考点跟踪突破14 函数的应用

2024年中考数学高频考点突破—函数的实际应用1．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．(1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；(2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元?2．某商场准备同时采购甲、乙两种商品进行销售．已知用5000元采购甲商品的件数与用4000元采购乙商品的件数相同，一件甲商品的进价比一件乙商品的进价多10元．(1)求一件甲、乙商品的进价分别为多少元?(2)让我看看是哪个机构在复制，若该商场购进甲、乙两种商品共600件，其中甲商品的件数不超过乙商品件数的一半，且不少于100件．已知甲商品的售价为70元/件，乙商品的售价为80元/件，且甲、乙两种商品均能全部售出．设购进甲种商品m件，求销售这批商品的利润w（元）与m（件）的函数关系式，并求出当利润最大时的购买方案，以及最大利润是多少元3．云冈石窟是我国最大的石窟之一，1961年被国务院公布为全国首批重点文物保护单位．云冈石窟旅游景点的纪念品店有A ，B 两款纪念品深受广大游客们的喜爱．若购买1作A 款纪念品和3件B 款纪念品共花费190元，购买3件A 款纪念品和2件B 款纪念品共花费290元．(1)求A ，B 两款纪念品的单价．(2)某游客决定购买A ，B 两款纪念品共10件，且购买A 款纪念品的数量不少于B 款纪念品数量的一半，应如何购买才能使所花费用最低，最低费用为多少元？4．随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量1y （件），一名工人每日工作量2y （件）分别与机器人工作时间x （小时）之间的函数关系如图所示．(1)机器人的工作效率为______件/小时．(2)当58x ≤≤时，求2y 关于x 的函数解析式．(3)当8x =时，一台机器人比一名工人多生产______件产品．5．近年来，西峡县把猕猴桃作为支撑农业农村发展、助力脱贫攻坚的支柱产业，着力打造“中国金果猕猴桃之都”．某水果店积极响应政府号召，线上线下销售“中国人的阳光金果”——猕猴桃．已知在抖音平台上销售5箱和线下门店销售10箱猕猴桃共得1600元；在抖音平台上销售10箱和线下门店销售8箱猕猴桃共得2000 元．(1)求该水果店在抖音平台上和在线下门店销售一箱猕猴桃的单价分别为多少元？(2)该水果店在抖音平台和线下门店共销售猕猴桃2000箱，设在抖音平台上销售a箱，销售这2000箱猕猴桃获得的总销售额为w元．①写出w关于a的函数关系式；①若总销售额不低于216000元，在抖音平台上至少应销售多少箱？6．蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）的相关数据，用函数图象表示如下（如图）．(1)根据图象，直接写出剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米；(2)求该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？7．如图，在平面直角坐标系中，直线1l 经过点()()6,00,3A B 、．(1)求直线1l 的解析式；(2)如图2，直线2l 的解析式为(0)y mx m =>，直线1l 与2l 交于点C ，设COB △的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当3s =时，点P 在x 轴上，且POC △为等腰三角形，请求出点P 的坐标．8．已知A 、B 两地间有C 地，客车由A 地驶向C 地，货车由B 地经过C 地去A 地（客货车在A 、C 两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的34．如图是客车、货车距C 地的路程12,(km)y y 与行驶时间(h)x 的函数关系的图象．(1)货车的速度为 km /h ；A 、B 两地间的路程为 km ；(2)求客车距C 地的路程1y 与x 的函数关系式，并直接写出货车距C 地的路程2y 与x 的函数关系式；(3)求两车相遇时距B 地的路程；(4)直接写出两车出发多长时间时相距70km 的路程．9．某市为弘扬中华优秀传统文化，提升知名度，准备举办大型灯笼会．某超市看准商机，购进一批灯笼．如果10个A 型灯笼和5个B 型灯笼成本共260元，且每个A 种类型灯笼的成本比每个B 种类型灯笼的成本少4元．(1)求,A B 种类型的灯笼成本各多少元；(2)该超市计划购进两种灯笼共100个，且每个A 种类型灯笼的售价为25元，每个B 种类型灯笼的售价为35元．设购进B 种类型灯笼m 个，售卖这两种灯笼可获得的利润为w 元． ①求w 与m 的函数关系式（不要求写出m 的取值范围）；①若购进B 种类型灯䇝的数量不超过A 种类型灯笼的数量的13，则购进B 种类型灯笼多少个时，销售这批灯笼可以获得最大利润？最大利润是多少？10．已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：①填空：张强从超市到体育场的速度为km/min；①当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；(2)同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min 到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可）11．如图①所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到达丙地，假设列车匀速行驶．如图①表示列车离乙地路程y（千米）与列车从甲地出发后行驶时间x（小时）之间的函数关系．(1)直接写出甲、丙两地间的路程；(2)求高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)当行驶时间x 为多少时，高速列车离乙地的路程是450千米？12．如图，直线122y x =+分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，B 为x 轴正半轴上一点，且6ABC S =．