广义e—bent函数

广义e—bent函数
詹榜华
【期刊名称】《通信学报》
【年(卷),期】1996(017)006
【摘要】本文针对广义ｅ－ｂｅｎｔ函数进行了讨论，证明了此类函数仅包括ｂ
ｅｎｔ函数，常数函数和形如ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝α０＋（ｘ１＋α１）（ｘ２＋α２）…的函数，其中αｉ∈｛０，１｝，ｉ＝０，１，…，ｎ。

【总页数】4页(P125-128)
【作者】詹榜华
【作者单位】北京邮电大学信息工程系
【正文语种】中文
【中图分类】TN918.2
【相关文献】
1.广义bent函数的性质与构造 [J], 梅瑞
2.一类新的二次广义Bent函数 [J], 龚心;高光普;刘文芬
3.有限域上广义部分Bent函数与广义Bent函数的关系 [J], 元彦斌;金栋梁;赵亚群;张肃
4.Bent函数和广义Bent函数的递归构造 [J], 王隽;李世取
5.一种广义Bent函数非存在性证明 [J], 张风雨;张习勇;王春铭;李玉娟
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用特征矩阵的方法构造bent函数Bent函数是一类在密码学和编码理论中广泛应用的布尔函数，其具有最大的非线性度和最小的自相关度。

在构造Bent函数的过程中，特征矩阵是一种常用的方法。

特征矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是Bent函数的阶数。

特征矩阵的每个元素都是一个复数，其值为Bent函数在对应输入上的值。

特征矩阵的构造方法如下：1. 将Bent函数的输入按照二进制表示，得到n个二进制位。

2. 构造一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素为(-1)^(i·j)。

3. 将Bent函数在所有输入上的值按照二进制表示，得到一个长度为n的01序列。

4. 将上述01序列转化为一个长度为n的复数序列，其中0对应1，1对应-1。

5. 将上述复数序列与特征矩阵相乘，得到一个长度为n的复数序列。

6. 将上述复数序列转化为一个长度为n的01序列，其中正实数对应0，负实数对应1。

7. 将上述01序列转化为Bent函数在所有输入上的值。

通过特征矩阵的方法，可以构造出许多Bent函数。

例如，对于阶数为8的Bent函数，其特征矩阵为：1 1 1 1 1 1 1 11 i -1 -i 1 -i -1 i1 -1 -1 1 1 -1 -1 11 -i 1 i 1 i -1 -i1 1 1 1 -1 -1 -1 -11 -i -1 i -1 i 1 -i1 -1 1 -1 -1 1 -1 11 i 1 -i -1 -i 1 i其中i为虚数单位。

通过特征矩阵的方法，可以构造出许多其他阶数的Bent函数。

特征矩阵是一种常用的构造Bent函数的方法，其优点是简单易行，且可以构造出许多不同阶数的Bent函数。

在密码学和编码理论中，Bent函数具有重要的应用价值，因此特征矩阵的方法对于实际应用具有重要的意义。

bent函数bent 函数是一类基于内插的全局最优化算法，用于解决复杂的非线性问题。

该算法的提出者是科学家M.J.D. Powell，因此也被称为Powell算法。

Bent函数通过利用多项式内插技术来解决非线性最优化问题。

它的优点在于快速收敛，而且具有较高的精度和可靠性，适用于大多数无约束和约束问题。

在介绍Bent函数之前，我们先来看一下最优化问题的基本概念。

最优化问题通常指的是在一定的约束条件下，寻找目标函数取得最大或最小值的问题。

给定一目标函数f(x)，其中x是需要优化的参数向量，可以表示为：f(x) = f(x1,x2,...,xn)其中，x1,x2,...,xn是需要优化的参数。

优化问题通常形式化为：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x) ≤ 0和h(x) = 0是问题的约束条件。

