考点过关测试 第7章 三角 1 角的度量与任意角的三角函数(理文)

领航教育高一数学训练---任意角的三角函数一、选择题1．以下四个命题中，正确的选项是( )．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B．｛｜＝k＋，k∈Z｝≠｛｜＝-k＋，k∈Z｝66C．假设是第二象限的角，那么sin2＜0D．第四象限的角可表示为｛｜2k＋3＜＜2k，k∈Z｝22．假设角的终边过点(-3，-2)，那么()A．sintan＞0B．costan＞0C．sin cos＞0D．sincot＞0 3．角的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，那么sin的值是()A．2B．-2C．±2D．1 22224.α是第二象限角，其终边上一点P〔x，5〕，且cosα＝4x，那么sinα的值为〔〕106210A．4B．4C．4D．－45.使lg〔cosθ·tanθ〕有意义的角θ是〔〕A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一、二象限角或终边在y轴上6.设角α是第二象限角，且|cos2|＝－cos 2，那么角2是〔〕A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角二、填空题1．角的终边落在直线y＝3x上，那么sin＝________．2．P(-3，y)为角的终边上一点，且sin＝13，那么y的值等于________．133．锐角终边上一点P(1，3)，那么的弧度数为________．4．〔1〕sin9tan7_________43三、解答题1．角的终边过P(-3，4)，求的六种三角函数值2．角的终边经过点 P(x，- 3)(x>0)．且cos＝x，求sin、cos、tan的值．2二领航教育答案：一，5 。

C.1.3102.13.4.610 2 3 2三，1.sina4cosa3，tana4，cota3，seca5，csca5 5534342.sin3,cos1,tan322。

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）． 故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=， 故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（ ）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ， 过点O 作OD CD ⊥， 在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=， 又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（ ）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可． 【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ） ABCD． 【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==， 所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23， 解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.2.下列命题正确的是 ( )A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若,则角的正切值等于角的正切值【答案】D【解析】小于的角可以是锐角、零角及负角，故错；终边相同的角相差的整数倍，故错；终边落在直线上的角可以表示为，故错；正确.故选D.【考点】三角函数的概念的应用.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.若是第三象限角，则是第象限角.【答案】一【解析】是第三象限角，则.所以,故在第一象限.【考点】角的象限.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知角的终边过点(－5,12),则=________.【答案】【解析】.【考点】任意角的三角函数的定义.7.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.8.已知，则点P所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】∵，∴，即是第三象限角，∴，∴点P在第四象限.【考点】三角函数值符号判断.9.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【答案】D【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．10.已知点是角终边上一点，且，则的值为（）A．5B．C．4D．【答案】D【解析】,解得,故选D.【考点】三角函数的定义11.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．12.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．13.的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据诱导公式.故选A【考点】三角函数值的计算14.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算15.设角的终边经过点，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三角函数的定义：（其中），由角的终边经过点，可得，，所以，选C.【考点】任意角的三角函数.16.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】由或，当时，为第三象限；当时，为第二象限，故选B.【考点】任意角的三角函数.17.已知角的终边过点，则的值为（）A．－B．C．D．【答案】【解析】由三角函数定义知，若角的终边过异于原点的点则因此.由三角函数定义求三角函数值是一种本质方法，在高考解答题中也时有出现.【考点】三角函数定义18.___________；【答案】．【解析】.【考点】求三角函数值．19.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不伦用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在圆的半径的大小无关；④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限角.其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于的正半轴上的角，故②是错误的；④中与的终边不一定相同，比如；⑤中没有考虑轴的负半轴上的角.只有③是正确的.【考点】角的推广与象限角.20. Sin15º等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】两角和差的正弦公式点评：本题考察了，与之类似的有21.弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为；【答案】【解析】根据题意，结合扇形的弧长公式弧长为的扇形的圆心角为，那么可知半径为12，那么可知此扇形的面积为，故可知答案为【考点】扇形的面积点评：主要是考查了扇形的面积公式的运用，属于基础题。

