高考数学大题经典习题

1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。

有条件9可知a>0,故1q。

311a。

故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。

〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。

一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )A ．B ．C ．D ．2．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ）A ．49B ．29C ．12D ．134．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．19B ．29C ．49D ．718 5．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．511．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ．534 B ．532 C ．532 D ．13212．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3213．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C ．3D ．2 14．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ） A ．12 B ．122± C ．1102± D ．3222± 15．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -二、填空题16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.17．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 18．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．19．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.20．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．21．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．22．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.23．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.24．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2x π的值介于1[0,]2的概率为 ． 25．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 三、解答题26．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈）27．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.28．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.29．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=（I ）求证：1//QB 平面11A ACC（Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.30．已知0,0a b >>.(1)211ab a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b +≥-．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．C4．C5．A6．B7．D8．B9．D10．A11．C12．B13．B14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主17．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为18．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线19．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n＝4故答案为4【点睛】本题考20．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小21．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基22．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径23．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图24．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率25．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f （b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．B解析：B【解析】【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键. 4．C解析：C【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算. 5．A【解析】【分析】通过(0)1f=，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．【详解】2||()x xf x e-=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．6．B解析：B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1iz=-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z满足21iiz=-，∴()()()2121111i iiz ii i i+===---+，∴复数z的共轭复数等于1i--，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】由已知α=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设α=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得2λμ=⎧⎨=⎩∴α=0m+2n,∴α在基底m, n下的坐标为(0,2).8．B解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．9．D解析：D【解析】【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于1a >，所以1x x a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．C解析：C【解析】试题分析：先求得M（2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM=532，故选C．考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．点评：简单题，应用公式计算．12．B解析：B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

以下是一些高考数学经典大题：1. 函数与导数：这部分主要考察学生对函数的理解和掌握，以及运用导数分析函数性质的能力。

题目通常会给出函数的解析式，然后要求学生对函数进行求值、求导、判断单调性、求极值等操作，或者解决一些实际问题。

2. 三角函数：这部分主要考察学生对三角函数的性质和公式的掌握，以及运用这些性质和公式解决一些实际问题的能力。

题目通常会给出三角函数的解析式，然后要求学生对函数进行化简、求值、求周期等操作，或者解决一些与三角函数相关的实际问题。

3. 数列：这部分主要考察学生对等差数列和等比数列的理解和掌握，以及运用这些数列解决一些实际问题的能力。

题目通常会给出数列的项或者递推公式，然后要求学生对数列进行求和、求通项、判断收敛性等操作，或者解决一些与数列相关的实际问题。

4. 解析几何：这部分主要考察学生对平面解析几何和立体解析几何的理解和掌握，以及运用这些知识解决一些实际问题的能力。

题目通常会给出一些几何图形的方程或者性质，然后要求学生对图形进行求解、判断形状、求交点等操作，或者解决一些与几何相关的实际问题。

5. 立体几何：这部分主要考察学生对立体几何的理解和掌握，以及运用这些知识解决一些实际问题的能力。

题目通常会给出一些立体图形的性质或者关系，然后要求学生对图形进行求解、判断平行垂直等操作，或者解决一些与立体几何相关的实际问题。

6. 排列组合概率统计：这部分主要考察学生对排列组合、概率和统计的理解和掌握，以及运用这些知识解决一些实际问题的能力。

题目通常会给出一些具体的情况，然后要求学生对排列组合、概率和统计进行分析求解，或者解决一些与排列组合、概率和统计相关的实际问题。

这些经典大题在高考数学中占据了重要的地位，学生需要加强训练和理解才能取得好成绩。

高考数学专题复习题：单调性与最值一、单项选择题（共9小题）1.下列命题中正确的是（）A.y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减B.y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增C.y=cos x在[−π2,π2]上单调递减D.y=sin x在[−π2,π2]上单调递增2.y=2sin(3x+π3)的值域是（）A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,0]D.[-1,1]3.“0<x<π6”是“sin x<12”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数y=sin x与y=cos x，在下列区间内同为单调递增的是（）A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)5.已知函数f(x)=sin(x+π6)在x0处取得最大值，则x0可能是（）A.π6B.π4C.π3D.π26.使cos x=1-m有解的m的取值范围为（）A.m≥0B.0≤m≤2C.-1<m<1D.m<-1或m>17.如果f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，那么ω的值为（）A.2B.23C.43D.328.在△ABC中，角A、B均为锐角，且cos A>sin B，则（）A.cos C>0B.cos C<0C.cos C=0D.cos C≥09.对于函数f(x)={sinx,sinx≥cosx,cosx,sinx<cosx,下列说法中正确的是（）A.该函数的值域是[-1,1]B.当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时,函数取得最大值1C.当且仅当x=2kπ-π2(k∈Z)时,函数取得最小值-1D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时,f(x)<0二、填空题（共3小题）10.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增，则a的取值范围是________.11.若a=sin1，b=ln(sin1)，c=e sin1，则a、b、c三个数中最小的数为________.12.函数y=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(−π6,π3)上单调递增，则ω的取值范围是________.三、解答题（共3小题）13.已知函数f(x)=2cos(3x+π4).（1）求f(x)的单调递增区间;(5分)（2）求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.14.设函数f(x)=√2sin(2x−π4),x∈R.（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.（2）求函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.15.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-4,-3]上单调递增，若α,β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sinα)>f(cosβ).。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）（A）10>i （B）10<i （C）20>i （D）20<i 2、数列}{n a 的通项公式为)(3)1(2N n n a n ∈+-=，则数列（）A、是公差为2的等差数列B、是公差为3的等差数列C、是公差为1的等差数列D、不是等差数列3、ABC ∆的两内角A、B 满足B A B A sin sin cos cos >，那么这个三角形（）A、是锐角三角形B、是钝角三角形C、是直角三角形D、形状不能确定4、函数13)(-=x x f 的反函数的定义域是（）A、),1(+∞-B、),1(+∞C、),2(+∞-D、)2,(--∞5、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个()A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对6、若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（）A．32-B．32C．23-D．237、下面表述正确的是()A.空间任意三点确定一个平面B.直线上的两点和直线外的一点确定一个平面C.分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面D.不共线的四点确定一个平面8、将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减9、已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110、如图，在平面四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．311.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A．38C 种B．38A 种C．39C 种D．311C 种12.某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）A．6种B．8种C．12种D．16种二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．2.已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.3.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________，最大值是___________．4.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = _____.三、大题：(满分70分)1.如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为︒30，求线段AC 长的取值范围．2.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．已知：γα//，γβ//，求证：βα//．3.如图，已知a 、b 是异面直线，求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使βα//．4.在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P.（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.5.知直线l 经过两条直线021=+y x l ：与010432=--y x l ：的交点，且与直线03253=+-y x l ：的夹角为4π，求直线l 的方程．6.直线02=-+y x l ：，一束光线过点)13,0(+P ，以︒120的倾斜角投射到l 上，经l 反射，求反射线所在直线的方程．参考答案：一、选择题：1-5题答案:AABAA 6-10题答案:ABACA 11-12题答案:AC 8、将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．9、已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：C．10、如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，当m=时，取得最小值为．故选：A．二、填空题：2、4 33、0,4、{1,6}三、大题：1.如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为︒30，求线段AC 长的取值范围．解法1：如图所示：作β⊥AD 于D ，连结BD 、CD 、BC ∵BD AB >，DC AC >，222BC AC AB =+，∴在BDC ∆中，由余弦定理，得：022cos 222222=⋅-+<⋅-+=∠CDBD BC AC AB CD BD BC CD BD BDC ．∵β⊥AD ，∴ABD ∠是AB 与β所在的角．又∵βα//，∴ABD ∠也就等于AB 与α所成的角，即︒=∠30ABD ．∵2=AB ，∴1=AD ，3=BD ，12-=AC DC ，24AC BC +=，∴01324131222<-⋅---+≤-AC AC AC ，即：31102≤-<AC ．∴332≥AC ，即AC 长的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,332．解法2：如图：∵ACAB ⊥∴AC 必在过点A 且与直线AB 垂直的平面γ内设l =βγ ，则在γ内，当l AC ⊥时，AC 的长最短，且此时ABCAB AC ∠⋅=tan 33230tan =︒⋅AB 而在γ内，C 点在l 上移动，远离垂足时，AC 的长将变大，从而332≥AC ，即AC 长的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,332．说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习．(2)解法1利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC 长的不等式，再通过解不等式得到AC 长的范围，此方法以运算为主．(3)解法2从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC 是连结异面直线AB 和l 上两点间的线段，所以AC 是AB 与l 的公垂线段时，其长最短．2.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ．∵γα//，γβ//，∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。

