高考复习专题--数学空间角教案

空间角的求法教案一、教学目标1. 让学生掌握空间角的概念，理解空间角的求法。

2. 培养学生运用空间角解决实际问题的能力。

3. 提高学生对空间几何的兴趣和认识。

二、教学内容1. 空间角的概念2. 空间角的求法3. 空间角的运用三、教学重点与难点1. 教学重点：空间角的概念，空间角的求法。

2. 教学难点：空间角的求法在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的求法。

2. 利用多媒体课件，直观展示空间角的求法过程。

3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解空间角的概念。

2. 新课讲解：讲解空间角的定义，演示空间角的求法过程。

3. 案例分析：分析实际问题，运用空间角解决问题。

4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题心得。

5. 总结与拓展：总结空间角的求法，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

教案内容请根据实际教学情况进行调整和补充。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对空间角概念和求法的掌握情况。

2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对空间角求法的运用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。

七、教学反思1. 教师总结：反思教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。

2. 学生反馈：听取学生的意见和建议，改进教学方法。

3. 教学调整：根据教学反思，调整教学计划和内容。

八、课后作业1. 巩固空间角的概念和求法，完成相关练习题。

2. 思考空间角在实际问题中的应用，尝试解决相关问题。

3. 预习下一节课内容，为课堂学习做好准备。

九、拓展与延伸1. 研究空间角的其他求法，如利用向量、坐标等方法。

2. 探索空间角在立体几何中的应用，如对立体图形的分类、性质等方面进行研究。

3. 关注空间角在现实生活中的应用，举例说明空间角在工程、设计等领域的作用。

空间角专题复习教案一、教学目标1. 复习并巩固空间角的概念、性质和分类；2. 提高学生对空间角的计算和应用能力；3. 培养学生的空间想象能力和思维能力。

二、教学内容1. 空间角的概念和分类；2. 空间角的计算方法；3. 空间角的应用实例。

三、教学重点与难点1. 空间角的概念和分类；2. 空间角的计算方法；3. 空间角的应用实例。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的性质和计算方法；2. 通过实例分析，让学生掌握空间角的应用方法；3. 利用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。

五、教学过程1. 复习空间角的概念和分类，引导学生回顾已学知识；2. 讲解空间角的计算方法，让学生通过例题掌握计算技巧；3. 分析空间角的应用实例，培养学生解决实际问题的能力；4. 课堂练习，巩固所学知识；5. 总结本节课的主要内容和知识点，布置课后作业。

【课堂导入】教师通过提问方式引导学生回顾空间角的概念和分类，激发学生的学习兴趣。

【知识复习】1. 空间角的概念：空间角是由两条相交直线或射线在空间中所形成的角。

2. 空间角的分类：（1）锐角：小于90度的空间角；（2）直角：等于90度的空间角；（3）钝角：大于90度小于180度的空间角；（4）平角：等于180度的空间角；（5）周角：等于360度的空间角。

【计算方法讲解】1. 空间角的计算方法：（1）利用空间向量计算空间角；（2）利用三角函数计算空间角；（3）利用空间几何图形计算空间角。

2. 举例讲解：例1：已知空间向量$\vec{a}$ 和$\vec{b}$，求向量$\vec{a}$ 与向量$\vec{b}$ 所成的空间角。

【应用实例分析】1. 利用空间角解决实际问题：例2：在一间长方体教室中，有一束光线从窗户射入，求光线与教室地面的夹角。

2. 利用空间角解决几何问题：例3：已知三角形ABC 的三个内角分别为$A=60^\circ$，$B=45^\circ$，$C=75^\circ$，求三角形ABC 的外接圆半径。

9.8空间角【教学目标】掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小 【知识梳理】空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°.空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法.【点击双基】1．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为……………………………..( )A. 13B. 233C. 22D. 232.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为………………………………..( )A. 30°B.60°C.90°D.150°3.如果向量a =(1,0,1),b =(0,1,1)分别平行于平面α,β且都与此两平面的交线l 垂直,则二面角α-l -β的大小是………………..( )A. 90°B. 30°C.45°D.60°4.在△ABC 中,M,N 分别是AB,AC 的中点,PM ⊥平面ABC,当BC=18,PM=3 3 时,PN 和平面ABC 所成的角是 .5.PA,PB,PC 是从P 点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60 °,则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 . 【典例剖析】一、异面直线所成的角：例1（04高考广东18（2））如右下图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=4，AD=3，AA 1=2。

