抽签“先与后”的概率

随机抽签的情况下，抽到好签是公平的
我们根据一个经典的例子--抽签，来说明一下概率的计算模型： 原始模型：N 支签里只有一支好签，让N 个人来抽，每个人抽到好签的概率为N 1 下面我们分析一下这N 个N
1是怎么计算出来的。

我们来讨论随机的抽签模型：
第一个人在N 支签里面抽取，抽到好签的概率为N
1，这容易理解。

第二个人在1-N 支签里面抽取，抽到好签的概率为什么也是N 1，而不是1
1-N 呢？ 因为在第一个人抽取后，他有N
1的概率抽走好签，那么好签留在剩下的1-N 支签里面的概率就不是1了，而只有N
N 1-的概率，所以第二个人抽到好签的概率实际上是：N
N N N 1111=-⨯- 同理，第三个人在2-N 支签里面抽取，但前面两个人把好签抽走的概率为N
2，好签留在2-N 支签里面的概率只有N
N 2-，所以第三个人抽到好签的概率是： N
N N N 1212=-⨯- 应用归纳法，第()1+m 个人在()m N -支签里面抽取，前面m 个人把好签抽走的概率为n m ，好签留在剩下的m N -支签里面的概率为N
m N -，所以第m 个人抽到好签的概率为：
N
m N N m N 11=-⨯- 特别地，最后一个抽签的人并不需要抽，因为只剩一支签了，但好签留在最后这支签里面的概率。

刚好也是N 1。

所以最后一个人抽到好签的概率还是N
1。

这就是说，随机模型下的抽签，无论先后顺序，抽中好签的概率都是一样的，抽签是公平的。

“抽签”不分先后
浙江省绍兴县钱清镇中学楼全莉
人们常常要采用抽签的方法来决定某种方案。

例如，乒乓球比赛以掷硬币来决定哪个运动员先发球；若干人进行的比赛，以抽签的方式决定比赛的先后次序等。

那么，先抽后抽的中签机会是不是相等呢？假如有三个小朋友，要从中选一个人去参加某项游戏活动，为了公平起见，以抽签方式决定哪一个人去参加活动，先在三张小纸条中选一张画上一个记号，然后让三个人去摸纸条。

有的小朋友认为后摸的吃亏，先摸的合算，事实是不是这样呢？我们来算算各人摸到带记号纸条的机会。

设三个小朋友分别是甲、乙、丙，抽签的次序是甲第一、乙第二、丙第三，三张纸条中带记号的记着“#”，另外两张不带记号的记着“O1”和“O2”。

我们把可能的种种情形画成下面的图形，因为这张图的样子像树，所以又叫它为“树状图”．
从图中可以看出，甲、乙、丙依次抽签，一共有6种情况，各种情况出现
的机会是均等的，第（1）（2）种情况，甲中签，机会是；第（3）（5）种情
况，乙中签，机会也是；丙中签有（4）（6）两种情况，机会还是。