高二数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】根据扇形面积公式,可得.【考点】扇形面积公式.2.若角的终边过点，则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数的求解.3.设角是第二象限角，且，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】角是第二象限角,那么为第一象限角或第三象限角，又因为所以，则为第三象限角，终边在第三象限．【考点】1．象限角；2．三角函数的符号．4.若角的终边经过点，则的值是．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边经过点，则可知该点的正切值为2，那么可知，故答案为【考点】任意角的三角函数点评：主要是考查了任意角的三角函数的定义的运用，属于基础题。

5.= .【答案】【解析】=。

【考点】三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，利用诱导公式，转化成0°到90°范围内三角函数值。

6. tan240°＝A．B．C．1D．【答案】D【解析】tan240°＝tan(180°+60°)=tan60°=，故选D。

【考点】本题主要考查三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，应用公式计算。

7.函数f (x)=2sinxcosx是（）A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】因为函数f (x)=2sinxcosx=sin2x,因此结合三角函数的性质可知周期为，且有sin(-2x)=-sin2x,那么是奇函数，故选A.8.（本小题满分12分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合.（1）若角的终边上有一点P（t,-2t）,求的终边所在的象限；（2）已知角的终边上有一点P的坐标,，且【答案】（1）当t>0时，的终边在第四象限当t<0时，的终边在第二象限（2）当当【解析】本试题主要考查了三角函数的定义和同角三角关系式的运用。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。

【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。

7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。

任意角的三角函数模块一、角的概念及其推广要点一、角的相关概念 （1）角的概念角可以看成是由平面内一条射线（起始边）绕着端点旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。

（2）角的分类⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角要点二、终边相同角 （1）终边相同角的定义设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{},360|Z k k S ∈︒⋅+==αββ。

集合S 的每一个元素都与α的终边相等，当0=k 时，对应元素为α。

（2）注意①相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差︒360的整数倍。

②角的集合表示形式是不唯一的。

要点三、象限角与轴线角（1）象限角定义：角α顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为： 第二象限角的集合为：第四象限角的集合为：终边落在x 轴正半轴上角的集合： 终边落在x 轴负半轴上角的集合： 终边在x 轴上的角的集合为： 终边落在y 轴正半轴上角的集合： 终边落在y 轴负半轴上角的集合： 终边在y 轴上的角的集合为： 终边落在坐标轴上角的集合：（2）注意：终边落在同一条直线上的角相差︒180的整数倍，终边落在同一条射线上的角相差︒360的整数倍。

要点四、区间角、区域角区间角是介于两个角之间的角的集合，区域角是介于某两角终边之间的角的集合。

区域角是无数个区间角的集合。

注意：锐角都是第一象限角，但第一象限角不都是锐角；小于90°的角不都是锐角，它还包括零角和负角，只有小于90°的正角才是锐角。

考点一、求终边相同的角的集合例1.（1）写出所有与︒-650终边相同的角的集合，并在︒︒360~0范围内，找出与︒-650角终边相同的角。

（2）把︒-2011写成)3600(360︒≤≤︒+⋅ααk 的形式。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。

