翻折图形题一(含答案)

翻折变换（折叠问题）精选题31道一．选择题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE∆沿直线BE折叠后得到GBE∆，延长BG 交CD于点F．若6AB=，46BC=，则FD的长为()A．2B．4C．6D．232．如图，在ABC∆中，D是AC边上的中点，连结BD，把BDC∆沿BD翻折，得到BDC'∆，DC'与AB交于点E，连结AC'，若2AD AC='=，3BD=，则点D到BC'的距离为( )A．33B．321C．7D．133．如图，ABC∆中，90BAC∠=︒，3AB=，4AC=，点D是BC的中点，将ABD∆沿AD 翻折得到AED∆，连CE，则线段CE的长等于()A．2B．54C．53D．754．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为()A ．2B ．3C ．2D ．15．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE EC =，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG FDG ∆≅∆；②2GB AG =；③GDE BEF ∆∆∽；④725BEF S ∆=．在以上4个结论中，正确的有( )A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A '处，点B 落在点B '处，若240∠=︒，则图中1∠的度数为( )A ．115︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒7．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且13AE AB =，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①2EF BE =；②2PF PE =；③4FQ EQ =；④PBF ∆是等边三角形．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④8．如图，Rt ABC ∆中，9AB =，6BC =，90B ∠=︒，将ABC ∆折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A ．53B ．52C ．4D ．59．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D '处，则重叠部分AFC ∆的面积为( )A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，在ABC ∆中．90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，点D 在AB 上，将ACD ∆沿CD 折叠，点A 落在点1A 处，1A C 与AB 相交于点E ，若1//A D BC ，则1A E 的长为( )A ．22B ．83C ．52D ．324- 11．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若3BC =，则折痕CE 的长为( )A ．23B ．332C ．3D ．612．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为( )A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719二．填空题（共12小题）13．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，3AE =，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把EBF ∆沿EF 折叠，点B 落在B '处．若CDB ∆'恰为等腰三角形，则DB '的长为 ．14．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点B '处．当CEB ∆'为直角三角形时，BE 的长为 ．15．如图矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ∆沿AE 折叠，当点D 的对应点D '落在ABC ∠的角平分线上时，DE 的长为 ．16．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点B '始终落在边AC 上，若△MB C '为直角三角形，则BM 的长为 ．17．如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，BE 与CD 相交于点G ，且OE OD =，则AP 的长为 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ．19．如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若5DE =，则GE 的长为 ．20．折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把ADE ∆翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把CDG ∆翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上，若2AB AD =+，1EH =，则AD = ．21．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 ．22．如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D '，点C 落在C '处．若6AB =，2AD '=，则折痕MN 的长为 ．23．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若8AD =，5AB =，则线段PE 的长等于 ．24．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，23BC =，2AC =，点D 是BC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把BDE ∆翻折到△B DE '的位置，B D '交AB 于点F ．若△AB F '为直角三角形，则AE 的长为 ．三．解答题（共7小题）25．阅读理解如图1，ABC ∆中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿11B A C ∠的平分线12A B 折叠，剪掉重复部分；⋯；将余下部分沿n n B A C ∠的平分线1n n A B +折叠，点n B 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC ∠是ABC ∆的好角． 小丽展示了确定BAC ∠是ABC ∆的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿11B A C ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与点C 重合． 探究发现（1）ABC ∆中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，BAC ∠是不是ABC ∆的好角？ （填“是”或“不是” )．（2）小丽经过三次折叠发现了BAC ∠是ABC ∆的好角，请探究B ∠与C ∠（不妨设)B C ∠>∠之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠BAC ∠是ABC ∆的好角，则B ∠与C∠（不妨设)∠>∠之间的等量关系为．B C应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15︒、60︒、105︒，发现60︒和105︒的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4︒，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．26．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：APB BPH∠=∠；（2）当点P在边AD上移动时，PDH∆的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．27．如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A'处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B 恰好落在DE上的点H处．如图2．（1）求证：EG CH=；（2）已知2AF=，求AD和AB的长．28．如图，AEF∆，∆中，45∆沿AE折叠得到AEB∠=︒，AG EF⊥于点G，现将AEGEAF将AFG∆，延长BE和DF相交于点C．∆沿AF折叠得到AFD（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将ABM∆绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADH∆，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．（3）若4BM=，求AG、MN的长．GF=，32EG=，629．如图1，一张矩形纸片ABCD，其中8=，先沿对角线BD对折，点CAB cmAD cm=，6落在点C'的位置，BC'交AD于点G．（1）求证：AG C G='；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．30．如图1，在ABO∠=︒，8∆外OB=．以OB为一边，在OABAOB∠=︒，30∆中，90OAB作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．31．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将BCE∆沿BE折叠，点C落在AD边上的点F 处，过点F作//FG CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若6AD=，求四边形CEFG的面积．AB=，10翻折变换（折叠问题）精选题31道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿直线BE 折叠后得到GBE ∆，延长BG 交CD 于点F ．若6AB =，46BC =，则FD 的长为( )A ．2B ．4C 6D ．23【分析】根据点E 是AD 的中点以及翻折的性质可以求出AE DE EG ==，然后利用“HL ”证明EDF ∆和EGF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF GF =；设FD x =，表示出FC 、BF ，然后在Rt BCF ∆中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：E 是AD 的中点，AE DE ∴=，ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，AE EG ∴=，AB BG =，ED EG ∴=，在矩形ABCD 中，90A D ∴∠=∠=︒，90EGF ∴∠=︒，在Rt EDF ∆和Rt EGF ∆中，ED EG EF EF =⎧⎨=⎩， Rt EDF Rt EGF(HL)∴∆≅∆，DF FG ∴=，设DF x =，则6BF x =+，6CF x =-，在Rt BCF ∆中，222(46)(6)(6)x x +-=+，解得4x =．故选：B ．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED EG =是解题的关键．2．如图，在ABC ∆中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把BDC ∆沿BD 翻折，得到BDC '∆，DC '与AB 交于点E ，连结AC '，若2AD AC ='=，3BD =，则点D 到BC '的距离为( )A 33B 321C 7D 13【分析】连接CC '，交BD 于点M ，过点D 作DH BC '⊥于点H ，由翻折知，BDC BDC '∆≅∆，BD 垂直平分CC '，证ADC '∆为等边三角形，利用解直角三角形求出1DM =，33C M DM '==2BM =，在Rt BMC '∆中，利用勾股定理求出BC '的长，在BDC '∆中利用面积法求出DH 的长．【解答】解：如图，连接CC '，交BD 于点M ，过点D 作DH BC '⊥于点H ，2AD AC ='=，D 是AC 边上的中点，2DC AD ∴==，由翻折知，BDC BDC '∆≅∆，BD 垂直平分CC '，2DC DC '∴==，BC BC '=，CM C M '=，2AD AC DC '∴='==，ADC '∴∆为等边三角形，60ADC AC D C AC '''∴∠=∠=∠=︒，DC DC '=，160302DCC DC C ''∴∠=∠=⨯︒=︒， 在Rt △C DM '中，30DC C '∠=︒，2DC '=，1DM ∴=，33C M DM '==，312BM BD DM ∴=-=-=， 在Rt BMC '∆中，22222(3)7BC BM C M ''=+=+=，1122BDC S BC DH BD CM '∆'==， ∴733DH =⨯，3217DH ∴=， 故选：B ．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．3．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点D 是BC 的中点，将ABD ∆沿AD 翻折得到AED ∆，连CE ，则线段CE 的长等于( )A ．2B ．54C ．53D ．75【分析】如图连接BE 交AD 于O ，作AH BC ⊥于H ．首先证明AD 垂直平分线段BE ，BCE ∆是直角三角形，求出BC 、BE ，在Rt BCE ∆中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH BC ⊥于H ．在Rt ABC ∆中，4AC =，3AB =， 22345BC ∴=+=， CD DB =，52ED DC DB ∴===， 1122BC AH AB AC =， 125AH ∴=， AE AB =，∴点A 在BE 的垂直平分线上．DE DB DC ==，∴点D 在BE 的垂直平分线上，BCE ∆是直角三角形，AD ∴垂直平分线段BE ，1122AD BO BD AH =， 125OB ∴=， 2425BE OB ∴==， 在Rt BCE ∆中，22222475()55EC BC BE =-=-=， 故选：D ．【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．4．如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为( )A ．2B ．3C ．2D ．1【分析】根据翻折不变性，2AB FB ==，1BM =，在Rt BFM ∆中，可利用勾股定理求出FM 的值．【解答】解：四边形ABCD 为正方形，2AB =，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，2FB AB ∴==，1BM =，则在Rt BMF ∆中，2222213FM BF BM =-=-=，故选：B ．【点评】此题考查了翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键．5．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE EC =，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG FDG ∆≅∆；②2GB AG =；③GDE BEF ∆∆∽；④725BEF S ∆=．在以上4个结论中，正确的有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD DF =，90A GFD ∠=∠=︒，于是根据“HL ”判定ADG FDG ∆≅∆，再由12GF GB GA GB +=+=，EB EF =，BGE ∆为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出4AG =，8BG =，进而求出BEF ∆的面积，再抓住BEF ∆是等腰三角形，而GED ∆显然不是等腰三角形，判断③是错误的．【解答】解：由折叠可知，DF DC DA ==，90DFE C ∠=∠=︒，90DFG A ∴∠=∠=︒，ADG FDG ∴∆≅∆，①正确；正方形边长是12，6BE EC EF ∴===，设AG FG x ==，则6EG x =+，12BG x =-，由勾股定理得：222EG BE BG =+，即：222(6)6(12)x x +=+-，解得：4x =4AG GF ∴==，8BG =，2BG AG =，②正确；6BE EF ==，BEF ∆是等腰三角形，易知GED ∆不是等腰三角形，③错误； 168242S GBE ∆=⨯⨯=，67224105EF S BEF S GBE EG ∆=∆==，④正确． 故选：C ．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．6．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A '处，点B 落在点B '处，若240∠=︒，则图中1∠的度数为( )A ．115︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出BFE EFB '∠=∠，90B B '∠=∠=︒，根据三角形内角和定理求出50CFB '∠=︒，进而解答即可．【解答】解：把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A '处，点B 落在点B '处，BFE EFB '∴∠=∠，90B B '∠=∠=︒，240∠=︒，50CFB '∴∠=︒，1180EFB CFB ''∴∠+∠-∠=︒，即1150180∠+∠-︒=︒，解得：1115∠=︒，故选：A ．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．7．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且13AE AB =，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①2EF BE =；②2PF PE =；③4FQ EQ =；④PBF ∆是等边三角形．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④【分析】求出2BE AE =，根据翻折的性质可得PE BE =，再根据直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半求出30APE ∠=︒，然后求出60AEP ∠=︒，再根据翻折的性质求出60BEF ∠=︒，根据直角三角形两锐角互余求出30EFB ∠=︒，然后根据直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半可得2EF BE =，判断出①正确；利用30︒角的正切值求出3PF PE ，判断出②错误；求出2BE EQ =，2EF BE =，然后求出3FQ EQ =，判断出③错误；求出60PBF PFB ∠=∠=︒，然后得到PBF ∆是等边三角形，判断出④正确．【解答】解：13AE AB =， 2BE AE ∴=，由翻折的性质得，PE BE =，30APE ∴∠=︒，903060AEP ∴∠=︒-︒=︒，11(180)(18060)6022BEF AEP ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，906030∴∠=︒-︒=︒，EFB∴=，故①正确；2EF BE=，BE PE2∴=，EF PE>，EF PF∴<，故②错误；2PF PE由翻折可知EF PB⊥，EBQ EFB∴∠=∠=︒，30BE EQ∴=，22=，EF BEFQ EQ∴=，故③错误；3由翻折的性质，30∠=∠=︒，EFB EFPBFP∴∠=︒+︒=︒，303060PBF EBQ∠=︒-∠=︒-︒=︒，90903060∴∠=∠=︒，60PBF PFB∴∆是等边三角形，故④正确；PBF综上所述，结论正确的是①④．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．8．如图，Rt ABC∠=︒，将ABC∆折叠，使A点与BC的中点∆中，9BBC=，90AB=，6D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()A ．53B ．52C ．4D ．5【分析】设BN x =，则由折叠的性质可得9DN AN x ==-，根据中点的定义可得3BD =，在Rt BDN ∆中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．【解答】解：设BN x =，由折叠的性质可得9DN AN x ==-，D 是BC 的中点，3BD ∴=，在Rt BDN ∆中，2223(9)x x +=-，解得4x =．故线段BN 的长为4．故选：C ．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．9．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D '处，则重叠部分AFC ∆的面积为( )A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】因为BC 为AF 边上的高，要求AFC ∆的面积，求得AF 即可，求证AFD CFB ∆'≅∆，得BF D F ='，设D F x '=，则在Rt AFD ∆'中，根据勾股定理求x ，于是得到AF AB BF =-，即可得到结果．【解答】解：易证AFD CFB ∆'≅∆，D F BF ∴'=，设D F x '=，则8AF x =-，在Rt AFD ∆'中，222(8)4x x -=+，解之得：3x =，835AF AB FB ∴=-=-=，1102AFC S AF BC ∆∴==． 故选：C ．【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D F x '=，根据直角三角形AFD '中运用勾股定理求x 是解题的关键．10．如图，在ABC ∆中．90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，点D 在AB 上，将ACD ∆沿CD 折叠，点A 落在点1A 处，1A C 与AB 相交于点E ，若1//A D BC ，则1A E 的长为( )A ．22B ．83C 52D ．324-【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到1190A A DB ∠+∠=︒，即AB CE ⊥，再根据勾股定理可得2232AB BC AC =+，最后利用面积法得出1122AB CE BC AC ⨯=⨯，可得43BC AC CE AB ⨯==，进而依据14AC AC ==，即可得到183A E =． 【解答】解：1//A D BC ，1B A DB ∴∠=∠，由折叠可得，1A A ∠=∠，又90A B ∠+∠=︒，1190A A DB ∴∠+∠=︒，AB CE ∴⊥，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC ，2232AB BC AC ∴=+1122AB CE BC AC ⨯=⨯，43BC AC CE AB ⨯∴==， 又14AC AC ==， 148433A E ∴=-=， 故选：B ．【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到CE AB ⊥以及面积法的运用．11．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若3BC =，则折痕CE 的长为( )A ．23B 332C 3D ．6【分析】先根据图形翻折变换的性质得出BC OC =，BE OE =，90B COE ∠=∠=︒，BCE ACE ∠=∠，求出2AC BC =，求出30BAC ∠=︒，求出30BCE ∠=︒，解直角三角形求出CE 即可．【解答】解：CEO ∆是CEB ∆翻折而成，BC OC ∴=，BE OE =，90B COE ∠=∠=︒，BCE ACE ∠=∠，EO AC ∴⊥，O 是矩形ABCD 的中心，OE ∴是AC 的垂直平分线，2236AC BC ==⨯=，30CAB ∴∠=︒，60BCA ∴∠=︒，30BCE ACE ∴∠=∠=︒，在Rt BCE ∆中，23cos303BC CE ===︒， 故选：A ． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识点，能求出30BAC ∠=︒是解此题的关键．12．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为( )A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC DE =、CP EP =，由EOF BOP ∠=∠、B E ∠=∠、OP OF =可得出()OEF OBP AAS ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得出OE OB =、EF BP =，设EF x =，则BP x =、4DF x =-、3BF PC x ==-，进而可得出1AF x =+，在Rt DAF ∆中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ADF ∠的值．【解答】解：根据折叠，可知：DCP DEP ∆≅∆，4DC DE ∴==，CP EP =．在OEF ∆和OBP ∆中，90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()OEF OBP AAS ∴∆≅∆，OE OB ∴=，EF BP =．设EF x =，则BP x =，4DF DE EF x =-=-，又BF OB OF OE OP PE PC =+=+==，3PC BC BP x =-=-，1AF AB BF x ∴=-=+．在Rt DAF ∆中，222AF AD DF +=，即222(1)3(4)x x ++=-， 解得：35x =， 1745DF x ∴=-=， 15cos 17AD ADF DF ∴∠==． 故选：C ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合1AF x =+，求出AF 的长度是解题的关键．二．填空题（共12小题） 13．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，3AE =，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把EBF ∆沿EF 折叠，点B 落在B '处．若CDB ∆'恰为等腰三角形，则DB '的长为 16或45 ．【分析】根据翻折的性质，可得B E '的长，根据勾股定理，可得CE 的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．【解答】解：()i 当B D B C '='时，过B '点作//GH AD ，则90B GE ∠'=︒，当B C B D '='时，182AG DH DC ===， 由3AE =，16AB =，得13BE =．由翻折的性质，得13B E BE '==．835EG AG AE∴=-=-=，222213512B G B E EG∴'='-=-=，16124B H GH B G∴'=-'=-=，22224845DB B H DH∴'='+=+=()ii当DB CD'=时，则16DB'=（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．()iii当CB CD'=时，则CB CB='，由翻折的性质，得EB EB='，∴点E、C在BB'的垂直平分线上，EC∴垂直平分BB'，由折叠，得EF也是线段BB'的垂直平分线，∴点F与点C 重合，这与已知“点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去．综上所述，DB'的长为16或45．故答案为：16或45．【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定．14．如图，矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E是BC边上一点，连接AE，把B∠沿AE折叠，使点B落在点B'处．当CEB∆'为直角三角形时，BE的长为32或3．【分析】当CEB∆'为直角三角形时，有两种情况：①当点B'落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出5∠'=∠=︒，而当AB E BAC=，根据折叠的性质得90∠沿AE折∠'=︒，所以点A、B'、C共线，即BEB C∆'为直角三角形时，只能得到90CEB叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，则EB EB='，3AB ABCB'=，='=，可计算出2设BE xCE x∆'中运用勾股定理可计算出x．=-，然后在Rt CEB'=，4=，则EB x②当点B'落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB'为正方形．【解答】解：当CEB∆'为直角三角形时，有两种情况：①当点B'落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt ABC∆中，3BC=，AB=，422AC∴=+，435∠沿AE折叠，使点B落在点B'处，B∴∠'=∠=︒，90AB E B当CEB∠'=︒，EB C∆'为直角三角形时，只能得到90∠沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，∴点A、B'、C共线，即B∴='，3EB EBAB AB='=，∴'=-=，532CB设BE x=-，CE x=，则EB x'=，4在Rt CEB ∆'中，222EB CB CE '+'=，2222(4)x x ∴+=-，解得32x =， 32BE ∴=； ②当点B '落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEB '为正方形，3BE AB ∴==．综上所述，BE 的长为32或3． 故答案为：32或3． 【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．15．如图矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ∆沿AE 折叠，当点D 的对应点D '落在ABC ∠的角平分线上时，DE 的长为 52或53 ．【分析】连接BD '，过D '作MN AB ⊥，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D P BC '⊥交BC 于点P ，先利用勾股定理求出MD '，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．【解答】解：如图，连接BD '，过D '作MN AB ⊥，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D P BC'⊥交BC 于点P点D 的对应点D '落在ABC ∠的角平分线上，M D PD ∴'='，设MD x '=，则PD BM x '==，7AM AB BM x ∴=-=-，又折叠图形可得5AD AD ='=，22(7)25x x ∴+-=，解得3x =或4，即3MD '=或4．在Rt END ∆'中，设ED a '=，①当3MD '=时，734AM =-=，532D N '=-=，4EN a =-，2222(4)a a ∴=+-， 解得52a =，即52DE =， ②当4MD '=时，743AM =-=，541D N '=-=，3EN a =-，2221(3)a a ∴=+-，解得53a =，即53DE =． 故答案为：52或53． 【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．16．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点B '始终落在边AC 上，若△MB C '为直角三角形，则BM 的长为 11222+或1 ．【分析】①如图1，当90B MC ∠'=︒，B '与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当90MB C ∠'=︒，推出CMB ∆'是等腰直角三角形，得到2CM MB '，列方程即可得到结论．【解答】解：①如图1，当90B MC ∠'=︒，B '与A 重合，M 是BC 的中点，1112222BM BC ∴=；②如图2，当90MB C ∠'=︒，90A ∠=︒，AB AC =，45C ∴∠=︒，CMB ∴∆'是等腰直角三角形， 2CM MB ∴='， 沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点B '，BM B M ∴='，2CM BM ∴=，21BC =，221CM BM BM BM ∴+=+=+，1BM ∴=，综上所述，若△MB C '为直角三角形，则BM 的长为11222+或1， 故答案为：11222+或1．【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．17．如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，BE 与CD 相交于点G ，且OE OD =，则AP 的长为 4.8 ．【分析】由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，8BE AB ==，由ASA 证明ODP OEG ∆≅∆，得出OP OG =，PD GE =，设AP EP x ==，则6PD GE x ==-，DG x =，求出CG 、BG ，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，6AD BC ==，8CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，8BE AB ==，在ODP ∆和OEG ∆中，D E OD OEDOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，OP OG ∴=，PD GE =，DG EP ∴=，设AP EP x ==，则6PD GE x ==-，DG x =，8CG x ∴=-，8(6)2BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即2226(8)(2)x x +-=+，解得： 4.8x =，4.8AP ∴=；故答案为：4.8．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 1.2 ．【分析】如图，延长FP 交AB 于M ，当FP AB ⊥时，点P 到AB 的距离最小，利用AFM ABC ∆∆∽，得到AF FM AB BC=求出FM 即可解决问题． 【解答】解：如图，延长FP 交AB 于M ，当FP AB ⊥时，点P 到AB 的距离最小．（点P 在以F 为圆心CF 为半径的圆上，当FP AB ⊥时，点P 到AB 的距离最小）A A ∠=∠，90AMF C ∠=∠=︒，AFM ABC ∴∆∆∽，∴AF FM AB BC=， 2CF =，6AC =，8BC =，4AF ∴=，2210AB AC BC +=，∴4108FM =， 3.2FM ∴=，2PF CF ==，1.2PM ∴=∴点P 到边AB 距离的最小值是1.2．故答案为1.2．【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P 位置，属于中考常考题型．19．如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若5DE =，则GE 的长为4913．【分析】由折叠及轴对称的性质可知，ABF GBF ∆≅∆，BF 垂直平分AG ，先证ABF DAE ∆≅∆，推出AF 的长，再利用勾股定理求出BF 的长，最后在Rt ADF ∆中利用面积法可求出AH 的长，可进一步求出AG 的长，GE 的长． 【解答】解：四边形ABCD 为正方形，12AB AD ∴==，90BAD D ∠=∠=︒，由折叠及轴对称的性质可知，ABF GBF ∆≅∆，BF 垂直平分AG ，BF AE ∴⊥，AH GH =，90BAH ABH ∴∠+∠=︒，又90FAH BAH ∠+∠=︒，ABH FAH ∴∠=∠，()ABF DAE ASA ∴∆≅∆， 5AF DE ∴==，在Rt ABF ∆中，222212513BF AB AF =++， 1122ABF S AB AF BF AH ∆==， 12513AH ∴⨯=， 6013AH ∴=， 120213AG AH ∴==， 13AE BF ==，12049131313GE AE AG ∴=-=-=， 故答案为：4913．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 20．折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把ADE ∆翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把CDG ∆翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上，若2AB AD =+，1EH =，则AD = 323+ ．【分析】设AD x =，则2AB x =+，利用折叠的性质得DF AD =，EA EF =，90DFE A ∠=∠=︒，则可判断四边形AEFD 为正方形，所以AE AD x ==，再根据折叠的性质得2DH DC x ==+，当1AH AE HE x =-=-，然后根据勾股定理得到222(1)(2)x x x +-=+，再解方程求出x 即可． 【解答】解：设AD x =，则2AB x =+， 把ADE ∆翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，DF AD ∴=，EA EF =，90DFE A ∠=∠=︒，∴四边形AEFD 为正方形，AE AD x ∴==，把CDG ∆翻折，点C 落在直线AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上， 2DH DC x ∴==+，1HE =，当1AH AE HE x =-=-， 在Rt ADH ∆中，222AD AH DH +=，222(1)(2)x x x ∴+-=+，整理得2630x x --=，解得1323x =+，2323x =-（舍去）， 即AD 的长为323+． 故答案为：323+．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理． 21．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 1065+ ．【分析】设AB CD x ==，由翻折可知：PA AB x '==，PD CD x '==，因为△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，推出12D H x '=，由11122x x =，可得2x =（负根已经舍弃），即可解决问题．【解答】解：四边形ABC 是矩形， AB CD ∴=，AD BC =，设AB CD x ==，由翻折可知：PA AB x '==，PD CD x '==，△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1， 又△A EP '∽△D PH '， :2A P D H ∴''=，PA x '=， 12D H x ∴'=， 11122x x =， 2x ∴=（负根已经舍弃）， 2AB CD ∴==，222425PE =+=，22125PH =+=， 42551535AD ∴=+++=+，∴矩形ABCD 的面积2(535)1065=+=+．故答案为1065+【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．22．如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D '，点C 落在C '处．若6AB =，2AD '=，则折痕MN 的长为 210 ．【分析】作NF AD ⊥，垂足为F ，连接DD '，根据图形折叠的性质得出DD MN '⊥，先证明DAD DEM ∆'∆∽，再证明NFM DAD ∆≅∆'，然后利用勾股定理的知识求出MN 的长． 【解答】解：作NF AD ⊥，垂足为F ，连接DD '，将正方形纸片ABCD 折叠，使得点D 落在边AB 上的D '点，折痕为MN ， DD MN ∴'⊥，90A DEM ∠=∠=︒，ADD EDM ∠'=∠，DAD DEM ∴∆'∆∽， DD A DME ∴∠'=∠，在NFM ∆和DAD ∆'中 DD A NMF A NFMNF DA ∠'=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()NFM DAD AAS ∴∆≅∆'，2FM AD ∴='=，又在Rt MNF ∆中，6FN =，∴根据勾股定理得：222262210MN FN FM =+=+=．故答案为：210．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形的全等是解决问题的关键，难度一般．23．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若8AD =，5AB =，则线段PE 的长等于203．【分析】根据折叠可得ABNM 是正方形，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠=︒，ED EF =，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt MEF ∆中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC PGF ∆∆∽，三边占比为3:4:5，设未知数，通过PG HN =，列方程求出待定系数，进而求出PF 的长，然后求PE 的长．【解答】解：过点P 作PG FN ⊥，PH BN ⊥，垂足为G 、H ， 由折叠得：ABNM 是正方形，5AB BN NM MA ====， 5CD CF ==，90D CFE ∠=∠=︒，ED EF =， 853NC MD ∴==-=，在Rt FNC ∆中，22534FN =-=， 541MF ∴=-=，在Rt MEF ∆中，设EF x =，则3ME x =-，由勾股定理得，2221(3)x x +-=， 解得：53x =， 90CFN PFG ∠+∠=︒，90PFG FPG ∠+∠=︒， CFN FPG ∴∠=∠，又90FGP CNF ∠=∠=︒ FNC PGF ∴∆∆∽，::::3:4:5FG PG PF NC FN FC ∴==，设3FG m =，则4PG m =，5PF m =，43GN PH BH m ∴===-，5(43)134HN m m PG m =--=+==，解得：1m =， 55PF m ∴==， 520533PE PF FE ∴=+=+=，故答案为：203．【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．24．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，23BC =，2AC =，点D 是BC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把BDE ∆翻折到△B DE '的位置，B D '交AB 于点F ．若△AB F '为直角三角形，则AE 的长为 3或145．【分析】利用三角函数的定义得到30B ∠=︒，4AB =，再利用折叠的性质得3DB DC ==EB EB '=，30DB E B ∠'=∠=︒，设AE x =，则4BE x =-，4EB x '=-，讨论：当90AFB ∠'=︒时，则332BF ∴︒=，则35(4)22EF x x =--=-，于是在Rt △B EF '中利用2EB EF '=得到542()2x x -=-，解方程求出x 得到此时AE 的长；若B '不落在C 点处，作EH AB ⊥'于H ，连接AD ，如图，证明Rt ADB Rt ADC ∆'≅∆得到2AB AC '==，再计算出60EB H ∠'=︒，则1(4)2B H x '=-，3)EH x -，接着利用勾股定理得到22231(4)[(4)2]42x x x -+-+=，方程求出x 得到此时AE 的长． 【解答】解：90C ∠=︒，23BC =，2AC =，3tan 23AC B BC ∴===， 30B ∴∠=︒，24AB AC ∴==，点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把BDE ∆翻折到△B DE '的位置，B D '交AB 于点F 3DB DC ∴==，EB EB '=，30DB E B ∠'=∠=︒，设AE x =，则4BE x =-，4EB x '=-， 当90AFB ∠'=︒时， 在Rt BDF ∆中，cos BFB BD=， 33cos302BF ∴=︒=， 35(4)22EF x x ∴=--=-， 在Rt △B EF '中，30EB F ∠'=︒，2EB EF ∴'=，即542()2x x -=-，解得3x =，此时AE 为3；若B '不落在C 点处，作EH AB ⊥'于H ，连接AD ，如图， DC DB ='，AD AD =， Rt ADB Rt ADC ∴∆'≅∆， 2AB AC ∴'==，9030120AB E AB F EB F ∠'=∠'+∠'=︒+︒=︒， 60EB H ∴∠'=︒，在Rt EHB ∆'中，11(4)22B H B E x '='=-，33(4)EH B H x ='=-， 在Rt AEH ∆中，222EH AH AE +=，∴22231(4)[(4)2]42x x x -+-+=，解得145x =，此时AE 为145．综上所述，AE 的长为3或145． 故答案为3或145．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形。

