随机变量的统计特性共29页文档

第四章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.第一节数学期望内容分布图示★引言★离散型随机变量的数学期望★例1 ★例2 ★例3★连续型随机变量的数学期望★例4★例5 ★例6 ★例7★随机变量函数的数学期望★例8★例9 ★例10 ★例11★数学期望的性质★例12 ★例13 ★例14★内容小结★课堂练习★习题4-1 ★返回内容要点：一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用.定义设X是离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{===ipxXP ii如果∑∞=1iiipx绝对收敛, 则定义X的数学期望(又称均值)为.)(1∑∞==iiipxXE二、连续型随机变量的数学期望定义设X是连续型随机变量, 其密度函数为)(xf,如果⎰∞∞-dxx xf) (绝对收敛, 定义X 的数学期望为 .)()(⎰∞∞-=dx x xf X E三、 随机变量函数的数学期望设X 是一随机变量, )(x g 为一实函数,则)(X g Y =也是一随机变量, 理论上, 虽然可通过X 的分布求出)(X g 的分布, 再按定义求出)(X g 的数学期望)]([X g E . 但这种求法一般比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1 设X 是一个随机变量, )(X g Y =,且)(Y E 存在, 则（1） 若X 为离散型随机变量, 其概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i则Y 的数学期望为.)()]([)(1∑∞===i i i p x g X g E Y E（2） 若X 为连续型随机变量, 其概率密度为)(x f , 则Y 的数学期望为.)()()]([)(⎰∞∞-==dx x f x g X g E Y E注: (i)定理的重要性在于:求)]([X g E 时, 不必知道)(X g 的分布, 只需知道X 的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即有定理2 设),(Y X 是二维随机向量, ),(Y X g Z =,且)(Z E 存在, 则 （1）若),(Y X 为离散型随机向量, 其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i则Z 的数学期望为,),()],([)(11∑∑∞=∞===j i ij j i p y x g Y X g E Z E（2） 若),(Y X 为连续型随机向量, 其概率密度为),(y x f 则Z 的数学期望为.),(),()],([)(⎰⎰∞∞-∞∞-==dx y x f y x g Y X g E Z E四、数学期望的性质1. 设C 是常数, 则;)(C C E =2．若k 是常数，则);()(X kE kX E =3. );()()(2121X E X E X X E +=+4. 设Y X ,独立, 则)()()(Y E X E XY E =;注: (i) 由)()()(Y E X E XY E =不一定能推出Y X ,独立，例如，在例10中，已计算得 49)()()(==Y E X E XY E ， 但 81}0{},431{,0}0,1{=======Y P X P Y X P ，显然}0{}1{}0,1{=⋅=≠==Y P X P Y X P 故X 与Y 不独立(ii) 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.例题选讲：离散型随机变量的数学期望例1 (讲义例1) 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为21,X X , 它们的分布律分别为,8.02.002101i p X1.03.06.02102ip X试评定他们的成绩的好坏.例2 (讲义例2) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数8.0=λ的泊松分布, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元; 疵点数大于1个不多于4个为二等品, 价值8元; 疵点数超过4个为废品. 求:(1) 产品的废品率; (2) 产品价值的平均值.例3 按规定，某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律为一旅客8:20连续型随机变量的数学期望例4 (讲义例3) 已知随机变量X 的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F , 求).(X E例5 (讲义例4) 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X (以年计), 规定:.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款>≤<≤≤X X X X设寿命X 服从指数分布, 概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,00,10110/x x e x f x试求该商店一台电器收费Y 的数学期望.例6 (讲义例5) 设随机变量,127)(),(~=X E x f X 且 ⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f求a 与b 的值, 并求分布函数)(x F .例7 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命)2,1(=k X k 服从统一指数分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(/x x e x f x θθ,.0>θ若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.随机变量函数的数学期望例8 (讲义例6) 设),(Y X 的联合概率分布为:求).(),(),(XY E Y E X E例9 (讲义例7) 设随机变量X 在],0[π上服从均匀分布, 求)(),(sin 2X E X E 及.)]([2X E X E -例10 (讲义例8) 设随机变量),(Y X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧><<=.,0,1,1,23),(23其它x x y x yx y x f 求数学期望.1),(⎪⎭⎫⎝⎛XY E Y E例11 (讲义例9) 设某商店经营一种商品, 每周的进货量X 和顾客对该种商品的需求量Y 是两个相互独立的随机变量, 均服从[10,20]上的均匀分布. 