典型例题一例 1 假如命题“坐标知足方程 f x， y 0 的点都在曲线 C 上”不正确，那么以下正确的命题是（ A）曲线C上的点的坐标都知足方程 f x， y0 ．（ B）坐标知足方程 f x， y 0 的点有些在C上，有些不在 C 上．（ C）坐标知足方程 f x， y 0 的点都不在曲线 C 上．（ D）必定有不在曲线 C 上的点，其坐标知足方程 f x， y0 ．剖析：原命题是错误的，即坐标知足方程 f x， y0 的点不必定都在曲线 C 上，易知答案为 D．典型例题二例 2 说明过点P(5 ,1) 且平行于 x 轴的直线l和方程y 1所代表的曲线之间的关系．剖析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好构成两个会合相等的充要条件，二者缺一不行．此中“曲线上的点的坐标都是方程 f ( x , y)0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，即齐备性．这是我们判断方程是否是指定曲线的方程，曲线是否是所给方程的曲线的准则．解：以下列图所示，过点 P 且平行于x轴的直线 l 的方程为y 1 ，因此在直线l上的点的坐标都知足y 1 ，所以直线 l 上的点都在方程y 1 表示的曲线上．可是以y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，所以方程y 1 不是直线 l 的方程，直线 l 不过方程y 1 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都知足方程，即知足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不知足齐备性．典型例题三例 3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y x 所表示的直线之间的关系．剖析：该题应当抓住“纯粹性”和“齐备性”来进行剖析．解：方程 y x 所表示的曲线上每一个点都知足到坐标轴距离相等．可是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都知足方程y x ，比如点( 3 , 3)到两坐标轴的距离均为3，但它不知足方程y x ．所以不可以说方程y x 就是全部到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不可以说是方程y x 所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ，即知足齐备性，而“轨迹上的点的坐标不都知足方程” ，即不知足纯粹性．只有二者全切合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线x2( y 1) 2 4 与直线 y k (x2)4 有两个不一样的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？剖析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程构成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的对于x 的一元二次方程的判别式分别知足0、0 、0 ．解：由y k( x 2) 4,x2( y1) 2 4.得 (1k 2 )x22k(3 2)x(3 2)2 4 0k k∴4k 2 (32k )24(1 k 2 )[( 3 2k)24] 4(4k 212k5)4(2k 1)(2k 5)∴当0 即( 2k1)( 2k5)0，即1k5时，直线与曲线有两个不一样的交点．22当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线有一个交点．2当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线没有公共点．2说明：在判断直线与曲线的交点个数时，因为直线与曲线的方程构成的方程组解的个数与由双方程联立所整理出的对于x (或y)的一元方程解的个数相同，所以假如上述一元方程是二次的，即可经过鉴别式来判断直线与曲线的交点个数，但假如是两个二次曲线相遇，两曲线的方程构成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不必定相同，所以碰到此类问题时，不要盲目套用上例方法，必定要做到详细问题详细剖析．典型例题五例 5 若曲线y a x 与y x a(a 0) 有两个公共点，务实数 a 的取值范围．剖析：将“曲线有两个公共点”转变为“方程有两个不一样的解” ，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大概形状现出来，或允许能获得一些启迪．y a x 解法一：由y 得： y a y ax a∵ y 0 ，∴y2a2 ( y a) 2，即 (a21) y22a3 y a40 ．要使上述方程有两个相异的非负实根．4a64a4 (a21)02a3则有：0a21a4a210又∵ a0∴解之得： a 1 ．∴所务实数 a 的范围是 (1,) ．解法二：y a x 的曲线是对于y 轴对称且极点在原点的折线，而y x a 表示斜率为 1 且过点(0 , a)的直线，由下列图可知，当a 1时，折线的右支与直线不订交．所以两曲线只有一个交点，当 a 1 时，直线与折线的两支都订交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这种题较好的解法是解法二，即利用数形联合的方法来探究．若题设条件中“ a 0”改为 a R 呢，请自己探究．典型例题六例 6 已知AOB ，此中A(6 , 0)，O(0 , 0)，B(0 , 3)，则角 AOB均分线的方程是y x (以下列图)，对吗？剖析：本题主要观察曲线方程看法掌握和理解的程度，重点是理解三角形内角均分线是一条线段．解：不对，因为AOB 内角均分线是一条线段OC ，而方程y x 的图形是一条直线．如点 P(8,8)坐标合适方程y x ，但点P 不在AOB 内角AOB 的均分线上．综合上述内角AOB 均分线为：y x(0x2) ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，重要扣定义，两个条件缺一不行，重点是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例 7判断方程y x22x 1 所表示的曲线．剖析：依据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，所以必需先将方程进行等价变形．解：由原方程22 1 可得：y x xy x 1 ，即 yx 1 ( x1), x 1 ( x1),∴方程 y x22x1的曲线是两条射线，以下图：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程 x 1y 2等价于 ( x 1)2y 2 且x 1，即 y ( x 1)22( x 1) ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例 8 以下图，已知 A 、 B 是两个定点，且 AB 2 ，动点 M 到定点 A 的距离是4，线段 MB 的垂直均分线 l交线段 MA 于点 P ，求动点 P 的轨迹方程．剖析：本题第一要成立合适直角坐标系，动点P知足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中剖析找出等量关系．连接PB，则 PM PB ，由此PA PB PA PM AM 4 ，即动点 P 到两定点 A ， B 距离之和为常数．解：过 A ， B 两点的直线为x 轴，A，B两点的中点O为坐标原点，成立直角坐标系∵ AB 2，∴ A， B 两点坐标分别为( 1, 0)， (1, 0)．连接 PB ．∵ l 垂直均分线段BM ，∴PM PB，PA PB PA PM AM 4．设点 P( x , y) ，由两点距离公式得(x 1) 2y2( x 1)2y2 4 ，化简方程，移项两边平方得(移项 )2 ( x 1) 2y2 4 x ．两边再平方移项得：x2y21 ，即为所求点P 轨迹方程．43说明：经过剖析题意利用几何图形的相关性质，找出P 点与两定点 A ， B 距离之和为常数 4 ，是解本题的重点．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过P2，4点作两条相互垂直的直线l1， l 2，若 l1交 l1轴于A， l2交 y 轴于 B ，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．解：连接 PM ，设M x，y，则 A 2x，0，yB 0，2 y ．BP ∵l1l 2∴PAB为直角三角形．M由直角三角形性质知O A x1ABPM2图２即x 2 2y 4 214x2 4 y 2化简得 M 的轨迹方程为2x 2 y 5 0说明：本题也能够用勾股定理求解，还能够用斜率关系求解，所以本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例 10222（ k 是常数）的动点P 的轨迹方程．求与两定点 A 、 B 知足 PA PB k剖析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点 A 和 B 的连线为x轴，过 AB 的中点且与 AB 垂直的直线为 y 轴成立坐标系．2( x a)2y22a)2y2设 A( a , 0) ， B(a , 0) ， P( x , y) ，则：PA， PB ( x．据题意，222，有 ( x a)2y2( x a) 2y2k 2得 4ax k 2．PA PB k因为 k 是常数，且 a0 ，所以x k2P 的轨迹是一条平为动点的轨迹方程，即动点4a行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取 A 与B 两点连线为x 轴，过 A 点且与AB 垂直的直线为y 轴成立坐标系．设 A(0,0) ， B( a , 0)， P(x , y) ，则：2x22(x a)2y 2．PA y 2， PB据题意，22k 2，有x2y 2( x a) 2y2k2，PA PBa2k 2a2k2，它是平行于y 轴的一条直线．得 x2a，即动点 P 的轨迹方程为x2a解法三：如图丙成立坐标系，设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， P( x , y) ，则2(x x1 ) 22( x x2 )( y y2 ) 2．PA( y y1 )2， PB2据题意， PA 2PB2k 2，有( x x1) 2( y y1 ) 2(x x2 ) 2( y y2 ) 2k2，整理后获得点P 的轨迹方程为：2( x2x1 ) x2( y2y1) y x12y12x22y22k20 ，它是一条直线．说明：由上边介绍的三种解法，能够看到对于同一条直线，在不一样的坐标系中，方程不同，合适成立坐标系如解法一、解法二，获得的方程形式简单、特征明显，一看便知是直线．而解法三获得的方程烦杂、冗长，若以此为基础研究其余问题，会惹起不用要的麻烦．所以，在求曲线方程时，依据详细状况适入选用坐标系十分重要．此外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应重申曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例 11 两直线分别绕着定点 A 和 B ( AB2a )在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．剖析：成立合适的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所知足的等式．解：取直线 AB 为x轴，取线段AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0) ， B(a , 0) ，P属于会合 C P22AB2PA PB．设 P(x , y) ，则 ( x a)2y2( x a) 2y2( 2a) 2，化简得 x2y2a2．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现以下解答错误：取直线 AB 为x轴，取线段 AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0)， B(a , 0) ，交点P属于会合C P PA PB P k PA k PB1 ．设 P(x , y) ，则k PAy( x a) ，k PBy( x a) ，x a x ay y 故a 1，即x2y2 a 2(x a )．x a x要知道，当 PA x 轴且另向来线与x 轴重合时，仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 A ．相同 PB x 轴重合时，且另向来线与x 轴仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 B ．因此，A( a , 0) 与 B(a , 0) 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或 PB 的斜率不存在时，即x a 时，A(a , 0)和 B( a , 0) 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是x2y2 a 2．求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，既要剔除不合适的部分，也不要遗漏知足条件的部分．典型例题十二例12如图， Rt ABC 的两条直角边长分别为 a 和b( a b) ，A与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角极点 C 的轨迹方程．剖析： 由已知ACB 是直角， A 和 B 两点在座标轴上滑动时， AOB 也是直角，由平面几何知识， A 、 C 、 B 、 O 四点共圆，则有 ABC AOC ，这就是点 C 知足的几 何条件．由此列出极点 C 的坐标合适的方程．解：设点 C 的坐标为 ( x , y) ，连接 CO ，由ACB AOB 90 ，所以 A 、O 、B 、C 四点共圆．b，tan AOCy ，有 y b ，即 ybx ．从而 AOCABC ．由 tan ABCax x aa注意到方程表示的是过原点、斜率为b的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴bC a点的轨迹不会是一条直线， 而是直线的一部分． 我的正半轴上滑动， 因为 a 、 为常数， 故们可观察 A 与 B 两点在座标轴上的极端地点，确立C 点坐标的范围．以下列图，当点A 与原点重合时，SABC1AB x1 a2 b 2 x ，所以 xab ．22a 2b 2以下列图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标 x BD ．由射影定理， BC2BD AB ，即 a 2xa 2b 2 ，有 xa 2 ．由已知 ab ，ab a2．所以b2a2a2b2故 C 点的轨迹方程为：y bx （ab x a 2）．a a2b2 a 2b2说明：求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，剔除不合适的部分．典型例题十三例 13 过点P(3 , 2)作两条相互垂直的直线l1、l2，若 l1交 x 轴于A， l2交y轴于B，M 在线段 AB 上，且 AM : BM1: 3，求 M 点的轨迹方程．剖析：如图，设 M ( x , y) ，题中几何条件是 l1l 2，在分析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M的轨迹方程即x 、y之间的关系，第一要把 l 1、l 2的斜率用 x 、y表示出来，而表示斜率的重点是用x 、y表示A、B两点的坐标，由题可知 M 是 A 、 B 的定比分点，由定比分点坐标公式即可找出 A 、 B 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 、 B 两点的坐标，并求出 M 点的轨迹方程．解：设 M (x , y) ， A(a , 0) ， B(0 , b)∵ M 在线段 AB 上，且 AM : BM 1:3．∴ M 分AB所成的比是 1 ，3xa1143a x ，由1，得3bb4y y3113∴ A(4x , 0) 、 B(0 , 4 y) 3又∵ P(3 , 2) ， ∴ l 1 的斜率 k 12， l 2 的斜率 k 24 y2 4 ．3 x3324 y 2∵ l 11．l 2 ，∴34x33化简得： 4x 8y 130 ．说明： 本题的上述解题过程其实不严实，因为 k 1 需在 x9x9时才能成立，而当时，44 A(3 , 0) ， l 1 的方程为 x 3 ．所以 l 2 的方程是 y2．故 B(0, 2)，可求得 M (9 1 , ) ，而( 9 , 1) 也知足方程 4x4 28 y 13 0 ．故所求轨迹的方程是4x 8 y 13 0 ．这种题在解4 2答时应注意考虑齐备性和纯粹性．典型例题十四例14如图，已知两点 P( 2 , 2) ，Q(0 , 2)以及向来线l ：yx，设长为2 的线段AB在直线l 上挪动．求直线PA 和 QB 的交点M 的轨迹方程．剖析 1：设 M ( x , y) ，题中的几何条件是 AB2 ，所以只要用 ( x , y) 表示出 A 、 B两点的坐标，即可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出 A 、 M 两点坐标的关系，明显 P 、 A 、 M 三点共线． 这样即可找出 A 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 的坐标， 同理即可表示出 B 的坐标，问题便能够水到渠成．解法一： 设 M ( x , y) 、 A( a , a) 、 B(b , b) (b a) ．由 P 、 A 、M 三点共线可得：a2 y2（利用 PA 与 MP 斜率相等获得）a2 x 22x 2 y∴ a．x y 4由 Q 、B、M三点共线可得b2 y 2 ．b x2x∴ b．x y 2又由 AB 2 得2(a b)2 2 ．∴ b a 1，∴2x2x 2 y 1 ．y2x y4x化简和所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．剖析 2：本题也能够先用P 、 A 、 M 三点共线表示出 A 点坐标，再依据 AB 2 表示出 B 点坐标，而后利用Q 、B、M三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设 M ( x , y) ， A( a , a)由 AB 2 且 B 在直线 y x 上且 B 在 A 的上方可得：B( a 1 , a 1)由解法一知2x 2 y ay，x4∴B(3x y 4 , 3x y 4 )x y 4 x y 4又由 Q 、B、M三点共线可得：3x y4 x y 2y 24．3x y4xx y4化简得所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．解法三：因为 AB 2 且 AB 在直线 y x 上所以可设 A(a , a)， B(a 1 , a1) ．则直线 AP 的方程为：(a2)( y 2) (a 2)( x 2)直线 BQ 的方程为： (a 1)( y 2) (a 1)xx21 a由上述两式解得a( a0)2y1aa( x1) 2a244∴a 2422( y1)a a24∴ ( x 1)2( y 1)28 ，即 x 2y 22x 2 y8 0 ．而当 a0 时，直线 AP 与BQ平行，没有交点．∴所求轨迹方程为x2y 22x 2 y 8 0 ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，尔后一种方法，事实上它波及到参数的思想 ( a为参数 )，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为对于参数的坐标，而后消去参数，这也反应出运动的看法．。