Word 文档●高考明方向1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.★备考知考情1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考查三角函数求值问题．2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考查三角函数定义的应用．3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.《名师一号》P47 对点自测1、2注意：1、《名师一号》P48 问题探究问题1、2相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．角的表示形式是唯一的吗？角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}．(补充)2、正角> 零角> 负角3、下列概念应注意区分小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．4、(1)终边落在坐标轴上的角1）终边落在x轴非负半轴上的角{x|x＝2kπ，k∈Z}2）终边落在x轴非正半轴上的角{x|x＝2kπ+π，k∈Z}终边落在x轴上的角{x|x＝kπ，k∈Z}3）终边落在y轴非负半轴上的角{x|x＝2kπ+π2，k∈Z}Word文档Word 文档4）终边落在y 轴非正半轴上的角{x|x ＝2k π+3π2，k ∈Z }终边落在y 轴上的角{x|x ＝k π+π2，k ∈Z }(2) 象限角 （自己课后完成）知识点二 弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度； ②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.关键：基本公式180︒→=rad π《名师一号》P47 对点自测 3注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题3在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？ 不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的，Word 文档不可混用．2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）弧长公式||l r α= 扇形面积公式12S lr =(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r 为高）知识点三 任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)． (补充)12(补充)关键：立足定义正弦……一二正，横为零余弦……一四正，纵为零正切……一三正，横为零，纵不存在3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）知识点三任意角的三角函数(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．《名师一号》P47 对点自测 6注意：《名师一号》P48 问题探究问题4如何利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？Word文档(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的围，然后再加上周期．(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较大小，应注意三角函数线的有向性．也可以利用相应图象求解二、例题分析：（一)角的表示及象限角的判定例1.《名师一号》P48 高频考点例1(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思维启迪】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为Word文档{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋32π(k∈Z)，∴kπ＋π2<α2<kπ＋34π(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2<α2<2nπ＋34π，α2是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2<α2<2nπ＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．注意:《名师一号》P48 高频考点例1 规律方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是Word文档Word 文档先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．（二) 弧度制的定义和公式例1.《名师一号》P48 高频考点 例2(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时， 才使扇形面积最大？解：(1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋r θ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，S max＝100，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．《名师一号》P47 对点自测4注意：《名师一号》P48 高频考点例2 规律方法1.弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．（三)三角函数的定义及应用例1.《名师一号》P48 高频考点例3(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.Word文档Word 文档解：(1)r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255， 所以sin θ＝y r＝y16＋y2＝－255， 所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.《名师一号》P47 对点自测 5(3)(2015·日照模拟)已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解：(3)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角．※(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．Word 文档解： (2)如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点， 由题意知BP 的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2.故∠DAP ＝2－π2. ∴DP ＝AP ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2. ∴PC ＝1－cos2，DA ＝AP cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2. ∴OC ＝2－sin2，故OP→＝(2－sin2,1－cos2)．注意：《名师一号》P48 高频考点 例2 规律方法Word 文档1.利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．2．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．3．与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．练习：若一个角α的终边在直线3=-y x 上， 求310sin cos +αα的值。

辅导讲义――任意角的三角函数教学内容任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. [试一试]1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第______象限角．2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．[练一练]若sin α<0且tan α>0，则α是第______象限角．考点一角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．4.设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么集合M ，N 的关系是______．[类题通法]1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．考点二 三角函数的定义[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为______． (2)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________.[类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[针对训练]已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值．考点三扇形的弧长及面积公式[典例](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.[类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．[针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是________．2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．5．已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________． 6．已知sin α＝13，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝______.第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．2．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝______. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9，其中符号为负的是________(填写序号)．6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.8．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；第Ⅱ组：重点选做题巩固基础和能力提升训练1．满足cos α≤－12的角α的集合为________． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】扇形面积公式为，r为半径。

设该扇形的圆心角弧度数为，则，所以解得，故选A.【考点】扇形面积公式\弧度制。

2.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.已知,则（）A．3B．C．D．【答案】A【解析】．【考点】三角计算．5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.=_______.【答案】1【解析】∵；；∴原式.【考点】三角函数值的计算.7.有下列说法：①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③把函数的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像；④函数在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．【答案】①③【解析】①：的最小正周期为，正确；②：在上第一个出现终边在y轴的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在y轴上的角，因此所求集合为，∴②错误；③：函数的图像向右平移个单位长度以后的函数解析式为：，∴③正确；④：当时，，∴函数在[0，π]上是增函数，∴④错误.【考点】1、三角函数的性质；2、终边相同的角的集合.8.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.9.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．10.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．11.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.12.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A．rad B．rad C．πD．π【答案】B【解析】由弧长公式可得：，解得.【考点】弧度制.13.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则（）A．1B．C．1或D．1或3【答案】A【解析】，，解得或，因为，则，即。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。

