数理统计试卷1

概率论与数理统计第一阶段12.0.18.0.28.0.58.0.D C B A错对..B A12、设A 、B 为两个事件，则()A B B A =- 。

错对..B A13、若A B ⊂，则()()B P A P ≥。

错对..B A15、若A 、B 、C 三个事件两两独立，则A 、B 、C相互独立。

错对..B A16错对..B A17、若A 、B 为任意两个事件，则()()()B P A P B A P -=-。

错对..B A18、若事件A 、B 互斥，则A 、B 对立。

错对..B A19、A 为不可能事件，则有()0=A P 。

27、一批产品100件，有80件正品，20件次品，其中甲厂生产的为60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙厂生产。

先从该批产品中任取一件，记=A “取出的产品是正品”，=B “取出的产品是由甲厂生产”，则()321________________==AB P ，()654________________==B A P ，()987______________==A B P 。

请从下列各项中选出你认为正确的项填入上述绿色横线上，并选择对应填入序列。

54.65.85.21.50.60.80.100.a h g f e d c b28、甲、乙、丙三人各射一次靶，记为“甲中靶”，为“乙中靶”，为“丙中靶”，则可用上述三个事件的运算分别表示下列各事件：“三人中恰好有一人中靶”： 1 ； “三人中至少有一人中靶”： 2 ；“三人中至少有两人中靶”： 3 ； “三人中。

