(新)统编人教高中数学A版必修二第八章第3节《简单几何体的表面积与体积》优质说课稿

必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积一、单选题1．如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为R ，球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆的周长为C .已知球冠的表面积公式为2S Rh π=，若65000,500S C ππ==，则球冠所在球的表面积为（ ）A ．1620000πB ．1690000πC ．1720000πD ．1790000π 2．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)813．已知ABC O 的球面上，若球O 的体积为32π3，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 4．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．128πD ．144π5．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且12BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．319aB ．332aC ．313aD ．与点M 的位置有关6．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且正四棱锥P ABCD -的底面面积为6，侧面积为，则球O 的表面积为（ ）A ．323πBC ．16πD ．32π 7．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）AB C D 8．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距(正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离)，斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（ ）A B C ．1 D ．149．阿基米德（Archimedes ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36π，则圆柱的体积为 （ ）A ．36πB ．45πC ．54πD ．63π 10．平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，且2224AB BD +=，沿BD 将四边形折起成平面ABD ⊥平面BDC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．2πC ．4πD ．16π 11．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．122ππ+B ．144ππ+C ．12ππ+ D ．142ππ+ 12．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A B ．C D ．二、填空题13．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．14．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为______.15．已知圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是一个边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．16．若球的大圆的面积为9π，则该球的体积为________17．若五棱台11111ABCDE A B C D E -的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．三、解答题18．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和.19．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ；（2）求几何体111ACB A D 的体积．20．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液．如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图①中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．21．“圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否成立？答案第1页，共1页 参考答案：1．B2．D3．C4．D5．A6．C7．C8．D9．C10．C11．A12．A13．114．9π15．2π16．36π17．518．圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为25a π. 19．（1）见解析；（2）4.20．(1)2πα-；(2)45°﹒21．答案见解析。

《简单几何体的表面积与体积》说课稿各位老师，大家好：今天我说课的内容是《简单几何体的表面积与体积》。

本节位于必修课程主题三几何与代数对应立体几何初步这一单元。

本节之前从形的角度认识了空间几何体，接下来将从度量的角度进一步认识空间几何体。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学分析、教学评价等六方面加以分析和说明。

一、说教材分析。

1. 内容结构：2.内容分析：本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。

本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．3.育人价值：在实际教学过程中，在对简单几何体的表面积与体积公式的了解与使用公式解决简单的实际问题过程中，提高学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养和空间想象等能力，让学生体会数学来源于生活，激发学习激情。

二、说学情分析。

1.学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．2.通过之前的学习，学生已经熟悉一些平面图形和空间几何体的互化的思想，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。

3.学习圆的面积公式时“分割、近似替代、求和、取极限”这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会这种重要思想方法。

三、说教学目标。

目标：1）.掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题； 简单几何体的表面积和体积 柱体、椎体、台体的表面积和体积 球的表面积和体积（第三课时） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（第二课时） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(第一课时) 球的体积球的表面积2）.柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．目标分析：（1）学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系。

中学教案学科：数学年级：高一教师：授课时间：教学内容8.3.2 球的表面积和体积教学目标四基：1.掌握球体的表面积和体积公式；2.掌握简单组合体的表面积和体积的计算方法；3.通过球体体积公式的推导，使学生了解极限的思想方法四能：通过对球体体积公式的推导，使学生体会“分割、求近似值、再由近似和转化为球体的体积”的极限思想方法；通过对组合体的表面积和体积求法的分析，提高分析问题解决问题的能力。

数学核心素养：通过球体体积公式的推导，使学生体会用数学的思维理解世界的数学素养。

教材分析地位：三中几何体的表面积和体积的计算，是描述几何体的两个量。

重点：球的表面积和体积公式的运用，求组合体表面积和体积的方法难点：球体体积公式的推导学情分析初中学习过投影是化立体图形直观图的学习基础。

教法模式以学生为主体，采用诱思探究式教学，让学生独立思考，合作学习。

媒体运用多媒体展台，实物模型备注教 学 过 程知 识师生活动 设计意图一、课前小测（检测上节课所学的内容）1. 用一个边长分别为4，6矩形围成一个圆柱面，则这个圆柱的体积是2.用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的体积为3. 圆台上底半径r 1=1,下底半径r=3,高h=3,求母线长l侧面积s,全面积s 24. 棱台的两个底面面积分别是245c ㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积。