如果没有约束条件，则称为无约束问题。

传统的优化算法通常采用迭代搜索的方法，即从一个初始点开始不断寻找目标函数的最小值。

这类算法的性能通常取决于所选的搜索方向和步长。

缺点是容易陷入局部最优解，难以找到全局最优解。

Bent函数的核心思想是通过内插来优化搜索方向和步长。

具体地，Bent函数利用一个多项式序列P(x)来逼近目标函数f(x)，其中n次多项式P(x)形式定义如下：其中，m为内插点数量。

当m=n+1时，多项式完全拟合了f(x)。

因此，利用多项式P(x)来求解最优化问题等价于求解一系列无约束问题，每个无约束问题的目标函数为：其中，x为参数向量。

在Bent函数中，搜索方向和步长由P(x)的一阶和二阶导数提供。

具体地，搜索方向由一阶导数给出，步长由二阶导数给出。

因此，Bent函数能够更快地收敛到全局最优解，并具有更高的精度和可靠性。

另外，Bent函数还可以通过不同的形式定义基函数来适应不同类型的优化问题。

例如，可以通过定义虚拟基函数来处理离散参数优化问题，定义支撑向量机来处理分类问题，定义径向基函数来处理回归问题等。

广义函数的定义及其基本类型广义函数是数学分析领域中的一个重要概念。

它是一个映射，可以将一个函数空间中的任意函数映射到另一个空间中的实数。

通常，广义函数被认为是一类比正常函数更广泛的对象。

在本文中，我们将讨论广义函数的定义和一些基本类型。

一、广义函数的定义广义函数最早由拉贝达提出，他称之为“分布”。

后来，克洛兹和斯特恩伯格改名为“广义函数”。

给定一个连续可导的实函数f(x)，我们可以将其视为一种普通的函数。

然而，在某些情况下，我们需要用更广泛的概念来描述这些函数。

具体来说，我们可以将广义函数视为一种广义的函数，它可以被描述为对某个函数类的元素进行积分。

这个函数类可以包含各种各样的函数，例如连续、可导、有界、几乎处处连续的函数等。

在广义函数的定义中，我们可以把它看做是从一个函数空间到一个实数空间的映射。

对于我们所选定的一类被称为测试函数的光滑函数来说，广义函数的值就是一个积分，即$<T,\phi>=\int T(x)\phi(x) dx $其中，T(x)是广义函数，也可称之为分布，而$\phi$是测试函数。

二、基本类型的广义函数接下来，我们将探讨广义函数的一些基本类型。

这些类型被引入来描述各种类型的真实问题，例如，表面上具有无限的导数，但在某些情况下可能无法计算出精确值。

其中比较重要的有以下几种类型：1. 常数分布常数分布（又称为狄拉克分布）是广义函数的最基本类型之一。

即：$<\delta(x),\phi>=\phi(0)$常数分布在物理、数学和工程学科中应用广泛，因为它对于描述突然出现的点源是非常有用的。

例如，在物理学中，常数分布通常用于描述粒子的位置。

2. 指数型函数指数型函数（又称为高斯函数）是一种具有像钟形曲线的形状的函数。

它可以被表示为指数的负平方：$G(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$指数型函数具有非常重要的性质。

例如，它在概率密度中经常用于描述随机变量的概率分布。

Bent函数研究综述引言在密码学和通信领域中，布尔函数是一类重要的数学工具，用于构建和分析密码算法、数据压缩算法和错误检测代码等。

布尔函数具有以下特点：输入和输出都是布尔值（0或1），可以通过逻辑门进行组合运算，且对称性在密码学中受到广泛关注。

Bent函数是一种特殊类型的布尔函数，具有非常重要的理论和实际应用价值。

本文将详细介绍Bent函数的定义、用途以及工作方式，并对相关研究进行综述。

1. Bent函数的定义Bent函数最早由Rothaus于1976年引入，它是一种具有极端平衡性质的布尔函数。

下面给出Bent函数的正式定义：定义1（Bent函数）：对于任意n元布尔向量(x_1, x_2, …, x_n)，Bent函数f(x)满足以下两个条件： 1. f(x)取值范围为{-1, 1}，其中-1表示0，1表示1；2. f(x)与输入向量x之间的线性相关系数为±2^((n/2)-1)。

