高三数学二轮复习高频考点专题：不等式(含答案)

高三数学第二轮复习专题3不等式专题3 不等式江苏省震泽中学 王利平一、填空题例1 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，2a ，其中a ∈R.定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B 中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________． 解析 A ×B ＝{a 2,2a ，a 2＋1,2a ＋1}．由题意，得2a ＋1＞a 2＋1，解得0＜a ＜2. 答案 (0,2)例2 ．设123log2,ln 2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系解析 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log3log 1e >>,所以a<b, c=125-=5,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.答案c a b <<例3 ．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：解 由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)， 即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________．解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0可化为k1x＋a ＋1x ＋b 1x ＋c＜0，所以有1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1， 即x ∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案 (－3，－1)∪(1,2) 例4 ．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于解析 由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=。

高三数学不等式试题答案及解析1.已知且，若恒成立，(1)求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）3；（2）或【解析】（1）且，若恒成立.即要求出的最大值.由柯西不等式可求得.（2）因为对任意的恒成立.所以等价于的最大值小于或等于.由（1）可得.所以等价于恒成立.通过讨论即求得x的范围.本小题的关键是关于恒成立的问题的正确理解.试题解析：（1），，（当且仅当，即时取等号）又∵恒成立，∴.故的最小值为3.（2）要使恒成立，须且只须.∴或或∴或.【考点】1.柯西不等式.2.绝对值不等式.2.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①>;②a c<b c;③logb (a-c)>loga(b-c).其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【答案】D【解析】由a>b>1可得0<<,又c<0,故>,①正确;结合幂函数y=x c的单调性可知,a>b>1时,若c<0则a c<b c;②正确;又a-c>b-c>1,故logb (a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③也正确,因此选D.3.若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】a>【解析】不等式可变形为a>=()x-()x,令()x=t,则t>0,且y=()x-()x=t-t2=-(t-)2+,因此当t=时,y取最大值,故实数a的取值范围是a>.4.已知x>0，y>0，若不等式恒成立，则实数m的最大值为() A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】m≤ (2x＋y)＝5＋2 ，＝9，所以m的最大值为9.5.已知平面区域， (是常数)，，记为事件，则使的常数有A．个B．个C．个D．个以上【答案】C【解析】平面区域表示的是图中边长为3的正方形内部及边界；正方形面积为9.事件表示在正方形内且在过定点的直线上方的平面区域；且该区域的面积为由图形可知：这样的直线存在两条；故选C6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略7.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意得：垂直，因此选A．【考点】线性规划8.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，故选A．【考点】比较大小．9.已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设．由得，即，故函数是定义在的单调递减函数．又因为，所以．【考点】构造函数利用函数的单调性比大小．10.设实数满足则的最大值为．【答案】4【解析】不等式组表示的平面区域如图三角形及其内部，且A（4，0）．目标函数可看作直线在y轴上的截距的-2倍，显然当截距越小时，z越大．易知，当直线过点A时，z最大，且最大值为4-2×0=4．【考点】线性规划求最值．11.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数x，使得，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）解绝对值不等式的思路是利用零点法去绝对值，根据零点对变量x进行分类，分别求不等式的解最后对几种情况的解集求并集；（Ⅱ）存在性问题常转化为最值问题，本题转化为．试题解析：（Ⅰ）①当时，，所以，②当时，，所以为，③当时，，所以，综合①②③不等式的解集为．（Ⅱ）即，由绝对值的几何意义，只需．【考点】•解绝对值不等式；‚存在性问题求参数．12.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．13.设，实数满足若的最大值是0，则实数=_______，的最小值是_______．【答案】，【解析】作出实数表示的平面区域如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即，解得；当目标函数经过点时取得最小值，所以．【考点】简单的线性规划问题．【技巧点睛】平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数中的不是直线在轴上的截距，把目标函数化可知是直线在轴上的截距，要根据的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．14.若对于一切实数，不等式恒成立，则的取值范围是_____．【答案】【解析】将不等式变形为，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，即，若，不等式显然成立，若，则须，即，综上所述，即的取值范围是；故填．【考点】1．不等式恒成立；2．函数的单调性．【易错点睛】本题考查“对号”函数的单调性和不等式恒成立问题，属于中档题；本题的易错点有两处：一是利用基本不等式求最值导致错误（因为利用基本不等式只能求的最小值，而不能求的最大值），二是易忽视对实数的讨论（忘记的情形），导致解题过程不严密．15.已知正数满足，则的最小值为_________．【答案】9【解析】，的最小值是9．【考点】基本不等式求最值．【易错点晴】本题主要考查基本不等式的应用，属中档题．利用基本不等式求最值时一定要牢牢把握住“一正、二定、三相等”这一基本原则，才能减少出错．本题最易用以下错误方法解答：（出错原因是同时成立时原式没有意义）．16.设变量满足约束条件，若目标函数的最大值为14，则值为（）A．1B．或C．D．【答案】C【解析】首先根据已知约束条件画出其所表示的平面区域，如下图所示，然后由目标函数的最大值为14，此时目标函数经过点，所以，所以，故应选．【考点】1、简单的线性规划问题．17.已知，满足约束条件，若的最大值为，则（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意作出满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，所以，解得，故选C．【考点】简单的线性规划问题．18.选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式可求得的最小值，从而可得m的取值范围．试题解析：（I）当x时， f（x）=2x+1-（x-4）=x+5>0，得x>-5，所以x成立．当时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3>0，得x>1，所以1<x<4成立．当时， f（x）=-x-5>0，得x<-5，所以x<-5成立．综上，原不等式的解集为．（II）f（x）+=|2x+1|+2|x-4|．当时等号成立，所以．【考点】绝对值不等式的解法．19.若满足不等式组，且的最大值为2，则实数的值为（）A．-2B．C．1D．【答案】D【解析】作出题设不等式组表示的可行域，只有如图情形都能有封闭的区域，作直线，当直线向上平移时，增大，由题意可知当过点时取最大值2，由得，所以，解得．故选D．【考点】含参数的简单线性规划问题．20.已知实数，满足，则目标函数的最大值为______．【答案】．【解析】作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，∴点的坐标为，∴，故填：．【考点】线性规划．21.选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）．；（Ⅱ）．【解析】含绝对值的函数，由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数形式，解不等式时，只要分段求解，最后合并即可；（Ⅱ）若存在使不等式恒成立，即小于等于的最大值，由绝对值的性质可有，从而只要解不等式即得．试题解析：（Ⅰ）当时，，等价于或或，解得或，不等式的解集为．（Ⅱ）由不等式性质可知，若存在实数，使得不等式成立，则，解得，实数的取值范围是．【考点】解含绝对值的不等式，不等式恒成立，绝对值的性质．22.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为,求参数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】含绝对值的函数与不等式工，可根据绝对值定义，令每个绝对值里式子为0，求得的值，这些的值把实数分成若干区间，在每个区间内去绝对值符号可得解，（1）在每个区间求得不等式的解后，要求并集；（2）求出函数的最小值就可得到结论．试题解析：（1）当时，，得到，当时，，得到，当时，，得到，综上，不等式解集为．（2）由题意知，对一切实数恒成立，当时，，当时，，当时，．综上，．故．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值．23.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】关于的不等式，即，且，在同一坐标系中，画出和函数的图象，当函数的图象则左支经过点时，求得，当函数的图象则右支和图象相切时，方程组有唯一的解，即有唯一的解，故，解得，所以实数的取值范围是，故选D．【考点】函数的图象与性质的应用．24.实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1B．﹣1C．D．2【答案】B【解析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选B．【考点】简单线性规划．25.设为坐标原点，，若点满足，则的最大值是．【答案】【解析】的可行域如图，，由图可知，当直线与圆相切与时，可以取到最大值，原点到直线的距离等于，所以，即，故答案为．【考点】线性规划和向量数量积的坐标运算．【方法点晴】本主要考查线性规划中已知可行域求目标函数的最值，属于容易题．本题关键是将目标函数转化成坐标：，利用数形结合的方法求出目标函数的最大值．在直角坐标系画可行域时注意“直线定界，点定域”的原则．26.运行如下图所示的程序框图，当输入时的输出结果为，若变量，满足，则目标函数的最大值为 .【答案】5【解析】由程序框图，得；将化为，作出表示的平面区域和目标函数基准直线，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象，得当直线过点时，取得最大值；故填5．【考点】1.程序框图；2.简单的线性规划．【方法点睛】本题考查程序框图的循环结构、简单的线性规划问题，属于基础题；处理简单的线性规划问题，一般是先画出不等式组表示的平面区域和目标函数基准直线，通过目标函数的几何意义找出最优解，要注意目标函数基准直线和可行域边界的倾斜程度，另外，还可以将可行域的顶点坐标代入目标函数求值，比较求出最值即可.27.已知x，y满足不等式组则函数z=2x+y取得最大值与最小值之和是（）A．3B．9C．12D．15【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可．解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=12，取到最小值时过点A，联立，解得，故z的最小值是：z=3，∴最大值与最小值之和是15，故选：D．【考点】简单线性规划．28.设实数满足不等式组，则的最大值为 .【答案】【解析】当，取最大值.【考点】线性规划.29.设中变量满足条件，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，由，得，令，则，由可行域可知当直线经过点时截距最小，即最小，解方程组，得，所以的最小值为，的最小值为．【考点】简单的线性规划．30.已知函数.（1）试求的值域；（2）设，若对，，恒有成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）这是含绝对值的函数，可以利用绝对值的性质求得最大值和最小值，也可利用绝对值的定义去绝对值符号后再求得最值，还可利用绝对值的几何意义得结论；（2）题意中不等式恒成立，实际上就是，由基本不等式性质知，即，列出不等式可解得的范围．试题解析：（1）∵∴，∴的值域为（2）∴，由题意知，∴【考点】含绝对值的函数的值域，不等式恒成立．31.【选修4-5，不等式选讲】设，（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；（Ⅱ）当时，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先解不等式，得到的不等式的解集和已知解集相同，对应系数相等，求出a的值；第二问，先将存在，使得不等式成立，转化为，再求m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）显然，当时，解集为，，无解；当时，解集为，令，，综上所述，.（Ⅱ）当时，令由此可知，在单调减，在单调增，在单调增，则当时，取到最小值，由题意知，，则实数的取值范围是【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.恒成立问题.32.已知实数x，y满足条件，则使不等式成立的点（x，y）的区域的面积为（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】因为实数满足条件，所以画出其表示的可行域，在直线上方部分即是的区域，如图所示，面积为，故选A.【考点】1、可行域的画法；2、二元一次不等式的几何意义.33.选修4-5：不等式选讲已知函数同时满足或.（1）求实数的值；（2）记函数的最小值为,若,求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用绝对值不等式的性质推证求解；（2）借助题设条件基本不等式进行求解.试题解析:（1）由,得,即,由,得,即,因为和同时成立, 所以.（2）,且当且仅当即时取等号, 所以,由得,所以,当且仅当,且,即时取等号. 所以的最小值为.【考点】不等式的相关知识及运用．34.选修4-5：不等式选讲已知函数。