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一）1.如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，2PD AB ，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点.(1)求证：EF PA ⊥；(2)求二面角D FG E 的余弦值.2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD 组合而成，AF AD ⊥，2AEAD .(1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；(2)求正四棱锥P ABCD 的高h ，使得二面角C AF P 的余弦值是223.3.四棱锥P ABCD-中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为ADC∠为锐角，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PD∥面ACM．（Ⅱ）求证：PA⊥CD．（Ⅲ）求三棱锥P ABCD-的体积．4.如图，四棱锥S ABCD-满足SA⊥面ABCD，90DAB ABC∠=∠=︒．SA AB BC a===，2AD a=．（Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD．（Ⅱ）求证：CD⊥面SAC．SB A DMC BAPD5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ．6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．E DABC C 1B 1A 1DAB CEF P7.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，PA PB =，::2:2:1AB AD CD =.（1）证明BD PC ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设点Q 为线段PD 上一点，且直线AQ 平面PAC 所成角的正弦值为23，求PQ PD的值.8.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO . （1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若λ=2，求证：平面CDE ⊥平面CD 1O .9.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD =︒∠，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP =︒∠，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面PAB ． （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所在的角相等，求PMPD的值．10.如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ． （1）求1CGCC 的值． （2）求证：1EG AC ⊥． （3）求二面角1A AG E --的余弦值．A 1B 1C 1G F AB CEM F E CBAPD11.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，1BC =．（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF ∥平面PAB ．（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小． （Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥？若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由．12.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，CD AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，4AB =，2BC CD EA ED ====．Ⅰ证明：BD AE ⊥．Ⅱ求平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）的余弦值．DABCEPF DBCA13.己知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2PA AB ==．60ABC ∠=︒，BC 、PD 的中点分别为E ，F ．（Ⅰ）求证BC PE ⊥．（Ⅱ）求二面角F AC D --的余弦值．（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．14.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ． （Ⅱ）求二面角F BE D --的余弦值．（Ⅲ）设点M 线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．DDABCEF15.如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值． （Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PDPC的值，若不存在，说明理由．16.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面,//,PAD AB CD E 是PB 的中点,2,5,3,2AHPD PA AB AD HD===== . （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若F 是CD 上的点，且23FC FD ==，求二面角B EF C --的正弦值.MDABCP17.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=︒，Q为AB 的中点．（Ⅰ）证明：CQ ⊥平面ABE ； （Ⅱ）求多面体ACED 的体积； （Ⅲ）求二面角A -DE -B 的正切值．18.如图1 ,在△ABC 中，AB =BC =2, ∠B =90°,D 为BC 边上一点，以边AC 为对角线做平行四边形ADCE ，沿AC 将△ACE 折起，使得平面ACE ⊥平面ABC ,如图2.(1)在图 2中，设M 为AC 的中点，求证:BM 丄AE ； (2)在图2中，当DE 最小时，求二面角A -DE -C 的平面角.19.如图所示，在已知三棱柱ABF -DCE 中，90ADE ∠=︒，60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==，平面ABCD ⊥平面ADEF ，点M在线段BE 上，点G 是线段AD 的中点．（1）试确定点M 的位置，使得AF ∥平面GMC ； （2）求直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值．20.已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC =AB ，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；（Ⅱ）若22AB AP ==，求平面P AD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值.21.如图，五面体P ABCD 中，CD ⊥平面P AD ，ABCD 为直角梯形，,2BCD PD BC CD π∠===1,2AD AP PD =⊥. （1）若E 为AP 的中点，求证：BE ∥平面PCD ； （2）求二面角P -AB-C 的余弦值.22.如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由Rt △SAB 和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒.且点A 为线段SD 的中点，21AD DC ==，2AB =.现将△SAB沿AB 进行翻折，使得二面角S -AB -C 的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点E ，F 分别在线段SB ，SC 上. （Ⅰ）证明：BD AF ⊥；（Ⅱ）若三棱锥B -AEC 的体积为四棱锥S -ABCD 体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.23.四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，,BC CD⊥060SDA SDC∠=∠=，AD DC=1122BC SD==，E为SD的中点.（1）求证：平面AEC⊥平面ABCD；（2）求BC与平面CDE所成角的余弦值.24.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，P A⊥AC，BA=BC=P A=2，二面角P-AC-B的大小为120°.（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角P-BC-A的正切值.25.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，090=∠=∠BCD ABC ，AB CB DC PD PA 21====，E 是PB 的中点， （Ⅰ）求证：EC ∥平面APD ；（Ⅱ）求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）求二面角P -AB -D 的余弦值.26.四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，P A =2，PB =PD =22，E ，F ，G ，H 分别为棱P A ，PB ，AD ，CD 的中点．（1）求CD 与平面CFG 所成角的正弦值；（2）探究棱PD 上是否存在点M ，使得平面CFG ⊥平面MEH ，若存在，求出PDPM的值；若不存在，请说明理由．试卷答案1以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则 0,0,0D ，0,2,0A ，2,0,0C，0,0,2P ，1,0,1E ，0,0,1F ，2,1,0G .(1)∵0,2,2PA ，1,0,0EF，则0PA EF ，∴PA EF .(2)易知0,0,1DF，2,11FG， 设平面DFG 的法向量111,,m x y z ，则m DF m FG ，即1111020z x yz ，令11x ，则1,2,0m 是平面DFG 的一个法向量，同理可得0,1,1n 是平面EFG 的一个法向量，∴210cos ,552m n m nm n， 由图可知二面角D FG E 为钝角， ∴二面角D FG E 的余弦值为105.2.(1)证明：直三棱柱ADE BCF 中，AB 平面ADE ，所以：AB AD ，又AD AF ，所以：AD平面ABFE ，AD 平面PAD ，所以：平面PAD 平面ABFE .(2)由(1)AD平面ABFE ，以A 为原点，,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，设正四棱锥P ABCD 的高h ，2AE AD ，则0,0,0A ，2,2,0F ，2,0,2C ，1,,1P h . 2,2,0AF，2,0,2AC，1,,1APh .设平面ACF 的一个法向量111,,m x y z ，则：1111220220m AF x y n ACx z ，取11x ，则111y z ，所以：1,1,1m .设平面AFP 的一个法向量222,,n x y z ，则222222200n AF x y n APx hy z ，取21x ，则21y ，21z h ，所以：1,1,1n h ，二面角C AF P 的余弦值是223，所以：211122cos ,3321m n h m n m nh ， 解得：1h .3.E ODPABC M（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，则O 是BD 中点， ∵在PBD △中，O 是BD 的中点，M 是PB 的中点， ∴PD MO ∥，又PD ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，∴PD ∥平面ACM ．（Ⅱ）证明：作PE CD ⊥，则E 为CD 中点，连结AE ， ∵底面ABCD 是菱形，边长为2，面积为，∴11sin 222sin 222S AD DC ADC ADC =⨯⨯⨯∠⨯=⨯⨯∠⨯=∴sin ADC ∠，60ADC ∠=︒， ∴ACD △是等边三角形， ∴CD AE ⊥， 又∵CD PE ⊥， ∴CD ⊥平面PAE ， ∴CD PA ⊥．（Ⅲ）11233P ABCD ABCD V S PE -=⨯=⨯．4.DABCSE（1）证明：∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB SA ⊥， 又∵90BAD ∠=︒， ∴AB AD ⊥， ∵SA AD A =， ∴AB ⊥平面SAD ， 又AB ⊂平面SAB ， ∴平面SAB ⊥平面SAD ． （Ⅱ）证明：取AD 中点为E ，∵90DAB ABC ∠=∠=︒，2AD a =，BC a =，E 是AD 中点， ∴ABCE ∠是矩形，CE AB a ==，DE a =，∴CD =，在ACD △中，AC，CD =，2AD a =， ∴222AC CD AD +=， 即CD AC ⊥，又∵SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD SA ⊥， ∴CD ⊥平面PAC ． 5.P F ECB AD（Ⅰ）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD BC ⊥，又∵底面ABCD 为矩形， ∴BC CD ⊥， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）证明：∵PD DC =，E 是PC 中点， ∴DE PC ⊥，又平面PCD ⊥平面PBC ，平面PCD 平面PBC PC =， ∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥， 又∵EF PB ⊥，EF DE E =，∴PB ⊥平面EFD ．6.E A 1B 1C 1CBAD（Ⅰ）证明：连结1A B ， ∵D 是1AB 的中点， ∴D 是1A B 的中点，∵在1A BC △中，D 是1A B 的中点，E 是1A C 的中点， ∴DE BC ∥，又DE ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ， ∴DE ∥平面11BCC B ．（Ⅱ）证明：∵111ABC A B C -是直棱柱， ∴1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA AB ⊥， 又AB AC ⊥， ∴AB ⊥平面11ACC A ， ∵AB ⊂平面11ABB A ， ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．7.以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0)B，D ，(0,0,2)P，C（1）(BD =-，(1,2)PC =-， ∵0BD PC •=∴BD PC ⊥（2）(1,AC =，(0,0,2)AP =，平面PAC 的法向量为(2,1,0)m =-(0,2)DP =，(1,0,0)AP =，平面DPC 的法向量为(0,2,1)n =--.2cos ,3m n m n m n•==•，二面角B PC D --的余弦值为3.（3）∵AQ AP PQ AP tPD =+=+，[]0,1t ∈ ∴(0,0,2)(0,2,2)(0,2,22)AQ t t t =+-=- 设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角2sin cos ,3AQ m AQ m AQ mθ•===• 2222223684332(22)tt t t t t =⇒=-++-，解得2t =（舍）或23. 所以，23PQ PD =即为所求.8.解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA ,DC ,1DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是，.由cos＝＝.所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0 得 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) .由D 1E ＝λEO ，则E ，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2．9.（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中， ∵AB AC =，135BCD =︒∠，45ABC =︒∠， ∴AB AC ⊥，∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴EF AB ∥，∴EF AC ⊥，∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP =︒∠， ∴PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥， 又∵PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明：∵M 为PD 的中点，F 为AD 的中点， ∴MF PA ∥，又∵MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MF ∥平面PAB ，同理，得EF ∥平面PAB ， 又∵MFEF F =，MF ⊂平面M EF ，EF ⊂平面M EF ，∴平面MEF ∥平面PAB ，又∵ME ⊂平面M EF ， ∴ME ∥平面PAB ．（Ⅲ）解：∵PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，∴AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(2,2,0)D -，(1,1,0)E ， 所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， ∴(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--， 易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， 设平面PBC 的法向量为(,,z)n x y =，则：n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =， ∴直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， ∴|cos ,||cos ,|ME m ME n <>=<>，即||||||||||||ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅，∴|21|λ-=，解得λ=或λ=（舍去），故PM PD ．D10.（1）∵1C F ∥平面AEG ，又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，∴1C F AG ∥，∵F 为1AA 的点，且侧面11ACC A 为平行四边形， ∴G 为1CC 中点， ∴112CG CC =． （2）证明：∵1AA ⊥底面ABC ，1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ， ∵E ，G 分别是BC ，1CC 的中点，∴(1,1,0)E ，(2,0,1)G ， ∴1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=， ∴1EG CA ⊥， ∴1EG AC ⊥． （3）设平面AEG 的法向量为(,,)n x y z =，则：0n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =-， ∴(1,1,2)n =--，由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =， ∴6cos ,6||||n m n m n m ⋅<>==-⋅由题意知二面角1A AG E --为钝角， ∴二面角1A AG E --的余弦值为．111.（Ⅰ）证明：过点F 作FH AD ∥， 交PA 于H ，连结BH ，如图所示，∵13PF PD =，∴13HF AD BC ==，又FH AD ∥，AD BC ∥，HF BC ∥， ∴四边形BCFH 为平行四边形， ∴CF BH ∥，又BH ⊄平面PAB ，CF ⊄平面PAB ， ∴CF ∥平面PAB ．z D（Ⅱ）解：∵梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥， ∴BC AB ⊥， ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，∴如图，以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)C ，(3,0,0)D ，(0,3,0)A ，(0,0,3)P ，设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =， ∵(3,3,3)PD =-，(0,0,3)BP =，∴00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，令1x =得(1,1,0)n =-，同理可得(0,1,1)m =， ∴1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-⋅，∵二面角B PD A --为锐角， ∴二面角B PD A --为π3． （Ⅲ）假设存在点M 满足题意，设(3,3,3)PM PD λλλλ=-， ∴(13,3,33)CM CP PD λλλλ=+=-+-，∵(0,3,3)PA =-，∴93(33)0PA CM λλ⋅=+-=，解得12λ=，∴PD 上存在点M 使得CM PA ⊥，且12PM PD =．12.Ⅰ∵BC CD ⊥，2BC CD ==，∴BD =，同理EA ED ⊥，2EA ED ==，∴AD =，又∵4AB =，∴由勾股定理可知222BD AD AB +=，BD AD ⊥， 又∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面AED ， 又∵AE ⊂平面AED ， ∴BD AE ⊥．Ⅱ解：取AD 的中点O ，连结OE ，则OE AD ⊥， ∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴OE ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连结DF BD ∥，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(D ，(C -，E ，(DC =-，(2,0,DE =， 设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，∴平面CDE 的法向量(1,1,1)n =-， 又平面ADE 的一个法向量为1(0,1,0)n =， 设平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）为θ， 则1113cos |cos ,|3||||nn n n n n θ⋅=<>==⋅，∴平面ADE 和平面CDE． C13.（1）证明：连结AE ，PE ．∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥．又∵底面ABCD 是菱形，AB BC =，60ABC ∠=︒， ∴ABC △是正三角形． ∵E 是BC 的中点， ∴AE BC ⊥．又∵PA AE A =，PA ⊂平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴BC PE ⊥．（2）由（1）得AE BC ⊥，由BC AD ∥可得AE AD ⊥． 又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA AE ⊥，PA AD ⊥．∴以A 为原点，分别以AE ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则(0,0,0)A，E ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P，1,0)B -，C ，(0,1,1)F ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的法向量为(0,0,2)AP =． 又∵(3,1,0)AC =，(0,1,1)AF =． 设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =，则：AC n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y z +==⎪⎩+，令1x =，则y =z ，∴(1,3,n =-． ∴21cos ,7||||AP n AP n AP n ⋅==． ∵二面角F AC D --是锐角， ∴二面角F AC D -- （3）G 是线段AB 上的一点，设(01)AG t AB t =≤≤． ∵(3,1,0)AB =-，∴,,0)G t -． 又∵(3,1,2)PC =-，(3,,2)PG t t =--． 设平面PCG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则：1100PC n PGn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111112020yz ty z-=--=+，∴1()n t t =-+， ∵AF ∥平面PCG ，∴AF n ⊥，0AF n ⋅=1)0t -=， 解得12t =． 故线段AB 上存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ，G 是AB 中点．14.（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥． ∵ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． 又DEBD D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）∵DA ，DC ，DE 两两重叠，∴建立空间直角坐标系D xyz -如图所示．∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB． 由3AD =，可知DZ =AF ，则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ．∴(0,BF =-，(3,0,EF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z (4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，(3,3,0)CA =-，∴cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅==．∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D -- （3）点M 线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t ，则(3,,0)AM t t =-．∵AM ∥平面BEF ，∴0AM n ⋅=，即4(3)20t t -+=，解得2t =，此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意．15.（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥．∵BC AB ⊥，PA AB A =， ∴BC ⊥平面PAB ． 又AM ⊂平面PAB ， ∴AM BC ⊥．∵PA AB =，M 为PB 的中点， ∴AM PB ⊥． 又∵PBBC B =，∴AM ⊥平面PBC ．（2）如图，在平面ABC 内作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =．设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则：0n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-． ∴(0,1,2)n =-．由（1）可知(1,1,0)AM =为平面PBC 的一个法向量，∴cos||||5AM nn AMAM n⋅⋅==∵二面角A PC B--为锐角，∴二面角A PC B--．（3）证明：设(,,)D v wμ是线段PC上一点，且PD PCλ=，(01)λ≤≤，即(2,,)(2,2,1)v wμλ-=-，∴22μλ=-，2vλ=，wλ=．∴(22,22,)BDλλλ=--．由0BD AC⋅=，得4[0,1]5λ=∈，∴线段PC上存在点D，使得BD AC⊥，此时45PDPCλ==．16.解：（1）证明：因为AB⊥平面PAD，所以PH AB⊥，因为3,2AHADHD==，所以2,1AH HD==，设PH x=，由余弦定可得，22221cos22x HD PH xPHDx HD x+--∠==⋅22221cos24x HA PH xPHAx HA x+--∠==⋅因为cos cosPHD PHA∠=-∠，故1PH x==，所以PH AD⊥，因为AD AB A=，故PH⊥平面ABCD.（2）以H为原点，以,,HA HP HP所在的直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则3139(2,3,0),(0,0,1),(1,,),(1,,0),(1,,0)2222B P E F C--，所以可得，3311(3,,0),(1,,),(2,0,),(0,3,0)2222BF BE EF FC=--=--=-=，设平面BEF的法向量(,,)n x y z=，则有：33002(1,2,4)30022x yBF nnzBE n x y⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--+=⎪⎩，设平面EFC的法向量(,,)m x y z=，则有：020(1,0,4)2030z EF m x m FC m y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩，故17cos ,21n m n m n m⋅===⋅设二面角B EF C --的平面角为θ ，则sin 21θ=.17.解（Ⅰ）证明：∵DC ⊥平面ABC ，//BE DC ∴BE ⊥平面ABC ∴CQ BE ⊥ ①又∵2AC BC ==，点Q 为AB 边中点 ∴CQ AB ⊥ ②AB BE B =故由①②得CQ ⊥平面ABE（Ⅱ）过点A 作AM BC ⊥交BC 延长线于点M ∵,AM BC AM BE ⊥⊥ ∴AM ⊥平面BEDC ∴13A CED CDE V S AM -∆=sin33AM AC π==11212CDE S ∆=⨯⨯= ∴113A CED V -=⨯= （Ⅲ）延长ED 交BC 延长线于S ，过点M 作MQ ES ⊥于Q ，连结AQ 由（Ⅱ）可得：AQM ∠为A DE B --的平面角∵1//2CD BC ∴2SC CB == ∴SE ==1MC MS ==∵SQM ∆∽SBE ∆∴QM SM BE SE=∴1225QM=即55QM=∴3tan1555AMAQMQM∠===18.（1）证明：∵在中，，∴当为的中点时，∵平面平面，平面，平面平面∴平面∵平面∴（2）如图，分别以射线，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系设，则，，，∵，，平面平面∴∴当且仅当时，最小，此时，设，平面，则，即∴令，可得，，则有∴∴观察可得二面角的平面角19.（1）取FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点． 连接PG ，∵G 是AD 的中点，P 是FE 的中点，∴//PG AF ， 又PG ⊂平面MGC ，AF ⊄平面MGC ，所以直线//AF 平面MGC ， ∵//PE AD ，//AD BC ，∴//PE BC ，∴2BM BCME PE==， 故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点． （2）不妨设2AD =，由（1）知PG AD ⊥， 又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，PG ⊂平面ADEF ，∴PG ⊥平面ABCD ．故PG GD ⊥，PG GC ⊥，以G 为坐标原点，GC ，GD ，GP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，∵60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==，∴ADC ∆为正三角形，3GC =，∴(0,0,0)G ，3,0,0)C ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E ，∴(0,1,1)GE =，(3,0,0)GC =，设平面CEG 的一个法向量1(,,)n x y z =，则由10n GE ⋅=，10n GC ⋅=可得0,30,y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，则1(0,1,1)n =-，∵(3,1,0)CD =-BA =，且(0,1,0)A -，故3,2,0)B -，故(3,2,0)BG =-， 故直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值为11||14sin 7||||n BG n BG θ⋅==⋅．20.（Ⅰ）取PC 中点H ，连接、EH FH .∵E 为AB 的中点，ABCD 是菱形，∴//AE CD ，且12AE CD =，又F 为PD 的中点，H 为PC 的中点，∴//FH CD ，且12FH CD =，∴//AE FH ，且AE FH =，则四边形AEHF 是平行四边形，∴//AF EH .又AF ⊄平面PCE ，EH ⊂面PCE ，∴//AF 平面PCE .（Ⅱ）取BC 的中点为O ，∵ABCD 是菱形，AC AB =，∴AO BC ⊥，以A 为原点，,,AO AD AP 所在直线分别为,,z x y 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则)()()3,1,0,3,1,0,0,2,0BCD -，)()313,0,0,0,0,1,,02OP E ⎫-⎪⎪⎝⎭，∴()333,1,1,,,022PC EC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0,0AO =，设平面的法向量为()1,,n x y z =，则1100n PC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3033022x y z x y ⎧+-=⎪+=⎪⎩，令1y =-，则3,2x z ==，∴平面PCE 的一个法向量为)13,1,2n =-，又平面PAD 的一个法向量为()21,0,0n =.∴12121236cos ,|n ||n |4314n n n n ⋅<>===⋅++.即平面PAD 与平面PCE 621.解：（1）证明：取PD 的中点F ，连接,EF CF ， 因为,E F 分别是,PA PD 的中点，所以//EF AD 且12EF AD =， 因为1,//2BC AB BC AD =，所以//EF BC 且EF BC =，所以//BE CF , 又BE ⊄平面,PCD CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD .（2）以P 为坐标原点，,PD PA 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC =，则13(0,0,0),3,0),(1,0,0),(1,0,1),(2P A D C B ， 13(0,3,0),(,1),(1,3,0)2PA AB AD ==-=-,设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30013002n PA yn AB x z ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令2x =，得(2,0,1)n =-， 同理可求平面ABD 的一个法向量为6(3,3,0)cos ,55n m m n m n m⋅=⇒===⨯，平面ABD 和平面ABC 为同一个平面， 所以二面角P AB C --.22.解：（Ⅰ）证明：因为二面角S AB C --的大小为90°，则SA AD ⊥， 又SA AB ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥； 在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=︒，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=，又90DAC BAC ∠+∠=︒， 所以90ABD BAC ∠+∠=︒，即AC BD ⊥； 又ACSA A =，故BD ⊥平面SAC ，因为AF ⊂平面SAC ，故BD AF ⊥.（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B ABC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，故511215*********ABCD S ABCD E ABCABC S SAV V S h h --∆⨯⋅⨯===⋅⨯⨯⨯梯形，故12h =，做点E 到平面ABCD 的距离为12.23.（1）E 为SD 的中点，01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC ∴===设O 为AC 的中点，连接,EO DO 则EO AC ⊥//,AD BC BC CD ⊥ .AD BC ∴⊥又OD OA OC ==EOC EOD ∴∆≅∆ 从而EO OD ⊥AC ABCD = DO ⊂面ABCD 0AC DO =EO ∴⊥面ABCD EO ⊂面AEC∴面EAC ⊥面ABCD ………………6分（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD ∥BC EF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF （EO CD ⊥ FO CD ⊥）∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 改成角的大小设AD a =，则2aOF =32EF a = 3os OF c EFO EF <== 即BC 与ECD 3（亦可以建系完成） ………………12分24.解（Ⅰ）过点P 作PO ⊥底面ABC ，垂足为O ， 连接AO 、CO ，则∠PCO 为所求线面角，,AC PA ⊥,AC PO PA PO P ⊥⋂=且，AC ∴⊥平面PAO .则∠P AO 为二面角P -AC -B 平面角的补角∴∠ 60=PAO ，又23PA =∴，，1sin 2PO PCO CO ∠== 030PCO ∴∠=，直线PC 与面ABC 所成角的大小为30°.（Ⅱ）过O 作OE BC ⊥于点E ,连接PE ，则PEO ∠为二面角P -BC -A 的平面角，AC ⊥平面PAO ,AC OA ⊥045AOE ∠=,设OE 与CA 相交于F 22OE EF FO ∴=+=+在PEO ∆中，3436tan 7222POPEO EO-∠===+则二面角P -BC -A 的正切值为4367-.25.解：（Ⅰ）如图，取PA 中点F ，连接FD EF ,，E 是BP 的中点，AB EF // 且AB EF 21=，又AB DC AB DC 21,//= ∴∴DC EF //四边形EFDC 是平行四边形，故得//EC FD又⊄EC 平面⊂FD PAD ,平面PAD//EC ∴平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ,连接PH ,因为PD PA =，所以AD PH ⊥平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，⊥∴PH 面ABCD ，HB ∴是PB 在平面ABCD 内的射影 PBH ∠∴是PB 与平面ABCD 所成角四边形ABCD 中，090=∠=∠BCD ABC ∴四边形ABCD 是直角梯形AB CB DC 21== 设a AB 2=，则a BD 2=在ABD ∆中，易得a AD DBA 2,450=∴=∠.22212222a a a DH PD PH =-=-=又22224AB a AD BD ==+ABD ∆∴是等腰直角三角形，090=∠ADBa a a DB DH HB 2102212222=+=+=∴ ∴ 在PHB Rt ∆中，5521022tan ===∠a aHB PH PBH（Ⅲ）在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连接PG ,则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故AB PG ⊥，所以PGH ∠是二面角D AB P --的平面角， 由a HA a AB 22,2==，又a HG HAB 21450=∴=∠ 在PHG Rt ∆中，22122tan ===∠a aHG PH PGH ∴ 二面角D AB P --的余弦值大小为.3326.（1）∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA 2+AB 2=PB 2，PA 2+AD 2=PD 2， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，∵E ，F ，G ，H 分别为棱PA ，PB ，AD ，CD 的中点． ∴C （2，2，0），D （0，2，0），B （2，0，0）， P （0，0，2），F （1，0，1），G （0，1，0）， =（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3），设CD与平面CFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴CD与平面CFG所成角的正弦值为．（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，则（a，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M（0，2λ，2﹣2λ），E（0，0，1），H（1，2，0），=（1，2，﹣1），=（0，2λ，1﹣2λ），设平面MEH的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面CFG的法向量=（1，﹣2，﹣3），∵平面CFG⊥平面MEH，∴=﹣2﹣=0，解得∈[0，1]．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时=．。

