北师大九年级上《1.2矩形的性质与判定》同步练习矩形的判定

1.2 矩形的性质与判定一．选择题1．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（）A．15°B．15.5°C．20°D．37.5°2．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形3．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝38°，则∠E的值是（）A．18°B．19°C．20°D．40°4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE ＝15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72°D．90°5．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1B．C．D．6．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（3，）7．矩形COED在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点D的坐标是（1，3），则CE的长是（A．3B．2C．D．48．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（）A．85°B．80°C．75°D．70°9．如图，矩形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边上一点，∠DFC＝2∠FCE，CE＝8，CF＝10，则线段AF的长为（）A．B．C．D．10．如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于（）A．108°B．114°C．126°D．129°二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为．13．已知如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点C，点D的坐标分别为（0，4），（5，0），，点P在BC边上运动（不与B，C重合），当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为：．14．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，若BD＝4，则AD＝．三．解答题15．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）AE＝，EF＝（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．18．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．（1）求证：BE＝CD；（2）若AB＝4，AD＝7，求△EFD的周长．19．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．（1）求证：AF＝CE；（2）连接AC，若AC平分∠F AE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．参考答案一．选择题1．A．2．B．3．B．4．B．5．C．6．D．7．C．8．C．9．A．10．C．二．填空题11．．12．2．13．（2，4）或（3，4）或（8，4）．14．2．三．解答题15．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO﹣AE＝OB﹣BF＝CO﹣CG＝DO﹣DH，即：OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2．16．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，由题意得：AE＝CF＝t，∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG与△CEH中，，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形．（3）解：如图所示，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，∴GH＝BC＝4，∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5．②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形17．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴BC＝AB，∠ABC＝60°，∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，∴∠ABC＝∠BAD，∴BC∥DA，∵点E是线段AB的中点，∴CE＝AB＝BE＝AE，∵∠ABC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°＝∠ABD，∴BD∥CF，∴四边形BCFD为平行四边形；（2）证明：如图所示：∵BD∥CF，BE＝AE，∴AF＝DF＝AD，∴BC＝AF，又∵BC∥DA，∴四边形BCAF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAF是矩形．18．（1）证明：矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵EF⊥ED，∴∠1+∠2＝90°，∴∠3＝∠2，又EF＝ED，∴△BFE≌△CED，∴BE＝CD；（2）解：矩形ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝AD＝7，∵△BFE≌△CED，∴BE＝CD＝4，∴EC＝3，∴ED＝5，∴EF＝ED＝5，∴FD＝，∴△EFD的周长＝．19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，∵∠DAF＝∠BCE，∴△DAF≌△BCE（ASA），∴AF＝CE；（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵CE＝4，∴AF＝4，∵AC平分∠F AE，∴∠F AC＝∠CAB，∴∠F AC＝∠DCA，∴FC＝AF＝4，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝2，∴CD＝6．初中数学精品教学初中数学精品教学11。

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

1.2《矩形的性质和判定》同步练习1、矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。

2、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是________。

3、已知矩形ABCD 的对角线相交于O ，对角线长8cm ，∠AOD=60°，则AD=________，AB=________。

4、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2，∠BOC=120°，AB=4，则四边形ABCD 的面积=________。

5、矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。

6、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

7、 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________。

8、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。

题4图 题8图9、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 。

10、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 11、下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角是90º的平行四边形是矩形12、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D.测量两条对角线是否互相平分13、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm14、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形15、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（ ）A.B. C. D.题15图 题16图16、如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=6，OA=4，则AD 的长为（ ）A 、4B 、8C 、33D 、72yxP D CB A O解答题：1、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

1.2 矩形的性质与判定一．选择题1．下列说法中，不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．同位角相等C．一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形D．矩形的对角线相等且互相平分2．如图，点E与点F是矩形ABCD两条对边AD与BC的中点，分别过点D，B作对角线AC的垂线，垂足为点G，H，顺次连接E，H，F，G，得到四边形EHFG，若AB＝4，BC＝8，则四边形EHFG的面积是（）A．B．8C．D．3．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD 交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF ＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AE平分∠BAD，AE交BC于E．则下列的结论：①△OBE是等腰三角形；②BE＝2OE；③∠AEO＝30°；④S△ABE＝3S△OEC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（）cm．A．14B．20C．28D．306．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形所在平面作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为（）A．B．1C．2D．37．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（）A．15°B．15.5°C．20°D．37.5°8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°．如果△ABC的周长比△AOB的周长大10，那么矩形ABCD的边AB的长是（）A．5B．10C．10D．209．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC 于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（）A．43°B．34°C．33°D．19°10．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．6B．C．5D．11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF 中点，连接PC，则PC的最小值是（）A．4B．8C．2D．412．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形二．填空题13．如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为．14．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（5，0），（0，3），点P在BC边上运动，当△OAP是等腰三角形时，点P的坐标为．16．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为．18．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝度．三．解答题19．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，A．BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）当AD与BD满足什么数量关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．20．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝时，两点停止运动；（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝14，DE＝8，求BE的长．参考答案一．选择题1．B2．D．3．A．4．B．5．C．6．B．7．A．8．C．9．C．10．D．11．D．12．C．二．填空题13．0.3125cm2．14．4b﹣2a．15．（，3）或（4，3）或（1，3）．16．4或5或6或16．17．．18．36．三．解答题19．（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，∴∠ADB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE＝∠FBC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；（2）解：AD＝BD，四边形DEBF是矩形．理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，AE＝CF，又∵AB＝CD，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AD＝BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴平行四边形ABCD是矩形．20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AB+BC＝BC+CD＝14，∵14÷2＝7，∴t＝7；故答案为：7；（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，分情况讨论：当0＜t≤4时，若BP＝BQ，则6﹣t＝2t，∴t＝2；当4＜t≤6时，若PQ＝BQ，则PB＝2CQ，6﹣t＝2（2t﹣8），∴t＝；当6＜t＜7时，由题意可知不存在；综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝CE，∴FE＝BC，∴四边形AFED是平行四边形，∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形AFED是矩形．（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，∵AD＝7，BE＝2，∴FE＝7，∴FB＝FE﹣BE＝5，∴CE＝BF＝5，∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF＝∠F．∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°．∴∠DAB＝90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6．在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°．∴AD＝DE＝8．∴BC＝8．在Rt△BCE中，由勾股定理得：。