考研数学一（数理统计）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为( )A．N(0，1)B．t(1)C．X2(1)D．F(1，1)正确答案：B解析：考查产生t分布的典型模式由于Xi服从N(1，σ2)，i=1，2，3，4，且相互独立，所以X1-X2服从N(0，2σ2)，X3+X4-2服从N(0，2σ2)．于是服从N(0，1)，服从N(0，1)．知识模块：数理统计2．设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体X的简单随机样本，统计量，则有( )A．E(T1)＞E(T2)，D(T1)＞D(T2)B．E(T1)＞E(T2)，D(T1)＜D(T2)C．E(T1)＜E(T2)，D(T1)＞D(T2)D．E(T1)＜E(T2)，D(T1)＜D(T2)正确答案：D解析：故D(T1)＜D(T2)，从而应选D．知识模块：数理统计3．设总体X和Y相互独立，且都服从N(μ，σ2)，分别为总体X与Y的样本容量为n的样本均值，则当n固定时，概率的值随σ的增大而( ) A．单调增大B．保持不变C．单调减少D．增减不定正确答案：B解析：故应选B 知识模块：数理统计4．设总体X服从N(μ，σ2)，分别是取自总体X的样本容量分别为10和15的两个样本均值，记p1=，则有( )A．p1＜p2B．p1=p2C．p1＞p2D．p1=μ，p2=6正确答案：C解析：因为由于Ф(x)是单调增加的，所以p1＞p2 ，应选C．知识模块：数理统计5．设总体X服从N(μ，σ2)，与S2分别为样本均值和样本方差，n为样本容量，则下面结论不成立的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：正态总体抽样分布中，与S2是相互独立的，故A、B、C选项结论都是正确的，只有D是不成立的．知识模块：数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（数理统计的基本概念）-试卷1(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）√C.F α (4，3)．D.F 1－α (4，3)．解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又 1一α=P{X≤x}=P{X＜x}=P所以此选(A)．3.设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N(0，2 2 )的简单随机样本，记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4X2，其中a，b为常数．已知Y～χ2 (n)，则4 )（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X i～N(0，2 2)且相互独立，所以X 1一2X 2～N(0，20)，3X 3—4X 4～N(0，100)，故～N(0，1)且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当a= 时，Y～χ2(2)；(2)当a= ，b=0，或a=0，时，Y～χ2 (1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．4.设X 1，X 2，…，X n是来自标准正态总体的简单随机样本，S 2为样本均值和样本方差，则（分数：2.00）服从自由度为n一1的χ2分布．D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布．√解析：解析：显然，(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，～N(0，n)，由于X 1，X 2，…，X n相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．5.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t α满足P{X≤t α}=1一α(0＜α＜1)．若已知P{｜X｜＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t 1－b．C.t b．√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}=1一P{｜X｜＞x}=1一根据题设定义P{X≤t α }=1一α，可知．应选(D)．6.设X 1，X 2，…，X n是取自正态总体N(0，σ2 )的简单随机样本，S 2分别是样本均值与样本方差．则（分数：2.00）～χ2 (1)．～χ2 (n一1)．t(n一1)．F(n一1，1)．√(D)．7.假设两个正态分布总体X～N(μ1，1)，Y～N(μ2，1)，X 1，X 2，…，X m与Y 1，Y 2，…，Y n分别是取自总体X和Y的相互独立的简单随机样本．分别是其样本均值，分别是其样本方差，则（分数：2.00）一(μ1一μ2 )～N(0，1)．～χ2 (m+n一2)．F(m一1，n一1)．√t(m+n－2)．解析：解析：因相互独立，所以(C)．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)8.设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X 1，X 2，…，X n的联合概率密度f(x 1，x 2，…，x n )= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：总体X 的概率密度f(x)= 由于X 1 ，X 2 ，…，X n 相互独立，且与总体X 服从同一指数分布，因此 f(x 1 ，x 2 ，…，x n9.设总体X ～P(λ)，则来自总体X 的简单随机样本X 1 ，X 2 ，…，X n 的样本均值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由泊松分布的可加性可知，当X 1 ，X 2 独立时，X 1 +X 2 ～P(2λ)，继而有X 1 ，X 2 ，…，X n 独立同为P(λ)分布时，～P(n λ)．于是，对任意n ＞2，n 的概率分布为10.已知χ 2～χ 2(n)，则E(χ 2)= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：n ） 解析：解析：由χ 2分布的典型模式χ 2= ，而X i ～N(0，1)，且X i 相互独立，由于E( )=D(Xi)+[E(X i )] 2=1+0=1，所以11.已知X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且服从N(0，σ 2)，则 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t解析：解析：记Y 1 =X 2 +X 3 ，Y 2 =X 2 一X 3 ，则Y 1 ～(0，2σ 2)，Y 2 ～N(0，2σ 2)．由于 Cov(Y 1，Y 2 )=E(Y 1 Y 2 )一E(Y 1 )E(Y 2 )=E[(X 2 +X 3 )(X 2 一X 3 )] ==σ 2 一σ 2=0． 所以Y 1与Y 2 相互独立，且与X 1 独立．又由 X 1 +X 2 +X 3 =X 1 +y 1 ～N(0，3σ 2)， 可知 ～χ 2(1)，且X 1 +X 2 +X 3 与X 2 ～X 3 相互独立，于是按t 分布定义有12.已知(X ，Y)的联合概率密度为则 1的 2分布．（分数：2.00）填空项1:__________________ ）解析：解析：由题设知(X ，Y)服从二维正态分布且密度函数为 故X ～N(0，2 2)，Y ～N(1，3 2)，X与Y 相关系数ρ=0，所以X 与Y 独立， ～N(0，1)， 根据F 分布典型模式知13.设总体X 的密度函数f(x)= ，S 2分别为取自总体X 容量为n 的样本的均值和方差，则1；ES 2= 2． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0解析：解析：由于，ES 2=DX ，由题设有所以14.假设X 1，X 2，…，X 16是来自正态总体N(μ，σ2 )的简单随机样本，为其均值，S为其标准差，如果＞μ+aS}=0．95，则参数a= 1．(t 0．05 (15)=1．7531)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－0．4383）解析：解析：由于总体X～N(μ，σ2)，故与S 2独立，由t分布典型模式得：t= ～t(15)，所以由此知4a为t(15)分布上0．95分位数，即4a=t 0．95(15)=－t 1－0．95(15)=－t 0．05(15)=－1．7531，a=－0．4383．15.设X 1，X 2，…，X 9是来自总体X一N(μ，4)的简单随机样本，而是样本均值，则满足p{｜－μ｜＜μ }=0．95的常数μ= 1．(Ф(1．96)=0．975)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1．3067）解析：解析：由条件知，一μ)～N(0，1)16.设总体X服从参数为P的0-1分布，则来自总体X的简单随机样本X 1，X 2，…，X n的概率分布为1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：总体X的概率分布为，此概率分布也可以表示为于是样本X 1，X 2，…，X n 的概率分布为如果记，则样本X 1，X 2，…，X n的概率分布为17.假设总体X服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n是取自总体X的简单随机样本，则统计量Y 1都服从 1分布，其分布参数分别为 2和 3．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t）填空项1:__________________ （正确答案：2）填空项1:__________________ （正确答案：n一1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，…，X n相互独立同服从分布N(0，1)，所以X 1－X 2与也相互独立，且有即Y 1与Y 2都服从t分布，分布参数分别为2和n一1．18.设总体X服从正态分布N(0，σ2 )，而X 1，X 2，…，X 15是取自总体X的简单随机样本，则服从 1分布，分布参数为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：F (10，5)）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，…，X 15相互独立且都服从分布N(0，σ2 )，所以+…+ ～N(0，1)，因此19.设总体X与Y独立且都服从正态分布N(0，σ2 )，已知X 1，…，X m与Y 1，…，Y n是分别来自总体X与Y的简单随机样本，统计量T= 服从t(n)分布，则= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：依题意X i～N(0，σ2 )，Y i～N(0，σ2 )且相互独立，所以U与V相互独立，由t分布典型模式知根据题设三、解答题(总题数：15，分数：30.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学概率论与数理统计第一章测试题（含答案）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.对于任意二事件A 和B ，与B BA不等价．．．的是（）(A)B A (B)A B(C)BA (D)BA 2.设事件A 与事件B 互不相容，则（）(A)0)(B A P (B))()()(B P A P AB P (C))(1)(B P A P (D)1)(B AP 3.对于任意二事件A 和B ，则以下选项必然成立的是（）(A)若AB ，则B A,一定独立 (B)若AB ，则B A,有可能独立(C)若AB ，则B A,一定独立 (D)若AB，则B A,一定不独立4.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）(A)A 与B 互不相容(B)A 与B 相容(C))()()(B P A P AB P (D))()(A P B AP 5.设B A,为任意两个事件，且B A ，0)(B P ，则下列选项必然成立的是（）(A))|()(B A P A P (B))|()(B A P A P (C))|()(B A P A P (D))|()(B A P A P 6.设B A,为两个随机事件，且0)(B P ，1)|(B A P ，则必有（）(A))()(A P B A P (B))()(B P B A P (C))()(A P B A P (D))()(B P B AP 7.已知1)(0B P ，且)|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P ，则下列选项成立的是（）(A))|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P (B))()()(2121B A P B A P B A BA P (C))|()|()(2121B A P B A P A A P (D))|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P 8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A {掷第一次出现正面}，2A {掷第二次出现正面}，3A {正、反面各出现一次}，4A {正面出现两次}，则事件（）(A)321,,A A A 相互独立 (B)432,,A A A 相互独立(C)321,,A A A 两两独立 (D)432,,A A A 两两独立9.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p （10p ），则此人第4射击恰好第2次命中目标的概率为（）(A)2)1(3p p (B)2)1(6p p (C)22)1(3p p (D)22)1(6p p 10.设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)()(0C P AC P ，则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是（）(A)B A与C (B)AC 与C (C)B A与C (D)AB 与C二、填空题（每小题2分，共14分）1.“C B A ,,三个事件中至少有两个发生”，这一事件可以表示为___2.若事件B A ，满足1BP A P ，则A 与B 一定____________3.在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于21的概率为4.在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点。