5. 圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这个圆台的体积V= 。

ππ3624huo ；3216π；（=）（=）（=）；（答案：2325cm 3）；二、进行新课（一）情景设置，引入新课前面学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的求法。

除了上述三个旋转体之外还有一个什么旋转体？那么它的表面积和体积又是怎样计算？今天我们就研究这两个内容（二）数学本质，深入理解问题1： 阅读教材117页，回答：球的半径为R ，则球的表面积为？跟踪训练：（教材118页例3）如图8.3-4,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m,圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(x取3.14)解：一个浮标的表面积为2πX0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2),所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).图8.3-4问题2：（1）在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？学生独立完成，而后教师组织评价教师设计问题，学生回答教师引导，学生回答教师组织，学生回顾且回答考查上节课内容的掌握情况回顾旋转体的类型，引出新课直接给出表面积公式组合体表面积的求法以及求表面积公式的运用（2）阅读教材118页。

8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）【题组一 多面体表面积】1．（2020·全国高一课时练习）长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==.故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.故选：C.2．（2021·江苏南通市）一个正四棱锥的底面边长为2A ．8B ．12C ．16D ．20 【答案】B， 所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B3．（2020·全国高一课时练习）若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为6a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292aD ．232a 【答案】C 【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，12323OD a a =⨯⨯=，111326O D a a =⨯⨯=，116DE OD O D a ∴=-=.在1Rt DED 中，16D E a =，则1D D =a ==. 2193(2)22S a a a a ∴=⨯+=侧.故选：C4．（2020·河北沧州市一中高一月考）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ）A ．32B ．48C ．64D ．323【答案】A【解析】如图:正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成直角△POE ．∵OE =2cm ，∠OPE =30°，∴斜高h ′=PE =4sin 30o OE =，∴S 正棱锥侧=114443222ch =⨯⨯⨯=' 故选：A5．（2020·全国高一课时练习）已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的表面积为（ ）A B ．12 C ．8 D ．【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以2SE ==， 所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.故选：B.6．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)81 【答案】D【解析】正四棱锥如图，设四棱锥的高OE h =，由底面边长为4，可知2OF =，斜高EF故2142h =⨯2=2h +故侧面积为(214448812h ⨯⨯==+=+， 故选：D. 7．（2020·山西吕梁市）已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+【答案】A 【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S1111222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+故选：A8．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学）长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6 【答案】D【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D9．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+ 【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ， ∴球的直径为正四棱柱的体对角线∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为= ∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×＋(2cm )，故选：C【题组二 多面体台体积】1．（2021·扶风县法门高中）正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618a =，解得a =所以该正方体的体积为3V a ==3cm .故答案为：2．（2021·湖南长沙市）如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶4【答案】B 【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c则长方体的体积为1V abc =，四棱锥1A ABCD -的体轵为213V abc =， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13. 故选：B.3．（2020·浙江高一期末）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m【答案】A 【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，34AB BC ==，21PO =，所以正四棱锥P ABCD -的体积为311343421809233ABCD S PO m ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故选：A4．（2020·辽宁沈阳市·沈阳二中高一期末）《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．