翻折问题---解答题综合1．△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中,A0,﹣3,B﹣2,0,O是坐标原点．1将△AOB先作其关于x轴的对称图形,再把新图形向右平移3个单位,在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1；2若点Mx,y在△AOB上,则它随上述两次变换后得到点M1,则点M1的坐标是．2．1数学课上,老师出了一道题,如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,,求证：∠B=30°,请你完成证明过程．2如图②,四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片,E、F分别为AB、CD的中点,沿过点D的折痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,折痕交AE于点G,请运用1中的结论求∠ADG的度数和AG的长．3若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠,B、D两点恰好重合于一点O如图④,当AB=6,求EF的长．3．如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是射线CB上的一个动点,把△DCE沿DE折叠,点C的对应点为C′．1若点C′刚好落在对角线BD上时,BC′=；2若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时,求CE的长；3若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时,求CE的长．4．如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠AP＞AM,点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处．1判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形不需说明理由2如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长．5．如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作分、FG∥CD,交AE 于点G连接DG．1求证：四边形DEFG为菱形；2若CD=8,CF=4,求的值．6．如图1,一张菱形纸片EHGF,点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点,连接AD、DC、CB、AB、DB,且AD=,AB=；如图2,若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折,点E、F都落在DB上的点P处,点H、G都落在DB 上的点Q处．1求证：四边形ADCB是矩形；2求菱形纸片EHGF的面积和边长．7．1操作发现：如图①,在Rt△ABC中,∠C=2∠B=90°,点D是BC上一点,沿AD折叠△ADC,使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系；2问题解决：如图②,若1中∠C≠90°,其他条件不变,请猜想AB、AC、CD之间的关系,并证明你的结论；3类比探究：如图③,在四边形ABCD中,∠B=120°,∠D=90°,AB=BC,AD=DC,连接AC,点E是CD上一点,沿AE折叠,使得点D正好落在AC上的F处,若BC=,直接写出DE的长．8．如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点不与点A、点D重合,将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH．1求证：∠APB=∠BPH；2求证：AP+HC=PH；3当AP=1时,求PH的长．9．如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B落在AD边上一点E处,折痕的两端点分别在边AB,BC上含端点,且AB=6,BC=10,设AE=x．1当BF的最小值等于时,才能使点B落在AD上一点E处；2当点F与点C重合时,求AE的长；3当AE=3时,点F离点B有多远10．如图,三角形纸片中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,求△ADE的周长．11．问题提出如果我们身边没有量角器和三角板,如何作15°大小的角呢实践操作如图．第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开,得到AD∥EF∥BC．第二步：再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM．折痕BM 与折痕EF相交于点P．连接线段BN,PA,得到PA=PB=PN．问题解决1求∠NBC的度数；2通过以上折纸操作,还得到了哪些不同角度的角请你至少再写出两个除∠NBC的度数以外．3你能继续折出15°大小的角了吗说说你是怎么做的．12．已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,点E、F分别在边AD、BC上,连接B、E,D、F．分别把Rt△BAE和Rt△DCF沿 BE,DF 折叠成如图所示位置．1若得到四边形 BFDE是菱形,求AE的长．2若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上,求AE的长．13．如图1,矩形纸片ABCD的边长AB=4cm,AD=2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕,使点A与点C重合,折痕后在其一面着色如图2,观察图形对比前后变化,回答下列问题：1GF FD：直接填写=、＞、＜2判断△CEF的形状,并说明理由；3小明通过此操作有以下两个结论：①四边形EBCF的面积为4cm2②整个着色部分的面积为运用所学知识,请论证小明的结论是否正确．14．操作：准备一张长方形纸,按下图操作：1把矩形ABCD对折,得折痕MN；2把A折向MN,得Rt△AEB；3沿线段EA折叠,得到另一条折痕EF,展开后可得到△EBF．探究：△EBF的形状,并说明理由．15． 1如图1,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE内点A′的位置,若∠A=40°,求∠1+∠2的度数；2通过1的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系请写出这个数量关系,并说明这个数量关系的正确性；3将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠．①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时,如图2,则图中∠α+∠β+∠γ=；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合,如图3,则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立请说明你的理由．16．如图,长方形纸片ABCD,点E、F分别在边AB、CD上,连接EF,将∠BEF对折,点B落在直线EF上的B′处,得到折痕EC,将点A落在直线EF上的点A′处,得到折痕EN．1若∠BEB′=110°,则∠BEC=°,∠AEN=°,∠BEC+∠AEN=°．2若∠BEB′=m°,则1中∠BEC+∠AEN的值是否改变请说明你的理由．3将∠ECF对折,点E刚好落在F处,且折痕与B′C重合,求∠DNA′．17．如图△ABC中,∠B=60°,∠C=78°,点D在AB边上,点E在AC边上,且DE∥BC,将△ADE沿DE折叠,点A对应点为F 点．1若点A落在BC边上如图1,求证：△BDF是等边三角形；2若点A落在三角形外如图2,且CF∥AB,求△CEF各内角的度数．18．如图1,四边形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,∠AOC=∠BCO=90°,经过点O的直线l将四边形分成两部分,直线l与OC所成的角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处如图1．1若折叠后点D恰为AB的中点如图2,则θ=；2若θ=45°,四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后,点B落在点四边形OABC的边AB上的E处如图3,求a的值．19．在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把△ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是B′．1如图1,如果点B′和顶点A重合,求CE的长；2如图2,如果点B′和落在AC的中点上,求CE的长．20．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和D重合,折痕为EF．1连接BE,求证：四边形BFDE是菱形；2若AB=8cm,BC=16cm,求线段DF和EF的长．21．如图,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿线段AB向点B运动,连接DP,把∠A沿DP 折叠,使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时,点P运动的时间．22．在矩形ABCD中,=a,点G,H分别在边AB,DC上,且HA=HG,点E为AB边上的一个动点,连接HE,把△AHE沿直线HE翻折得到△FH E．如图1,当DH=DA时,1填空：∠HGA=度；2若EF∥HG,求∠AHE的度数,并求此时a的最小值；23．如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,点B落在A1处．剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,点B1落在A2处．剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠,点B n与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B 与点C重合；情形二：如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合．1情形二中,∠B与∠C的等量关系．2若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C的等量关系．3如果一个三角形的最小角是4°,直接写出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角．答：．24．在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠,使点B与点D重合如图,1求证：四边形BEDF是菱形；2求折痕EF的长．25．如图1,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK,KB交MN于O．1若∠1=80°,求∠MKN的度数；2当B与D重合时,画出图形,并求出∠KON的度数；3△MNK的面积能否小于2 若能,求出此时∠1的度数；若不能,试说明理由．26．七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛,折叠过程是这样的阴影部分表示纸条的反面：如果由信纸折成的长方形纸条图①长为26厘米,回答下列问题：1如果长方形纸条的宽为2厘米,并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米,那么在图②中,BM= 厘米；在图④中,BM= 厘米．2如果信纸折成的长方形纸条宽为2cm,为了保证能折成图④形状即纸条两端均刚好到达点P,纸条长至少多少厘米纸条长最小时,长方形纸条面积是多少3如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是对称图形,假设长方形纸条的宽为x厘米,试求在开始折叠时图①起点M与点A的距离用含x的代数式表示．温馨提示：别忘了用草稿纸来折一折哦27．将四张形状,大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形,请仔细观察重叠部分的图形特征,并解决下列问题：1观察图①,②,③,④,∠1和∠2有怎样的关系并说明你的依据．2猜想图③中重叠部分图形△MBD的形状按边,验证你的猜想．3若图④中∠1=60°,猜想重叠部分图形△MEF的形状按边,验证你的猜想．28．如图,长方形纸片ABCD中,AB=10,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的E点处,折痕的一端G点在边BC上．1如图1,当折痕的另一端F在AB边上且AE=5时,求AF的长；2如图2,当折痕的另一端F在AD边上且BG=13时,求AF的长．29．矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的B′处,再沿B′G折叠四边形,使B′D边与B′F重合,且B′D′过点F．已知AB=4,AD=11试探索EF与B′G的位置关系,并说明理由；2若四边形EFGB′是菱形,求∠BFE的度数；3若点D′与点F重合,求此时图形重叠部分的面积．30．1操作发现：如图①,在Rt△ABC中,∠C=2∠B=90°,点D是BC上一点,沿AD折叠△ADC,使得点C恰好落在AB上的点E处,请写出AB、AC、CD之间的关系2问题解决：如图②,若1中∠C≠90°,其他条件不变,请猜想AB、AC、CD之间的关系,并证明你的结论；3类比探究：如图③,在四边形ABCD中,∠B=120°,∠D=90°,AB=BC,AD=DC,连接AC,点E是CD上一点,沿AE折叠,使得点D正好落在AC上的点F处,若BC=3,直接写出DE的长．翻折问题---解答题综合参考答案与试题解析一．解答题共30小题1．2016 安徽模拟△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中,A0,﹣3,B﹣2,0,O是坐标原点．1将△AOB先作其关于x轴的对称图形,再把新图形向右平移3个单位,在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1；2若点Mx,y在△AOB上,则它随上述两次变换后得到点M1,则点M1的坐标是x+3,﹣y ．分析1首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置,再向右平移3个单位找到对应点位置,然后再连接即可；2根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变,纵坐标相反可得点Mx,y关于x轴的对称图形上的点的坐标为x,﹣y,再向右平移3个单位,点的横坐标+3,纵坐标不变．解答解：1如图所示：2点Mx,y关于x轴的对称图形上的点的坐标为x,﹣y,再向右平移3个单位得到点M1的坐标是x+3,﹣y．故答案为：x+3,﹣y．点评此题主要考查了作图﹣﹣平移变换和轴对称变换,关键是掌握点的坐标的变化规律．2．2016 贵阳模拟1数学课上,老师出了一道题,如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,,求证：∠B=30°,请你完成证明过程．2如图②,四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片,E、F分别为AB、CD的中点,沿过点D的折痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,折痕交AE于点G,请运用1中的结论求∠ADG的度数和AG的长．3若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠,B、D两点恰好重合于一点O如图④,当AB=6,求EF的长．分析1Rt△ABC中,根据sinB═=,即可证明∠B=30°；2求出∠FA′D的度数,利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数,在Rt△A'FD中求出A'F,得出A'E,在Rt△A'EG中可求出A'G,利用翻折变换的性质可得出AG的长度．3先判断出AD=AC,得出∠ACD=30°,∠DAC=60°,从而求出AD的长度,根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°,在Rt△ADF中求出DF,继而得出FO,同理可求出EO,再由EF=EO+FO,即可得出答案．解答1证明：Rt△ABC中,∠C=90°,,∵sinB==,∴∠B=30°；2解：∵正方形边长为2,E、F为AB、CD的中点,∴EA=FD=×边长=1,∵沿过点D的抓痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,∴A′D=AD=2,∴=,∴∠FA′D=30°,可得∠FDA′=90°﹣30°=60°,∵A沿GD折叠落在A′处,∴∠ADG=∠A′DG,AG=A′G,∴∠ADG===15°,∵A′D=2,FD=1,∴A′F==,∴EA′=EF﹣A′F=2﹣,∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°,∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°,∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°,则A′G=AG=2EA′=22﹣；3解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O,∴AO=AD=CB=CO,∴DA=,∵∠D=90°,∴∠DCA=30°,∵AB=CD=6,在Rt△ACD中,=tan30°,则AD=DC tan30°=6×=2,∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°,∴=tan30°=,∴DF=AD=2,∴DF=FO=2,同理EO=2,∴EF=EO+FO=4．点评本题考查了翻折变换的知识,涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质,综合考察的知识点较多,注意将所学知识融会贯通．3．2016 贵阳模拟如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是射线CB上的一个动点,把△DCE沿DE折叠,点C的对应点为C′．1若点C′刚好落在对角线BD上时,BC′= 4 ；2若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时,求CE的长；3若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时,求CE的长．分析1根据点B,C′,D在同一直线上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；2利用垂直平分线的性质得出CC′=DC′=DC,则△DC′C是等边三角形,进而利用勾股定理得出答案；3利用①当点C′在矩形内部时,②当点C′在矩形外部时,分别求出即可．解答解：1如图1,∵点B,C′,D在同一直线上,∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；故答案为：4；2如图2,连接CC′,∵点C′在AB的垂直平分线上,∴点C′在DC的垂直平分线上,∴CC′=DC′=DC,则△DC′C是等边三角形,设CE=x,易得DE=2x,由勾股定理得：2x2﹣x2=62,解得：x=2,即CE的长为2；3作AD的垂直平分线,交AD于点M,交BC于点N,分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时,如图3,∵点C′在AD的垂直平分线上,∴DM=4,∵DC′=6,由勾股定理得：MC′=2,∴NC′=6﹣2,设EC=y,则C′E=y,NE=4﹣y,故NC′2+NE2=C′E2,即6﹣22+4﹣y2=y2,解得：y=9﹣3,即CE=9﹣3；②当点C′在矩形外部时,如图4,∵点C′在AD的垂直平分线上,∴DM=4,∵DC′=6,由勾股定理得：MC′=2,∴NC′=6+2,设EC=z,则C′E=a,NE=z﹣4故NC′2+NE2=C′E2,即6+22+z﹣42=z2,解得：z=9+3,即CE=9+3,综上所述：CE的长为9±3．点评此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．4．2015 南充如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠AP＞AM,点A和点B都与点E重合；再将△CQD 沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处．1判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形不需说明理由2如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长．分析1由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°,由折叠的性质和等角的余角相等,可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC,所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；2先证明MD=MQ,然后根据sin∠DMF==,设DF=3x,MD=5x,表示出AP、BP、BQ,再根据△AMP∽△BPQ,列出比例式解方程求解即可．解答解：1△AMP∽△BPQ∽△CQD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°,根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM,∠EPQ=∠BPQ,∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°,∵∠APM+∠AMP=90°,∴∠BPQ=∠AMP,∴△AMP∽△BPQ,同理：△BPQ∽△CQD,根据相似的传递性,△AMP∽△CQD；2∵AD∥BC,∴∠DQC=∠MDQ,根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM,∴∠MDQ=∠DQM,∴MD=MQ,∵AM=ME,BQ=EQ,∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM,∵sin∠DMF==,∴设DF=3x,MD=5x,∴BP=PA=PE=,BQ=5x﹣1,∵△AMP∽△BPQ,∴,∴,解得：x=舍或x=2,∴AB=6．点评本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用,在求AB长的问题中,关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式．5．2015 漳州如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作分、FG∥CD,交AE于点G连接DG．1求证：四边形DEFG为菱形；2若CD=8,CF=4,求的值．分析1根据折叠的性质,易知DG=FG,ED=EF,∠1=∠2,由FG∥CD,可得∠1=∠3,易证FG=FE,故由四边相等证明四边形DEFG 为菱形；2在Rt△EFC中,用勾股定理列方程即可CD、CE,从而求出的值．解答1证明：由折叠的性质可知：DG=FG,ED=EF,∠1=∠2,∵FG∥CD,∴∠2=∠3,∴FG=FE,∴DG=GF=EF=DE,∴四边形DEFG为菱形；2解：设DE=x,根据折叠的性质,EF=DE=x,EC=8﹣x,在Rt△EFC中,FC2+EC2=EF2,即42+8﹣x2=x2,解得：x=5,CE=8﹣x=3,∴=．点评本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理,熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．6．2015 江西校级模拟如图1,一张菱形纸片EHGF,点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点,连接AD、DC、CB、AB、DB,且AD=,AB=；如图2,若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折,点E、F都落在DB上的点P处,点H、G都落在DB上的点Q处．1求证：四边形ADCB是矩形；2求菱形纸片EHGF的面积和边长．分析1由对折可知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,利用等角关系可求出∠BAD=90°,同理可求出∠ADC=∠ABC=90°．即可得出四边形ADCB是矩形．2由对折可知S菱形EHGF=2S矩形ADCB即可求出EHGF的面积,由对折可得出点A,C为中点,连接AC,得FG=AC=BD．利用勾股定理就可得出边长．解答1证明：由对折可知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,∴2∠PAB+∠PAD=180°,即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°．同理可得,∠ADC=∠ABC=90°．∴四边形ADCB是矩形．2解：由对折可知：△AEB≌△APB,△AFD≌△APD,△CGD≌△CQD,△CHB≌△CQB．∴S菱形EHGF=2S矩形ADCB=．又∵AE=AP=AF,∴A为EF的中点．同理有C为GH的中点．即AF=CG,且AF∥CG,如图2,连接AC,∴四边形ACGF为平行四边形,得FG=AC=BD．∴．点评本题主要考查了翻折变换,勾股定理,菱形的性质及矩形的判定,解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．7．2015 平顶山二模1操作发现：如图①,在Rt△ABC中,∠C=2∠B=90°,点D是BC上一点,沿AD折叠△ADC,使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系AB=AC+CD ；2问题解决：如图②,若1中∠C≠90°,其他条件不变,请猜想AB、AC、CD之间的关系,并证明你的结论；3类比探究：如图③,在四边形ABCD中,∠B=120°,∠D=90°,AB=BC,AD=DC,连接AC,点E是CD上一点,沿AE折叠,使得点D正好落在AC上的F处,若BC=,直接写出DE的长．分析1如图①,设CD=t,由∠C=2∠B=90°易得△ABC为等腰直角三角形,则AC=BC,AB=AC,再根据折叠的性质得DC=DE,∠AED=∠C=90°,又可判断△BDE为等腰直角三角形,所以BD=DE,则BD=t,AC=BC=t+t=+1t,AB=+1t=2+t,从而得到AB=AC+CD；2如图②,根据折叠的性质得DC=DE,∠AED=∠C,AE=AC,而∠C=2∠B,则∠AED=2∠B,根据三角形外角性质得∠AED=∠B+∠BDE,所以∠B=∠BDE,则EB=ED,所以ED=CD,于是得到AB=AE+BE=AC+CD；3作BH⊥AC于H,如图③,设DE=x,利用1的结论得AC=2+x,根据等腰三角形的性质由BA=BC,∠CBA=120°得到∠BCA=∠BAC=30°,且CH=AH=AC=x,在Rt△BCH中,利用30度的余弦得cos30°==,即x=2+2,然后解方程求出x即可．解答解：1如图①,设CD=t,∵∠C=2∠B=90°,∴∠B=45°,∠BAC=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,∴AC=BC,AB=AC,∵AD折叠△ADC,使得点C恰好落在AB上的点E处,∴DC=DE,∠AED=∠C=90°,∴△BDE为等腰直角三角形,∴BD=DE,∴BD=t,∴AC=BC=t+t=+1t,∴AB=+1t=2+t,∴AB=AC+CD；故答案为AB=AC+CD；2AB=AC+CD．理由如下：如图②,∵AD折叠△ADC,使得点C恰好落在AB上的点E处,∴DC=DE,∠AED=∠C,AE=AC,∵∠C=2∠B,∴∠AED=2∠B,而∠AED=∠B+∠BDE,∴∠B=∠BDE,∴EB=ED,∴ED=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD；3作BH⊥AC于H,如图③,设DE=x,由1的结论得AC=2+x,∵BA=BC,∠CBA=120°,∴∠BCA=∠BAC=30°,∵BH⊥AC,∴CH=AH=AC=x,在Rt△BCH中,cos30°==,∴x=2+2,解得x=,即DE的长为．点评本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．8．2015 潍坊校级一模如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点不与点A、点D重合,将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH．1求证：∠APB=∠BPH；2求证：AP+HC=PH；3当AP=1时,求PH的长．分析1根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；2首先证明△ABP≌△QBP,进而得出△BCH≌△BQH,即可得出AP+HC=PH；3设QH=HC=x,则DH=4﹣x．在Rt△PDH中,根据勾股定理列出关于x的方程求解即可．解答1证明：∵PE=BE,∴∠EPB=∠EBP,又∵∠EPH=∠EBC=90°,∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形∴AD∥BC,∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．2证明：过B作BQ⊥PH,垂足为Q,由1知,∠APB=∠BPH,在△ABP与△QBP中,,∴△ABP≌△QBPAAS,∴AP=QP,BA=BQ．又∵AB=BC,∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°,∴△BCH和△BQH是直角三角形,在Rt△BCH与Rt△BQH中,∴Rt△BCH≌Rt△BQHHL,∴CH=QH,∴AP+HC=PH．3解：由2知,AP=PQ=1,∴PD=3．设QH=HC=x,则DH=4﹣x．在Rt△PDH中,PD2+DH2=PH2,即32+4﹣x2=x+12,解得x=,∴PH=．点评此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识,熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．9．2015 江西样卷如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B落在AD边上一点E处,折痕的两端点分别在边AB,BC上含端点,且AB=6,BC=10,设AE=x．1当BF的最小值等于 6 时,才能使点B落在AD上一点E处；2当点F与点C重合时,求AE的长；3当AE=3时,点F离点B有多远分析1当点G与点A重合时,BF的值最小,即可求出BF的最小值等于6；2在RT△CDE中运用勾股定理求出DE,再利用AE=AD﹣DE即可求出答案；3作FH⊥AD于点H,设AG=x,利用勾股定理可先求出AG,可得EG,利用△AEG∽△HFE,由=可求出EF,即得出BF的值．解答解：1点G与点A重合时,如图1所示,四边形ABFE是正方形,此时BF的值最小,即BF=AB=6．当BF的最小值等于6时,才能使B点落在AD上一点E处；故答案为：6．2如图2所示,∵在Rt△CDE中,CE=BC=10,CD=6,∴DE===8,∴AE=AD﹣DE=10﹣8=2,3如图3所示,作FH⊥AD于点H,AE=3,设AG=y,则BG=EG=6﹣y,根据勾股定理得：6﹣y2=y2+9,解得：y=,∴EG=BG=,又△AEG∽△HFE,∴=,∴,∴EF=,∴BF=EF=．点评本题主要考查了翻折变换,解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．10．2015秋苍溪县期末如图,三角形纸片中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB 边上的点E处,折痕为BD,求△ADE的周长．分析根据翻折变换的性质可得DE=CD,BE=BC,然后求出AE,再根据三角形的周长列式求解即可．解答解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处,∴DE=CD,BE=BC,∵AB=8cm,BC=6cm,∴AE=AB﹣BE=AB﹣BC=8﹣6=2cm,∴△ADE的周长=AD+DE+AE,=AD+CD+AE,=AC+AE,=5+2,=7cm．点评本题考查了翻折变换的性质,熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．11．2015春无棣县期末问题提出如果我们身边没有量角器和三角板,如何作15°大小的角呢实践操作如图．第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开,得到AD∥EF∥BC．第二步：再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM．折痕BM 与折痕EF相交于点P．连接线段BN,PA,得到PA=PB=PN．问题解决1求∠NBC的度数；2通过以上折纸操作,还得到了哪些不同角度的角请你至少再写出两个除∠NBC的度数以外．3你能继续折出15°大小的角了吗说说你是怎么做的．分析1根据折叠性质由对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合得到点P为BM的中点,即BP=PM,再根据矩形性质得∠BAM=90°,∠ABC=90°,则根据直角三角形斜边上的中线性质得PA=PB=PM,再根据折叠性质由折叠纸片,使点A落在EF 上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM．折痕BM得到PA=PB=PM=PN,∠1=∠2,∠BNM=∠BAM=90°,利用等要三角形的性质得∠2=∠4,利用平行线的性质由EF∥BC得到∠4=∠3,则∠2=∠3,易得∠1=∠2=∠3=∠ABC=30°；2利用互余得到∠BMN=60°,根据折叠性质易得∠AMN=120°；3把30度的角对折即可．解答解：1∵对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,∴点P为BM的中点,即BP=PM,∵四边形ABCD为矩形,∴∠BAM=90°,∠ABC=90°,∴PA=PB=PM,∵折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM．折痕BM,∴PA=PB=PM=PN,∠1=∠2,∠BNM=∠BAM=90°,∴∠2=∠4,∵EF∥BC,∴∠4=∠3,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3=∠ABC=30°,即∠NBC=30°；2通过以上折纸操作,还得到了∠BMN=60°,∠AMN=120°等；3折叠纸片,使点A落在BM上,则可得到15°的角．点评本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．12．2015春大同期末已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,点E、F分别在边AD、BC上,连接B、E,D、F．分别把Rt△BAE 和Rt△DCF沿 BE,DF折叠成如图所示位置．1若得到四边形 BFDE是菱形,求AE的长．2若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上,求AE的长．分析1由矩形的性质得出∠A=90°,设AE=xcm,则ED=4﹣xcm,由菱形的性质得出EB=ED=4﹣x,由勾股定理得出方程,解方程即可；2由勾股定理求出BD,由折叠的性质得出A′E=AE,∠EA′B=∠A=90°,A′B=AB=3cm,求出A′D,设AE=A′E=x,则ED=4﹣xcm,在Rt△EA′D中,由勾股定理得出方程,解方程即可．解答解：1∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,设AE=xcm,则ED=4﹣xcm,∵四边形EBFD是菱形,∴EB=ED=4﹣x,由勾股定理得：AB2+AE2=BE2,即32+x2=4﹣x2,解得：x=,∴AE=cm；2根据勾股定理得：BD==5cm,由折叠的性质得：A′E=AE,∠EA′B=∠A=90°,A′B=AB=3cm,∴∠EA′D=90°,A′D=5﹣3=2cm,设AE=A′E=x,则ED=4﹣xcm,在Rt△EA′D中,A′E2+A′D2=ED2,即x2+22=4﹣x2,解得：x=,∴AE=cm．点评本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质；熟练掌握翻折变换和矩形、菱形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键．13．2015春廊坊期末如图1,矩形纸片ABCD的边长AB=4cm,AD=2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕,使点A与点C 重合,折痕后在其一面着色如图2,观察图形对比前后变化,回答下列问题：1GF = FD：直接填写=、＞、＜2判断△CEF的形状,并说明理由；3小明通过此操作有以下两个结论：①四边形EBCF的面积为4cm2②整个着色部分的面积为运用所学知识,请论证小明的结论是否正确．分析1根据翻折的性质解答；2根据两直线平行,内错角相等可得∠AEF=∠CFE,再根据翻折的性质可得∠AEF=∠FEC,从而得到∠CFE=∠FEC,根据等角对等边可得CE=CF,从而得解；3①根据翻折的性质可得AE=EC,然后求出AE=CF,再根据图形的面积公式列式计算即可得解；②设GF=x,表示出CF,然后在Rt△CFG中,利用勾股定理列式求出GF,根据三角形的面积公式求出S GFC,然后计算即可得解．解答解：1由翻折的性质,GD=FD；2△CEF是等腰三角形．∵矩形ABCD,∴AB∥CD,∴∠AEF=∠CFE,由翻折的性质,∠AEF=∠FEC,∴∠CFE=∠FEC,∴CF=CE,故△CEF为等腰三角形；3①由翻折的性质,AE=EC,∵EC=CF,∴AE=CF,∴S四边形EBCF=EB+CFBC=AB BC=×4×2×=4cm2；②设GF=x,则CF=4﹣x,∵∠G=90°,∴x2+22=4﹣x2,解得x=,∴S GFC=××2=,S着色部分=+4=；综上所述,小明的结论正确．点评本题考查了翻折变换的性质,矩形的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,以及勾股定理的应用,熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键．14．2015春娄底期末操作：准备一张长方形纸,按下图操作：1把矩形ABCD对折,得折痕MN；2把A折向MN,得Rt△AEB；3沿线段EA折叠,得到另一条折痕EF,展开后可得到△EBF．探究：△EBF的形状,并说明理由．分析由1得出M、N分别是AB、DC的中点,由2得出BE=2AP,再由3得出BF=2AP,证出BE=BF,因此∠1=∠2,由角的关系求出∠1=60°,即可证出△EBF为等边三角形．解答解：△EBF是等边三角形；理由如下：如图所示：由操作1得：M、N分别是AB、DC的中点,∴在Rt△ABE中,P为BE的中点,AP是斜边上的中线,∴AP=BP=BE,即BE=2AP,在△EBF中,A是EF的中点,∴AP=BF,即BF=2AP,∴BE=BF,∴∠1=∠2,又∵∠2=∠3,2∠1+∠3=180°,∴3∠1=180°,∴∠1=60°,∴△EBF为等边三角形．点评本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定；熟练掌握翻折变换和矩形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键．15．2015秋兴化市校级期末1如图1,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE内点A′的位置,若∠A=40°,求∠1+∠2的度数；2通过1的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系请写出这个数量关系,并说明这个数量关系的正确性；3将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠．。