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。

第2课时矩形的判定知识点1 根据定义判定1.如图1 —2-16,要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A.AB= BCB. AQ= CQC ∠ ABC= 90°D ∠ 1=∠ 22.木工师傅做一个矩形木框，做好后量得长为80 Cm宽为60 cm,对角线的长为100Cm则这个木框_________ .（填“合格”或“不合格”）3.如图1—2—17,在厶ABC中，ADL BC于点D, DE// AC交AB于点E, DF// AB交AC于点卩，当厶ABCW足条件 ___________ 时，四边形AEDF是矩形.4.如图1—2—18,菱形ABCD的对角线AC BD相交于点Q,且DE// AC, AE// BD.求证：四边形AQDE是矩形.图1 —2—18知识点2 根据对角线相等判定H --------图 1 — 2— 195•如图1 — 2—19,平行四边形 ABCD 勺对角线AC 与BD 相交于点0,要使它成为矩形， 需再添加的条件是（ ）A. AO= OC B • AC= BDC. AC ⊥ BD D . BD 平分∠ ABC6.如图1 — 2 — 20,在？ABCDh 对角线AC, BD 相交于点 Q OA= 3,要使？ABCe 为矩形, 则OB 的长为（ ）A. 4 B . 3 C . 2 D . 17.如图1 — 2— 21,工人师傅砌门时，要想检验门框 ABCDI 否符合设计要求（即门框是 不是矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC BD 的长度，然后看它们是否相等就可以判断了. （1） _________ 当AC（填“等于”或“不等于” ）BD 时，门框符合要求； （2） ____________________________________ 这种做法的根据是 .&教材例2变式题如图1— 2— 22,四边形ABCDI 平行四边形，对角线 AC BD 相交于 点Q △ OAB^等边三角形，BC= ,3.求四边形 ABC 啲周长.知识点3 根据直角的个数判定9. 对于四边形 ABC D 给出下列4组条件：①∠ A =∠ B =∠ C =∠ D ②∠ B =∠ C=∠ D ③∠ A =∠ B,∠ C =∠ D;④∠ A =∠ B =∠ C = 90°,其中能得到“四边形 ABCt 是矩形”的条 件有（ ）A. 1组B . 2组C . 3组D . 4组图 1 — 2—图1 —2 —2310.如图1 —2 —23,直角∠ AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为__________ .11.下列命题错误的是（）A.有三个角是直角的四边形是矩形B.有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D对角线相等且互相平分的四边形是矩形12.如图1 —2—24,四边形ABCD勺对角线AC, BD相交于点Q已知下列6个条件：① AB// DC ② AB= DC ③ AC= BD④∠ ABC= 90° :⑤ QA= QC ⑥ QB= OD下列组合中，不能使四边形ABCI成为矩形的是（）A.①②③B .②③④C.②⑤⑥ D .④⑤⑥DI图1 —2 —2513•如图1 —2 —25, D, E, F分别是△ ABC各边的中点•添加下列条件后，不能得到四边形ADEF i矩形的是（）A∠ BAC= 90 ° B •BC= 2AEC. ED平分∠ AEB D •AEL BC图1 —2 —2614._______________________ 如图1 —2—26,已知四边形ABCDE, F, G H分别是四边的中点，只要四边形ABCD 的对角线AC BD再满足条件,则四边形EFGH一定是矩形.15.如图1 —2—27, AB// CD PM PN QM QN分别为角平分线.求证：四边形PMQN 是矩形.16.如图1 —2 —28 ,在厶ABC中,AB= AC D为BC的中点，已是厶ABC外一点且四边形ABDEl平行四边形.求证：四边形ADCE^矩形.图1 —2—2817.如图1 —2 — 29,四边形ABCD勺对角线AQ BD交于点Q已知O是AC的中点，AE =CF, DF// BE⑴求证：△ BO^△ DOF1(2)若OD= 2AQ则四边形ABCDI什么特殊四边形？请证明你的结论.图1 —2 —2918.如图1 —2 —30,在厶ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN/ BC设MN交∠ ACB的平分线于点己，交厶ACB的外角∠ ACD的平分线于点F.(1)求证：OE= OF(2)若CE= 12, CF= 5,求OC的长；⑶ 当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.图1-2-301. C2•合格3.答案不唯一，如∠ BAC= 90 °4.证明：•••四边形ABCD是菱形，∙∙∙ AC⊥ BD ∙∙∙∠ AODt 90° .∙∙∙ DE/ AC AE// BD∙四边形AODEi平行四边形.又∙∙∙∠Ao= 90°,∙四边形AODEi矩形.5. B6. B7.⑴等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形&解：•••四边形ABCD是平行四边形，∙AC= 2OA BD- 2OB•••△ OAB^等边三角形，∙OA= OB= AB∙ AC=BD∙四边形ABCD^矩形，∙∠ABC= 90° .在Rt△ ABC中，AC= 2OA= 2AB, BC= 3,由勾股定理，得AB= A(C- BC= 1, ∙四边形ABC［的周长=2(AB÷ B(C = 2(1 + 3).9. B10 12.11. C12. C13. D14.AC⊥ BD15.证明：∙∙∙PM PN分别平分∠ APQ∠ BPQ1 1.∙∙∠ MPQ：2∠ APQ∠ NP Q 2∠ BPQτ∠ APQr∠ BPQ= 180 ° ,.∠ MPQ-∠ NPQ= 90°,即∠ MPN= 90° .同理可证∠ MQ= 90° .∙∙∙ AB// CD .∠ APQ-∠ CQ= 180°,.∠ MPQ-∠ MQ= 90°,即∠ PM= 90°,∙∙∙四边形PMQ是矩形.16.证明：•••四边形ABDE是平行四边形，∙ AE// BC AB= DE AE= BD∙∙∙D为BC的中点，∙CD= BD •••CD/ AE CD= AE•四边形ADCE^平行四边形.∙∙∙ AB= AC AB= DE•AC= DE•平行四边形ADC是矩形.17.解：(1)证明：∙∙∙ DF// BE∙∠FD(=∠ EBQ ∠ DF(=∠ BEo •••0为AC的中点，∙OA= OC∙∙∙ AE= CF∙∙∙ OA- AE= OG- CF,即OE= OF在厶 BOE^n△ DOF中,∠ EBO=∠ FDO∠ BEO=∠ DFO OE= OF•••△ BOE^△ DO(AAS).1(2)若OD= 2AC则四边形ABCDI矩形.证明：•••△ BOE^△ DOF ∙OB= OD1∙∙∙OD= 2AC•OA= OB= OC= OD 且BD= AC•四边形ABCDI矩形.18 •解：⑴证明：∙∙∙ MN交∠ ACB的平分线于点E,交∠ ACB勺外角平分线F ,如图于点所示,∙∠2=∠ 5, ∠ 4=∠ 6.∙∙∙ MN/ BC ∙∠1 = ∠ 5 , ∠ 3 =∠ 6 ,∙∠1=∠ 2, ∠ 3=∠ 4 ,•OE= OC OF= OC ∙OE= OF⑵ τ∠ 2=∠ 5, ∠ 4 =∠ 6 ,∙∠2+∠ 4=∠ 5+∠ 6= 90° .∙/ CE= 12 , CF= 5 , ∙EF= I 122÷52= 13 ,1•OC= ^EF= 6.5.⑶ 当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由：当O为AC的中点时，AO=Co 又∙∙∙OE= OF•••四边形AECF是平行四边形. 又∙∙∙∠ECF= 90°,•四边形AECF是矩形.。