此商店每售出一个单位的商品可获利1000元, 若需求量超过进货量, 可从其他商店调剂供应, 此时售出的每单位商品仅获利500元. 求此商店经销这种商品每周获利的期望.例12 设)(),(2X E X E 均存在，证明222)]([)()]([X E X E X E X E -=-. 例13 （二项分布的数学期望）若),,(~p n b X 求).(X E 数学期望的性质例14 (讲义例10) 一民航送各车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X 表示停车的次数, 求E (X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).课堂练习1. 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏, 假定游戏的规则不公正, 以致两人获胜的概率不等,甲为p , 乙为q ,,q p >1=+q p . 为了补偿乙的不利地位, 另行规定两人下的赌注不相等, 甲为a , 乙为b , b a >. 现在的问题是: a 究竟应比b 大多少, 才能做到公正?2. 某种新药在400名病人中进行临床试验有一半人服用，一班人未服，经过5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新药的.试用概率统计方法说明新药的疗效.3. 把数字n ,,2,1 任意地排成一列, 如果数字k 恰好出现在第k 个位置上, 则称为一个巧合, 求巧合个数的数学期望.第二节 方差随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.内容分布图示★ 引言 ★ 方差的定义★ 方差的计算 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7★ 方差的性质 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 补充说明 ★ 例11 ★ 例12 ★ 条件期望与条件方差简介★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-2 ★ 返回内容要点：一、 方差的定义定义1 设X 是一个随机变量, 若2)]([(X E X E -存在,则称它为X 的方差, 记为.)]([)(2X E X E X D -=方差的算术平方根)(X D 称为标准差或均方差, 它与X 具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用.方差刻划了随机变量X 的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定义易见:(1)若X 的取值比较集中,则方差较小; (2)若X 的取值比较分散,则方差较大;(3)若方差0)(=X D , 则随机变量X 以概率1取常数值,此时X 也就不是随机变量了.二、 方差的计算若X 是离散型随机变量,且其概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i则 ;)]([)(12∑∞=-=i i i p X E x X D若X 是连续型随机变量,且其概率密度为),(x f 则.)()]([)(2⎰∞∞--=dx x f X E x X D i利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式:22)]([)()(X E X E X D -=.三、方差的性质1. 设C 常数, 则0)(=C D ;2. 若X 是随机变量, 若C 是常数, 则);()(2X D C CX D =3. 设Y X ,是两个随机向量,则)));())((((2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --±+=± 特别地, 若Y X ,相互独立, 则).()()(Y D X D Y X D +=±注: 对n 维情形, 有: 若n X X X ,,,21 相互独立, 则.)(,)(12111∑∑∑∑=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n i i i n i i i n i i n i i X D C X C D X D X D四、 条件数学期望和条件方差简介由于随机变量之间存在相互联系, 一个随机变量的取值可能会对另一随机变量的分布产生影响, 这种影响会在数字特征上得到反映. 下面要讨论的是：在某个随机变量取某值的条件下，求另一个与之相关的随机变量的数字特征. 作为简介，这里我们直接给出它们的定义.1. 设),(Y X 是离散型随机向量, 其概率分布为),,2,1,,2,1(},{ =====j i p y Y x X P ijj i定义2 (i) 称}|{)|(i j jj i x X y Y P y x X Y E ====∑（绝对收敛）为在 i x X =条件下Y 的条件数学期望.类似地，称 }|{)|(j i ii i y Y x X P x y Y X E ====∑（绝对收敛）为在 i y Y =条件下X 的条件数学期望;(ii) 称}|{)]|([)|(2i j ji j i x X y Y P x X Y E y x X Y D ===-==∑（绝对收敛）为在 i x X =条件下Y 的条件方差.类似地，称}|{)]|([)|(2j i ij i i y Y x X P y Y X E x y Y X D ===-==∑（绝对收敛）为在j y Y =条件下X 的条件方差.2．设),(Y X 是连续型随机向量, )|(|x y f X Y 是在x X =条件下的概率密度，)|(|y x f Y X 是在y Y =条件下X 的概率密度.定义3 (i) 称 ⎰+∞∞-==dy x y yf x X Y E X Y )|(]|[|（绝对收敛）为在 x X =条件下Y 的条件数学期望;类似地，称⎰+∞∞-==dx y x xf y Y X E Y X )|(]|[|（绝对收敛）为在 y Y =条件下X 的条件数学期望;(ii) 称dy x y f x X Y E y x X Y D X Y )|()]|([)|(|2⎰+∞∞-=-==（绝对收敛）为在x X =条件下Y 的条件方差;类似地，称dx y x f y Y X E x y Y X D Y X )|()]|([)|(|2⎰+∞∞-=-==（绝对收敛）为在y Y =条件下X 的条件方差.例题选讲:方差的计算例 1 (讲义例1) 设随机变量X 具有数学期望,)(μ=X E 方差.0)(2≠=σX D 记,*σμ-=X X 则;0])([1)(1)(*=-=-=μσμσX E X E X E.1])[(1])[()]([)()(222222*2**==-=-=-=σσμσσμX E X E X E XE X D即σμ-=X X *的数学期望为0, 方差为1. *X 称为X 的标准化变量.