【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案一、选择题1．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.2．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.5．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( )A ．10B ．4C．2 D．1【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.7．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C∠所对的边，函数32()1f x x bx x =+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意即2()320f x x bx '=+>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为32()1f x x bx x =+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 22a cb B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式213tan tan ββ≤=+当且仅当3tan 3β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增， 则αβ-的最大值为6π. 故选:B . 【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．7【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.11．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可． 【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0- 当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．12．已知实数,x y满足线性约束条件120xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1yx+的取值范围为（）A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，(1,3)A，3(1)410QAk--==-，过Q与直线0x y+=平行的直线斜率为－1，∴14PQk-<≤．故选：B．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1yx+表示动点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．13．已知ABCV外接圆的半径2R=，且223sin2AA=.则ABCV周长的取值范围为（）A．(23,4]B．(4,43]C．(43,423]+D．(423,63]+【答案】C【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案.【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以 2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）ABC．D ．172【答案】A【解析】【分析】 先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果.作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π 【答案】A【解析】【分析】 根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．16．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A 5B ．5 C ．3 D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，2222523(1)d -⎛⎫+==； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．232D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则264422223n n S t t a t t+=+-≥⋅=+当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112 【答案】B【解析】【详解】 解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥20．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】 解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.。

高中不等式试题及答案解析试题一：已知不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \)，其中 \( a < 0 \)，求 x 的取值范围。

答案解析：由于 \( a < 0 \)，二次函数 \( ax^2 + bx + c \) 的图像是一个开口向下的抛物线。

不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 表示函数值在 x 轴上方的区域。

要找到 x 的取值范围，我们需要找到抛物线的根，即解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)。

设 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，根据韦达定理，我们有：\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]由于 \( a < 0 \)，\( x_1 \) 和 \( x_2 \) 必定异号，这意味着\( x_1 x_2 < 0 \)。

因此，不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集是 \( x \in (x_1, x_2) \)。

试题二：若 \( x > 0 \)，求不等式 \( \frac{1}{x} + x \geq 2 \) 成立的条件。

答案解析：我们可以使用 AM-GM 不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来解决这个问题。

对于任意正数 \( a \) 和 \( b \)，有：\[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \]令 \( a = \frac{1}{x} \) 和 \( b = x \)，我们得到：\[ \frac{\frac{1}{x} + x}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{x} \cdot x} \]\[ \frac{1}{2x} + \frac{x}{2} \geq 1 \]两边乘以 2，得到：\[ \frac{1}{x} + x \geq 2 \]当且仅当 \( a = b \) 时，AM-GM 不等式取等号，即 \( \frac{1}{x} = x \)。

高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。

【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。

6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。

【最新】数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.2．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．3．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由20x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．4．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C．2 D．1【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知实数x ，y 满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2 B．4C ．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2d ==，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->- B ．|||a b b a < C ．ln ln a b b a -<- D ．|||a b b a ->【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1a b e b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812a b b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式213tan tan ββ≤=+当且仅当tan β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π. 故选:B . 【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.10．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】 【分析】把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】∵3613a b +=（36a b+）（a +2b ）＝13(366b aa b+++12) ≥13=9 等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等 所以36a b +的最小值为9． 故选：D ． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题12．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（ ）A ．157B ．913C ．17D ．313【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案. 【详解】画出可行域如图中阴影部分所示， 目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率. 直线330x y -+=与直线10x y +-=交于点13(,)22A -，由图可知，当可行域内的点为A 时，PA k 最小，故min 333211362z -==--. 故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.13．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2 B ．52C ．94D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．14．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】 若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min ym m x ->+即可， 142x y +=Q，1212x y∴+=， 则121221112121124422482y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24min yx +=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞， 故选D ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．15．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b > B ．336a b +>C ．133ab a b ++>D ．b a a b >【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =;因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.16．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】B【解析】【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由2x y xy +=得：211x y+=()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.17．已知正数x ，y 满足144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9B ．6C ．94D ．52 【答案】C【解析】【分析】先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足144x y +=，1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．19．已知,a b 都是正实数，则222a b a b a b +++的最大值是（ ）A ．23-B ．3-C ．1D ．43【答案】A【解析】【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n m a b --==，所以222222233a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n m m n =时取等号.所以222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c的最大值为（ ）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41- 【答案】D【解析】【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131c a b +=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3x f x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=， 所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--， 从而c 的最大值为3log 41-.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.。

