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安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考考前模拟数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭2．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-3．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-4．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭5．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<7．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π8．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦9．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( ) A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根 B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根 D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 10．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．98二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．{1}D．{﹣1，0}2．（3分）已知i是实数集，复数z满足z+z•i＝3+i，则复数z的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝﹣1，则输出的y＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝（）A．B．C．D．5．（3分）某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A．4.5B．5C．5.5D．66．（3分）若直线y＝k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，2]C．[﹣2，1]D．（﹣2，2]7．（3分）为了得到函数y＝sin x的图象，只需将函数的图象（）A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位8．（3分）若a，b是从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A．2或10B．4或8C．D．10．（3分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5，则|AB|＝（）A．B．C．D．11．（3分）若存在两个正实数x，y使得等式x（1+lnx）＝xlny﹣ay成立（其中lnx，lny 是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.13．（3分）已知，，若，则k＝．14．（3分）在的展开式中，x4的系数为．15．（3分）已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f （x）≤f（a2），则cos（a1﹣a2）＝．16．（3分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD 是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．20．已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．21．已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+a+1（e为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数f（x）的导函数y＝f'（x）的极值；（Ⅱ）若∀x∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2＝k，求证：+≥．2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．{1}D．{﹣1，0}【解答】解：因为，所以∁R B＝{x|x＜}．又A＝{﹣1，0，1}，所以A∩（∁R B）＝{﹣1，0}．故选：D．2．（3分）已知i是实数集，复数z满足z+z•i＝3+i，则复数z的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：z+z•i＝3+i可化为z＝＝＝＝2﹣i∴z的共轭复数为＝2+i，故选：C．3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝﹣1，则输出的y＝（）A．B．C．D．【解答】解：输入x＝﹣1，，不成立，；，成立，跳出循环，输出．故选：D．4．（3分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a2+a3＝4，S6＝10，∴3a1+3d＝4，6a1+d＝10，联立解得：a1＝，d＝∴．故选：A．5．（3分）某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A．4.5B．5C．5.5D．6【解答】解：由标准数据，计算＝×（14+16+18+20+22）＝18，＝×（12+10+7+a+3）＝；由点（，）在线性回归方程＝﹣1.15x+28.1上，∴＝﹣1.15×18+28.1，则32+a＝7.4×5，解得a＝5．故选：B．6．（3分）若直线y＝k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，2]C．[﹣2，1]D．（﹣2，2]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示直线y＝k（x+1）过定点A（﹣1，0），直线y＝k（x+1）经过不等式组表示的平面区域有公共点则k＞0，k AC＝＝2，∴k∈[0，2]．故选：B．7．（3分）为了得到函数y＝sin x的图象，只需将函数的图象（）A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位【解答】解：将函数的图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得y＝sin（x+）的图象；再把它的图象再向右平移个单位，可得y＝sin x的图象，故选：A．8．（3分）若a，b是从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素共有种，要使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数，必须a，b都为奇数共有＝6 种，则函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为P＝＝．故选：B．9．（3分）已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A．2或10B．4或8C．D．【解答】解：由可得．在△MCN中，CM＝CN＝2，，可得点到直线MN，即直线的距离为．所以，解得a＝4或8．故选：B．10．（3分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5，则|AB|＝（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D．设A（，y1），B（，y2），则MN＝y1﹣y2．∵S△MFN＝5，∴，即（y1﹣y2）p＝10，①∵，∴，即，∴y1＝﹣4y2，②∵AF＝AM＝，，∴，③联立①②③解得y1＝4，y2＝﹣1，p＝2．∴|AB|＝．故选：D．11．（3分）若存在两个正实数x，y使得等式x（1+lnx）＝xlny﹣ay成立（其中lnx，lny 是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：x（1+lnx）＝xlny﹣ay可化为a＝，令，则t＞0，f（t）＝﹣t﹣tlnt，∵f′（t）＝﹣2﹣lnt，∴函数f（t）在区间上单调递增，在区间上单调递减．即＝＝则a∈．故选：C．12．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A﹣BCD如图：点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A﹣BCD的高为△AEC 过A点的高；所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，AD＝DC＝1，AE＝，EC′＝，AC′＝|cos∠ADC′|＝||＝，所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为，故选：B．二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.13．（3分）已知，，若，则k＝8．【解答】解：+2＝（9，2+2k），3﹣＝（﹣1，6﹣k）；∵（+2）∥（3﹣），∴9（6﹣k）﹣（﹣1）（2+2k）＝0，解得k＝8．故答案为：8．14．（3分）在的展开式中，x4的系数为﹣．【解答】解：通项公式T k+1＝（x3）8﹣k（﹣）k＝（﹣）k x24﹣4k，由题意可知24﹣4k＝4，解得k＝5则x4的系数为（﹣）5＝﹣，故答案为：﹣．15．（3分）已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f （x）≤f（a2），则cos（a1﹣a2）＝﹣．【解答】解：∵＝2cos[+（x﹣）]cos（x﹣）+sin x＝cos2x+sin x＝﹣2sin2x+sin x+1，∵sin x∈[﹣1，1]，∴f（x）∈（﹣2，），对任意实数x，恒有f（a1）≤f（x）≤f（a2），则f（a1）＝﹣2，f（a2）＝，即sin a1＝﹣1，sin a2＝，cos a1＝0，∴cos（a1﹣a2）＝cos a1cos a2+sin a1sin a2＝0+＝﹣．16．（3分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于．【解答】解：如图，圆锥面与其内切球O1、O2分别相切与B，A，连接O1B，O2A，则O1B⊥AB，O2A⊥AB，过O1作O1D⊥O2A于D，连接O1F，O2E，EF交O1O2于点C．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt△O1O2D中，DO2＝3﹣1＝2，O1D＝＝2．∴cosα＝＝＝．∵O1O2＝8，CO2＝8﹣O1C，∵△EO2C∽△FO1C，∴＝，解得O1C＝2．∴CF＝＝＝．即cosβ＝＝．则椭圆的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：当n＝1时，a1＝1，故b1＝6．当n≥2时，a n＝2a n﹣1+2n﹣1，则b n＝a n+2n+3＝2（a n﹣1+2n﹣1+2n+3＝2[a n﹣1+2（n﹣1）+3]，∴b n＝2b n﹣1，∴数列列{b n}是等比数列，首项为6，公比为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n＝3×2n，∴a n＝b n﹣2n﹣3＝3×2n﹣2n﹣3，∴S n＝3×（2+22+……+2n）﹣[5+7+……+（2n+3）]＝3×﹣＝3×2n+1﹣n2﹣4n﹣6．18．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（Ⅰ）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读100 24 124不经常阅读50 26 76合计150 50 200则K2＝＝≈5.546＞5.024，所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且x～B（4，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列为：X0 1 2 3 4P∴E（X）＝＝．19．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD 是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形∴OB⊥AC，OB∥CD，则CD⊥AC，∵△PAD为等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD．PO⊂平面PAD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD，∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO，∴GH⊥CD．又∵GH∩AC＝H，AC，GH⊂平面GAC，∴CD⊥平面GAC；（Ⅱ）解：取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以，，的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AD＝4，则P（0，0，2），A（0，﹣2，0），C（，1，0），D（0，2，0），G（，，）．＝（0，2，2），＝（，，）．设平面PAG的一法向量＝（x，y，z）．由，得，即．令z＝1，则＝（1，，1）．由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量．∴二面角P﹣AG﹣C的平面角θ的余弦值cosθ＝．20．已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，∴，∴b2＝3，∴椭圆C的标准方程．（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，所以直线l的斜率存在．令l：y＝k（x﹣1），（k≠0），m：y＝﹣k（x+t），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），N（x N，y N）．将直线m的方程代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2tx+4（k2t2﹣3）＝0，∴x M+x N ＝﹣，x M x N ＝，|MN|2＝（1+k2）．同理|AB|＝＝．由|MN|2＝4|AB|得t＝0，此时，△＝64k4t2﹣16（3+4k2）（k2t2﹣3）＞0，∴直线m：y＝﹣kx，∴，即点P的定直线x ＝上．21．已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+a+1（e为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数f（x）的导函数y＝f'（x）的极值；（Ⅱ）若∀x∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．g（x）＝f'（x）＝2x﹣alnx﹣a，g'（x）＝2﹣当a≤0时，g'（x）＞0，函数y＝g（x）在（0，+∞）单调递增，函数y＝g（x）没有极值．当a＞0时，由g'（x）＝0，得x ＝，函数y＝g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．函数y＝g（x ）的极小值为，没有极大值．（Ⅱ）对∀x∈[1，e]，f（x）＞0恒成立，即对∀x∈[1，e]，x2﹣axlnx+a+1＞0，∴对∀x∈[1，e]，x﹣alnx +＞0．令h（x）＝x﹣alnx +，则h'（x）＝1﹣＝．①当a+1≤1，即a≤0时，对∀x∈[1，e]，h'（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝1﹣0+＞0，解得a＞﹣2，∴﹣2＜a≤0满足题意．②当a+1≥qe时，即a≥qe﹣1，对∀x∈[1，e]，h'（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调第21页（共23页）递减，h（x）min＝h（e）＝e﹣a +＞0，解得a ＜∴e﹣1满足题意．③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，对于x∈[1，a+1]，h'（x）＜0；对于x∈[a+1，e]，h'（x）＞0．∴h（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，∴．即1+﹣ln（a+1）＞0设H（a）＝1+﹣ln（a+1），由于H（a）在（0，e﹣1）单调递减，∴H（a）＞1﹣＞0，即h（x）min＝aH（a）＞0，∴0＜a＜e﹣1满足题意．综上①②③可得，a 的取值范围为：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．【解答】解：（1）由（α为参数，α∈[0，π]）．消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+y2＝4（y≥0）．由ρ2（1+3sin2θ）＝4，可得ρ2+3（ρsinθ）2＝4，则x2+y2+3y2＝4，则曲线E 的直角坐标方程为；（2）设A（2cosα，2sinα），α∈[0，π]，其中t＝2cosα，则B（2cosα，±sinα）．要使得△AOB面积的最大，则B（2cosα，﹣sinα）．∴＝＝．第22页（共23页）∵2α∈[0，2π]，∴sin2α∈[﹣1，1]．当，即时，△AOB 的面积取最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2＝k ，求证：+≥．【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|x+1＝，当x＝1时，f（x）取得最小值，即k＝f（1）＝2；（2）证明：依题意，m2+4n2＝2，则m2+4（n2+1）＝6．所以＝＝，当且仅当，即m2＝2，n2＝0时，等号成立．所以．第23页（共23页）。