x任意角的三角函数知识点：1. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.2. 任意角的三角函数的定义如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,则OP 的长r=1，那么:(1) 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即 ； （2）叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即 ；（3）yx叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x x α=≠.说明: (1)当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数.(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.1. 确定下列三角函数值的符号(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan 3π.2. 求下列三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π-. 3. 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=，求αcos 的值.任意角的三角函数测试卷一、选择题（1）已知角α的终边经过点p(—1,3),则ααcos sin +的值是（ ）A.213+ B.213- C.231- D.213+- (2)下列命题中，正确命题的个数是（ ）（1）终边相同的角的同名三角函数的值相同（2）终边不同的角的同名三角函数的值不等（3）若0s i n >α则α是第一、二象限的角 （4）若α是第二象限的角,且p(x,y)是其终边上一点，则22cos y x x +-=αA.1B.2C.3D.4(3)若0cos sin >θθ，则θ在（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限r y rx yr y ==αsin x r x==αcos(4).若),2,0(π∈x 函数x x y tan sin -+=的定义域是（ ）A.[0,π] B.[0,2π] C.[ππ2,23] D.(],2ππ (5)设角α属于第二象限，且,2cos 2cosαα-=，则角2α属于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(6)已知p(y ,3-)为角β的终边上的一点，且1313sin =β,则y 等于（ ）A.21± B.21 C.21- D.2±题型一：求解三角函数值 一般角：利用三角函数的定义 特殊角：先化为0至360度之间的角)Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 例1．求下列各角的四个三角函数值： （1）0； （2）π； （3）32π． 例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。

§1.2.2 同角三角函数的基本关系式班级 姓名 学号 得分一、选择题 1.已知sin α=45，且α为第二象限角，那么tan α的值等于（ ） (A)34(B)43- (C)43(D)43-2.已知sin αcos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为（ ）(A)23(B)43 (C)2-(D)±233.设是第二象限角,则sin cos αα=( )(A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1-4.若tan θ=31,π<θ<32π,则sin θ·cos θ的值为（ ） (A)±310(B)3105.已知s i n cos 2s i n3cosαααα-+=51,则tan α的值是（ ）(A)±83(B)83(C)83-(D)无法确定*6.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=32,则三角形为（ ） (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 二.填空题7.已知sin θ－cos θ=12,则sin 3θ－cos 3θ= ;8.已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ;9.(α为第四象限角）= ;*10.已知cos (α+4π)=13,0<α<2π,则sin(α+4π)= .三.解答题 11.若sin x = 35m m -+,cos x =425m m -+,x ∈(2π,π),求tan x12.化简：22sin sin cos sin cos tan 1+---x x x x xx .13.求证：tan2θ－sin2θ=tan2θ·sin2θ.*14.已知:sinα=m(|m|≤1),求cosα和tanα的值.参考答案§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7.1611; 8.0; 9.αsin 2-; 10.322三、11.512-12.原式=xx x cos sin sin 2-－xx xx x 222cossincos)cos (sin -+=xx xx x x x x 2222cossincos)cos (sin )cos (sin sin-⋅+-+=sin x +cos x 13.左边=tan 2θ－sin 2θ=θθ22cos sin －sin 2θ=sin 2θ·θθ22cos cos1-=sin 2θ·θθ22cos sin =sin 2θ·tan 2θ=右边 14.(1)当m =0时, α=k π, k ∈Z ,cos α=±1, tan α=0 (2)当|m |=1时, α=k π+2π, k ∈Z ,cos α=0, tan α=0不存在(3)当0<|m |<1时,若α在第一或第四象限,则cos αtan α;若α在第二或第三象限,则cos αtan α=.。