七上数学每日一练：翻折变换（折叠问题）练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案答案2020年七上数学：图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）练习题~~第1题~~(2020扬州.七上期末) 将一张正方形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、AF 为折痕，点B 、D 折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′A D′=16°，则∠EAF 的度数为（ ）．A . 40°B . 45°C . 56°D . 37°考点： 正方形的性质;翻折变换（折叠问题）;~~第2题~~(2020建邺.七上期末) 下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ） A . B . C . D .考点： 翻折变换（折叠问题）;~~第3题~~(2020扬州.七上期末) 一张长方形纸片的长为m ，宽为n （m ＞3n ）如图1，先在其两端分别折出两个正方形（ABEF 、C DGH ）后展开（如图2），再分别将长方形ABHG 、CDFE 对折，折痕分别为MN 、PQ （如图3），则长方形MNQP 的面积为（ ）A . nB . n （m ﹣n ）C . n （m ﹣2n ）D .考点： 翻折变换（折叠问题）;~~第4题~~(2019天台.七上期末) 把一张长方形纸片按如图所示折叠2次，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）A .B .C .D .考点： 平行线的性质;翻折变换（折叠问题）;~~第5题~~(2019黄岩.七上期末) 一张长为a ，宽为b 的长方形纸片（a ＞3b ），分成两个正方形和一个长方形三部分（如图①）.现将左边两部分图形对折，使EF 与GH 重合，折痕为AB （如图②），再将右边两部分图形对折，使MN 与PQ 重合，折痕为C D （如图③），则图④中长方形ABCD 的周长为（ ）2答案答案答案答案A . 4b B . 2（a ﹣b ） C . 2a D . a+b考点： 列式表示数量关系;矩形的性质;正方形的性质;翻折变换（折叠问题）;~~第6题~~(2019长春.七上期末) 如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于E ，∠DBC ＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）A . 6个B . 5个C . 4个D . 3个考点： 矩形的性质;翻折变换（折叠问题）;~~第7题~~(2019大庆.七上期末) 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，则下列说法正确的个数有（ ）①DF 平分∠BDE ；②△BFD 是等腰三角形；；③△CED 的周长等于BC 的长.A . 0个；B . 1个；C . 2个；D . 3个.考点： 等腰直角三角形;翻折变换（折叠问题）;~~第8题~~(2019牡丹江.七上期末) 如图所示，将长方形ABCD 的一角沿AE 折叠，若∠BAD′=40°，那么∠EAD′的度数为（ ）A . 20B . 25°C . 40°D . 50°考点： 翻折变换（折叠问题）;~~第9题~~(2019如皋.七上期末) 如图，将长方形纸片进行折叠，ED ，EF 为折痕，A 与A'、B 与B'、C 与C'重合，若∠AED=25°，则∠BEF 的度数为（ ）A . 75°B . 65°C . 55°D . 50°答案答案考点： 翻折变换（折叠问题）;~~第10题~~(2019句容.七上期末) 一张长方形纸片的长为m ，宽为n （m ＞3n ）如图1，先在其两端分别折出两个正方形（ABEF 、C DGH ）后展开（如图2），再分别将长方形ABHG 、CDFE 对折，折痕分别为MN 、PQ （如图3），则长方形MNQP 的面积为（ ）A . nB . n （m ﹣n ）C . n （m ﹣2n ）D .考点： 列式表示数量关系;翻折变换（折叠问题）;2020年七上数学：图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）练习题答案1.答案：D2.答案：B3.答案：A4.答案：B5.答案：A6.答案：B7.答案：C8.答案：B9.答案：B10.答案：A 2。

八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析work Information Technology Company.2020YEAR八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN＝BF＝，得出FN＝BN＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN＝BF＝，∴FN＝BN＝，即点F到BC边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF＝BB′＝，DE ⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH ＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM ＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM ＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE＝B′H＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD，∴AC＝DE，∵AC∥DE，AC＝CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，∴AC＝，∴AE＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝2．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A'F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE＝A'D＝2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4∴AB＝4∵D是AB中点∴BD＝AD＝2∵折叠∴AD＝A'D＝2，S△ADE＝S△A'DE∵S△DEF＝S△ADE∴AD＝2DF，S△DEF＝S△A'DE∴DF＝，A'F＝EF∴BF＝DF＝，且A'F＝EF∴四边形BEDA'是平行四边形∴A'D＝BE＝∴根据勾股定理得：CE＝2故答案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．【分析】作BF⊥AC于F，证明△B1EC≌△CFB（AAS），得出B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，得出BD＝B1D＝3a+1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF⊥AC于F，如图所示：则∠AFB＝∠CFB＝90°，在Rt△ABF中，tan A＝＝，AB＝5，∴AF＝4，BF＝3，sin A＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a＝，∴DE＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE 折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，由△CA′H∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。

图形的翻折问题上海市桃李园实验学校 戚元彬近几年上海中考试题中，图形的运动成为一个命题热点。

图形的翻折是图形的运动形式之一，翻折问题是中考的热点，也是中考的一个难点。

一 认识翻折问题1.关注“两点一线”在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?” ；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。

这是解决问题的基础。

2. 联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。

二 解决翻折问题我们把翻折问题分为两类：“依线翻折”和“依点翻折”。

1. 依线翻折关键是找出对称点，并画出来。

例1. 已知：在Rt △ABC 中，∠A <∠B ，CM 是斜边AB 的中线， 将△ACM 沿直线CM 翻折，点A落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直,那么∠A 等于_________度。

分析：本题是依直线CM 进行翻折的。

首先需要作出A 点关于CM 的对称点D ，这样“两点一线”就明确了。

其次联想到“重合”，从而得到相等的线段和角：CA=CD ，∠1=∠2。

根据已知CD ⊥AB ，AC ⊥CB ，可想到∠A=∠3，又CM 是斜边的中线，于是∠1= ∠A.，所以∠1=∠2=∠3，故∠A=30°。

2. 依点翻折关键是找出折线，并画出来。

例2.. 已知：Rt △ABC 中，∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，∠B=60°， 将△ABC 沿某直线折叠，使点C 落 在M 上，折痕与AC 的交点为E ，那么∠CEM =____度。