可见，先抽后抽的中签机会是均等的，不必争着先抽签。

本文章适用于：初一年级，5月份，“课外指导”栏目。

抽奖先后会影响中奖概率吗抽奖先后是否会影响中奖概率是一个有趣且引起争议的问题。

一些人认为抽奖的先后顺序对中奖概率没有影响，因为每个人的中奖概率是相等的。

然而，还有一些人认为抽奖的先后顺序会对中奖概率产生影响，这取决于不同的因素。

本文将对这两种观点进行分析和讨论。

首先，让我们来看看抽奖的基本原理。

在一个完全随机的抽奖过程中，每个人都有相等的机会中奖。

这意味着每个参与者的中奖概率都是相同的，无论抽奖的先后顺序如何。

从这个角度来看，抽奖先后不应该对中奖概率产生任何影响。

然而，要分析抽奖先后是否会影响中奖概率，我们还需要考虑其他因素。

一个重要的因素是抽奖的奖品数量和人数。

如果奖品数量有限而参与人数较多，那么抽奖的先后顺序可能会对中奖概率产生影响。

例如，假设有一个抽奖活动，奖品只有10个，但参与人数却有1000人。

那么，如果一个人在最后一个被抽中，那么他的中奖概率就明显低于在最开始就被抽中的人。

因此，可以说抽奖的先后顺序会影响中奖概率，因为早期被抽中的人更有机会中奖。

另一个因素是参与者是否知道先后顺序。

如果抽奖的先后顺序是公开的，那么参与者可能会根据自己对中奖概率的判断来选择参与的时间。

例如，如果早期抽奖的中奖概率较低，而后期的中奖概率较高，那么一些参与者可能会选择等到后期再参与抽奖，以增加自己的中奖概率。

这种情况下，抽奖先后顺序会对中奖概率产生影响，因为参与者的选择会受到影响。

此外，抽奖活动的设置也会影响中奖概率。

如果抽奖的方式是每次抽取一个人中奖，而不是一次性抽取所有中奖者，那么抽奖的先后顺序就可能对中奖概率产生影响。

这是因为在每次抽取中奖者之前，中奖者的人数都会少，而剩下的参与者的中奖概率会相应增加。

这意味着早期被抽中的人中奖的概率会相对较低，而后期被抽中的人中奖的概率会相对较高。

总的来说，抽奖的先后顺序在一些情况下可能会对中奖概率产生影响。

具体而言，如果奖品数量有限而参与人数众多，或者参与者可以根据先后顺序做出选择，抽奖的先后顺序可能会对中奖概率产生影响。

概率的简单应用【问题探索】问题：我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会。

事先准备三张相同的小纸条，并在1张纸条画上记号，其余2张纸条不画。

把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？——先抽的人与后抽的人中签的概率一样吗？解答：假设这3名同学分别记作甲、乙、丙，他们抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三。

三张小纸条中，画有记号的纸条记作A，余下的两张没有记号的纸条分别记作B1和B2。

用表格列出所有可能出现的结果：从上图可以看出，甲、乙、丙依次抽签，一共种可能的结果，并且它们是等可能的。

甲中签的概率P（甲中签）=乙中签的概率P（乙中签）=丙中签的概率P（丙中签）=【新课引入】抽签虽然有先有后，但是先抽的人和后抽的人中签的可能性是一样的，因此对每个人来说都是公平的，所以不必挣着先抽签。

抽签的方法是合理的【总结归纳】1．概率——表示一个事件发生的可能性的大小叫做该事件发生的概率。

①概率是反映事件发生的可能性大小的量；②事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0；③求概率时一般用列表法或画树状图法。

2．判断一个游戏是否公平，关键是看在这个游戏规则之下，双方获胜的可能性是否相等。

游戏规则是判断一个游戏公平与否的关键，当一个游戏不公平时，可以通过修改游戏规则使游戏变得公平。

3．利用概率估计实际问题，当试验的频率稳定在某一常数时，我们可以从试验频率近似等于某一事件发生的概率为解题依据，利用不同概率的计算方法估计出事件中部分或全体的数量。

——①必须在相同条件下进行试验；②试验次数也多，估计值就越接近准确值。

4．一般地，如果随机事件A发生的概率是P（A），那么，在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值m为n⨯P（A）。

【精选例题】（一）随机事件概率的求法例1 从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，求所得一次函数中y随x的增大而增大的概率。

疑难问题：“抽签”是否公平（小学数学人教版六年级下册第六单元整理与复习第三部分统计与概率例3，P111）一、问题描述学生一致认为表哥的方法是不公平的，表妹的方法公平的。

对于表弟抽签的方法学生有不同意见。

一种意见认为：三张签中只有一张长签，只有抽中长签才能获胜，每个人获胜的可能都是1/3，所以表弟的方法是正确的。

一种意见认为：抽签有先后。

第一个抽的人，获胜（抽中长签）的可能性为1/3；第二个人有两种情况，如果第一个抽到了，那么获胜的机会是0%，如果第一个人没抽到，那么获胜的可能是1/2；第三个不用抽签了，获胜的可能是0%或100%，所以抽签的方法不公平。

二、问题产生的原因1．认为抽签的可能性受到了抽签次序的影响。

即如果第一个人抽到了，那么后面的人获胜的可能性为0。

所以不公平。

2．这种问题涉及概率的计算，难度较高。

在第二学段，只要求让学生体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求简单的事件发生的概率就可以了。

相对于学生的认知起点和知识基础，本题学生理解有难度。

三、解决策略1.让学生进行操作。

从二张开始，理解抽的次序与可能性无关。

部分学生对“抽签”缺乏生活体验，可组织学生进行分组操作，也可选一组进行演示。

在操作中，让学生了解抽签的规则。

同桌二人合作，一张长签，一张短签，抽中长签为胜。

思考：每人抽中的可能性是多少？公平吗？交流反馈时质疑：如果第一个同学抽中了，是不是可以说第一个同学的可能性是1，而第二个同学的可能性是0？通过讨论，让学生理解，每人抽中的可能性是1/2，是公平的。