（1) 掷一颗骰子,出现奇数点。

(2） 掷二颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” (3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面。

” B =“至少有一次出现正面。

”C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2。

设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ,C 的运算关系式表示下列事件: （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C 不发生； （3） A ,B ，C 都发生;(4） A ，B ，C 至少有一个发生； （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ，C 不都发生； (7) A ,B ,C 至多有2个发生；（8） A ,B ，C 至少有2个发生. 【解】（1） A BC （2） AB C （3) ABC（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(5） ABC =A B C (6） ABC(7） A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C (8） AB ∪BC ∪CA =AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC5.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0。

命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：第 页 （共 4页）概率论与数理统计（II ）期末考试样卷1参考答案注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：0.9750.930.920.9750.950.950.975(1.71)0.96,(1.14)0.87, 1.96,(8) 1.8,(9) 1.8,(9) 2.262(1)0.84,(15) 1.753,(2,12) 3.89,(12) 2.1788,(2.67)0.996U t t t t F t Φ=Φ=====Φ====Φ=一、填空题( 每小题3分，共24分)1．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时)2~(1000,)X N σ，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==,则(940)P x <= 0.07 .2．某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）为351 347 355 344 351 则其经验分布函数5()F x = 1525450 344344347 347351 351355 1 355x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩ . 3. 设16,,X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，()()22123456Y X X X X X X =+++++, 则 c =4．设161,,x x 是来自(8,4)N 的样本，则(16)(10)P x >= 161(0.84)- .5．设1,,n X X 为来自(,1)(0)U θθ>的一个样本，11,nini X X ==∑则未知参数θ的矩估计量是21X - . 6．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，()1211n i i i c X X -+=-∑为2σ的无偏估计，则常数c = 12(1)n - .7．已知某种材料的抗压强度2~(,),X N μσ现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得样本均值457.5,x =标准差35.217,s =则μ的95%的置信区间为 [432.31,482.69] .8．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，2211111,()n ni i n n i i X X S X X -====-∑∑，其中参数2,μσ未知，要检验假设00:H μμ=应用 t 检验法，检验的统计量是X 二、单项选择题（每小题2分，共8分）1. 设()n F x 是经验分布函数，基于来自总体X 的样本，而()F x 是总体X 的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的x ，()n F x （ A ）。

考研数学三概率论与数理统计（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(总分：86.00，做题时间：90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

</B>(总题数：10，分数：20.00)1.设随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立，S n =X 1 +X 2+…+X N，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时S N近似服从正态分布，只要X 1，X 2，…，X N（分数：2.00）A.有相同期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，…，X n独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在。