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中任意抽取一张，则四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是（）A、41B、83C、241D、25692、从100张卡片（1号到100号）中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率是（）A、507B、1007C、487D、100153、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交不垂直D.不确定4、右图是正方体平面展开图，在这个正方体中()A.BM 与ED 平行； 与BE 是异面直线； 与BM 成45º角；D.DM 与BN 垂直.5、等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，2:3:23=S S ，公比q 的值是（）A1B21-C 211-或D211或-6.已知f (x )=3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则F (x )=［f －1(x )］2－f －1(x 2)的值域为（）A.［2，5］B.［1，+∞）C.［2，10］D.［2，13］7、已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（）A．{}|34a a <≤B．{}|34a a <<C．{}|34a a ≤≤D．∅8．设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁B）=（）RA．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}9、设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．4510、阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．411.在复平面中，已知点A（2，1），B（0，2），C（-2，1），O（0，0）．给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②；③；④．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）A．1∶3B．1∶9C．1∶33D．1∶)133(-二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1．在等比数列{512,124,}7483-==+a a a a a n 中，且公比q 是整数，则10a 等于_________.2．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是_________.3．已知,1sin 1cot 22=++θθ那么=++)cos 2)(sin 1(θθ_________.4．取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体.则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a.以上结论正确的是_________.（要求填上的有正确结论的序号）三、大题：(满分70分)1.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N 的正弦值．2.已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为32的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB|．3.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．4.设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（）．A．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//m B．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C．α⊥l ，β⊥m ，且ml //D．α//l ，β//m ，且ml //5.设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．6.如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：MN；//(2)求MN的长．参考答案：一、选择题：1-5题答案:BAADC6-10题答案:ACBCB11-12题答案:CDB）=（）8．设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁RA．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，B={x|x＜1}，∴∁R∴A∩（∁B）={x|0＜x＜1}．R故选：B．9、设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．45【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．10、阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：若输入N=20，则i=2，T=0，==10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选：B．二、填空题：1、－1或5122、[8，14]3、44、①②⑤三、大题：1.解：（1）连结B1C，ME．因为M，E 分别为BB1，BC 的中点，所以ME∥B1C，且ME=12B1C．又因为N 为A1D 的中点，所以ND=12A1D．由题设知A1B1= DC，可得B1C = A1D，故ME =ND，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN∥ED．又MN ⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D 为坐标原点，DA的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则(2,0,0)A ，A1(2,0,4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(2)A M =-- ，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =．设(,,)x y z =m 为平面A1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||5⋅〈〉==‖m n m n m n ，所以二面角1A MA N --的正弦值为105．2.解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+．（1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x ty x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故413||3AB =．3.解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <.所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.（iii）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点.综上，()f x 有且仅有2个零点.4.设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（）．A．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//m B．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D．α//l ，β//m ，且ml //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．5.设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．∵平面α⊥平面γ，∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ，∴MN PQ //．又∵p a //，Q a PQ = ，N b MN = ，∴平面α//平面β．说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．6.如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：β//MN ；(2)求MN 的长．分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ∆中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ．∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．又β⊂BD ，∴β//PM ．同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //．∵α⊂AC ，∴α//PN ．∵βα//，P PM PN = ，∴平面β//PMN ．∵MN ⊂平面PMN ，∴β//MN ．(2)分别连结MC 、MD ．∵b BD AC ==，a BM AM 21==，又∵AB 是α、β的公垂线，∴︒=∠=∠90DBM CAM ，∴ACM Rt ∆≌BDM Rt ∆，∴DM CM =，∴DMC ∆是等腰三角形．又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥．在CMN Rt ∆中，22222421c a b CN CM MN -+=-=．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．。