这个定义表明，Bent函数在所有输入上都非常平衡，并且线性相关系数达到了最大值。

这使得Bent函数在密码学中的应用非常广泛。

2. Bent函数的用途Bent函数在密码学和通信领域中有许多重要的应用，下面介绍其中几个主要的用途。

2.1 网络密码学在网络密码学中，Bent函数被广泛应用于构建高效且安全的加密算法。

例如，Bent函数可以用于设计S盒、代换盒和扩散层等关键部件，以增强密码算法的混淆和扩散性质。

通过使用Bent函数构建这些组件，可以提高密码算法的安全性和抗攻击能力。

2.2 错误检测与纠正Bent函数还可以应用于错误检测与纠正编码领域。

通过将输入向量x和输出f(x)之间的线性相关系数最大化，可以最大程度地提高错误检测和纠正编码的能力。

在实际应用中，基于Bent函数构建的编码方案具有较低的计算复杂度和较高的容错率。

2.3 伪随机序列生成伪随机序列生成是许多密码算法中重要的组成部分。

基于Bent函数构造伪随机序列发生器可以提供更好的随机性和安全性。

bent函数研究综述Bent函数是一种具有特殊性质的布尔函数，它在密码学、通信和编码理论等领域中有着广泛的应用。

本文将从定义、性质、构造和应用四个方面对Bent函数进行综述。

一、定义Bent函数是一种具有最大非线性度的布尔函数，它的非线性度达到了$2^{n-1}-2^{(n-1)/2}$，其中$n$为布尔函数的变量个数。

Bent函数的定义可以用Walsh谱来表示，即其Walsh谱的绝对值都等于$2^{n/2}$。

Bent函数还具有自对偶性和自互补性等特殊性质。

二、性质Bent函数具有以下性质：1. 非线性度最大：Bent函数的非线性度达到了最大值，因此在密码学中具有重要的应用。

2. 自对偶性：Bent函数的自对偶性意味着它的Walsh谱是对称的，这使得它在构造布尔函数时具有重要的作用。

3. 自互补性：Bent函数的自互补性意味着它的Walsh谱是关于原点对称的，这也使得它在构造布尔函数时具有重要的作用。

4. 均匀性：Bent函数的均匀性意味着它的每个输出值都有$2^{n-1}$个输入值与之对应，这使得它在编码理论中具有重要的应用。

三、构造Bent函数的构造方法有很多种，其中比较常用的有以下几种：1. 幂函数构造法：通过幂函数的形式构造Bent函数，例如$F(x)=x^{2^k+1}$。

2. 置换构造法：通过置换的方式构造Bent函数，例如$F(x)=x^{2^k}\oplus x$。

3. 矩阵构造法：通过矩阵的形式构造Bent函数，例如$F(x)=\text{Tr}(A(x))$，其中$A(x)$为一个$n\times n$的矩阵。

四、应用Bent函数在密码学、通信和编码理论等领域中有着广泛的应用，例如：1. 密码学：Bent函数可以用于构造置换密码和分组密码中的S盒，以提高密码系统的安全性。

2. 通信：Bent函数可以用于构造码距最大的码，以提高通信系统的可靠性。

3. 编码理论：Bent函数可以用于构造均匀分布的码，以提高编码系统的效率。

bent函数研究综述
随着加密技术的不断发展，bent函数在密码学和通信领域中扮演着越来越重要的角色。

本文将对bent函数的定义、性质、应用以及研究现状进行综述，并探讨其未来的研究方向。

首先，bent函数是指布尔函数中对于任意一个输入变量的线性变换后，函数值的取值范围为全局意义上最小的函数，即取遍所有的0和1且函数值平均为1/2。

这个定义简单易懂，但是它的应用却非常广泛。

在密码学中，bent函数被广泛应用于分组密码、流密码、哈希函数、消息认证码等算法中，因为它们具有高度的非线性特性和良好的扩散性能，能够有效地抵御各种攻击手段。

其次，bent函数具有一些特殊的性质，比如对称性、自反性、半正定性等。

这些性质使得它们在密码学中的应用更加灵活和可靠。

例如，一些具有对称性的bent函数可以被用作分组密码中的S盒，这样可以增强系统的安全性和可逆性；而自反性bent函数则可用于哈希函数和消息认证码中，以确保数据的完整性和可信性。

然而，尽管bent函数已经被广泛研究多年，但是它们的构造和性质仍然存在一些未解决的问题。

例如，在分组密码中，如何构造可逆且具有良好扩散性的bent函数仍然是一个挑战；在流密码中，如何利用bent函数抵御侧信道攻击也是一个研究热点。

因此，未来的研究方向应该聚焦于如何更好地构造和优化bent函数，并探索它们在不同应用场景中的性能和安全性。

总而言之，bent函数在密码学和通信领域中具有重要的地位和
广泛的应用前景。

我们相信，在未来的研究中，bent函数将会发挥更加重要的作用，为信息安全领域提供更加可靠和高效的解决方案。

广义伊藤公式摘要：一、引言二、广义伊藤公式的定义与性质三、广义伊藤公式在随机分析中的应用四、广义伊藤公式与其他数学领域的联系五、结论正文：一、引言广义伊藤公式，作为随机分析中的一个重要公式，广泛应用于数学、物理、经济学等领域。