2020年初中毕业学业考试模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列实数中最小的数是（ ）A. 2B. －3C. 0D. －π2.如图，是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（ ）A. B. C. D.3.安徽省的陆地面积为139400 km 2，139400用科学记数法可表示为（ ） A. 1394×102 B. 1.394×104 C. 1.394×105 D. 13.94×1044.下列运算正确的是（ ）A. a ＋2a =3a 2B. a 3•a 2=a 5C. (a 4)2=a 6D. －6a 6÷2a 2=－3a 35.若分式0242=--x x ，则x 的值是（ ） A. ±2 B. 2 C. －2 D. 0 6.如图是某市2016年四月份每日的最低气温的统计图， 则四月份的最低气温（单位：℃）的众数为（ ） A. 14 B. 30 C. 12 D. 187.药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（ ） A. 16(1＋2x )=25 B. 25(1－2x )=16 C. 16(1＋x )2=25 D. 25(1－x )2=168.如图，在℃ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且AD =AB =2，AD ℃AB ，过点D 作DE ℃AD ，DE 交 AC 于点E . 若DE =1，则℃ABC 的面积为（ ） A. 24 B. 4 C. 52 D. 89.如图，是二次函数y =ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，下列结论中：℃abc ＞0；℃a －b ＋c ＜0；③ax 2＋bx ＋c ＋1=0有两个相等的实数根；④9a ＋3b ＋c ＞0. 其中正确结论的序号为（ ） A. ℃℃ B. ℃℃ C. ℃℃D. ℃℃10.如图，在℃ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ） A. 9 B.1132+ C. 6 D.232二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.计算：=-312__________12.命题“若ab =0，则a 、b 中至少有一个为0”的逆命题是__________13.如图，已知A 为反比例函数)0(<=x xky 的图象上一点，过点A 作AB ℃y 轴，垂足为B ，若℃OAB 的面积为2，则k 的值为__________14.如图，在平面直角坐标系中，已知℃D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为（0，32），OC 与℃D 交于点C ，∠OCA =30°，则图中阴影部分为_______（结果保留根号和π）2020初中毕业学业考试模拟试卷答题卷姓名：得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11、12、13、14、三、解答题（本大题共9小题，满分90分）15.（8分）解方程：x2=4x16.（8分）如图，已知℃ABC三个项点的坐标分别为A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）.（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将℃ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；（3）若另有一点P（－3，－3），连接PC，则tan℃BCP=_______.17.（8分）光伏发电惠民生，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度.（1）求这个月晴天的天数；（2）为鼓励光伏发电，每月家庭生产的电，除供自己使用外，可将剩余的电以政府补贴价0.97元/度的价格卖给电力公司。
合肥168中学数学一模模拟试卷（文科）（总分150分 时间120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-= M C U =}7,5{，则a 的值为（ ）A ．2或8-B ．8-或－2C ．－2或8D ．2或82．复数4312ii++的实部是 （ ） A ．-2B ．2C ．3D ．43．已知53)sin(=+απ，且α第四象限的角，那么)2cos(πα-的值是 （ ） A ． 54 B ．－54 C ．±54D ．534．在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S-=，则2008S 的值等于（ ）A ．2007-B ．2008- C ．2007 D ．20085．1-=m 是直线03301)12(=++=+-+my x y m mx 和直线垂直的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．设a ，b ，c 是空间三条直线，βα,是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A ．当βαβα//,,则若时⊥⊥c cB ．当βαβα⊥⊥⊥则若时,,b bC ．当b a c b a c b ⊥⊥⊂则若内在射影时在是且时,,,αα D ．当c b c c b //,//,,则若时且ααα⊄⊂7．阅读右图的程序框图。
若输入m = 4，n = 6，则输出a 、i 分别等于（ ）A ．12，2B ．12,3C ．24，3D ．24，28．函数a x x x x f +--=93)(23的图像经过四个象限的充要条件 （ ）A ．0>aB ． 0<aC ． 3010<<-aD ． 275<<-a9、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．313cm B ．323cm C ．343cm D ．383cm10、 点P 是双曲线1422=-y x 的右支上一点，M 、N 分别是圆22)5(y x ++=1和圆1)5(22=+-y x 上的点，则|PM |－|PN |的最大值是（ ）A 2B 4C 6D 8二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题纸上)11、不等式211x x -≤+的解集为 .12．若函数2()ln 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点,那么实数a 的取值范围是 .13 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，则A 、B 为焦点，过点C 的椭圆的离心率14、如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是15.③若；2014-2015安徽合肥圣泉中学数学一模模拟试卷（文科）答题卡（本卷满分150分,考试时间120分钟）一．选择题（每小题5分，共50分）二．填空题（每小题5分，共25分）11．___________ 12．___________ 13．___________ 14．___________ 15．___________三.解答题(共6大题，共75分)16．（本题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n →→==-,且m n →→⊥。
合肥一六八中学高三测试 数学（文科）本试卷分第Ⅱ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +2．已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（ ）A ．A ØB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅ ðD ．()R A B R = ð 3．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n- B ．122n +- C ．21n - D ．121n +-4． “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件500由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）A ． B. C. D. 7．已知1()21x f x =+，则331(log 2)(log )2f f +=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4 8．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．29．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥主视图侧视图俯视图A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=10．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．716- B ．916- C ．12- D ．14-第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上） 11．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________.12．设()xxf x e =，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________. 13．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.14．设,x y 满足条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，若z a x y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．15．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}(,)|M OM λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，给出结论如下： ①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ= ；⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大共6小题，共75分。
合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷数学考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列满足，若，则（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．4．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式中成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，则（ ）A．B ．C ．D ．6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．{A x x =<1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A B = {x x <{x x <{0x x <<{0x x <<a b 55a b a b -=+a b ⊥ {}n a ()111n n a a +-=11a =-10a =120a b c <<<11a b b a+>+22a b aa b b+<+a b b c a c<--ac bc>a ∈R 2sin cos αα+=tan 2α=433443-34-0.1e1a =-111b =ln1.1c =b c a<<c b a<<a b c<<a c b<<8．定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 都有，．若，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点，，，，则（）A ．B ．C ．D ．10．三次函数叙述正确的是（ ）A ．当时，函数无极值点B ．函数的图象关于点中心对称C ．过点的切线有两条D ．当a <－3时，函数有3个零点11．已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数与3i 在复平面内用向量和表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则与夹角为______．13．函数在上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、，则______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．（1）求角A ；（2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积．()f x ()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭()12024e f =()()0f x f x '+->()11ex f x +>()3,+∞(),3-∞()1,+∞(),1-∞()1cos1,sin1P ()2cos 2,sin 2P -()3cos3,sin 3P ()1,0Q 12OP OP = 12QP QP =312OQ OP OP OP ⋅=⋅ 123OQ OP OP OP ⋅=⋅ ()32f x x ax =++1a =()f x ()f x ()0,2()0,2()f x ()2sin 2f x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123f x f x α=+α3π44π76π78π71+OA OB OAOB2x y m m =-+(],2-∞[]0,1c ∈M ABC △cos sin 0a C C b c --=8b =ABC △ABC △条件①：；条件②：；条件③：AC．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数（a 为常数，且，），且是奇函数．（1）求a 的值；（2）若，都有成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在处切线方程；（3）若有两解，，且，求证：．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知，都是正数，求证：；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．2cos 3B =-7a =3m 3m a 3m 3m 3m 3m 3m 0.2k a =()824x x xa f x a +⋅=⋅0a ≠a ∈R ()f x []1,2x ∀∈()()20f x mf x -≥()()2ln f x x x =-()f x ()f x ()()22e ,ef ()f x m =1x 2x 12x x <2122e e x x <+<12,,,n a a a ⋅⋅⋅12n a a a n++⋅⋅⋅+≥合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】，∵，∴．