2.在充分让学生讨论交流的基础，进行接受学习。

进行三人抽签的演示。

观察并思考：第一位同学抽中的可能性是多少？第二位、第三位呢？（不可让学生分组实验进行验证）在学生交流反馈的基础上，教师进行讲解：如果表哥第一个抽，抽中的可能性是1/3，对此学生易于理解。

抽不中的可能性为2/3，也就是表妹、表弟获胜的可能性为2/3（需要教师引导）。

抽签时先抽和后抽概率一样吗
抽签时先抽和后抽概率一样。

抽签法：
将调查总体的每个单位编号，再任意抽取号码，直到抽足样本的方法。

抽签原理来自全概率公式，指抽签顺序和中签概率无关。

如十张签由XX个人抽取，其中有XX张难签，每个人抽到难签的概率都是XX/XX，与抽签的次序无关。

抽签法又称“抓阄法”，主要应用于总体容量比较小的事务。

由于抽签法简单易实施，因此应用非常广泛。

抽签原理的例子：
比如十万张彩票中只有XX个特等奖则被十万个人抽取，无论次序如何，每个人的中奖概率都是十万分之十，即万分之一。

因为是傻瓜版本, 所以有些长, 如果没兴趣或没耐心看完, 请不要回复. 谢谢.)我们根据一个经典的例子--抽签, 来说明一下概率的计算模型:原始模型: N 支签里只有一支好签, 让N 个人来抽, 每个人抽到好签的概率为1/N. 这个结论即使是没有学过概率的人也应该能明白吧? 这里就不给出严格的数学证明了.下面我们分析一下这N 个1/N 是怎么计算出来的.----------------------------------------------------------------------------------模型一: 随机的抽签模型第一个人在N 支签里面抽取, 抽到好签的概率为1/N. 这容易理解.第二个人在N-1 支签里面抽取, 抽到好签的概率为什么也是1/N, 而不是1/(N-1) 呢?因为在第一个人抽取后, 他有1/N 的概率抽走好签, 那么好签留在剩下的N-1 支签里面的概率就不是 1 了, 而只有(N-1)/N 的概率, 所以第二个人抽到好签的概率实际上是: (N-1)/N * 1/(N-1) = 1/N同理, 第三个人在N-2 支签里面抽取, 但前面两个人把好签抽走的概率为2/N, 好签留在N-2支签里面的概率只有(N-2)/N, 所以第三个人抽到好签的概率是:(N-2)/N * 1/(N-2) = 1/N应用归纳法, 第m+1 个在N-m 支签里面抽取, 前面m 个人把好签抽走的概率为m/n, 好签留在剩下的N-m 支签里面的概率为(N-m)/N, 所以第m 个人抽到好签的概率为: (N-m)/N * 1/(N-m) = 1/N特别的, 最后一个抽签的人并不需要抽, 因为只剩一支签了, 但好签留在最后这支签里面的概率刚好也是1/N. 所以最后一个人抽到好签的概率还是1/N.这就是说, 随机模型下的抽签, 无论先后顺序, 抽中好签的概率都是一样的, 抽签是公平的.下面讨论不公平的情况.----------------------------------------------------------------------------------模型二: 有人作弊, 故意抽走好签的模型.经过各位的一番辩论，我看出来了两边实际上最终的分歧在哪里了，那就是前一个人抽出来的结果亮不亮出来，对后面一个人的抽签结果是否会起到影响，以下分析：1、一个事件可能会产生多个结果，每个结果的发生概率=该结果的产生概率*该事件的发生概率；2、以226为例，阿香第一个抽，那么“阿香抽签”这个事件的发生概率就是100%，“阿香抽中死签”这个结果的产生概率就是100%*20%=20%；3、杨MM第二个抽，由于“阿香没抽中导致需要杨MM第二个抽”这个事件的发生概率由100%变成了80%，同时由于少了一个活签，所以“杨MM抽中死签”这个结果的产生概率就是25%*80%=20%；4、同理，如果最后一个人实在运气不好，前面四个都没抽中死签，那么“轮到最后一个人抽签”这个事件的概率就只有20%了，在最后一轮他抽中死签的概率是100%，所以“最后一个人抽中死签”这个结果的产生概率是100%*20%=20%；5、之所以有人会不愿意最后抽，就是因为等真的轮到他的时候他就没有选择了，只能抽到死签，可是为什么不想想，“轮到最后一个人”这个事件的发生概率是多么小啊？6、有人说这是在抽签还没开始的时候每个人的概率，但是随着第一个人抽完了，第二个人抽中死签的概率就会变大，这样说是没有错的，但是这五个人抽签并不是五个独立事件，每个人的抽签结果都会受上一个人的抽签结果所影响，所以在计算的时候必须把上一个人的抽死签概率算进去，而不是只考虑当次抽签的结果；7、还有关于前一个人抽签后把结果亮出来对后面人抽中死签是否有影响的问题，答案是没有，因为亮不亮结果对死签抽出的两个决定性因素并没有改变：事件发生的概率和当次事件结果的产生概率8、再强调一下，当这5个人决定以抽签的方式决定生死的时候，每个人抽死签的概率就已经确定了，无论顺序如何，对每个人都是公平的。