2023届新高考数学复习：专项（等高线问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ）A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-3．（2023秋ꞏ四川泸州ꞏ高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,34．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（ ）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义域为()0,6的函数()y f x =的图象关于3x =对称，当(]0,3x ∈时，()ln f x x =，若方程()f x t =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<时，都有()223412190k x x x x -++-≥成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．724 B ．13C ．12D ．1136．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()22,0,()2,0xx x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ） A ．ln 33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-7．（2023ꞏ吉林长春ꞏ东北师大附中校考模拟预测）已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（ ）A ．31ln 4+B ．41ln 3+C ．3ln 3-D ．3ln 3+8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()22322,,log ,,x mx m x m f x x x m ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，其中01m <<，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()()5222g x g x -+=有四个不等根1234,,,x x x x ，则()()()()12341234x x x x g x g x g x g x +++++++的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．810．（2023秋ꞏ宁夏ꞏ高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数22,0(){|log |,0x x f x x x +≤=>，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为 （ ） A ．1(2,4-B ．1[2,]4-C ．[2,)-+∞D ．(2,)-+∞11．（2023秋ꞏ湖北武汉ꞏ高一期末）已知函数()()2242,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则)1234122x x x x ++的最小值为（ ） A ．72B ．8C ．92D ．1212．（2023秋ꞏ河南郑州ꞏ高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数()()22log 1,131255,322x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．121x x =-B ．[]3421,25x x ∈C ．3422x x +=D ．12111x x +=- 13．（2023秋ꞏ江西上饶ꞏ高一统考期末）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()3122342x x x x x -+的取值范围是（ ） A ．()4,5 B ．(]4,5C ．()4,+∞D ．[)4,+∞14．（2023春ꞏ全国ꞏ高三校联考专题练习）已知函数11()||||f x x a x b xa x=++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7二、多选题15．（2023秋ꞏ云南昆明ꞏ高一统考期末）已知函数ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，函数()y f x m =-有四个不同的零点，且从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（ ）A ．121=x xB ．1201≤<x xC ．341x x =D ．2410-<≤x x16．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()e ,0,lg ,010,11,10,x x x f x x x x x ⎧⋅≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩，若22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点分别为123456,,,,,x x x x x x ，且()()()123456345,x x x x x x f x f x f x <<<<<==，则下列说法正确的是（ ）A ．当0x ≤时，()10ef x -≤≤B ．34x x +的取值范围为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭C ．当0m <时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．当0m >时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为20,3e ⎛⎫⎪⎝⎭17．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数22,0()ln ,0x x x f x x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩…，则下列命题中正确的是（ ）A ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是(0,1)B ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是(0,)+∞C ．若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．方程21()()()10f x a f x a-++=的不同实根的个数只能是1，2，3，618．（2023秋ꞏ辽宁大连ꞏ高一育明高中校考期末）已知函数()()22log 2,241617,42x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（ ）A ．()121242x x x x +=+B ．3412x x +=C ．()3432,34x x ∈D ．函数()()()()21g x f x m f x m =+--的零点为12346,,,,x x x x19．（2023秋ꞏ山西太原ꞏ高一古交市第一中学校校考阶段练习）已知函数22log ,02()813,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若f (x )=a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是（ ） A ．0<a <1B．12922x x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭D．)122x x ⎡+∈⎣20．（2023秋ꞏ重庆铜梁ꞏ高一校考期中）已知奇函数()f x 的定义域为R ，()3f x +为偶函数，且()f x 在[]0,3上单调递减．若关于x 的方程()f x a =在区间[]12,12-上有4个不同的根1234,,,x x x x ，则（ ） A ．()()6f x f x =+B ．()f x 的图象关于直线3x =对称C ．1234x x x x +++的值可能为12-D ．1234x x x x +++的值可能为1221．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（ ） A ．0B ．1C ．99D ．100三、填空题22．（2023秋ꞏ石河子一中校考阶段练习）已知函数()2e ,0ln ,>0x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x b=-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则以下结论正确的是_____.①22342x x +>；②20eb <<； ③122x x +=-； ④()13422x x x x +<-.23．（2023ꞏ贵州贵阳ꞏ校联考模拟预测）已知函数()()22log 1,13,1910,3,22x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则()()()()34121111x x x x ----的取值范围是______.24．（2023秋ꞏ河南郑州ꞏ高一郑州市第七中学校考期末）已知函数()()2121xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则22222341x x x x +++的取值范围为__________.25．（2023春ꞏ广东揭阳ꞏ高一校考阶段练习）已知函数()()ln ,036,36x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若当方程()f x m =有四个不等实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<时，不等式22341230kx x x x k ++≤+恒成立，则实数k 的最大值为____________.26．（2023秋ꞏ江西宜春ꞏ高一江西省丰城中学校考阶段练习）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.27．（2023秋ꞏ湖北ꞏ高一赤壁一中校联考阶段练习）()22log ,0269,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若关于x 的方程()()()()222100f x t f x t t t -+++=≤有且仅有四个不相等的实数根1x 、2x 、3x 、()41234x x x x x <<<，则1234x x x x t +++的取值范围为__________.28．（2023ꞏ江苏ꞏ高一期末）已知函数22122,0()2log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程 f （x ） =a 有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则212344x x x x x ++的取值范围是 _________ 29．（2023秋ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳南乐一高校考阶段练习）已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______．30．（2023秋ꞏ福建福州ꞏ高一福州四中校考期末）已知函数22sin (10)()44(01)log (1)x x f x x x x x x π-<⎧⎪=-<⎨⎪-⎩………，若()()h x f x a =-有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是____________． 四、双空题31．（2023秋ꞏ江西抚州ꞏ高二校联考阶段练习）已知函数ln ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<≤=⎨-<<⎩，若当方程()f x m =有四个不等实根1x 、2x 、3x 、4x ，(1x ＜2x ＜3x ＜4x ) 时，不等式22341211kx x x x k ⋅++≥+恒成立，则x 1ꞏx 2=________，实数k 的最小值为___________．32．（2023秋ꞏ天津和平ꞏ高三耀华中学校考阶段练习）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 33．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩ ，若函数3()()2g x f x =-有4个零点1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=____________；若关于x 的方程25()()02f x f x a -+= ()a R ∈有8个不相等的实数根，则a 的取值范围是____________． 34．（2023秋ꞏ广东汕头ꞏ高一统考期末）设函数()22122,02log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的解，1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则m 的取值范围是_____，1234244x x x x x ++的取值范围是__________．参考答案一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+ ③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【过程解析】对于①：作出()f x 的图像如下：若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则01a <<，不妨设1234x x x x <<<， 则1x ，2x 是方程220x x a ---=的两个不等的实数根，3x ，4x 是方程|ln |x a =的两个不等的实数根，所以12x x a =，34ln ln x x -=，所以43ln ln 0x x +=，所以341x x =， 所以1234(0,1)x x x x a =∈，故①正确；对于②：由上可知，122x x +=-，34ln ln x x a -==，且01a <<， 所以341x x =，所以31,1ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4e (1,)x ∈，所以344411(2,e ex x x x +=+∈+， 所以12341(0,e e2)x x x x +++∈+-，故②错误；对于③：方程()f x ax =的实数根的个数，即为函数()y f x =与y ax =的交点个数，因为y ax =恒过坐标原点，当0a =时，有3个交点，当a<0时最多2个交点，所以0a >， 当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，设切点为()00,ln x x ， 即1y x '=，所以0000ln 1|x x x y x x ='==，解得0e x =，所以0e 1|x x y ='=，所以1ea =，所以当y ax =与ln (1)y x x =>相切时， 即1ea =时，此时有4个交点，若()f x ax =有4个实数根，即有4个交点，当1e>a 时由图可知只有3个交点，当10e a <<时，令()ln g x x ax =-，()1,x ∈+∞，则()11ax g x a x x-'=-=，则当11x a <<时()0g x '>，即()g x 单调递增，当1x a>时()0g x '<，即()g x 单调递减， 所以当1x a =时，函数取得极大值即最大值，()max 1ln 10g x g a a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭， 又()10g a =-<及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x 无限大时()0g x <，即()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内各有一个零点，即()f x ax =有5个实数根，故③错误； 对于④：21()(()10f x a f x a -++=，所以1[()][()]0f x a f x a--=， 所以()f x a =或1()f x a =， 由图可知，当1m >时，()f x m =的交点个数为2， 当1m =，0时，()f x m =的交点个数为3， 当01m <<时，()f x m =的交点个数为4， 当0m <时，()f x m =的交点个数为1，所以若1a >时，则1(0,1)a∈，交点的个数为246+=个， 若1a =时，则11a=，交点的个数为3个，若01a <<，则11a>，交点有426+=个， 若a<0且1a ≠-时，则10a<且1a a ≠，交点有112+=个，若11a a=-=，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故④正确； 故选：B ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1- B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-【答案】A【过程解析】21log 12x x =-⇒=. 先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数， 11121,2111212-⨯+=-⨯+=-， 从而()(]31223411,1x x x x x ⋅++∈-⋅. 故选：A3．（2023秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【答案】A【过程解析】作出函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象，如图所示：方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<， 则01m <<，()33,4x ∈3log x m =即：3231log ,log x m x m ==-，所以3231log log 0x x +=， 321log 0x x =，所以211x x =，根据二次函数的对称性可得：3410x x +=，()()()()341212343423333391*********x x x x x x xx x x x x x x --==-+--=-+-+，()33,4x ∈考虑函数()21021,3,4y x x x =-+-∈单调递增，3,0x y ==，4,3x y ==所以()33,4x ∈时2331021x x -+-的取值范围为()0,3.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（ ）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）【答案】A【过程解析】画出分段函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…的图像如图：令互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，t ∈（0，12）， 则x 1∈22(log ,0)3，x 2∈（0，1），x 3∈（1，2）， 则123111222xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝＝1+t +1﹣t +22t ﹣2＝2+22t ﹣2， 又t ∈（0，12），∴123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝∈（95,42）．故选：A ．5．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为()0,6的函数()y f x =的图象关于3x =对称，当(]0,3x ∈时，()ln f x x =，若方程()f x t =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<时，都有()223412190k x x x x -++-≥成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．724 B ．13C ．12D ．113【答案】A【过程解析】作出函数()f x 的图象，如图，作直线y t =，它与()f x 图象的四个交点的横坐标依次为1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，因为函数()y f x =的图象关于3x =对称，所以32416,6x x x x =-=-，12ln ln x x -=，即121=x x ，且213x <<，显然341x x >，不等式()223412190k x x x x -++-≥变形为2212349()1x x k x x -+≥-，3421121212(6)(6)366()376()x x x x x x x x x x =--=-++=-+，222212121212()2()2x x x x x x x x +=+-=+-，所以222121234129()11()1366()x x x x x x x x -+-+=--+，由勾形函数性质知12221x x x x +=+在2(1,3)x ∈时是增函数，所以12221102,3x x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭， 令12t x x =+，则102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，211()6(6)t g t t -=-2116(6)t t -=-，22(6)25()6(6)t g t t --'=-，当102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '<，()g t 单调递减，所以7()(2)24g t g <=，所以724k ≥，即k 的最小值是724． 故选：A ．6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22,0,()2,0xx x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln 33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-【答案】A【过程解析】由题意设()f x t =，根据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根， 即2()20g t t t m =-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <122t t ∴+=，则212t t =-，作出()f x 的图象，函数y t =与()f x 三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，那么1221xx e t ==，可得312x t =-，101t <≤，所以21311223ln 4x x x t t --=--，构造新函数1()3ln 4(01),()3h t t t t h t t'=--<≤=-当()0h t '<时，10,,()3t h t ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭在10,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；当()0h t '>时，1,1,()3t h t ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；∴当13t =时，(t)h 取得最小值为ln 33-，即21322x x x --的最小值为ln 33-； 故选：A7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（ ）A ．31ln 4+B ．41ln 3+C ．3ln 3-D ．3ln 3+【答案】A【过程解析】由()f x 过程解析式，在(,0]-∞上()f x 单调递增且值域为(0,1]，在(0,)+∞上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞， 函数()f x 图象如下：所以，()f x 的值域在(0,1]上任意函数值都有两个x 值与之对应，值域在(1,)+∞上任意函数值都有一个x 值与之对应，要使()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则()g x 与y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，由2()2g x x x =-+开口向下且对称轴为1x =，由上图知：01m <<，此时12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，结合()f x 图象及123x x x <<有1321e 3xx t ==，323x t =，则112123ln ,,333t t tx x x ===， 所以11123121433ln ln 233t tx x x t t t -+=-+=-+，且101t <<， 令4()ln 23h x x x =-+且01x <<，则1434()33xh x x x -=='-，当3(0,4x ∈时()0h x '>，()h x 递增；当3(,1)4x ∈时()0h x '<，()h x 递减；所以max 33()()ln 144h x h ==+，故12333x x x -+最大值为3ln 14+.故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22322,,log ,,x mx m x m f x x x m ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，其中01m <<，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【过程解析】因为01m <<， 所以()f x 的大致图象，如图所示：当x m ≤时，()()222f x x m =-+≥，因为存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解， 所以3log 2m >，又01m <<， 解得109m <<， 故选：D9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()()5222g x g x -+=有四个不等根1234,,,x x x x ，则()()()()12341234x x x x g x g x g x g x +++++++的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】A【过程解析】由方程()()5222g x g x -+=可得()1g x =±， 因为函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩， 设0x >，则0x -<，则()()|lg |(|lg ()|)|lg ||lg |0g x g x x x x x +-=+---=-=， 所以()g x 为奇函数且1x ，2x ，3x ，4x 是()1g x =±的根， 所以12340x x x x +++=，不妨有12()()1g x g x ==-，34()()1g x g x ==， 所以1234()()()()0g x g x g x g x +++=．故12341234()()()()x x x x g x g x g x g x +++++++的值是0． 故选：A ．10．（2023秋·宁夏·高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数22,0(){|log |,0x x f x x x +≤=>，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为 （ ） A ．1(2,4-B ．1[2,]4-C ．[2,)-+∞D ．(2,)-+∞【答案】A【过程解析】作出函数()f x 的图象，如图，作直线y a =，当02a <≤时，直线y a =与函数()f x 图象有四个交点，由图象知124x x +=-，2324log log x x -=，即341x x =，(0)2f =， 2log 2x -=，14x =，所以3114x ≤<， 所以12343314x x x x x x +++=-++，由对勾函数性质知函数3314y x x =-++在31,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上是减函数，所以31,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，331142,4y x x ⎛⎤=-++∈- ⎥⎝⎦．故选：A ．11．（2023秋·湖北武汉·高一期末）已知函数()()2242,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则)1234122x x x x ++的最小值为（ ） A ．72B ．8C ．92D ．12【答案】D【过程解析】函数图像如图所示，()17f =，(]0,7t ∈，1234212x x x x <-<≤<<<，124x x +=-，由()()()()()()333433434log 1log 1log 110111x x x x x x --=-⇒--=⇒--=，∴()()34342112122251x x x x =-+++-5922≥=， 当且仅当343,32x x ==时，等号成立，此时1t =；)()2212121212422x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫-=-≥-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1222x x =-=-+1t =.所以)1234122x x x x ++的最小值为91422-=. 故选：D12．（2023秋·河南郑州·高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数()()22log 1,131255,322x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．121x x =-B ．[]3421,25x x ∈C ．3422x x +=D ．12111x x +=- 【答案】D【过程解析】作函数()y f x =和y m =的图象，如图所示：当1m =时，()()2122log 1log 1x x +=+，即()()2122log 11,log 11x x +=-+=，解得121,12x x =-=，此时1212x x =-，故A 错误；结合图象知，02m <<，当3x >时，可知34,x x 是方程()2125522f x x x m =-+=，即2102520x x m -+-=的二根，故3410x x +=，()3425221,25x x m =-∈，端点取不到，故BC错误；当13x -<≤时，()()2122log 1log 1x x +=+，即()()2122log 1log 1x x -+=+， 故()2221log log 111x x =++，即21111x x =++，所以()()21111x x ++=， 故1212x x x x +=-，即12121x x x x +=-，所以12111x x +=-，故D 正确. 故选：D.13．（2023秋·江西上饶·高一统考期末）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()3122342x x x x x -+的取值范围是（ ）A ．()4,5B ．(]4,5C ．()4,+∞D ．[)4,+∞【答案】B【过程解析】作出函数()221,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 所以有122x x +=-，341x x =， 故3123234322()2x x x x x x x -+=+， 再由2log 1x =可得2x =或12x =，即3112x <≤， 令2()2g x x x =+，（112x ≤<）， 任取12112x x ≤<<，则120x x -<，12110x x ->， 所以()12121212122211()()2222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12121210x x x x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，即12()()<g x g x ， 所以函数2()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 又152g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4(1)g =，所以()(4,5]g x ∈.即3122342()x x x x x -+的取值范围是(4,5]. 故选：B.14．（2023春·全国·高三校联考专题练习）已知函数11()||||f x x a x b x a x=++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】C【过程解析】因为11()||||f x x a x b x a x =++-+--，11()||||()f a x a x x b f x a x x-=-+++-=-，所以函数()f x 的图象关于直线2ax =对称， 设五个零点分别为12345,,,,x x x x x ，且12345x x x x x <<<<， 则15243,,2a x x a x x a x +=+==， 所以1234555222a a x x x x x a a ++++=++==,所以1a =， 则312x =，由3333311()|||1|01f x x x b x x =++-+-=-，可得11|2||12|22b ++-+=，则5b =.故选：C. 二、多选题15．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知函数ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，函数()y f x m =-有四个不同的零点，且从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（ ）A ．121=x xB ．1201≤<x xC ．341x x =D ．2410-<≤x x【答案】BCD【过程解析】因为ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，所以当(2,0]x ∈-时，()ln(2)f x x =+， 当2(]0,x ∈时，()(2)f x f x =-，所以2(2,0]x -∈-时，(2)ln(22)ln f x x x -=-+=， 所以ln(2),(2,0]()ln ,(0,2]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈⎪⎩， 作出()f x 的图象如图所示，若()f x m =有4个解，则()y f x =与y m =的图象有4个交点，如图(0,ln 2]m ∈，所以1113,1,()ln(2)2x f x x ⎡⎫∈--=-+⎪⎢⎣⎭，(]2221,0,()ln(2)x f x x ∈-=+，由12()()f x f x =，得12ln(2)ln(2)x x -+=+， 即12ln(2)ln(2)0x x +++=，所以12ln[(2)(2)]0x x ++=，所以12(2)(2)1x x ++=， 所以12122()30x x x x +++=，当20x =时，120x x =； 当20x <时，由基本不等式可得12x x +<-所以1230x x ->，解得01<<3>（舍）； 所以12[0,1)x x ∈， 所以A 错误，B 正确，对于C ，3331,1,()ln 2x f x x ⎡⎫∈=-⎪⎢⎣⎭，(]4441,2,()ln x f x x ∈=，因为34()()f x f x =，所以34ln ln x x -=，所以34ln ln 0x x +=，即()34ln 0x x =， 所以341x x =，所以C 正确，对于D ，因为2424(1,0],(1,2],2x x x x ∈-∈+=，所以()()224222211(1,0]x x x x x =+=+-∈-，所以D 正确. 故选：BCD16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e ,0,lg ,010,11,10,x x x f x x x x x ⎧⋅≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩，若22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点分别为123456,,,,,x x x x x x ，且()()()123456345,x x x x x x f x f x f x <<<<<==，则下列说法正确的是（ ）A ．当0x ≤时，()10ef x -≤≤B ．34x x +的取值范围为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭C ．当0m <时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．当0m >时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为20,3e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【过程解析】当0x ≤时，()e x f x x =⋅，此时()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '>，解得10-<≤x ，令()0f x '<，解得1x <-，可得()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，且1(1),(0)0ef f -=-=，∴当0x ≤时，1()0ef x -≤≤，故A 正确； 作出如图所示图像：由22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点， 等价于223()()20f x mf x m --=有6个不同的实数根， 解得()f x m =或2()3m f x =-， ∵341x x ⋅=，∴若343311012,10x x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，可得31110x <<，而当0m >时，120e 3m -<-<，可得302e m <<，而3112e 10f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；当0m <时，10e m -<<，可得22033e m <-<而2113e 10f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 故3x 的范围为1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭的子集，34x x +的取值范围不可能为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭，故B 选项错误；该方程有6个根，且()()()345f x f x f x ==，知341x x ⋅=且()()()126f x f x f x ==，当0m <时，()()()1261,0e f x f x f x m ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，()()()3452(0,1)3m f x f x f x ===-∈，联立解得1,0e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ()()()()()()12345615133332,0e f x f x f x x x f x f x f x m m m ⎛⎫+++=+=-=∈- ⎪⎝⎭，故C 正确；当0m >时，()()()12621,03e m f x f x f x ⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭， ()()()345(0,1)f x f x f x m ===∈，联立解得30,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()()()123456153333230,2e f x f x f x x x f x f x f x m m m ⎛⎫+++=+=-+=∈ ⎪⎝⎭．故D 错误.故选：AC.17．（2023·全国·高三专题练习）设函数22,0()ln ,0x x x f x x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩…，则下列命题中正确的是（ ）A ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是(0,1)B ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是(0,)+∞C ．若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．方程21()()()10f x a f x a -++=的不同实根的个数只能是1，2，3，6【答案】AD【过程解析】对于A ：作出()f x 的图像如下：若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则01a <<，不妨设1234x x x x <<<， 则1x ，2x 是方程220x x a ---=的两个不等的实数根，3x ，4x 是方程|ln |x a =的两个不等的实数根，所以12x x a =，34ln ln x x -=，所以43ln ln 0x x +=，所以341x x =， 所以1234(0,1)x x x x a =∈，故A 正确；对于B ：由上可知，122x x +=-，34ln ln x x a -==，且01a <<， 所以341x x =，所以31,1ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4e (1,)x ∈，所以344411(2,1)e x x x x +=+∈+，所以12341(0,1)ex x x x +++∈+，故B 错误；对于C ：方程()f x ax =的实数根的个数，即可函数()y f x =与y ax =的交点个数，因为y ax =恒过坐标原点，当0a =时，有3个交点，当a<0时最多2个交点，所以0a >， 当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，设切点为()00,ln x x ， 即1y x '=，所以0000ln 1|x x x y x x ='==，解得0e x =，所以0e 1|x x y ='=，所以1ea =，所以当y ax =与ln (1)y x x =>相切时， 即1ea =时，此时有4个交点，若()f x ax =有4个实数根，即有4个交点，当1e>a 时由图可知只有3个交点，当10e a <<时，令()ln g x x ax =-，()1,x ∈+∞，则()11ax g x a x x-'=-=，则当11x a <<时()0g x '>，即()g x 单调递增，当1x a >时()0g x '<，即()g x 单调递减，所以当1x a =时，函数取得极大值即最大值，()max 1ln 10g x g a a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭，又()10g a =-<及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x 无限大时()0g x <，即()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内各有一个零点，即()f x ax =有5个实数根，故C 错误； 对于D ：21()()()10f x a f x a -++=，所以1[()][()]0f x a f x a--=，所以()f x a =或1()f x a=， 由图可知，当1m >时，()f x m =的交点个数为2， 当1m =，0时，()f x m =的交点个数为3， 当01m <<时，()f x m =的交点个数为4， 当0m <时，()f x m =的交点个数为1，所以若1a >时，则1(0,1)a∈，交点的个数为246+=个， 若1a =时，则11a=，交点的个数为3个， 若01a <<，则11a>，交点有426+=个， 若a<0且1a ≠-时，则10a<且1a a ≠，交点有112+=个，若11a a=-=，交点有1个，综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D 正确； 故选：AD ．18．（2023秋·辽宁大连·高一育明高中校考期末）已知函数()()22log 2,241617,42x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（ ）A ．()121242x x x x +=+B ．3412x x +=C ．()3432,34x x ∈D ．函数()()()()21g x f x m f x m =+--的零点为12346,,,,x x x x【答案】BCD【过程解析】由过程解析式可得()f x 图象如下图所示：若()f x m =有四个不同的实数根，则()f x 与y m =有四个不同的交点， 由图象可知：123423468x x x x <<<<<<<<，01m <<； 对于A ，()()12f x f x = ，即()()2122log 2log 2x x -=-，()()2122log 2log 2x x ∴--=-，()22211log log 22x x ∴=--，()()12221x x ∴--=， 整理可得：()1212412x x x x +=++，A 错误；对于B ，()()34f x f x = ，3x ∴与4x 关于直线6x =对称，3412x x ∴+=，B 正确； 对于C ，3x 与4x 是方程()2161702x m f m x x -+-==-的两根， ()34217342x x m m ∴=-=-，又01m <<，()3432,34x x ∴∈，C 正确；对于D ，()()()()()()211g x f x m f x m f x m f x =+--=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由()0g x =得：()f x m =或()1f x =-，()f x m =的根为1234,,,x x x x ；()1f x =-的根为6，()g x ∴的零点为12346,,,,x x x x ，D 正确.故选：BCD.19．（2023秋·山西太原·高一古交市第一中学校校考阶段练习）已知函数22log ,02()813,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若f (x )=a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是（ ）A ．0<a <1B．12922x x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭D．)122x x ⎡+∈⎣【答案】ACD 【过程解析】函数()f x 的图象如上所示，方程()f x a =的解可以转化为函数()f x 与y a =图象交点的横坐标，由图可知01a <<，故A 正确；由题意可知2122log log x x -=，即212log 0x x =，解得121=x x ，由图可知212x <<，所以1222122x x x x +=+，令2212=+y x x ，则函数2212=+y x x 在()1,2上单调递增，当21x =时，3y =，22x =时，92y =，所以122xx +的范围为93,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错；函数2813y x x =-+的对称轴为4x =，所以348x x +=，又121=x x ，所以12342218x x x x x x +++=++，函数()22218g x x x =++在()1,2上单调递增，()110g =，()2122g =，所以12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；122222x x x x +=+，函数()2222h x x x =+在(上单调递减，)2上单调递增，h=，()13h =，()23h =，所以)122x x ⎡+∈⎣，故D 正确.故选：ACD.20．（2023秋·重庆铜梁·高一校考期中）已知奇函数()f x 的定义域为R ，()3f x +为偶函数，且()f x 在[]0,3上单调递减．若关于x 的方程()f x a =在区间[]12,12-上有4个不同的根1234,,,x x x x ，则（ ）A ．()()6f x f x =+B ．()f x 的图象关于直线3x =对称C ．1234x x x x +++的值可能为12-D ．1234x x x x +++的值可能为12【答案】BCD【过程解析】()()()()()12939366f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+()()()()3333f x f x f x f x =-++=---+=--=.所以()()12f x f x =+，A 错误．因为()()33f x f x +=-+，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，B 正确． 画出()f x 的一种可能图象，如图所示，不妨假设1234x x x x <<<．根据对称性有： 当()03a f <<-时，126x x +=-，3418x x +=，123412x x x x +++=，C 正确． 当()30f a <<时，1218x x +=-，346x x +=，123412x x x x +++=-，D 正确． 故选：BCD21．（2023·全国·高三专题练习）设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．99D ．100【答案】BC【过程解析】如图所示：因为关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，所以01a <≤.2101y x x =++的对称轴为5x =-，所以1210x x +=-. 因为34lg lg x x =，所以34lg lg 0x x +=，即341x x =，431x x =. 因为3lg 1x ≤，所以31110x ≤<. 所以()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭， 因为110y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1110x ≤<为减函数，所以()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选：BC 三、填空题22．（2023秋·石河子一中校考阶段练习）已知函数()2e ,0ln ,>0xx x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x b=-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则以下结论正确的是_____.①22342x x +>；②20eb <<； ③122x x +=-； ④()13422x x x x +<-. 【答案】①②④【过程解析】设()2e xg x x =-，其中x ∈R ，则()()21e xg x x '=-+，当1x <-时，()0g x ¢>，此时函数()g x 单调递增， 当1x >-时，()0g x ¢<，此时函数()g x 单调递减， 所以，函数()g x 的极大值为()21eg -=，且当0x <时，()0g x >， 作出函数()f x 、y b =的图象如下图所示：。