4003 【答案】B【解析】(()2211+=33V S S h a b h '=+⋅ ()2211305545615333=⨯=⨯⨯=. 故选:B 5．（2021·浙江高一期末）出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD ，21PO =，34AB =，底面正方形的面积为234341156S m =⨯=，则正四棱锥P ABCD -的体积为311115621809233S PO m ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：A6．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积；（2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【答案】（1）6+；（2）203【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD -中，1A BD 是边长为1A AD 、1A AB 、ABD △都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥1A ABD -的表面积(111231322642A BD A AD A AB ABD S S S S S =+++=⨯+⨯⨯⨯=+（2）正方体的体积为328=，三棱锥1A ABD -的体积为111142223323ABD SAA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积为420833-=. 【题组三 旋转体的表面积】1．（2021·浙江丽水市）经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π 【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l =，由题可知)2122⨯=，∴2r l ==，侧面积为rl π=，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ）A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π 【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r ，则下底面半径4r r '=，高4h r =则它的母线长510l r ====∴2r，8r '=. ∴()(82)10100S r r l πππ'=+=+⨯=侧，22100464168S S r r ππππππ'=++=++=表侧.故选：C3．（2020·全国高一课时练习）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．36【答案】B【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r 、R ，设圆锥的母线长为L ，截得小圆锥的母线长为l ，∵圆台的上、下底面互相平行 ∴14l r L R ==，可得L=4l ∵圆台的母线长9，可得L ﹣l =9 ∴3L 4=9，解得L=12， ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3故选B4．（2020·全国高一课时练习）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为r ，由已知有另一底面圆的半径为3r ，而圆台的侧面积公式为(3)4384,7r r l r r πππ+=⨯⨯==，选D.5．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高一期末）圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．5πD ．2π 【答案】A【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2，圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π ,故选：A6．（2021·广西河池市·高一期末）已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________．【答案】4【解析】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．故答案为：4.7．（2021·河南焦作市·高一期末）已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】4π【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a ，圆柱的底面半径为r ()02r <<，则由224r a-=，可得42a r =-，所以圆柱的侧面积()22242484(1)4S r r r r r πππππ=⋅-=-+=--+，所以1r =时，该圆柱的侧面职取最大值4π. 故答案为：4π．8．（2020·北京高一期末）将底面直径为8，高为最大值为______.【答案】【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，4r =，解得2h r =；所以()2224S rh r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r时，S 圆柱侧取得最大值为故答案为：. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.9．（2021·陕西西安市·西安中学高一期末）若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________. 【答案】4:1【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意得：22l r ππ=,即4l r ，所以其侧面积是214S rl r ππ==，底面积是22S r π=，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1 故答案为：4:1【题组四 旋转体的体积】1．（2020·山东菏泽市·高一期末）若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ） A ．4π3cm B ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm【答案】C【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为123152S l r l πππ=⋅==，故5l =.故圆锥的高4h =，圆锥体积为21123V r h ππ==3cm .故选：C.2．（2021·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=∴该容器的容积为3128cm π.故答案为128π.3．（2020·湖南长沙市·高一期末）圆锥的母线与底面所成的角为60︒，侧面积为8π，则其体积为________.