空间角及其应用一、知识梳理1、空间角主要包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角了解空间角的定义、范围，求角的步骤都是“一作、二证、三算”，将空间角转化为平面角，转化时应充分利用与垂直这两种特殊的位置关系。

2、重要结论：(1) ∠AOB 在平面内，OP 是面α的一斜线，OP 与OA 、OB 所 成的角相等，则OPQ 平面α上的射影在∠AOB 的平行线上；(2) OP 是平面α斜线，OA 是OP 在平面α内的射影，OC ⊂α， 则①∠POC ≥∠POA ；②cos ∠POC=cos ∠AOCcos ∠POA ；(3) 求二面角的平面角在填空选择题中常用面积射影法：cos θ面射S S =二、训练反馈1、 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角________。

A 、300 B 、450 C 、600 D 、9002、 二面角α-AB-β大小为θ(0°≤θ≤90°)，AC ⊂α，∠CAB=450，AC 与平面β所成角为300，则θ角等于______。

A 、300B 、450C 、600D 、900 3、 已知线段AB 夹在直二面角之间α-L-β，L B L A B A ∉∉∈∈,,,βα，AB 与α所成角为θ，AB 与β所成角为ϕ，则θ+ϕ与900的大小关系_______ A 、θ+ϕ=900 B 、θ+ϕ≥900 C 、θ+ϕ≤900 D 、θ+ϕ＜900 4、已知∠AOB=900，过O 点引起∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成450、600，则以OC 为棱的二面角A-OC-B 的余弦值等于________三、典型例题例1 一副三角板拼成一个ABDC ，然后将它沿BC 折成直角二面角。

(1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ； (2)求AD 与BC 所成的角； (3)求二面角A-BD-C 的大小。

