10.7总体特征值估计

）、活动设计：进入青春期，中学生的生理、心理都产生很大的变化，性意识也随之觉醒。

他们乐意与异性同学交往。

热心与异性同学一起参与学习、讨论、班级活动等。

男生在女生面前，往往表现出健壮、刚强、宽容大度；女生在男生面前，则表现出温柔、亲切、热情，这是正常的性心理的表现。

但我们有些同学不能正确认识性心理、性意识的产生，不能正确处理与异性同学之间的关系。

有的同学在异性同学面前过分夸张地说话、做事，以引起异性同学对自己的注意；有的同学不能很好地控制自己对异性同学的好感，陷入感情的旋涡；有的同学为自己性意识的产生感到困惑，甚至以为自己变坏了，因而忧心忡忡。

……这些，严重影响了同学的身心健康，影响同学之间的交往，影响学习和工作。

而过去，学校对学生这方面的帮助教育远远不够，学生只能从书本或其他渠道偷偷了解有关的知识。

因此，有必要让学生从公开的渠道了解有关性意识、性道德的知识，了解青春期的性意识的特点，学会与异性同学正常交往。

教学内容：一是让学生了解青春期性意识的特点；二是懂得如何与异性同学正常交往。

教学目标：让学生了解性意识的产生是青少年成长过程中出现的正常现象，正确对待性意识，培养正确的性道德，与异性同学正常交往。

教学难点与重点：因青春期学生特有的羞涩，学生大多不敢公开议论这个话题，所以要事先做好部分学生的工作，让学生有思想准备，并收集资料准备上课。

1、青春期性意识产生的特点。

2、与异性同学正常交往。

教学形式：老师讲课与学生讨论发言结合教学准备：1、学生：请三、四个同学事先找有关男女同学交往的典型事例，有关的语录、格言，并且每人准备2分钟的说话，或谈典型事例，或谈自己的体会。

2、老师：准备有关男女同学交往的正反两方面的典型事例，有关的语录三、四条。

教学过程：(一)故事引入(2分钟)有一位男生，上高中以后，感到自己产生了一些奇怪的变化。

他特别喜欢坐在他后面的一个女生，每天都忍不住想回头看她几眼，听到这位女生大声的说笑声，他心里就发颤；有一种异样的感觉。

芯衣州星海市涌泉学校总体特征数的估计学习要求1． 知道平均数是对调查数据的一种简明的描绘，它表示变量一切可能值的算术平均值，从而实现对总体可靠度的估计，学习时仔细体会它的实际意义。

2． 纯熟掌握平均数的计算公式。

【课堂互动】 自学评价案例某校高一〔1〕班同学在教师的布置下，用单摆进展测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在一样的条件下进展测试，得到以下实验数据〔单位：m/s2〕:248410.0168810.32 659168234 5928040怎样利用这些数据对重力加速度进展估计？ 【分析】我们常用算术平均数∑=ni i a n 11〔其中i a (i =1，2，…，n)为n 个实验数据〕作为重力加速度的“最理想〞的近似值．它的根据是什么？处理实验数据的原那么是使这个近似值与实验数据之间的离差最小．设这个近似值为x ，那么它与n 个实验值i a (i =1，2，…，n)的离差分别为1a x -，2a x -，…，n a x -．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|1a x -|+|2a x -|+…+|n a x -|取最小值时x 的值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即(1a x -)2+(2a x -)2+…+(n a x -)2，当此和最小时，对应的x 的值作为近似值，因为 (1a x -)2+(2a x -)2+…+(n a x -)2=22221212)(2n n a a a x a a a nx +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++-，所以当)(121n a a a n x +⋅⋅⋅++=时离差的平方和最小，故可用)(121n a a a n+⋅⋅⋅++作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这n 个数据1a ，2a ，…，n a 的平均数或者者均值，一般记为)(121n a a a na +⋅⋅⋅++=． 用计算器操作，验证：求得重力加速度的最正确近似值为774.9=x m/s2．【小结】1．n 个实数n a a a a ,,,,321⋯的和简记为∑=ni ia12.n 个实数n a a a a ,,,,321⋯，那么称n a a a n /)(21+⋯++为这n 个数据的平均数(average)或者者均值(mean)3.假设取值为n x x x ,,,21⋯的频率分别为n p p p ，⋯,,21，那么其平均数为n n p x p x p x +⋯+,2211【精典范例】例1某校高一年级的甲、乙两个班级〔均为50人〕的语文测试成绩如下〔总分：150〕，试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些。

特征值估计一、特征值的概念在线性代数中，特征值是矩阵运算中一个重要的概念。

对于一个n 阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个标量，那么k就是矩阵A的特征值，x就是对应的特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的变换规律和性质。