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“”，∴平方得，即，则，即，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为，，所以，，，所以数列的周期为3，所以．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为，所以，所以，故A 错误；对于B ，因为，所以，故B 正确；对于C ，当，，时，，，，故C 错误；对于D ，因为，，所以，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】，则，即，可得，解得或．那么．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：．131ln 0e 3x x <⇒<<23e 2<661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭55a b a b -=+ 222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅200a b ⋅= 0a b ⋅= a b ⊥111n na a +=-11a =-212a =32a =41a =-{}n a 101a =-0a b <<11a b >11a b b a+<+0a b <<()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++2a =-1b =-1c =13b a c =-1a b c =-b aa cb c<--a b <0c >ac bc <2sin cos αα+=()252sin cos 2αα+=2254sin 4sin cos cos 2αααα++=224tan 4tan 15tan 12ααα++=+tan 3α=-1322tan 3tan 21tan 4ααα==-1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯若S 取最小值，则函数也取最小值，由二次函数的性质，可得函数的对称轴为，又∵x 为正整数，故或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增．∴在处取最小值，∴，（且），∴，∴；构造函数，，，∵，，，∴，在上递增，∴，∴，即，∴．故选A ．8．【答案】C【解析】因为是奇函数，所以是偶函数，因为，所以，令，，在R 上单调递增．又因为且是奇函数，所以的周期为3，，则，所以，则不等式，因为在R 上单调递增，所以，即．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+ 5.5x =5x =()1ln f x x x =+0x >()211f x x x'=-0x >()0f x '=1x =01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()f x 1x =()11f =1ln 1x x>-0x >1x ≠101ln1.111111>-=c b >()1e 1ln x g x x -=--1x >()11ex g x x-'=-1x >1e1x ->11x<()0g x '>()g x ()1,+∞()()10g x g >= 1.11e 1ln1.1-->0.1e 1ln1.1->a c >()f x ()f x '()()0f x f x '+->()()0f x f x '+>()()e xg x f x =()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦()g x ()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭()f x ()f x ()12024e f =()12ef =()212e e e g =⨯=()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>()g x 12x +>1x >【解析】∵，，，，∴，，，，，，易知，故A 正确；∵，，∴，故B 错误；，，∴，故C 正确；，，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：，，，单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B 正确；对于C ：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，，解得，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极大值为，所以若函数有3个零点，有极小值为，得到，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵，∴，∴，∵对任意的，都存在，使得成立，()1cos1,sin1P ()2cos 2,sin 2P -()()()3cos 12,sin 12P ++()1,0Q ()1cos1,sin1OP = ()2cos 2,sin 2OP =- ()()()3cos 12,sin 12OP =++ ()1,0OQ = ()1cos11,sin1QP =- ()2cos 21,sin 2QP =-- 121OP OP ==1QP= 2QP = 12QP QP ≠ ()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- 12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=- 312OQ OP OP OP ⋅=⋅1cos1OQ OP ⋅= 23cos 2cos3sin 2sin 3cos5cos1OP OP ⋅=-=≠1a =()32fx x x =++()2310f x x '=+>()f x ()()4f x f x +-=()f x()0,2()()1,x f x ()()()111y f x f x x x '-=-()0,2()()()112f x f x x '-=-331111223x ax x ax ---=--10x =()23f x x a '=+3a <-()0f x '=x =,x ⎛∈-∞ ⎝()0f x '>()f x x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x '>()f x ()f x 20f ⎛=> ⎝()f x ()f x 20f =+<3a <-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]1sin 0,1x ∈()[]12,4f x ∈1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123f x f x a =+∴，，∴，∴，，在上单调递减．在上单调递增．当时，，，，故A 正确，当时，，，故B 错误，当时，，，，故C 正确，当时，，．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】【解析】由题知，，．故本题答案为．13．【答案】【解析】当时，函数的图象是由向上平移个单位后，再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意，当时，函数图象是由向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知满足题意，时不合题意．()2min 23f x α+≤()2max 43f x α+≥()2sin 2f x x =+()2min 2sin 3x α+≤-()2max 1sin 3x α+≥-sin y x =π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π4α=23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 3π1sin sin 043x α+=>>-()2min5πsin sin 4x α+==23<-4π7α=24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-6π7α=26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 6π1sin sin 073x α+=>>-()2min 19πsin sin 14x α+=<4π2sin33=<-8π7α=28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=<-π6(OA = ()0,3OB = cos ,OA OB OA OB OA OB⋅==⋅π6AOB ∠=π6(],2-∞0m ≤2x y m m =-+2xy =m m 2xy =02m <≤2x y m m =-+2xy =02m <≤2m >故本题答案为．14．【解析】不妨设，则，∴，当且仅当，，，即，，时，等号成立．．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为，由正弦定理得．即：，，即，因为，所以，得；（2）选条件②：．在中，由余弦定理得：，即．整理得，解得或．当时，的面积为：，当c=5时，的面积为：，(],2-∞301a b c ≤≤≤≤M=≤=33M =+≤+≤b a c b -=-0a =1c =0a =12b =1c =3+cos sin 0a C C b c +--=sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=()sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>cos 1A A -=π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<ππ66A -=π3A =7a =ABC △2222cos a b c bc A =+-222π7816cos3c c =+-⋅28150c c -+=3c =5c =3c =ABC △1sin 2ABC S bc A ==△ABC △1sin 2ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC 边中点为M ，连接BM ，则，，在中，由余弦定理得，即．整理得，解得或（舍）．所以的面积为．16．【解析】（1），；（2）由题意可知要同时满足以下条件：，∴，即单价最低定为2.6元/．17．【解析】（1），因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，；（2）因为，，所以，所以，，令，，，由于在单调递增，所以．18．【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，BM =4AM =ABM △2222cos BM AB AM AB AM A =+-⋅⋅2π21168cos3AB AB =+-⋅2450AB AB --=5AB =1AB =-ABC △1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅=△()2.32.4k y a x x ⎛⎫=+-⎪-⎝⎭[]2.55,2.75x ∈()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x a x x ⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩2.6 2.75x ≤≤3m ()1122x x f x a =⨯+()f x ()()f x f x -=-11112222x x x x a a⎛⎫⨯+=-⨯+ ⎪⎝⎭111202x xa ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭110a +=1a =-()122x x f x =-[]1,2x ∈22112222x x xx m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭122x x m ≥+[]1,2x ∈2xt =[]1,2x ∈[]2,4t ∈1y t t=+[]2,4117444m ≥+=()f x ()0,+∞()1ln f x x '=-()0f x '=e x =()0,e x ∈，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数；（2），，所以处切线方程为：，即；（3）先证，由（1）可知：，要证，也就是要证：，令，，则，所以在区间内单调递增，，即，再证，由（2）可知曲线在点处的切线方程为，令，，∴在处取得极大值为0，故当时，，，则，即，又，，∴．19．【解析】（1）将20分成正整数之和，即，假定乘积已经最大．若，则将与合并为一个数，其和不变，乘积由增加到，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故，同理．将每个大于2的拆成2，之和，和不变，乘积．故所有的只能取2，3，4之一，而，所以将取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是，最大乘积为；（2）①证明：先证：．令，则，，且，()0f x '>()e,x ∈+∞()0f x '<()f x ()0,e ()e,+∞()2e 0f =()22e 1ln e 1f '=-=-()()22e ,ef ()()201e y x -=--2e 0x y +-=122e x x +>2120e e x x <<<<12212e 2e x x x x +>⇔>-()()()()21112e 2ef x f x f x f x <-⇔<-()()()2eg x f x f x =--()0,e x ∈()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=()g x ()0,e ()()e 0g x g <=122e x x +>212e x x +<()f x ()2e ,0()2e x x ϕ=-()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--()2ln m x x '=-()m x e x =()0,e x ∈()()f x x ϕ<()()12m f x f x ==()()2222e m f x x x ϕ=<=-22e m x +<10e x <<()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->2122e x x m x +<+<1,,n x x ⋅⋅⋅120n x x =+⋅⋅⋅+1n p x x =⋅⋅⋅11x =1x 2x 1221x x x +=+122x x x =21x +2i x ≥()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅22i i x x =+-2i x -()224i i i x x x -≤⇒≤i x 42222=⨯=+i x 202333333=++++++6321458⨯=1ex x -≥()1e x f x x -=-()1e 1x f x -'=-()10f '=()()10f x f ≥=，，，∴②让n 固定，设n 个正实数之和为20，，，要是最大，最大即可，令，其中，，∴时，单调递增，时，单调递减，而，所以这些正实数乘积的最大值为．1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅1111--≥=1n ≥0n ≥12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥1,,n x x ⋅⋅⋅120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭*t ∈N ()20ln ln e g t t '=-7t ≤()g t 8t ≥()g t ()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>7207⎛⎫⎪⎝⎭。