例2 (讲义例2) 设随机变量X 具有)10(-分布, 其分布律为,}1{,1}0{p X P p X P ==-==求),(X E ).(X D例3 (讲义例3) 设),(~λP X 求),(X E ).(X D 例4 (讲义例4) 设),,(~b a U X 求),(X E ).(X D例5 (讲义例5) 设随机变量X 服从指数分布, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,1)(/x x e x f x θθ其中,0>θ 求).(),(X D X E例6 (讲义例6) 设随机变量X 服从几何分布, 概率函数n k p p k X P k ,,2,1,)1(}{1 =-==-其中10<<p , 求)(),(X D X E .例7 (讲义例7) 设随机变量Y X ,的联合点分布在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量Y X Z +=的期望与方差.方差的性质例8 (讲义例8) 设,,)()(2R x x X E x f ∈-= 证明当)(X E x =时, )(x f 达到最小值. 注：本例子说明了数学期望)(X E 是随机变量X 取值的集中位置, 反映了X 的平均值. 例9 (讲义例9) 设),(~p n b X , 求).(),(X D X E 例10 (讲义例10) 设),,(~2σμN X 求).(),(X D X E例11 (讲义例11) 设活塞的直径（以cm 计）,40.22(~N X )03.02,气缸的直径,50.22(~N Y ),04.02 Y X ,相互独立, 任取一只活塞, 任取一只气缸, 求活塞能装入气缸的概率.例12 设随机变量X 和Y 相互独立, 试证).()]([)()]([)()()(22X D Y E Y D X E Y D X D XY D ++=条件数学期望和条件方差简介例 13 (讲义例12) 设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，求),|(x X Y E = )|(x X Y D =.课堂练习1. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,021,210,)(其它x x x x x f 求).(X E2. 设随机变量X 的概率分布律为4/112/16/16/13/1212/101i p X -试求1+-=X Y 及2X Z =的期望与方差.第三节 协方差及相关系数对多维随机变量, 随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系. 本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征.内容分布图示★ 引言★ 协方差的定义★ 协方差的性质★ 例1 ★ 例2★ 相关系数的定义 ★ 相关系数的性质★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 矩的概念 ★ 协方差矩阵 ★ n 维正态分布的概率密度★ n 维正态分布的几个重要性质 ★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-3 ★ 返回内容要点：一、 协方差的定义定义 设),(Y X 为二维随机向量,若)]}()][({[Y E Y X E X E --存在, 则称其为随机变量X 和Y 的协方差, 记为),(Y XC o v ,即 )]}.()][({[),cov(Y E Y X E X E Y X --=按定义, 若),(Y X 为离散型随机向量,其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i则 ∑--=ji j i Y E y X E x E Y X ,)]}.()][({[),cov(若),(Y X 为连续型随机向量, 其概率分布为),,(y x f 则⎰⎰+∞∞-+∞∞---=dxdy y x f Y E y X E x E Y X ),()]}()][({[),cov(.此外, 利用数学期望的性质, 易将协方差的计算化简.).()()()()()()()()()()]}()][({[),cov(Y E X E XY E Y E X E X E Y E Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X -=+--=--=特别地, 当X 与Y 独立时, 有 .0),cov(=Y X二、协方差的性质1. 协方差的基本性质 );(),cov()1(X D X X = );,cov(),cov()2(X Y Y X =),cov(),cov()3(Y X ab bY aX =,其中b a ,是常数; C X C ,0),cov()4(=为任意常数;).,cov(),cov(),cov()5(2121Y X Y X Y X X +=+(6) 若X 与Y 相互独立时,则.0),cov(=Y X2. 随机变量和的方差与协方差的关系),,cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+ 特别地, 若X 与Y 相互独立时, 则)()()(Y D X D Y X D +=+.三、相关系数的定义与性质定义 设),(Y X 为二维随机变量,,0)(,0)(>>Y D X D 称)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ为随机变量X 和Y 的相关系数.有时也记XY ρ为ρ. 特别地，当0=XY ρ时，称X 与Y 不相关. 相关系数的性质1. ;1||≤XY ρ2. 若X 和Y 相互独立, 则0=XY ρ.3. 若0,0>>DY DX ,则1||=XY ρ当且仅当存在常数).0(,≠a b a 使1}{=+=b aX Y P , 而且当0>a 时, 1=XY ρ;当0<a 时, 1-=XY ρ.注: 相关系数XY ρ刻画了随机变量Y 与X 之间的“线性相关”程度. ||XY ρ的值越接近1, Y 与X 的线性相关程度越高; ||XY ρ的值越近于0, Y 与Y 的线性相关程度越弱.当1||=XY ρ时, Y 与X 的变化可完全由X 的线性函数给出. 当0=XY ρ时, Y 与X 之间不是线性关系.4. 设,)]([2b aX Y E e +-=称为用b aX +来近似Y 的均方误差,则有下列结论. 设,0)(,0)(>>Y D X D 则)()(,)(),cov(000X E a Y E b X D Y X a -==使均方误差达到最小.