特征值估计是通过数值计算的方法，来估计矩阵的特征值。

特征值估计的基本原理是利用矩阵的特征向量和特征值之间的关系，通过迭代计算的方式逼近矩阵的特征值。

特征值估计的过程中，需要选择一个合适的迭代方法和初始向量，以便得到较为准确的特征值估计结果。

三、特征值估计的常用方法1. 幂法幂法是一种最简单和最常用的特征值估计方法。

幂法的基本思想是通过不断迭代矩阵和向量的乘积，来逼近矩阵的特征向量和特征值。

幂法的迭代公式为：x(k+1) = A * x(k)其中x(k)为第k次迭代的向量，A为待估计特征值的矩阵。

幂法通常需要对向量进行归一化处理，以防止迭代过程中向量趋于无穷大或无穷小。

2. 反幂法反幂法是幂法的一种变形方法，用于估计矩阵的最小特征值。

反幂法的基本思想是通过计算矩阵的逆，然后按照幂法的迭代公式进行迭代，最终得到矩阵的最小特征值和对应的特征向量。

3. QR算法QR算法是一种迭代方法，用于计算矩阵的所有特征值和特征向量。

QR算法的基本思想是通过矩阵的QR分解，将原矩阵迭代转化为上三角矩阵的迭代过程，从而逐步求得矩阵的特征值和特征向量。

四、特征值估计的应用特征值估计在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，特征值估计可以用于计算量子力学中的波函数和能量本征值；在机器学习和数据分析中，特征值估计可以用于降维和特征提取；在网络分析和图像处理中，特征值估计可以用于图的聚类和分割等。

特征值估计的准确性和稳定性是评价其性能的重要指标。

在实际应用中，我们需要选择合适的特征值估计方法，并进行数值计算来得到较为准确的结果。

此外，特征值估计的计算复杂度也是需要考虑的因素，因为对于大规模矩阵，特征值估计可能需要耗费大量的计算资源和时间。

第1章集合1.1集合与元素1.2集合的表示法1.3集合之间的关系1.4集合的运算1.5充要条件第2章不等式2.1不等式的基本性质2.2区间2.3一元二次不等式2.4含绝对值的不等式第3章函数3.1函数的概念3.2函数的表示法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5函数的实际应用第4章指数函数与对数函数4.1实数指数幂4.2幂函数4.3指数函数4.4对数的概念4.5对数的运算4.6对数函数4.7利用计算器求对数值4.8指数函数、对数函数的实际应用第5章三角函数5.1角的概念推广5.2弧度制5.3任意角的三角函数5.4同角三角函数的基本关系5.5三角函数的诱导公式5.6正弦函数的图像与性质5.7余弦函数的图像与性质5.8已知三角函数值求角第6章数列6.1数列6.2等差数列6.3等比数列6.4数列的实际应用第7章平面向量7.1平面向量7.2平面向量的加法、减法和数乘向量7.3平面向量的坐标表示4平面向量的内积第8章直线与圆的方程8.1两点间距离公式及中点公式8.2直线的倾斜角和斜率8.3直线的方程8.4 点到直线的距离公式8.5两条直线的位置关系8.6圆的方程8.7直线与圆的位置关系8.8 直线与圆的方程的实际应用第9章立体几何9.1平面的基本性质9.2空间两条直线的位置关系9.3直线和平面的位置关系9.4平面和平面的位置关系9.5柱、锥、球及其组合体第10章概率统计10.1计数原理10.2随机事件和概率10.3概率的简单性质10.4 等可能事件的概率10.5 总体、样本和抽样方法10.6 总体分布估计10.7总体特征值估计10.8一元线性回归第11章逻辑代数初步11.1 二进制及其转换11.2 命题逻辑与条件判断11.3 逻辑变量与基本运算11.4 逻辑式与真值表11.5 逻辑运算律11.6 逻辑函数的卡诺图化简法第12章算法与程序框图12.1 算法的概念12.2 程序框图12.3 算法与程序框图应用举例第13章数据表格信息处理13.1 数据表格、数组13.2 数组的运算13.3 数据的图示13.4 散点图及其数据拟合13.5 用excel处理数据表格第14章编制计划的原理与方法14.1 编制计划的有关概念14.2 关键路径法14.3 网络图14.4 横道图14.5 计划的调整与优化第15章三角计算及其应用15.1 两角和与差的正弦、余弦公式15.2 二倍角公式15.3 正弦函数15.4 正弦定理、余弦定理第16章坐标变换与参数方程16.1 坐标轴平移16.2 坐标轴旋转16.3 参数方程第17章复数及其应用17.1 复数的概念17.2 复数的代数计算17.3 复数的几何意义及三角形式17.4 棣莫弗定理与欧拉公式第18章线性规划初步18.1 线性规划问题的有关概念18.2 二元线性规划问题的图解法18.3 用表格解线性规划问题18.4 用Excel解线性规划问题第19章圆锥曲线、极坐标系19.1 椭圆的标准方程和性质19.2 双曲线的标准方程与性质19.3 抛物线的标准方程与性质19.4 *极坐标系第20章排列、组合、二项式定理20.1 排列20.2 组合20.3 二项式定理阶段复习：专题1 集合、充要条件专题2 不等式、线性规划专题3 函数专题4 三角专题5 数列专题6 平面向量专题7 复数专题8 平面解析几何专题9 立体几何专题10 排列、组合与概念统计专题11 数据表格信息处理专题12 编制计划的原理与方法专题13 算法与程序框图专题14 逻辑代数初步第21章函数（续）21.1 函数概念21.2 反函数21.3 初等函数。