选项(A)不成立，因为X 1，X 2，…，X n有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．2.假设随机变量X 1，X 2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…B.X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…C.X 1，2X 2，…nX n,…√解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X 1，…，X n，…，还是X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…；X 1，2X 2，…，nX n，…以及X 1，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EX n =λ，DX2λ，．因此四个备选答案都n =λ，E(X n +n)=λ+n，D(X n +n)=λ，E(nX n )=nλ，D(nX n )=n满足第二个条件；第三个条件是方差DX 1，…，DX n，…有公共上界，即DX n＜c，c是与n无关的常数．对于(A)=DX n =λ＜λ+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =λ＜λ+1；对于(C)：D(nX n )=n 2 DX n =n 2λ没有公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．3.设随机变量序列X 1，…X n，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时学期望，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.服从同一连续型分布，一∞＜x＜+∞)．解析：解析：辛钦大数定律要求：{X n，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．4.设X n表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）√C.F α (4，3)．D.F 1-α (4，3)．解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1一α=P{X≤x}=P{X＜x}= 所以=F 1-α(4，3)，即因此选(A)．6.设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N(0，2 2 )的简单随机样本，记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4x2，其中a，b为常数．已知Y～χ2 (n)，则4 )（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X i～N(0，2 2 )且相互独立，所以X 1 -2X 2～N(0，20)，3X 3—4X 4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ2(2)；(2)当b=0，或a=0，时，Y～χ2 (1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．7.设X 1，X 2，…，X n是来自标准正态总体的简单随机样本，S 2为样本均值和样本方差，则（分数：2.00）服从自由度为n一1的χ2分布．D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布．√解析：解析：显然，(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X 1，X 2，…，X n相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．8.设随机变量X～t(n)(n＞1)，（分数：2.00）A.Y～χ2 (n)．B.Y～χ2 (n一1)．C.Y～F(n，1)．√D.Y～F(1，n)．解析：解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X 2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X 2～F(1，n)，则～F(n，1)．因此～F(n，1)，故应选(C)．9.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t α满足P{X≤t α }=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t 1-b．C.t b．√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}= 根据题设定义P{X≤t α }=1一α，可知应选(D)．10.假设总体X的方差DX存在，X 1，…，X n是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，则EX 2的矩估计量是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：按定义，EX 2的矩估计量是由于所以EX 2的矩估计量，选(D)．二、填空题(总题数：20，分数：40.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1。

数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知，则=________；3、设总体，若和均未知,为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________;4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平,已知关于检验的拒绝域为2≤,则相应的备择假设为________;5、设总体,已知，在显著性水平0.05下,检验假设，，拒绝域是________。

1、；2、0.01;3、；4、；5、.二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

（A）(B) (C）(D)2、设为取自总体的样本,为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（）。

（A）（B) （C）（D）3、设是来自总体的样本，存在, ，则( )。

(A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为,在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。

(A) （B)（C）（D)5、设总体，已知，未知,是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5。

69)，则取显著性水平时,检验假设的结果是（）。

（A）不能确定(B)接受(C）拒绝（D）条件不足无法检验1、B；2、D；3、C；4、A;5、B。

三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本,求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。

解：(1) ,令，得为参数的矩估计量。

（2)似然函数为：，而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为.四、(本题14分)设总体，且是样本观察值,样本方差，(1）求的置信水平为0.95的置信区间;(2）已知，求的置信水平为0。