EA BC D A1B1C1D1FGH IJ高考数学第二轮复习教案空间角与距离的计算考点核心整合一．空间角计算空间角，其一般方法是根据定义通过作辅助线或辅助面构造出要求的角θ并作出含有角θ的三角形，从而通过解三角形得角θ的值．1．求异面直线所成角的常用方法（1）平移法（定义法）：即根据定义找出或作出有关角的图形并证明它符合定义，进而求出角的大小．（2）补形法：有时在原几何体上补一个类似的几何体．2．求直线与平面所成角的常用方法（1）定义法：关键是作出斜线在平面内的射影，即关键是判断射影在平面内的位置．（2）公式法：cosθ= cosθ1cosθ2（其中θ1为所求线面角，θ为斜线与平面内任一直线所成的角，θ2为射影与该直线所成的角）．3．二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．（1）二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线所成的角（二面角的平面角）度量的，与顶点在棱上的位置无关．（2）求二面角大小的三个步骤：①找出或作出二面角的平面角（本着先找后作的原则）；②证明符合定义；③指出某角即为二面角的平面角并计算（往往把该平面角放置到一个三角形中去求）．简单地表述为：一作，二证，三计算．二面角的大小，课本中给出了具体范围，即为[0，π]．（3）求作二面角的平面角的方法：①定义法：在棱上找一点O，在二面角的两个面内分别作棱的垂线AO、BO，则∠AOB即为二面角的平面角．②用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角：从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线，垂足为B，再由B向棱作垂线交于点C，则∠ACB即为二面角的平面角．③作棱的垂面：作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角．④面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则cosθ=S射影多边形S斜多边形．⑤对于未给棱的二面角的求法，一般情况下首先作棱或在有利条件下利用射影公式求更方便．二、空间的距离立体几何中涉及到的距离有八种：两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、两平行线间距离、异面直线间距离、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离以及求球面上两点间距离．这八种距离都归结到求点到点、点到直线、点到面这三种距离．求距离问题的解题步骤是找到表示该距离的线段，证明该线段合题意，得到该线段所在三角形，解这个三角形，求出距离．1．求异面直线间距离大体有如下的解法：（1）作出两条异面直线的公垂线段然后求之；（2）将异面直线间距离转化为线面之间的距离；（3）将异面直线间距离转化为面面之间的距离；（4）运用“两条异面直线间距离，是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值”这一概念求之；（5）利用体积法（主要是指三棱锥的体积）求之．2．点到直线或平面的距离是空间最常见的，求解的关键是正确作出图形，其中确定垂足位置最重要，应充分利用图形性质，注意各种距离之间的相互转化，等积求法及“平行移动”的思想方法．3．求距离的方法大致有两种：（1）直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示该距离的线段，再证明该线段即为所求距离，然后再计算，不能忽视第二步的证明．（2）间接法：包括等积法和转化法，转化法即不断地进行点面、线面、面面距离之间的转化，直到求出为止．考题名师诠释【例1】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离为233的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．解析如右图，题目即以A为球心，233为半径的球面与正方体六个面交线的长度，而这条交线有六条弧构成，即EFGHIJ．由对称性知EF = GH = IJ，FG = HI = JE，所以，所求曲线长l = 3(EF⌒+ FG⌒)．由AE =233，AA1 = 1，ABCDEOFG则AF = AE = 233，A 1E = AE 2 - AA 12= 33，A 1F = A 1E = 33，∠A 1AE = ∠A 1AF = π6．由对称性∠FAG = π2 -∠A 1AE = π2 - 2×π6 = π6．因此EF ⌒为以A 1为圆心、33为半径、π2为圆心角的一段弧，故EF ⌒= A 1E × π2 = 3π6．同理，FG 为以A 为圆心，233为半径、π6为圆心角的一段圆弧．故FG ⌒= AF × π6 = 3π9．所以，所求曲线的长l = 3(3π6+ 3π9) = 53π6． 答案 53π6．评叙 本题以正方体各侧面截球面求交线为背景，全面考查空间想象能力和分析解决问题的能力．考虑正方体各面与球面的交线时，应知道截线都是圆弧，但不过球心A 的面截球面所的截线是小圆的圆弧，而经过球心A 的面截球面所得的是大圆的圆弧．【例2】（2005年福建卷，20）如图，直二面角D -AB -E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE = EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B -AC -E 的大小；（3）求点D 到平面ACE 的距离． （1）证明：∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE ．∵二面角D -AB -E 为直二面角，且CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABE ．∴CB ⊥AE ． ∴AE ⊥平面BCE ．（2）解：连结BD 交AC 于点G ，，连结FG ． ∵正方形ABCD 的边长为2，∴BG ⊥AC ，BG = 2． ∵BF ⊥平面ACE ，由三垂线定理的逆定理，得FG ⊥AC ． ∴∠BGF 是二面角B -AC -E 的平面角． 由（1）AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥EB ．又∵AE = EB ，∴在等腰直角△AEB 中，BE = 2．又∵直角△BCE 中，EC = BC 2 + BE 2= 6，BF =BC ·BE EC = 2×26= 233， ∴Rt △BFG 中，sin ∠BGF = BF BG = 2332 = 63．∴二面角B -AC -E 等于arcsin63． （3）解：过E 作EO ⊥AB 交AB 于点O ，OE = 1． ∵二面角D -AB -E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD ． 设D 到平面ACE 的距离为h ，∵V D —ACE = V E —ACD ， ∴13S △ACE ·h = 13S △ACD ·EO ．∵AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥EC ．∴h = 12AD ·DC ·EO 12AE ·EC = 12×2×2×112×2×6 = 233．∴点D 到平面ACE 的距离为233．评叙 本题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力与运算能力．【例3】（2005年北京卷，理16）如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB = AD = 2，DC = 23，AA 1 = 3，AD ⊥DC ，AC ⊥BD ，垂足为E ．（1）求证：BD ⊥A 1C ；（2）求二面角A 1- BD –C 1的大小；（3）求异面直线AD 与BC 1所成的角的大小． （1）证明： 在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∵A 1A ⊥底面ABCD ．∴AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影．∵BD ⊥AC ，∴BD ∥A 1C ． （2）解：连结A 1E 、C 1E 、A 1C 1．与（1）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴∠A 1EC 1为二面角A 1- BD –C 1的平面角． ∵AD ⊥DC ，∴∠A 1D 1C 1 = ∠ADC = 90º．又A 1D 1 = AD = 2，D 1C 1 = DC = 23，AA 1 = 3，且AC ⊥BD ，∴A 1C 1 = 4， AE = 1，EC = 3．