高三数学不等式试题答案及解析1.已知变量满足：，则的最大值为（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，令，可知在点处取得最大值，所以的最大值为。

【考点】线性规划及指数函数的单调性。

2.若二元一次线性方程组无解，则实数的值是__________．【答案】-2【解析】二元一次线性方程组无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则解得．【考点】二元一次方程组．3.若实数，满足，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为，将三个点的坐标分别代入目标函数得，所以目标函数的取值范围为，故选A.【考点】线性规划.4.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲设对于任意实数，不等式≥恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将不等式≥恒成立，转化为，用零点分段法，将转化为分段函数，再每一段分别求最值；第二问，结合第一问的结论，将m的值代入，利用零点分段法将绝对值不等式转化成不等式组，分别求解．试题解析：（1）设，则有当时有最小值8当时有最小值8当时有最小值8综上有最小值8所以（2）当取最大值时原不等式等价于：等价于：或等价于：或所以原不等式的解集为【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题．5.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数．（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解不等式；第二问，先解不等式，再结合的解集为，从而得到a的值，再利用特殊值1将转化为，再利用基本不等式求函数的取值范围．试题解析：（1）当a=2时，不等式为，不等式的解集为；（2）即，解得，而解集是，，解得,所以所以．【考点】绝对值不等式的解法、基本不等式．6.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式，当时，；当时，；当时，；故取值范围为，故选C．【考点】1．简单的线性规划；2．向量的数量积．7.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．试题解析：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 3分不等式的解集是 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立． 10分【考点】含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．8.若是任意实数，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上是减函数，又，所以，故选D．【考点】不等式的性质．9.选修4-5：不等式选讲已知x，y为任意实数，有（1）若求的最小值；（2）求三个数中最大数的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用消元法可得关于x的二次三项式，从而用配方法可求得最小值．（2）利用绝对值不等式可求最大值的最小值．试题解析：（1）解：当时，最小值为（2）设，则所以即中最大数的最小值为【考点】配方法，绝对值不等式，最值．10.若实数，满足不等式组．则的最大值是（）A．10B．11C．13D．14【答案】D【解析】画出可行域如图：当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时纵截距最大同时也最大, 最大值为;当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域四边形但不包括边,当目标函数线经过点时纵截距最大同时也最大, 的最大值为．综上可得的最大值为14．【考点】简单的线性规划．11.已知函数，．（1）若，解不等式；（3）若，且对任意，方程在总存在两不相等的实数根，求的取值范围．【答案】（1）：，：；（2）．【解析】（1）根据的取值情况进行分类讨论，将表达式中的绝对值号去掉，再利用二次函数的单调性讨论即可求解；（2）利用二次函数的单调性首先课确定的大致范围，再利根据条件方程在总存在两不相等的实数根，建立关于的不等式组，从而求解．试题解析：（1）∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，若：令解得：∴不等式的解为：；若：令，解得：，，根据图象不等式的解为：，综上：：不等式的解为；：不等式的解为；（3），∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，∴或，∴在单调递增，∴，若：在单调递减，在单调递增，∴必须，即；若：在单调递增，在单调递减，，即；综上实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的综合题；2．分类讨论的数学思想．【方法点睛】解决二次函数综合题常见的解题策略有：1．尽可能画图，画图时要关注已知确定的东西，如零点，截距，对称轴，开口方向，判别式等；2．两个变元或以上，学会变换角度抓主元；3．数形结合，务必要保持数形刻画的等价性，不能丢失信息；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练等价转化和准确表述；4．恒成立问题可转化为最值问题．12.设函数．（1）若，解不等式；（2）如果，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当，圆不等式变为，可利用绝对值的集合意义求解，从而得到不等式的解集；（2）求当，，a的取值范围，可先对a进行分类讨论：，对后两种情形，只需求出的最小值，最后“，”的充要条件是，即可求得结果．试题解析：由题意得，（Ⅰ）当时，．由，得，（ⅰ）时，不等式化为，即．不等式组的解集为．（ⅱ）当时，不等式化为，不可能成立．不等式组的解集为．（ⅲ）当时，不等式化为，即．不等式组的解集为．综上得，的解集为．（Ⅱ）若，不满足题设条件．若的最小值为．若的最小值为．所以的充要条件是，从而的取值范围为．【考点】绝对值不等式的求解及其应用．13.变量满足约束条件，当目标函数取得最大值时，其最优解为．【答案】.【解析】作出可行域，画出目标函数的图象，由图知最优解为.【考点】线性规划.14.（1）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数），直线和曲线相交于两点，求线段的长．（2）选修4—5：不等式选讲已知正实数满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；曲线的参数方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理求线段的长．（2）利用基本不等式得，，再根据不等式的性质得，因为，得证.试题解析：（1）由直线的极坐标方程是，可得由直线的直角坐标方程是，化为参数方程为（为参数）；曲线（为参数）可化为．将直线的参数方程代入，得．设所对应的参数为，，，所以．（2）证明：因为正实数，所以．同理可证：．．，．当且仅当时，等号成立．【考点】1、极坐标方程；2、参数方程；3、直线与椭圆；4、基本不等式；5、不等式的性质.【方法点睛】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；再把曲线的参数方程化为直角坐标方程，然后把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理和弦长公式求出线段的长．把直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立能够简化解题过程；（2）利用基本不等式及不等式的性质进行证明.15.已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）A．3B．2C．-2D．-3【答案】B【解析】将化为，作出可行域（如图所示），当时，当直线向右下方平移时，直线在轴上的截距减少，当直线过原点时，（舍）；当时，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，若，即时，当直线过点时，，解得（舍），当，即时，则当直线过点时，，解得；故选B．【考点】1.简单的线性规划；2.数形结合思想．【易错点睛】本题主要考查简单的线性规划与数形结合思想的应用，属于中档题；处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率的符号，还要讨论斜率与边界直线斜率的大小关系.16.如果实数满足关系，则的最小值是．【答案】2【解析】满足不等式组的平面区域，如图所示，因表示定点到平面区域内的点的距离，由图易知其最小距离为点到直线的距离，即，所以的最小值为2．【考点】1、平面区域；2、点到直线的距离公式．【方法点睛】（1）平面区域的确定，已知，则，表示的区域为直线的右方（右下方或右上方），表示的区域为直线的左方（左下方或左上方）；（2）具有一定的几何意义，即几何意义为点到的距离的平方．17.（2014•河南模拟）已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．【答案】（1）原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）[﹣]．【解析】对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[，1]的关系．解：（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2，①当x≥时，原不等式可化为（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥，∴x≥；②当﹣1≤x＜时，原不等式可化为（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0，∴﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤，∴x＜﹣1．综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，从而原不等式可化为|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1，∴当x∈[，1]时，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立，∴，解得，故a的取值范围是[﹣]．【考点】绝对值不等式的解法．18.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】或．故B正确．【考点】一元二次不等式．19.直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，则+的最小值为（）A．3+2B．4+2C．6+4D．8【答案】C【解析】根据已知条件得到a+b=，将其代入+，结合基本不等式的性质计算即可．解：∵直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，∴圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的圆心（﹣2，1）在直线上，可得﹣2a﹣2b+1=0，即a+b=，因此2（+）（a+b）=2（3++）≥6+4，当且仅当：=时“=”成立，故选：C．【考点】直线与圆的位置关系．20.已知实数满足不等式组，则的最大值为________．【答案】9．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：由图可知，当直线经过点时，取得最大值为：．故答案应填：9．【考点】线性规划．21.已知.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】(Ⅰ)利用零点分段讨论法将绝对值符号去掉，得到分段函数，再求各段的值域即可；(Ⅱ)利用基本不等式和不等式恒成立进行求解．试题解析：（Ⅰ）∵，∴的最小值为5，∴.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：的最大值等于5.∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5.当时，，又∵对任意实数，都成立，∴.∴的取值范围为.