注: 我们可用均方误差e 来衡量以b aX +近似表示Y 的好坏程度, e 值越小表示b aX +与Y 的近似程度越好.且知最佳的线性近似为.0b X a +而其余均方误差)1)((2XY Y D e ρ-=. 从这个侧面也能说明. ||XY ρ越接近1, e 越小.反之, ||XY ρ越近于0, e 就越大.Y 与X 的线性相关性越小.四、矩的概念定义 设X 和Y 为随机变量, l k ,为正整数, 称)(k X E 为k 阶原点矩(简称k 阶矩阵); ))](([k X E X E - 为k 阶中心矩; )|(|k X E 为k 阶绝对原点矩; )|)((|k X E X E - 为k 阶绝对中心矩; )(l k Y X E 为X 和Y 的l k +阶混合矩;})]([)]({[l k Y E Y X E X E -- 为X 和Y 的l k +阶混合中心矩;注: 由定义可见:(1) X 的数学期望)(X E 是X 的一阶原点矩; (2) X 的方差)(X D 是X 的二阶中心矩;(3)协方差),(Y X Cov 是X 和Y 的二阶混合中心矩.五、协方差矩阵将二维随机变量),(21X X 的四个二阶中心矩)]}.()][({[)]},()][({[},)]({[},)]({[1122212211122222221111X E X X E X E c X E X X E X E c X E X E c X E X E c --=--=-=-=排成矩阵的形式: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211c c c c （对称矩阵），称此矩阵为),(21X X 的协方差矩阵. 类似定义n 维随机变量),,,(21n X X X 的协方差矩阵.若n j i X E X X E X E X X Cov c j j i i j i ij ,,2,1,)]}()][({[),( =--==都存在, 则称⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c cc c c C212222111211 为),,,(21n X X X 的协方差矩阵.六、n 维正态分布的概率密度七、n 维正态分布的几个重要性质例题选讲：协方差的性质例1 (讲义例1) 已知离散型随机向量),(Y X 的概率分布为求),cov(Y X .例2 (讲义例2) 设连续型随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,010,8),(y x xy y x f求),cov(Y X 和)(Y X D +.相关系数的性质例3 (易知,0)(=X E 于是XY 不相关. 这表示Y X ,不存在线性关系. 但},1{}2{0}1,2{=-=≠==-=Y P X P Y X P 知Y X ,不是相互独立的. 事实上, X 和Y 具有关系: ,2X Y =Y 的值完全可由X 的值所确定.例4 (讲义例4) 设θ服从],[ππ-上的均匀分布, ,sin θ=X θcos =Y 判断X 与Y 是否不相关, 是否独立.例5 (讲义例5) 已知)3,1(~2N X , ),4,0(~2N Y 且X 与Y 的相关系数 .21-=XY ρ 设,23YX Z -=求)(Z D 及.XZ ρ 例6 (讲义例6) 设),(Y X 服从二维正态分布, 它的概率密度为,)())((2)()1(21exp 121),(2222212121212221⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f 求X 和Y 的相关系数XY ρ.注：在上一章中我们已经得到：若),(Y X 服从二维正态分布, 那么X 和Y 相互独立的充要条件为0=ρ. 现在知道ρ即为X 与Y 的相关系数, 故有下列结论:“若),(Y X 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独, 立当且仅当X 与Y 不相关”.n 维正态分布的几个重要性质例7 (讲义例7) 设随机变量X 和Y 相互独立且),.2,1(~N X )1,0(~N Y ，试求32+-=Y X Z 的概率密度.课堂练习1. 对不同品牌的某种机械的两项重要指标评分, 设21,X X 为其所得分数(百分制). 已知,9.68)(1=X E 8.72)(2=X E ; ,81)(1=X D ;49)(2=X D .36),cov(21=X X现以服从正态分布的综合分21167169X X Y +=来决定各参评品牌的名次 .(1) 试求Y 的分布; (2) 如果对综合分85≥Y 的品牌颁奖, 试计算获奖者的百分比.第四节 大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理.内容分布图示★大数定理的引入 ★依概率收敛 ★切比雪夫不等式 ★例1 ★例2★切比雪夫大数定理 ★例3★泊努力大数定理★辛钦大数定理 ★例4★例5大数定理★中心极限定理的引入 ★林德伯格—勒维定理★棣莫佛—拉普拉斯定理 ★例6 ★例7 ★例8 ★例9★例10 ★例11 ★用频率估计概率的误差 ★例12 ★李维普诺夫定理★高尔顿钉板试验中心极限定理★内容小结 ★课堂练习 ★习题4-4★返回内容要点：一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性. 定义1 设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列, a 为一个常数,若对于任意给定的正数ε,有 ,1}|{|lim =<-∞→εa X P n n 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a , 记为).(∞→−→−n a X Pn定理1 设,,b Y a X Pn P n −→−−→−又设函数),(y x g 在点),(b a 连续, 则),(),(b a g Y X g Pn n −→−.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ,则对于任给0>ε, 有22}|{|εσεμ≤≥-X P .上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若2σ越小, 则事件}|)({|ε<-X E X的概率越大, 即, 随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.