分析：本题是依已知点C 、M 翻折的，图中没有折线。

首先需要作出折线：CM 的垂直平分线，并标出点E 。

这样“两点一线”已经明确了。

接下来马上联想到重合的线段和重合的角。

由于CM 是斜边AB 的中线，所以可得到∠BCM=60°，于是∠ECM=30°。

而∠ECM 与∠CME 重合，所以相等，故∠CEM=180°－30°－30°=120°。

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。

2021-2019年上海各区中考数学一模压轴题图形的翻折分类汇编答案解析版【历年真题】1．（2021秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝1，则BE＝4．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】过F作FG⊥AB于点G．先求出AB＝32，BF＝3﹣1＝2．则FG＝GB＝BF＝2，所以AG＝AB﹣BG＝32﹣2＝22，设AE＝x，则EF ＝x，EG＝22﹣x，在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2，利用勾股定理解列出（22﹣x）2+（2）2＝x2，解得x＝524，即求出BE．【解答】解：过F作FG⊥AB于点G．∵∠C＝90°，AC＝BC＝3，CF＝1，∴AB＝32，BF＝3﹣1＝2．∴FG＝GB＝BF＝2，∴AG＝AB﹣BG＝3，设AE＝x，则EF＝x，EG＝﹣x，在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2，即（﹣x）2+）2＝x2，解得x，∴BE＝AB﹣AE＝．故答案为：4．【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型．2．（2021秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，sin∠A＝45．点D、E分别在AB和AC边上，AD＝2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE＝10．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】推理填空题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】先根据折叠得到DE平分∠AEF，根据角平分线过D作∠AEF两边垂线即可．【解答】过D 作DM ⊥AC 于M ，过B 作BH ⊥AC 于H∵AB ＝AC ＝15，4sin 5A ∠=，AD ＝2DB ∴AD ＝10，DM ＝8，AM=6，BH=12，AH=9， ∴CH ＝AC -CH=6∴tan 2,BH C BC CH∠====过D 作DG ⊥EF 交EF 于N ，交AC 于G∵把△ADE 沿着直线DE 翻折得△DEF ∴DE 平分∠AEF ，∴DM ＝DN ＝8，EM ＝EN ，∵EF ⊥BC 于点G ，∴DH ∥BC ，∴23DG AD BC AB ==，∠C ＝∠NHE ，∴23DG BC ==∴8NG DG DN =-= ∵tan tan 2ENC NGE NG ∠=∠==∴216EM EN NG ===-∴10AE AM EM =+=故答案为：10【点评】本题难度比较大，综合考查折叠的性质、三角函数、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由折叠得到角平分线再根据角平分线作垂线．3．（2021秋•金山区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝45，E是BC上一点，把△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，如果PE∥AC，那么BE＝ 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识．【分析】过A作AD⊥BC于D，设AP交BC于F，根据AB＝AC＝10，sin B＝45，AD⊥BC，可得AD＝8，BD＝CD＝6，BC＝12，由△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，即得∠P＝∠B＝∠C，∠BAE＝∠P AE，而PE∥AC，有∠P＝∠F AC，可证得∠AEC＝∠EAC，CE＝AC＝10，即得BE＝BC﹣CE＝2．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，设AP交BC于F，如图：∵AB＝AC＝10，sin B＝45，AD⊥BC，∴4105AD ADAB==，∴AD＝8，∴BD＝CD＝6，∴BC＝12，∵△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，∴∠P＝∠B＝∠C，∠BAE＝∠P AE，∵PE∥AC，∴∠P＝∠F AC，∴∠B＝∠F AC，∴∠B+∠BAE＝∠F AC+∠P AE，即∠AEC＝∠EAC，∴CE＝AC＝10，∴BE＝BC﹣CE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，能熟练运用锐角三角函数解直角三角形．4．（2021秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q 处，联结PQ，如果∠CQB＝APQ，那么AQ的长为395．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；运算能力；推理能力．【分析】利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出AQ 的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：根据题意如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，根据折叠的性质可知∠A＝∠PQA，∵∠AQP+∠A+∠APQ＝180°，∠AQP+∠PQC+∠CQB＝180°，∵∠CQB＝∠APQ，∴∠A＝∠AQP＝∠PQC，∴PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，如图，过点C作CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，∴S△ABC ＝12⨯AC•BC＝12⨯AB•CD，∴10CD＝6×8，∴CD＝245，∵CD⊥AB，PE⊥AB，∴PE∥CD，∴△APE∽△ACD，∴AP PE AC CD=，∴82485x PE-=，∴PE＝35（8﹣x），∴AE＝=45（8﹣x），∴AQ＝2AE＝85（8﹣x），∵∠PCQ＝∠QCA，∠PQC＝∠A∴△PCQ∽△QCA，∴CQ CP PQAC CQ AQ==，∴CQ88(8)5xx-=-，∴258x=，∴AQ＝85（8﹣x）＝395．故答案为：395．【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，主要考查了翻折的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理，三角形等面积法，综合性较强，熟练解直角三角形中线段问题是解题的捷径．5．（2021秋•徐汇区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，点D 为斜边BC 上一点，且BD ＝3CD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为B ′，则sin ∠CB ′D ＝ 10．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；解直角三角形；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由折叠的性质得出AB ＝AB '，∠BAD ＝∠B 'AD ，证出∠CB 'D ＝∠CAD ，由平行线的性质得出∠CAD ＝∠ADE ＝∠CB 'D ，13CD AE BD BE ==，设AE ＝a ，则DE ＝3a ，求出AD ，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵将△ABD 沿直线AD 翻折，∴AB ＝AB '，∠BAD ＝∠B 'AD ，∵AB ＝AC ，∴AC ＝AB '，∴∠AB 'C ＝∠ACB '，设∠B 'AC ＝x ，∠CB 'D ＝α，∠CAD ＝β，∵AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝∠AB 'D ＝45°，∴2（α+45°）+x ＝180°，∴2α＝90°﹣x ，又∵∠B 'AD +∠BAD ＝∠B 'AC +∠CAB ，∴2（x +β）＝90°+x ，∴2β＝90°﹣x ，∴α＝β，∴∠CB 'D ＝∠CAD ，∵CD ⊥AB ，DE ⊥AB ，∴CA ∥DE ，∴∠CAD ＝∠ADE ＝∠CB 'D ，13CD AE BD BE ==， ∵BE ＝DE ，∴13AE BE =， 设AE ＝a ，则DE ＝3a ，∴AD =，∴sin ∠CB ′D ＝sin ∠ADE ＝AE DE =＝10．【点评】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，平分线分线段成比例定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．（2021秋•崇明区期末）如图所示，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，如果将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点D 处，折痕为CM ，那么cos ∠DMA ＝ 3132．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由折叠的性质可知，CB ＝CD ＝6，∠BCM ＝∠ACM ，证明△BCM ∽△BAC ，由相似三角形的性质得出CD BM CM AB BC AC==，求出BM 和AC 的长，过点D作DN ⊥AM 于点N ，设MN ＝x ，则AN ＝5﹣x ，由勾股定理求出x ，根据锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知，CB ＝CD ＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴CD BM CM AB BC AC ==，∴696BM =， ∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC=， ∴AC ＝152，∴AD ＝AC ﹣CD ＝152﹣6＝32， 过点D 作DN ⊥AM 于点N ，设MN ＝x ，则AN ＝5﹣x ， ∴22223()(5)42x x +-=-，解得318x =， ∴cos ∠DMA ＝31318432MN DM ==． 故答案为：3132． 【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明△BCM ∽△BAC 是解题的关键．7．（2021秋•奉贤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35．D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使得点B落在同一平面内的点F处．如果线段FD交边AB于点G，当FD⊥AB时，AE：BE的值为 4 ．【考点】平行线分线段成比例；解直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，如图，利用正弦的定义得到sin B＝35DGBD=，则设DG＝3x，BD＝5x，所以BG＝4x，再根据折叠的性质和平行线的性质得到∠H＝∠DBH，所以DH＝DB＝5x，接着根据平行线分线段成比例定理得到35GE DGBE DH==，则BE＝52x，然后证明△BDG∽△BAC，利用相似比得到BA＝252x，最后计算AE：BE的值．【解答】解：如图，过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，如图，∵FD⊥AB，∴∠DGB＝90°，∵sin B＝35DGBD=，∴设DG＝3x，BD＝5x，∴BG＝4x，∵△BDE沿直线DE翻折得到△FDE，∴∠BDE＝∠FDE，∵DE∥BH，∴∠FDE＝∠H，∠BDE＝∠DBH，∴∠H＝∠DBH，∴DH＝DB＝5x，∵DE∥BH，∴35 GE DGBE DH==，∴BE＝58×4x＝52x，∵∠BGD＝∠C＝90°，∠DBG＝∠ABD，∴△BDG∽△BAC，∴BD BGBA BC=，即5410x xBA x=，∴BA＝252x，∴AE＝AB﹣BE＝252x﹣52x＝10x，∴AE ：BE ＝10x ：52x ＝4． 故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了折叠的性质和解直角三角形．8．（2020秋•崇明区期末）在△ABC 中，AB ＝，∠B ＝45°，∠C ＝60°．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连接DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到△A ′DE ．连接AA ′，当A ′E ⊥AC 时，则线段AA ′的长为 2【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM ＝BM ＝4，进而求出AC ，再利用相似三角形的性质和判定求出AE ，根据对称在Rt △AEF 中求出AF 即可．【解答】解：如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，在Rt △ABM 中，∠B ＝45°，AB ＝，∴AM ＝BM ＝AB •sin ∠B ＝4，在Rt △ACM 中，AM ＝4，∠C ＝60°，∴AC ＝AM 4=sin C sin 60∠＝， 又∵A ′E ⊥AC ，∴∠A ′EC ＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝12（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴AE AD=AB DC，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝AE＝在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝2，∴AA′＝2AF＝，故答案为：．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．9．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】首先根据题意得到EG＝CG，CE⊥BD，证明△CDF∽△BCD和△CDG ∽△BDC，可计算CD和CG的长，再证明△EFD∽△AED，可得AE的长．【解答】解：由折叠得：CE⊥BD，CG＝EG，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DFG，∵∠CDF＝∠BCD＝90°，∴△CDF∽△BCD，∴CD DF=BC CD，∵AB＝4，DF＝1，∴CD1=4CD，∴CD＝2，由勾股定理得：CFBD，同理得：△CDG∽△BDC，∴CD CG=BD BCCG4，∴CG，∴CE＝2CG＝5，∴EF＝CE﹣CF，∵DF1=ED2，ED21==AD42，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴EF DF=AE DE，即15=AE2，∴AE＝【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用相似三角形列比例式是本题的关键．10．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D 是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为2或4017．【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】分两种情况画出图形，①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；方法二：过点E作EH⊥BC 于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，由BF的长列出方程，解方程求出a 即可；②方法一如图2，当∠AB′F＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出9442a a+=，求出a的值则可得出答案．【解答】解：①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB＝10==，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4， ∵∠AFB '＝∠BFD ＝90°，∠ACB ＝90°，∴∠DFB ＝∠ACB ， 又∵∠DBF ＝∠ABC ，∴△BDF ∽△BAC ，∴BF BD BC AB =，即4810BF =， 解得：BF ＝165， 设BE ＝B 'E ＝x ，则EF ＝165﹣x ， ∵∠B ＝∠FB 'E ，∴sin ∠B ＝sin ∠FB 'E ，∴'AC EF AB B E =， ∴166510x x-=，解得x ＝2．∴BE ＝2． 方法二：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，设EH ＝3a ，BE ＝5a ，则BH ＝4a ，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴EF ＝3a ，∴BF ＝8a ＝BD •cos ∠B ＝4×45，∴a ＝25， ∴BE ＝5a ＝2；②如图2中，当∠AB ′F ＝90°时，连接AD ，作EH ⊥AB ′交AB ′的延长线于H ．∵AD ＝AD ，CD ＝DB ′，∴Rt △ADC ≌Rt △ADB ′（HL ），∴AC ＝AB ′＝6，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴∠B ＝∠DB 'E ，∵AB '⊥DB '，EH ⊥AH ，∴DB '∥EH ，∴∠DB 'E ＝∠B 'EH ，∴∠B ＝∠B 'EH ，∴sin ∠B ＝sin ∠B 'EH ，设BE ＝x ，则B 'H ＝35x ，EH ＝45x ， 在Rt △AEH 中，AH 2+EH 2＝AE 2， ∴22234(6)()(10)55x x x ++=-，解得x ＝4017，∴BE ＝4017． 则BE 的长为2或4017． 方法二：过点E 作EG ⊥BD 于点G ，设EG ＝3a ，BG ＝4a ，BE ＝5a ，∴DG ＝EG ×32＝92a ， ∵DG +GB ＝DB ，∴9442a a +=，∴a ＝817， ∴BE ＝4017． 故答案为：2或4017． 【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．11．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝1，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D 、F 、E 在同一直线上，则线段AE 的长为 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据矩形的性质得到AD ＝BC ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，根据折叠的性质得到CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，DC ＝DE ，证明△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，∠CEB ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠DCE ＝∠CEB ，∴∠CEF ＝∠DCE ， ∴DC ＝DE ，设AE ＝x ，则AB ＝CD ＝DE ＝x +1，∵∠AFE ＝∠CFD ＝90°，∴∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∵∠AEF ＝∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ， ∴AF DE EF AE =，∴11x x x+=，解得x 或x ，∴AE ＝．故答案为：12． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，将△ABE 沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于214．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝425y，FG＝AG﹣AF＝85y，即可求解．【解答】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC＝3：2，∴设BE＝3x，EC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝2x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴AD DF AFEH EF FH==，∴523x AFEH FH==，∴EH＝152x，AF＝23FH，∴CH＝EH﹣EC＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴AD AGCH GH=，∴51011112x AGGHx==，∴设AG＝10y，GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝215y×2＝425y，∴FG＝AG﹣AF＝85y，∴AF：FG＝21：4＝214，故答案为214．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．13．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为247．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰梯形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵FB′⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C，∴sin∠ABC＝sin∠C＝AFBF＝45，设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k，∴k＝3，∴AF＝12，BF＝15，∵AD∥BF，∴△APD∽△FPB，∴PA AD62===PF BF155，∴P A＝27AF＝247，故答案为247．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那么边AD．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据已知条件得到AE＝DF＝BE＝CF，求得四边形AEFD是矩形，得到EF＝AD，∠AEN＝∠BEN＝90°，根据折叠的性质得到BN＝AB，根据直角三角形的性质得到∠BNE＝30°，于是得到EN＝2BN即可得到结论．【解答】解：如图，∵在矩形纸片ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，∴AE＝DF＝BE＝CF，∴四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD，∠AEN＝∠BEN＝90°，∵折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，∴BN＝AB，∵BE＝12AB，∴BE＝12BN，∴∠BNE＝30°，∵AB＝5cm，∴EN＝2BN∴EF≥EN时，点A恰好落在线段EF上，即AD∴边AD【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D 在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E 处，联结BE，那么BE的长为1．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得AB BDBM BE=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CA CDCB AC=，∴464CD=，∴CD＝83，BD＝BC﹣CD＝103，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，∴DM＝3215，MB＝BD﹣DM＝65，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴AB BD BM BE=，∴BE＝BD BMAB＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．16．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB 的长；②当∠A1FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE ＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝=②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ＝4；综上所述，AB 的长为4；故答案为：4；【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．17．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，D 是AC的中点，点E 在边AB 上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A ′处，当A ′E ⊥AB 时，则A ′A ＝ 5或5．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用．【分析】分两种情形分别求解，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．想办法求出AE ，利用等腰直角三角形的性质求出AA ′即可．【解答】解：如图，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．在Rt △ACB 中，BC 6，∵∠DAF ＝∠BAC ，∠AFD ＝∠C ＝90°，∴△AFD ∽△ACB ， ∴DF AD AF BC AB AC ==，∴46108DF AF ==， ∴DF ＝125，AF ＝165， ∵A ′E ⊥AB ，∴∠AEA ′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED ＝45°，∴EF ＝DF ＝125，∴AE ＝A ′E ＝125+165＝285，∴AA ′＝5， 如图，作DF ⊥AB 于F ，当 EA ′⊥AB 时，同法可得AE ＝165﹣125＝45，AA ′AE ＝5．故答案为5或5． 【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为 17．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用．【分析】如图，连接BD ．设BC ＝2a ．在Rt △BEF 中，求出EF ，BF 即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD ．设BC ＝2a ．∵四边形ABC都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠A＝∠C＝60°，∴△BDC是等边三角形，∵DE＝EC＝a，∴BE⊥CD，∴BE＝=，∵AB∥CD，BE⊥CD，∴BE⊥AB，∴∠EBF＝90°，设AF＝EF＝x，在Rt△EFB中，则有x2＝（2a﹣x）2+a）2，∴x＝74a，∴AF＝EF＝74a，BF＝AB﹣AF＝4a，∴cos∠EFB＝14774aBFaEF==，故答案为17．【点评】本题考查菱形的性质，解翻折变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.。