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。

高考数学复习题大全一、选择题1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。

A. 1B. 4C. 7D. 103. 以下哪个选项是二次方程x^2 + 4x + 4 = 0的解？A. x = -2B. x = 2C. x = -1D. x = 14. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，这个直线与圆的位置关系是什么？A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定5. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 29二、填空题6. 根据等差数列的通项公式，第n项的值为 ________。

7. 若一个函数的导数为f'(x) = 3x^2 - 2x + 1，其原函数f(x)为________。

8. 一个三角形的三个内角分别为α、β、γ，根据三角形内角和定理，α + β + γ = ________。

9. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度为________。

10. 若一个圆的面积为π，求该圆的半径。

三、解答题11. 解析几何题：已知椭圆方程为\( \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

若椭圆经过点(2,1)，且焦点在x轴上，求a和b的值。

12. 函数题：给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求其导数f'(x)，并找出函数的极值点。

13. 概率统计题：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取两个球，求至少有一个红球的概率。

14. 向量题：已知向量\( \vec{a} = (2, -3) \)和\( \vec{b} = (4,1) \)，求向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的点积。

高中数学概率大题(经典)高考大题概率训练1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1，2，……6)。

求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率：(Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。

2、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫：若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。

再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。

令ξ表示走出迷宫所需的时间。

(1)求ξ的分布列:(2)求ξ的数学期望。

3、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球。

某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球(拿后放回)，记下标号。

若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分。

(1)求拿4次至少得2分的概率：(2)求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望。

4、质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。

将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率：(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望Eξ。

5、在2006年多哈娅运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决.已知比赛中，第一局日本女排先赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为35胜一局，在这个条件下，(1)求中国女排取胜的概率：(Ⅱ)设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ。

(两问均用分数作答)6、甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。

规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球：若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。

现甲进行第一次摸球。

(1)在前三次模球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况，(Ⅱ)在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。

典型例题一空间直结例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（ ）．A ．异面直线B ．相交直线C ．平行直线D ．相交直线或异面直线 分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //． 若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面．故选D ．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置关系是相交、平行或异面．类似地；a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2 已知直线a 和点A ，α∉A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性．．．命题，常用反证法． 证明：（1）存在性．∵ a A ∉，∴ a 和A 可确定一个平面α，由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线． （2）惟一性假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与A c b = 矛盾，∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．典型例题三例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且λ==AD AH AB AE ，μ==CDCGCB CF ，求证： （1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形． 分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可．证明：连结BD ，在ABD ∆中，λ==AD AHAB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=． 在CBD ∆中，μ==CDCGCB CF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=． ∴ FG EH //，∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内．（1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形． 说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况． 特别地，当21==μλ时，E ，F ，G ，H 是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．如果再加上条件BD AC =，这时，平行四边形EFGH 是菱形．典型例题四例4 已知b a 、是两条异面直线，直线a 上的两点B A 、的距离为6，直线b 上的两点D C 、的距离为8，BD AC 、的中点分别为N M 、且5=MN ，求异面直线b a 、所成的角．分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线b a 、平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图，连结BC ，并取BC 的中点O ，连结ON OM 、，∵ON OM 、分别是ABC ∆和BCD ∆的中位线， ∴AB OM //，CD ON //，即 a OM //，b ON //．∴ON OM 、所成的锐角或直角是异面直线b a 、所成的角． 又∵ 6=AB ，8=CD ， ∴3=OM ，4=ON ．在OMN ∆中，又∵5=MN ，∴222MN ON M =+， ∴90=∠MON ．故异面直线b a 、所成的角是90．说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点O 一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．典型例题五例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线AB SC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、．由已知，得SAB ∆≌CAB ∆． ∴CF SF =，E 是SC 的中点， ∴SC EF ⊥．同理可证AB EF ⊥∴EF 是AB SC 、的公垂线段．在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 21=．∴22SE SF EF -=a a a 22414322=-． （2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角． 连结FG ，在EFG ∆中，a EG 21=，a GF 21=，a EF 22=． 由余弦定理，得22222124142412cos 222222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠a a aa a EF EG GF EF EG GEF ． ∴45=∠GEF ．故异面直线EF 和SA 所成的角为45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 如图所示，两个三角形ABC ∆和'''C B A ∆的对应顶点的连线'AA 、'BB 、'CC 交于同一点O ，且32'''===O C CO O B BO O A AO ． (1)证明：''//B A AB ，''//C A AC ，''//C B BC ； (2)求'''C B A ABCS S ∆∆的值．分析：证两线平等当然可用平面几何的方法．而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明．证明：(1)当ABC ∆和'''C B A ∆在O 点两侧时，如图甲 ∵'AA 与'BB 相交于O 点，且OB BOO A AO ''=， ∴''//B A AB （因为'AA 、'BB 共面）． 同理''//C A AC ，''//C B BC ．(2)∵''//B A AB ，且''//C A AC ，AB 和''B A ，AC 和''C A 的方向相反，∴'''C A B BAC ∠=∠，同理'''C B A ABC ∠=∠．因此，ABC ∆∽'''C B A ∆．又32'''==O A AO B A AB ，∴94322'''=⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆C B A ABC S S ． 当ABC ∆和'''C B A ∆在O 点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)．说明：此题ABC ∆与'''C B A ∆是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明．典型例题七例7 S 是矩形ABCD 所在平面外一点，BC SA ⊥，CD SB ⊥，SA 与CD 成︒60角，SD 与BC 成︒30角，a SA =，求：(1)直线SA 与CD 的距离； (2)求直线SB 与AD 的距离．分析：要求出SA 与CD 、SB 与AD 的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离．解：如图所示，在矩形ABCD 中，AD BC //． ∵BC SA ⊥，∴AD SA ⊥．又AD CD ⊥，∴AD 是异面直线SA 、CD 的公垂线段， 其长度为异面直线SA 、CD 的距离．在SAD Rt ∆中，∵SDA ∠是SD 与BC 所成的角， ∴︒=∠30SDA ．又a SA =，∴a AD 3=．(2)在矩形ABCD 中，CD AB //，AD SB ⊥， ∴AB SB ⊥，又AD AB ⊥，∴AB 是直线SB 、AD 的公垂线段，其长度为异面直线SB 、AD 的距离． 在SAB Rt ∆中，SAB ∠是异面直线SA 与CD 所成的角，∴︒=∠60SAB ． 又a SA =，∴260cos a a AB =︒=， ∴直线SB 与AD 的距离为2a ． 说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：①找（作）线段；②证线段是公垂线段；③求公垂线段的长度．(2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段．典型例题八例8 a 、b 、c 是三条直线，若a 与b 异面，b 与c 异面，判断a 与c 的位置关系，并画图说明．分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语言的表达能力．解：直线a 与c 的位置关系有以下三种情形如图：∴直线a 与c 的位置关系可能平行（图中的(1)）；可能相交（如图中的(2)）； 可能异面（图中的(3)）．说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力．典型例题九例9 如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线（ ）．A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一规律，然后按此规律进行计数．正方体的各棱具有相同的位置关系．所以以一条棱为基量，考察与其异面的几对，问题可解．解：如图，正方体中与AB 异面有C C 1，D D 1，11C B ，11D A ，∵各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算成本， ∴异面直线共有242412=⨯对． 说明：分析清楚几何体特点是避免重复计数的关键．计数问题必须避免盲目乱数，做到“不重不漏”．典型例题十例10 如图，已知不共面的直线a ，b ，c 相交于O 点，M 、P 是直线a 上两点，N 、Q 分别是b ，c 上一点．求证：MN 和PQ 是异面直线．证法1：假设MN 和PQ 不是异面直线， 则MN 与PQ 在同一平面内，设为α∵a P M ∈、，α∈P M 、 ∴α⊂a ．又a O ∈，∴α∈O ．∵α∈N 且b O ∈，b N ∈， ∴α⊂b ． 同理：α⊂C∴a ，b ，c 共面于α，与已知a ，b ，c 不共面相矛盾， ∴MN 、PQ 是异面直线．证法2：∵O c a = ，∴直线a ，c 确定一平面设为β． ∵a P ∈，c Q ∈，∴β∈P ，β∈Q ， ∴β⊂PQ 且β∈M ，PQ M ∉． 又a ，b ，c 不共面，b N ∈，∴β∉N ， ∴MN 与PQ 为异面直线．说明：证明两条直线异面的方法有两种． (1)用定义证明（即定义法）：此时需借反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可．(2)用定理证明（即定理法）：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件：α⊂a ，α∉A ，a B ∉，然后可以推导出直线a 与AB 是异面直线．典型例题十一例11 已知平面α与平面β相交于直线l ，A ，B 为直线l 上的两点．在α内作直线AC ，在β内作直线BD ．求证AC 和BD 是异面直线．已知：平面α 平面β=l ，l A ∈，l B ∈，α⊂AC ，β⊂BD ，如图． 求证：AC 、BD 是异面直线．证明：假设AC ，BD 不是异面直线，则它们必共面． ∴A 、B 、C 、D 在同一平面内．即A 、B 、C 所确定的平面α与A 、B 、D 确定的平面β重合 这与平面α 平面β=l 矛盾∴AC 、BD 是异面直线．说明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单．典型例题十二例12 已知空间四边形ABCD ，求证它的对角线AC 和BD 是异面直线． 证法一：（反证法）如图假设AC 和BD 不是异面直线，则AC 和BD 在同一平面内．∴A 、B 、C 、D 在同一平面内，即四边形ABCD 是平面四边形， 这与已知条件矛盾，所以假设不成立． 因此AC 和BD 是异面直线． 证法二：（定理法）过BC 和CD 作一平面α，则对角线BD 在平面α内．对角线AC 与平面α交于BD 外的一点C ，即点C 不在直线BD 上， 且A 点在平面α外．∴根据异面直线判定定理知：AC 和BD 是异面直线．说明：判定两条直线是异面直线的证明问题常用这两种方法，即(1)反证法，(2)用判定定理．典型例题十三例13 已知空间四边形ABCD ，AC AB ≠，AE 是ABC ∆的BC 边上的高，DF 是BCD ∆的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E 、F 不重合，设BCD ∆所在平面α．∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈∉⊂DFE E A DF αααAE 和DF 是异面直线． 证法二：（反证法）若AE 和DF 不是异面直线，则AE 和DF 共面，设过AE 、DF 的平面为β． (1)若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AC AB ≠相矛盾． (2)若E 、F 不重合，∵EF B ∈，EF C ∈，β⊂EF ，∴β⊂BC ． ∵β∈A ，β∈D ，∴A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，假设不成立．故AE 和DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做． 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14 已知E 、1E 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱AD 、11D A 的中点． 求证：111C E B BEC ∠=∠．分析：欲证两个角相等，可通过等角定理或其推论来实现． 证明：如图，连结1EE∵1E ，E 分别为11D A ，AD 中点，∴11E A AE ，∴EA E A 11为平行四边形．∴A A 1E E 1．又∵A A 1B B 1，∴EE 1B B 1，∴四边形11EBB E 是平行四边形．∴EB B E //11．同理EC C E //11．又111B E C ∠与CEB ∠方向相同． ∴CEB B E C ∠=∠111．说明：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：(1)利用等角定理及其推论；(2)利用证三角形相似；(3)利用证三角形全等．本例是通过第一种途径来实现．请同学们再利用第三种途径给予证明．典型例题十五例15 由四个全等的等边三角形的封面几何体称为正四面体，如图，正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，CF 与DE 是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF 、DE 的平行线，找出异面直线CF 与DE 成的角．分析1：选取平面ACD ，该平面有以下两个特点，(1)该平面包含直线CF ，(2)该平面与DE 相交于点D ，伸展平面ACD ，在该平面中，过点D 作CF DM //交AC 的延长线于M ，连结EM ．可以看出：DE 与DM 所成的角，即为异面直线DE 与CF 所成的角．如图．分析2：选取平面BCF ，该平面有以下两个特点：(1)该平面包含直线CF ，(2)该平面与DE 相交于点E ．在平面BCF 中，过点E 作CF 的平行线交BF 于点N ，连结ND ，可以看出：EN 与ED 所成的角，即为异面直线FC 与ED 所成的角．如图．分析3：选取平面ADE ，该平面有如下两个特点：(1)该平面包含直线DE ，(2)该平面与CF 相交于点F ．在平面ADE 中，过点F 作DE FG //，与AE 相交于点G ，连结CG ，可以看出：FG 与FC 所成的角，即为异面直线CF 与DE 所成的角．分析4：选取平面BCD ，该平面有如下特点：(1)该平面包含直线DE ，(2)该平面与CF 相交于点C ，伸展平面BCD ，在该平面内过点C 作DE CK //与BD 的延长线交于点K ，且BD DK =，连结FK ，则CF 与CK 所成的角，即为异面直线CF 与DE 所成的角．如图．说明：(1)两条异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求牢固掌握两条异面直线所成的角的定义和两条异面直线互相垂直的概念，两条异面直线所成的角是刻划两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线成角来解决的，这里我们要注意：两条异面直线所成的角θ的范围是︒≤<︒900θ，当︒=90θ时，这两条异面直线互相垂直．求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．一般提倡像思考2，那样作角，因为此角在几何体内部，易求．(2)本例题多方位、多角度思考问题，思路开阔、运用知识灵活，对我们解决异面直线所成角问题大有裨益，要认真理解．典型例题十六例16 如图，等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，2=BC ，AC DA ⊥，AB DA ⊥，若1=DA ，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．分析：根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线，换句话说，平移BE （或CD ）．设想平移CD ，沿着DA 的方向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的角即为BEF ∠或其补角，解EFB ∆即可获解．解：取AC 的中点F ，连结EF ，在ACD ∆中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴CD EF //，∴BEF ∠即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角或其补角．在EAB Rt ∆中，1=AB ，2121==AD AE ，∴25=BE ． 在AEF Rt ∆中，1=AC ，21=AE ，∴22=EF ． 在ABF Rt ∆中，1=AB ，21=AE ，∴25=BF ． 在等腰三角形EBF 中，1010254221cos ===∠BE EF FEB ， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010． 说明：求角或求角的三角函数值的一般步骤是：①找（或作出）角，适合题意，②求角或求角的三角函数值，往往是化归成一个三角形的内角，通过解三角形求得．典型例题十七例17 在正四面体ABCD 中，已知E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 和BD 所成角的余弦值．分析：可在平面BCD 内过E 作BD 平行线，可在AEF ∆中求得所成角的余弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连结EF ，AF ，∵E 为BC 的中点，∴EF 为CBD ∆的中位线，∴BD EF //，∴AE 与EF 所成的锐角或直角就是异面直线AE 和BD 所成的角．设正四面体的棱长为a ，由正三角形的性质知，a AF AE 23==，a EF 21=．在AEF ∆中， 6321cos ==∠AE EF AEF ，即异面直线AE 和BD 所成角的余弦值为63． 说明：本题是利用三角形中位线达到平移的目的．这种作异面直线所成角的方法称为中位线平移法．典型例题十八例18 在正方体1111D C B A ABCD -中，求正方体对角线1BD 和面对角线AC 所成角的大小．解：如图．取D D 1上中点N ，则有：DN N D =1，连结BD ．令O AC BD = ，则DO BO =，连结NO ，NA ，NC∵N ，O 分别为D D 1，BD 的中点，∴NO 121BD ，∴NOA ∠(或NOC ∠)是异面直线1BD 和AC 所成的角．在NAD Rt ∆及NCD Rt ∆中，∵CD AD =，ND ND =，∴NAD Rt ∆≌NCD Rt ∆，∴NC NA =，∴ANC ∆为等腰三角形．又O 为AC 中点，∴AC NO ⊥，∴异面直线1BD 和AC 所成角为︒90．说明：(1)由于异面直线所成角最大为直角，所以，在把异面直线平移得到的两个夹角中，必须选取其中较小的角为异面直线的所成角．(2)实际上，正方体的体对角线与任意一条面对角线所成角均为直角．典型例题十九例19 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值．分析1：可平移BF 至1EC ，可得到角1AEC ，再解三角形即可．但要注意到1AEC ∠为钝角．解法1：如图，连结1EC ，则BF EC //1，由AE 与1EC 所成的锐角或直角，就是AE 与BF 所成的角，连1AC ，令正方体的棱长为a ， 有a EC AE 251==，a AC 31= 在1AEC ∆中，515612122cos 22122121-=-=-=-=∠AE AC AE AC AE AEC ， ∴1AEC ∠的补角为异面直线AE 与BF 所成角．∴AE 、BF 所成角的余弦值是51． 分析2：连结DB 、FD ，可得DFB ∠即为异面直线AE 和BF 所成的角．进而求其余弦值．解法2：连结DB 、FD ，可证得AE FD //．(∵EF AD )DFB ∠(或其补角)即为异面直线AE 、BF 所成的角．a BF DF 25==，a BD 2=． 由余弦定理，有 ()512245452525222525cos 222=-+=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠a a aa a DFB ， ∴AE 、BF 所成角的余弦值是51． 说明：异面直线所成角的范围是]90,0(︒︒，当求得某角的余弦值为负值时，则此角的补角是异面直线所成角．典型例题二十例20 在空间四边形ABCD 中：CD AB =，BD AC =，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：线段EF 是异面直线AD ，BC 的公垂线．证明：如图．连结AF 、DF 、BE 、CE ．在ABD ∆和ACD ∆中，CD AB =，BD AC =，AD 公用∴ABD ∆≌ACD ∆．又E 是AD 中点，∴CE BE =．在BEC ∆中，F 是BC 的中点，∴BC EF ⊥．同理AD EF ⊥，∴EF 是异面直线AD 、BC 的公垂线．说明：证明某一条直线是两条异面直线的公垂线，须证明以下两点：(1)与两条异面直线都垂直；(2)与两条异面直线都相交．典型例题二十一例21 如图，空间四边形ABCD 中，四边AB 、BC 、CD 、DA 和对角线AC 、BD 都等于a ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．(1)求证：EF 是异面直线AB 、CD 的公垂线．(2)求异面直线AB 和CD 的距离．分析：要证明EF 是异面直线AB 与CD 的公垂线，必须说明两个方面的问题，一个方面EF 与AB 、CD 都相交，另一个方面AB 、CD 与EF 都垂直．(1)证明：连结AF 、BF ，由已知BCD ∆和ACD ∆均为正三角形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴BF AF =，AB EF ⊥．同理CD EF ⊥，又EF 与AB 、CD 都相交，∴EF 为异面直线AB 、CD 的公垂线．(2)解：∵空间四边形各边及对角线AC 、BD 的长均为a ， ∴a BF AF 23==，而a AE 21=， ∴在AEF Rt ∆中，a AE AF EF 2222=-=． ∴异面直线AB 和CD 之间的距离为a 22． 说明：(1)求线段的长度一般地要把该线段放到一个三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等．(2)满足条件的该空间四边形其实质是空间正四面体，该问题实质上是求正四面体对棱之间的距离．典型例题二十二例22 已知a 、b 是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b （ ）．A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解：由已知a 、b 是异面直线，直线c //直线a ，所以直线c 直线b ，否则若b c //，则有b a //与已知矛盾．所以c b ．∴应选C ．说明：本题考察两直线位置关系和公理4的应用及异面直线定义．典型例题二十三例23 两条异面直线指的是（ ）．A ．在空间内不相交的两条直线B ．分别位于两个不同平面内的两条直线C ．某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D ．不在同一平面内的两条直线解：对于A,在空间内不相交的两条直线也可能是平行，应排除A ．对于B ，分别位于两个不同平面内的两条直线可能是异面直线，也可能是相交直线或平行直线，应排除B ．对于C ，某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能是异面直线，也可能是平行直线，应排除C ．∴应选D ．说明：本题主要考查对异面直线定义的掌握，特别是对“不同在任何一个平面内的两条直线”含义的理解．典型例题二十四例24 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是（ ）．A ．23B ．1010 C ．53 D ．52 解：在平面11A ABB 中，过N 点作AM NP //，交AB 于P ，连结PC ，如图，PNC ∠(或其补角)就是AM 与CN 所成的角．设AB 的中点为Q ，则P 是BQ 中点． 可求得45=NP ，417=CP ，25=NC ． 在PNC ∆中，由余弦定理得522cos 222=⋅-+=∠PN NC PC PN NC PNC ． ∴应选D ．说明：作出平行线PN ，进而在PNC ∆中利用余弦定理求出直线AM 与CN 所成角的余弦值．典型例题二十五例25 如图，1111D C B A ABCD -是正方体，4111111B A F D E B ==，则1BE 与1DF 所成的角的余弦值是（ ）．A ．1715B ．21C ．178D ．23解：过A 点在平面11A ABB 内作1//DF AF ，再过1E 在平面11A ABB 内作FA E E //1， 则E BE 1∠(或其补角)即是1BE 与1DF 所成的角． 由已知4111111B A F D E B ==， 1111D C B A ABCD -是正方体，所以可求得a BE 4171=(a 为正方体的棱长)， 又E E AF DF 11==，而11BE DF =， ∴a E E 4171=，显然a EB 21=． 在E BE 1∆中，由余弦定理，得171541722141722cos 2211221211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠a a a E E BE EB E E BE E BE ． ∴应选A ．说明：(1)解答本题的关键是作平行线AF 、E E 1．进而在E BE 1∆中解出E BE 1∠的余弦值；(2)考查历届高考试题，求异面直线所成角的题常以正方体和正四面体为载体，在正方体和正四面体中命题．典型例题二十六例26 在棱长都相等的四面体BCD A -中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，连结AF 、CE ，如图所示，求异面直线AF 、CE 所成角的余弦值．解：连结DF ，取DF 的中点G ，连结EG ，CG ，又E 是AD 的中点，故AF EG //，所以GEC ∠是异面直线AF 、CE 所成角． ∵AF 是正三角形ABC 的高， ∴AB AF 23=，∴AB EG 43=． 在FCG Rt ∆中，AB AB FD FG 43232121=⋅==，AB CF 21=，则 AB AB AB FC FG CG 4721432222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=． 在EGC ∆中，AB CE 23=，AB EG 43=，AB CG 47=， 用余弦定理可得32cos =∠GEC ． ∴异面直线AF 、CE 所成角的余弦值是32． 说明：求两条异面直线所成角或求所成角的函数值，关键是作出异面直线所成的角． 作两条异面直线所成角的方法一般是：将其中一条平移到某个位置使其也另一条相交也或者将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，使得这个角在某一个平面的三角形内，进而求出．但要注意：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时应选择恰当的位置．。