2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是正确的，把正确选项的代号填在题后的括号内． 1．（4分）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(20132015)-》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为( ) A ．239.610⨯ B ．33.9610⨯ C ．43.9610⨯ D ．40.39610⨯2．（4分）如图，OA OB ⊥，若140∠=︒，则2∠的度数是( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒3．（4分）下列计算正确的是( ) A ．2a a a +=B ．236a a a =gC ．326()a a -=-D ．752a a a ÷= 4．（4分）如图，一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是()A ．0m >B ．0m <C ．2m >D ．2m < 环，方差如表：选手 甲 乙 丙 丁 方差（环2) 0.035 0.016 0.022 0.025A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．（4分）如图，已知直线y mx =与双曲线ky x=的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是( )A ．(3,4)-B ．(4,3)--C ．(3,4)--D ．(4,3)7．（4分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中： ①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>， 错误的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（4分）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程240x x k +-=的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法判断 9．（4分）如图，已知123////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰ABC ∆的三个顶点分别在这三条平行直线上，若90ACB ∠=︒，则sin α的值是( )A ．13B ．617C ．55 D ．101010．（4分）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt ABC ∆斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为( )A ．9π B ．3π C ．3332π-D ．3323π-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）已知1x =是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，则A = ． 12．（5分）如图，ABC ∆内接于O e ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O e 的直径，6AD =，则DC = ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x=的图象上，连接OA 、OB ，若OA OB ⊥，OB OA =，则k = ．14．（5分）如图，抛物线292y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为 ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：201()6sin30(2)|282--︒+-+．16．（8分）“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为13；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为25． （1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？ （2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，(1)a a >的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，⋯依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值．18．（8分）如图，在76⨯的方格中，ABC ∆的顶点均在格点上．试按要求画出线段(EF E ，F 均为格点），各画出一条即可．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，已知函数43y x =与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点A ．将43y x =的图象向下平移6个单位后与双曲线ky x=交于点B ，与x 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若2OACB=，求反比例函数的解析式．20．（10分）如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB AC =．（1）求证：BAD AEC ∆≅∆；（2）若30B ∠=︒，45ADC ∠=︒，10BD =，求平行四边形ABDE 的面积．六、（本题满分12分） 21．（12分）身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝， 风筝不小心挂在了树上 ． 在如图所示的平面图形中， 矩形CDEF 代表建筑物， 兵兵位于建筑物前点B 处， 风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处 （点G 在FE 的延长线上） ． 经测量， 兵兵与建筑物的距离5BC =米， 建筑物底部宽7FC =米， 风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上， 点A 距地面的高度 1.4AB =米， 风筝线与水平线夹角为37︒． （1） 求风筝距地面的高度GF ； （2） 在建筑物后面有长 5 米的梯子MN ，梯脚M 在距墙 3 米处固定摆放， 通过计算说明： 若兵兵充分利用梯子和一根 5 米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？ （参 考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75)︒≈七、（本题满分12分）22．（12分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售y（张)与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人出的车票数1y（张)与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．售票窗口售出的车票数2（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为，其中自变量x的取值范围是；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．八、（本题满分14分） 23．（14分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ． ①线段DB 和DG 的数量关系是 ；②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系．（2）当四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若1BE =，2AB =，直接写出线段GM 的长度．2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是正确的，把正确选项的代号填在题后的括号内． 1．（4分）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(20132015)-》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为( ) A ．239.610⨯B ．33.9610⨯C ．43.9610⨯D ．40.39610⨯【解答】解：将3960用科学记数法表示为33.9610⨯． 故选：B ． 2．（4分）如图，OA OB ⊥，若140∠=︒，则2∠的度数是( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：OA OB ⊥Q ，140∠=︒， 2901904050∴∠=︒-∠=︒-︒=︒． 故选：C ． 3．（4分）下列计算正确的是( ) A ．2a a a +=B ．236a a a =gC ．326()a a -=-D ．752a a a ÷=【解答】解：A 、2a a a +=，故本选项错误；B 、235a a a =g ，故本选项错误；C 、326()a a -=，故本选项错误；D 、75752a a a a -÷==，故本选项正确． 故选：D ． 4．（4分）如图，一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是( )A ．0m >B ．0m <C ．2m >D ．2m < 【解答】解：如图，Q 一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，20m ∴-<， 解得，2m <． 故选：D ．环，方差如表：选手 甲 乙 丙 丁 方差（环2)0.035 0.016 0.022 0.025A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解答】解：0.0160.0220.0250.035<<<Q ， ∴乙的成绩的方差最小，∴这四个人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B ．6．（4分）如图，已知直线y mx =与双曲线ky x=的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是( )A ．(3,4)-B ．(4,3)--C ．(3,4)--D ．(4,3)【解答】解：因为直线y mx =过原点，双曲线ky x=的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为(3,4)，另一个交点的坐标为(3,4)--． 故选：C ． 7．（4分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中： ①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>， 错误的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①Q 由函数图象开口向下可知，0a <，由函数的对称轴12b x a =->-，故12b a<，0a <Q ，2b a ∴>，所以20a b -<，①正确；②0a <Q ，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则0c <，故0abc <；②正确；③当1x =时，0y a b c =++<，③正确； ④当1x =-时，0y a b c =-+<，④错误； ⑤当2x =时，420y a b c =++<，⑤错误； 故错误的有2个． 故选：B ．8．（4分）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程240x x k +-=的根的情况是( ) A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断 【解答】解：5200k +<Q ，即4k <-， ∴△1640k =+<， 则方程没有实数根． 故选：A ． 9．（4分）如图，已知123////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰ABC ∆的三个顶点分别在这三条平行直线上，若90ACB ∠=︒，则sin α的值是( )A ．13B ．617C ．55D ．1010【解答】解：如图，过点A 作1AD l ⊥于D ，过点B 作1BE l ⊥于E ，设1l ，2l ，3l 间的距离为1， 90CAD ACD ∠+∠=︒Q ， 90BCE ACD ∠+∠=︒， CAD BCE ∴∠=∠，在等腰直角ABC ∆中，AC BC =， 在ACD ∆和CBE ∆中， 90CAD BCE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ACD CBE AAS ∴∆≅∆， 1CD BE ∴==，在Rt ACD ∆中，2222215AC AD CD =+=+=，在等腰直角ABC ∆中，22510AB AC ==⨯=，110sin 1010α∴==． 故选：D ．10．（4分）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt ABC ∆斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为( )A ．9π B 3π C 3332π-D 3323π-【解答】解：连接BD ，BE ，BO ，EO ，B Q ，E 是半圆弧的三等分点， 60EOA EOB BOD ∴∠=∠=∠=︒， 30BAC EBA ∴∠=∠=︒， //BE AD ∴，Q 弧BE 的长为23π，∴6021803R ππ⨯=，解得：2R =，cos3023AB AD ∴=︒=，132BC AB ∴==，223AC AB BC ∴=-=，113333222ABC S BC AC ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， BOE ∆Q 和ABE ∆同底等高， BOE ∴∆和ABE ∆面积相等，∴图中阴影部分的面积为：233336022236023ABC BOES S ππ∆⨯-=-=-扇形． 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）已知1x =是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，则A = 2或1- ． 【解答】解：1x =Q 是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，220A A ∴+-=，解得2A =或1-． 故答案为2或1-． 12．（5分）如图，ABC ∆内接于O e ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O e 的直径，6AD =，则DC = 23 ．【解答】解：BD Q 为O e 的直径， 90BAD BCD ∴∠=∠=︒， 120BAC ∠=︒Q ，1209030CAD ∴∠=︒-︒=︒， 30CBD CAD ∴∠=∠=︒， 又120BAC ∠=︒Q ，180********BDC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， AB AC =Q ，ADB ADC ∴∠=∠，11603022ADB BDC ∴∠=∠=⨯︒=︒，6AD =Q ，∴在Rt ABD ∆中，3sin 60643BD AD =÷︒=÷=， 在Rt BCD ∆中，11432322DC BD ==⨯=． 故答案为：23．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x=的图象上，连接OA 、OB ，若OA OB ⊥，OB OA =，则k = 2- ．【解答】解：过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，则有90ADO OCB ∠=∠=︒．设点A 的坐标为2(,)a a ，OD a ∴=，2AD a=OA OB ⊥Q ， 90AOB ∴∠=︒，90DOA COB CBO ∴∠=︒-∠=∠， 在OCB ∆和ADO ∆中， OCB ADO CBO DOA OB AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()OCB ADO AAS ∴∆≅∆， BC OD a ∴==，2OC AD a== 2(,)B a a ∴-，∴22k a a=-=-g ，故答案为2-．14．（5分）如图，抛物线292y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为 29922y x x =-+ ．【解答】解：Q 令0x =，则92y =， ∴点9(0,)2A ，9(,)2B b -，∴抛物线的对称轴为2b x =-，直线OB 的解析式为92y x b=-， Q 抛物线的顶点C 在直线OB 上，94y ∴=∴顶点C 的纵坐标为199224⨯=，即294192414b ⨯⨯-=⨯，解得13b =，23b =-，由图可知，021b->⨯，0b ∴<， 3b ∴=-，∴对称轴为直线33212x -=-=⨯，∴点D 的坐标为3(2，0)，设平移后的抛物线的解析式为2y x mx n =++，则9293042n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得9292m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，29922y x x =-+．