【考点】1.零点分段讨论法；2.基本不等式．22.设函数,其中．（I）当时,解不等式；（II）若对于任意实数,恒有成立,求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】（I）采用零点分区间法求解；（II）先求出的最大值为,把问题转化为求解.试题解析：（Ⅰ）时,就是当时,,得,不成立；当时,,得,所以；当时,,即,恒成立,所以.综上可知,不等式的解集是.(Ⅱ) 因为,所以的最大值为.对于任意实数,恒有成立等价于.当时,,得；当时,,,不成立.综上,所求的取值范围是【考点】.绝对值不等式的解法；不等式恒成立问题23.已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 不等式的解集为;(2) .【解析】(1)分区间去掉绝对值符号，将函数表示成分段函数的形式，在每个区间上分别解不等式，最后再求并集即可；(2) 不等式对任意的恒成立，由（1）求出函数的最小值，解不等式即可.试题解析：（1）．当时，由，得，此时无解；当时，由，得，所以；当时，由，得，所以．综上，所求不等式的解集为．（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为不等式对任意的恒成立，即，解得，故的取值范围为．【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.函数与不等式.24.设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．以上均不正确【答案】A【解析】因为正实数，则，要使为三边的三角形存在，则，即恒成立，故，令，则，取，递减，所以时，；同理取，递增，可知时，，故实数的取值范围是，故选A．【考点】基本不等式的应用.方法点睛：本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到即得的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出的取值范围.25.已知函数（是常数）和是定义在上的函数，对任意的，存在使得，，且，则在集合上的最大值为（）A．B．C．4D．5【答案】D【解析】由题知，易知在上是减函数，在上是增函数，所以，又因为，所以，化简得，再由，可求得，所以，并且可判定在上是减函数，在上是增函数，由于，所以在集合上的最大值为，故选D.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、函数的最值.【思路点睛】本题是一个利用导数研究函数的单调性、最值方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先根据题意判断出的最值关系，再由条件求出函数在定义域上的最小值，进而判断出的最值情况，并据此求出的值，从而得到的解析式，进一步可求出的最大值，问题得以解决.26.已知直线经过点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线经过点，所以，故，当且仅当时，等号成立.【考点】基本不等式.27.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的表达式的解集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由绝对值的定义可分类讨论去绝对值，再分别解不等式即可；（2）由题意可得的值域为，要，需，解得实数的取值范围是或.试题解析：（1）由题意得：，则不等式等价于或，解得：或，∴不等式的解集.（2）∵，∴的值域为，∴的解集.要，需，即或，∴或，∴实数的取值范围是或.【考点】含绝对值不等式的解法.28.设函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式、存在性问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，解绝对值不等式，先得到与解集对应系数相等，解出的值；第二问，先整理，构造函数，画出函数图象，结合图象，得到，或，从而解出的取值范围.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，因为不等式的解集为，所以，解得．（2）由（1）得．∴，化简整理得：，令，的图象如图所示：要使不等式的解集非空，需，或，∴的取值范围是【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.存在性问题.29.若，若的最大值为3，则的值是___________.【答案】【解析】画出可行域如下图所示，为最优解，故.【考点】线性规划.30.选修4-5：不等式选讲若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】（1）利用基本不等式得，即，而，等号都是取得，（2）利用基本不等式得，即与矛盾，故不存在试题解析：解：（Ⅰ）由，得，且当时等号成立，故，且当时等号成立，∴的最小值为.（Ⅱ）由，得，又由（Ⅰ）知，二者矛盾，所以不存在，使得成立.【考点】基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.31.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .【答案】【解析】由题意得，作出不等式组表示平面区域，如图所示，可得平面区域为一个三角形，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为．【考点】简单的线性规划．32.已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（）A．10B．2C．8D．0【答案】C【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当过点时，取最大值8．【考点】简单的线性规划问题．33.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】因画出不等式组表示的区域如图, 的几何意义是区域内的动点与定点连线的斜率,借助图形不难看出区域内的点与定点连线的斜率最大,最大值为，所以的最大值为,应选A.【考点】线性规划的知识及运用．34.已知，使不等式成立．（1）求满足条件的实数的集合；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用分类讨论的方法分段求解；（2）借助题设条件及基本不等式求解.试题解析:（1）令，则，由于使不等式成立，有（2）由（1）知，，根据基本不等式，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式当且仅当时取等号，所以的最小值为6【考点】绝对值不等式、基本不等式及运用．35.设变量满足不等式组则目标函数的最小值是______.【答案】7【解析】不等式组对应的可行域如图，由图可知，，目标函数表示斜率为的一组平行线当目标函数经过图中点时取得最小值.故填：7.【考点】线性规划36.设x，y满足约束条件且的最大值为4，则实数的值为____________.【答案】-4【解析】作出可行域，令得 .结合图象可知目标函数在处取得最大值，代入可得.故本题答案应填.【考点】线性规划.37.已知函数，其中为常数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设实数，，满足，若函数的最小值为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由．再由或或解集为；（2）由当且仅当，即时取等号，，则．解法一：由题设．解法二：由题设，，即，．试题解析：（1）当时，由，得或，即或所以不等式的解集为（2）因为，当且仅当，即时取等号，则．由已知，，则解法一：由题设，则，，解法二：由题设，，据柯西不等式，有，即，所以【考点】1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.38.若满足约束条件,则的最大值为．【答案】【解析】作出可行域，如图内部（含边界），，，表示可行域内点与的连线的斜率，，因此最大值为．【考点】简单线性规划的非线性运用．39.已知变量满足约束条件，目标函数的最大值为10，则实数的值等于（）A．4B．C．2D．8【答案】A【解析】由不等式组可得可行域（如图），当直线经过点时，取得最大值，且由已知，解得.【考点】简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题.处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等.40.已知变量满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】1【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点C时取最大值1.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.41.设，则a， b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】，考察函数，该函数在上单调递减，，考察函数，该函数在上单调递增，，故选A．【考点】指数函数的单调性与幂函数的单调性．42.若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是:过定点与可行域内的点的直线的斜率，由图可知，当直线过点时，斜率取得最大值，此时的值分别为，所以．故选D．【考点】简单线性规划．43.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为即，，所以，故选A.【考点】指数函数、对数函数的性质.44.已知实数满足不等式组则的最大值是___________.【答案】6【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即.【考点】简单的线性规划问题.【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值，正确作出可行域是解答此类问题的前提条件.45.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）（-1,0）【解析】（1）（当且仅当时取等号）；（2）作出函数的图象，由图像可求出结果.试题解析：解：（1）（当且仅当时取等号）（2）函数的图象如图所示.当时，，依题意：，解得，∴的取值范围是（-1,0）.【考点】1.绝对值不等式；2.基本不等式.46.选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）分，，三种情况讨论，去掉绝对值符号，转化不等式求出解集，取并集即可；（II）移项可得，根据绝对值的几何意义，求出的最大值，即可求得实数的取值范围.试题解析：(I)①当时，，所以②当时，，所以为③当时，，所以综合①②③不等式的解集(II)即由绝对值的几何意义，只需【考点】绝对值不等式的解法和绝对值的几何意义.47.设，满足约束条件则的取值范围为．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为，在点处取得最大值为.【考点】线性规划.48.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处的最大值是，在最小值是，所以而，所以的最大值是，故选B.【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.49.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】（I）先根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组：，或，或，最后求三个不等式组解集的并集得原不等式的解集（II）先化简不等式为，再利用绝对值三角不等式求最值：，再转化解不等式得实数的取值范围.试题解析：不等式化为，则，或，或，……………………3分解得，所以不等式的解集为.……………………5分（2）不等式等价于，即，由绝对值三角不等式知.……………………8分若存在实数，使得不等式成立，则，解得，所以实数的取值范围是.……………………10分【考点】绝对值三角不等式，绝对值定义【名师】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.50.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；。