中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。

专题01 翻折问题一、解答题1．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−6）2＋（x−4）2＝102，求出AD＝x＝12．【详解】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=6，DC=4，∴BE=6，CF=4，∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．化简得：x2﹣10x﹣24=0解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）所以AD=x=12．2．（2019秋·江苏盐城·九年级校考期中）在初二的数学学习中，我们已经了解了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．张老师在课堂上又提出了这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？（1）经过小组合作交流后，小明代表小组发言，他们发现了AB＝2BC，证明方法如下：证明：如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴点B、C、D三点共线．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（请在下面补全小明的证明过程）（2）受到小明“翻折”方法的启发，另一组代表小刚发言：如图3，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．【答案】（1）AB=2BC；补全证明过程见解析；（2）【分析】（1）根据翻折的性质可得AB=AD，BC=BD，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，即可AB；证明BC=12（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，根据翻折的性质可得∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，可得∠BAD=60°，∠BCD=90°，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，根据勾股定理可得，即可得答案．【详解】（1）∵把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，∴AB=AD，BC=BD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=2BC．（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，∴∠BCD=360°-135°-135°=90°，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，=∴．3．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．【答案】（1）BD；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）思路见（2）（2）①过E作EF//BC，证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，得到△EBD≌△EBF，再证明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【详解】（1）BD（2）①小聪思路：过点E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝BC ＝AC∵EF //BC ∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，∠FEC ＝∠ECB∵又∠A ＝60° ∴△AEF 是等边三角形∴AE ＝AF ＝EF ，∠EFC ＝∠DBE ＝120°，∴CF ＝BE∵ED ＝EC∴∠D ＝∠ECB∴∠D ＝∠FEC∴∠FCE ＝∠BED在△DBE 和△EFC 中，CF BE FCE BEDCE DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△DBE ≌△EFC （SAS ）∴BD ＝EF∴BD ＝AE②小明思路：∵DE ＝EC ∴∠ECB ＝∠D∵∠ABC ＝∠DEB +∠D ，∠ACB ＝∠ACE +∠ECB∴∠DEB ＝∠ACE∵△EBD 翻折到△EBF∴△EBD ≌△EBF ∴∠DEB ＝∠FEB ，DE ＝EF∴∠DEB ＝∠ACE ＝∠FEB∵∠CEB ＝∠CEF +∠FEB ＝∠A +∠ACE ∴∠CEF ＝∠A ＝60°∵DE ＝EF ＝CE ∴△ECF 为等边三角形∴CE ＝CF ，∠ECF ＝60°∴∠ACE +∠ECB ＝∠ECB +∠BCF∴∠ACE ＝∠BCF ，在△ACE 和△BCF 中CF BE BCF ACEAC BC =ìïÐ=Ðíï=î∴△ACE ≌△BCF （SAS ）∴AE ＝BF ＝BD4．（2022·江苏南京·统考一模）阅读下面的问题及解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的表格．(2)将函数y ＝－2x 2＋3x ＋1的图像沿y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ．(3)将函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y 轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．【答案】(1)1x +，y ，61y x =+(2)2323y x x -=-+(3)2(2)y ax a b x a b c=--+---【分析】（1）阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可；（2）根据二次函数图像与几何变换，将x 换成x -，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论；（3）利用图像向左平移、关于,x y 轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答．【详解】（1）解：设平移后新的函数图像上任意点P 的坐标为(,)x y ，将点P 向右平移1个单位长度得点(1,)P x y ¢+平移后的图像对应的函数表达式为：61y x =+，故答案为：1x +，y ，61y x =+；（2）解：将二次函数2231y x x =-++的图像沿着y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是22()3()1y x x +=--×-+，即2323y x x -=-+，故答案为：2323y x x -=-+；（3）解：将2y ax bx c =++(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，得2(1)(1)y a x b x c =++++，再沿y 轴翻折，得2(1)(1)y a x b x c =-++-++，即2(21)(1)y a x x b x c =-++-+，最后绕原点旋转180°，得2(21)(1)y a x x b x c -=+++++，整理得：2(2)y ax a b x a b c =--+---，故答案为：2(2)y ax a b x a b c =--+---．答：所得到的图像对应的函数表达式2(2)y ax a b x a b c =--+---．5．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在数学活动《折纸与证明》中，有这样的一段活动材料：①如图①，把正方形ABCD 对折后再展开，折痕为EF ；②如图②，将点A 翻折到EF 上点A ¢处，且使折痕过点B ；③如图③，沿A C ¢折叠，得A BC ¢V （如图④）．回答下列问题：(1)判断：A BC ¢V 的形状为______________；并说明你的理由；(2)若正方形纸片的边长为2，则线段A F ¢的平方的值为______________．【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)3【分析】（1）由折叠的性质可知EF 垂直平分BC ，结合正方形的性质可知A C A B AB BC ¢¢===，可判断A BC ¢V 是等边三角形．（2）利用勾股定理解直角A FB ¢D 可得222A F A B FB ¢¢=-．【详解】（1）解：等边三角形．理由如下：∵如图②，把正方形纸片ABCD 对折，折痕为EF ，∴EF 垂直平分BC ．∵将点A 翻折，折痕过点B ，且使点A 落在EF 的点A ¢处，∴A C A B AB BC ¢¢===．∴A BC ¢V 是等边三角形．（2）解：∵正方形纸片的边长为2，EF 垂直平分BC ，∴2A B AB ¢==，112122FB BC ==´=，90A FB ¢Ð=°，∴2222213A F A B FB ¢¢=-=-=，线段A F ¢的平方的值为3．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt ABC V 中，9060A CB ，A Ð=°Ð=°，CD 平分ACB Ð，试判断BC 和AC AD 、之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将ACD V 沿CD 翻折，使点A 落在BC 边上的E 处，展开后连接DE ，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出BC 和AC AD 、之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在ABC V 中，2C B Ð=Ð，AD 平分32CA B ，A B ，A D Ð==，求ACD V 的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的E 处，展开后连接DE ，这样可以将问题解决（如图4）；请帮小明写出解答过程：【实践拓展】（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD 的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的ABC V 和ACD V ，若AC 平分10m 17m 9m BAD BC CD AC AD Ð====，，，．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．【答案】（1）A C D E C D @V V ；（2）BC AC AD =+；（3）ACD V 的周长为5；（4）需要买67m 长的栅栏【分析】（1）将ACD V 沿CD 翻折得到ECD V ，则A CD E C D @V V ，即可得答案；（2）由90,60ACB A Ð=°Ð=°，得30B Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，得30EDB B Ð=Ð=°，所以E D E B A D ==，于是B C E C E B A C A D =+=+；（3）将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，则,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，于是得2B E D B B Ð=Ð+Ð，则B EDB Ð=Ð，得EB ED CD ==，所以3A C C D A B +==，即可得答案；（4）将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，设m EF BF c ==，则()9A F x m =+，可得方程()222217910x x -+=-，解得：6x =，即可求得6m EF BF ==，()21m AB =，则()91010211767m AD BC CD AB AC ++++=++++=，可得答案．【详解】解：（1）如图2，ACD QV 沿CD 翻折得到ECDV A C D E C D \@V V ；（2）BC AC AD =+，理由：90,60ACB A Ð=°Ð=°Q ，30B \Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，603030E D B C E D B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，EDB B \Ð=Ð，ED EB \=，EB AD \=，B C E C E B A C A D \=+=+；（3）如图4，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，由翻折得,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，A E D E D B B Ð=Ð+ÐQ ，2B E D B B \Ð=Ð+Ð，B EDB \Ð=Ð，EB ED \=，CD EB \=，3A C C D A E E B A B \+=+==，325A C C D A D \++=+=，ACD V 的周长为5；（4）如下图5，将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，10m,17m,9m BC CD CA AD ====Q ，9m,10m AE AD CE CD \====，10m BC CE \==，CF AB ^Q ，\90,A FC B FC E F B F Ð=Ð=°=，设m EF BF c ==，则()9m AF x =+，22222A C A F B C B F C F -=-=Q ，()222217910x x \-+=-，解得：6x =，6m EF BF ==Q ，()96621m AB AE EF BF \=++=++=，()91010211767m AD BC CD AB AC \++++=++++=，\需要买67m 长的栅栏．7．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个ABC V ，按要求回答下列问题：(1)ABC V 的面积为 ；(2)画出将ABC V 向右平移6格，再向上平移3格后的111A B C △；(3)画出ABC V 绕点B 顺时针旋转90°后的图形22A BC V ；(4)画出ABC V 沿直线EF 翻折后的图形33A B C △．【答案】(1)3(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）直接利用三角形面积求法得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出111A B C △；（3）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出22A BC V ；（4）直接利用翻折变换的性质得出对应点位置，进而得出33A B C △．【详解】（1）ABC V 的面积为：13232´´=；故答案为：3；（2）如图所示：111A B C △即为所求；（3）如图所示：22A BC V 即为所求；（4）如图所示：33A B C △即为所求；8．（2020·江苏无锡·统考一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC，结合中垂线的性质定理与三角形三边长的关系，即可得到结论；（2）延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．易证△ACE≌△CAN，得AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，结合“三角形中，大角对大边”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，进而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到结论．【详解】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC．将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，∵DE为BC的中垂线，∴DB=DC．∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q．∵∠ACP=∠ACQ=90°，∴AP＞AC，AQ＞AC，∴AP＋AQ＞2AC．∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ．同理可得：PC＞PM．∵△ACE≌△ACN，∴∠CAN=∠CAE，又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，∴△ACP≌△ACQ（ASA），∴PC=CQ，∴QE＞PM，∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．又∵AP＋AQ＞2AC，∴AM＋AN＞2AC．∵正方形ABCD中，AC=BD，∴AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江苏·九年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D ＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．【分析】（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C ＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．【详解】解：（1）由折叠的性质，则∠AC′D=∠C=60°，∵∠B=45°，∴∠C′DB＝60°-45°=15°；故答案为：15°．（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，∵DC＇是高，∴△ABD的面积为6．（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，∴AB＇＝AB=B＇C，∴∠B＇AC＝∠C ＝24°∴∠B＝∠AB＇B＝48°，∴∠CAB＝108°．10．（2021春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）问题背景如图1，矩形ABCD中，AB=AB AD<，M、N分别是AB、CD的中点，折叠矩形ABCD，使点A落在MN上的点K处，折痕为BP．（1）用直尺和圆规在图1中的AD 边上作出点P （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AK ，判断ABK V 的形状；（3）如图2，若点E 是直线MN 上的一个动点．连接EB ，在EB 左侧作等边三角形BEF ；连接MF ，则MF 的最小值是______；（4）如图3，若点E 是射线KM 上的一个动点将BEK △沿BE 翻折，得BET △，BT 所在直线交直线MN 于点Q ，当TQE △是直角三角形时，KE 的长为多少？请直接写出答案．【答案】（1）见详解；（2）ABK V 是等边三角形，理由见详解；（3（4）4或12【分析】（1）作∠ABK 的平分线交AD 于P ，点P 即为所求；（2）先求出∠BKM ＝30°；根据对称性可得∠AKB =60°，进而即可得到答案；（3）由△FBA ≌△EBK ，因为FM 、EH 分别是AB 、BK 上的中线，推出FM ＝EH ，根据垂线段最短可知，当HE ⊥MN 时，EH 的值最小，进而即可求解；（4）分四种情形分别画出图形，求解即可；【详解】解：（1）如图①中，点P 即为所求：（2）连接AK ，在Rt △BKM 中，∵sin ∠BKM ＝BM BK ＝12，∴∠BKM ＝30°．∵M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴∠AKM =∠BKM ＝30°，AK =BK ，∴∠AKB =60°，∴ABK V 是等边三角形；（3）如图②中，连接AF ，取BK 的中点H ，连接EH ．∵等边三角形BEF中，∴∠FBE＝∠ABK＝90°-∠BKM=90°-30°=60°，又∵BF＝BE，BA＝BK，∴∠FBA＝∠EBK，∴△FBA≌△EBK（SAS），∵FM、EH分别是AB、BK上的中线，∴FM＝EH，根据垂线段最短可知，当HE⊥MN时，EH的值最小，最小值EH＝12∴FMAB MKB=30°，（4）∵MB=12∴MK=6，如图，当∠TEQ＝90°时，则TE∥MB，∴∠MBQ=∠T=∠MKB=30°，∴MQ=，设EK=ET=x，则QE，x+x+2=6，解得：x EK如图，当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，QE=2=，∴EK=6-2=4；如图当∠TEQ＝90°时，则∠BEM=45°，∴EM=BM∴EK如图：当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，∵∠TEM=90°-∠T=60°，×60°=30°，∴∠KEB=12∴∠EKB=∠KEB=30°，∴ME=MK=6，∴EK=12．综上所述，满足条件的EK的值为4或12．11．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；(2)EQ＝CQ，理由见解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形M BFN为平行四边形，得出MN =BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE= BF，即可得出结论；（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI ⊥BC，HI = AB= AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD= HQ，AH = QI，由H L证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH =∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；(4)延长AG交BC于E，则EG = AG= 5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE= BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，{BAE CBF AB BC ABE BCFÐ=Ð=Ð=Ð，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在图2中，连接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，{AB CB ABQ CBQ BQ BQ=Ð=Ð=，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI= AB= AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA = 45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵MN是AE的垂直平分线，AQ= QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ= QE，AH= QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH =∠QEI，∠AQH＋∠EQI = 90°，△AQ E是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF= 45°故答案为：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：则EG =AG =5，∴AE = 10，在Rt △ABE 中，BE 6==CE = BC - BE = 8-6=2，由折叠的性质得： AC '=CE =2，故答案为： AC ′=2.12．（2022·江苏盐城·校联考一模）（1）背景问题：如图①，已知矩形ABCD ，E 是边CD 上一点，将△BCE 沿BE 翻折，使得C 落在AD 上的点F 处，求证：△ABF ∽△DFE ．（1）尝试应用：如图②，已知四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，点E 在AD 上，∠BEC =90°，2∠BCE +∠ECD =180°，过点E 作EF ⊥BC 垂足为F ，若EF =2，BC =5，求AE 的长．（2）拓展创新：如图③，已知矩形ABCD ，AB =9，BC =12，E 是边CD 上一动点，将△BCE 沿BE 翻折至△BPE ，连接AP 在上取点T ，使得PT =2AT ，连接DT ，求出DT 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2（3）4【分析】（1）由矩形的性质和翻折得到∠BFE ＝∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由同角的余角相等可推得∠DEF ＝∠AFB ，证得△EDF ∽△FAB ；（2）证明△ECF ∽△BEF ，得CF =1，BF =4 ，由△ABF ∽△DFE ，2∠BCE +∠ECD =180°，构造矩形ABGD ，由BG =AD 建立方程，解方程求解即可；(3)在AB 边上取Q ，使得BO =2AQ ，连接TQ ，则ATQ APB V V ∽求得4TQ =，可得T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，根据点圆关系求最值即可．【详解】（1）证明：如图1，在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由翻折得∠EFB ＝∠C ＝90°．∵∠DEF ＋∠DFE ＝90°，∠AFB ＋∠DFE ＝180°−90°＝90°，∴∠DEF＝∠AFB，∴△ABF∽△DFE．（1）尝试应用：如图2，过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G，设DE＝m，CD＝x．∵EF⊥BC，∴∠EFC＝∠BFE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ECF＝90°−∠CEF＝∠FEB，∴△ECF∽△BEF，EF CFBF EF\=\EF2=CF·BF25EF BC==，Q()225CF CF\=-解得CF=1，或4（舍去）\CF=1，BF=4\EC==EB==∵△ABF∽△DFE∴12 CD DE CE AE AB BC===设CD=x，则AE=2x∵2∠BCE+∠ECD=180°∴D、C、G共线，在矩形ABGD中则DG x AB==由BG=AD得2x=∴AE=（2）拓展创新：在AB边上取Q，使得BQ=2AQ，连接TQQ PT =2AT ，PAB TAQÐ=Ð\ATQ APBV V ∽\13TQ AQ AT PB AB AP ===143TQ PB \==\T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，当点T 落在DQ 上，即DT ＝DQ−4时，DT 的值最小，9AB DC ==Q \133AQ AB ==Q 90CB =°DQ \==∴DTmin =413．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm 点E 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度是2cm/s ；点F 从点B 出发，沿BD 方向匀速运动，速度是1cm/s ，MN 是过点F 的直线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，且在运动过程中始终保持MN ⊥BD ．连接EM 、EN 、EF ，两点同时出发，设运动时间为t （s ）（0<t <3.6），请回答下列问题：(1)求当t 为何值时，△EFD ∽△ABD ?(2)求当t 为何值时，△EFD 为等腰三角形；(3)将△EMN 沿直线MN 进行翻折，形成的四边形能否是菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD(2)当t 的值为5021或103时△EFD 为等腰三角形(3)不存在，理由见解析【分析】（1）当△EFD ∽△ABD 时，得到相似比DE DF DA DB=，解得207t =即可；（2）根据题意，等腰三角形分三种情况：EF ＝DE 时；EF ＝DF 时；DE ＝DF 时；作出相应图形，结合条件求解即可；（3）假设存在这样的菱形，当EM EN =时，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，利用勾股定理求出两条线段长，根据相等关系列方程求解即可确定结论存在与否．【详解】（1）解：如图所示：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝8cm ，∠A ＝∠ABC ＝90°，在Rt △ABD 中由勾股定理得10BD ===（cm ），由题意得：DE ＝2t cm ，BF ＝t cm ，∴()10DF BD BF t =-=-cm ，∵△EFD ∽△ABD ，∴DE DF DA DB =，∴210810t t -=，解得207t =∴当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD ；（2）解：△EFD 为等腰三角形有三种情况：①EF ＝DE 时，点E 在DF 的垂直平分线上，过点E 作EG ⊥DF 于点G ，如图所示：则11022t DG DF -==cm ，在Rt △DEG 中，4cos 15DG DE Ð==，∴5DG ＝4DE ，∴105422t t -´=´，解得：5021t =；②EF ＝DF 时，点F 在DE 的垂直平分线上，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，如图所示：则12DH DE t ==cm ，在Rt △DHF 中，4cos 15DH DF Ð==，∴5DH ＝4DF ，∴()5410t t =-，解得409t =，∵40 3.69>，∴不合题意舍去；③DE ＝DF 时，则2t ＝10－t ，解得：103t =；综上：当t 的值为5021或103时，△EFD 为等腰三角形；（3）解：不存在．假设△EMN 沿直线MN 翻折后点E 落在点E ¢处，由折叠得：EM E M ¢=，EN E N ¢=，当翻折后的四边形为菱形时，EM E M E N E N ¢¢¢===，∴EM ＝EN ，∴22EM EN =，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，如图所示：则四边形EQCD 为矩形，∴EQ ＝CD ＝6cm ，CQ ＝DE ＝2t cm ，∴51382844NQ BC CQ BN t t t æö=--=--=-ç÷èø，∴222222131696852100416EN EQ NQ t t t æö=+=+-=-+ç÷èø，∵563AM AB BM t æö=-=-ç÷èøcm ，()82AE t =-cm ，∴()2222225616825210039ME AM AE t t t t æö=+=-+-=-+ç÷èø，∴22611695210052100916t t t t -+=-+，此方程无解，∴不存在这样的菱形．14．（2022秋·江苏·九年级期中）(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，那么BC 和AB 有怎样的数量关系？试证明你的结论”老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答小明：AB =2B C ．证明：把△ABC 沿着AC 翻折，得到△AD C ．∴∠ACD =∠ACB =90°，∴∠BCD =∠ACD +∠ACB =90°+90°=180°，即：点B 、C 、D 在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）(2)【变式拓展】如图2，在△ABC 中，把（1）中条件“∠ACB =90°”改为“∠ACB =135°”，保持“∠BAC =30°”不变，则2AB = 2BC ．(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D 是△ABC 内一点，AD =AC ，∠BAD =∠CAD =20°，∠ADB +∠ACB =210°，探求AD 、DB 、BC 三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2(3)222BD BC AD +=，理由见解析【分析】（1）根据翻折的性质得出点B 、C 、D 共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；（2）把∆ABC 沿着AC 翻折，得到∆ADC ，根据翻折的性质得出∆ABD 为等边三角形，由题意确定∠BCD =90°，运用勾股定理即可得出结论；（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．【详解】（1）证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=2BC；（2）如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，由翻折得：AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，∴∠BAD=60°，∴∆ABD为等边三角形，∴AB=BD，∵∠ACB=∠ACD=135°，∴∠BCD=90°，2222\=+=，BD BC CD BC2即22AB BC=；2（3）222+=；BD BC AD理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，∵∠BAD=∠CAD=20°，∴∠EAB=20°，∴∠EAC=60°，∵∠ACB +∠ADB =210°，∠AEB =∠ADB ，∴∠ACB =∠AEB =210°，∴∠EBC =360°-210°-60°=90°，∵AD =AC ，AE =AD ，∴AE =AC ，∴△AEC 为等边三角形，∴EC =AE =AD ，在Rt △EBC 中，222BE BC EC +=，∵BC =BD ，EC =AD ，∴222BD BC AD +=．15．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）问题情境：如图1，P 是O e 外的一点，直线PO 分别交O e 于点A ，B ．(1)探究证明：如图2，在O e 上任取一点C (不与点A ，B 重合)，连接PC ，求证：<AP PC ；(2)直接应用：如图3，在Rt ABC △中，=90ACB а，3AB AC ==，以BC 为直径的半圆O 交AB 于D ，P 是弧CD 上的一个动点，则AP 的最小值是 ．(3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，=60A а，M 是AD 的中点，N 是AB 边上一动点，将AMN V 沿MN 所在的直线翻折得到A MN ¢V ，连接A B ¢，则A B ¢长度的最小值为 ．(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点()2,3A -，点()4,5B ，分别以1，2为半径作A e 、B e ，M ，N 分别是A e ，B e 上的动点，直接写出PM PN +的最小值为 ．【答案】(1)见解析321-(4)7【分析】(1)在POC △中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；(2)连接OA 交O e 于点P ，根据勾股定理求得OA ，进而求得AP ；(3)A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，故连接BM ，求得BM ，进而求得A B ¢的最小值；(4)作点A 关于x 轴的对称点C ，连接CB 交x 轴于点P ，求出BC 的长，进而求得PM PN +的最小值．（1）证明：如图1，<PO OC PC -Q ，()<AP OA OC PC \+-，OA OC =Q ，<AP PC \；（2）解：如图2，连接OA ，交半O e 于点P ，13==22CO BC \，在Rt AOC V 中，OA ===∴32AP OA OP =-=，\AP 32，32；（3）解：如图3，连接BM 、BD ，交M ⊙于点1A ，∵四边形ABCD 是菱形，AB AD \=，=60BAM аQ ，ABD \V 是等边三角形，∵M 是AD 的中点，A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，=90AMB \а，1112AM A M AD ===，BM \==，∴111A B BM A M =-=，A B \¢1-，1；（4）解：如图4，作点A 关于x 轴的对称点C ，连接BC ，交x 轴于点P ，交B e 于点N ，连接PA 交A e 于M ，PA PC \=，PA PB PC PB BC \+=+=，∵点()2,3A -，点()4,5B ，∴点(2,3)C --，10BC \==，∵分别以1，2为半径作A e 、B e ，=1AM \，2BN =，PM PN \+PA PB AM BN =+-- 1012=--=7，故答案是：7．16．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数32y x =-的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：x …2-1-012 (32)y x =-…4a2-14…请按要求完成下列各小题：(1)a 的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A ．函数图像关于x 轴对称B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大②直接写出不等式1324x <-<的解集为______．(4)将该函数图像在直线1y =上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线1y =进行翻折，得到新函数图像，若经过点()2,0-的一次函数y kx b =+图像与新函数图像W 只有1个交点时，请直接写出k 满足的条件______．【答案】(1)1(2)见解析(3)①BC ；②2<<1x --或12x <<(4)3k ³或3k <-或13k =【分析】（1）把=1x -代入32y x =-即可求出a 的值；（2）先描点再连线画出函数图像即可；（3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y 轴对称，关于x 轴不对称，即可判断A 错误；根据函数图象可判断当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，得出B 正确；根据函数图象可判断当0x >时，y 随x 的增大而增大，得出C 正确；②根据函数图象写出不等式的解集即可；（4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k 的范围即可．【详解】（1）解：把=1x -代入32y x =-得：3121y =´--=，即1a =，故答案为：1．（2）解：该函数的图象，如图所示：（3）解：①A ．函数图像关于y 轴对称，故A 错误；B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，故B 正确；C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大，故C 正确；故答案为：BC ；②根据函数图象可知，当2<<1x --或12x <<时，1324x <-<；故答案为：2<<1x --或12x <<；（4）解：如图所示：设点()2,4A ，()1,1B ，()0,4C ，()11D -,，()2,4E -，设AB 的解析式为11y k x b =+，把()2,4A ，()1,1B 代入得：1111241k b k b +=ìí+=î，解得：1132k b =ìí=-î，AB 的解析式为：()321y x x =->，设CD 的解析式为22y k x b =+，把()0,4C ，()11D -,代入得：22141b k b =ìí-+=î，解得：2234k b =ìí=î，CD 的解析式为：()3410y x x =+-<<，设DE 的解析式为33y k x b =+，把()11D -,，()2,4E -代入得：3333241k b k b -+=ìí-+=î，解得：3332k b =-ìí=-î，DE 的解析式为：()341y x x =--<-，根据图像可知，当直线y kx b =+经过()2,0-和点()1,1B 时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，把()2,0-，()1,1B 代入得：201k b k b -+=ìí+=î，解得：13k =；∵123k k ==，∴AB CD ∥，根据图像可知，当直线y kx b =+与AB 平行时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，且此时直线y kx b =+绕点()2,0-继续逆时针旋转，直到与DE 平行之前，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，∴当3k ³或3k <-时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点；综上分析可知，当3k ³或3k <-或13k =时直线y kx b =+与图像W 只有一个交点．故答案为：3k ³或3k <-或13k =．17．（2017江苏省宿迁市，第25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ．（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2（3）Q （0）或（4，0）或（5，0）或（0）或（2，0）或（1，0）．【详解】试题分析：（1）由已知抛物线可求得A 、B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线N 的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC 与AB 的垂直平分线的交点，即直线y =x 与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q （x ，0），当BC 为平行四边形的边时，则有BQ ∥PC 且BQ =PC ，从而可用x 表示出P 点的坐标，代入抛物线解析式可得到x 的方程，可求得Q 点坐标，当BC 为平行四边形的对角线时，由B 、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P 点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x 的方程，可求得P 点坐标．试题解析：（1）在2=23y x x --中，令y =0可得x 2﹣2x ﹣3=0，解得x =﹣1或x =3，∴A （﹣1，0），B （3，0），令x =0可得y =﹣3，又抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折后得到曲线N ，∴C （0，3），设曲线N 的解析式为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 的坐标代入可得：09303a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，解得：123a b c =-ìï=íï=î，∴曲线N 所在抛物线相应的函数表达式为223y x x =-++；（2）设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点，∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ，又线段AB 的解析式为曲线N 的对称轴，即x =1，∴M （1，1），∴MB△ABC（3）设Q （t ，0），则BQ =|t ﹣3|．①当BC 为平行四边形的边时，如图1，则有BQ ∥PC ，∴P 点纵坐标为3，即过C 点与x 轴平行的直线与曲线M 和曲线N 的交点即为点P ，x 轴上对应的即为点Q ，当点P 在曲线M 上时，在2=23y x x --中，令y =3可解得x或x =1，∴PCPC﹣1．。

八年级数学下册《图形的折叠问题》练习题与答案(人教版)一、选择题1.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.55°2.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3.如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE.若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝( )A.2B.3C.4D.54.在△ABC中，AB＝10，AC＝12，BC＝9，AD是BC边上的高，将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )A.9.5B.10.5C.11D.15.55.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E.如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为( )A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm6.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5 2 cmC.5.5 cmD.1 cm二、填空题7.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为.8.如图，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2 cm，∠BAD＝120°，则EF的长为 .9.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后端点D恰好落在边OC 上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为10.把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上)，折痕分别为BH、DG．若AB＝6cm，BC＝8cm，则线段FG的长为11.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF面积为________.12.把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处(如图二)．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为______．三、解答题13.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已AB＝32cm，BC＝40cm，求CE的长.14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F 处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.15.如图①，将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A′处，然后将矩形展平，如图②沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长.16.如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，点B的坐标为_________，点E的坐标为_________；(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上?若能，请求出m的值；若不能，请说明理由.17.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.(1)求证：四边形AFHG为正方形；(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.18.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积.19.在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．(1)如图1，求证：AE⊥BF；(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4求QF的值.20.如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．21.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12 cm，AD＝20 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.图1 图2参考答案1.A.2.A3.B.4.D.5.C.6.A7.答案为：36°.8.答案为：3(cm).10.答案为：3cm.11.答案为：2.12.答案为：28.8.13.解：∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝40cm，DC＝AB＝32cm；∠B＝90°由题意得：AF＝AD＝40cm；DE＝EF(设为x)，EC＝40﹣x；由勾股定理得：BF2＝402﹣322＝576∴BF＝24，CF＝40﹣24＝16；由勾股定理得：x2＝162＋(40﹣x)2，解得：x＝23.2∴EC＝32﹣23.2＝8.8.14.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.∵在Rt△ACD中，AC＝10∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2即(8﹣x)2＝42＋x2解得x＝3，即：EF＝3.(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5∴S梯形ABCE＝(5＋8)×6÷2＝39.15.解：(1)证明：由折叠知△AEF≌△GEF，△BCE≌△HCE∵AE＝A′E＝BC，∠AEF＝∠BCE∴△AEF≌△BCE∴△GEF≌△HCE∴EG＝CH；(2)∵AF＝FG＝2，∠FDG＝45°∴FD＝2，AD＝2＋2；∵AF＝FG＝HE＝EB＝2，AE＝AD＝2＋ 2∴AB＝AE＋EB＝2＋2＋2＝2＋2 2.16.解：(1)(3，4)；(0，1)(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下：∵四边形OABC为长方形∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°由折叠的性质可得DE＝BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3，AE＝AB＝OC＝m.如图，假设点E恰好落在x轴上.在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝22，则有OE＝OC﹣CE＝m﹣2 2.在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m﹣22)2＝m2，解得m＝3 2.17.证明：(1)∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°；由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°；∴四边形AFHG是正方形解：(2)∵四边形AFHG是正方形∴∠BHC＝90°又GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；设AD的长为x则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去) ∴AD＝12∴AB＝6 5.18.证明：(1)由题意可得，△BCE≌△BFE∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE∵FG∥CE∴∠FGE＝∠CEB∴∠FGE＝∠FEG∴FG＝FE∴FG＝EC∴四边形CEFG是平行四边形又∵CE＝FE∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10∴AF＝8∴DF＝2设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x∵∠FDE＝90°∴22＋(6﹣x)2＝x 2，解得，x ＝103 ∴CE ＝103∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝103×2＝203. 19.证明：(1)∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点 ∴CF ＝BE在△ABE 和△BCF 中∴Rt △ABE ≌Rt △BCF(SAS)∴∠BAE ＝∠CBF又∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°∴∠BGE ＝90°∴AE ⊥BF ；(2)解：∵将△BCF 沿BF 折叠，得到△BPF∴FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC ，∠FPB ＝90°∵CD ∥AB∴∠CFB ＝∠ABF∴∠ABF ＝∠PFB∴QF ＝QB设QF ＝x ，PB ＝BC ＝AB ＝4，CF ＝PF ＝2∴QB ＝x ，PQ ＝x ﹣2在Rt △BPQ 中∴x 2＝(x ﹣2)2＋42解得：x ＝5，即QF ＝5．20.解：(1)∵在△OAB 中，∠OAB ＝90º，∠AOB ＝30º，OB ＝8 ∴OA ＝43，AB ＝4.∴点B 的坐标为(43，4).(2)∵∠OAB ＝90º∴AB ⊥x 轴∴AB ∥EC.又∵△OBC 是等边三角形∴OC ＝OB ＝8.又∵D 是OB 的中点，即AD 是Rt △OAB 斜边上的中线∴AD ＝OD∴∠OAD ＝∠AOD ＝30º∴OE ＝4.∴EC ＝OC －OE ＝4.∴AB ＝EC.∴四边形ABCE 是平行四边形.(3)设OG ＝x ，则由折叠对称的性质，得GA ＝GC ＝8－x. 在Rt △OAG 中，由勾股定理，得GA 2=OA 2+OG2 即，解得，x ＝1. ∴OG 的长为1.21. (1)证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ∴点B 与点E 关于PQ 对称∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF.又∵EF ∥AB∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ∴四边形BFEP 为菱形.(2)解：①∵四边形ABCD 是矩形∴BC ＝AD ＝20，CD ＝AB ＝12，∠A ＝∠D ＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称∴CE ＝BC ＝20.在Rt △CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝16∴AE ＝AD －DE ＝20－16＝4.在Rt △APE 中，AE ＝4，AP ＝12－PB ＝12－PE∴EP 2＝42＋(12－EP)2.解得EP ＝203∴菱形BFEP 的边长为203cm. ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝4. 当点P 与点A 重合时，如图点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝12 ∴点E在边AD上移动的最大距离为8 cm.。

专题50圆中的翻折综合问题为（）D. 6J21、如图，将半径为12的二O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,则折痕AB长【分析】延长CO交AB于E点，连接OB,构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长C/ \D \代--方一予5J-/【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB,ZCEZAB,二E为AB的中点，二OC=6, CD=2OD,二CD=4, OD=2, OB=6.二DE=1 (2OC-CD) =4(6x2-4)=38=4,ZOE=DE-OD=4-2=2,在 Rt 二 OEB 中，二 OE 2+BE 2=OB 2, ZBE= y/0B 2-0E 2 = A /62-42441 ZAB=2BE=8V2 .故选:B.【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求 解是解答此题的关键.2、已知如图：匚0的半径为8cm,把弧AmB 沿AB 折叠使弧AniB 经过圆心0,再把弧AOB 沿CD 折叠, 使弧COD 经过AB 的中点E,则折线CD 的长为（ ）A. 8cmB. 8-73 cmC. 2A /7 cmD. 4<7 cm二0F'=6cm,十:尸♦/辛【解答】解：连接0E 并延长交CD 于点F,交CD 于点F,二 0C'=8ciii,交弧AmB 于点G, 【分析】连接OE 并延长交CD 于点F,交CD 于点F,交弧AmB 于点G,根据翻折的性质得出OF=6, 再由勾股定理得出.ZCT'=CF= A/S2-62=2 yH cnu FZCD=2CD=4^7 cm.故选：D.【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握.3、如图，AB是二0的直径，且AB=4, C是n0上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点0,仙314,、5=L41, 73=1.73,那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A. 3.2B. 3.6C. 3.8D. 4.2【分析】作0E二AC交二。