1. 对于函数()321(2)(2)3f x a x bx a x =-+-+-。

（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。

1. （1）由()321(2)(2)3f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根221(2)121(2)02(2)323(2)0a a b a b a b a ⎧=--+⋅-⋅+-=⎧⇒⎨⎨=--+⋅-⋅+-=⎩⎩ ()2'43f x x x ∴=-+-因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过22sin cos t t t -+所以()2'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2'21f x x =--+，其最大值为1．故22sin cos 1t t t -≥72sin 21,3412t k t k k Z πππππ⎛⎫⇒-≥⇒+≤≤+∈ ⎪⎝⎭（2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b =当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ⇔≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-，2244(4)0b a ∴∆=+-≤可得224a b +≤从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为4S π=2. 函数cx bx ax x f ++=23)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、))(,(ββf B分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅲ）若mm x f x 6)(],1,2[->-∈恒成立，求实数m 的取值范围. 2. （Ⅰ） b =0（Ⅱ）3'2()()30,f x ax cxf x ax c αβ=+∴=+=Q 的两实根是则 03c a αβαβ+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩|AB|＝2222()()()()4()2f f αβαβαβ⇒-+-=⇒-= 34232c c a a -⋅=⇒=- 33()()f f a c a c αββαααβββα-=-⇒+--=-Q222()1[()3]1a c a c ααββαβαβ⇒+++=-⇒+-+=-233()11122c a c c ac a a a ∴-+=-⇒-+=-⇒-=-又01a a >∴= 3()32x f x x =-（Ⅲ） [2,1]x ∈-时，求()f x 的最小值是-56(6)(1)50m m m m m+-->-⇒< 106<<-<m m 或3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A ，B ，C 三点，若点B 的坐标为（2，0），且()x f 在]0,1[-和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性． （1）求c 的值；（2）在函数()x f 的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性，∴ x=0是()x f 的一个极值点，故()0'=x f ， 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B （2，0） ∴()a b d d b a 24,048+-==++即令()0'=x f ，则abx x bx ax 32,0,023212-===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性∴4322≤-≤a b ， ∴36-≤≤-ab假设存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ，则()b x f 30'=即 032302=-+b bx ax ∵ △=()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222a b ab ab b b a b又36-≤≤-ab， ∴△＜0∴不存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为4. 已知函数x x f ln )(=（1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （2）当b a <<0时，求证22)(2)()(ba ab a a f b f +->-；4. （1）x x f x g x x f -+==)1()(,ln )(Θ)1()1ln()(->-+=∴x x x x g 111)(-+='x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时，0)(>'x g 当0>x 时0)(<x g ，又0)0(=g∴ 当且仅当0=x 时，)(x g 取得最大值0（2）)1ln(ln lnln ln )()(bb a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由（1）知bab b b a a f b f x x -=--≥-≤+)()()1ln(又222222)(2212,0ba ab b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<<Θ22)(2)()(b a a b a a f b f +->-∴5. 已知)(x f 是定义在1[-，0()0Y ，]1上的奇函数，当1[-∈x ，]0时，212)(x ax x f +=（a 为实数）．（1）当0(∈x ，]1时，求)(x f 的解析式；（2）若1->a ，试判断)(x f 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当0(∈x ，]1时，)(x f 有最大值6-． 5. （1）设0(∈x ，]1，则1[-∈-x ，)0，212)(x ax x f +-=-，)(x f 是奇函数，则212)(xax x f -=，0(∈x ，]1； （2）)1(222)(33x a x a x f +=+='，因为1->a ，0(∈x ，]1，113≥x ，013>+x a ，即0)(>x f '，所以)(x f 在0[，]1上是单调递增的．（3）当1->a 时，)(x f 在0(，]1上单调递增，25)1()(max -=⇒==a a f x f （不含题意，舍去），当1-≤a ，则0)(=x f '，31a x -=，如下表)1()(3max af x f -=0(22226∈=⇒-=⇒-=x a ]1，所以存在22-=a 使)(x f 在0(，]1上有最大值6-． ．6. 已知5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ∆的三内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若ac b c a +≥+222时，不等式[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立．（Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求角B cos 的取值范围； （Ⅲ）求实数m 的取值范围．19. (1)由5)(23-+-=x x kx x f 知123)(2+-='x kx x f ，Θ)(x f 在R 上单调递增，∴0)(>'x f 恒成立，∴03>k 且0<∆，即0>k 且0124<-k ，∴31>k ，当0=∆，即31=k 时，22)1(123)(-=+-='x x kx x f ，∴1<x 时0)(>'x f ，1>x 时，0)(>'x f ，即当31=k 时，能使)(x f 在R 上单调递增，31≥∴k ．(2)Θac b c a +≥+222，由余弦定理：2122cos 222=≥-+=ac ac ac b c a B ，∴30π≤<B ，----5分(3) Θ)(x f 在R 上单调递增，且[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f ，所以 4332)cos(sin 2+<+++m C A B m =++=++-=++--429cos cos 433cos sin 433)cos(sin 222B B B B C A B 87)21(cos 2≥++B ，---10分 故82<-m m ，即9)1(2<-m ，313<-<-m ，即40<≤m ，即160<≤m7. 已知函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f （I ）当2>a 时，求函数)(x f 的极小值（II ）试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