年级数学（上）第一章《特殊的平行四边形》同步测试1.2矩形的性质与判定一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．两组对边分别平行C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等2. 下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分3.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C． D．44.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．125.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=12AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF6.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.27.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A． B．125C．165D．1858.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°9.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，DE=2，则四边形OCED的面积（）A． B．4 C． D．810.如图，在矩形ABCD中，AB，BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O.有下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=FH；④BC-CF=2EH；⑤AB=FH.其中正确的结论有（）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．3.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．4.如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．5.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．6.如图，矩形ABCD中，对角线E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=．7.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 度．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．三、解答题1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．2.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．3.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．4. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．5.如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．6.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．7.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．8.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．。

第3课时矩形的性质与判定的综合应用知识点矩形性质与判定的应用1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是( )A．22°，68°B．44°，66°C．24°，66°D．40°，50°4．如图1－2－31所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为( )A．2.4 B．2 C．1.8 D．1.51－2－311－2－325．如图1－2－32，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．6．在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图1－2－33所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝________ cm.1－2－331－2－347．如图1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图1－2－35，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.图1－2－359．如图1－2－36，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是( )A．△AFD≌△DCE B．AF＝12 ADC．AB＝AF D．BE＝AD－DF1－2－361－2－3710．如图1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( ) A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 311．如图1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P 不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为( )图1－2－38A．4 B．4.8 C．5.2 D．612．如图1－2－39，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为________cm.1－2－391－2－4013．如图1－2－40，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．14．教材例4变式题如图1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AE∥BC，DE∥AB，连接CE，DE交AC于点G.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)点F在BA的延长线上，请直接写出图中所有与∠FAE相等的角．图1－2－4115．如图1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.求证：四边形EFPH为矩形．图1－2－4216．2016·贵阳期末如图1－2－43，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M 处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．图1－2－4317．如图1－2－44，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.(1)求证：四边形DAEF是平行四边形．(2)探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：①当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足条件：____________时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在．图1－2－441．D 2.A 3.A4．D5．20.6．5.8.7．48．证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°.∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.9．B10．A .11．B12．513．2AB＝BC14．解：(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD. ∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B，∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC.15．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP.又∵AD∥BC，即AE∥CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形．∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，DE＝BP＝1，∴CE＝5，同理BE＝2 5，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC ＝90°，∴四边形EFPH 为矩形．16．解：(1)证法一：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB .由折叠的性质可得：∠ABE ＝12∠ABD ，∠CDF ＝12∠CDB ， ∴∠ABE ＝∠CDF .在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF (ASA)，∴AE ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴DE ＝BF ，DE ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形．证法二：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠ABD＝∠CDB，DE∥BF.由折叠的性质得∠EBD＝12∠ABD，∠FDB＝12∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF.又∵DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．(2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝DE，∠FBD＝∠EBD＝∠ABE. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠FBD＝∠EBD＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝23＝2 33，BE＝2AE＝433，∴BC＝AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝2 33＋433＝2 3.17．解：(1)证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，∴∠ABC＋∠FBA＝∠DBF＋∠FBA＝60°，∴∠ABC＝∠DBF.又∵BA＝BD，BC＝BF，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．(2)①∠BAC＝150°②AB＝AC≠BC③∠BAC＝60°。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。