如取,3σε= 则有.111.09}3|)({|22≈≤≥-σσσX E X P故对任给的分布,只要期望和方差2σ存在, 则随机变量X 取值偏离)(X E 超过σ3的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3 (切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X 是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即,,2,1,)( =≤i K X D i 则对任意0>ε, 有1)(11lim 11=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-∑∑==∞→εn i i n i i n X E n X n P 注: 定理表明: 当n 很大时,随机变量序列}{n X 的算术平均值∑=ni i X n 11依概率收敛于其数学期望∑=ni i X E n 1)(1.2．伯努利大数定理定理4 (伯努利大数定律)设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率, 则对任意的0>ε, 有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n n P A n 或 0l i m =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-→∞εp n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数n 充分大时, 事件A 发生的频率nn A依概率收敛于事件A 发生的概率p .定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.(ii) 如果事件A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件A 发生的频率也是很小的，或者说事件A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3．辛钦大数定理定理5 (辛钦大数定律) 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则对任意0>ε, 有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P . 注: (i) 定理不要求随机变量的方差存在;(ii) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(iii) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n 块,计算其平均亩产量, 则当n 较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.四、中心极限定理在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布.1．林德伯格—勒维定理定理6 (林德伯格—勒维) 设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列, 且,,,2,1,)(,)(2n i X D X E i i ===σμ则 ⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 2/1221lim πσμ 注: 定理6表明: 当n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出n X X X +++ 21的分布的确切形式,但当n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有.1),/,(~)1,0(~/1)1,0(~1211∑∑∑====⇒-⇒-n i i ni i ni i X n X n N X N nX n N n n X σμσμσμ近似近似故定理又可表述为: 均值为μ, 方差的02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里再次给出，并利用上述中心极限定理证明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量n Y 服从参数p n ,)10(<<p 的二项分布, 则对任意x , 有)(21)1(lim 22x dt e x p np np Y P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→π注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况.3．用频率估计概率的误差设n μ为n 重贝努里试验中事件A 发生的频率, p 为每次试验中事件A 发生的概率,,1p q -=由棣莫佛—拉普拉斯定理,有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-pq n npqnp pq nP p n P n n εμεεμ .12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈pq n pq n pq n εεε这个关系式可用解决用频率估计概率的计算问题:4. 李雅普诺夫定理定理8（李雅普诺夫定理） 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 它们具有数学期望和方差: ,2,1,0)(,)(2=>==i X D X E kk k k σμ，记.122∑==nk k nB σ 若存在正数δ, 使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE Bδδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量:nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x , 满足).(21lim )(lim 2/112x dt e x B X P x F x t n n k k n k k n n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎰∑∑∞--==∞→∞→πμ注：定理8表明, 在定理的条件下, 随机变量.11nnk kn k kn B X Z ∑∑==-=μ当n 很大时,近似地服从正态分布)1,0(N . 由此, 当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk k Z B X 11μ近似地服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这就是说,无论各个随机变量),2,1( =k X k 服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和∑=nk k X 1当n 很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布.