“抽签有先后有后，对各人公平吗？”创新训练题供题：五峰一中意图：用概率的角度理解“抽签有先有后，对各人公平”;以及“有放回”与“无放回”抽签的区别。

熟悉概率在社会生产和社会生活中的广泛应用。

题目1：有10件产品，其中4件次品，6件正品，每次取一件检验，测后不放回，一共测5次。

求第5次测得次品的概率。

解析：设A=“测5次，第5次测得次品”，易知基本事件仍为n=510A 。

第5次出现次品的方法为14C ，于是m= 4914A C 。

因此，P （A ）= 5104914A A C =0.4。

若将问题改为：每次测1件，测后不放回，一共测k 次(k ≤10)，求第k 次测到次品的概率，则n=k A 10 ，m=1914-k A C ， P （A ）=k k A A C 101914-=0.4。

这一事实表明，第1次、第2次、…、第10次测出次品的概率是相同的，都是0.4。

如果将“次品”看作“奖”，则抽签中奖的概率是相同的，这就是人们通常所说的“抽签不分先后，一样公平合理”的道理。

题目2：甲乙两同学做摸球游戏。

游戏规则规定：两人轮流从一个放有2个红球、3个黄球、1个白球的6个小球只有颜色不同的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者。

现甲先取。

（1）、求甲取球次数不超过3次就胜的概率；（2）、求甲获胜的概率；解析：（1）甲第一次取得红球的概率为31； 甲第二次取得红球的概率为19431313232）（•=••； 甲第三次取得红球的概率为29431）（•； ∴求甲取球次数不超过3次就胜的概率为P=31+19431）（•+29431）（•=243133 （思考：假若是求乙取球次数不超过3次就胜呢？）（2）由上可知：甲第一次取得红球的概率为31； 甲第二次取得红球的概率为19431313232）（•=••； 甲第三次取得红球的概率为29431）（•； ……甲第n 次取得红球的概率为19431-•n ）（； ∴甲获胜的概率为P=lim ∞→n [31+19431）（•+29431）（•+…+19431-•n ）（]=5394131=- （思考：若换着是乙呢？）。

2014国家公务员考试行测：抽签是公平的游戏？参加的考生经常会问这样的问题：“我不想在面试抽签的时候抽到一号签，我会紧张，希望抽到顺序靠后的签，我应该第几个去抽会比较占便宜？”其实，抽到几号签都各有优劣，为此担心毫无必要。

中公教育专家今天和各位考生一起探讨这背后体现的数学思想。

举例：十二生肖一起报考天宫的，结果大家并列第一，所以采取抽签的方式来决定最终人选。

名额只有一个，老鼠第一个抽，那么老鼠抽中的概率就是1/12,这个很容易理解。

牛第二个抽，他的抽中的概率又是多少呢？在这里，很多学员会犯错，他们认为一共十二个签，老鼠抽走了一个，还剩十一个，所以牛抽中的概率应该是1/11。

其实这样理解的学员漏掉了一个条件，那就是牛要想抽中，必须是老鼠抽不中，所以牛抽中的概率应该是第一次老鼠抽不中乘以第二次牛抽中，即11/12×1/11=1/12。

同样的，老虎第三个抽，抽中的概率就是第一次老鼠抽不中，乘以第二次牛抽不中，再乘以老虎第三次抽中，即11/12×10/11×1/10=1/12。

以此类推，无论是第几个抽，抽中的概率都是1/12，所以，抽签是绝对公平的游戏，无论你是第几个抽，抽中的概率通通一样。

当然，上面的例子只是专家随手编的，公务员的考题不可能这样出，那么大家再来看这样一道题：一个袋子里放有10个球，其中4个白球，6个黑球，无放回的每次抽取一个，则第二次抽到白球的概率是多少？这道题如果是常规解法，要分类讨论，先假设第一个抽中的是白球，得出一个概率1；再假设第一个抽中的是黑球，得出一个概率2，概率1和概率2的和就是我们要找的答案。