高中不等式练习题及答案高中不等式练习题及答案在高中数学学习中，不等式是一个重要的概念和工具。

不等式是数学中描述数值大小关系的一种方式，它可以帮助我们解决各种实际问题。

在学习不等式的过程中，练习题是必不可少的，下面我将为大家提供一些高中不等式练习题及其答案。

1. 练习题一：解不等式：2x - 5 < 3x + 2解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < 2 + 5化简得：-x < 7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > -72. 练习题二：解不等式：3(x - 2) > 2(x + 3)解答：先进行分配律的运算，得到：3x - 6 > 2x + 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：3x - 2x > 6 + 6化简得：x > 123. 练习题三：解不等式：4x + 5 > 3 - 2x解答：将变量移到一边，常数移到另一边，得到：4x + 2x > 3 - 5化简得：6x > -2由于系数为正数，所以不等号方向不需要翻转，得到：x > -1/34. 练习题四：解不等式：2x - 3 > 5x + 1解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 5x > 1 + 3化简得：-3x > 4由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x < -4/35. 练习题五：解不等式：2x + 1 < 3(x - 2)解答：先进行分配律的运算，得到：2x + 1 < 3x - 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < -6 - 1化简得：-x < -7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > 7通过以上的练习题，我们可以看到解不等式的基本步骤。

首先，将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边；然后，化简不等式；最后，根据系数的正负确定不等号的方向。

高三数学不等式试题答案及解析1.函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）[－6，2]（2）[－7，2]【解析】(1)∵x∈R，f(x)≥a恒成立，∴x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.∴当x∈R时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－6，2]．(2)f(x)＝＋3－.讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a的取值满足下列条件：或或即或或解得－7≤a≤2.∴当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－7，2]．2.仔细阅读下面问题的解法：设A＝[0，1]，若不等式21－x+a>0在A上有解，求实数a的取值范围.解：令f(x)＝21－x+a，因为f(x)>0在A上有解。

＝2+a>0a>-2学习以上问题的解法，解决下面的问题，已知：函数f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1).①求f(x)的反函数f-1(x)及反函数的定义域A；②设B＝，若A∩B≠,求实数a的取值范围.【答案】①， ; ②【解析】①由反函数和原函数的关系可以求得反函数，求反函数的定义域时需知反函数的定义域即是原函数的值域，这样能少走好多弯路；②先由对数函数的定义和分式分母不为0求出集合B 中满足的不等关系，再由集合的关系及运算可以知道所满足的不等式，解不等式即可，解不等式是本题的重点，熟练掌握各种不等式的解法是解答本题的关键.试题解析：①设，由反函数和原函数的关系可知,, 3分； 6分②根据集合B的形式和对数函数的性质※, 8分由得，※在区间上有解, 9分令,. 12分【考点】反函数及其定义域的求法，集合的关系和运算，解不等式.3.已知,.若同时满足条件:①或;② ,. 则的取值范围是________.【答案】【解析】根据,由于题目中第一个条件的限制,导致在是必须是,当时,,不能做到在时,,所以舍去,因此作为二次函数开口只能向下,故,且此时2个根为,为保证条件成立,只需,和大前提取交集结果为,又由于条件2的限制,可分析得出恒负,因此就需要在这个范围内有取得正数的可能,即应该比两个根中较小的来提大,当时,,解得交集为空,舍去.当时,两个根同为,也舍去,当时,,综上所述.【考点】不等式点评：主要是考查了不等式与方程根的问题的综合运用，属于中档题。

高中不等式试题及答案1. 若不等式\(2x-1 > 5\)成立，求\(x\)的取值范围。

答案：首先将不等式\(2x-1 > 5\)进行移项，得到\(2x > 6\)。

然后将不等式两边同时除以2，得到\(x > 3\)。

因此，\(x\)的取值范围是\(x > 3\)。

2. 已知\(a > 0\)，求不等式\(\frac{1}{a} < \frac{1}{2}\)的解集。

答案：将不等式\(\frac{1}{a} < \frac{1}{2}\)进行交叉相乘，得到\(2 < a\)。

因为已知\(a > 0\)，所以解集为\(a > 2\)。

3. 已知\(x\)和\(y\)满足\(x + y = 10\)，且\(y > 0\)，求\(x\)的取值范围。

答案：由\(x + y = 10\)可得\(x = 10 - y\)。

因为\(y > 0\)，所以\(10 - y > 0\)，即\(y < 10\)。

因此，\(x\)的取值范围是\(0 < x< 10\)。

4. 已知不等式\(3x - 2 > 7\)，求\(x\)的取值范围。

答案：将不等式\(3x - 2 > 7\)进行移项，得到\(3x > 9\)。

然后将不等式两边同时除以3，得到\(x > 3\)。

因此，\(x\)的取值范围是\(x > 3\)。

5. 已知\(a\)和\(b\)满足\(a + b = 12\)，且\(a > 0\)和\(b > 0\)，求\(a\)的取值范围。

答案：由\(a + b = 12\)可得\(b = 12 - a\)。

因为\(a > 0\)和\(b > 0\)，所以\(12 - a > 0\)，即\(a < 12\)。

同时，\(a > 0\)。

因此，\(a\)的取值范围是\(0 < a < 12\)。

【高中数学】《不等式》考试知识点一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】 【分析】由3log (2)1a b +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a bb a=，即2b a=时取等号，所以42a b+的最小值为163.故选：C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 3．在平面直角坐标系中，不等式组20{20x yx yy+-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（）A．42B．4 C．22D．2【答案】B【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部．可得，A（2，0），B（0，2），C（-2，0），显然三角形ABC的面积为．故选B．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．4．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙每天原料的可用总量A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】D【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,3212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤()2n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得22m n m n+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.6．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.7．已知实数x ，y 满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2 B．4C ．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2d ==，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式213tantanββ≤=+当且仅当tanβ=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tany x=在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π.故选:B.【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．变量,x y满足约束条件1{2314yx yx y≥--≥+≤，若使z ax y=+取得最大值的最优解不唯一，则实数a的取值集合是（）A．{3,0}-B．{3,1}-C．{0,1}D．{3,0,1}-【答案】B【解析】若0a=，结合图形可知不合题设，故排除答案A，C，D，应选答案B．10．以A为顶点的三棱锥A BCD-，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A为顶点，以面BCD为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x=，AC y=，AD z=，球半径为R，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.【详解】将以A为顶点的三棱锥A BCD-，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.11．已知,a b 都是正实数，则222a ba b a b+++的最大值是（ ） A ．223-B ．322-C ．221D ．43【答案】A 【解析】 【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b+++，转化为2222233a b n ma b a b m n +=--++，利用基本不等式求解. 【详解】设2,2m a b n a b =+=+，所以22,33m n n ma b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n mm n=时取等号.所以222a b a b a b +++的最大值是23-. 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A B C D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C AB ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.13．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A． B．(4, C．4+D．(4+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．15．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y mx y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14π B ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩„…„的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.17．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．169πB ．89π C ．1627πD ．827π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可． 【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．18．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3. 故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可． 【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0- 当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．20．已知x 、y 满足约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y =+，则实数z 的最小值为（ ）A ．22B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y +的最小值，进而可得出实数z 的最小值. 【详解】作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min2122x y⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。