任意角的三角函数测试题〔考试时间： 90 分钟〕一.选择题〔每题3分，共30分〕1.与-4630角终边相同的角为〔〕A．K?3600 +4630， K Z B.C . K? 3600+2570，K Z D.2. sin(-31) 的值是〔〕6A.1B.- 1C.22K? 360 0 +1030， K Z?360-257， K Z K3D. -3223. 设角α是第二象限角，且coscos ，那么是〔〕222A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4.以下函数中属于奇函数的是〔〕A.y = sin x + 1B. y = cos(x +)2 C. y = sin(x -) D. y = cosx - 125.函数 y=cos x〔x[o ,2 ]〕的图象与直线 y = 1 所围成的图形的面积为〔〕A. B. C.32D.226.函数 y = 2sin (2x +)的一条对称轴是〔〕6A.x =3B.x =6C. x =D.x =247.函数 y = 2sin (2x)的单调递加区间是〔〕35 ]7 ,kA.[ 2k12,2k〔k Z〕 B.[ k] 〔k Z〕121212C .[ 2k7,2k] 〔k Z〕 D.[ k,k5] 〔k Z〕121212128.函数 y =sin x sin x 的值域是()A.{ 0 }B.[-2,2]C. [0,2]D.[-2,0]9.sin cos的值是〔〕当为第二象限角时，sin cosA.1B.0C.2D.-210. sin cos 1,且( 0,) ，那么sin+cos的值为〔〕82A.5B. -5C.5D.32222二.填空题〔每题 4 分，共 16 分〕1. tan=2, 那么 sin 2+sin cos=3cos x1 2. 函数 y =cosx 的值域是23.求使 sin> 3的的取值范围是24. E={θ|cos θ<sin θ， 0≤θ≤ 2π} ，F={θ|tan θ<sin θ}. 那么E∩F=三. 解答题 (5 个小题，共 54 分)1. sin 1, 求cos、 tan的值。

任意角的三角函数知识点及练习在数学的世界里，任意角的三角函数是一个非常重要的概念，它为我们解决众多几何和物理问题提供了强大的工具。

接下来，让我们一起深入了解一下这部分的知识点，并通过一些练习来巩固所学。

一、任意角的概念我们先来说说角的定义。

角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

按照旋转方向的不同，角可以分为正角、负角和零角。

正角是按逆时针方向旋转形成的角，负角是按顺时针方向旋转形成的角，而零角则是射线没有旋转。

二、弧度制在研究角的时候，除了常见的角度制，还有弧度制。

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l，那么角α的弧度数的绝对值是｜α| ＝ l ／ r 。

弧度与角度的换算关系是：180°＝π 弧度。

三、任意角的三角函数1、正弦函数（sin）对于任意角α，设其终边上一点 P 的坐标为（x, y)，r ＝√（x²＋y²)，则sinα ＝ y ／ r 。

2、余弦函数（cos）cosα ＝ x ／ r 。

3、正切函数（tan）tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0）这里要注意，三角函数的值与点 P 在角α终边上的位置无关，只与角α的大小有关。

四、三角函数线我们可以用有向线段来表示三角函数值，这些有向线段就叫做三角函数线。

1、正弦线过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，有向线段 MP 就是角α的正弦线。

2、余弦线有向线段 OM 就是角α的余弦线。

3、正切线过点 A(1, 0)作 x 轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于点T，有向线段 AT 就是角α的正切线。

五、同角三角函数的基本关系1、平方关系sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系tanα ＝sinα ／cosα （cosα ≠ 0）六、诱导公式诱导公式是用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一组公式。