故答案为：29922y x x =-+．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：201()6sin30(2)|282--︒+-+．【解答】解：原式211612222212()2=-⨯++-=．16．（8分）“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为13；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为25．（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）【解答】解：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x只、y只，根据题意得：1332375xx yxx y⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪-+-⎩，解得：510xy=⎧⎨=⎩，经检验符合题意，答：爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只；（2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只，我们不妨把两只火腿粽子记为1a、2a；3只豆沙粽子记为1b、2b、3b，则可列出表格如下：1a2a1b2b3b1a1a2a1a1b1a2b1a3b2a2a1a2a1b2a2b2a3b1b1b1a1b2a1b2b1b3b2b2b1a2b2a2b1b2b3b3b3b1a3b2a3b1b3b2b一共有20种情况，恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的有12种情况，所以，P（A）126320105===．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，(1)a a>的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，⋯依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．【解答】解：①如图，4a=，②如图，52a=，③如图，43a=，④如图，53a =，18．（8分）如图，在76⨯的方格中，ABC ∆的顶点均在格点上．试按要求画出线段(EF E ，F 均为格点），各画出一条即可．【解答】解：如图：从图中可得到AC 边的中点在格点上设为E ，过E 作AB 的平行线即可在格点上找到F ；5EC =，5EF =，10FC =，借助勾股定理确定F 点，则EF AC ⊥； 借助圆规作AB 的垂直平分线即可；五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，已知函数43y x =与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点A ．将43y x =的图象向下平移6个单位后与双曲线ky x=交于点B ，与x 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若2OACB=，求反比例函数的解析式．【解答】解：（1）43y x =Q 的图象向下平移6个单位后与双曲线ky x =交于点B ，与x 轴交于点C ，∴直线BC 的解析式为463y x =-，把0y =代入得4603x -=，解得92x =， C ∴点坐标为9(2，0)；（2）作AE x ⊥轴于E 点，BF x ⊥轴于F 点，如图， //OA BC Q ，AOC BCF ∴∠=∠， Rt OAE Rt CBF ∴∆∆∽， ∴2OA AE OE BC BF CF===， 设A 点坐标为4(,)3a a ，则OE a =，43AE a =，12CF a ∴=，23BF a =，9122OF OC CF a ∴=+=+，B ∴点坐标为91(22a +，2)3a ，Q 点A 与点B 都在ky x=的图象上，4912()3223a a a a ∴=+g g ，解得3a =，∴点A 的坐标为(3,4)，把(3,4)A 代入ky x=得3412k =⨯=，∴反比例函数的解析式为12y x=．20．（10分）如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB AC =．（1）求证：BAD AEC ∆≅∆；（2）若30B ∠=︒，45ADC ∠=︒，10BD =，求平行四边形ABDE 的面积．【解答】（1）证明：AB AC =Q ， B ACB ∴∠=∠．又Q 四边形ABDE 是平行四边形 //AE BD ∴，AE BD =， ACB CAE B ∴∠=∠=∠， 在DBA ∆和EAC ∆中 AB AC B EAC BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DBA EAC SAS ∴∆≅∆；（2）解：过A 作AG BC ⊥，垂足为G ．设AG x =， 在Rt AGD ∆中，45ADC ∠=︒Q ， AG DG x ∴==，在Rt AGB ∆中，30B ∠=︒Q ， 则2AB x =，3BG x ∴=， 又10BD =Q ．BG DG BD ∴-=，即310x x -=，解得53531AG x ===+-，()1053550350ABDE S BD AG ∴=⋅=⨯+=+平行四边形．六、（本题满分12分） 21．（12分）身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝， 风筝不小心挂在了树上 ． 在如图所示的平面图形中， 矩形CDEF 代表建筑物， 兵兵位于建筑物前点B 处， 风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处 （点G 在FE 的延长线上） ． 经测量， 兵兵与建筑物的距离5BC =米， 建筑物底部宽7FC =米， 风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上， 点A 距地面的高度 1.4AB =米， 风筝线与水平线夹角为37︒． （1） 求风筝距地面的高度GF ； （2） 在建筑物后面有长 5 米的梯子MN ，梯脚M 在距墙 3 米处固定摆放， 通过计算说明： 若兵兵充分利用梯子和一根 5 米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？ （参 考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75)︒≈【解答】解： （1） 过A 作AP GF⊥于点P ．则12AP BF ==， 1.4AB PF ==，37GAP ∠=︒， 在Rt PAG ∆中，tan GPPAG AP∠=， Q 兵兵与建筑物的距离5BC =米，5712AP BF FC CB ∴==+=+=tan37120.759GP AP ∴=︒≈⨯=g （米)， 9 1.410.4GF ∴=+≈（米)；（2） 由题意可知5MN =米，3MF =米，∴在直角MNF ∆中，224NF MN MF =-=（米)，4 1.65510.65++=Q ，10.6510.4>，∴能触到挂在树上的风筝 ．七、（本题满分12分） 22．（12分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1y （张)与售票时间x （小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数2y （张)与售票时间x （小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为 260y x = ，其中自变量x 的取值范围是 ；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式． 【解答】解：（1）设函数的解析式为2y ax =， 把点(1,60)代入解析式得：60a =， 则函数解析式为：2360(0)2y x x=剟； （2）设需要开放x 个普通售票窗口，由题意得，806051450x +⨯…， 解得：3148x …，x Q 为整数且x 取最小值，15x ∴=，即至少需要开放15个普通售票窗口； （3）设普通售票的函数解析式为y kx =，把点(1,80)代入得：80k =， 则80y x =，10Q 点是2x =，∴当2x =时，160y =，即上午10点普通窗口售票为160张，由（1）得，当32x=时，135y =， ∴图②中的一次函数过点3(2，135)，(2,160)，设一次函数的解析式为：y mx n =+，把点的坐标代入得：313522160m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：5060m n =⎧⎨=⎩，则一次函数的解析式为5060y x =+．八、（本题满分14分） 23．（14分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ． ①线段DB 和DG 的数量关系是 ； ②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系．（2）当四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若1BE =，2AB =，直接写出线段GM 的长度．【解答】解：（1）①DB DG =，理由是： DBE ∠Q 绕点B 逆时针旋转90︒，如图1，由旋转可知，BDE FDG ∠=∠，90BDG ∠=︒，Q 四边形ABCD 是正方形， 45CBD ∴∠=︒， 45G ∴∠=︒，45G CBD ∴∠=∠=︒， DB DG ∴=；故答案为：DB DG =；②2BF BE BD +=，理由如下：由①知：FDG EDB ∠=∠，45G DBE ∠=∠=︒，BD DG =， ()FDG EDB ASA ∴∆≅∆，BE FG ∴=，BF FG BF BE BC CG ∴+=+=+， Rt DCG ∆中，45G CDG ∠=∠=︒Q ， CD CG CB ∴==， 2DG BD BC ==Q ，即22BF BE BC BD +==；（2）①如图2，3BF BE BD +=，理由如下：在菱形ABCD 中，11603022ADB CDB ADC ∠=∠=∠=⨯︒=︒， 由旋转120︒得120EDF BDG ∠=∠=︒，EDB FDG ∠=∠， 在DBG ∆中，1801203030G ∠=︒-︒-︒=︒， 30DBG G ∴∠=∠=︒， DB DG ∴=，()EDB FDG ASA ∴∆≅∆， BE FG ∴=，BF BE BF FG BG ∴+=+=，过点D 作DM BG ⊥于点M ，如图2，BD DG =Q ， 2BG BM ∴=，在Rt BMD ∆中，30DBM ∠=︒， 2BD DM ∴=．设DM a =，则2BD a =， 3BM a =，23BG a ∴=， ∴233BD BG a ==， 3BG BD ∴=，3BF BE BG BD ∴+==；②过点A 作AN BD ⊥于N ，过D 作DP BG ⊥于P ，如图3，21Rt ABN ∆中，30ABN ∠=︒，2AB =，1AN ∴=，3BN 223BD BN ∴== //DC BE Q ， ∴21CD CM BE BM ==，2CM BM +=Q ，23BM ∴=，Rt BDP ∆中，30DBP ∠=︒，23BD = 3BP ∴=，由旋转得：BD BF =， 26BF BP ∴==，2196133GM BG BM ∴=-=+-=．。
2020届安徽省合肥市一六八中学高三上学期第四次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()U M N ⊆ð【答案】A【解析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.【答案】D【解析】根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2011x ->，故B 错误；p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q都为真命题，则p q ∨为真，所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”，故D 正确； 故选D 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.3．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B．3-C．3-D ．13-【答案】D【解析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】//a b∴r r 1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.4．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]【答案】B【解析】作出可行域，1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)410QA k --==-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤． 故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论． 5．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b +的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．1【答案】A【解析】由两圆相外切，得出229a b +=，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】因为两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切 223a b +=，即229a b +=()2222222298192499a a a ab a b ⎛⎫--+⎪-⎝⎭==+ 当292a =时，2222a b a b +取最大值8119494⨯=故选：A 【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.6．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小． 7．函数2sin 1x xy x+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