完整版)高中数学不等式习题及详细答案第三章不等式一、选择题1.已知 $x\geq 2$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 的取值范围是（）。

A。

最大值为 5，最小值为 1B。

最大值为 5，最小值为 $\frac{11}{2}$C。

最大值为 1，最小值为 $\frac{11}{2}$D。

最大值为 1，最小值为 02.若 $x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$ 的最小值是（）。

A。

3B。

$\frac{7}{2}$C。

4D。

$\frac{9}{2}$3.设 $a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。

A。

$a+b+\frac{1}{ab}\geq 2\sqrt{2}$B。

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq 4$C。

$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b-\sqrt{2ab}$D。

$\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$4.已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，且$f(1)=3$，则不等式 $f(x)-f(-x)<0$ 的解集为（）。

A。

$(-1,+\infty)$B。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$C。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$D。

$(-1,1)$5.当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos^2 x+8\sin^2 x}{2\sin^2 x}$ 的最小值为（）。

A。

2B。

$\frac{2}{3}$C。

4D。

$\frac{3}{2}$6.若实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，则 $3a+3b$ 的最小值是（）。

A。

18B。

历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案体验高考体验高考1.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1， 所以，－12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2， 因此|a ＋b |<|1＋ab |.2.已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3， 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞).高考必会题型题型一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4| 得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4| 得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.变式训练1 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集.(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)解 由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为 {x |5≤x ≤6}.综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}. 题型二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2.算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立. 例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧. 变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.(2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立. 当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立. (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.例3 (2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立.又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立.故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 点评 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3.高考题型精练1.如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 解 设y ＝|x －3|－|x －4|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集， 则(|x －3|－|x －4|)min <a .由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集. 即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).2.设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值.解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )·(x ＋y )＝2＋y x ＋xy.∵2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·xy＝4， 当且仅当x ＝y 时等号成立. ∴[(1x ＋1y)(x ＋y )]min ＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].4.设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值.解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 5.已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. (1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2. ∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2，2). (2)证明 ∵a ，b ∈M ， 即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |<|4＋ab |.6.已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围.解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2] ≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2. 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2， ∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立.∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}. 7.设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).。