人教B 版（2019）必修第三册过关斩将（高手篇）第七章三角函数7.1任意角的概念与弧度制学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转的动作让我们叹为观止，运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险.（1）他们顺时针旋转两圈半是多大的角度？（2）若是逆时针旋转两圈半呢？（3）把任意角化为360k α︒+⋅(k Z ∈且000360)a ≤≤的形式的关键是什么？2．平行于x 轴且方向与x 轴正方向相同的射线OA 绕端点O 逆时针旋转90°到射线OB 的位置，接着再顺时针旋转30°到OC 的位置，求AOC ∠的度数.3．已知角2020α︒=.（1）把α改写成()360,0360k k ββ︒︒︒⋅+∈<Z 的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α终边相同，且360720θ︒︒-≤<.4．你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应如何将它校准？5．如图，将圆O 放在平面直角坐标系中，圆心与原点重合.（1）如何表示图中终边落在射线OB上的角？（2）如何表示终边落在图中阴影区域角ϕ的范围？（3）对顶区域的角如何表示？6．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内（不包括边界），求角α的取值范围.7．写出终边在如图所示的直线上的角的集合.8．已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，求角β的取值范围.9．若角α是第一象限角，问角（1）2α，（2）2α，（3）3α各是第几象限角？ 10．把下列各角从角度化成弧度或从弧度化成角度.（不必求近似值）（1）20°；（2）1030︒'-；（3）1.2；（4）78π-. 11．已知角1725α︒=-.（1）将α改写成2(,02)k k βπβπ+∈≤<Z 的形式，并指出α是第几象限角； （2）在区间[5,0)π-上找出与α终边相同的角.12．如图所示，有一段圆弧形公路AB ，弯道半径R 为45m ，圆弧的圆心角为60°.（1）求AB 的长；（精确到1m ）（2）求图中扇形AOB 的面积.13．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地ABC （如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形,DBE DAG 和ECF ，其中DE 与DG 、EF 分别相切于点D E 、，且DG 与EF 无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设BD 长为x （单位：百米），草坪面积为S （单位：万平方米）.（1）试用x 分别表示扇形DAG 和DBE 的面积，并写出x 的取值范围；（2）当x 为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.参考答案1．（1）900︒-；（2）900°；（3）关键是确定k .【分析】（1）顺时针旋转决定是负角，再根据一圈是360度可得答案；（2）逆时针旋转为正角；（3）根据一条终边上的所有角相差360度的整数倍，所以关键是确定k【详解】（1）顺时针旋转两圈半，即)(2360180900︒︒︒-⨯+=-. （2）应为900°. （3）关键是确定k ，可以用观察法（角的绝对值较小），也可用除法.【点睛】本题考查了任意角的概念，考查了终边相同的角，属于基础题.2．60°.【分析】根据角的概念，结合图形分析可得答案.【详解】画出简图如图，由图和已知可得()903060AOC AOB BOC ︒︒︒∠=∠+∠=+-=. 所以AOC ∠的度数为60°.【点睛】本题考查了角的概念的推广，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小，画图分析有助于培养直观想象的数学素养.，属于基础题.3．（1）5360220α︒︒=⨯+，α为第三象限角；（2）角θ的值为140︒-，220°，580°. 【分析】（1）用2020°除以360°，商为5，余数为220°，可得5,220k β︒==，由此可得答案；（2）由360220()n n Z θ︒︒=⋅+∈以及360720θ︒︒-≤<，确定整数n 的值即可得到答案.【详解】（1）2020°除以360°，商为5，余数为220°，∴5,220k β︒==，∴5360220α︒︒=⨯+.又220β︒=是第三象限角，∴α为第三象限角.（2）由（1）知5360220α︒︒=⨯+，所以360220()n n Z θ︒︒=⋅+∈.当2n =-时，360θ︒<-，不满足题意；当1n =-时，140θ︒=-，满足题意；当0n =时，220θ︒=，满足题意；当1n =时，580θ︒=，满足题意；当2n =时，720θ︒>，不满足题意.综上，角θ的值为140︒-，220°，580°. 【点睛】本题考查了终边相同的角，属于基础题.4．分针按顺时针方向旋转30︒；将分针按逆时针方向旋转450︒【分析】手表慢了,要顺时针旋转，手表快了，要逆时针旋转，一分钟旋转136060⨯，1.25小时等于75分钟，旋转7536060︒⨯ 【详解】 将分针按顺时针方向旋转53603060︒︒⨯=； 将分针按逆时针方向旋转7536045060︒︒⨯=. 