总体特征值的估计
总体特征值是统计中一个重要的概念，是应用统计学研究中常用的一类参数，它提供了关于总体本身的全面信息，包括总体位置参数和离散程度参数，例如均值、方差、百分位数、偏度和峰度等，因此总体特征值的估计变得尤为重要。

一、总体特征值估计的重要性
总体特征值估计可以帮助了解一个总体的某些特性，如均值、方差、偏度和峰度，这些特征值的参数可以帮助研究人员了解样本数据的结构和变化特征，以及和其他总体的比较。

此外，均值、方差等特征值可以用来估计总体参数，从而为研究开展提供线索和启示。

二、均值的估计
均值是总体特征值之一，它表示样本数据的中心位置，是衡量一组数据的整体水平的重要参数。

常用的均值估计方法有：最大似然法、最小二乘法、贝叶斯估计法和蒙特卡洛估计法等。

三、方差的估计
方差也是总体特征值之一，它表示样本数据的离散程度，是衡量一组数据波动程度的重要参数。

常用的方差估计方法有：无偏样本方差估计、偏权无偏方差估计、最大似然估计和蒙特卡洛估计法等。

四、偏度和峰度的估计
偏度和峰度是总体中的重要特征值，它们分别描述了样本数据的分布偏移程度和波动程度。

常用的偏度和峰度估计方法有：最大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计、正态分布模型估计等。

五、小结
总体特征值估计是统计学研究中重要的一环，是评价样本数据分布状况和总体特征值的重要参考，通常利用最大似然法、最小二乘法、贝叶斯估计法和蒙特卡洛估计法等方法估计总体的均值、方差、偏度和峰度等参数。

能够有效、准确的估计总体参数，是做出正确统计研究判断和决策的关键所在，也是实现成功研究的一大条件。

总体特征值的估计总体特征值是指总体中的一些特征的数值。

例如，人口年龄分布中的平均年龄、产品的平均销售量等。

由于我们无法对整个总体进行测量，我们通常通过从总体中抽取样本来进行估计。

总体特征值的估计就是通过样本数据来推断总体特征值的方法。

最简单的总体特征值估计方法是使用样本均值进行估计。

样本均值是样本观察值的算术平均数。

我们可以假设样本均值近似于总体均值，并用样本均值来估计总体均值。

这是因为中心极限定理告诉我们，当样本大小足够大时，样本均值的抽样分布将接近正态分布，且以总体均值为中心。

这就允许我们使用样本均值来估计总体均值。

除了使用样本均值进行估计外，我们还可以使用样本中位数来估计总体中位数。

样本中位数是样本数据按照大小排列后处于中间位置的数值。

在总体分布不满足正态分布的情况下，样本中位数可能更适合作为估计总体中位数的方法。

此外，我们还可以使用样本百分位数来进行总体特征值的估计。

百分位数是指在有序的观察值中，一些特定百分比的观察值所对应的数值。

例如，第25百分位数是指将观察值按照大小排序后，处于第25%位置的数值。

通过计算样本的百分位数，我们可以对总体的分布进行描述，并推断总体特征值。

除了以上提到的方法，还存在其他一些方法可以用于总体特征值的估计。

例如，最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）和贝叶斯估计（Bayesian Estimation）等。

总体特征值的估计是统计学中一项重要的任务，它可以帮助我们对未知总体的一些特征进行推断。

然而，需要注意的是，估计的准确性取决于样本的大小和抽样方法的合理性。

当样本足够大且抽样方法得当时，我们可以更有效地估计总体特征值。

所以，在进行总体特征值的估计时，我们应该在理论和实践上都要进行合理的选择与判断。

总体特征数的估计
一般来说，总体特征数的估计可以分为两种情况：离散型总体和连续型总体。

对于离散型总体，可以采用频数估计法进行估计。

这种方法是通过从总体中随机抽取一个样本，统计样本中特征的个数，然后将这个统计结果与总体中的样本容量相乘，得到总体特征数的估计值。

例如，如果从总体中抽取了100个样本，且样本中特征的个数的平均值为5个，那么总体特征数的估计值就是100*5=500个。

对于连续型总体，可以采用面积估计法进行估计。

这种方法是通过从总体中随机抽取一个样本，统计样本中特征的平均值和标准差，然后根据正态分布的性质，将样本平均值加减几个标准差得到置信区间，将置信区间的面积与总体样本容量相乘，得到总体特征数的估计值。