北师大版九年级上?矩形?的性质与断定一、选择题1. 四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,能断定四边形ABCD是矩形的是()A. AO=CO,BO=DOB. AB=BC,AO=COC. AO=CO=BO=DOD. AO=CO,BO=DO,AC⊥BD2. 矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,那么AC的长是()A. 2B. 4C. 2√3D. 4√33. 在矩形ABCD中,点O是BC的中点,∠AOD=90°,矩形ABCD的周长为20 cm,那么AB的长为()A. 1 cmB. 2 cmC. 52 cm D. 103cm4. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,那么矩形的对角线AC长()A. 2B. 4C. 2√3D. 4√35. 假设矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,那么两条对角线相交所成的锐角是()A. 20°B. 40°C. 80°D. 100°6. 假设顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,那么四边形ABCD一定是()A. 矩形B. 对角线互相垂直的四边形C. 菱形D. 对角线相等的四边形7. 如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是()A. AB∥DCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB=DC8. 顺次连接一个对角线互相垂直的四边形的四边的中点所得到的四边形是 ()第 1 页A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 一般平行四边形9. 在数学活动课上,教师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案,其中正确的选项是()A. 测量对角线是否互相平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量四边形的三个内角是否都为直角10. 以下命题中,错误的选项是()A. 平行四边形的对角线互相平分B. 菱形的对角线互相垂直平分C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分D. 角平分线上的点到角两边的间隔相等11. 如图,矩形ABCD的对角线AC=8cm,∠AOD=120°,那么AB的长为()A. √3cmB. 2cmC. 2√3cmD. 4cm12. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8 cm.把矩形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AF交cm,那么AD的长为()DC于点F,假设AF=254A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm13. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,那么CE的长为()A. 3B.C.D.第 3 页14. 如图,四边形ABCD 的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是 ( )A. AB =CDB. AD =BCC. ∠AOB =45°D. ∠ABC =90°15. 如图,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =4,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC 于E ,PF ⊥BD 于F ,那么PE +PF 的值为 ( )A. 135B. 52C. 2D. 12516. 如图,OP 平分∠AOB ,∠AOB =60°,CP =2,CP ∥OA ,PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E.假如点M 是OP 的中点,那么DM 的长是 ( )A. 2B. √2C. √3D. 2√317. 如下图,在矩形纸片ABCD 中,AB =6 cm,BC =8 cm,现将其沿EF 对折,使得点C 与点A 重合,那么AF 的长为 ( )A. 258 cmB. 254 cmC. 252 cmD. 8 cm18. 如下图,把长方形纸条ABCD 沿EF ,GH 同时折叠,B ,C 两点恰好落在AD 边的P 点处,假设∠FPH =90°,PF =6,PH =8,那么长方形ABCD 的边BC 长为 ( )A. 20B. 22C. 24D. 30二、填空题19. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,假设AB=6 cm,BC=8 cm,那么EF=cm.20. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB边的中点,AC=3,BC=4,那么CD=.21. 如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,假设AB=5,AD=12,那么四边形ABOM的周长为.22. 如下图,l∥m,矩形ABCD的顶点B在直线m上,那么∠α= .23. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,DE⊥AC于E,∠EDC∶∠EDA=1∶2,且AC=10,那么DE的长度是.24. 如图,在矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,那么AE 的长为cm.25. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,假如将该矩形沿对角线BD折叠,那么图中阴影局部的面积是.三、解答题26. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥CA,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是菱形;(2)假设将题设中“矩形ABCD〞这一条件改为“菱形ABCD〞,其余条件不变,那么四边形AODE 是.请说明理由.27. 如图,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在点E处,BE与CD相交于F,假设AD=3,BD=6.(1)求证: △EDF≌△CBF;(2)求∠EBC.第 5 页28. 如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.(1)求证: △ABF≌△ECF.(2)假设∠AFC=2∠D,连接AC,BE.求证:四边形ABEC是矩形.29. 如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是CD的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证:DB=CF;(2)假如AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.30. 如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)假设∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.31. 如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE于点F,PG⊥AD于点G,请你探究PG,PF,AB之间的数量关系,并证明你的结论.(至少两种解法)32. 如图,O为直线MN上一点,P为射线OC上一点,OA,OB分别是∠MOC,∠NOC的平分线,PE∥OB,PF∥OA,请确定四边形PEOF的形状.33. 如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE=3∠BAE,求∠EAC的度数.34. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.(1)求证:△BOE≌△DOF.(2)假设OD=1AC,那么四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.235. 如下图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使BC与AD交于点E.假设AD=8cm,AB=4cm,求△BDE的面积.北师大版九年级上?矩形?的性质与断定参考答案1. 【答案】C【解析】A：对角线互相平分,只能断定为平行四边形;B：BD垂直平分AC，一条对角线垂直平分另一条对角线，不是互相垂直平分，无法断定四边形的形状;C：对角线相等且互相平分,可断定为矩形;D：利用对角线互相垂直平分,可断定为菱形.应选C.2. 【答案】B【解析】在矩形ABCD中,OC=OD=OA.∵∠AOD=60°,∴△AOD为等边三角形,∴OA=OD=2，∴AC=2OA=2×2=4.应选B.第 7 页3. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,AB=DC.∵O是BC的中点,∴BO=CO,∴△ABO≌△DCO,∴AO=DO.∵∠AOD=90°,∴∠OAD=∠ODA=45°,∴∠BAO=∠AOB=45°,∴AB=OB.设AB=x cm,那么BC=2x cm,∴2(x+2x)=20,解得x=103,应选D.4. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO=OC.又∵∠AOB=60°,∴△AOB是正三角形，即AO=AB=2.∴AC=2AO=2×2=4,应选B.5. 【答案】C【解析】如下图.∵图形中∠1=40°,又∵矩形的对角线相等且互相平分,∴OB=OC,∴∠OBC=∠1,∴∠AOB=2∠1=80°.应选C.6. 【答案】B【解析】如图,由于E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,根据三角形中位线定理,得EH∥FG∥BD,EF∥HG∥AC;∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG.∴AC⊥BD.而除了对角线垂直外，再无其他要求，应选B.7. 【答案】C【解析】因为四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成,如下图,连接AC,BD,所以EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形,要使四边形EFGH 为矩形,根据矩形的断定(有一个角为直角的平行四边形是矩形),所以当AC⊥BD时,∠EFG=90°.四边形EFGH为矩形.应选C.8. 【答案】A【解析】如下图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是其四条边的中点,顺次连接E,F,G,H四点,由中位线定理知EH∥──────12BD,FG∥──────12BD,所以四边形EFGH是平行四边形.又∵EH∥BD且AC⊥BD,∴∠OMH=∠AOD=∠MHG=90°,所以平行四边形EFGH是矩形,应选A.9. 【答案】D【解析】A.对角线互相平分,只能断定为平行四边形;B.两组对边分别相等,只能断定为平行四边形;C.一组对角是否都为直角,不能断定形状;D.四边形的三个内角都为直角,能断定为矩形.应选D.10. 【答案】C【解析】选项A,B,D的说法正确.矩形的对角线互相平分且相等.但不一定垂直,所以C选项的说法错误.应选C.11. 【答案】D【解析】在矩形ABCD中,AO=BO=12AC=4cm.∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=AO=4cm.12. 【答案】C【解析】∵△ABC≌△AEC.∴∠EAC=∠BAC.又∵四边形ABCD为矩形,∴DC=AB=8 cm,DC∥AB,∴∠FCA=∠BAC,∴∠FAC=∠FCA,∴AF=FC=254cm,∴DF=DC-CF=8-254=74(cm).又∵∠D=90°,∴AD=√AF2-DF2=√(254)2-(74)2=√36=6(cm),应选C.13. 【答案】C【解析】设EC=x,由于OE垂直平分AC,故AE=EC=x,∴DE=AD-AE=4-x,DC=AB=2.在Rt△CDE中,由勾股定理得CE2=DC2+DE2,即x2=22+(4-x)2,解得x=2.5.应选C.14. 【答案】D【解析】对角线互相平分,那么四边形ABCD为平行四边形,A,B两选项为平行四边形本身具有的性质,C选项也不是变为矩形的条件,根据矩形的定义知D正确.应选D.15. 【答案】D【解析】如下图,连接OP,过A作AM⊥BD,垂足为点M.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD =12BD=12AC.第 9 页又∵S △AOD =12OD ·AM =12OA ·PE +12OD ·PF =12OD (PE +PF ),∴AM =PE +PF .在Rt △BAD 中,BD =√32+42=5,∵S △ABD =12×3×4=12BD ·AM =52AM , ∴AM =125.∴PE +PF =125. 16. 【答案】C 【解析】∵OP 平分∠AOB ,∠AOB =60°,∴∠AOP =∠BOP =30°.∵CP ∥OA ,∴∠PCE =∠AOB =60°,∴CE =12CP =1,∴P E =√CP 2-CE 2=√3,∴OP =2PE =2√3.∵PD ⊥OA ,M 是OP 的中点,∴DM =12OP =√3.应选C. 17. 【答案】B 【解析】由翻折的性质得DF =D'F ,设AF =x cm,那么DF =D'F =(8-x )cm,在Rt △AFD'中,AD'=CD =AB =6 cm,(8-x )2+62=x 2,解得x =254,应选B . 18. 【答案】C 【解析】由题意知PF =BF ,PH =HC ,∵∠FPH =90°,∴FH =√PF 2+PH 2=√62+82=10,∴BC =BF +FH +HC =PF +FH +PH =6+10+8=24. 应选C.19. 【答案】2.5【解析】∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC =90°,BD =AC ,BO =OD.∵AB =6 cm,BC =8 cm,∴BD =AC =√62+82=10(cm),∴DO =5 cm .∵点E ,F 分别是AO ,AD 的中点,∴EF =12OD =2.5 cm . 20. 【答案】【解析】由勾股定理可求得AB =√AC 2+BC 2=5,因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以CD =12AB =2.5. 21. 【答案】20【解析】在Rt △ABC 中,因为AB =5,BC =AD =12,由勾股定理可得AC =√AB 2+BC 2=13.又因为O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点,所以OM =12CD =12×5=2.5,BO =12AC =12×13=6.5,AM =12AD =12×12=6,所以四边形ABOM 的周长为AB +BO +OM +MA =5+6.5+2.5+6=20. 22. 【答案】25°【解析】如下图,过点C 作CE ∥l ,∵l ∥m ,∴l ∥m ∥CE ,∴∠DCE =65°.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠DCB =90°,第 11 页∴∠ECB =90°-∠DCE =90°-65°=25°.∴∠α=∠ECB =25°.23. 【答案】5√32【解析】由∠EDC ∶∠EDA =1∶2得，∠CDE 等于30°，∠EDA 等于60°，设CE =x ,那么DE =√3x ，AE =√3DE =3x . 由题意得4x =10,x =52.DE =√3x =5√32. 24. 【答案】6【解析】在Rt △AEF 和Rt △DCE 中,∵EF ⊥CE ,∴∠FEC =90°,∴∠AEF +∠DEC =90°,而∠ECD +∠DEC =90°,∴∠AEF =∠ECD .又∵∠FAE =∠EDC =90°,EF =EC ,∴Rt △AEF ≌Rt △DCE (AAS).∴AE =CD .∵AD =AE +4,∴2(AE +AE +4)=32,解得AE =6cm.25. 【答案】754 【解析】∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∴∠CBD =∠BDE .由折叠的性质得∠CBD =∠EBD ,∴∠EBD =∠BDE ,∴DE =BE . 设DE =BE =x ,那么AE =8-x ,∵∠BAD =90°,∴(8-x )2+62=x 2,解得x =254,∴DE =254,∴S △BDE =12DE ·AB =12×254×6=754. 26.(1) 【答案】∵四边形ABCD 是矩形,∴OA =OC ,OD =OB ,AC =BD ,∴OA =OD.∵DE ∥CA ,AE ∥BD ,∴四边形AODE 是平行四边形,∴四边形AODE 是菱形.(2) 【答案】矩形.∵DE ∥CA ,AE ∥BD ,∴四边形AODE 是平行四边形.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∴∠AOD =90°,∴平行四边形AODE 是矩形.27.(1) 【答案】如图,由矩形的性质和折叠的性质可得DE =BC ,∠E =∠C =90°.在△DEF 和△BCF 中,∵{∠DFE=∠BFC,∠E=∠C,DE=BC,∴△EDF≌△CBF(AAS).(2) 【答案】在Rt△ABD中,∵AD=3,BD=6,∴∠ABD=30°.那么∠DBE=∠ABD=30°,∴∠EBC=90°-30°-30°=30°.28.(1) 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.∵EC=DC,∴AB=EC.在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,∴△ABF≌△ECF(AAS).(2) 【答案】方法1:∵AB=EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AF=EF,BF=CF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D.又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB.∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC.∴▱ABEC是矩形.方法2:∵AB=EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE.∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.又∵CE=DC,∴AC⊥DE,即∠ACE=90°.∴▱ABEC是矩形.29.(1) 【答案】∵CF∥AB,∴∠DAE=∠CFE.∵DE=CE,∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE,∴AD=CF.∵AD=DB,∴DB=CF.(2) 【答案】四边形BDCF是矩形,证明如下:方法1:∵DB=CF,DB∥CF,∴四边形BDCF为平行四边形.∵AC=BC,AD=DB,∴CD⊥AB,∴四边形BDCF是矩形.方法2:连接DF,如下图,∵DB=CF,DB∥CF,∴四边形BDCF为平行四边形.∵AD=BD,∴AD=CF.又∵AD∥CF,∴四边形ADFC是平行四边形,∴AC=DF.又∵AC=BC,∴BC=DF,∴平行四边形BDCF为矩形.30.(1) 【答案】∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴BE=AC,∴BD=BE.(2) 【答案】∵四边形ABCD是矩形,∴AO=OC=OB=OD=4,即BD=8.∵∠DBC=30°,∴∠ABO=90°-30°=60°,∴△ABO是等边三角形,即AB=OB=4,那么AB=DC=CE=4,∴DE=8.在Rt△BCD中,BC2=BD2-DC2,∴BC=√82-42=4√3.∵AB∥DE,AD与BE不平行.∴四边形ABED是梯形,且BC为梯形的高,∴四边形ABED的面积=12(AB+DE)·BC=12×(4+8)×4√3=24√3.31. 【答案】AB=PG+PF.证法1:如图,延长GP交BC于点H,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°.∵PG⊥AD,∴∠PGD=90°,那么AB∥GH,PH⊥BC,∴四边形ABHG是平行四边形,∴AB=GH.∵BE=ED, ∴∠EBD=∠EDB.∵AD∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∠EBD=∠DBC.∵PF⊥BE,PH⊥BC, ∴PF=PH，AB=GH=PG+PH=PG+PF.证法2:如图,连接EP ,第 13 页∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB ⊥AD.又∵S △EBD =S △DEP +S △BEP ,∴12DE ·AB =12DE ·PG +12BE ·PF ,化简得DE ·AB =DE ·PG +BE ·PF. 又∵ED =EB , ∴AB =PG +PF.32. 【答案】∵PE ∥OB ,PF ∥OA ,∴四边形OEPF 为平行四边形.∵OA ,OB 分别是∠MOC ,∠NOC 的平分线,∴∠AOC =12∠MOC ,∠BOC =12∠NOC .∴∠AOF =∠AOC +∠BOC =12(∠MOC +∠NOC )=90°. ∴四边形PEOF 是矩形.33. 【答案】∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =90°. 又∵∠DAE =3∠BAE ,∴∠BAE +3∠BAE =90°,∴∠BAE =22.5°.又∵OA =12AC =12BD =OB ,∴∠OAB =∠OBA .又∵AE ⊥BD ,∴∠ABE =90°-∠BAE =90°-22.5°=67.5°, ∴∠OAB =67. 5°.∴∠EAC =∠OAB -∠BAE =67.5°-22.5°=45°.34.(1) 【答案】∵DF ∥BE ,∵∠FDO =∠EBO ,∠DFO =∠BEO .∵O 为AC 的中点,∴OA =OC .又∵AE =CF ,∴OE =OF .在△BOE 和△DOF 中,∵{∠FDO =∠EBO,∠DFO =∠BEO,OE =OF,∴△BOE ≌△DOF (AAS).(2) 【答案】假设OD =12AC ,那么四边形ABCD 是矩形.理由如下: ∵△BOE ≌△DOF ,∴OB =OD .∵OD =12AC ,∴OA =OB =OC =OD ,即BD =AC .∴四边形ABCD 为矩形.35. 【答案】如图,设DE=x cm,那么AE=AD-DE=(8-x)cm.根据折叠的性质可知△BCD≅△BC'D,所以∠1=∠2.在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.∴BE=DE=x.在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE2=AB2+AE2,即x2=42+(8-x)2,解得x=5,∴△BDE的面积为12DE·AB=12×5×4=10(cm2).第 15 页。