这个解法相对用时较多，而且如果问你第三次甚至第四次抽中白球的概率是多少时，工作量更是倍增。

中公教育专家也要告诉各位考生，如果我们使用抽签是绝对公平的游戏这一理念，便知道无论是第几个抽，抽中白球的概率都与第一个抽的一样，都是4/10,便可以迅速解题了。

抽签摸奖有先后，对各人公平么？315700 浙江省象山中学张宗余在新教材第十章“概率”一节中，安排两篇材料，其中有一篇是“抽签有先后，对各人公平吗？”。

恰巧期间象山举行为期3天的2600万福利彩票大抽奖，笔者结合本节内容，以摸奖的问题为背景，设计了这节阅读课，促使学生对情景的感性认识，使之课堂之初就激起了学生对问题讨论，将研究性学习引进课堂。

问题： “何时去摸奖？抽奖有先后，对各人公平吗。

”将这一问题先抛于学生。

“后抽人是否知道前抽人的结果，”当然的成为学生争议的关键点，让学生自行设计问题解决，“授之与鱼，不如授之与渔。

”，下面是两组学生设计的方案：方案一：前提是后抽人不知道先抽人抽出的结果。

特例1：从5张彩票中仅有1张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗？学生分析：对第1个抽票者来说，他从5张票中任抽1张，得到奖票的概率511=P 。

为了求得第2个抽票者抽到奖票的概率，我们把前2人抽票的情况作一整体分析，从5张票中先后抽出2张，可以看成从5个元素中抽出2个进行排列，它的种数是22A ，而其中第2人抽到奖票的情况有1411A C 种，因此，第2人抽到奖票的概率：512511142==A C A P 。

通过类似的分析，可知第3个抽票者抽到奖票的概率513524113==A A C P 。

如此下去，我们可求得第4个抽票者和第5个抽票者抽到奖票的概率也都是51。

纵向推广1：一般地，如果在n 张票中有1张奖票，n 个人依次从中各抽1张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，那么第i 个抽票者（i=1，2，…，n ）抽到奖票的概率：nA A C P n n n n i 11111==--。

即每个抽票者抽到奖票的概率都是n1，也就是说，抽到奖票的概率与抽票先后顺序无关。

特例2：如果在5张票中有2张奖票，5个人依次从中各抽1张，我们来研究一下各个抽票者抽到奖票的概率。

显然第1个抽票者抽到奖票的概率是52，下面来求第2个抽票者抽到奖票的概率，在前2个抽票者抽票的所有25A 种情况中，第2个抽票者抽到奖票的情况有1411A C 种，因此，第2个抽票者抽到奖票的概率是：522514122=⋅=A A C P 。

科普中国·抽签时，先抽和后抽的中签机会均等吗？丨十万个为
什么
抽签时，先抽和后抽的中签机会均等吗？丨十万个为什么科普中国· 6 天前·打开原文
（作者：万维钢，美国科罗拉多大学物理系研究员、科普作家）
导语
今天我们来讨论一个数学问题，抽签的先后是否会影响你抽签的结果呢？
十万个为什么：
快来看看答案吧！
生活中有一个需要用到概率知识的常见局面：比较少的东西要分给比较多的人，比如把3张电影票分给5个人，由于不够分，只好用抽签的形式分配。

一个显然的问题是：先抽和后抽的中签机会均等么？
答案是：均等，不管谁先抽都是公平的。

我们索性用一个一般情况来证明。

假设总共有n个签，而其中m 个是“中”的。

第一个人抽中的机会显然是m/n。

那么第二个人抽中的概率怎么计算呢？
我们知道从n个签中按顺序任意抽取两个，一共有n(n-1)种方法，这就是我们总的样本空间。

在这些排列中，要确保第二个人中签，他一共有m种抽法；而这样第一个人可以从剩下的n-1个签中任意选择，故确保第二个人抽中的方法一共有m(n-1)种。

于是“第二个人抽中的概率”，就是m(n-1)/n(n-1)，仍然等于m/n。

抽签的先后顺序与结果无关
使用类似的办法可以证明，此后每一个人中签的机会都是m/n。

其实这个问题还有更简单的想法。

不管这些人怎么抽签，他们最后抽出来的结果无非是n个签的一个排列组合而已。

在这个排列组合中没有任何一个位置比别人特殊，于是每个位置中签的可能性必然是相等的。

编辑：鲁凡英。