例如，如果从总体中抽取了100个样本，样本中特征的平均值为50，标准差为10，选择95%的置信度，那么置信区间的宽度为2*1.96*10=39.2，总体特征数的估计值就是100*50±39.2=5060。

需要注意的是，总体特征数的估计只是一个预估值，其准确度受到样本容量和抽样方法的影响。

当样本容量越大、抽样方法越随机时，估计值越接近真实值。

另外，不同的估计方法也会有不同的精度和置信度，需要根据实际情况选择适合的方法。

⎫⎛⎪⎪⎭⎝=∑∑==ni in i ii r 1212λ)/2, λ1, λ2, , λn 为;,n ;,n前节是对特征值的模长实部和虚部进行估计本第二节圆盘定理前一节是对特征值的模长、实部和虚部进行估计，本节则是对特征值的位置分布进行估计定义：设A =(a ij )∈C n ⨯n , R i =|a i 1|+ +|a i ,i -1|+|a i ,i -1|+ +|a in | , (i =1,2, ,n ), 称复平面上的圆域G i ={z ∈C| |z -a ii |≤R i |} (i =1,2, ,n )为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆盘，简称盖尔圆。

定理(圆盘定理1)：矩阵A ∈C n ⨯n 的n 个特征值λi (i =1,2, ,n )个盖尔圆的并集中即12n都在它的n 个盖尔圆的并集中，即λi ∈(i =1,2, ,n )。

证明：设λ为A 的任一特征值，0 ≠x =(x 1, , x j , , x n )∈C nkk G 1= 为A 的属于特征值λ的特征向量, 即Ax =λx .设0n≠0. 由于, 所以||max ||j j k x x =i j j ij x x a λ=∑=1=⇒=n nx x a x x a )/(λλ∑∑==j k j kj k j j kj 11从而knkj nk j kj kk R a x x a a =≤≤-∑∑|||/|||||λ即：λ∈G k ，从而，λ∈在n 个盖尔圆的并集之中。

kj j kj j ≠=≠=,1,1∙当a kk ：是实数时，G k ，关于实轴对称。

当A 为实矩阵时，A 的盖尔圆为圆心都在实轴上的圆的并集。

定义：设矩阵A 的盖尔圆中，相交在一起的盖尔圆构成的最大连通区域称为一个连通部分；规定孤立的盖尔圆也是个连通部分一个连通部分。

G 1G 2G G 34λ1G1 G2510λ2能否做到每个盖尔圆内只有一个特征值？设D =diag(d 1,d 2, , d n ), 其中d 1,d 2, , d n 皆为正数。

一知识梳理，基本概念的理解1.平均数的计算方法（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n1（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”.（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x '+a .（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么x =nf x f x f x kk +++ 2211.6.方差的计算方法（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差.（2）公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］. （3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a .则s 2=n1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］. 2总体平均值和方差的估计人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. 范例解析例1、某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔１小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录．抽查数据如下：甲车间：102,101,99,98,103,98,99;乙车间：110,105,94,95,109,89,98． 问（１）根据抽样是何种抽样方法？（２）估计甲乙两车间包装重量的均值与方差，并说明哪个均值的代表好？哪个车间包装重量较稳定？ 例2有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22； ［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.（1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计数据小于30.5的概率例3、.某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：求全班的平均成绩和标准差.课堂练习1.在方差计算公式])20()20()20[(10121022212-++-+-=x x x s 中，数字10和20分别表示 （） A ．数据的个数和方差 B ．平均数和数据的个数C ．数据的个数和平均数D ．数据组的方差和平均数2.从鱼塘捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是______3.x 1是1x ，2x ，3x ，……，40x 的平均值，2x 为41x ，42x ，43x ，……，100x 的平均值，x 是1x ，2x ，3x ，……，100x ．则x ＝124060100x x +4.已知一组数据x ，－1，0，3，5的方差为S 2=6.8，则x=．5.已知一组数据x 1，x 2，…，x 10的方差是2，且(x 1-3)2+(x 2-3)2+…+(x 10-3)2=380，求x ． 基础练习1．已知数据12n x x x ，，，的平均数为5x =，则数据137x +，237x +，…，37n x +的平均数为. 2．若M 个数的平均数是X,N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是______3．数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为.4，则下列说法正确的是.①甲的样本容量小 ②乙的样本容量小 ③甲的波动较小 ④乙的波动较小5．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个4 最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为． 课堂小结1理解样本平均数的计算方法 2理解样本方差的计算方法 课后作业 1书上2练习册。