安徽省合肥市第一六八中学2025届高考考前提分数学仿真卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020 B ．20l9C ．2018D ．20172．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =( )A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--4．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C ．32D ．32±5．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．12B ．22C ．32D ．336．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．197．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥8．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+9．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．110．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9011．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．312．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log455.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.06.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5 7.函数y =2x −2−x |x|−cosx 的图象大致为（ ）A. B.C. D.8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ）A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减 D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 9.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.√5B.2C.√3D.√210.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）\A.0.110B.0.112C.0.114D.0.11611.已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，则： ①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD 1E 一定是平行四边形；③平面α与平面DBB 1不可能垂直；④四边形BFD 1E 的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（ ）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④12.已知函数f(x)={−e −x ,x ≤0xe x −x −1−lnx,x >0，则函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________．14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于_______．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n≥2，且n∈N∗)，则球O1的体积等于________，球O n的表面积等于________．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，acosC+ccosA+√2bcosB=0．(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）证明：A1C⊥AB1；（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60∘，求二面角C1−AB1−B的余弦值．20.设椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的左右顶点为A1，A2，上下顶点为B1，B2，菱形A1B1A2B2的内切圆C′的半径为√2，椭圆的离心率为√22．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM，PN 与圆C′的位置关系，并证明你的结论．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲22.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)【解答】∵A={x|−1<x<2},B={x|x>12}，∴A∪B＝(−1, +∞)．2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝1【解答】由z在复平面内对应的点为(x, y)，且|z−1|＝|z−i|，得|x−1+yi|＝|x+(y−1)i|，∴√(x2+y2=√x2+(y−1)2，整理得：y＝x．3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快【解答】对于A，2013出口额最少，故A对；对于B，2013年出口额少于进口额，故B对；对于C，2013−2014出口速率在增加，故C错；对于D，根据蓝色线斜率可知，2017年进口速度最快，故D对．4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log45【解答】∵log23−log34=lg3lg2−lg4lg3=lg23−lg2lg4lg2lg3>lg23−(lg2+lg42)2lg2lg3>lg23−(12lg9)2lg2lg3=0，∴log23>log34，同理log34>log45，∴log23>log34>log45．5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.0【解答】等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，∴2(−3+3d)+3(−3+6d)＝9，解得d＝1，∴S7＝7×(−3)+7×62d=0．6.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】 模拟程序的运行，可得x ＝4，y ＝1，i ＝0x ＝8，y ＝1+1＝2满足条件x >y ，执行循环体，i ＝1，x ＝16，y ＝2+4＝6满足条件x >y ，执行循环体，i ＝2，x ＝32，y ＝6+16＝22满足条件x >y ，执行循环体，i ＝3，x ＝64，y ＝22+64＝86此时，不满足条件x >y ，退出循环，输出i 的值为3．7.函数y =2x −2−x |x|−cosx 的图象大致为（ ） A. B.C.D.【解答】 f(−x)=2−x −2x |−x|−cos(−x)=−2x −2−x |x|−cosx =−f(x)，即函数f(x)在定义域上为奇函数，故排除D ；又f(0)=0,f(1)=2−2−11−cos1>0，故排除B 、C ．8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ）A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 【解答】 函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)＝sin[2(x −11π6)]＝sin(2x −11π3)＝sin(2x +π3)，所以对于选项A ：当x =−π12时，g(x)≠±1，故A 错误．对于选项B ：当2x +π3=kπ(k ∈Z)，整理得x =kπ2−π6，(k ∈Z)，当k ＝1时，x =π3，当k ＝2时，x =5π6时，函数g(x)＝0，故选项B 正确．对于选项C:x ∈(π3,5π6)，所以2x +π3∈(π,2π)，故函数在该区间内有增有减，故错误． 对于选项D:x ∈[−π2,0]，所以2x +π3∈[−2π3,π3]，所以函数g(x)的值域为[−1, √32]，故错误． 故选：B ．9.已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.√5B.2C.√3D.√2 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为bx −ay ＝0，bx +ay ＝0，可得F 2与双曲线C 的渐近线的距离为d =√22=b ， 可得圆F 2的方程为(x −c)2+y 2＝b 2，①若F 1M →⋅F 2M →=0，即有M(x, y)的方程为x 2+y 2＝c 2，②联立方程①②可得x =2c 2−b 22c，y 2=4b 2c 2−b 44c ， 代入双曲线的方程即为b 2⋅4c 4−4b 2c 2+b 44c a 2⋅4b 2c 2−b 44c =a 2b 2， 化简可得b 2＝4a 2，则e =c a =√1+b 2a =√5，10.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116【解答】由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2＝−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD1E一定是平行四边形；③平面α与平面DBB1不可能垂直；④四边形BFD1E的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④【解答】如图则：对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；对于②：因为平面ABB1A1 // CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BF，平面BFD1E∩平面CC1D1D ＝D1E，∴BF // D1E，同理可证：D1F // BE，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故②正确；对于③：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD′E⊥平面BB′D，故③不正确；对于④：当F与A重合，当E与C1重合时，BFD1E的面积有最大值，故④正确．正确的是①②④，12.已知函数f(x)={−e−x,x≤0xe x−x−1−lnx,x>0，则函数F(x)＝f（f(x)）−ef(x)的零点个数为（）（e是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3【解答】f2′(x)=e x+xe x−1−1x =(x+1)(e x−1x)，设g(x)=e x−1x(x>0)，由当x→0+时，g(x)→−∞，g(1)＝e−1>0，且函数g(x)在(0, +∞)上单增，故函数g(x)存在唯一零点x0∈(0, 1)，使得g(x0)＝0，即e x0−1x0=0，则x0e x0=1,lnx0+x0=0，故当x ∈(0, x 0)时，g(x)<0，f 2′(x)<0，f 2(x)单减；当x ∈(x 0, +∞)时，g(x)>0，f 2′(x)>0，f 2(x)单增，故f 2(x)min =f 2(x 0)=x 0e x 0−x 0−1−lnx 0=0，故f 2(x)≥0(1)令t ＝f(x)，F(t)＝f(t)−et ＝0， 当t ≤0时，−e −t −et ＝0，解得t ＝−1，此时易知f(x)＝t ＝−1有一个解（2）当t >0时，te t −t −1−lnt −et ＝0，即te t −t −1−lnt ＝et ，作函数f 2(t)与函数y ＝et 如下图所示，由图可知，函数f 2(t)与函数y ＝et 有两个交点，设这两个交点为t 1，t 2，且t 1>0，t 2>0， 而由图观察易知，f(x)＝t 1，f(x)＝t 2均有两个交点，故此时共有四个解（3）综上，函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为5． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________． 【解答】根据题意，向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)， 则a →+2b →=(1+2m, −3)，若a → // (a →+2b →)，则有1+2m ＝−3，解可得：m ＝−2；14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________π3或2π3． 【解答】直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F(3, 0)，斜率为k ，直线方程为：y ＝k(x −3)， 且与抛物线C 交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)两点，可得k 2(x −3)2＝12x ， 即k 2x 2−(6k 2+12)x +9k 2＝0，可得x 1+x 2=6k 2+12k ，弦AB 的长为16，6k 2+12k +6＝16，解得k ＝±√3．所以，直线的倾斜角为：π3或2π3．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种． 【解答】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有C 42＝6种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，有A 44＝24种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有A 22A 33＝12种情况，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有6×12＝72种；16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于________√6π，球O n 的表面积等于________6π4． 【解答】如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ，作截面ABE ，设正四面体A −BCD 的棱长为a 1√36a=√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ， √63a−2r −r √63a−r 1=r2r 1，解得r 2=√624a ， 把a ＝6代入的r 1=√62，r 2=√64， 由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列， 所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π(√62)3=√6π；球O n 的表面积＝4πr n 2＝4π×[√62(12)n−1]2=6π4，三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2，acosC +ccosA +√2bcosB =0． (1)求B ；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．【解答】解：(1)在△ABC中，asinA =bsinB=csinC，且acosC+ccosA+√2bcosB=0，∴sinAcosC+sinCcosA+√2sinBcosB=0，∴sinB⋅(1+√2cosB)=0，又∵sinB≠0，∴cosB=−√22．∵B是三角形的内角，∴B=3π4；(2)在△ABM中，BM=1,AM=√5,B=3π4,AB=c，由余弦定理得AM2=c2+(BM)2−2c⋅BM⋅cosB，∴c2+√2c−4=0，∵c>0，∴c=√2．在△ABC中，a=2，c=√2，B=3π4，∴△ABC的面积S=12acsinB=1．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．【解答】依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：P =C 32(25)2(15)+C 32(15)2(25)=18125．X 可能取值为0，1，2，3．则P(X =0)=C 30(35)3=27125， P(X =1)=C 31(25)(35)2=54125， P(X =2)=C 32(25)2(35)=36125， P(X =3)=C 33(25)3=8125，∴X 的分布列为：∴EX =0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65． 或∵随机变量X 服从XB(3,25)，∴EX =np =3×25=65．19.如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，AC ⊥BC ．（1）证明：A 1C ⊥AB 1；（2）设AC ＝2CB ，∠A 1AC ＝60∘，求二面角C 1−AB 1−B 的余弦值． 【解答】 证明：连结AC 1．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∴A 1C ⊥AC 1．∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AA 1C 1C ．又∵BC // B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1C 1⊥A 1C ． ∵AC 1∩B 1C 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，而AB 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1C ⊥AB 1．取A 1C 1的中点为M ，连结CM ．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∠A 1AC ＝60∘，∴CM ⊥A 1C 1，CM ⊥AC ． 又∵CM ⊥BC ，以C 为原点，CA ，CB ，CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图． 设CB ＝1，AC ＝2CB ＝2，AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60∘，∴C(0, 0, 0)，A 1(1, 0, √3)，A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，B 1(−1, 1, √3)． 由（1）知，平面C 1AB 1的一个法向量为CA 1→=(1,0,√3)．设平面ABB 1的法向量为n →=(x,y,z)，则n →⋅AB →=0并且n →⋅AB 1→=0， ∴{−2x +y =0−3x +y +√3z =0．