例题选讲：切比雪夫不等式例1 (讲义例1) 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700. 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.例2 (讲义例2) 在每次试验中, 事件A 发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90? 切比雪夫大数定律例3 (讲义例3) 设}{k X 为相互独立的随机变量序列, 且,212112120212212++--k kk kk k pX ,2,1=k 试证}{k X 服从大数定律.辛钦大数定理例4 (讲义例4) 设}{k X 为相互独立且同分布的随机变量序列, 并且k X 的概率分布为),,2,1(2}2{ln 2 ===--i X P ii i k试证}{k X 服从大数定律.中心极限定理例5 在一个罐子中，装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码. 设⎩⎨⎧=否则次取到号码第,00,1k X k , n k ,2,1=问对序列}{k X 能否应用大数定律？例6 (讲义例5) 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g 标准差是10g, 一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.例7 (讲义例6)一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3的概率为,3/1=p 若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角度大于 3的概率是多少？例8 对于一个学校而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长, 1名家长, 2名家长来参加会议的概率分别0.05, 0.8, 0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X 超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.例9 (讲义例7)（供电问题）某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工作等常需停车. 设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的, 且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?例10 设有1000人独立行动, 每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9. 以95%概率估计, 在一次行动中:(1)至少有多少人能进入掩蔽体; (2)至多有多少人能进入掩蔽体.例11 (讲义例8) 设一大批产品中一级品率为10%, 现从中任取500件.(1) 分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理计算: 这500件中一级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的概率;(2) 至少应取多少件才能使一级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的把握大于95%?用频率估计概率的误差例12 (讲义例9 现从某厂生产的一批同型号电子元件中抽取395件, 由于次品率未知,需要通过次品的相对频率来估计, 这时估计的可靠性大于95%. (1)求绝对误差ε;(2)如果样品中有十分之一是次品, 应对p 怎样估计?李雅普诺夫定理例13 (讲义例10高尔顿钉板试验如图4-4-2是高尔顿钉板, 常常在赌博游戏中见到, 庄家常常在两边放置值钱的东西来吸引顾客, 现在可用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘.设n 为钉子的排数, 记随机变量。

随机变量的概率分布完整地描述了随机变量统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对某些问题来说，只需知道它的某些特征，我们把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。

本章主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。

4.1 随机变量的期望4.1.1 离散型随机变量的期望引例10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。

【答疑编号：10040101针对该题提问】解：平均分为：从本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。

这是由于60分出现的机会多于100分，上面方法出现了60分出现的频率多。

100分的频率小，能正确计算平均值。

定义若X的分布律为P（X=x i）=p i，i=1，2…当级数绝对收敛时（即收敛）就说是离散型随机变量X的期望。

记作EX，即说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，x n则（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，x n…则这时才要求无穷级数绝对收敛。

很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。

【例4-1】设随机变量X的分布律为求E（X）解E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为试比较他们成绩的好坏。

【答疑编号：10040102针对该题提问】 解 我们分别计算X 和Y 的数学期望： EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。

EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。

这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。

很明显乙的成绩远不如甲。

4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。

1.两点分布随机变量X 的分布律为其中＜p ＜1，有 EX=0×（1-p ）+1×p=p 。