∴A 1E = 2，C 1E = 23． 在△A 1EC 1中，A 1C 12= A 1E 2+ C 1E 2，∴∠A 1EC 1 = 90º，即二面角A 1- BD –C 1的大小为90º．BA CD E FABCD（3）解：过B 作BF ∥AD 交AC 于点F ，连结FC 1， 则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵AB = AD = 2，AC ⊥BD ，AE = 1， ∴BF = 2，EF = 1，FC = 2，BC = DC ． ∴FC 1 = 7，BC 1 = 15．在△BFC 1中，cos ∠C 1BF = 15 + 4 - 72×2×15 = 155．∴∠C 1BF = arccos155，即异面直线AD 与BC 1所成的角的大小为arccos 155． 【例4】（2004年全国卷Ⅰ，20）如图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120º． （1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成的二面角的大小． 解（1）：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O ． 连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE ． ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ．∵PA = PD ，∴OA = OD ． 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD ．由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，∴∠PEB = 120º，∠PEO = 60º． 由已知可求得PE = 3．∴PO = PE ·sin60º = 3×32 = 32．即点P 到平面ABCD 的距离为32．（2）如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ， 连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG ∥BC ，FG = 12BC ．∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ．∴∠AGF 是所求二面角的平面角． ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG ．又∵PE = BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG = 60º． 在Rt △PEG 中，EG = PE ·cos60º = 32．在Rt △PEG 中，EG = 12AD = 1．于是tan ∠GAE = EG AE =32．又∠AGF = π - ∠GAE ， ∴所求二面角的大小为π - arctan32． 评叙 本题主要考查棱锥、二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力． 特别提示1．求二面角的平面角的步骤：（1）先作出二面角的平面角，其作法有定义法、根据三垂线定理及其逆定理、垂面法；（2）根据作法构造三角形，在直角三角形中，用解直角三角形的方法；在斜三角形中，利用正、余弦定理求二面角的平面角．2．二面角的计算方法常用的还有：射影面积法，向量法．利用这些方法可在不作出二面角的平面角的情况下求出二面角的平面角．考能提升训练一、选择题1．（2005年湖南卷，5）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为 ………（ ）A ．12B ．24C ．22D ．322．对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值 ；③与a 的距离为定值d ．那么这样的直线b 有 ……………………………（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条3．如图，在正三棱锥P -ABC 中，M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点，若截面AMN ⊥侧面PBC ，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值 是…………………………………………… （ ）A ．32B ． 2C ．52D ．634．如图，ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∠BCA = 90º，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC = CA = CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是………………………………………………………………（ ）A ．3010B ．12C ．3015D ．15105．正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）．M 为矩形AEFD 内一点，如果ABCDPABCD PE OABCDPE OG F ABD OA 1B 1C 1D 1ABCPMNABCA 1B 1C 1D 1 F 1DMB CF∠MBE = ∠MBC ，MB 和平面BCE 所成角的正切值为12，那么点M到直线EF 的距离为………………………………… （ ） A ．22B ．1C ．32D ．12二、填空题6．长方体的一条对角线与交于一点的三个面所成的角分别为α、β、γ，那么下列命题： ①sin 2α+ sin 2β+ sin2γ= 1；②sin 2α+ sin 2β+ sin 2γ= 2；③cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ= 1；④cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ= 2．其中正确命题的序号是 ．7．（2005年江西卷，理15）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = BC = 2，BB 1 = 2，∠ABC = 90º，E 、F 分别为AA 1、 C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ． 三、解答题8．（2004年春季北京卷，17）如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，SB = 3．（1）求证：BC ⊥SC ；（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．9．（2005年湖北卷，理20）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB = 3，BC = 1，PA = 2，E 为PD 的中点．（1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（2）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．B A 1BCA DSMBA10．如图所示，在矩形ABCD 中，AB = 1，BC = a ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 1． （1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？说明理由．（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ ⊥QD ，求AD 与平面PDQ 所成的角的正弦值． （3）在（2）的条件下，能求出平面PQD 与平面PAB 所成的角的大小吗？训练参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 二、6．①④ 7．322三、8．（1）略；（2）45º；（3）90º．9．（1）3714（2）在面ABCD 内过点D 作AC 的垂线交AB 于点F ，连结PF ，N 为PF 的中点，N 点到AB 的距离为1，N 点到AP的距离为36． 10．（1）a ≥2时，BC 边上存在存在点Q ，使得PQ ⊥QD ；a ＜2时，不存在点Q ，使得PQ ⊥QD ；（2）66；（3）能，大小为arctan 5． BCA DP Q。

