU p 2 dA
dt dt dt
dt
W、U、Up均为外载与裂纹面积A的函数
W A
dA dt

WddWtddt ddQUAt
ddAt ddKtUddddtUt
ad f
b
GI


A


U A
P


U A

o
ce


能量释放率仅与裂纹面积变化时系统的力学状态有 关，与边界的加载条件无关
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 恒位移情况，能量释放率即应变能释放率
➢产生断裂面积A应变能释放的能量，等于使
o
y
r
v
x
o
x
a
上式仅代表裂纹沿延长线
方向扩展的能量释放率
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 含裂纹线弹性体能量释放率的一般公式 ➢ Bueckner(1958)
G


lim
A0
1 A
1 A 2
TiuidS
➢ 裂纹沿着不同方向扩展，其能量释放率不同
§4.3 G 与K 的关系

1lim
aE0
1 KIa
20(aa yvxd) a2(1 )
y
o
y
r
v
x
o
x
a
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 可得GI与KI关系
GI

K
2 I
E
E
E


E
1 2
平面应力 平面应变
➢ II型
GII

K
2 II
E
➢ III型
GIII
1
G为弹性位能释放率或能量释放率

Gc为临界能量WA释放U率A
U p A
2
§4.2 能量释放率
能量释放率G
GI


A

W A

U A
➢ 与结构型式、外载荷等相关
➢ GI、GII、GIII表示I型、II型和III型裂纹的能量释放率 ➢ 量纲：力/长度 （G又称裂纹扩展力）
v2 x2 1 v02 a2
2a
v0 E
( 平面应力)
KI

E 2

a v0
GI


4
E a
v02
y
x 2a
➢ 无穷远处受均匀拉伸和裂纹表面受均匀压力两 种情况，中心裂纹表面的位移都是椭圆分布
§4.5 能量法计算应力强度因子
能量差率法
➢ 对称情况 K 状态1： I1 G1 1
y p1, v1
KI EGI
§4.5 能量法计算应力强度因子
应变能释放率结合有限元方法
v0
y
h
x
h
GI

lim
A0
U A
W
2h
E
1 2
v02 h
v0
KI
EGI
E
1 2
v0 h
§4.4 能量释放率的柔度表示
Irwin & Kies(1952)
➢ 裂纹体加载点位移与载荷成线性变化
CP
C为裂纹体的柔度
➢ 弹性边界
外载P通过弹簧作用于裂纹体
➢ 固定位移情况
裂纹扩展A过程中，加载点位移保持不变
W 0
GI


A


U A

P
A A A
P
a
b
U Soab o
弹性位能释放率等于应变能释放率
c

裂纹扩展消耗了存储在弹性体内的弹性应变能
§4.2 能量释放率
能量释放率G的计算
能量差率法
➢ 对称情况
G

G1

G2

2 E
KI1 KI2
y p1, v1
x 2a
状态1
y p2 , v2
x 2a
状态2
两式比较可得 p2 p2 (x)
KI2
E K I1
d da
a
0 p2v1dx
v1 v1(x, a)
d da
a
0 p2v1dx
a 0
p2
v1 a

2
a 0
p2v2 Bdx

2
a
0 p1v2Bdx
a 0
p2v1Bdx

G
G1G21

2
E2KI14K
a
I2
0
p2v1Bdx
§4.5 能量法计算应力强度因子
能量差率法
➢ 对称情况
G

G1

G2

2 E
KI1 KI2
y p1, v1
x 2a
状态1
y p2 , v2


A


1 B
a
1 lim (a a) (a)
B a0
a
➢ 对称中心裂纹： dA = 2B da
GI
A
1 2B a
1 lim (a a) (a)
2B a0
a
§4.2 能量释放率
能量释放率G的计算