1. 对于函数()321(2)(2)3f x a x bx a x =-+-+-。

（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。

1. （1）由()321(2)(2)3f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根221(2)121(2)02(2)323(2)0a a b a b a b a ⎧=--+⋅-⋅+-=⎧⇒⎨⎨=--+⋅-⋅+-=⎩⎩ ()2'43f x x x ∴=-+-因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过22sin cos t t t -+所以()2'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2'21f x x =--+，其最大值为1．故22sin cos 1t t t -≥72sin 21,3412t k t k k Z πππππ⎛⎫⇒-≥⇒+≤≤+∈ ⎪⎝⎭（2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b =当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ⇔≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-，2244(4)0b a ∴∆=+-≤可得224a b +≤从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为4S π=2. 函数cx bx ax x f ++=23)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、))(,(ββf B分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅲ）若mm x f x 6)(],1,2[->-∈恒成立，求实数m 的取值范围. 2. （Ⅰ） b =0（Ⅱ）3'2()()30,f x ax cxf x ax c αβ=+∴=+=的两实根是则 03c a αβαβ+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩|AB|＝2222()()()()4()2f f αβαβαβ⇒-+-=⇒-= 34232c c a a -⋅=⇒=- 33()()f f a c a c αββαααβββα-=-⇒+--=-222()1[()3]1a c a c ααββαβαβ⇒+++=-⇒+-+=-233()11122c a c c ac a a a ∴-+=-⇒-+=-⇒-=-又01a a >∴= 3()32x f x x =-（Ⅲ） [2,1]x ∈-时，求()f x 的最小值是-56(6)(1)50m m m m m+-->-⇒< 106<<-<m m 或3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A ，B ，C 三点，若点B 的坐标为（2，0），且()x f 在]0,1[-和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性． （1）求c 的值；（2）在函数()x f 的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性，∴ x=0是()x f 的一个极值点，故()0'=x f ， 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B （2，0） ∴()a b d d b a 24,048+-==++即令()0'=x f ，则abx x bx ax 32,0,023212-===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性∴4322≤-≤a b ， ∴36-≤≤-ab假设存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ，则()b x f 30'=即 032302=-+b bx ax ∵ △=()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222a b ab ab b b a b又36-≤≤-ab， ∴△＜0∴不存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为4. 已知函数x x f ln )(=（1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （2）当b a <<0时，求证22)(2)()(ba ab a a f b f +->-；4. （1）x x f x g x x f -+==)1()(,ln )()1()1ln()(->-+=∴x x x x g 111)(-+='x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时，0)(>'x g 当0>x 时0)(<x g ，又0)0(=g∴ 当且仅当0=x 时，)(x g 取得最大值0（2）)1ln(ln ln ln ln )()(bb a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由（1）知bab b b a a f b f x x -=--≥-≤+)()()1ln(又222222)(2212,0ba ab b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<<22)(2)()(b a a b a a f b f +->-∴5. 已知)(x f 是定义在1[-，0()0 ，]1上的奇函数，当1[-∈x ，]0时，212)(x ax x f +=（a 为实数）．（1）当0(∈x ，]1时，求)(x f 的解析式；（2）若1->a ，试判断)(x f 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当0(∈x ，]1时，)(x f 有最大值6-． 5. （1）设0(∈x ，]1，则1[-∈-x ，)0，212)(x ax x f +-=-，)(x f 是奇函数，则212)(xax x f -=，0(∈x ，]1； （2）)1(222)(33x a x a x f +=+='，因为1->a ，0(∈x ，]1，113≥x ，013>+x a ，即0)(>x f '，所以)(x f 在0[，]1上是单调递增的．（3）当1->a 时，)(x f 在0(，]1上单调递增，25)1()(max -=⇒==a a f x f （不含题意，舍去），当1-≤a ，则0)(=x f '，31a x -=，如下表)1()(3max af x f -=0(22226∈=⇒-=⇒-=x a ]1，所以存在22-=a 使)(x f 在0(，]1上有最大值6-． ．6. 已知5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ∆的三内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若ac b c a +≥+222时，不等式[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立．（Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求角B cos 的取值范围； （Ⅲ）求实数m 的取值范围．19. (1)由5)(23-+-=x x kx x f 知123)(2+-='x kx x f ， )(x f 在R 上单调递增，∴0)(>'x f 恒成立，∴03>k 且0<∆，即0>k 且0124<-k ，∴31>k ，当0=∆，即31=k 时，22)1(123)(-=+-='x x kx x f ，∴1<x 时0)(>'x f ，1>x 时，0)(>'x f ，即当31=k 时，能使)(x f 在R 上单调递增，31≥∴k ．(2) ac b c a +≥+222，由余弦定理：2122cos 222=≥-+=ac ac ac b c a B ，∴30π≤<B ，----5分(3) )(x f 在R 上单调递增，且[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f ，所以 4332)cos(sin 2+<+++m C A B m =++=++-=++--429cos cos 433cos sin 433)cos(sin 222B B B B C A B 87)21(cos 2≥++B ，---10分 故82<-m m ，即9)1(2<-m ，313<-<-m ，即40<≤m ，即160<≤m7. 已知函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f （I ）当2>a 时，求函数)(x f 的极小值（II ）试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是()A．⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x B．⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤-+0623063201232y x y x y x C．⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x D．⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-+0623063201232y x y x y x 2、若f(x)是周期为4的奇函数，且f（－5）=1，则()A．f(5)=1B．f(－3)=1C．f(1)=－1D．f(1)=13、若—1<x<0，则下列各式成立的是()A、xx x 2.021(2>>B、xx x 2)21(2.0>>C、xx x 22.021(>>D、xx x )21()21(2>>4、在a 和b（a≠b）两个极之间插入n 个数，使它们与a、b 组成等差数列，则该数列的公差为()A、na b -B、1+-n b a C、1+-n a b D、2+-n a b 5、)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是()A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、[2，+∞]6、f(x)是定义在R 上的偶函数，满足)(1)2(x f x f -=+，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(5.5)等于()A、5.5B、—5.5C、—2.5D、2.57、1)(---=a x x a x f 的反函数f —1（x）的图象的对称中心是（—1，3），则实数a 等于()A、—4B、—2C、2D、38.关于x,y 的方程y mx n =+和221x y m n +=在同一坐标系中的图象大致是（）9.已知()2nx -的二项展开式有7项,则展开式中二项式系数最大的项的系数是（）A.－280B.－160C.160D.56010.若有7名同学排成一排照相,恰好甲、乙两名同学相邻,并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（）A.421B.121C.114D.2711.从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为（）A．181B．3781C．4321D．756112.已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为（）A．30B．12C．32D．10二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.在等差数列｛an｝中，a1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.2.已知正三棱柱ABC—A1B1C1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB1与CA1所成的角为______。

一、单选题1. 不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a＞1C．D．a＞22. 若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（ ）A．1B．0C．－1D．±13. 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）A．B．C．D．4. 函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．5. 平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，….则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为A．15B．16C．17D．186. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A．4B．C．D．67. 下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（）A．B．C．D．8. 已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，条件“l，m，n共面”成立的一个充分不必要条件是（）A．l∩m=P，l∩n=Q B．l，m，n两两相交C．l m，l n D．l m，m∩n=P9. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．10. 已知集合，则（）A．B．C．D．11. 已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，若，二、多选题则的最大值是（ ）A．B．C．D．12.在平面四边形中，，，，，则的最大值为（ ）A．B ．2C ．3D．13. 已知函数的定义域为，其图象关于原点及对称.当时，，则下列叙述错误的是（ ）A．是周期函数B．为奇函数C ．在单调递增D ．的值域为14. 顶点在原点，准线与x轴垂直，且经过点的抛物线方程是（ ）A．B．C．D．15.设，则（ ）A．B．C ．4D ．016. 若直线与函数的图象相切于点，则（ ）A．B．C．D．17. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A．导函数的单调递减区间为B．的图象关于点中心对称C．过原点只能作一条直线与的图象相切D．恰有两个零点18.已知函数，则（ ）A ．函数的周期为B ．函数的图象关于原点对称C．的最大值为2D ．函数在区间上单调递增19. 已知向量，，则（ ）A．B．C．D．20. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若，则的离心率为B ．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小21.如图，在正四棱柱中，，E ，F ，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q 在平面内，则（ ）三、填空题四、解答题A ．平面B．直线与是异面直线C ．当取得最小值时，的最小值为D ．直线与平面的交点是的外心22. 已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（ ）A ．函数在上单调递减B ．若函数在内满足恒成立，则C ．存在实数，使得的图象与直线有7个交点D．已知方程的解为，则23.已知函数，则下列说法中正确的有（ ）A．函数的图象关于点对称B．函数图象的一条对称轴是C ．若，则函数的最小值为D ．若，，则的最小值为24. 已知为圆周率，为自然对数的底数，则（ ）A．B．C．D．25.函数的最大值是___________.26. 若向量，则___________.27. 已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，则________．28. 设分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i ）当直线垂直于 轴时，求点到直线的距离；五、解答题（ii ）求点到直线的距离的最大值.29.设，.（1）求的展开式中系数最大的项；（2）时，化简；（3）求证：.30. 已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.31.设，化简：．32. 化简或求值：（1）；（2）.33. 已知函数f (t )=（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．34. 经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有黄桃均以20元/千克收购；B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：）35. 已知函数．(1)画出的图象；(2)求不等式的解集．36. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，其中第小组的频数为.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.37. 雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Koch snowflake）．现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a 1＝1，并作了如下探究：P1P2P3P4…P n边数31248192…从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…根据小明的假设与思路，解答下列问题．(1)填写表格最后一列，并写出与的关系式；(2)根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；(3)从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．参考数据（，）38. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数.（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）画出函数在区间上的大致图象.39. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了 50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；（2）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式，其中.临界值表：六、解答题40. 仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线，且，切点分别为．(1)求证：点的轨迹方程为；(2)若原点到，的距离分别为，，延长表示距离，的两条直线，与椭圆交于两点，过作交于，试求：点所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．41. 已知在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，且，点为线段的中点．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求到平面的距离．42. 在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是棱BC ，CD 上的点，且平面ABD .(1)求证：平面AEF ；(2)若平面BCD ，，，记三棱锥F -ACE 与三棱锥F -ADE 的体积分别为，，且，求三棱锥B -ADF 的体积.43. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.44. 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面，为的中点，，，.七、解答题（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.45.如图，在四棱锥中，四边形ABCD 是直角梯形，，，底面ABCD，，，E 是PB的中点．(1)求证：平面平面PBC ；(2)若二面角的余弦值为，求a 的值；(3)在（2）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．46. 某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据）47. 某公司准备将万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如表所示:且的期望；若投资乙项目一年后可获得的利润（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为和.若乙项目产品价格一年内调整的次数（次数）与的关系如表所示:(1)求的值;(2)求的分布列;(3)若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求的取值范围.48. 第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A （滑雪），B （滑冰），C （冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.49. 为庆祝元旦，某商场回馈消费者，准备举办一次有奖促销活动，如果顾客一次消费达到500元，可参加抽奖活动，规则如下；抽奖盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，活动结束．否则记为失败，随即获得纪念品1份，当然，如果顾客愿意可在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽奖，如此不断继续下去，直至成功．(1)某顾客进行该抽奖试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽奖，记其进行抽奖试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)为验证抽奖试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽奖试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：t12345y23298604020求y关于t的回归方程：，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）．附：经验回归方程系数：，．参考数据：，，（其中）．50. 经市场调查，某商品每吨的价格为万元时，该商品的月供给量为吨，；月需求量为吨，，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.（1）已知，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数的取值范围.51. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？。

一、单选题1. 2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)（）A．4B．5C．6D．72. 已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（）A．B．C．D．3. 已知，则（）A．有最大值1B．有最小值1C．有最大值2D．有最小值24. 已知，，则（）A．B．C．D．5. 有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（）A．120种B．216种C．384种D．504种6. 已知圆锥的母线长为4，侧面积为S，体积为，则取得最大值时圆锥的侧面积为A．B．C．D．7. 已知，则（）A．B．C．D．8. 已知函数，，若与的图象的交点坐标依次为，，，，则（）A．B．C．D．9. 在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）A．0.16B．0.24C．0.32D．0.4810. 已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（）A．B．C．D．二、多选题11. 声音通过空气的振动所产生的压强叫做声压强，简称声压，声压的单位为帕斯卡()，把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级，声压级以符号表示，单位为分贝()，在空气中，声压级的计算公式为(声压级)，其中为待测声压的有效值，为参考声压，在空气中，一般参考声压取，据此估计，声压为的声压级为（）A．B．C．D．12.定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是A．B．C．D．13. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）A ．若，且，则B．若，且，则C ．若，且，则D ．若，且，则14. 设全集，，，则（ ）A．B．C．D．15.如图，､是双曲线：的左､右焦点，过的直线与双曲线交于､两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，则c ＝（ ）A ．4B ．6C．D．17. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（）A ．沿正方体的表面从点A 到点P的最短路程为B ．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为C．三棱锥的体积最大值为D ．若M在平面内运动，且，点M 的轨迹为抛物线18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，则（）A．当圆C与y轴相切，且直线l的斜率为1时，B．当时，存在l，使得C．若存在l，使得的面积为4，则r的最小值为D．若存在两条不同l，使得，则r的取值范围为19. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（）A．该截角四面体的表面积为B．该截角四面体的体积为C．该截角四面体的外接球表面积为D．该截角四面体中，二面角的余弦值为20. 已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（）A．k的取值范围是且B．直线MN的斜率为C．直线PN的斜率为D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为21. 中国疾控中心网站1月25日发布全国新型冠状病毒感染情况（2022年12月9日到2023年1月23日）．全国报告人群新型冠状病毒核酸检测阳性数及阳性率变化趋势如图．下列说法正确的是（）．A．全国发热门诊就诊人数在2022年12月22日达到峰值，之后持续下降B．全国报告人群核酸检测阳性率呈现先增加后降低趋势，阳性率2022年12月25日达到高峰后逐步下降C．全国急诊就诊人数在2022年12月25日达到峰值，之后持续下降D．全国报告人群核酸检测阳性数呈现先增加后降低趋势，阳性数2022年12月22日达到高峰后逐步下降22. 数列首项，对一切正整数，都有，则（）A．对一切正整数都有B．数列单调递减C．存在正整数，使得D．都是数列的项23. 已知函数，下列结论正确的是（）A．的最小正周期为三、填空题四、解答题B．函数的图象关于直线对称.C ．函数在上单调递增D ．方程在上有个不同的实根24.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P 在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则（）A ．CP长度的最小值为B ．存在点P，使得C ．存在点P ，存在点，使得D ．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为25. 平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆C ：的一条弦，且，M 是AB 的中点.当弦AB 在圆C 上运动时，直线l ：上总存在P ，Q两点，使得恒成立，则线段PQ 长度的取值范围是_____.26. 已知集合，，则_____________．27. 当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a 的取值范围为_______28. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.29. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.8416.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷五、解答题(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．30. 已知函数.(1)求f （x ）的最小正周期和在的单调递增区间；(2)已知，先化简后计算求值：31.已知（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.32. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.33. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．34. 已知函数.（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；（2），，分别是锐角中角，，的对边.若，，求面积的取值范围.35. 某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．(1)请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计该班级的平均分．36. 南中数学教研室对高二学生的记忆力和判断力进行统计分析， 所得数据如下表所示：x 681012y2356(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程(3)根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为 11 的学生的判断力．(参考公式：)37. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，发现其成绩全部介于之间，将其成绩按如下分成六组，得到频数分布表成绩人数410161064(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估算该校50名学生成绩的平均值和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)以该校50名学生成绩的频率作为概率，试估计该市分数在的人数.38.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上一点．（1）在平面内能否作一条直线与平面垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；（2）若时，求直线与平面所成角的正弦值．39. 已知函数.六、解答题（1）若，画出函数的图象，并求出的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.40. 在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC ⊥底面ABCD ，PA =PC=（1）求证：PB =PD ;（2）若点M ,N 分别是棱PA ,PC 的中点,平面DMN 与棱PB 的交点Q ,则在线段BC 上是否存在一点H ,使得DQ ⊥PH ,若存在,求BH 的长,若不存在,请说明理由.41. 已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.42. 如图，四棱锥P –ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，BC =CD =1，AD =2，PA =PD ，E 为PC 中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，PA ∥平面BEF．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；（2）若PC 与底面ABCD 所成的角为60°，求二面角E –BF –A 的余弦值．43. 如图,在三棱锥D ﹣ABC 中,O 为线段AC 上一点,平面ADC ⊥平面ABC ,且△ADO ,△ABO 为等腰直角三角形,斜边AO =4.七、解答题(Ⅰ)求证:AC ⊥BD ;(Ⅱ)将△BDO 绕DO 旋转一周,求所得旋转体的体积.44. 如图1，一副标准的三角板中，为直角，，为直角，，且，把与重合，拼成一个三棱锥，如图2．设是的中点，是的中点．(1)求证：；(2)在图2中，若，且，试求平面与平面夹角的余弦值．45.如图所示，四棱柱中，平面，，点在上，且.(1)若四边形为平行四边形，求证：平面；(2)若点F 在BD 上，，，，，求四棱锥的体积.46. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．对于每道题，若甲自己有把握答对，则选择独立答题．甲每道题自己有把握独立答对的概率为；若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．(1)当时，若甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；(2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．47. 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？48. 经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：第天131030日销售量（百件）23未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.49. 某印刷厂为了研究单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：印刷册数（千册）23458单册成本（元） 3.2 2.42 1.9 1.7根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.(1)为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.①完成下表（计算结果精确到0.1）；印刷册数（千册）23458单册成本（元） 3.2 2.42 1.9 1.7估计值 2.4 2.1 1.6模型甲残差00.1估计值 2.32 1.9模型乙残差0.100②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好；(2)该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，求印刷厂二次印刷10千册获得的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）.50. 某服装批发市场1–5月份的服装销售量x与利润y的统计数据如表：月份12345销售36478量x（万件）利润y（万1934264146元）（1）从这五个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；（2）已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程x+；（3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由（2）中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？参考公式：，51. 某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：14.5.86650.04-4504表中，．若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．(1)利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．。