【答案】3【解析】如图所示，圆锥的母线与其底面所成角的大小为60︒，60SAO ∴∠=︒，由题意设圆锥的底面半径为r ，则母线长为2l r =，高为h =圆锥的侧面积为8π，2228S rl r r r ππππ∴==⋅⋅==侧面积，解得2r ，h =∴圆锥的体积为2211233V r h ππ=⋅⋅=⨯⨯=圆锥．故答案为：3．4．（2020·江苏南京市·高一期末）把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ） A ．23πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切圆半径为1，面积为21ππ⨯=，以此内切圆为底、高为2的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为22ππ⨯=. 故选：C5．（2020·山东日照市·高一期末）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（ ） A ．61.73 B ．61.71C ．61.70D ．61.69【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则230r π=，所以=5r ， 故221135410033V r h π==⨯⨯⨯=（立方尺）， 因此10061.731.62V =≈（斛）. 故选：A.6．（2020·江苏无锡市·高一期末）某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ） A ．24π米3 B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3【答案】B【解析】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为21614483V ππ=⨯⨯⨯=立方米； 仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为22618963V ππ=⨯⨯⨯=立方米. 所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为2148V V π-=立方米. 故选：B. 【题组五 球】1．（2021·天津滨海新区）在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为外接球的体积为（ ）A ． BC ．D ．【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则111111B D AC AB AD B C D C ======，由于三棱锥11A B CD -的表面积为所以)121442AB CS S==⨯=a ==，所以正方体的外接球的体积为34632π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．2．（2020·广东高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92π的球面上，则此长方体的表面积为（ ） A ．16 B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长， 因为长方体外接球的体积为92π，设外接球半径为R ， 则33924R ππ=，解得32R =，因此2R =22AB BC ==，所以3=12BB =，因此长方体的表面积为：1122248416S AB BC AB BB BC BB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=. 故选：A.3．（2020的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．3【答案】B的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3． 故选：B ．4．（2021·全国高一）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a π B ．3aC 3aD ．316a π【答案】D【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的12， 所以球的半径为2a ，所以球的体积为334326a a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（2021·湖南邵阳市·高一期末）一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ） A ．12π B ．36πC ．108πD ．4π【答案】B【解析】设球的半径为R ,球的体积为3436=3R ππ,解得3R =,则球的表面积244936R πππ=⨯=， 故选：B6．（2020·浙江高一期末）已知正方体外接球的体积是323π，那么该正方体的内切球的表面积为_____________． 【答案】163π【解析】设正方体棱长为a ，则3432323ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得a =∴内切球半径为23a r ==，表面积为21643S ππ=⨯=⎝⎭． 故答案为：163π．【题组六 组合体的体积表面积】1．（2020·全国高一课时练习）如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．【答案】20 323-【解析】由图形观察可知，几何体的面共有2(242)20⨯⨯+=个， 该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积. 两个四棱柱的体积和为222432V =⨯⨯⨯=. 交叉部分的体积为四棱锥S ABCD -的体积的2倍.在等腰ABS 中，SB SB =边上的高为2，则SA =由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形ABCD 的菱形. 设AC 的中点为H ，连接,BH SH 易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高，在Rt ABH 中， 2.BH ==又AC SB ==所以 1222ABCDS=⨯⨯=因为BH SH =，所以112233ABCDS ABCD V S -=⨯=⨯=四棱柱所以求体积为3223233-⨯=-故答案为：20；323-2．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.【答案】366π-【解析】因为222345+=，所以底面是直角三角形， 所以上、下底面内切圆半径34512r +-==， 所以剩余部分几何体的体积21346163662V ππ=⨯⨯⨯⨯=-⨯-， 所以剩余部分几何体的体积为366π-.3．（2021·江西九江市）在底面半径为2，高为面积之比为1：4，求圆柱的表面积.【答案】1)π【解析】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径1r =，若设圆柱的高为h 12=，即h = ∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：2221)S rh r πππ=+=.。

