模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若sin ,则cos α=()A.-B.-C.D.α=1-2sin2=1-2×.故选C.2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.3.函数f(x)=sin的图象的对称轴方程可以为()A.x=B.x=C.x=D.x=2x+=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z).当k=0时,x=.4.当cos 2α=时,sin4α+cos4α的值是()A.1B.C.D.4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-sin22α=1-×(1-cos22α)=.5.已知a=,b=,c=a+k b,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为()A.-B.-3C.-3或-D.-1=,d=(0,1).cos,解得k=-3或-.6.如图,在直角三角形PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心,OB为半径作圆弧交OP于A点,若等分△PBO 的面积,且∠AOB=α,则()A.tan α=αB.tan α=2αC.sin α=2cos αD.2sin α=cos αr,则扇形的面积为αr2,直角三角形PBO中,PB=r tan α,△PBO的面积为r×r tan α,由题意得r×r tan α=2×αr2,∴tan α=2α,故选B.7.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2得A=2,m=2.又∵T=,∴ω==4,∴ωx+φ=4x+φ.∵x=是其一条对称轴,∴π+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-π.当k=1时,φ=,∴y=2sin+2.8.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是()A.[1,2]B.[2,4]C.[2-1,2+1]D.[2,2+1],=(2-cos θ,-2-sin θ),所以||=∈[],即||∈[2-1,2+1].9.已知函数f(x)=A sin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=()A. B.2 C.1 D.2f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,∴=-,A=.10.已知点A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在l上,则关于实数x的方程x2+x=0的解集为()A.⌀B.{-1}C. D.{-1,0},又,则存在实数λ,使=λ,则=λ()=λ-λ,所以有λ-λ=0,由于不共线,又x2+x=0,所以由于是任意非零向量,则实数λ是任意实数,则等式λ2=λ不一定成立,所以关于x的方程x2+x=0的解集为⌀.11.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=()A.-B.C.-D.α∈,所以2α∈(0,π).因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,所以sin 2α=.又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=.12.已知∠A1,∠A2,…,∠A n为凸多边形的内角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin A n=0,则这个多边形是()A.正六边形B.梯形C.矩形D.含锐角的菱形A1+lg sin A2+…+lg sin A n=lg(sin A1sin A2…sin A n)=0,则sin A1sin A2…sin A n=1,又∠A1,∠A2,…,∠A n为凸多边形的内角,则∠A1,∠A2,…,∠A n∈(0,π),则0<sin A1≤1,0<sin A2≤1,…,0<sin A n≤1,则sin A1sin A2…sin A n≤1,所以sin A1=sin A2=…=sin A n=1,所以∠A1=∠A2=…=∠A n=,则∠A1+∠A2+…+∠A n==(n-2)π,解得n=4,即这个多边形是矩形.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则的值为.3+2sin x+2cos x=3+2sin≥3-2,∴3+2sin x+2cos x≠0,∴sin x-2cos x=0,sin x=2cos x,∴(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=.∴==2cos2x=.14.函数y=3-的定义域为.2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(k∈Z)15.已知tan=2,则的值为.tan=2,得tan x=,∴.16.已知a1+a2+…+a2 015=0,且a n=(3,4)(1≤n≤2 010,n∈N*),则a1+a2+…+a n-1+a n+1+…+a2 015的模为.a1+a2+…+a n-1+a n+1+…+a2 015=-a n=(-3,-4),所以所求模为5.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin.(1)求sin α的值;(2)求的值.∵sin+sin,∴sin α=.∴sin α=.(2)∵=,∴原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=A sin(ωt+φ).(1)如图是I=A sin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式;(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?由图知,A=300,×T=,∴T=,∴ω=,∴π×+φ=0.又|φ|<,∴φ=π,∴I=300sin.(2)∵t在任一段秒内I能取到最大值和最小值,∴I=A sin(ωt+φ)的周期T≤,即,ω≥300π≈943.∴ω的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b垂直.|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2, ∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.而|a|=|b|,∴a·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,∴2α+=kπ(k∈Z).又0≤α<π,∴α=或α=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.cos α=,cos β=.∵α,β为锐角,∴sin α=,sin β=.∴tan α=7,tan β=.(1)tan(α+β)==-3.(2)∵tan 2β=,∴tan(α+2β)==-1.∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴||=,||=.由||=||,得sinα=cos α.又∵α∈,∴α=.(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=.①又=2sin αcos α.由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-.∴=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A 是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.。
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