本文将详细介绍广义伊藤公式的定义、性质以及在随机分析中的应用。

二、广义伊藤公式的定义与性质广义伊藤公式是一种计算随机微分方程的解的方法，它的基本形式如下：设随机过程X 和Y 分别满足以下条件：1.X 是连续的，且E(X) = 0；2.Y 是离散的，且E(Y) = 0；3.相关函数R(t, s) = E(X(t)Y(s)) = 0 (t > s)。

则对于任意t > s，有：E(X(t)Y(s)) = ∫_s^t E(X(u)Y(s)) du广义伊藤公式的性质包括：1.线性性：E(X(t)Y(s)) = E(X(t))E(Y(s))；2.常数性：E(X(t)Y(s)) = E(X(t))E(Y(s)) = cE(X(t))E(Y(s))，其中c 为常数；3.时间平移性：E(X(t)Y(s)) = E(X(t-u)Y(s-u))，其中u 为任意常数。

三、广义伊藤公式在随机分析中的应用广义伊藤公式在随机分析中有广泛的应用，例如：1.求解随机微分方程：通过广义伊藤公式，可以将随机微分方程的解表示为随机过程的积分，从而简化了解决过程；2.计算随机过程的矩：利用广义伊藤公式，可以计算随机过程的任意阶矩，从而深入了解随机过程的性质；3.研究随机过程的稳定性：通过分析广义伊藤公式中随机过程的性质，可以研究随机过程的稳定性。

四、广义伊藤公式与其他数学领域的联系广义伊藤公式不仅在随机分析中有应用，还与其他数学领域有密切的联系，例如：1.概率论：广义伊藤公式可以看作是概率论与微积分之间的桥梁，将随机过程的性质与概率密度函数联系起来；2.偏微分方程：广义伊藤公式可以将随机过程的性质与偏微分方程的解联系起来，从而在随机分析与偏微分方程之间建立联系。

广义函数和狄利克雷函数是数学中的两个重要概念。

广义函数也称为分布函数，在微积分、物理学、工程学等领域中应用广泛。

狄利克雷函数则涉及到数学分析和数论的研究。

在本文中，将从两方面进行论述。

一、广义函数广义函数是一种在数学分析中产生的数学概念，它有时也称为分布函数。

广义函数与传统的函数不同，它不是关于某个自变量的函数，而是用来描述一类或一类函数的性质的对象。

广义函数的定义经常涉及到极限、导数等数学概念。

广义函数最初是由法国数学家勒贝格提出的。

由于勒贝格的发现，人们开始注意到这种新型的数学对象并对其进行研究，从而探索了广义函数的许多性质。

在日后的发展中，广义函数得到了不断的扩展并广泛应用在微积分和物理学中。

广义函数与传统的函数最大的不同在于它的曲线图像难以绘制。

但在刻画一些特定的物理量时，广义函数与传统的函数却起到了一样的作用。

例如，在电动力学中，电荷有时被看作是广义函数的实例。

在热力学中，热流也是广义函数的例子。

这些特殊的数学对象在物理学中的应用表明，广义函数在解决现实问题方面起到了积极的作用。

二、狄利克雷函数狄利克雷函数是一种常见于数论中的函数，它以德国数学家狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函数具有周期性、对称性等重要性质，在数论中有着广泛的应用。

狄利克雷函数的定义是比较抽象和繁琐的，但通过一些示例可以加深理解。

狄利克雷函数最简单的形式就是周期函数$D_n(x) = e^{2 \pi i nx}$，其中$n \in \mathbb{Z}$。

在实际应用中，我们通常用Dirichlet级数的形式表示狄利克雷函数：$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}$，其中$\chi$是特定性质的算数函数。

由于狄利克雷函数的定义较为抽象，因此如果初学者要深入学习狄利克雷函数，建议先了解基本概念和一些基本操作，并且还需要掌握一些数论的知识。

尽管如此，狄利克雷函数在数论研究中依然有着广泛的应用。