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第1课时函数的单调性学习目标： 1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3.会求一些具体函数的单调区间．(重点)[自主预习·探新知]1．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？[提示]定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？[提示]不是．y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．[基础自测]1．思考辨析(1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．( )(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( )(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( ) [答案](1)×(2)√(3)×2．函数y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，其增区间是( )图1-3-1A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]C[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选 C.]3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )【导学号：37102125】A．y＝－1xB．y＝xC．y＝x2D．y＝1－xD[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选 D.] 4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．(－∞，1) [因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．][合作探究·攻重难]求函数的单调区间求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x<1；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.【导学号：37102126】[解](1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥１时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3，x≥0，－x2－2x＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．[规律方法]1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[跟踪训练]1．(1)根据如图1-3-2说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；图1-3-2(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．[解](1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．(2)先画出f(x)＝x2－2x－3，x<－1或x>3，－x2－2x－，－1≤x≤３的图象，如图．所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．函数单调性的判定与证明证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数.【导学号：37102127】思路探究：设元0<x 1<x 2<1―→作差：f x 1－f x 2――→变形判号：fx 1f x 2――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x1－x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[规律方法]利用定义证明函数单调性的步骤取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.作差变形：作差f x 1－f x 2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子定号：确定f x 1－f x 2的符号结论：根据fx 1－fx 2的符号及定义判断单调性提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.[跟踪训练]2．试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2xx －1在(1，＋∞)上是减函数．[证明]f (x )＝2＋2x －1，设x 1>x 2>1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝x 2－x 1x 1－x 2－，因为x 1>x 2>1，所以x 2－x 1<0，x 1－1>0，x 2－1>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，则a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？提示：若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .2．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是什么？提示：因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以其单调增区间为(a ，＋∞)，由题意可得(2，＋∞）?(a ，＋∞)，所以a ≤2.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b .(1)若函数f (x )的图象过点(1,4)和(2,5)，求f (x )的解析式．(2)若函数f (x )在区间[1,2]上不单调，求实数a 的取值范围.【导学号：37102128】思路探究：待定系数法求f x――→数形结合分析f x 的对称与区间的关系――→建立不等式求a 的范围[解](1)∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 过点(1,4)和(2,5)，∴1＋a ＋b ＝4，4＋2a ＋b ＝5，解得a ＝－2，b ＝5，∴f (x )＝x 2－2x ＋5.(2)由f (x )在区间[1,2]上不单调可知1<－a2<2，即－4<a <－2.母题探究： 1.把本例(2)条件“不单调”改为“单调”，求实数a 的取值范围．[解]由f (x )在区间[1,2]上单调可知－a2≤１或－a2≥2，即a ≤－4或a ≥－2. 2．若把本例改为“函数g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且g (2x －3)>g (5x ＋6)”，求实数x的取值范围．[解]∵g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且g (2x －3)>g (5x ＋6)，∴２x －3>5x ＋6，即x <－3.所以实数x 的取值范围为(－∞，－3)．[规律方法]函数单调性的应用函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.[当堂达标·固双基]1．如图1-3-3是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )图1-3-3A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性C[由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )【导学号：37102129】A．f(3)<f(5) B．f(3)≤f(5)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)C[∵3<5，且f(x)在R上是减函数，∴f(3)>f(5)．]3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )A．b＝3 B．b≥３C．b≤3 D．b≠３C[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选 C.]4．已知函数f(x)＝kx(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________.【导学号：37102130】(－∞，0)[结合反比例函数的单调性可知k<0.]5．证明：函数y＝xx＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[证明]设x1>x2>－1，则y1－y2＝x1x1＋1－x2x2＋1＝x1－x2x1＋x2＋.∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴x1－x2x1＋x2＋>0，即y1－y2>0，y1>y2，x x＋1在(－1，＋∞)上是增函数．∴y＝。
第二课时函数的最大(小)值【选题明细表】1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( C )(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2解析:当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.2.函数f(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域为( B )(A)[-6,-2] (B)[-11,-2](C)[-11,-6] (D)[-11,-1]解析:函数f(x)=-x2+4x-6=-(x-2)2-2,又x∈[0,5],所以当x=2时,f(x)取得最大值为-(2-2)2-2=-2;当x=5时,f(x)取得最小值为-(5-2)2-2=-11;所以函数f(x)的值域是[-11,-2].故选B.3.函数f(x)=-x+在[-2,-]上的最大值是( A )(A) (B)- (C)-2 (D)2解析:因为f(x)=-x+在[-2,-]上为减函数,所以当x=-2时取得最大值,且为2-=.故选A.4.函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( D )(A)2 (B)3 (C)-1 (D)1解析:因为函数f(x)=2-在区间[1,3]上为增函数,所以f(x)max=f(3)=2-1=1.故选D.5.已知函数f(x)=,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( A )(A)f(x)有最大值,无最小值(B)f(x)有最大值,最小值(C)f(x)有最大值,无最小值(D)f(x)有最大值2,最小值解析:f(x)==2+,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=,无最小值.故选A.6.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则a的取值范围是( A )(A)(-∞,1) (B)(-∞,1](C)(1,+∞) (D)[1,+∞)解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a2+a,所以函数的对称轴为x=a.若a≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数,因为是开区间,所以没有最小值所以a<1,此时当x=a时取得最小值,故选A.7.已知函数f(x)=2x-3,其中x∈{x∈N|1≤x≤},则函数的最大值为.解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x∈{1,2,3},函数自变量x的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3.答案:38.若函数f(x)=x2-2x+m,在x∈[0,3]上的最大值为1,则实数m的值为.解析:函数f(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其对称轴为x=1,则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,则当x=3时,函数有最大值,即为9-6+m=1,解得m=-2.答案:-29.f(x)=2x4-3x2+1在[,2]上的最大值、最小值分别是( A )(A)21,-(B)1,-(C)21,0 (D)0,-解析:由f(x)=2x4-3x2+1,x∈[,2],可设t=x2,t∈[,4],所以f(x)=g(t)=2t2-3t+1,对称轴t=,g()=-,g(4)=21,g()=,所以最大值为21,最小值为-.故选A.10.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( A )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,因为x∈[0,1],所以函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1.故选A.11.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是.解析:在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.答案:612.已知函数f(x)=,x∈[3,5].(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;(2)求该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数,证明:设任意x1,x2,满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)-f(x2)=-==,因为3≤x1<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)=在[3,5]上是增函数.(2)由(1)知f(x)min=f(3)==,f(x)max=f(5)==.13.已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 解:因为f(x)=(x-a)2+2-a2,所以此二次函数图象的对称轴为x=a.①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3,即-3≤a<-1.②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2-a2≥a, 解得-2≤a≤1,即-1≤a≤1.综上所述,实数a的取值范围为[-3,1].。