北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定同步测试一．选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等【解答】 B ∵矩形和菱形是平行四边形,∴C、D是二者都具有的性质,A是菱形具有的性质,对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质.故选B.2.下列说法错误的是( )A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等C.对角线相等的平行四边形是矩形D.有两个角是直角的四边形是矩形【解答】 DA.有一个内角是直角的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等,正确,故本选项不符合题意;C.对角线相等的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;D.有两个角是直角的四边形不一定是矩形,可以是直角梯形,故本选项符合题意.故选D.3．（2018•兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3．∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，∴△AEB≌△GED．∴AE＝EG．设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，在Rt△DEG中，ED2＝GE2+GD2，x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．故选：C．4.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )A.6√3B.8C.6D.6√2AC=6.【解答】 A ∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,OB=OC=12∵OB=OC,BE=EC,∴OE⊥BC.∴EC=√OC2-OE2=3√3.∴BC=2EC=6√3.故选A.5．（2019•眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF ⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A ．1B ．C ．2D ．【解答】解：连接CE ，如图所示： ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝6，AD ＝BC ＝8，OA ＝OC ， ∵EF ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，设DE ＝x ，则CE ＝AE ＝8﹣x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得：x 2+62＝（8﹣x ）2， 解得：x ＝， 即DE ＝； 故选：B ．6.如图,矩形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AB 的长为( )A.4B.4√3C.3D.5【解答】 A ∵四边形ABCD 是矩形,∴OA=12AC,OB=12BD=4,AC=BD, ∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OB=4.故选A.7.如图,E,F,G,H 分别是四边形ABCD 四条边的中点,要使四边形EFGH 为矩形,则四边形ABCD 应具备的条件是( )A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分【解答】 C 要使四边形EFGH 是矩形,则四边形ABCD 应具备的条件是对角线互相垂直.理由:连接AC 、BD,交于点O,由题意可得EF ∥AC,且EF=12AC,GH ∥AC,且GH=12AC, ∴EF ∥GH,且EF=GH,∴四边形EFGH 是平行四边形, ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点,∴EH ∥BD,∵BD ⊥AC,EF ∥AC,∴EH ⊥EF,∴∠HEF=90°,∴平行四边形EFGH 为矩形.故选C. 8. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A ．AB=BEB ．DE ⊥DC C ．∠ADB=90°D ．CE ⊥DE 【答案】B ；【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴BE∥BC，且BE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项正确；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误．故选B．9. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A．3cm B．4cm C．12cm D．4cm或12cm【答案】D；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.10. 如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C；【解析】当BP=AB或BP=BC时，∠APE是直角.二．填空题11. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．【答案】EB=DC．【解析】添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．12．（2019•徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC 的中点．若MN＝4，则AC的长为16 ．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝8．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．故答案为16．13.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是厘米.【解答】14解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD,AO=OC,OD=OB,∴AO=OC=OD=OB,∵矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是86厘米,∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=86厘米,即8OA+2AB+2BC=86厘米,∵矩形ABCD的周长是30厘米,∴2AB+2BC=30厘米,∴8OA=56厘米,∴OA=7厘米,则AC=BD=2OA=14厘米.故答案为14.14. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.【答案】6；【解析】设AB＝AF＝，BE＝EF＝3，EC＝5，则CF＝4，，解得.15. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.【答案】；【解析】BD＝5，利用面积法，PE＋PF＝△AOD中OD边上的高＝.16. 矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为．【答案】30或10；【解析】∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∴∠DEA=∠BEA，∴∠EAB=∠BEA，∴AB=BE，①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，∵矩形ABCD的面积为36，∴x•4x=36，解得：x=3（负舍），即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，∵矩形ABCD的面积为36，∴3x•4x=36，解得：x=（负舍），即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；故答案为：30或10三．解答题17.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:(1)△ABF≌△DEC;(2)四边形BCEF是矩形.【解答】证明(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,在△ABF与△DEC中,{AF=DC,∠A=∠D,AB=DE,∴△ABF≌△DEC(SAS).(2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA,∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四边形BCEF是平行四边形.∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.18．（2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 4 ．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED 是平行四边形， 又∠COD=90°，∴平行四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED 是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD 的面积为： AC •BD=×4×2=4． 故答案是：4．19.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.过点A 作AE ∥BD,交CB 的延长线于点E. (1)求证:AC=AE;(2)若∠AOB=120°,AE=8,求BC 的长.【解答】 (1)证明:在矩形ABCD 中,AC=BD,AD ∥BC, 又∵AE ∥BD,∴四边形AEBD 是平行四边形. ∴BD=AE,∴AC=AE.(2)∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°, ∵四边形ABCD 是矩形,∴OB=OC,∴△OBC 是等边三角形,∴BC=OC=12AC=12AE=4.20．（2018•连云港）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．21.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,CE∥BD,DE∥AC.(1)证明:四边形OCED为菱形;(2)若AC=4,求四边形CODE的周长.【解答】(1)证明:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE为平行四边形,又∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,∴四边形CODE为菱形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD=1AC,2又∵AC=4,∴OC=2,由(1)知,四边形CODE为菱形,∴四边形CODE的周长为4OC=4×2=8.22．（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．。