【点睛】本题考查了角的概念的推广，属于基础题.5．（1）360130,y k Z ︒︒⋅+∈；（2）360130360180,k k k Z ϕ︒︒︒︒⋅+⋅+≤∈≤；（3）先写出在0~180︒︒范围内始边、终边对应的角，再加上180()k k Z ︒⋅∈.【分析】（1）先求9040130xOB ︒︒︒∠=+=,再写终边落在射线OB 上的角;（2）用射线,OB OA 上的角可表示；（3）根据对顶区域的对应角相差180()k k Z ︒⋅∈可得到. 【详解】（1）360130,k k Z ︒︒⋅+∈.（2）由题图可知360130360180,k k k Z ϕ︒︒︒︒⋅+⋅+≤∈≤.（3）对顶区域，先写出在0~180︒︒范围内始边、终边对应的角，再加上180()k k Z ︒⋅∈，即得对顶区域角的范围.【点睛】本题考查了用不等式表示区域角，关键是用区域的边界上的角表示，属于基础题.6．{}|18018090,n n n Z αα︒︒︒⋅<<⋅+∈. 【分析】分别写出终边落在第一、三象限内的角的集合，再求并集即可得到答案.【详解】终边落在第一象限时，角的集合为{|36090360,}k k k Z αα⋅<<+⋅∈，终边落在第三象限时，角的集合为{|360180270360,}k k k Z αα⋅+<<+⋅∈， 所以终边在如图所示的阴影部分内时，角的集合为{|36090360,}k k k Z αα⋅<<+⋅∈{|360180270360,}k k k Z αα⋅+<<+⋅∈={|2180902180,}k k k Z αα⋅<<+⋅∈{|(21)180k αα+<(21)180k <+⋅+90,}k Z ∈= {}|18018090,n n n Z αα︒︒︒⋅<<⋅+∈.【点睛】本题考查了对顶区域角角的集合表示，属于基础题.7．{|4590,}m m Z ββ︒︒=+⋅∈.【分析】用两条射线上的角的集合求并集即可得到答案.【详解】在0~360︒︒范围内，终边在直线y x =上的角有两个，即45°和225°，因此，终边在直线y x =上的角的集合为1{|45360,}{|225360,}{|45180,}S k k Z k k Z n n Z ββββββ︒︒︒︒︒︒==⋅∈⋃=+⋅∈==+⋅∈+.同理，可得终边在直线y x =-上的角的集合2{|135180,}S n n Z ββ︒︒==+⋅∈.【点睛】本题考查了终边在直线上的角的集合，分为两条射线上的角的集合相并是解题关键，属于基础题.8．{|180********,}n n n Z ββ︒︒︒︒⋅+⋅+∈≤<.【分析】用x 轴上方的阴影部分的角的集合与x 轴下方的阴影部分的角的集合求并集即可得到答案.【详解】在x 轴上方的阴影部分的角的集合为{|36045360135,}A k k k Z ββ︒︒︒︒=⋅+<⋅+∈≤{|2180452180135,}k k k Z ββ︒︒︒︒=⋅+<⋅+∈≤.在x 轴下方的阴影部分的角的集合为{|360225360315,}B k k k Z ββ︒︒︒︒≤=⋅+<⋅+∈ {|36018045360180135,}k k k Z ββ︒︒︒︒︒︒=⋅++<⋅++∈≤.所以阴影部分内角β的取值范围是{|2180452180135,}A B k k k Z ββ︒︒︒︒⋃=⋅+⋅≤<+∈{|(21)18045(21)180135,}k k k Z ββ︒︒︒︒⋃+⋅+<+⋅+∈≤={|180********,}n n n Z ββ︒︒︒︒⋅+⋅+∈≤<.【点睛】本题考查了阴影部分的边界上的角表示阴影部分的角的集合，属于基础题.9．（1）2α是第一或第二象限角或是终边重合于y 轴的非负半轴的角；（2）2α是第一或第三象限角；（3）3α是第一或第二或第三象限角. 【分析】（1）由36036090()k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈可得7202720180()k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈，可得答案；（2）由36036090()k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈得18018045()2k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈，再对整数k 分类讨论，可得答案；（3）由36036090()k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈得36036030()3n n n Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈，再对分类讨论，可得答案.【详解】（1）∵α是第一象限角，∴36036090()k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈（*）∴7202720180()k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈.故2α是第一或第二象限角或是终边重合于y 轴的非负半轴的角.