95的置信区间；(，)。

解:（1)的置信水平为0。

95的置信区间为,即为(0。

真题考试：2020 概率论与数理统计（经管类）真题及答案(1)1、下列文章中，属于游记的一篇是（单选题）A. 《都江堰》B. 《香市》C. 《秋夜》D. 《蚂蚁大战》试题答案：A2、下列《湘夫人》诗句中，表示湘君遗憾之情的是（单选题）A. 桂栋兮兰榛，辛夷楣兮药房B. 捐余袂兮江中，遗余襟兮醴浦C. 白玉兮为镇，疏石兰兮为芳D. 合百草兮实庭，建芳馨兮庑门试题答案：B3、设X，Y为随机变量，E(X)=E(Y)=1，Cov(X，Y)=2，则E(2XY)= 【】（单选题）A. -6B. -2C. 2D. 6试题答案：D4、下列《吃饭》语句中，作者据以生发议论，进而抨击和嘲讽不合理社会现象的是（单选题）A. 吃饭有时很像结婚，名义上最主要的东西，其实往往是附属品B. 弄饭给我们吃的人，决不是我们真正的主人翁C. 整个人世间好比是做菜的厨房D. 可口好吃的菜还是值得赞美的试题答案：A5、以市场上最有利的价格进行交易的证券交易委托方式是( ）（单选题）A. 停止损失委托B. 停止损失限价委托C. 限价委托D. 市价委托试题答案：D6、设随机变量X与Y的相关系数为0.5，D(X)=9，D(Y)=4，则D(3X-Y)= 【】（单选题）A. 5B. 23C. 67D. 85试题答案：C7、下列作品中，使用倒叙方法的是（单选题）A. 《断魂枪》B. 《哦，香雪》C. 《金鲤鱼的百裥裙》D. 《苦恼》试题答案：C8、下列关于封闭式基金与开放式基金的说法正确的是（单选题）A. 封闭式基金有固定的存续期B. 开放式基金的规模是固定的C. 封闭式基金可以申请赎回D. 封闭式基金的交易价格与二级市场供求关系无关试题答案：A9、设随机事件A，B相互独立，且P(A)=0.2，P(B)=0.6，（单选题）A. 0.12B. 0.32C. 0.68D. 0.88试题答案：B10、狭义的黄金市场主要是指( ）（单选题）A. 黄金制品市场B. 黄金投资市场C. 黄金信贷市场D. 黄金期贷市场试题答案：B11、设随机变量X~ B（3,1/5）,则P{X=2}= （单选题）A. 1/125B. 12/125C. 3/25D. 12/25试题答案：B12、已知随机变量X~N(-2,2),则下列随机变量中,服从N(0,1) 分布的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：D13、有效市场假说理论的提出人是（单选题）A. 保罗·萨缪尔森B. 尤金·法玛C. 米尔顿·弗里德曼D. 约翰·纳什试题答案：B14、设事件A与B相互独立，且P(A)=0.6，P(A∪B)=0.8，则P(B)= （单选题）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6试题答案：C15、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为（单选题）A. 1/4B. 1/2C. 3D. 4试题答案：A16、黄金期贷合约的内容包括( ）（多选题）A. 黄金数量B. 黄金质量C. 交易单位D. 交割地点E. 交割日期试题答案：A,B,C,D,E17、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，Y)关于X的边缘分布函数Fx(x)= （单选题）A.B.C.D.试题答案：A18、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论正确的是（单选题）A. F(+∞)=-1B. F(+∞)=0C. F(-∞)=0D. F(-∞)=1试题答案：C19、《都江堰》发出了“活着或死了应该站在哪里”的疑问，下列语句中，符合作者意图的回答是 ( ) （单选题）A. 站在滔滔的江边，完成了一个“守”字的原始造型B. 长城摆出一副老资格等待人们的修缮C. 把一批批有所执持的学者遴选为无所专攻的官僚D. 离索桥东端不远的玉垒山麓，建有一座二王庙，祭祀李冰父子试题答案：A20、下列诗词句中，表现对爱人的思念之情的有 ( )（多选题）A. 唯将旧物表深情，钿合金钗寄将去B. 仙掌月明孤影过，长门灯暗数声来C. 问君能有几多愁，恰似一江春水向东流D. 梧桐半死清霜后，头白鸳鸯失伴飞E. 想佳人、妆楼颙望，误几回、天际识归舟试题答案：A,D,E21、（单选题）A.B.C.D.试题答案：A22、我国的存款性金融机构主要包括（单选题）A. 中央银行B. 商业银行C. 政策性银行D. 商业银行和信用合作社试题答案：D23、《冯谖客孟尝君》先写冯谖的“无好”、“无能”，后写其为孟尝君经营三窟，这样的表现方法是 ( ) （单选题）A. 以小见大B. 互相映衬C. 欲扬先抑D. 首尾呼应试题答案：C24、设X1,X2...X10是来自总体X的样本，且X ~ N(0,1)，（单选题）A.B.C.D.试题答案：B25、（单选题）A.B.C.D.试题答案：B26、设随机变量X在[-2,2]上服从均匀分布，则P{X≥1}= （单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B27、《长恨歌》中唐玄宗、杨贵妃七月七日密誓之所是 ( ) （单选题）A. 未央宫B. 昭阳殿C. 蓬莱宫D. 长生殿试题答案：D28、设随机变量x满足E(X2)=20, D(X)=4,则E(2X)= （单选题）A. 4B. 8C. 16D. 32试题答案：B29、下列《寡人之于国也》的语句中，用比喻进行论证的有（多选题）A. 以五十步笑百步B. 数罟不入湾池C. 斧斤以时入山林D. 百亩之田，勿夺其时E. 非我也，兵也试题答案：A,E30、《哦，香雪》：“可在这儿，和同桌的铅笔盒一比，为什么显得那样笨拙、陈旧?它在一阵哒哒声中有几分羞涩地畏缩在桌角上。

概率论与数理统计试卷 一、是非题（共7分，每题1分）1．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的. 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. 3．若随机变量X 与Y 独立，它们取1与1-的概率均为5.0，则Y X =. 4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布.5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计. 6．在给定的置信度α-1下，被估参数的置信区间不一定惟一. 7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. 二、选择题（15分，每题3分）（1）设A B ⊂，则下面正确的等式是 。

（ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-； （ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P =（2）离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是 。

（ａ）1)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ； （ｃ）11-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ.（3）设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D .（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10. （4）设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有 。

（ａ）)1,0(~N X ； （ｂ）)1,0(~N X n ；（ｃ）)1(~/-n t S X ； （ｄ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i .（5）设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 。