令x ＝1，得y =2,z =√3，即n →=(1,2,√3)．∴cos <CA 1→,n →>=CA 1→⋅n→|CA 1→||n →|=2×√163=√34， ∴二面角C 1−AB 1−B 的余弦值为：−√34．20.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A 1，A 2，上下顶点为B 1，B 2，菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆C ′的半径为√2，椭圆的离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM ，PN 与圆C ′的位置关系，并证明你的结论． 【解答】设椭圆的半焦距为c ．由椭圆的离心率为√22知，b =c,a =√2b ． 设圆C ′的半径为r ，则r ⋅√a 2+b 2=ab ， ∴√2⋅√3b =√2b 2，解得b =√3，∴a =√6， ∴椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．∵M ，N 关于原点对称，|PM|＝|PN|，∴OP ⊥MN ． 设M(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)．当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y ＝kx +m ．由直线和椭圆方程联立得x 2+2(kx +m)2＝6，即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6＝0， ∴{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1． ∵OM →=(x 1, y 1)，OP →=(x 2, y 2)，∴OM →⋅OP →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅2m 2−62k 2+1+km ⋅−4km2k 2+1+m 2 =3(m 2−2k 2−2)2k 2+1=0，∴m 2−2k 2−2＝0，m 2＝2k 2+2， ∴圆C ′的圆心O 到直线PM 的距离为√k 2+1=√2=r ，∴直线PM 与圆C ′相切．当直线PM 的斜率不存在时，依题意得N(−x 1, −y 1)，P(x 1, −y 1)．由|PM|＝|PN|得|2x 1|＝|2y 1|，∴x 12=y 12，结合x 126+y 123=1得x 12=2，∴直线PM 到原点O 的距离都是√2， ∴直线PM 与圆C ′也相切． 同理可得，直线PN 与圆C ′也相切． ∴直线PM 、PN 与圆C ′相切．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e 为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．【解答】由f(x)=1−x 2e x=0，得x＝±1，∴函数的零点x0＝±1，f′(x)=x2−2x−1e x，f′(−1)＝2e，f(−1)＝0．曲线y＝f(x)在x＝−1处的切线方程为y＝2e(x+1)，f′(1)=−2e，f(1)＝0，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y=−2e(x−1)；证明：f′(x)=x2−2x−1e x，当x∈(−∞,1−√2)∪(1+√2,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(1−√2,1+√2)时，f′(x)<0．∴f(x)的单调递增区间为(−∞,1−√2),(1+√2,+∞)，单调递减区间为(1−√2,1+√2)．由（1）知，当x<−1或x>1时，f(x)<0；当−1<x<1时，f(x)>0．下面证明：当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x 2−1e x>0⇔e x+1+x−12>0．易知，g(x)=e x+1+x−12在x∈[−1, 1]上单调递增，而g(−1)＝0，∴g(x)>g(−1)＝0对∀x∈(−1, 1)恒成立，∴当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．由{y=2e(x+1)y=m得x=m2e−1．记x′1=m2e−1．不妨设x1<x2，则−1<x1<1−√2<x2<1，∴|x1−x2|<|x′1−x2|=x2−x′1=x2−(m2e−1)．要证|x1−x2|<2−m(1+12e )，只要证x2−(m2e−1)≤2−m(1+12e)，即证x2≤1−m．又∵m=1−x22e x2，∴只要证x2≤1−1−x22e x2，即(x2−1)⋅(e x2−(x2+1))≤0．∵x2∈(1−√2,1)，即证e x2−(x2+1)≥0．令φ(x)＝e x−(x+1)，φ′(x)＝e x−1．当x∈(1−√2,0)时，φ′(x)<0，φ(x)为单调递减函数；当x∈(0, 1)时，φ′(x)>0，φ(x)为单调递增函数．∴φ(x)≥φ(0)＝0，∴e x2−(x2+1)≥0，∴|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．【解答】解：(1)曲线C的方程ρ=4cosθ+6sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ，∴x2+y2=4x+6y，即曲线C的直角坐标方程为：(x−2)2+(y−3)2=13．(2)把直线l:{x=3−√22t，y=1+√22t代入曲线C得(1−√22t)2+(−2+√22)t2=13，整理得，t2−3√2t−8=0．∵Δ=(−3√2)2+32>0，设t1，t2为方程的两个实数根，则t1+t2=3√2，t1t2=−8，∴t1，t2为异号，又∵点A(3, 1)在直线l上，∴|AM|+|AN|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√50=5√2．（本小题满分0分）选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．【解答】∵f(x)＝|x−m|−|x+2|，∴f(x−2)＝|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞, 4]，∴|x−m−2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．∵m＝6，∴a+2b+c＝12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12(123)3=32，当且仅当a+1＝2b+2＝c−3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．。
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是（）A.log 23<log 34<log 45B.log 23>log 45>log 34C.log 23<log 45<log 34D.log 23>log 34>log 455.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝−3，2a 4+3a 7＝9，则S 7的值等于（ ） A.21 B.1C.−42D.06.若执行图的程序框图，则输出i 的值为（ ）A.2B.3C.4D.57.函数y =2x −2−x|x|−cosx 的图象大致为（ ）A. B.C. D.8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ） A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0]9.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ） A.√5 B.2C.√3D.√210.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）\ A.0.110B.0.112C.0.114D.0.11611.已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形BFD 1E 一定是平行四边形； ③平面α与平面DBB 1不可能垂直；④四边形BFD 1E 的面积有最大值． 其中所有正确结论的序号为（ ） A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④12.已知函数f(x)={−e −x ,x ≤0xe x −x −1−lnx,x >0 ，则函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数）． A.6 B.5 C.4 D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________．直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于_______．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于________，球O n 的表面积等于________．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，acosC+ ccosA+√2bcosB=0．(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）证明：A1C⊥AB1；（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60∘，求二面角C1−AB1−B的余弦值．设椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点为A1，A2，上下顶点为B1，B2，菱形A1B1A2B2的内切圆C′的半径为√2，椭圆的离心率为√22．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM，PN与圆C′的位置关系，并证明你的结论．已知函数f(x)=1−x 2e x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．。
2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）下列实数中最小的数是( ) A ．2B ．3-C ．0D ．π2．（4分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）安徽省的陆地面积为2139400km ，139400用科学记数法可表示为( ) A ．2139410⨯B ．41.39410⨯C ．51.39410⨯D ．413.9410⨯4．（4分）下列运算正确的是( ) A ．223a a a +=B ．325a a a =gC ．426()a a =D ．623623a a a -÷=5．（4分）若分式2402x x -=-，则x 的值是( )A ．2±B ．2C ．2-D ．06．（4分）如图是某市2016年四月份每日的最低气温的统计图，则四月份每日的最低气温（单位：C)︒众数分别是( )A ．14B ．30C ．12D ．187．（4分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足( )A ．16(12)25x +=B ．25(12)16x -=C ．216(1)25x +=D ．225(1)16x -=8．（4分）如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥．过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ．若1DE =，则ABC ∆的面积为( )A ．42B ．4C ．25D ．89．（4分）如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >； ②0a b c -+<； ③210ax bx c +++=有两个相等的实数根； ④930a b c ++>．其中正确的结论的序号为( )A ．①②B ．.①③C ．.②③D ．.①④10．（4分）如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ．6B ．2131+C ．9D ．323二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5123-= ．12．（5分）命题：“若0ab =，则a 、b 中至少有一个为0”的逆命题是13．（5分）如图，已知A 为反比例函数(0)k y x x=<的图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为B ，若OAB ∆的面积为2，则k 的值为14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知D e 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与D e 交于点C ，30OCA ∠=︒，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留根号和)π三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）解方程：24x x =．16．（8分）如图，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(2,4)A --，(0,4)B -，(1,1)C - （1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段11B C ；（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将ABC ∆分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；（3）若另有一点(3,3)P --，连接PC ，则tan BCP ∠= ．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．（1）求这个月晴天的天数．（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．18．（8分）观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，⋯，它们有一定的规律，若记第一个数为1a ，第二个数记为2a ，⋯，第n 个数记为n a ． （1）请写出29后面的第一个数；（2）通过计算21a a -，32a a -，43a a -，⋯由此推算10099a a -的值； （3）根据你发现的规律求100a 的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB 长92cm ，车杆与脚踏板所成的角70ABC ∠=︒，前后轮子的半径均为6cm ，求把手A 离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75)︒≈．20．（10分）如图，已知在ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，连结DF ，EF ，BF ．（1）求证：四边形BEFD 是平行四边形；（2）若90AFB ∠=︒，6AB =，求四边形BEFD 的周长．六、（本大题12分）21．（12分）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图；（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？ 七、（本大题12分）22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ． （1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．八、（本大题14分）23．（14分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120︒的平行四边形(120)ABCD BAD ∠=︒进行探究：将一块含60︒的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60︒角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）． （1）初步尝试如图1，若AD AB =，求证：①BCE ACF ∆≅∆，②AE AF AC +=； （2）类比发现如图2，若2AD AB =，过点C 作CH AD ⊥于点H ，求证：2AE FH =； （3）深入探究如图3，若3AD AB =，探究得：3AE AFAC+的值为常数t ，则t = ．