2020年江苏省中考数学试题分类（8）——图形的变化一．翻折变换（折叠问题）（共3小题） 1．（2020•无锡）如图，在四边形ABCD 中（AB ＞CD ），∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝3，BC =√3，把Rt △ABC 沿着AC 翻折得到Rt △AEC ，若tan ∠AED =√32，则线段DE 的长度（ ）A ．√63B ．√73C ．√32D ．2√752．（2020•南通）矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12．将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ． （1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求AA AA的值；（2）如图②，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．3．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E 为边CD 上的一点（与C 、D 不重合），四边形ABCE 关于直线AE 的对称图形为四边形ANME ，延长ME 交AB 于点P ，记四边形P ADE 的面积为S ． （1）若DE =√33，求S 的值；（2）设DE ＝x ，求S 关于x 的函数表达式．二．平移的性质（共1小题） 4．（2020•镇江）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于 ．三．旋转的性质（共1小题）5．（2020•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（）A．18°B．20°C．24°D．28°四．旋转对称图形（共1小题）6．（2020•镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合．五．中心对称图形（共1小题）7．（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．六．关于原点对称的点的坐标（共1小题）8．（2020•淮安）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）七．坐标与图形变化-旋转（共1小题）9．（2020•南通）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限八．作图-旋转变换（共1小题） 10．（2020•常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．（1）点F 到直线CA 的距离是 ；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为 ；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE ＝OB 时，求OF 的长．九．几何变换综合题（共1小题） 11．（2020•淮安）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为 ； [思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AA AA的值；[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ． ①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求AA AA的取值范围．一十．平行线分线段成比例（共1小题） 12．（2020•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为 ．一十一．相似三角形的判定（共1小题）13．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AA AA=A′A′A′A′．（1）当AAA′A′=AA A′A′=AAA′A′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C '．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当AAA′A′=AA A′A′=AAA′A′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）14．（2020•无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ =12，有下列结论： ①CP 与QD 可能相等；②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31√316；④四边形PCDQ 周长的最小值为3+√372． 其中，正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 15．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则A 1A 2的值等于 ．16．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AAAA的值为．17．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．（1）用含x的代数式表示AD的长；（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．18．（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．19．（2020•无锡）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D ＝30°，DC=√3．（1）求证：△BOC∽△BCD；（2）求△BCD的周长．一十三．相似形综合题（共2小题）20．（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：AA AA=AA AA．【探究】如图②，在四边形ABCD 中，∠C ＝∠ADC ＝90°，点E 在边CD 上，点F 在边AD 的延长线上，∠FEG ＝∠AEB ＝90°，且AA AA=AA AA，连接BG 交CD 于点H ．求证：BH ＝GH ．【拓展】如图③，点E 在四边形ABCD 内，∠AEB 十∠DEC ＝180°，且AA AA=AA AA，过E 作EF 交AD于点F ，若∠EF A ＝∠AEB ，延长FE 交BC 于点G ．求证：BG ＝CG ．21．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果AA AA=AA AA，那么称点B 为线段AC的黄金分割点．它们的比值为√5−12． （1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE ＞DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．一十四．解直角三角形的应用（共3小题） 22．（2020•南通）如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部5m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为 m ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）23．（2020•淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得∠CAB ＝30°，∠ABC ＝45°，AC ＝8千米，求A 、B 两点间的距离．（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，结果精确到1千米）．24．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车⊙O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？ （2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是⊙O 的切线，且与直线AB 交于点M ，MO ＝8m ．求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上． （参考数据：cos43°＝sin47°≈1115，sin16°＝cos74°≈1140，sin22°＝cos68°≈38）一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）25．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作： （1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE ＝α； （2）量得测角仪的高度CD ＝a ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB ＝b ．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）A ．a +b tan αB ．a +b sin αC ．a +A AAAAD ．a +AAAAA26．（2020•镇江）如图，点E 与树AB 的根部点A 、建筑物CD 的底部点C 在一条直线上，AC ＝10m ．小明站在点E 处观测树顶B 的仰角为30°，他从点E 出发沿EC 方向前进6m 到点G 时，观测树顶B 的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD 的顶部D （H 、B 、D 三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m ，求建筑物CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73．）27．（2020•泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）28．（2020•宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．29．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）30．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）一十七．简单几何体的三视图（共1小题）31．（2020•淮安）下列几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．一十八．简单组合体的三视图（共3小题）32．（2020•镇江）如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．33．（2020•盐城）如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．34．（2020•苏州）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．一十九．由三视图判断几何体（共1小题）35．（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥2020年江苏省中考数学试题分类（8）——图形的变化参考答案与试题解析一．翻折变换（折叠问题）（共3小题） 1．【解答】解：方法一：如图，延长ED 交AC 于点M ，过点M 作MN ⊥AE 于点N ，设MN =√3x ， ∵tan ∠AED =√32， ∴AA AA=√32， ∴NE ＝2x ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC =√3， ∴∠CAB ＝30°， ∴AC ＝2√3， 由翻折可知： ∠EAC ＝30°，∴AM ＝2MN ＝2√3x ， ∴AN =√3MN ＝3x ， ∵AE ＝AB ＝3， ∴5x ＝3， ∴x =35，∴AN =95，MN =3√35，AM =6√35， ∵AC ＝2√3，∴CM ＝AC ﹣AM =4√35， ∵MN =3√35，NE ＝2x =65， ∴EM =√AA 2+AA 2=3√75，∵∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∴CD ∥AB ，∴∠DCA ＝30°，由翻折可知：∠ECA ＝∠BCA ＝60°， ∴∠ECD ＝30°，∴CD 是∠ECM 的角平分线， ∴A △AAA A △AAA =AAAA=AA AA，∴√34√35=3√75−AA ，解得，ED =√73． 方法二：如图，过点D 作DM ⊥CE ，由折叠可知：∠AEC ＝∠B ＝90°， ∴AE ∥DM ，∴∠AED ＝∠EDM ， ∴tan ∠AED ＝tan ∠EDM =√32，∵∠ACB ＝60°，∠ECD ＝30°，设EM =√3m ，由折叠性质可知，EC ＝CB =√3， ∴CM =√3−√3m ，∴tan ∠ECD =AA AA =√33， ∴DM ＝（√3−√3m ）×√33=1﹣m ，∴tan ∠EDM =AA AA =√32，即√3A 1−A=√32解得，m =13，∴DM =23，EM =√33，在直角三角形EDM 中，DE 2＝DM 2+EM 2，解得，DE =√73．故选：B ． 2．【解答】解：（1）如图①中，取DE 的中点M ，连接PM ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝∠C ＝90°，由翻折可知，AO ＝OP ，AP ⊥DE ，∠2＝∠3，∠DAE ＝∠DPE ＝90°， 在Rt △EPD 中，∵EM ＝MD ， ∴PM ＝EM ＝DM ， ∴∠3＝∠MPD ，∴∠1＝∠3+∠MPD ＝2∠3， ∵∠ADP ＝2∠3， ∴∠1＝∠ADP ， ∵AD ∥BC ，∴∠ADP ＝∠DPC ， ∴∠1＝∠DPC ，∵∠MOP ＝∠C ＝90°， ∴△POM ∽△DCP ， ∴AA AA =AAAA =812=23，∴AA AA=2AA 2AA=23．解法二：证明△ABP 和△DAE 相似，AA AA=AA AA=23．（2）如图②中，过点P 作GH ∥BC 交AB 于G ，交CD 于H ．则四边形AGHD 是矩形，设EG ＝x ，则BG ＝4﹣x∵∠A ＝∠EPD ＝90°，∠EGP ＝∠DHP ＝90°， ∴∠EPG +∠DPH ＝90°，∠DPH +∠PDH ＝90°， ∴∠EPG ＝∠PDH ， ∴△EGP ∽△PHD ， ∴AA AA=AA AA=AA AA=412=13，∴PH ＝3EG ＝3x ，DH ＝AG ＝4+x ， 在Rt △PHD 中，∵PH 2+DH 2＝PD 2， ∴（3x ）2+（4+x ）2＝122，解得x =165（负值已经舍弃）， ∴BG ＝4−165=45，在Rt △EGP 中，GP =√AA 2−AA 2=125， ∵GH ∥BC ，∴△EGP ∽△EBF ， ∴AA AA=AA AA，∴1654=125AA，∴BF ＝3．3．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，DE =√33，∴AE =√AA 2+AA 2=2√33，∴tan ∠AED =AAAA =√3，∴∠AED ＝60°， ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝60°，∵四边形ABCE 关于直线AE 的对称图形为四边形ANME ， ∴∠AEC ＝∠AEM ， ∵∠PEC ＝∠DEM ，∴∠AEP ＝∠AED ＝60°， ∴△APE 为等边三角形， ∴S =12×（2√33+√33）×1=√32； （2）过E 作EF ⊥AB 于F ，由（1）可知，∠AEP ＝∠AED ＝∠P AE ， ∴AP ＝PE ，设AP ＝PE ＝a ，AF ＝ED ＝x ， 则PF ＝a ﹣x ，EF ＝AD ＝1，在Rt △PEF 中，（a ﹣x ）2+1＝a 2，解得：a =A 2+12A ，∴S =12⋅A ×1+12×A 2+12A ×1=12A +A 2+14A =3A 2+14A ．二．平移的性质（共1小题） 4．【解答】解：取AC 的中点M ，A 1B 1的中点N ，连接PM ，MQ ，NQ ，PN ， ∵将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1， ∴B 1C 1＝BC ＝3，PN ＝5，∵点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点， ∴NQ =12B 1C 1=32， ∴5−32≤PQ ≤5+32， 即72≤PQ ≤132， ∴PQ 的最小值等于72， 故答案为：72．三．旋转的性质（共1小题） 5．【解答】解：∵AB '＝CB '， ∴∠C ＝∠CAB '，∴∠AB 'B ＝∠C +∠CAB '＝2∠C ，∵将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '， ∴∠C ＝∠C '，AB ＝AB '， ∴∠B ＝∠AB 'B ＝2∠C ，∵∠B +∠C +∠CAB ＝180°， ∴3∠C ＝180°﹣108°， ∴∠C ＝24°，∴∠C '＝∠C ＝24°， 故选：C ．四．旋转对称图形（共1小题） 6．【解答】解：连接OA ，OE ，则这个图形至少旋转∠AOE 才能与原图象重合， ∠AOE =360°5=72°．故答案为：72．五．中心对称图形（共1小题） 7．【解答】解：A 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C ．六．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 8．【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）． 故选：C ．七．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 9．【解答】解：如图，∵点P （4，5）按逆时针方向旋转90°，得点Q 所在的象限为第二象限． 故选：B ．八．作图-旋转变换（共1小题） 10．【解答】解：（1）如图1中，作FD ⊥AC 于D ，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． ∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ， ∴∠ACF ＝30°， ∴∠BAC ＝∠FCD ， 在△ABC 和△CDF 中，{∠AAA =∠AAAAAAA =AAAA AA =AA， ∴△ABC ≌△CDF （AAS ）， ∴FD ＝BC ＝1，法二：∵∠ECF ＝∠FCD ＝30°，FD ⊥CD ，FE ⊥CE ， ∴DF ＝EF ， ∵EF ＝BC ＝1，∴DF ＝1． 故答案为1；（2）线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．S 阴＝S △EFC +S 扇形ACF ﹣S 扇形CEH ﹣S △AHC ＝S 扇形ACF ﹣S 扇形ECH =30⋅A ⋅22360−30⋅A ⋅(√3)2360=A12． 故答案为A12．（3）如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H ．设OB ＝OE ＝x ．在Rt △ECF 中，∵EF ＝1，∠ECF ＝30°，EH ⊥CF ， ∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32，在Rt △BOC 中，OC =√AA 2+AA 2=√1+A 2， ∴OH ＝CH ﹣OC =32−√1+A 2， 在Rt △EOH 中，则有x 2＝（√32）2+（32−√1+A 2）2，解得x =√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC =1+(√73)2=43，∵CF ＝2EF ＝2，∴OF ＝CF ﹣OC ＝2−43=23． 九．几何变换综合题（共1小题）11．【解答】解：（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ， ∴MN 垂直平分线段BC ， ∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°， ∴MN ∥AC ， ∵CN ＝BN ， ∴AM ＝BM ．故答案为AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6， ∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ， ∴BM ＝CM ， ∴∠B ＝∠MCB ， ∴∠BCM ＝∠A ， ∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴AA AA =AAAA ，∴610=AA6，∴BM =185， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10−185=325， ∴AA AA=325185=169．（3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ， ∵∠ACB ＝2∠A ， ∴∠BCM ＝∠A ， ∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴AA AA =AAAA =AA AA∴69=AA 6，∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5， ∴69=5AA ，∴AC =152．②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PF A ′＝∠MFC ，P A ＝P A ′， ∴△PF A ′∽△MFC ， ∴AA AA =AA′AA，∵CM ＝5， ∴AA AA =AA′5，∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC =154，AB ′=152−6=32， ∴32≤P A ′≤154， ∴310≤AA AA≤34．一十．平行线分线段成比例（共1小题） 12．【解答】解：如图，过点D 作DF ∥AE ，则AA AA =AA AA =23，∵AA AA=13，∴DF ＝2EC ， ∴DO ＝2OC ， ∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ， ∴S △ABO =23S △ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4， 此时△ABO 的面积最大为：23×4=83． 故答案为：83．一十一．相似三角形的判定（共1小题） 13．【解答】（1）证明：∵AA AA=A′A′A′A′，∴AA A′A′=AAA′A′， ∵AA A′A′=AA A′A′=AA A′A′， ∴AA A′A′=AA A′A′=AA A′A′，∴△ADC ∽△A ′D ′C '， ∴∠A ＝∠A ′， ∵AA A′A′=AAA′A′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′． 故答案为：AAA′A′=AA A′A′=AAA′A′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AA AA=AA AA=AA AA，同理，A′A′A′A′=A′A′A′A′=A′A′A′A′，∵AA AA =A′A′A′A′， ∴AA AA =A′A′A′A′，∴AAA′A′=AAA′A′，同理，AA AA =A′A′A′A′，∴AA −AA AA =A′A′−A′A′A′A′，即AA AA=A′A′A′A′，∴AA A′A′=AAA′A′， ∵AA A′A′=AA A′A′=AA A′A′， ∴AA A′A′=AA A′A′=AA A′A′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′， ∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′， ∵DE ∥BC ，∴∠CED +∠ACB ＝180°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°， ∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′， ∵AA A′A′=AAA′A′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）14．【解答】解：①利用图象法可知PC ＞DQ ，或通过计算可知DQ 的最大值为√212，PC 的最小值为3√32，所以PC ＞DQ ，故①错误．②设AQ ＝x ，则BP ＝AB ﹣AQ ﹣PQ ＝3﹣x −12=52−x ， ∵∠A ＝∠B ＝60°， ∴当AA AA=AA AA 或AA AA=AA AA时，△ADQ 与△BPC 相似，即1252−A=A3或123=A52−A ，解得x ＝1或32或514，∴当AQ ＝1或32或514时，两三角形相似，故②正确③设AQ ＝x ，则四边形PCDQ 的面积＝S △ABC ﹣S △ADQ ﹣S △BCP =√34×32−12×x ×√32×12−12×3×（3﹣x −12）×√32=3√38+5√38x ，∵x 的最大值为3−12=52，∴x =52时，四边形PCDQ 的面积最大，最大值=31√316，故③正确，如图，作点D 关于AB 的对称点D ′，作D ′F ∥PQ ，使得D ′F ＝PQ ，连接CF 交AB 于点P ′，在射线P ′A 上取P ′Q ′＝PQ ，此时四边形P ′CDQ ′的周长最小．过点C 作CH ⊥D ′F 交D ′F 的延长线于H ，交AB 于J ．由题意，DD ′＝2AD •sin60°=√32，HJ =12DD ′=√34，CJ =3√32，FH =32−12−14=34， ∴CH ＝CJ +HJ =7√34，∴CF =√AA 2+AA 2=(34)2+(7√34)2=√392， ∴四边形P ′CDQ ′的周长的最小值＝3+√392，故④错误， 故选：D ．15．【解答】解：∵AA AA =√22=√2， AAAA=√22+222=√2， AA AA =√22√22=√2，∴AA AA =AA AA =AA AA =√2， ∴△ABC ∽△DEF ，∴A 1A 2=AA AA=√22， 故答案为：√22． 16．【解答】解：∵BC ∥DE ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AA AA =AA AA =AAAA ，即4AA =AA 4=AA AA ， ∴AB •DE ＝16，∵AB +DE ＝10， ∴AB ＝2，DE ＝8，∴AAAA=AA AA =84=2， 故答案为：2． 17．【解答】解：（1）∵PD ∥AB ， ∴AAAA=AA AA ， ∵AC ＝3，BC ＝4，CP ＝x ， ∴A4=AA 3，∴CD =34A ， ∴AD ＝AC ﹣CD ＝3−34A ，即AD =−34A +3；（2）根据题意得，S =12AA ⋅AA =12A (−34A +3)=−38(A −2)2+32，∴当x ≥2时，S 随x 的增大而减小，∵0＜x ＜4，∴当S 随x 增大而减小时x 的取值范围为2≤x ＜4．18．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DAF ＝∠AEB ，∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B ＝90°，∴△ABE ∽△DF A ；（2）∵E 是BC 的中点，BC ＝4，∴BE ＝2，∵AB ＝6，∴AE =√AA 2+AA 2=√62+22=2√10，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝4，∵△ABE ∽△DF A ，∴AA AA =AA AA ，∴AA =AA ⋅AA AA =2√10=65√10． 19．【解答】证明：（1）∵DC 是⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°，∵∠D ＝30°，∴∠BOC ＝∠D +∠OCD ＝30°+90°＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ＝30°，∴∠DCB ＝120°＝∠BOC ，又∵∠B ＝∠B ＝30°，∴△BOC ∽△BCD ；（2）∵∠D ＝30°，DC =√3，∠OCD ＝90°，∴DC =√3OC =√3，DO ＝2OC ，∴OC ＝1＝OB ，DO ＝2，∵∠B ＝∠D ＝30°， ∴DC ＝BC =√3，∴△BCD 的周长＝CD +BC +DB =√3+√3+2+1＝3+2√3．一十三．相似形综合题（共2小题）20．【解答】【感知】证明：∵∠C ＝∠D ＝∠AEB ＝90°，∴∠BEC +∠AED ＝∠AED +∠EAD ＝90°，∴∠BEC ＝∠EAD ，∴Rt △AED ∽Rt △EBC ，∴AA AA =AA AA ．【探究】证明：如图1，过点G 作GM ⊥CD 于点M ，由（1）可知AA AA =AA AA ，∵AA AA =AA AA ，AA AA =AA AA ， ∴AA AA =AA AA ，∴BC ＝GM ，又∵∠C ＝∠GMH ＝90°，∠CHB ＝∠MHG ，∴△BCH ≌△GMH （AAS ），∴BH ＝GH ，【拓展】证明：如图2，在EG 上取点M ，使∠BME ＝∠AFE ，过点C 作CN ∥BM ，交EG 的延长线于点N ，则∠N ＝∠BMG ，∵∠EAF +∠AFE +∠AEF ＝∠AEF +∠AEB +∠BEM ＝180°，∠EF A ＝∠AEB ，∴∠EAF ＝∠BEM ，∴△AEF ∽△EBM ，∴AA AA =AA AA ，∵∠AEB +∠DEC ＝180°，∠EF A +∠DFE ＝180°，而∠EF A ＝∠AEB ，∴∠CED ＝∠EFD ，∵∠BMG +∠BME ＝180°，∴∠N ＝∠EFD ，∵∠EFD +∠EDF +∠FED ＝∠FED +∠DEC +∠CEN ＝180°，∴∠EDF ＝∠CEN ，∴△DEF ∽△ECN ，∴AA AA =AA AA ， 又∵AA AA =AA AA ， ∴AA AA =AA AA ，∴BM ＝CN ，又∵∠N ＝∠BMG ，∠BGM ＝∠CGN ，∴△BGM ≌△CGN （AAS ），∴BG ＝CG ．21．【解答】解：（1）∵点B 为线段AC 的黄金分割点，AC ＝20cm ，∴AB =√5−12×20＝（10√5−10）cm ．故答案为：（10√5−10）．（2）延长EA ，CG 交于点M ，∵四边形ABCD 为正方形，∴DM ∥BC ，∴∠EMC ＝∠BCG ，由折叠的性质可知，∠ECM ＝∠BCG ，∴∠EMC ＝∠ECM ，∴EM ＝EC ，∵DE ＝10，DC ＝20，∴EC =√AA 2+AA 2=√102+202=10√5，∴EM ＝10√5，∴DM ＝10√5+10，∴tan ∠DMC =AA AA =10√5+10=√5+1=√5−12． ∴tan ∠BCG =√5−12， 即AA AA =√5−12， ∵AB ＝BC ， ∴AAAA =√5−12， ∴G 是AB 的黄金分割点；（3）当BP ＝BC 时，满足题意．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠BAE ＝∠CBF ＝90°，∵BE ⊥CF ，∴∠ABE +∠CFB ＝90°，又∵∠BCF +∠BFC ＝90°，∴∠BCF ＝∠ABE ，∴△ABE ≌△BCF （ASA ），∴BF ＝AE ，∵AD ∥CP ，∴△AEF ∽△BPF ， ∴AAAA=AA AA ， 当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时， ∵AE ＞DE ， ∴AAAA =AA AA ，∵BF ＝AE ，AB ＝BC ，∴AA AA =AA AA =AA AA ， ∴AA AA =AA AA ，∴BP ＝BC ．一十四．解直角三角形的应用（共3小题）22．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE ＝BC ＝5，DC ＝BE ＝1.5，在Rt △ADE 中，∵tan ∠ADE =AA AA ，∴AE ＝tan ∠ADE •DE ＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB ＝AE +BE ＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案为：7.5．23．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图所示．在Rt △ACD 中，AC ＝8（千米），∠CAD ＝30°，∠CDA ＝90°，∴CD ＝AC •sin ∠CAD ＝4（千米），AD ＝AC •cos ∠CAD ＝4√3（千米）≈6.8（千米）．在Rt △BCD 中，CD ＝4（千米），∠BDC ＝90°，∠CBD ＝45°，∴∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝4（千米），∴AB ＝AD +BD ＝6.8+4≈11（千米）．答：A 、B 两点间的距离约为11千米．24．【解答】解：（1）如图1中，连接OA ．由题意，筒车每秒旋转360°×56÷60＝5°，在Rt △ACO 中，cos ∠AOC =AA AA =2.23=1115． ∴∠AOC ＝43°，∴180−435=27.4（秒）．答：经过27.4秒时间，盛水筒P 首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒P 浮出水面3.4秒后，此时∠AOP ＝3.4×5°＝17°，∴∠POC ＝∠AOC +∠AOP ＝43°+17°＝60°，过点P 作PD ⊥OC 于D ，在Rt △POD 中，OD ＝OP •cos60°＝3×12=1.5（m ），2.2﹣1.5＝0.7（m ），答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面0.7m ．（3）如图3中，∵点P 在⊙O 上，且MN 与⊙O 相切，∴当点P 在MN 上时，此时点P 是切点，连接OP ，则OP ⊥MN ，在Rt △OPM 中，cos ∠POM =AA AA =38，∴∠POM ＝68°，在Rt △COM 中，cos ∠COM =AA AA =2.28=1140，∴∠COM ＝74°，∴∠POH ＝180°﹣∠POM ﹣∠COM ＝180°﹣68°﹣74°＝38°，∴需要的时间为385=7.6（秒），答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）25．【解答】解：过C 作CF ⊥AB 于F ，则四边形BFCD 是矩形，∴BF ＝CD ＝a ，CF ＝BD ＝b ，∵∠ACF ＝α，∴tan α=AA AA =AA A ， ∴AF ＝b •tan α，∴AB ＝AF +BF ＝a +b tan α，故选：A ．26．【解答】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，则BN＝NH，设BN＝NH＝x，∵HF＝6，∠BFN＝30°，∴tan∠BFN=AAAA=AAAA+AA，即tan30°=AA+6，解得x＝8.19，根据题意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵MN＝AC＝10，则DM＝10+8.19＝18.19，∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.19+1.6≈19.8（m）．答：建筑物CD的高度约为19.8m．27．【解答】解：如图，根据题意得，∠C＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15m，BE＝21m，在Rt△ACE中，tan C＝tan23°=AAAA=15AA≈0.42，解得：CE≈35.7，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝tan50°=AAAA=21AA≈1.19，解得：DE≈17.6，∴CD＝CE﹣DE＝35.7﹣17.6＝18.1≈18m，答：两次观测期间龙舟前进了18m．一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）28．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝∠ACD＝45°，∴AD＝CD，设AD＝x，则AC=√2x，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x，∵∠CBD＝60°，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=AA AA，∴A2−A=√3，解得x＝3−√3．经检验，x＝3−√3是原方程的根．∴AC=√2x=√2（3−√3）＝（3√2−√6）km．答：船C离观测站A的距离为（3√2−√6）km．29．【解答】解：过点P作PN⊥BC于N，如图，则四边形ABNP是矩形，∴PN＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠APM＝45°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=√22PM=√22×30＝15√2（m），∵M是AB的中点，∴PN＝AB＝2AM＝30√2m，在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，∴NQ=√33PN＝10√6m，PQ＝2NQ＝20√6≈49（m）；答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．30．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，在Rt△DCH中，∠C＝37°，∴CH=AA AAA37°，在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，∴BH=AA AAA45°，∵BC＝CH﹣BH，∴AAAAA37°−AAAAA45°=6，解得DH≈18km，在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，∴AD=AAAAA26°≈20km．答：轮船航行的距离AD约为20km．一十七．简单几何体的三视图（共1小题）31．【解答】解：正方体的主视图为正方形，球的主视图为圆，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，故选：B．一十八．简单组合体的三视图（共3小题）32．【解答】解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形，故选：A．33．【解答】解：观察图形可知，该几何体的俯视图是．故选：A．34．【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．故选：C．一十九．由三视图判断几何体（共1小题）35．【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．。