考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立，S n =X 1 +X 2+…+X 2n，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时S n近似服从正态分布，只要X 1，X 2，…，X n（分数：2.00）A.有相同期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，…，X n独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在．选项(A)不成立，因为X 1，X 2，…，X n有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．3.假设随机变量X 1，X 2，…相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…B.X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…C.X 1，2X 2，…，nX n，…√解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X 1，…，X 2，…，还是X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…，X 1，2X 2，…，nX n，…以及X 1，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EX n =λ，DX2λ，．因此四个备选答案都n =λ，E(X n +n)=λ+n，D(X n +n)=λ，E(nX n )=nλ，D(nX n )=n满足第二个条件；第三个条件是方差DX 1，…，DX n，…有公共上界，即DX n＜c，c是与n无关的常数．对于(A)：DX n =λ＜λ+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =λ＜λ+1；对于(C)：D(nX n )=n 2 DX n =n 2λ没有公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．4.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时数学期望，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.解析：解析：辛钦大数定律要求：{X n，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．5.设X n表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：由于，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有(C)．6.设随机变量序列X 1，X 2，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时敛于其数学期望，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.有相同的期望．B.有相同的方差．C.有相同的分布．D.服从同参数p的0．1分布．√解析：解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X 1，X 2，…，X n，…相互独立的条件之外，还要求X 1，X 2，…，X n，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D).7.设随机变量X 1，…，X 2，…相互独立，记Y n =X 2n-X 2n-1(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时依概率收敛到零，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.数学期望存在．B.有相同的数学期望与方差．√C.服从同一离散型分布．D.服从同一连续型分布．解析：解析：由于X n相互独立，所以Y n相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．事实上，若EX N =μ，DX N =σ2存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意ε＞0有8.设X 1，X 2，…，X n，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以Ф(x)为极限的是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：由于X 1，X 2，…，X n，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且Ф(x)为极限，故应选(C)．9.设随机变量序列X 1，X 2，…，X n，…相互独立，EX i =μ，DX i =2，i=1，2，…，令n ＜p}，则（分数：2.00）A.{X n：n=1，2，…}满足辛钦大数定律．B.{X n：n=1，2，…}满足切比雪夫大数定律．√C.p可以用列维一林德伯格定理近似计算．D.p可以用拉普拉斯定理近似计算．解析：解析：由于X 1，X 2，…相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，…，DY i =2＜l(l ＞2)，因此{X n：n=1，2，…}满足切比雪夫大数定律，应选(B)．10.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1-α，则（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：由P{X≤x}=1-α可知，P{X＞x}=α，即x=F α (3，4)．又由F 1-α (n 1，n 2．故选(A)．二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：7／2）解析：解析：设X 1，X 2，…，X n是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX=21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．12.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2 )，记Y n =X 2n -X 2n-1，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2σ2．）解析：解析：由于{X n，n≥1}相互独立，故Y n =X 2n -X 2n-1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2 )，所以=DY n +(EY n ) 2 =2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于2σ2．13.随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X 1，X 2，…，X n，对任何ε＞0，a= 1，b= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）填空项1:__________________ （正确答案：11）解析：解析：依题意X 1，…，X n相：互独立且有相同的概率分布：P{X i =k}= (k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EX i = (1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，依概率收敛于3，即a=3．同理，依概率收敛于11，即b=11．14.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，则结果用标准正态分布函数Ф(x)表示)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于X n相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，所以EX n =0，DX n = ，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有15.设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0.84）解析：解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32≈Ф(3)-Ф(-1)=Ф(3)-[1-Ф(1)]=0．9987-(1-0．8413)=0．84，其中Ф(u)是标准正态分布函数．16.设X 1，X 2，…，X 100是独立同服从参数为4的泊松分布的随机变量，是其算术平均值，则≤4．392}≈ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0.975）解析：解析：由于EX k =DX k =4，．因为n=100充分大，故由列维一林德伯格定理知，近似地服从正态分布N(4，0．2 2 )．因此，有17.设随机变量X 1，X 2，…，X n，Y 1，Y 2，…，Y n相互独立，且X i服从参数为λ的泊松分布，Y i服从参数为的指数分布，i=1，2，…，n，则当n充分大时，近似服从 1分布，其分布参数为 2与 3．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：正态，2nλ，n(λ+λ2 )）解析：解析：X 1 +Y 1，X 2 +Y 2，…，X n +Y n相互独立同分布．因EX i =DX i =λ，EY i =λ，DY i =λ2，当n充分大时，近似服从正态分布，其分布参数2，故E(Xi +Y i )=2λ，D(X i +Y i )=λ+λ18.设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X 1，X 2，…，X n的联合概率密度f(x 1，x 2，…，x n )= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：总体X的概率密度由于X 1，X 2，…，X n相互独立，且与总体X服从同一指数分布，因此19.设总体X-P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X 1，X 2，…，X n的样本均值1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由泊松分布的可加性可知，当X 1，X 2独立时，X 1 +X 2～P(2λ)，继而有X 1，X 2，…，X n独立同为P(λ)分布时，的概率分布为20.设(2，1，5，2，1，3，1)是来自总体X的简单随机样本值，则总体X的经验分布函数F n (x)= 1. （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将各观测值按从小到大的顺序排列，得1，1，1，2，2，3，521.已知χ2～χ2 (n)，则E(χ2 )= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由χ2分布的典型模式，而X i～N(0，1)，且X i相互独立，由于=D(X i)+[E(X2 =1+0=1，所以i )]三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