高三一轮复习：空间角【课程核心】三种角的定义及求法。

重点：三种角的定义； 难点：三种角的求法。

【学习目标】通过直观感知、思辨论证，认识和理解空间角的定义，探究求解空间角的规律和方法。

【智慧引领】 课标要求 考情分析及预测 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

预测2023年高考的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

【问题探究】探究一：线线角、线面角 例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ,,90PA AB BC ABC ==∠=，点D ,E 分别在棱,PB PC 的中点.（1）直线AC 与PB 所成的角的大小；（2）求AB 与平面ADE 所成的角的大小.思维升华【拓展】如图所示，M 、N 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与CD 1所成的角为___________探究二：二面角点．（1）求直线1AA 与平面E D A 11所成角的大小； 例2. 长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 中（2）求二面角B AC E --1的大小.【拓展】如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱11,BB DD 上移动，且)20(<<==λλBQ DP(1) 当1=λ时，证明：直线EFPQ BC 平面//1.(2) 是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 λ 的值；若不存在，说明理由．【自我提升】 B A CD B 1A 1C 1D 1E2题图1.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成的角的大小为（ ） A. 125π B.4π C. 3π D. 6π 2.如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A. AC ⊥SBB. AB ∥平面SCDC. SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D. AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角3．【多选】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（ ）A ．AC 与1BD 的夹角为60︒B ．二面角11D AC B --的余弦值为13 C ．1CD 与平面1ACD 所成角的正切值为2D ．点1B 到平面1ACD 的距离为2334．【多选】我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高之比为1:2，且底面边长均为23，若该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则（ ）A ．球O 的体积为25π3B ．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的体积为20C ．正四棱锥的侧棱与其底面所成角的正弦值为155 D ．正四棱锥的侧面与其底面的夹角的正弦值为277体中上、下底面的中心，3O ，4O ，5O ，6O 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一5．【多选】如图，已知正方体的棱长为1，1O ，2O 分别为正方个八面体的顶点，则（ ）A ．直线13O O 与直线24O O 所成角为60︒B ．二面角1345O O O O --3C 3D ．D ．这个八面体外接球的体积为π66.已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 3PA ，PB,PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________.是圆上一点，且 30=∠ABM ，则二面角P BM A --的大小为 . 7．已知AB 是圆的直径，且4=AB ,PA 垂直圆所在的平面，且M PA ,3=8.在︒120二面角的棱上，有两个点A 、B,AC,BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段， 已知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm.则CD 的长为 .A BM。

高中数学空间角度问题教案
学科：数学
年级：高中
课时安排：2课时
教学目标：
1. 理解空间角度的概念，能够准确描述和度量空间角度；
2. 能够运用空间角度的知识解决相关问题；
3. 培养学生的空间想象力和逻辑推理能力。

教学步骤：
第一课时：
1. 导入：通过展示一些真实生活中的空间角度问题，引导学生思考空间角度的概念及其重要性。

2. 讲解：介绍空间角度的定义和性质，分别讲解平面角度和空间角度的区别；
3. 案例分析：给出一些实际问题，让学生尝试计算空间角度，并讨论解决方法；
4. 练习：让学生在小组内进行练习，互相讨论并解答问题；
5. 总结：总结本节课所学内容，强调空间角度的重要性及运用。

第二课时：
1. 复习：通过解答一些简单空间角度问题，复习上节课的内容；
2. 练习：给出一些复杂的空间角度问题，让学生自主解答，并制定解题思路；
3. 探究：引导学生思考空间角度问题的不同解法和解题技巧；
4. 实践：让学生在实际情景中应用空间角度知识，解决一些具体问题；
5. 总结：总结本节课的内容，检查学生对空间角度问题的理解和掌握情况。

教学反思：
本节课以空间角度为主题，通过讲解和案例分析，引导学生掌握空间角度的计算方法和应用技巧，帮助他们在实际问题中运用空间角度知识进行思考和解决。

通过本节课的学习，
学生不仅提高了空间角度问题的解决能力，还培养了他们的空间想象力和逻辑推理能力。

希望学生能够在实际生活中运用所学知识，不断提升自己的数学素养。

利用向量法求空间角-经典教案教案章节：一、向量法求空间角的概念教学目标：1. 了解向量法求空间角的概念。

2. 掌握向量法求空间角的基本方法。

教学内容：1. 向量法求空间角的概念介绍。

2. 向量法求空间角的计算方法。

教学步骤：1. 引入向量法求空间角的概念，解释空间角的概念。

2. 讲解向量法求空间角的计算方法，通过示例进行演示。

3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对向量法求空间角计算方法的掌握。

二、向量法求空间角的计算方法教学目标：1. 掌握向量法求空间角的计算方法。

2. 能够应用向量法求解空间角的问题。

教学内容：1. 向量法求空间角的计算方法介绍。

2. 向量法求空间角的计算实例。

教学步骤：1. 复习向量法求空间角的概念，引入计算方法。

2. 讲解向量法求空间角的计算步骤，通过示例进行演示。

3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的计算方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角计算方法的理解。

2. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。

三、向量法求空间角的练习题教学目标：1. 巩固向量法求空间角的计算方法。

2. 提高学生应用向量法求解空间角问题的能力。

教学内容：1. 向量法求空间角的练习题。

教学步骤：1. 给出向量法求空间角的练习题，让学生独立完成。

2. 对学生的答案进行讲解和指导，解决学生在解题过程中遇到的问题。

3. 进行练习，让学生进一步巩固向量法求空间角的计算方法。

教学评估：1. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。

2. 通过学生的解题过程，了解学生对向量法求空间角计算方法的掌握情况。

四、向量法求空间角的拓展与应用教学目标：1. 了解向量法求空间角的拓展与应用。

2. 能够应用向量法解决实际问题中的空间角问题。

教学内容：1. 向量法求空间角的拓展与应用介绍。

课题：空间的角教学目标：掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 教学重点：直线与平面所成的角，二面角的求解.（一） 主要知识及主要方法：1.三垂线定理(课本30P )：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线的逆定理(课本31P )：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.3.空间角的计算步骤 一作、二证、三算.4.异面直线所成角：()1范围：(]0,90︒︒；()2计算方法:①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccosa b a b；③补体法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒.5.直线与平面所成的角：①定义：（课本29P ）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：()1直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质； ()2平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面()3通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d ()4应用结论：如右图所示，PO α⊥，O AB αÔ，AP 与平面α所成的角为1θ，BAO ∠PAB θ∠=，则12cos cos cos θθθ=.()5向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θl n l n=.6.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规α AP O aabαl定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：()1定义法；()2三垂线定理及其逆定理法；()3垂面法；()4射影面积法：cos S S θ=射影多边形原多边形，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法()1、()2计算大小；()5向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如左图，则二面角l αβ-- 的平面角αarccosa b a b=；其方向如右图，则二面角l αβ--的平面角α=arccosa b a bπ-（同等异补）法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--外侧（同等异补），则二面角l αβ--α1212arccos||||n n n n =（二）典例分析： 问题1．（07全国Ⅰ）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =︒∠，2AB =，BC =SA SB == ()1证明：SA BC ⊥；()2求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（本小题要求用多种方法解答,包括向量法）.SBCDA1n 2nSBCDA问题2． （07届高三湖北、荆州、宜昌4月模拟） 边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1CC 上任一点，CP m =（01m <<）.()1若12m =时，求证：面1BPD ⊥面11BDD B ；()2试确定m 值，使直线AP 与平面11BDD B 所成的角的正切值为ABDC1A1B1C1DP S B C D A问题3．（07四川）如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ， 1PM =，2BC =，又1AC =，120ACB ∠=︒， AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.()1求证：平面PAC ⊥平面ABC ； ()2求二面角B AC M --的大小; ()3求三棱锥P MAC -的体积.(要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.问题4．（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．4PA =，2AD =，AB =6BC =A BCM P A BC MP()1求证：BD ⊥平面PAC （此小题这里略去不做）；()2求二面角A PC D --的大小． (要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.（三）课后作业：1.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1CC ，AD 的 中点.那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于PC BA DEPC BADEOABCD 1A1B1C 1DE F2.(05浙江文)在三棱锥P ABC -中，1,2AB BC AB BC PA ⊥==， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC .()1求证：OD ∥平面PAB ；()2求直线PA 与平面PBC 所成角的大小3.如图，ABC △的边长为2，AD ，1BB ，1CC 都垂直于平面ABC ，且112BB CC ==， 1AD =，点E 为1DB 的中点，求直线 1C E 与平面ABC 所成的角.（四）走向高考： 4.（07浙江）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．()1求证：CM EM ⊥；()2求CM 与平面CDE 所成的角．ED CMABC A B1A1B1CD EFAPCBDOE F5.(07北京)如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =． Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到， 且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． ()1求证：平面COD ⊥平面AOB ；()2当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； ()3求CD 与平面AOB 所成角的最大值．OCADBv6.（07福建）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．()1求证：1AB ⊥平面1A BD （此小题这里略去不做）； ()2求二面角1A A D B --的大小；()3求点C 到平面1A BD 的距离．ABCD1A 1C1B。