折叠几何综合专题---16道题目(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ， ∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF .理由如下： 如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°， ∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EFAF ＝FHEF ，即EF 2＝FH ·AF ，又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ；(3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ，解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∵∠DCE ＝∠ADF ＝90°，∴Rt △DCE ∽Rt △ADF ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855，∴BE ＝BC －EC ＝1255.02如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ，若DE ＝4，BD ＝8.(1)求证：AF ＝EF ；(2)求证：BF 平分∠ABD .证明：(1)在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°， ∵△BED 是△BCD 对折得到的，∴ED ＝CD ，∠E ＝∠C ，∴ED ＝AB ，∠E ＝∠A ，(2分)又∵∠AFB ＝∠EFD ，∴△ABF ≌△EDF (AAS)，∴AF ＝EF ；(4分)(2)在Rt △BCD 中，∵DC ＝DE ＝4，BD ＝8，∴sin ∠CBD ＝DC BD ＝12， ∴∠CBD ＝30°，(5分)∴∠EBD ＝∠CBD ＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F 重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。

图形的折叠问题试卷文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]翻折组卷一．选择题（共9小题）1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）A ．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB 边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）A ．3：2 B．2：3 C．1：1 D．2：15．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A ．B．C．D．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（）A ．1 B．2 C．4 D．87．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A ．1B．1 C．D．8．小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）A ．B．C．D．9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二．填空题（共16小题）10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB 边上，则折痕DF= ______cm．11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=_________ °．12．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_________ ．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为_________ ．14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB 边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=_________ °．15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为_________ cm，面积为_________ cm2．16．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________ ．17．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为_________cm2．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为_________ cm．19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为_________ ．20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=_________ 度．21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_________ ．22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=_________ °．23．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为_________ ．24．现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD=_________ ．25．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=_________ 度．三．解答题（共5小题）26．课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…27．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，求矩形纸片ABCD的面积．28．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．29．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．30．如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．（1）求证：△CEG是等边三角形；（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2010赤峰）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得=，即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；故选C．点评：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度不大．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：应用题．分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得=，即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；故选C．点评：本题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度适中．3．（2010白下区二模）如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）A ．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据折叠的性质和正方形的判定方法，得四边形CDFE是正方形，四边形ABEF 是矩形；根据矩形的性质，得AF=BE=4，则DF=6，则CD=DF=6（cm）．解答：解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，得四边形CDFE是正方形，则四边形ABEF是矩形．∴BE=AF=4．∴DF=AD﹣AF=6．∴CD=DF=6（cm）．故选D．点评：此题考查了折叠问题，要能够根据折叠的方法发现正方形．4．（2004广安）如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）A ．3：2 B．2：3 C．1：1 D．2：1考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，可设AB=3x，BC=2x，即可得BD=x，继而求得AB的值，则可求得答案．解答：解：∵矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，∴设AB=3x，BC=2x，则AD=BC=2x，∴BD=AB﹣AD=3x﹣2x=x，如图3：AB=AD﹣BD=2x﹣x=x，∴DB：BA=x：x=1：1．故选C．点评：此题考查了折叠的性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：利用折叠的性质，即可求得AD=AD′=A′D′=、BD′=AB﹣AD=﹣，A′E=AE=AD=2，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EF：A′F=EC：A′B，从而求得A′F的长度．解答：解：根据折叠的性质知，AD=AD′=A′D′=、CE=CD﹣DE=﹣，．∵CE∥A′B，∴△ECF∽△A′BF，∴CE：BA′=EF：A′F（相似三角形的对应边成比例）；又∵CE=CD﹣DE=﹣，BA′=AD﹣CE=2﹣，∴=；而A′E=AE=AD=2，∴A′F=4﹣．故选D．点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（）A ．1 B．2 C．4 D．8考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠易得BD，AB长，利用相似可得BF长，也就求得了CF的长度，△CEF的面积=CFCE．解答：解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB﹣AD=2，第三个图中AB=AD﹣BD=6，∵BC∥DE，∴BF：DE=AB：AD，∴BF=4，CF=BC﹣BF=2，∴△CEF的面积=CFCE=4．故选C．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点．7．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A ．1B．1 C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题；压轴题；数形结合．分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴，即，∴BF=，∴CF=BC﹣BF=﹣=1．故选B．点评：此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2012历下区二模）小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．专题：数形结合．分析：根据折叠的性质可得出CF=CB，在RT△CDF中利用勾股定理可求出DF的长度，继而可求出cos∠DFC的值．解答：解：由折叠的性质得，CB=CF，设AB=4x，则BC=5x，在RT△DFC中，DF==3x，∴cos∠DFC==．故选B．点评：此题考查了翻折变换及勾股定理的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出CF的长度，在RT△CDF中求出DF的长度，难度一般．9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：轴对称的性质．分析：根据对称的性质和AD=10，BE=6可得出CD的长度．解答：解：根据轴对称的性质可得可得出CD=DF=AD﹣AF=AD﹣BE，∴CD=4cm故选A．点评：本题考查轴对称的性质，关键在于根据图形判断出CD=DF．二．填空题（共16小题）10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB边上，则折痕DF= 8 cm．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠EDF=30°，从而求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中求出DE，在Rt△DEF中可求出DF．解答：解：由折叠的性质可得：∠EDF=∠CDF=30°，则∠ADE=90°﹣30°﹣30°=30°，在Rt△ADE中，AD=6cm，∠ADE=30°，∴AE=ADtan∠ADE=2cm，DE=2AE=4cm，在Rt△DEF中，∠EDF=30°，DE=4cm，∴DF==8cm．故答案为：8．点评：本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等，对应角相等．11．（2012宿迁）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=40 °．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′=∠EFD，再根据图形，∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，代入数据计算即可得解．解答：解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，∵∠CEF=70°，∴∠EFG=∠CEF=70°，∴∠EFD=180°﹣70°=110°，根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，∴∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，=110°﹣70°，=40°．故答案为：40．点评：本题考查了平行线的性质，以及折叠变换，根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．12．（2013日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为（3π﹣）cm2．考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A'DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA'C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．解答：解：作OH⊥DK于H，连接OK，∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∵∠C=90°，∴∠DA'C=30°，∴∠ODH=30°，∴∠DOH=60°，∴∠DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴△ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．故答案为：（3π﹣）cm2．点评：此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为80°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：探究型．分析：先根据正方形的性质得出AD∥BC，由∠EFG=50°可求出∠1的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠1=∠2=50°，由平角的性质即可得出∠BEG的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠EFG=50°，∴∠1=∠EFG=50°，∵四边形EFD′C′是四边形EFDC翻折而成，∴∠1=∠2=50°，∴∠BEG=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．故答案为：80°．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=15 °．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，再利用平角为180°，即可求出∠NPB′的度数．解答：解：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，∴∠NPM=2×75°=150°，∴∠C′PB=30°，由折叠的性质可知：∠C′PN=∠BPN，∴∠NPB′=15°．故答案为：15．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为cm，面积为cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．解答：解：过点P作PE⊥MN，∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，∴MN==10（cm），∴S△PMN=PMPN=MNPE，∴PMPN=MNPE，即PE==（cm），即矩形纸片ABCD的宽为：；∵BC=PM+MN+PN=6+10+8=24（cm），∴S矩形ABCD=×24=（cm2）．故答案为：，．点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2005遂宁）把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：利用折叠的性质和勾股定理可知．解答：解：由勾股定理得，MN=5，设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，根据直角三角形的面积公式得，h=PMPN÷MN=，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，∴矩形的面积=ABBC=．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解．17．（2010徐汇区二模）把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．解答：解：∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，∴MN=10，BC=10+6+8=24．根据直角三角形的面积公式，得AB==．则矩形的面积=×24=（cm2）．点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为cm．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．专题：计算题；探究型．分析：连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，由垂直平分线的性质可知BM=EM，再由点E是CD的中点，可求出DE的长，由勾股定理即可求出AM的长．解答：解：如图，连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，∵点E是CD的中点，DE=1，∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=x，则DM=4﹣x，∴x2+22=（4﹣x）2+12．解得，即cm．故答案为：．点评：本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理，解答此类问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为 1 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：数形结合．分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴=，即=，∴BF=，∴CF=BC﹣BF=﹣=1．故答案为：1．点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=70 度．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=55°，∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=70°．故答案为：70．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，两直线平行，内错角相等的性质．21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=25°．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵∠ABE=40°，∴∠EBC=90°﹣40°=50°，根据折叠可得∠EBD=∠CBD，∴∠CBD=25°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=25°，故答案为：25°．点评：此题主要考查了图形的折叠，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=64 °．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题．分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=53°，∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=64°．故答案为：64．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，以及两直线平行，内错角相等的性质．23．（2010盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为：1 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证RT△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=DG=CD．解答：解：连DE，如图，∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD=45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴RT△DGE≌Rt△DCE，∴DC=DG，又∵△AGD为等腰直角三角形，∴AD=DG=CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为：1．故答案为：：1．点评：本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质．24．（2011桐乡市一模）现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD= 2 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：连DE，由矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），根据折叠的性质得到∠EAF=∠EAB=45°，又沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③），再次根据折叠的性质得到∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，则△AGD为等腰直角三角形，而M点正好在∠NDG的平分线上，得到∴∠NDM=∠GDM，易证Rt△NMD≌Rt△GMD，得到DG=DN=，根据AD=DG即可求出AD．解答：解：∵矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B 点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），∴∠EAF=∠EAB=45°，又∵沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．连DE，∴∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，∴△AGD为等腰直角三角形，即∠MGD=90°，又∵第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，∴∠NDM=∠GDM，∴Rt△NMD≌Rt△GMD，∴DG=DN=，∴AD=DG=2．故答案为2．点评：本题考查了折叠的性质：折叠后两重合的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质以及等腰直角三角形三边的关系．25．（2013南昌模拟）如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=20 度．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由折叠及矩形的性质得到∠AFE为直角，利用平角的定义得到一对角互余，再由AB与DC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，求出∠AFC的度数，即可确定出α的度数．解答：解：由折叠的性质得：∠AFE=90°，∴α+∠AFC=90°，∵AB∥CD，∴∠β+∠AFC=180°，∵∠β=110°，∴∠AFC=70°，则α=20°．故答案为：20点评：此题考查了平行线的性质，以及翻折变换，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．三．解答题（共5小题）26．（2012衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据==2==，得出矩形纸片ABEF也是标准纸；（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出==，即可得出答案；（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．解答：解：（1）是标准纸，理由如下：∵矩形纸片ABCD是标准纸，∴=，由对开的含义知：AF=BC，∴==2==，∴矩形纸片ABEF也是标准纸．（2）是标准纸，理由如下：设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM，由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE=∠BAD=45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴在Rt△ADG中，AD==a，∴==，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；。

翻折练习1一．选择题（共37小题）1．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝2．以上结论中，你认为正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝＝2，（故④正确）；综上所述，结论正确的有①③④共3个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况．2．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（）A．B．C．D．【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠A1+∠A1DB＝90°，即AB⊥CE，再根据勾股定理可得AB＝＝3，最后利用面积法得出AB×CE＝BC×AC，可得CE＝＝，进而依据A1C ＝AC＝4，即可得到A1E＝．【解答】解：∵A1D∥BC，∴∠B＝∠A1DB，由折叠可得，∠A1＝∠A，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A1+∠A1DB＝90°，∴AB⊥CE，∵∠ACB＝90°，AC＝4，，∴AB＝＝3，∵AB×CE＝BC×AC，∴CE＝＝，又∵A1C＝AC＝4，∴A1E＝4﹣＝，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到CE⊥AB以及面积法的运用．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出AB＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC＝30°，在根据折叠的性质得BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中可计算出CF＝，BF＝2CF＝，则EF＝2﹣，在Rt△DEF中计算出FD＝1﹣，ED＝﹣1，然后利用S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，∴AB＝＝2，∴∠BAC＝30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中，CF＝＝，BF＝2CF＝，∴EF＝2﹣，在Rt△DEF中，FD＝EF＝1﹣，ED＝FD＝﹣1，∴S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE＝2×BC•AD+AD•ED＝2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）＝1．故选：A．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．4．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG＝GC；通过证明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC＝S△GCE﹣S，求得面积比较即可．△FEC【解答】解：①正确．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝GC；③正确．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由：∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6∵GF＝3，EF＝2，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×6＝≠3．故④不正确．∴正确的个数有3个．故选：C．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．5．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP 并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠P AB+∠PBA＝90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC＝90°，由矩形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．【解答】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP＝EB，∴∠EBP＝∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE＝EB，∴AE＝EP，∴∠P AB＝∠APE，∵∠P AB+∠PBA+∠APB＝180°，即∠P AB+∠PBA+∠APE+∠BPE＝2（∠P AB+∠PBA）＝180°，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB＝90°，∴∠APQ+∠BPC＝90°，由折叠得：BC＝PC，∴∠BPC＝∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠ABP＝∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE＝30°时，才有∠FPC＝∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF＝EC，AD＝BC＝PC，∠ADF＝∠EPC＝90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF＝∠APB＝90°，∠F AD＝∠ABP，当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（）A．13B．C．D．12【分析】利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，∴＝2，GC＝BG＝12，∴AG＝24，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过E点作EF⊥BC于点F，∴EF＝AG＝12，∴＝2，∴FC＝6，设BD＝x，则DE＝x，∴DF＝24﹣x﹣6＝18﹣x，∴x2＝（18﹣x）2+122，解得：x＝13，则BD＝13．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．7．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG 的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．8．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（）A．B．C．2D．3【分析】作辅助线，根据点B的坐标，求出OB和正方形的边长，由正方形的对角线互相垂直平分得：DQ是梯形CMNA的中位线，则CM+AN＝2DQ＝7，证明△CMO≌△ONA，则ON＝CM，所以ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，根据勾股定理列方程求出x的值，并取舍，再根据正方形的边长求出OP的长．【解答】解：当点A′恰好落在直线PE上，如图所示，连接OB、AC，交于点D，过点D、A作x轴的垂线，垂足分别为Q、N，设CB′交x轴于M，则CM∥QD∥AN，∵四边形OABC是正方形，∴OD＝BD，OB⊥AC，∵O（0，0），B（1，7），∴D（，），即DQ＝由勾股定理得：OB＝＝＝5，∵△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝AO＝5，∵DQ是梯形CMNA的中位线，∴CM+AN＝2DQ＝7，∵∠COA＝90°，∴∠COM+∠AON＝90°，∵∠CMO＝90°，∴∠COM+∠MCO＝90°，∴∠AON＝∠MCO，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∵∠CMO＝∠ONA＝90°，∴△CMO≌△ONA，∴ON＝CM，∴ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，在Rt△AON中，由勾股定理得：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x＝3或4，当x＝4时，CM＝3，此时点B在第二象限，不符合题意，∴x＝3，∴OM＝3，∵A′B′＝PM＝5，∴OP＝a＝2，故选：C．【点评】本题是翻折变换问题，考查了翻折的性质和正方形及坐标与图形的性质，首先明确翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；利用三角形全等和梯形中位线的性质，得出直角三角形两直角边的和为7，设未知数，根据勾股定理列方程得出结论．9．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF＝AB；②∠BAF ＝∠CAF；③S四边形ADFE＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对折的性质可得AE＝EF，∠DAF＝∠DF A，∠EAF＝∠AFE，∠BAC＝∠DFE，据此和已知条件判断图中的相等关系．【解答】解：①由题意得AE＝EF，BF＝FC，但并不能说明AE＝EC，∴不能说明EF是△ABC的中位线，故①错；②题中没有说AB＝AC，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故②错；③易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故③对；④∠BDF＝∠BAF+∠DF A，∠FEC＝∠EAF+∠AFE，∴∠BDF+∠FEC＝∠BAC+∠DFE＝2∠BAC，故④对．正确的有两个，故选B．【点评】翻折前后对应线段相等，对应角相等．10．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN 的面积与△CMN的面积比为1：4，则的值为（）A．2B．4C．D．【分析】首先过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM＝1：4，然后设DN＝x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．【解答】解：过点N作NG⊥BC于G，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，∴CD＝NG，CG＝DN，∠ANM＝∠CMN，由折叠的性质可得：AM＝CM，∠AMN＝∠CMN，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形，∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM＝1：4，设DN＝x，则AN＝AM＝CM＝CN＝4x，AD＝BC＝5x，CG＝x，∴BM＝x，GM＝3x，在Rt△CGN中，NG＝＝x，在Rt△MNG中，MN＝＝2x，∴＝2．故选：D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．11．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，那么折痕GH的长为（）A．B．C．D．【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长，得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，依据△GPH≌△BCM，可得GH＝BM，再利用勾股定理得出BM，即可得到GH的长．【解答】解：设CM＝x，设HC＝y，则BH＝HM＝3﹣y，故y2+x2＝（3﹣y）2，整理得：y＝﹣x2+，即CH＝﹣x2+，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由题意可得：ED＝1.5，DM＝3﹣x，∠EMH＝∠B＝90°，故∠HMC+∠EMD＝90°，∵∠HMC+∠MHC＝90°，∴∠EMD＝∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴＝，即＝，解得：x1＝1，x2＝3（不合题意），∴CM＝1，如图，连接BM，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BM⊥GH，∴∠PGH＝∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH＝BM，∴GH＝BM＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．12．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B 落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用翻折不变性可得AE＝AB＝10，推出DE＝8，EC＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，x2＝22+（6﹣x）2，可得x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，可得y＝3，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝4，在Rt△ADER中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：A．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（）个①∠M＝∠DAB′；②PB＝PB′；；④MB′＝CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′＝B′P．A．2B．3C．4D．5【分析】根据∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°可判断①；利用折叠的性质可判断出△B'AP≌△BAP，继而可判断出②；设AE＝x，表示出EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中利用勾股定理可求出AE的长度，继而可判断出③；利用反证法判断④，最后看得出的结果能证明出来；根据B′P⊥CD，判断出B'P∥BC，从而有∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，从而可判断出⑤．综合起来即可得出最终的答案．【解答】解：连接AB'，①由题意得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠M＝∠CB'E＝∠DAB'，故可得①正确；②根据折叠的性质可得AB'＝AB，AP＝AP，∠B'AP＝∠BAP，从而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，∴PB＝PB'，故可得②正确；③在Rt△ADB'可得，B'D＝＝3，从而可得CB'＝5﹣3＝2，设AE＝x，则EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中，CE2+CB'2＝EB'2，即（4﹣）2+4＝x2﹣25，解得：x＝，即AE＝．故可得③正确；④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，故有∠BAB'＝∠DAB'，而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'，即假设不成立．故可得④错误．⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，∴∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，∴EB'＝B'P，故可得⑤正确．综上可得①②③⑤正确，共四个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．14．如图，已知△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．【分析】首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′＝90°，∠B′＝30°，B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝BC，∴AF＝AB＝，∴AC＝＝＝2，由折叠的性质得：AB′＝AB＝2，∠B′＝∠B＝30°，∵∠B′CD＝∠CAB+∠B＝60°，∴∠CDB′＝90°，∵B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，∴CD＝B′C＝﹣1，B′D＝B′C•cos∠B′＝（2﹣2）×＝3﹣，∴DE＝＝＝，∴S阴影＝AC•DE＝×2×＝．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．15．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据中点定义可得DE＝CE，再根据翻折的性质可得DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，从而得到CE＝EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝FG，设CG＝a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD＝BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．【解答】解：连接EG，∵点E是边CD的中点，∴DE＝CE，∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，∴DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴CE＝EF，在Rt△ECG和Rt△EFG中，，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），∴CG＝FG，设CG＝a，∵＝，∴GB＝4a，∴BC＝CG+BG＝a+4a＝5a，在矩形ABCD中，AD＝BC＝5a，∴AF＝5a，AG＝AF+FG＝5a+a＝6a，在Rt△ABG中，AB＝＝＝2a，∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF．则阴影部分的周长＝矩形的周长＝2（10+5）＝30．故选：D．【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，EC＝2cm，AD上有一点P，P A＝6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是（）cm．A．4B．4.5C．4D．4【分析】首先过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，由矩形ABCD与PF⊥AD，易证得四边形PQHD是矩形，即可求得DH＝PQ，DH＝PD，又由折叠的性质，可得QE＝PQ，然后设PQ＝xcm，在Rt△EQH中，利用勾股定理即可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，∴∠DHQ＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝5cm，∴DE＝CD﹣EC＝5﹣2＝3（cm），∵PF⊥AD，∴∠FPD＝90°，∴四边形PQHD是矩形，∴QH＝PD＝AB﹣P A＝10﹣6＝4（cm），DH＝PQ，∵将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，∴PQ＝EQ，设PQ＝xcm，则QE＝DH＝xcm，∴EH＝DH﹣DE＝x﹣3（cm），在Rt△EQH中，QE2＝QH2+EH2，即x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝4．∴PQ＝4cm．故选：D．【点评】此题考查了折叠性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E为AC、BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，使点C的对应点C′落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为（）A．B．C．或D．或【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长．【解答】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，∴DC'∥CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，经检验：x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如图，当∠DC'A＝90°时，∠DCB＝90°，由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B与CE重合，由∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，∴CD＝；综上所述，CD的长为或．故选：C．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G 在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，根据Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，可得即a2+（2b）2＝（3a）2，进而得出的值．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20．如图，在直角△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为（）A．6B．5C．4D．3【分析】设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x．∵D是BC的中点，∴BD＝＝3．在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，解得：x＝5．AN＝5．故选：B．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN＝AN＝x，BN＝9﹣x，从而列出关于x的方程是解题的关键．21．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．【分析】设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2，再证明CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出＝＝．【解答】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称﹣最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．22．一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．2B．C．D．【分析】在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN﹣MN＝EM．设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解方程即可得到EM的长．【解答】解：∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，在Rt△ABD中，BD＝＝10cm，∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝BD＝5cm，在Rt△MND中，∴MN＝＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝，即EM＝cm．故选：D．【点评】本题考查折叠问题，应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．解决问题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．23．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当A1E⊥AB时，的值等于（）A．B．C．D．【分析】先延长AB，D1A1交于点G，根据三角形三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，在Rt△A1GE中，依据勾股定理可得A1E2+GE2＝A1G2，进而得出方程x2+（x+2）2＝（2x）2，据此可得AE＝1+，即可得出的值．【解答】解：如图所示，延长AB，D1A1交于点G，∵A1E⊥AB，∠EA1C＝∠A＝120°，∴∠G＝120°﹣90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，∴∠G＝∠BCG＝30°，∴BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，∴GE＝1+x+1＝x+2，∵Rt△A1GE中，A1E2+GE2＝A1G2，∴x2+（x+2）2＝（2x）2，解得x＝1+，（负值已舍去）∴AE＝1+，∴＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．解题时注意方程思想的运用．24．如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（）A．B．C．2D．【分析】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，由平行线的性质得出HAE＝∠B＝45°，得出△BPE 和△AEH是等腰直角三角形，得出BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，GM＝HP＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理求出GH＝，得出PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出PF＝2﹣4，再由三角函数定义即可得出结果．【解答】解：过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，如图所示：则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠HAE＝∠B＝45°，∴△BPE和△AEH是等腰直角三角形，∴BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，∴GM＝HP＝2+1＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理得：12+GH2＝（2）2，解得：GH＝±（负值舍去），∴GH＝，∴PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得：32+（﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝2﹣4，∴PF＝2﹣4，∴tan∠EFG＝tan∠EFB＝＝＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．25．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN过点G．若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为（）A．B．C．D．2【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG＝，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，∴OG＝GH•sin60°＝2×＝，由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，∴PG＝＝，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC＝180°，∴∠MCG+∠OMC＝180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM＝CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM＝OG＝，根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，∴DN+CM＝2PG＝，∴DN＝﹣；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．26．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A 恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF．下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG．其中正确结论的序号是（）A．①②③④⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①④⑤【分析】①根据折叠的性质我们能得出∠ADG＝∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；②由tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，即可求得tan∠AED＝＞2，即可得②错误；③由AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得即可求得S△AGD＞S△OGD；④我们根据折叠的性质就能得出AE＝EF，AG＝GF，只要再证出AE＝AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度数进行求解，①中应经求出了∠AGD的度数，那么就能求出∠AGE的度数，在直角三角形AED中，有了∠ADE 的度数，就能求出∠AED的度数，这样得出AE＝AG后就能证出AEFG是菱形了．⑤我们可通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．【解答】解：∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F 重合，∴∠GAD＝45°，∠ADG＝∠ADO＝22.5°，∴∠AGD＝112.5°，∴①正确．∵tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED＝＞2，∴②错误．∵AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，∴③错误．根据题意可得：AE＝EF，AG＝FG，又∵EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，又∵∠AEG＝∠FEG，。