概率论与数理统计模拟试卷一一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( ) )(x f )(x F 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第次才取n 得 次成功的概率为)1(n r r ≤≤ .(a) ； (b) ； r n r r n p p C −−−−)1(11r n rr n p p C −−)1((c) ； (d) . 1111)1(+−−−−−r n r r n p pC r n r p p −−)1(2. 离散型随机变量X 的分布函数为，则)(x F ==)(k x X P . (ａ) ； (ｂ) )(1k k x X x P ≤≤−)()(11−+−k k x F x F ； (ｃ) ； (ｄ) )(11+−<<k k x X x P )()(1−−k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差),(Y X ,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=−)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6 5. 设为总体的一个样本，),,,(21n X X X ")2,1(2N X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) )(~/21n t nX −； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=−；(ｃ) )1,0(~/21N nX −； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=−.二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数)(x f X e Y 3=为=)(y f Y3. 设X 为总体中抽取的样本()的均值, 则)4,3(~N X 4321,,,X X X X )51(<<−X P ＝ .4. 设二维随机变量的联合密度函数为),(Y X ⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f 则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设,则随机变量)(~m t X 2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取),(~2σμN X 16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设X 的分布律为XP 2θ)1(2θθ−2)1(θ−已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数.)(z f Z 3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体，为总体),(~2σμN X ),,,(21n X X X "X 的一个样本.求常数 k , 使∑=−ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X （单位：kg）. 已知8=σ kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取)048.0,(2μN 5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机Z Y X ,,),1(p B变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表2χ6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ711.0)4(295.0=χ7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ145.1)5(295.0=χ7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ； 4. 当时10<<x ⎩⎨⎧<<−=他其0)2/(1)(xy x x x y f XY；5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 . ),1(m F 四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=×+×=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2. (1分) ⎩⎨⎧>=−其他0)(x e x f x X λλ⎩⎨⎧>=−其他)(y e y f y Y μμ0≤z 时，，从而 0)(=z F Z 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ∫∞+−∞−=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ−−−−−−−==∫(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 为第i 周的销售量, i X 52,,2,1"=i (1分)i X )1(~P 则一年的销售量为 ，∑==521i iXY 52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛<−<−=<<Y P Y P (4分) 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=−+=−Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X −−−+−−=−"")1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i −=−=−)1(1,0~2分⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−σn n N X X i dze nn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ−−∞+∞−∫−=−dz e nn znn z 221201212σσπ−−∞+∫−=)3(122分σπnn −=σπnn kn122−=σ令=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||）分（2)1(2−=n n k π5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ−=，拒绝域为 96.1)1(025.02==−≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==−=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg . 0H [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==−=U , 落在拒绝域外，故接受原假设，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)0H (2) 要检验的假设为 (1分) 221220048.0:,048.0:≠=σσH H []22122079.0:,79.0:≠=σσH H 检验用的统计量 )1(~)(2202512−−=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为 或488.9)4()1(205.022==−>χχχαn711.0)4()1(295.0212==−<−χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，[,落在拒绝域内，]711.0086.06241.0/0538.020<==χ 故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 0H 五、证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP (2分)2q pq 22p )0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；；)0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P；)0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P . )1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P 所以 Y X +与Z 相互独立. (5分)。

模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。

9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ； 3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

西南科技大学?概率论与数理统计?试题（时间120分钟）年级院系专业姓名学号座位号一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、设 A，B，C 为三事件且 P(A)=P(B)=P(C)=14 , P( AB) =P(BC) = 0, P( AC) =1,6则A,B,C 中至少有一个发生的概率为。

解: ABC ⊂AB ⇒P( ABC) ≤P( AB) = 0 ⇒P( ABC) = 0 故所求概率为 P( A +B +C)=P( A) +P(B) +P(C) -P( AB) -P(BC) -P( AC) +P( ABC) =3-1=7。

2、设随机变量 X 的分布律为P{X =k} =ck (k +1)4 6 12(k = 1, 2,…) ，则常数c= 。

∞ c n 1 1 1解: 由归一性有1 =∑=c lim ∑( - ) =c lim(1- ) =c 。

k =1k (k +1) n→∞k =1k k +1 n→∞n3、设随机变量 X 与 Y 的相互独立，且X ~ N (-1, 22 ) ，Y ~ N (-2, 22 ) ，则Z =2 X -3Y 服从分布。

解: E(Z ) =2E( X ) -3E(Y ) =2 ⨯ (-1) -3 ⨯ (-2) =4D(Z ) =4D( X ) +9D(Y ) =4 ⨯4 +9 ⨯4 =52∴Z = 2 X - 3Y ~ N (4, 52) 。

4、设X ~ π(λ) ，且P{x = 1} =P{x = 2}，则E(5X - 3) = 。

解:∵ P{X =k} =ke-λk !, k = 0,1, 2,…, λ> 0则由 P{x = 1} =P{x = 2} ⇒λ=1λ2 ⇒λ= 2 ⇒E( X ) =λ= 22 ∴E(5X - 3) = 5E( X ) -3 = 7 。