（2）由（*）得18018045()2k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈. ①当k 为偶数时，令2()kn n Z ， 得36036045()2n n n Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈，这表明2α是第一象限角. ②当k 为奇数时，令21()k n n Z =+∈， 得()36018036018045()2n n n Z α︒︒︒︒︒⋅+<<⋅++∈，这表明2α是第三象限角. 综合①②知，2α是第一或第三象限角. （3）由（*）得12012030()3k k k Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈.①当3()k n n Z =∈时，36036030()3n n n Z α︒︒︒⋅<<⋅+∈，这表明3α是第一象限角. ②当31()k n n Z =+∈时，360120360150()3n n n Z α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈，这表明3α是第二象限角.③当32()k n n Z =+∈时，360240360270()3n n n Z α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈，这表明是第三象限角.综合①②③知，是第一或第二或第三象限角.【点睛】本题考查了由α的象限求它的二倍角、半角、三分之一角的象限，考查了分类讨论思想，属于中档题.10．（1）209π︒=；（2）71030120π︒'-=-；（3）2161.2π︒⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）7157308π︒'-=-. 【分析】（1）（2）根据1180π=可化得； （3）（4）根据1801()π=可化得. 【详解】 （1）20201809ππ︒=⨯=. （2）217103010.52180120ππ︒︒'-=-=-⨯=-. （3）61802161.25ππ︒︒⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （4）771801573088π︒︒'-=-⨯=-. 【点睛】将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，再用公式化成弧度求解，牢记rad 180π︒=.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘180π︒⎛⎫ ⎪⎝⎭即可.属于基础题. 11．（1）517251012ππ︒-=-+，是第一象限角；（2）4312π-，1912π-. 【分析】（1）先化为1725536075︒︒︒-=-⨯+，再化为弧度制，即可得到答案；（2）由52()12k k Z πγπ=+∈∈ [5,0)π-，确定整数k 的值即可得到答案. 【详解】（1）∵1725536075︒︒︒-=-⨯+,∴517251012ππ︒-=-+. 又50122ππ<<，所以α与512π终边相同，是第一象限角. （2）与α终边相同的角可以写为52()12k k Z πγπ=+∈,∵50πγ-≤<,∴2k =-或1k =-.当2k =-时，4312πγ=-；当1k =-时，1912πγ=- 【点睛】本题考查了角度制化弧度制，考查了终边相同的角的表示，属于基础题.12．（1）47l m ≈；（2）26752S m π=. 【分析】（1）根据扇形的弧长公式，可得到答案；.（2）根据扇形的面积公式，可得到答案.【详解】（1）根据扇形的弧长公式，可得4515473l R m παπ==⨯=≈. （2）根据扇形的面积公式，可得22211675452232S R m ππα==⨯⨯=. 【点睛】本题考查了扇形中的弧长公式，考查了扇形的面积公式，属于基础题.13．（1）2(2)6DAG S x π=⋅-扇形，26DBE S x π=扇形，x ∈；（2）43x =时，草坪面积最大，最大面积为49π⎫-⎪⎭万平方米. 【分析】（1）因为BD x =，所以可得三个扇形的半径，圆心角都为3π，由扇形的面积公式可得答案； （2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.【详解】（1）BD x =，则BE x =，2AD AG EC FC x ====-，在扇形DBE 中，DE 的长为3x π， 所以221236DBE S x x ππ=⨯=扇形， 同理，221(2)(2)236DAG S x x ππ=⨯⨯-=-扇形. ∵DG 与EF 无重叠，∴CF AG AC +<，即222x x -+-<，则1x >.又三个扇形都在三角形内部，则x ≤，∴x ∈.（2）∵ABC S ∆，∴ABC DBE DAC ECF S S S S S ∆=---阴影扇形扇扇形形222(2)6x x π⎡⎤=+-⎣⎦ 2483633x π⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴当43x =时，S 阴影49π.故当BD 长为43百米时，草坪面积最大，最大面积为49π⎫⎪⎭万平方米. 【点睛】 弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径r 和扇形圆心角弧度数α，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解，强化了数学运算的素养.属于中档题.。