图形的对称-翻折变换（折叠问题）一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2D．122．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：213．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：85．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．68．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．2411．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+515．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．616．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．1918．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．220．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．623．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1226．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1227．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.529．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=．其中所有正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．130．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF的长为（）A．B．C．2 D．1图形的对称-翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2C．2D．12【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的性质；矩形的性质．【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解答】解：∵菱形AECF，AB=6，∴假设BE=x，∴AE=6﹣x，∴CE=6﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=6﹣x，解得：x=2，∴CE=4，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===2，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=，则EC=8﹣=，利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED==，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD•DE=×5×=，然后求出两面积的比．【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵把△ABC沿DE使A与B重合，∴AD=BD，EA=EB，∴BD=AB=5，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣x=8﹣=，∴S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，∴ED==，∴S△BDE=BD•DE=×5×=，∴S△BCE：S△BDE=：=14：25．故选B．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．3．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE 的正弦值．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，∴AC=a，BC=a；∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB=2a；设DE=EC=x，则AE=2a﹣x；在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；∴AE=，EC=，∴sin∠ACE==．故选：B．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，作辅助线；首先求出△BDP的面积，进而求出△DPC的面积；借助三角形的面积公式求出的值；由旋转变换的性质得到AB=PB，即可解决问题．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；由题意得：S△ABD=S△PBD=30，∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，∴=，由题意得：AB=BP，∴AB：PC=3：2，故选A．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的方法是作高线，表示出三角形的面积；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答．5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AEB+∠FEC=×180°=90°，则∠AEF=90°，即∠2=90°，①正确；由图形可知，∠1＜∠AEC，②错误；∵∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，又∠1+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠3，④正确；∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，③正确．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平角的知识可求出∠DED′的度数，再由折叠的性质可得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，从而根据平行线的性质可得出∠EFB的度数．【解答】解：∵∠AED′=40°，∴∠DED′=180°﹣40°=140°，又由折叠的性质可得，∠D′EF=∠DEF=∠DED′，∴∠DEF=70°，又∵AD∥BC，∴∠EFB=70°．故选：A．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，难度一般．7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由矩形的性质得到∠1=∠CFE=60°，由折叠可得∠2=60°，从而求得∠4的度数，得到AE=EC，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得EC的长度，即可得到答案．【解答】解：∵矩形ABCD，∴BC∥AD，∴∠1=∠CFE=60°，∵EF为折痕，∴∠2=∠1=60°，AE=EC，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°，Rt△CDE中，∠4=90°﹣60°=30°，∴EC=2×DE=2×1=2，∴BC=AE+ED=EC+ED=2+1=3．故选：A．【点评】本题考查了翻折问题；由折叠得到角相等，得到AE=EC利用勾股定理求解是正确解答本题的关键．8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由四边形ABCD是矩形与△AEC由△ABC翻折得到，AD=CE，∠ADF=∠CEF，由AAS证得△ADF≌△CEF，的长FA=FC，设DF=x，则FA=4﹣x，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即可求出DF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴FA=FC，设DF=x，则FA=FC=DC﹣DF=4﹣x，在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，即DF的长是．故选C．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，∴BM=2BF，∵∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC，∴△MBC是等边三角形，∴张萌的作法正确．在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC∴△MBC是等边三角形，∴小平的作法正确．故选D．【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，易得△CEF的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==6，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=12．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，利用勾股定理得CF的长是解答此题的关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．【解答】解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52﹣32=16，∴AF=4，DF=5﹣4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3﹣x）2+12，解得：x=．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，∴BC==3cm，∵将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，∴△BED≌△BCD，∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，∴AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=．故选：B．【点评】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】由点A（0，4）、B（3，0），可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得OA′的长，且△A′OC∽△AOB，再由相似三角形的性质，求得OC的长，继而利用待定系数法求得直线BC的解析式．【解答】解：∵点A（0，4）、B（3，0），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，由折叠的性质可得：A′B=AB=5，∠OA′C=∠OAB，∴OA′=A′B﹣OB=2，∵∠A′OC=∠AOB=90°，∴△A′OC∽△AOB，∴，即，解得：OC=，∴点C的坐标为：（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+．故选C．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．注意求得点C的坐标是解此题的关键．14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+5【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】首先在RT△ABE中，求出EB，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵△ADE是由△ADO翻折，∴DE=DO，AO=AE=10，∵四边形OABC是矩形，∴OC=AB=8，AO=BC=10，∠B=∠BCO=∠BAO=90°，在RT△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴EB===6，∴EC=4，设DO=DE=x，在RT△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，∴（8﹣a）2+42=a2，∴a=5，∴点D（0，5），点E（4，8），设直线DE为y=kx+b，∴解得，∴直线DE为：y=+5．故选A．【点评】本题考查翻折变换、待定系数法确定一次函数的解析式，解题的关键是巧妙利用勾股定理，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．15．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由DE∥BC与折叠的性质，可证得DE是△ABC的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，由折叠的性质可得：∠ADE=∠EDF，AD=DF，∴∠B=∠BFD，∴BD=DF，∴AD=BD，同理：AE=EC，∴DE=BC，即BC=2DE=4．故选B．【点评】此题考查了折叠的性质以及三角形中位线的性质．注意证得DE是△ABC的中位线是关键．16．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，等量代换得到AE=CD，AD=CE，推出四边形ACDE是平行四边形，于是得到AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B 正确；根据平行四边形和矩形的性质得到△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，于是得到图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；推出△BCE是等腰三角形，△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，于是得到图中有5个等腰三角形，故D错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，∴AE=CD，AD=CE，∵点B、A、E在同一条直线上，∴AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；∵BC=CE，∴△BCE是等腰三角形，∵四边形ACDE是矩形，∴AF=EF=CF=DF，∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，∴图中有5个等腰三角形，故D错误；故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等腰三角形和矩形的判定方法．17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据勾股定理得到BC=8，由折叠的性质得到BD=CD=BC=4，DE⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到DE=AB=3，AE=AC=5，于是得到结论．【解答】解：∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，∴BC=8，∵将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，∴BD=CD=BC=4，DE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴DE∥AB，∴DE=AB=3，AE=AC=5，∴四边形ABDE的周长=AB+AE+DE+BD=6+5+3+4=18，故选C．【点评】此题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°．∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形．∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5∴AB=CD==5，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∵∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．【点评】此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG 即可；【解答】解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=GF，∵E是边CD的中点，∴DE=CE=6，设BG=x，则CG=12﹣x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2∴（x+6）2=（12﹣x）2+62，解得x=4∴BG=4．故选B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据关于y轴对称的点的特点找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，∴点B与点B′关于y轴对称，∴B′（2，3），故选B．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，坐标与图形的关系，熟记关于y轴对称的点的特点是解答本题的关键．21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折变换的性质可得AE=EC，AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵△ABC的边AC对折顶点C和点A重合，∴AE=EC，AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=6cm，∴AC=AE+EC=6+6=12，∵△ABC的周长为36cm，∴AB+BC=36﹣12=24cm，∴△ABD的周长是24cm．故选A．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边是解题的关键．22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，∴∠FAC=∠FCA，∴FA=FC=，∴FD=FE，∵DC=AB=8，AF=，∴FD=FE=8﹣=，∴AD=BC=EC==6，故选：D．【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．23．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=5÷=cm，在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据题意得到：△AED≌△ACD；进而得到AE=AC=6，DE=CD；根据勾股定理求出AB=10；再次利用勾股定理列出关于线段CD的方程，问题即可解决．【解答】解：由勾股定理得：==10，由题意得：△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，DE=CD（设为x）；∠AED=∠C=90°，∴BE=10﹣6=4，BD=8﹣x；由勾股定理得：（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3（cm），故选B．【点评】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是借助翻折变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析、判断、推理或解答．25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故选C．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=AE+DE=AE+BE=9．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选：A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，利用勾股定理即可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得AE的长，继而求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=，∴AB==，由折叠的性质可得：AE=AB=，∴CE=AE﹣AC=．故选A．【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.5【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用平行四边形的对边相等得到AD=BC=4，DC=AB=6，再由折叠的性质得到DE=AD，由DC﹣DE求出EC的长即可．【解答】解：由折叠及平行四边形的性质得：AE=AD=BC=4，DC=AB=6，则EC=DC﹣DE=6﹣4=2，故选B．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．29．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：。

立体几何中翻折问题(微专题)一、题型选讲题型一、展开问题1(2022·广东佛山·高三期末)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,AD=AA1=2，E为棱AA1上的动点，平面BED1交棱CC1于F，则四边形BED1F的周长的最小值为()A.43B.213C.2(2+5)D.2+42【答案】B【分析】将几何体展开，利用两点之间直线段最短即可求得截面最短周长．【详解】解：将长方体展开，如图所示：当点E为BD1与AA1的交点，F为BD1与CC1的交点时，截面四边形BED1F的周长最小，最小值为2BD1=222+(1+2)2=213．故选：B．1.(2022·湖北武昌·高三期末)已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为22的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，BD=22，则在该四面体中()A.BE⊥CDB.BE与平面DCE所成角的余弦值为21015D.四面体ABCD的外接球表面积为9πC.四面体ABCD的内切球半径为10530【答案】ACD【分析】几何体内各相关线段的计算即可.【解析】由题意得，展开图拼成的几何体如下图所示，AB=CD=2，AD=BD=BC=AC=22，取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连MN、OA，过O作OH⊥CM于H，则OH是内切球的半径，OA是外接球的半径.所以AM=CN=12AB=22，CM=AN=AC2-CN2=222-222=302MN=CM2-CN2=3022-22 2=7对于A：AN⊥CD，BN⊥CD，AN∩BN=N，故CD⊥平面ABN，而BE⊂平面ABN，所以BE⊥CD，故A正确；对于B：由于CD⊂平面ACD，故平面ABN⊥平面ACD，故∠BAN是BE与平面DCE所成角，故cos∠BAN=AMAN=22×230=1515，故B错误；对于C：OH=CNCM12MN=22×230×12×7=10530，故C正确；对于D：OA2=AM2+12MN2=22 2+72 2=94所以外接球的表面积为9π，故D正确.故选：ACD2.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD= 3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=.【答案】-14【解析】∵AB ⊥AC ，AB =3，AC =1，由勾股定理得BC =AB 2+AC 2=2，同理得BD =6，∴BF =BD =6，在△ACE 中，AC =1，AE =AD =3，∠CAE =30°，由余弦定理得CE 2=AC 2+AE 2-2AC ⋅AE cos30°=1+3-2×1×3×32=1，∴CF =CE =1，在△BCF 中，BC =2，BF =6，CF =1，由余弦定理得cos ∠FCB =CF 2+BC 2-BF 22CF ⋅BC=1+4-62×1×2=-14.故答案为：-14.题型二、折叠问题2(2022·河北唐山·高三期末)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为AB 的中点，将△AED 沿DE 所在的直线翻折，使A 与A 重合，得到四棱锥A -BCDE ，则在翻折的过程中()A.DE ⊥AAB.存在某个位置，使得A E ⊥CDC.存在某个位置，使得A B ∥DED.存在某个位置，使四棱锥A -BCDE 的体积为1【答案】AB 【分析】过A 作A O ⊥DE ，垂足为O ，证得DE ⊥平面A AO ，可判定A 正确；取DC 的中点G ，连接EG ,A G ，当A 在平面ABCD 上的投影在FG 上时，可判定B 正确；连接A B ，由直线A B 与DE 是异面直线，可判定C错误；求得A O=25，结合体积公式求可判定D错误.【详解】对于A中，如图所示，过A 作A O⊥DE，垂足为O，延长AO交BC于点F，因为DE⊥AO，且AO∩A O=O，所以DE⊥平面A AO，又因为A A⊂平面A AO，所以DE⊥AA ，所以A正确；对于B中，取DC的中点G，连接EG,A G，当A 在平面ABCD上的投影在FG上时，此时DC⊥平面A EG，从而得到A E⊥CD，所以B正确；对于C中，连接A B，因为E⊂平面A BE，D⊄平面A BE，所以直线A B与DE是异面直线，所以不存在某个位置，使得A B∥DE，所以C错误；对于D中，由V A -BCDE=13×12×(1+2)×2×h=1，解得h=1，由A 作A O⊥DE，可得A O=A E⋅A DDE=1×25=25，即此时四棱锥的高h∈0,25 5，此时25<1，所以不存在某个位置，使四棱锥A -BCDE的体积为1，所以D错误.故选：AB.1.(2022·江苏宿迁·高三期末)如图，一张长､宽分别为2,1的矩形纸，A,B，C,D分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，则()A.在该多面体中，BD=2B.该多面体是三棱锥C.在该多面体中，平面BAD⊥平面BCDD.该多面体的体积为112【答案】BCD利用图形翻折，结合勾股定理，确定该多面体是以A ,B ,C ,D 为顶点的三棱锥，利用线面垂直，判定面面垂直，以及棱锥的体积公式即可得出结论．【解析】由于长、宽分别为2，1，A ,B ,C ,D 分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P 1,P 2,P 3,P 4四点重合为一点P ，且P 为BD 的中点，从而得到一个多面体ABCD ，所以该多面体是以A ,B ,C ,D 为顶点的三棱锥，故B 正确；AB =BC =CD =DA =32，AC =BD =1，AP =CP =22，故A 不正确；由于22 2+22 2=1，所以AP ⊥CP ，BP ⊥CP ，可得BD ⊥平面ACP ，则三棱锥A -BCD 的体积为13×BD ×S △ACP =13×1×12×22×22=112，故D 正确；因为AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，所以AP ⊥平面BCD ，又AP ⊂平面BAD ，可得平面BAD ⊥平面BCD ，故C 正确.故选：BCD2.(2022·江苏海安·高三期末)如图，ABCD 是一块直角梯形加热片，AB ∥CD ，∠DAB =60°，AB =AD =4dm ．现将△BCD 沿BD 折起，成为二面角A -BD -C 是90°的加热零件，则AC 间的距离是dm ；为了安全，把该零件放进一个球形防护罩，则球形防护罩的表面积的最小值是dm 2．(所有器件厚度忽略不计)【答案】4设E 为BD 的中点，由题可得AE ⊥平面BCD ，进而可求AC ，再结合条件可得△DAB 的中心为棱锥C -ABD 的外接球的球心，即求.【解析】∵ABCD 是一块直角梯形加热片，AB ∥CD ，∠DAB =60°，AB =AD =4dm ．∴△DAB 为等边三角形，BC =23dm ,DC =2dm ，设E 为BD 的中点，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，又二面角A -BD -C 是90°，∴AE ⊥平面BCD ，CE ⊂平面BCD ，∴AE ⊥CE ，又CE =2dm ，AE =23dm ，∴AC =AE 2+CE 2=4dm ，设△DAB 的中心为O ，则OE ⊥平面BCD ，又E 为BD 的中点，△BCD 为直角三角形，∴OB =OC =OD =OA ，即O 为三棱锥C -ABD 的外接球的球心，又OA =23×23=433dm ，故球形防护罩的表面积的最小值为4π⋅OA 2=64π3dm 2.故答案为：4，64π3.3.(2022·河北保定·高三期末)如图，DE 是边长为4的等边三角形ABC 的中位线，将△ADE 沿DE 折起，使得点A 与P 重合，平面PDE ⊥平面BCDE ，则四棱雉P -BCDE 外接球的表面积是.【答案】52π3求出四边形BCDE 外接圆的圆半径，再设四棱锥P -BCDE 外接球的球心为O ，由R 2=OO 2+O B 2求出半径，代入球的表面积公式即可.【解析】如图，分别取BC ，DE 的中点O ，F ，连接PF ，O F .因为△ABC 是边长为4的等边三角形，所以PF =O F =3，所以O B =O C =O D =O E =2，则四边形BCDE 外接圆的圆心为O ，半径r =2.设四棱锥P -BCDE 外接球的球心为O ，连接OO ，过点O 作OH ⊥PF ，垂足为H .易证四边形HFO O 是矩形，则HF =OO ，OH =O F =3.设四棱锥P -BCDE 外接球的半径为R ，则R 2=OO 2+O B 2=OH 2+PH 2=O F 2+PF -OO 2，即R 2=OO 2+22=3 2+3-OO 2，解得R 2=133，故四棱锥P -BCDE 外接球的表面积是4πR 2=52π3.故答案为：52π3题型三、折叠的综合性问题3(2022·江苏扬州·高三期末)在边长为6的正三角形ABC 中M ，N 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AM AB =ANAC=λ，把△AMN 沿着MN 翻折至A ′MN 位置，则下列说法中正确的有()A.在翻折过程中，在边A ′N 上存在点P ，满足CP ∥平面A ′BMB.若12<λ<1，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A ′BC ⊥平面BCNMC.若λ=12且二面角A ′-MN -B 的大小为120°，则四棱锥A ′-BCNM 的外接球的表面积为61πD.在翻折过程中，四棱锥A ′-BCNM 体积的最大值为63【答案】BCD 【分析】通过直线相交来判断A 选项的正确性；通过面面垂直的判定定理判断B 选项的正确性；通过求四棱锥A -BCNM 外接球的表面积来判断C 选项的正确性；利用导数来求得四棱锥A -BCNM 体积的最大值.【详解】对于选项A，过P作PQ⎳MN⎳BC，交AM于Q，则无论点P在A′N上什么位置，都存在CP与BQ相交，折叠后为梯形BCQP，则CP不与平面A′BM平行，故选项A错误；对于选项B，设D,E分别是BC,MN的中点，若12<λ<1，则AE>DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，又因为MN⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE=E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，DE∩MN=E，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故选项B正确；对于选项C，设D,E分别是BC,MN的中点，若λ=12且二面角A′-MN-B的大小为120°，则△AMN为正三角形，∠BMN=120°，∠C=60°，则BCNM四点共圆，圆心可设为点G，其半径设为r，DB=DC=DM=DN=3，所以点G即为点D，所以r=3，二面角A′-MN-B的平面角即为∠A′ED=120°，过点A′作A′H⊥DE，垂足为点H，EH=334，DH=934，A′H=94，DH2=24316，设外接球球心为O，由OD2+32=R294-OD2+24316=R2，解得R2=614，所以外接球的表面积为S=4πR2=61π，故选项C正确；对于选项D，设D,E分别是BC,MN的中点，设h是四棱锥A -BCNM的高.S△AMN=12×6λ×6λ×32=93λ2，S△ABC=12×6×6×32=93，所以S四边形BCNM=93(1-λ2)，则V A′-BCNM=13×93(1-λ2)×h≤33(1-λ2)×A′E=33(1-λ2)×33λ=27(-λ3+λ)，λ∈(0，1)，可设f(λ)=27(-λ3+λ)，λ∈(0，1)，则f λ =27(-3λ2+1)，令f λ =0，解得λ=33，则函数f(λ)在0，33上单调递增，在33，1上单调递减，所以f(λ)max=f33=63，则四棱锥A′-BCN体积的最大值为63，故选项D正确.故选：BCD1.(2021·山东滨州市·高三二模)已知正方形ABCD的边长为2，将△ACD沿AC翻折到△ACD 的位置，得到四面体D -ABC，在翻折过程中，点D 始终位于△ACD所在平面的同一侧，且BD 的最小值为2，则下列结论正确的是()A.四面体D -ABC的外接球的表面积为8πB.四面体D -ABC体积的最大值为63C.点D的运动轨迹的长度为22π3D.边AD旋转所形成的曲面的面积为22π3【答案】ACD【解析】对ABCD各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：∵∠ABC=90o，∠AD C=90o，∴AC中点即为四面体D -ABC的外接球的球心，AC为球的直径，∴R=2，∴SD -ABC =4πR2=4π22=8π，故选项A正确；对B：当平面AD C⏊平面ABC时，四面体D -ABC体积的最大，此时高为2，∴V D -ABCmax=13×12×2×2×2=223，故选项B错误；对C ：设方形ABCD 对角线AC 与BD 交于O ，由题意，翻折后当BD 的最小值为2时，△OD B 为边长为2的等边三角形，此时∠D OB =π3，所以点D 的运动轨迹是以O 为圆心2为半径的圆心角为2π3的圆弧，所以点D 的运动轨迹的长度为2π3×2=22π3，故选项C 正确；对D ：结合C 的分析知，边AD 旋转所形成的曲面的面积为以A 为顶点，底面圆为以O 为圆心OD =2为半径的圆锥的侧面积的13，即所求曲面的面积为13πrl =13π×2×2=22π3，故选项D 正确.故选:ACD .2.【2022·广东省深圳市宝安区第一次调研10月】如图甲是由正方形ABCD ，等边△ABE 和等边△BCF 组成的一个平面图形，其中AB =6，将其沿AB ，BC ，AC 折起得三棱锥P -ABC ，如图乙.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)过棱AC 作平面ACM 交棱PB 于点M ，且三棱锥P -ACM 和B -ACM 的体积比为1:2，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)427.【分析】(1)取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，证明PO ⊥AC ，PO ⊥OB ，即证PO ⊥平面ABC ，即证得面面垂直；(2)建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量AM 的坐标，再计算平面PBC 法向量n，利用所求角的正弦为cos AM ,n即得结果.【解析】(1)证明：如图，取AC 的中点为O ，连接BO ，PO .∵PA =PC ，∴PO ⊥AC .∵PA =PC =6，∠APC =90°，∴PO =12AC =32，同理BO =32.又PB =6，∴PO 2+OB 2=PB 2，∴PO ⊥OB .∵AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，11∴PO ⊥平面ABC .又PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ；(2)解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，A 32,0,0 ，C -32,0,0 ，B 0,32,0 ，P 0,0,32 ，∴CB =32,32,0 ，CP =32,0,32.∵三棱锥P -ACM 和B -ACM 的体积比为1:2，∴PM :BM =1:2，∴M 0,2,22 ，∴AM =-32,2,22 .设平面PBC 的法向量为n =x ,y ,z ，则32x +32y =032x +32z =0 ，令x =1，得n =1,-1,-1 .设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ=cos AM ,n =-6227⋅3 =427.∴直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为427.。