λ5、若( X,Y ) 的分布律(下表)已知，则F (1, 2) 。

1 3 12 n解: F (1, 2) = P {X ≤ 1,Y ≤ 2} = P {X = 1,Y = 1} + P {X = 1,Y = 2} = 1 + 1 = 1。

概率论与数理统计第一章试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 设随机试验E为抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况，则样本空间Ω = （）A. {H}B. {T}C. {H,T}D. {H,T,0}2. 设A,B,C为三个事件，则“A,B,C至少有一个发生”可表示为（）A. A∪ B∪ CB. A∩ B∩ CC. ¯A∪¯B∪¯CD. ¯A∩¯B∩¯C3. 设A,B为两个事件，若AB = varnothing，则称A与B（）A. 相互独立B. 互不相容C. 对立D. 构成完备事件组。

4. 对于任意两个事件A,B，有P(A - B)=（）A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(AB)C. P(A)+P(B)D. P(A)+P(B)-P(AB)5. 设事件A,B满足P(A) = 0.6，P(B) = 0.4，且A⊃ B，则P(A - B)=（）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 1.6. 设A,B为两个随机事件，且P(A)=(1)/(3)，P(B)=(1)/(2)，P(AB)=(1)/(6)，则P(AB)=（）A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. (1)/(6)D. (2)/(3)二、填空题（每题5分，共30分）1. 设样本空间Ω={1,2,3,·s,10}，事件A = {2,4,6,8,10}，则A的对立事件¯A=______。

2. 已知P(A)=(1)/(4)，P(B)=(1)/(3)，A,B相互独立，则P(A∪ B)=______。

3. 设A,B为两个事件，P(A) = 0.5，P(B) = 0.3，P(A∪ B)=0.6，则P(AB)=______。

4. 设事件A,B满足P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A∪ B)=0.6，则P(¯A¯B)=______。

5. 若A,B为两个事件，且P(A) = 0.7，P(A - B)=0.3，则P(AB)=______。

考研数学三（数理统计的基本概念与参数估计）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记S21＝(Xi－)2，S22＝(Xi－)2S23＝(Xi－μ)2，S24＝(Xi－μ)2则服从t(n－1)分布的随机变量是( )．A．t＝B．t＝C．t＝D．t＝正确答案：D解析：～N(0，1)，～X2(n－1)，～t(n－1)，即～t(n－1)，选D．知识模块：数理统计的基本概念2．设X～t(n)，则下列结论正确的是( )．A．X2～F(1，n)B．～F(1，n)C．X2～X2(n)D．X2～X2(n－1)正确答案：A解析：由X～t(n)，得X＝，其中U～N(0，1)，V～X2(n)，且U，V相互独立，于是X2＝～F(1，n)，选A．知识模块：数理统计的基本概念3．设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为总体x的简单随机样本，与S2分别为样本均值与样本方差，则( )．A．～F(1,n－1)B．～F(1,n－1)C．～F(1，n－1)D．～F(1,n－1)正确答案：A解析：由～N(0，1)得～X2(1)，～X2(n－1)且与相互独立，于是～F(1，n－1)，选A．知识模块：数理统计的基本概念4．从正态总体X～N(0，σ2)中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn则司作为参数σ2的无偏估计量的是( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：因为E(X2i)＝E(X2i)＝σ2，所以X2i为σ2的无偏估计量，选A．知识模块：参数估计填空题5．设总体X，Y相互独立且服从N(0，9)分布，(X1，…，X9)与(Y1，…，Y9)分别为来自总体X，Y的简单随机样本，则U＝～____________．正确答案：～t(9)解析：由X1＋X2＋…＋X9～N(0，81)，得(X1＋X2＋…＋X9)～N(0，1)．因为Y1，…，Y9相互独立且服从N(0，9)分布，所以(Y1／3)2＋(Y2／3)2＋…＋(Y9／3)2～X2(9)，即(Y21＋…＋Y29)～X2(9)．因此U＝～t(9)．知识模块：数理统计的基本概念6．设总体X～N(0，8)，Y～N(0，22)，且X1及(Y1，Y2)分别为来自上述两个总体的样本，则～____________．正确答案：～F(1，2)解析：X21～X2(1)，(Y21＋Y22)～X2(2)，～F(1，2)．知识模块：数理统计的基本概念7．设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体x的样本，S2＝(Xi－)2，则D(S2)＝____________．正确答案：解析：因为～X2(n－1)，所以D[]＝2(n－1)D(S2)＝2(n－1)D(S2)＝．知识模块：数理统计的基本概念8．设X～N(1，σ2)，Y～N(2，σ2)为两个相互独立的总体，X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn分别为来自两个总体的简单样本，S21＝(Xi－)2，S22＝(Yi－)2，则服从___________分布．正确答案：～F(m－1，n－1)解析：～X2(m－1)，～X2(n－1)，且～X2(m－1)与～X2(n－1)相互独立，则～F(m－1，n－1)．知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。