高三数学不等式试题答案及解析1.已知实数满足，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】即，由，，，所以，即，当且仅当时取等号，综上所述，的取值范围是.故答案选【考点】基本不等式.2.（本小题满分10分）（选修4—5，:不等式选讲）（Ⅰ）证明柯西不等式：；（Ⅱ）若且，用柯西不等式求+的最大值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用做差法，即可证明结果；（Ⅱ）由柯西不等式可得，又即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）证明：∴（Ⅱ）由柯西不等式可得∵∴∴【考点】1．不等式的性质；2．柯西不等式．3.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设实数，满足．（1）若，求的取值范围；（2）求最小值．【答案】（1）；（2）【解析】第一问根据题中的等量关系式，不等式可以化为，从而求得的取值范围是，第二问将代入上式，得到利用三角不等式求得其最小值为．试题解析：（1）由得，即，所以可化为，即，解得，所以的取值范围是（2）代入，当且仅当，时，等号成立（或）的最小值为【考点】解绝对值不等式，三角不等式求最值．4.设实数满足则的最大值为．【答案】4【解析】不等式组表示的平面区域如图三角形及其内部，且A（4，0）．目标函数可看作直线在y轴上的截距的-2倍，显然当截距越小时，z越大．易知，当直线过点A时，z最大，且最大值为4-2×0=4．【考点】线性规划求最值．5.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．试题解析：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 3分不等式的解集是 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立． 10分【考点】含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．6.下列结论：①函数有最大值；②函数有最大值10；③若，则．正确的序号是A．①B．①③C．②③D．①②③【答案】B【解析】对于①；对于②因为，所以；对于③因为，所以．故应选．【考点】1、基本不等式的应用．【方法点睛】本题主要考查了运用基本不等式求其最值，属中档题．其解题的一般方法有两大类：其一是针对和为定值，求其积的最大值问题，如选项①；其二是针对积为定值，和有最小值问题，如选项②、③．在运用基本不等式求最值的过程中，应注意其适用的条件：一正二定三相等，特别应注意等号成立的条件，并检验其是否能够取得到，尤其针对多次运算基本不等式时应验证等号是否能够同时取得．7.选修4-5：不等式选讲．设函数；（Ⅰ）当a=1时，解不等式．（Ⅱ）证明：．【答案】（Ⅰ）当a=1时，不等式的解集为；（Ⅱ）证明过程详见解析．【解析】（Ⅰ）解绝对值不等式的思路是运用零点分段法去绝对值，然后求解每一种情况的解集，最后对几种情况的解集求并集即可；（Ⅱ）求得，，然后利用绝对值不等式缩小为，最后运用均值不等式即可证明．试题解析：（Ⅰ）解：当a=1时，由，得，当时，得，解得，∴；当时，得2≥4不成立，∴不等式无解；当时，由，解得，∴．综上所述，当a=1时，不等式的解集为．（Ⅱ）证明：∵∴．【考点】①解绝对值不等式；②证明不等式．8.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若函数的图象恒在函数的图象的上方，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）运用分类讨论的思想方法，去绝对值，即可得到不等式组，即可得到所求解集；（2）由题意可得不等式恒成立，由绝对值不等式的性质，可得右边函数的最大值，进而得到的范围．试题解析：（1）不等式化为，所以不等式的解集为（2）由于函数的图象恒在函数的图象的上方即不等式恒成立令由，得所以实数的取值范围【考点】1．函数的性质及应用；2．绝对值不等式的解法及应用．9.设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．【考点】简单线性规划．10.已知函数，不等式的解集为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）问题转化为，从而得到且，基础即可；（Ⅱ）问题转化为恒成立，根据绝对值的意义解出的范围即可．试题解析：解：(1)∵，∴不等式，即，∴，而不等式的解集为，∴且，解得：；(2)关于的不等式恒成立关于的不等式恒成立恒成立恒成立，由或，解得：或．【考点】1.绝对值不等式的解法；2.分段函数的应用．11.设满足则（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的平面区域，利用线性规划知识可得，在处，无最大值．【考点】线性规划．12.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为______.【答案】【解析】画出变量满足的约束条件所表示的可行域，如图所示，可求得可行域内点，则目标函数经过点是取得最小值，此时最小值为．【考点】线性规划求最值．13.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）通过讨论的取值范围，即可求出每个不等式的解集，取并集即可；（2）不等式等价于，转化为绝对值三角不等式求解出函数的最小值，列出关于的不等式组，即可求解的取值范围.试题解析：（1）原不等式等价于：解得，不等式的解集为.(2)不等式因为，所以的最小值为4.于是，所以【考点】绝对值不等式的求解；函数的恒成立问题.14.设对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为________．【答案】【解析】当时，直线单调递增且过定点，而抛物线的开口向上，不等式在不恒成立,故,此时,否则不合题设,所以欲使不等式在恒成立（当且仅当,即时才能满足）,注意到是整数,所以当或时，成立，故或,答案应填：．【考点】1、一次函数、二次函数的图象和性质；2、不等式恒成立的转化与化归；3、分类整合的思想、推理证明的思想和意识．【易错点晴】本题借助不等式恒成立考查的是分类整合的数学思想和函数的图象与性质，属于较难的问题．解题时一定要充分借助一次函数、二次函数的图象，并对参数进行合理的分类，从而将问题进行分析和转化．解题过程中还运用了题设中为整数这一条件，并以此为基点建立关于的等式求出了参数的值．解本题的关键是如何理解题设中“对任意不等式恒成立”，并能建立与此等价的关于的等式．15.若变量满足约束条件，则的最小值是（）A．3B．1C．-3D．不存在【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由，解得，即,代入目标函数，得，即目标函数的最小值为，故选B．【考点】简单的线性规划．16.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分，及三段讨论去掉绝对值符号，分别求出的解，求并集即得不等式的解集；（2）若恒成立，则求出函数的最小值解得关于的一元二次不等式从而求得实数的取值范围.试题解析：（1）当当当，综上所述（2）易得，若恒成立，则只需综上所述.【考点】绝对值不等式、一元二次不等式的解法及分区间讨论、转化的数学思想.17.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分，及三段讨论去掉绝对值符号，分别求出的解，求并集即得不等式的解集；（2）若恒成立，则求出函数的最小值解得关于的一元二次不等式从而求得实数的取值范围.试题解析：（1）当当当，综上所述（2）易得，若恒成立，则只需综上所述.【考点】绝对值不等式、一元二次不等式的解法及分区间讨论、转化的数学思想.18.设均为正数，且，则的最小值为（）A．16B．15C．10D．9【答案】D【解析】因为均为正数，且，所以，整理可得：，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选D.【考点】基本不等式.【方法点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.本题解答的关键是根据条件中整理得到，根据基本不等式，把上述关系转化为关于的一元二次不等式，通过解不等式得到的范围，再利用不等式的性质变形得到的范围，得其最小值.19.选修4-5：不等式选讲已知为非零实数，且，.（1）求证：；（2）求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据柯西不等式可证得，整理即得所证的不等式；（2）根据（1）的结论可得，解不等式求得或，再根据已知条件和不等式的性质可得，取交集即得实数的取值范围.试题解析：（1）证明：由柯西不等式得，即，所以.（2）解：由已知得：，.所以，即，解得或.又，，所以，即实数的取值范围是.【考点】不等式的证明与解法.20.设函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，由；原不等式等价于或或，即可解除不等式的解；（2）当时,即，所以，所以，即可证明结果.试题解析：解：（1）当时，，由原不等式等价于或或则不等式的解集为（2）当时,即，所以，所以，即.【考点】1.绝对值不等式；2.不等式证明.21.已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则m的值是（）A．B．1C．2D． 5【答案】B.【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线：，，则可知当，时，，故选B．【考点】本题主要考查线性规划．22.已知函数．（I）解关于的不等式；（II）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）或；（II）或.【解析】（I）化简可得，根据绝对值不等式解的基本模型可得或，由不等式的性质即可求得的范围；（II）要使不等式恒成立，则，按照，分别讨论得到，构造关于的不等式，即可求得实数的取值范围．试题解析：（I），或（II）当时，作出图象可知的最小值为，则此时；当时，，作出图象可知的最小值为，则此时综上：或【考点】绝对值不等式的解法与分段和函数的最值和恒成立问题.23.选修4-5: 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数中的绝对值符号，求解不等式；（2）画出函数函数的图象，根据图象求得函数的最小值．试题解析：（1）①由解得；②解得；③解得；综上可知不等式的解集为（2）可知则【考点】绝对值的代数意义；分类讨论思想．24.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .【答案】【解析】由题意得，作出不等式组表示平面区域，如图所示，可得平面区域为一个三角形，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为．【考点】简单的线性规划．25.已知实数满足，且最大值是最小值的倍，则．【答案】【解析】由数形结合得，直线经过点时，有最小值，经过点时，有最大值，所以.【考点】线性规划.26.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(Ⅰ)将曲线和直线化为直角坐标方程；(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．【解析】(Ⅰ)利用同角三角基本关系关系消参可得的直角坐标方程；利用两角和的正弦公式和极坐标与直角坐标的转化公式可得的直角坐标方程；(Ⅱ)用参数法设出点的坐标，代入点到直线的距离公式，可得距离的最大值．试题解析：(Ⅰ)解：由得，∴曲线的直角坐标方程为.由，得化简得，，∴∴直线的直角坐标方程为.(Ⅱ)解：由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为，点到直线的距离为当时，.∴点到直线的距离的最大值为.【考点】极坐标与普通方程的转化；参数方程与普通方程的转化；点到直线的距离．27.若变量满足约束条件，则的最大值是（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即，故选C．【考点】简单的线性规划问题．28.选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集为。