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)将直线AC 平移，平移后的直线经过点B ，交y 轴于点Q ，求点Q 的坐标．13．甲、乙两个绿化队共同承担A B 、两个荒地的绿化任务，在工期内，甲、乙两个绿化队分别可以绿化30万平方米和70万平方米，A B 、两个荒地需要绿化的面积分别为60万平方米与40万平方米，且两个绿化队在A B 、两个荒地完成1万平方米的绿化任务的成本如下：设甲绿化队在A 荒地绿化x 万平方米 ()1020x ≤≤，完成这两个荒地共需总成本y 万元． A 荒地完成1万平方米绿化的成本 B 荒地完成1万平方米绿化的成本 甲绿化队 90万元 70万元(1)求y 与x 的函数关系式；(2)y 是否能等于 6500万元，请说明理由；(3)若在施工过程中，甲绿化队在A 荒地绿化1万平方米的成本减小m 元，但仍高于甲绿化队在B 荒地绿化1万平方米成本，求如何分配绿化任务，使总成本最小．14．一辆巡逻车从A 地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B 地，2h 5后，一辆货车从A 地出发，沿同一路线以每小时80km 的速度匀速驶向B 地，货车到达B 地装卸货物耗时15min ．然后立即按原路匀速返回A 地．巡逻车、货车各自离A 地的路程()km y 与货车出发时间()h x 之间的函数图象如图所示(1)=a _________，b =_________．(2)求c 的值．(3)求货车返回过程中y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(4)当两车相距15km 时，直接写出巡逻车行驶的时间．15．如图，直线:24l y x =+．(1)①直接写出直线l 关于y 轴对称的直线1l 的解析式________________ ①直接写出直线l 向右平移2个单位得到的直线2l 的解析式________________；(2)在（1）的基础上，点M 是x 轴上一点，过点M 作x 轴的垂线交直线1l 于点Q 、交直线2l 于点P ．若2PM PQ =，求M 点的坐标．。

专题14预备知识十四：函数的应用（一）1、会利用已知函数模型解决实际问题（一次函数、二次函数、分段函数模型）2、能建立函数模型解决实际问题3、运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题知识点一：常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型()f x kx b =+(k ，b 为常数，0k ≠)二次函数模型2()f x ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，0a ≠)分段函数模型1122(),(),()(),n nf x x D f x x D f x f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨⎪⎪∈⎩ 幂函数模型()f x kx b α=+(k ，b ，α为常数，0k ≠)知识点二：对钩函数（耐克函数）1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0a >，0b >）的函数；①定义域：(,0)(0,)-∞+∞ ；②()bf x ax x=+是奇函数，图象关于原点对称；③()b f x ax x =+在(,0)b a -，(0,)b a 上单调递减；在(,)b a -∞-，(,)b a+∞上单调递增；④当(0,)x ∈+∞时，min ()()2b f x f ab a ==；当(,0)x ∈-∞时，max ()()2bf x f ab a=-=-；2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：()af x x x=+（0a >）其图象如图：①定义域：(,0)(0,)-∞+∞ ；②()af x x x=+（0a >）是奇函数，图象关于原点对称；③()af x x x=+在(,0)a -，(0,)a 上单调递减；在(,)a -∞-，(,)a +∞上单调递增；④当(0,)x ∈+∞时，min ()()2f x f a a ==；当(,0)x ∈-∞时，max ()()2f x f a a =-=-；对点特训一：一次函数模型典型例题例题1．（23-24高一上·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen ）、雪容融（Shuey Rhon Rhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元(2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x 元，雪容融的进货价为y 元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）先设冰墩墩进货a 个，则雪容融进货()40a -个，利润为w 元，再根据题意可以写出w 和a 的函数关系式，再根据题意求得a 的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值．【详解】（1）设冰墩墩的进货价为x 元，雪容融的进货价为y 元．得1361551400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩，所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元．（2）设冰墩墩进货a 个，则雪容融进货()40a -个，利润为w 元，则()2820408800w a a a =+-=+，因为0a >，所以w 随a 增大而增大，又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，即()0 1.540a a <≤-，解得024a <≤，所有当24a =时，w 最大，此时4016a -=，824800992w =⨯+=，答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．