2018-2019学年度北师大版数学九年级上册同步练习1.2 矩形的性质与判定学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm22．下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD 于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．184．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2 D．36．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC=∠ACB B．∠BAC=∠ACD C．∠BAC=∠DAC D．∠BAC=∠ABD9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC10．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°C．AB=CD，∠B=∠C=90°D．AB=CD，AC=BD11．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形12．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．13．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C． D．414．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF 是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC15．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形二．填空题（共6小题）16．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=，矩形的面积为．17．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）18．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1 S2．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=cm．20．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．21．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三．解答题（共5小题）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．23．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．24．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，CA．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．25．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD 边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．26．已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：S △PBC =S △PAC +S △PCD 理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．∵S △PBC +S △PAD =BC•PF +AD•PE=BC （PF +PE ）=BC•EF=S 矩形ABCD ．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P 分别在图1、图2中的位置时，S △PBC 、S △PAC 、S PCD 又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．参考答案一．选择题（共15小题）1．B．2．D．3．C．4．D．5．C．6．C．7．C．8．D．9．B．10．D．11．D．12．D．13．C．14．D．15．A．二．填空题（共6小题）16．5，12．17．AC=BD18．=．19．．20．AC⊥BD．21．．三．解答题（共5小题）22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ADO=30°∴AB=BD．在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD===3=AB•AD=3×3=9．∴S矩形ABCD23．（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）证明：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC，∵BC=DE，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．24．证明：（1）∵BF=BA，BE=BC，∴四边形AEFC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，∴BE=BF，∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，∴四边形AEFC为矩形；（2）连接DB，由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，∴四边形AEBD为平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形AEBD为菱形，∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，∴AG=2，AE=4，∴在Rt△AEG中，EG=2，∴ED=4．25．（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．26．证明：（1）∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD∴S△PBC +S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF=AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PCD．。