【最新】数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ）A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】【分析】2()sin (2)sin 2m f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m =-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.2．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ， 由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．3．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y=-+，即322z yx=+，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1x y=-=时，32z x y=-+的最大值为5，故5n=.52xx⎛-⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rrr rr r rrT C x C xx---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅⎪⎝⎭，取2r=得到2x项的系数为：()225252180C-⋅⋅-=.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 4．若,x y满足约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A．116B．18C．1 D．2【答案】A【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ， 因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．5．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n +的最小值为（ ） A ．3B ．1C ．2D ．32 【答案】D【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n+的最小值. 【详解】 画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32.故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.6．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】 根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，由211x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0） ∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A ．ln ln a b b a ->-B ．|||a b b a <C ．ln ln a b b a -<-D ．|||a b b a ->【答案】C【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案.【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=， 1a b e b a e ==-，可排除A 、D 项； 取11,49a b ==711812a b b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的. 故选：C .【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A【解析】【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】 画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.9．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ）A ．{3,0}-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．10．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩剟„，则x y y +的取值范围是( ) A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】【分析】作出不等式121x y x +⎧⎨-⎩剟„表示的平面区域，整理得：x y y +1x y =+，利用y x 表示点(),x y与原点的连线斜率，即可求得113x y -<-„，问题得解． 【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：x y y +1x y =+ 易知y k x=表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，y k x =取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1，故31k -≤<-，则113x y -<-„， 故203x y y +<„. 故选B【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．11．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b +的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．9 【答案】D【解析】【分析】 把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】 ∵3613a b +=（36a b+）（a +2b ）＝13(366b a a b +++12) ≥13=9 等号成立的条件为66b a a b =，即a=b=1时取等 所以36a b+的最小值为9． 故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题12．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( )A ．14πB ．12π C ．π D ．32π 【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩„…„的可行域如图： 可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性.【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．14．在ABC ∆中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC ∆的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】【分析】 由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案.【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭ 所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ 所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ 所以03C π-=，即3C π=，又a b =， 所以ABC ∆是等边三角形，故选D 项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.15．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．3BC ．3D ．【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B B B C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且仅当tan B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.16．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ）A ．log 3log 3a b >B ．336a b +>C ．133ab a b ++>D ．b a a b > 【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立.【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.17．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．18．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【答案】D【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．已知,a b 都是正实数，则222a b a b a b +++的最大值是（ ）A ．23-B ．3-C ．1D ．43【答案】A【解析】【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n m a b --==，所以222222233a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n m m n =时取等号.所以222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,)+∞B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5， 因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤，故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式高频考点知识梳理单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√x⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞).故选：A.3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C ．4、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C.5、若正实数a,b ，满足a +b =1，则b3a +3b 的最小值为（ ） A ．2B ．2√6C ．5D ．4√3 答案：C分析：化简b3a +3b =b3a +3a+3b b=b 3a +3a b+3，然后利用基本不等式求解即可根据题意，若正实数a,b ，满足a +b =1，则b 3a+3b=b 3a+3a+3b b=b 3a+3a b+3≥2√b 3a⋅3a b+3=5，当且仅当b =3a =34时等号成立， 即b3a +3b 的最小值为5； 故选：C小提示：此题考查基本不等式的应用，属于基础题6、已知关于x 的不等式(2a +3m )x 2−(b −3m )x −1>0(a >0,b >0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（ ）A ．2a +b =1B ．ab 的最大值为18C ．1a +2b 的最小值为4D ．1a +1b 的最小值为3+2√2 答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．7、不等式x−1x+2<0的解集为（）A．{x|x>1}B．{x|x<−2}C．{x|−2<x<1}D．{x|x>1或x<−2}答案：C解析：由x−1x+2<0等价于(x−1)(x+2)<0，进而可求出不等式的解集.由题意，x−1x+2<0等价于(x−1)(x+2)<0，解得−2<x<1，所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x<1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.8、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D9、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a <b ⇒ac <bc ，C 选项错误；对于D 选项，因为a <b ⇒b −a >0，c >0，所以无法判断b −a 与c 大小，D 选项错误. 10、若x <0，则x +14x−2有（ ）A ．最小值−1B ．最小值−3C ．最大值−1D ．最大值−3 答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x <0，所以x +14x−2=−(−x +1−4x)−2≤−2√−x ⋅1−4x −2=−3，当且仅当−x =1−4x ，即x =−12时等号成立，故x +14x−2有最大值−3．故选：D. 填空题 11、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞)分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞) 12、当x >1时，求2x +8x−1的最小值为___________.答案：10分析：化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.当x >1时，2x +8x−1 =2(x −1)+8x−1+2 ≥2√2(x −1)⋅8x−1+2 =8+2=10， 当且仅当{x >12(x −1)=8x−1,即x =3时等号成立.∴2x +8x−1的最小值为10.所以答案是：10.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13、设x >0, y >0, x +2y =5，则√xy的最小值为______.答案：4√3分析：把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．∵(x +1)(2y +1)√xy=2xy +x +2y +1√xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴√xy≥√3√xy √xy=4√3，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立， 故所求的最小值为4√3．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．14、已知a 为常数，若关于x 的不等式2x 2−6x +a <0的解集为(m,2)，则m =______． 答案：1分析：根据给定条件可得m ，2是方程2x 2−6x +a =0的两个根，借助韦达定理计算作答. 因关于x 的不等式2x 2−6x +a <0的解集为(m,2)，则m ，2是方程2x 2−6x +a =0的两个根， 因此有{m +2=32m =a 2，解得m =1,a =4，所以m=1.所以答案是：115、已知实数x≥y>0,z>0，则2x+3y+4z2x+y +2xy+2z的最小值为_________．答案：4√33+1分析：依题意可得2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)，利用基本不等式及x与y的关系计算可得；解：因为x≥y>0,z>0，所以2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=2x+y+2(y+2z)2x+y+2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)≥1+2×2√y+2z2x+y⋅xy+2z=1+4√x2x+y=1+4√12+yx因为x≥y>0，所以yx≤1，所以原式≥1+4√12+1=1+43√3，当且仅当x=y=(√3+1)z时取等号．所以答案是：4√33+1解答题16、已知不等式ax2−3x+b>4的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2−(ac+2)x+2c<0.答案：(1)a=1，b=6(2)答案见解析分析：（1）依题意可得x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为(x−c)(x−2)<0，再对参数c分类讨论，即可得解；（1）解：因为不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，所以x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，根据韦达定理{3a=1+2b−4 a =1×2，解得a=1，b=6（2）解：由（1）可知不等式化为x2−(c+2)x+2c<0，即(x−c)(x−2)<0当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}，当c=2时，不等式的解集为∅，当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}17、请回答下列问题：(1)若关于x的不等式x2−3x+2a2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b}，求a，b的值.(2)求关于x的不等式ax2−3x+2>5−ax(a∈R)的解集.答案：(1)b=2、a=±1(2)答案见解析分析：（1）由题意可得1和b为方程x2−3x+2a2=0的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）不等式为ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0，讨论a=0，a>0，a=−3，a<−3，−3< a<0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．（1）解：因为关于x的不等式x2−3x+2a2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b}，所以1和b为方程x2−3x+2a2=0的两根，所以{1+b=31×b=2a2，解得{b=2a=±1；（2）解：不等式ax2−3x+2>5−ax(a∈R)，即ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0，当a=0时，原不等式解集为{x|x<−1}；当a≠0时，方程(ax−3)(x+1)=0的根为x1=3a，x2=−1，∴①当a>0时，3a >−1，∴原不等式的解集为{x|x>3a或x<−1}；②当−3<a<0时，3a <−1，∴原不等式的解集为{x|3a<x<−1}；③当a =−3时，3a =−1，∴原不等式的解集为∅；④当a <−3时，3a>−1，∴原不等式的解集为{x|−1<x <3a}．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cosA =12，可求得角A 的值； （2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵ 2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴ 2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴ cosA =12,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵ bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴ sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴ 2b ⋅√32⋅ba +2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒ a =√3，∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ，∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当b =c ，△ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max =3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.19、已知关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0，k ≠0 （1）若k =18，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．答案：（1）(−32,1)；（2）(−3,0)分析：（1）将k =18代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.（2）根据关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ．又因为k ≠0 ，利用判别式法求解. （1）将k =18代入不等式，可得14x 2+18x −38<0，即2x 2+x −3<0 所以−32和1是方程2x 2+x −3=0的两个实数根，所以不等式的解集为{x |−32 <x <1}即不等式的解集为(−32,1)．（2）因为关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ．因为k ≠0所以{2k <0,Δ=k 2+3k <0，解得−3<k <0， 故k 的取值范围为(−3,0)．。

新高考数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．3．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ）A ．()1f x x x=+B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()223f x x =+D ．()42xx f x e e=+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2222333f x x x x ==+++233x +，故()43f x ≥，C 错误； D. ()422422xx f x e e =+-≥=，当4xxe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）A．[； B．(,-∞ C．)+∞D．(,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322a d a =--， 当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立； 当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 BCD【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.【详解】作出不等式组260yx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立260x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得22xy=⎧⎨=⎩，由图知AB的最小值即为()4,3A、()2,2B两点间的距离，所以AB()()2242325-+-=故选：C．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．对于函数()f x，若12,x x满足()()()1212f x f x f x x+=+，则称12,x x为函数()f x的一对“线性对称点”．若实数a与b和+a b与c为函数()3xf x=的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）A．3log4B．3log41+C．43D．3log41-【答案】D【解析】【分析】根据已知有333b c a b ca++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b+的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”， 所以33323323a b a b a b a b ++=+=≥⋅， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.8．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为22， 所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥Q 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.13．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．14．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．15．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.16．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.17．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112 【答案】B【解析】【详解】 解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥18．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.19．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ） A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<< 【答案】C【解析】【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð.【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.。