2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）下列实数中最小的数是( ) A ．2B ．3-C ．0D ．π【解答】解：302π-<<<Q ，∴最小的数是3-，故选：B ．2．（4分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：故选：B ．3．（4分）安徽省的陆地面积为2139400km ，139400用科学记数法可表示为( ) A ．2139410⨯B ．41.39410⨯C ．51.39410⨯D ．413.9410⨯【解答】解：将139400用科学记数法表示为：51.39410⨯． 故选：C ．4．（4分）下列运算正确的是( ) A ．223a a a +=B ．325a a a =gC ．426()a a =D ．623623a a a -÷=【解答】解：A 、23a a a +=，错误；B 、325a a a =g ，正确；C 、428()a a =，错误；D 、624623a a a -÷=-，错误；故选：B ．5．（4分）若分式2402x x -=-，则x 的值是( )A ．2±B ．2C ．2-D ．0【解答】解：依题意得：240x -=且20x -≠， 解得2x =-． 故选：C ．6．（4分）如图是某市2016年四月份每日的最低气温的统计图，则四月份每日的最低气温（单位：C)︒众数分别是( )A ．14B ．30C ．12D ．18【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，14C ︒，故众数是14C ︒；故选：A ．7．（4分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足( )A ．16(12)25x +=B ．25(12)16x -=C ．216(1)25x +=D ．225(1)16x -=【解答】解：第一次降价后的价格为：25(1)x ⨯-； 第二次降价后的价格为：225(1)x ⨯-； Q 两次降价后的价格为16元，225(1)16x ∴-=． 故选：D ．8．（4分）如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥．过点D作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ．若1DE =，则ABC ∆的面积为( )A ．42B ．4C ．25D ．8【解答】解：AB AD ⊥Q ，AD DE ⊥， 90BAD ADE ∴∠=∠=︒， //DE AB ∴， CED CAB ∴∠=∠， C C ∠=∠Q ， CED CAB ∴∆∆∽，1DE =Q ，2AB =，即:1:2DE AB =，:1:4DEC ACB S S ∆∆∴=，:3:4ACB ABDE S S ∆∴=四边形，11222121322ABD ADE ABDE S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=Q 四边形，4ACB S ∆∴=，故选：B ．9．（4分）如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >； ②0a b c -+<； ③210ax bx c +++=有两个相等的实数根； ④930a b c ++>．其中正确的结论的序号为( )A ．①②B ．.①③C ．.②③D ．.①④【解答】解：①由抛物线的开口方向向上可推出0a >， 与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上可推出10c =-<，对称轴为102bx a=->>，0a >，得0b <， 故0abc >，故①正确； ②由对称轴为直线12bx a=->，抛物线与x 轴的一个交点交于(2,0)，(3,0)之间，则另一个交点在(0,0)，(1,0)-之间， 所以当1x =-时，0y >， 所以0a b c -+>，故②错误；③抛物线与y 轴的交点为(0,1)-，由图象知二次函数2y ax bx c =++图象与直线1y =-有两个交点，故210ax bx c +++=有两个不相等的实数根，故③错误； ④3x =时，2930y ax bx c a b c =++=++>，故④正确； 故选：D ．10．（4分）如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ．6B ．2131+C ．9D ．323【解答】解：如图，设O e 与AC 相切于点E ，连接OE ，作1OP BC ⊥垂足为1P 交O e 于1Q ， 此时垂线段1OP 最短，11PQ 最小值为11OP OQ -， 10AB =Q ，8AC =，6BC =，222AB AC BC ∴=+， 90C ∴∠=︒， 190OPB ∠=︒Q ， 1//OP AC ∴AO OB =Q ，11PC PB ∴=，1211PQ ∴最小值为111OP OQ -=，如图，当2Q 在AB 边上时，2P 与B 重合时，22P Q 经过圆心，经过圆心的弦最长， 22P Q 最大值538=+=，PQ ∴长的最大值与最小值的和是9．故选：C ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）计算：123-=3 ．【解答】解：1232333-=-=． 故答案为：3．12．（5分）命题：“若0ab =，则a 、b 中至少有一个为0”的逆命题是 若a ，b 至少有一个为0，则0ab =【解答】解：命题：“若0ab =，则a 、b 中至少有一个为0”的逆命题是若a ，b 至少有一个为0，则0ab =，故答案为：若a ，b 至少有一个为0，则0ab =．13．（5分）如图，已知A 为反比例函数(0)k y x x=<的图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为B ，若OAB ∆的面积为2，则k 的值为 4-【解答】解：AB y ⊥Q 轴，2OAB ∆而0k <， 4k ∴=-．故答案为4-．14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知D e 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与D e 交于点C ，30OCA ∠=︒，则图中阴影部分面积为 223π- ．（结果保留根号和)π【解答】解：连接AB ， 90AOB ∠=︒Q ，AB ∴是直径，根据同弧对的圆周角相等得30OBA C ∠=∠=︒， 23OB =Q ，3tan tan30232OA OB ABO OB ∴=∠=︒=⨯=，sin304AB AO =÷︒=，即圆的半径为2，22122322322ABO S S S ππ∆⨯∴=-=-⨯⨯=-阴影半圆． 故答案为：223π-．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）解方程：24x x =． 【解答】解：240x x -=，(4)0x x -=， 0x =或40x -=，所以10x =，24x =．16．（8分）如图，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(2,4)A --，(0,4)B -，(1,1)C - （1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段11B C ；（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将ABC ∆分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；（3）若另有一点(3,3)P --，连接PC ，则tan BCP ∠= 1 ．【解答】解：如图：（1）作出线段1B 、1C 连接即可； （2）画出直线CD ，点D 坐标为(1,4)--，（3）连接PB ，22221310PB BC ==+=Q ，2222420PC =+=， 222PB BC PC ∴+=， PBC ∴∆为等腰直角三角形， 45PCB ∴∠=︒， tan 1BCP ∴∠=，故答案为1．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．（1）求这个月晴天的天数．（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．【解答】解：（1）设这个月有x 天晴天，由题意得 305(30)550x x +-=，解得16x =，故这个月有16个晴天．（2）需要y 年才可以收回成本，由题意得 (550150)(0.520.45)1240000y -+g g …，解得8.6y …，y Q 是整数，∴至少需要9年才能收回成本．18．（8分）观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，⋯，它们有一定的规律，若记第一个数为1a ，第二个数记为2a ，⋯，第n 个数记为n a ． （1）请写出29后面的第一个数；（2）通过计算21a a -，32a a -，43a a -，⋯由此推算10099a a -的值； （3）根据你发现的规律求100a 的值． 【解答】解：（1）29后面的第一位数是37；（2）由题意：21a a -，2=，323a a -=，434a a -=⋯由此推算10099100a a -=； （3）10011002234100110050512a +=++++⋯+=+⨯= 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角70ABC∠=︒，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75)︒≈．【解答】解：过点A作AD BC⊥于点D，延长AD交地面于点E，sinAD ABDAB ∠=Q，920.9486.48AD∴=⨯≈，6DE=Q，92.5AE AD DE∴=+=，∴把手A离地面的高度为92.5cm．20．（10分）如图，已知在ABC∆中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若90AFB∠=︒，6AB=，求四边形BEFD的周长．【解答】（1）证明：DQ，E，F分别是AB，BC，AC的中点，//DF BC∴，//EF AB，//DF BE∴，//EF BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：90AFB ∠=︒Q ，D 是AB 的中点，6AB =， 132DF DB DA AB ∴====， Q 四边形BEFD 是平行四边形，∴四边形BEFD 是菱形，3DB =Q ，∴四边形BEFD 的周长为12．六、（本大题12分）21．（12分）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图；（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？ 【解答】解：（1）总人数1525%60=÷=（人)．A 类人数602415912=---=（人)．12600.220%÷==Q ， 20m ∴=．条形统计图如图；（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率249116020+==；（3）80025%200⨯=Q ，2002010÷=，∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．七、（本大题12分）22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ． （1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．【解答】解：（1）Q 抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点， ∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，∴13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--，Q 直线y kx b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为3y x =-，（2）2223(1)4y x x x =--=--Q ，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-，//CE y Q 轴， (1,2)E ∴-， 2CE ∴=，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =， 设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，223(23)3MN a a a a a ∴=----=-+，232a a ∴-+=，解得：2a =，1a =（舍去）， (2,1)M ∴-，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，2223(3)3MN a a a a a ∴=----=-， 232a a ∴-=，解得：317a +=，317a -=（舍去）， 317(M +∴，317)-+， 综合可得M 点的坐标为(2,1)-或317317(,)+-+． （3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，223(23)3PG m m m m m ∴=----=-+， 22211393327(3)3()2222228PAB PGA PGB S S S PG OB m m m m m ∆∆∆∴=+==⨯-+⨯=-+=--+g ， ∴当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为315(,)24-． 八、（本大题14分）23．（14分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120︒的平行四边形(120)ABCD BAD ∠=︒进行探究：将一块含60︒的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60︒角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）． （1）初步尝试如图1，若AD AB =，求证：①BCE ACF ∆≅∆，②AE AF AC +=； （2）类比发现如图2，若2AD AB =，过点C 作CH AD ⊥于点H ，求证：2AE FH =； （3）深入探究如图3，若3AD AB =，探究得：3AE AFAC+的值为常数t ，则t = 7 ．【解答】解；（1）①Q 四边形ABCD 是平行四边形，120BAD ∠=︒， 60D B ∴∠=∠=︒，AD AB =Q ，ABC ∴∆，ACD ∆都是等边三角形，60B CAD ∴∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，BC AC =， 60ECF ∠=︒Q ，60BCE ACE ACF ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒， BCE ACF ∴∠=∠，在BCE ∆和ACF ∆中， B CAF BC ACBCE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCE ACF ∴∆≅∆．②BCE ACF ∆≅∆Q ，BE AF ∴=，AE AF AE BE AB AC ∴+=+==．（2）设DH x =，由题意，2CD x =，CH ， 24AD AB x ∴==，3AH AD DH x ∴=-=，CH AD ⊥Q ，AC ∴=， 222AC CD AD ∴+=，90ACD ∴∠=︒，90BAC ACD ∴∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，60ACH ∴∠=︒，60ECF ∠=︒Q ，HCF ACE ∴∠=∠，ACE HCF ∴∆∆∽， ∴2AE AC FH CH==， 2AE FH ∴=．（3）如图3中，作CN AD ⊥于N ，CM BA ⊥于M ，CM 与AD 交于点H ． 180ECF EAF ∠+∠=︒Q ，180AEC AFC ∴∠+∠=︒，180AFC CFN ∠+∠=︒Q ，CFN AEC ∴∠=∠，90M CNF ∠=∠=︒Q ， CFN CEM ∴∆∆∽， ∴CN FN CM EM=， AB CM AD CN =Q g g ，3AD AB =， 3CM CN ∴=， ∴13CN FN CM EM ==，设CN a =，则3CM a =， 60MAH ∠=︒Q ，90M ∠=︒，30AHM CHN ∴∠=∠=︒， 2HC a ∴=，HM a =，3HN a =，3AM a ∴=，23AH a =， 22221AC AM CM a ∴=+=， 1433()3()33333AE AF EM AM AH HN FN EM AM AH HN FN AH HN AM a +=-++-=-++-=+-=，∴143337221aAE AF AC a+==． 故答案为7．。