北师版九上数学1.2矩形的性质与判定同步练习(含答案)一、选择题(共10题；共20分)1.（2分）下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.一组对边平行的四边形是平行四边形D.矩形的对角线互相垂直2.（2分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S△ABC=2S△ABF．其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个3.（2分）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，点E、F分别在AB、AC边上，把ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则DEF的周长是（）.A.14B.15C.16D.174.（2分）如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠FAD比∠FAE大48°，设∠FAE和∠FAD的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（）A.B.C.D.5.（2分）如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（）A.B.C.D.6.（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A.40°B.30°C.20°D.10°7.（2分）如图，在中，，平分.若则的长为（）A.B.C.D.8.（2分）（2011•朝阳）如图，沿Rt△ABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的△ADE 和四边形DBCE拼图，下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④等腰梯形．一定能拼出的是（）A.只有①②B.只有③④C.只有①③④D.①②③④9.（2分）如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A.3B.4C.3D.410.（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是﹣1，则对角线AC、BD的交点表示的数是（）A. 5.5B.5C.6D. 6.5二、填空题(共5题；共5分)11.（1分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长是________cm．12.（1分）如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB 的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC的面积为________．13.（1分）如图，在四边形ABCD中，，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为________14.（1分）如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k=________．15.（1分）如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是________.三、解答题(共5题；共50分)16.（5分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．17.（20分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD 重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．18.（10分）猜想与证明：如图，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，EM．（1）试猜想写出DM与EM的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（2）若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．19.（6分）如图，中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，BF ＝AC．（1）求证：△BDF≌ADC（2）若∠CAD=20°，则∠ABE=________°．（直接写出结果）20.（9分）一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK 的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为________，周长为________；（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为________，周长为________；（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．参考答案一、选择题(共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题(共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题(共5题；共50分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。