简单几何体的表面积与体积【第一课时】【教学目标】1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系【教学重难点】1．柱、锥、台的表面积2．锥体、台体的表面积的求法【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？二、新知探究柱、锥、台的表面积例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（）倍B．3 倍C．2 倍D．5 倍（2）已知正方体的8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（）A．1∶错误!B．1∶错误!C．2∶错误!D．3∶错误!（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为，则由题意可知，＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选C（2）棱锥B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝错误!，S△B′AC＝错误!三棱锥的表面积S锥＝4×错误!＝2错误!，又正方体的表面积S正＝6因此S锥∶S正＝2错误!∶6＝1∶错误!（3）设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r由S侧＝3π（r＋3r）＝84π，解得r＝7【答案】（1）C（2）B（3）A[规律方法]空间几何体表面积的求法技巧（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．（2）组合体的表面积应注意重合部分的处理．（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．柱、锥、台的体积例2：如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥A­A1BD的体积及高．【解】（1）V三棱锥A1­ABD＝错误!S△ABD·A1A＝错误!×错误!·AB·AD·A1A＝错误!a3故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1­ABD＝a3－错误!a3＝错误!a3（2）V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝错误!a3设三棱锥A­A1BD的高为h，则V三棱锥A­A1BD＝错误!·S△A1BD·h＝错误!×错误!×错误!（错误!a）2h＝错误!a2h，故错误!a2h＝错误!a3，解得h＝错误!a[规律方法]求几何体体积的常用方法（1）公式法：直接代入公式求解．（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出几何体的高和底面积．组合体的表面积和体积例3：如图在底面半径为2，母线长为4 的圆锥中内接一个高为错误!的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝错误!＝2错误!如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2错误!π所以S＝S底＋S侧＝2π＋2错误!π＝（2＋2错误!）π1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为r＝1，高h＝错误!，所以圆柱的体积V1＝πr2h＝π×12×错误!＝错误!π圆锥的体积V2＝错误!π×22×2错误!＝错误!π所以圆柱与圆锥的体积比为3∶82．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高h＝错误!，母线＝2，所以圆台的表面积S＝π（r2＋R2＋r·＋R）＝π（12＋22＋1×2＋2×2）＝11π圆台的体积V＝错误!π（r2＋rR＋R2）h＝错误!π（12＋2＋22）×错误!＝错误!π3．[变条件、变问法]本例中的“高为错误!”改为“高为h”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝错误!＝2错误!如图所示易知△AEB∽△AOC，所以错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以h＝2错误!－错误!r，S圆柱侧＝2πrh＝2πr（2错误!－错误!r）＝－2错误!πr2＋4错误!πr，所以当r＝1，h＝错误!时，圆柱的侧面积最大，其最大值为2错误!π[规律方法]错误!求组合体的表面积与体积的步骤（1）分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．（2）设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．（3）计算求值：根据设计的计算方法求值．【课堂总结】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积（1）V棱柱＝Sh；（2）V棱锥＝错误!Sh；V棱台＝错误!h（S′＋错误!＋S），其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积名称图形公式圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πr表面积：S＝2πr＋2πr2体积：V＝πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πr表面积：S＝πr＋πr2体积：V＝错误!πr2h圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π（r＋r′）表面积：S＝π（r′2＋r2＋r′＋r）体积：V＝错误!πh（r′2＋r′r＋r2）[名师点拨]1．柱体、锥体、台体的体积（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝错误!Sh（3）台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝错误!错误!h2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S圆柱侧＝2πr错误!，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（）cm3cm3cm3cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），BM＝错误!AB＝错误!×8＝4（cm）．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝（R－2）2＋42，所以R＝5，＝错误!π×53＝错误!π （cm3）．所以V球【答案】A[规律方法]球的截面问题的解题技巧（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．（2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2与球有关的切、接问题角度一球的外切正方体问题例3：将棱长为2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是错误!×π×13＝错误!【答案】A角度二球的内接长方体问题例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝错误!＝错误!，所以球的表面积S＝4πR2＝14π【答案】14π角度三球的内接正四面体问题例5：若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为，则a＝错误!，由题意2R＝错误!＝错误!×错误!＝错误!a，＝4πR2＝错误!πa2所以S球角度四球的内接圆锥问题例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是错误!，于是圆锥的底面半径为错误!＝错误!，高为错误!该圆锥的体积为错误!×π×错误!错误!×错误!＝错误!πr3，球体积为错误!πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为错误!＝错误!②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为错误!【答案】错误!或错误!角度五球的内接直棱柱问题例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2πa2πa2D．5πa2【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a．如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝错误!×错误!a a＝错误!a a，OP＝错误!a a，所以球的半径R＝OA满足R2＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a2，故S球＝4πR2＝错误!πa2【答案】B[规律方法]错误!（1）正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝错误!，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）．（2）长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝错误!错误!，如图（2）．（3）正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝错误!a【课堂总结】1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝错误!πR3．[名师点拨]对球的体积和表面积的几点认识（1）从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．（2）由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．（3）球的表面积恰好是球的大圆（过球心的平面截球面所得的圆）面积的4倍．【课堂检测】1．直径为6 的球的表面积和体积分别是（）A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36π D．144π，144π解析：选B．球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝错误!π·33＝36π2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（）解析：选A．设正方体棱长为a，球半径为R，由6a2＝4πR2得错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!错误!错误!＝错误!3．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为（）A．1 B．2C．3 D．4解析：选A．设两球的半径分别为R，r（R>r），则由题意得错误!解得错误!故R－r＝14．已知棱长为2 的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________．解析：设球O的半径为r，则错误!πr3＝23，解得r＝错误!答案：错误!5．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球的半径为R因为O′A＝错误!×错误!×2＝错误!在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝错误!错误!＋错误!R2，所以R＝错误!，所以S＝4πR2＝错误!π球。