例题2．（23-24高一上·吉林长春·期中）某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (t ∈N ＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (t ∈N ＋)(天)之间的关系如下表：t /天5102030Q /件35302010(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).【答案】(1)20,025,N 100,2530,N t t t P t t t +++<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩(2)()40030,N Q t t t +=-+<≤∈(3)第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元【分析】（1）根据图象为两条线段，设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；（2）根据散点图猜想销售量Q 为时间t 的一次函数，设出函数解析式，利用待定系数法求解检验即可；（3）先根据日销售金额＝每件的销售价格×日销售量列出日销售金额函数，再利用二次函数性质分别求各段最值，最后比较两个最值取较大者即可.【详解】（1）根据图象，设11(0)P k t b k =+≠，当025t <<时，代入点()()0,20,25,45，求得111,20k b ==；当2530t ≤≤时，代入点()()30,70,25,75，求得111,100k b =-=，所以每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式为20,025,N 100,2530,N t t t P t t t +++<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩.（2）描出实数对(,)t Q 的对应点(如图)，.从图中可以发现，点(5,35)，(10,30)，(20,20)，(30,10)基本上分布在一条直线上，设这条直线为l ：22(0)Q k t b k =+≠，代入点(5,35)，(30,10)，求得221,40k b =-=，所以直线l 为()40030,N Q t t t +=-+<≤∈，通过检验可知：点(10,30)，(20,20)也在直线l 上，所以日销售量Q 与时间t 的函数关系式为()40030,N Q t t t +=-+<≤∈．（3）设日销售金额为y (元)，则2220800,025,N 1404000,2530,N t t t t y P Q t t t t ++⎧-++<<∈=⨯=⎨-+≤≤∈⎩()()2210900,025,N 70900,2530,N t t t t t t ++⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩，若当025,N t t +<<∈时，则当10t =时，max 900y =；若2530,N t t +≤≤∈时，则当25t =时，max 1125y =；由于1125900>，所以max 1125y =，故这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．精练1．（2024高一·全国·专题练习）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．（2）按购买总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x （个），付款数为y （元），试用两种优惠办法分别建立y 与x 之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．【答案】优惠办法（1）：1560y x =+*(4,)x x N ≥∈，优惠办法（2）：2 4.673.6y x =+*(4,)x x N ≥∈；选择优惠办法（2）.【分析】根据已知条件写出两种优惠办法对应解析式，再将40x =代入解析式求y ，比较不同优惠下y 的大小，选择优惠办法．【详解】由优惠办法（1）可得函数解析式为12045(4)560y x x =⨯+-=+*(4,)x x N ≥∈；由优惠办法（2）可得函数解析式为2(2045)92% 4.673.6y x x =⨯+⨯=+*(4,)x x N ≥∈．当该顾客买茶杯40个时，采用（1）应付款154060260y =⨯+=（元）；采用（2）应付款1 4.64073.6257.6y =⨯+=（元）．由于12y y >，故选择优惠办法（2）．2．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，是某辆汽车的行驶情况记录，根据图中数据回答下列问题.（1）汽车从开始行驶到最后停止共行驶了多少分钟？期间的最大速度是多少？汽车有几个时间点的时速为20千米/小时？（2）写出汽车出发10分钟到18分钟之间速度v (千米/小时)与时间t (分钟)的函数关系式，并算出这段时间中，在多少分钟时的速度为20千米/小时.【答案】（1）共行驶了22分钟，期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；（2）函数关系式10100v t =-(1018)t ≤≤，发12分钟时车速为20千米/小时.【分析】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶时间，以及最大速度和车速为20千米/小时的时间点，得到答案；（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，设为v kt b =+，根据表中的数据列出方程组，即可求得速度v 与时间t 的函数关系式，进而得到答案.【详解】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶了24222-=分钟，期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，速度与时间是一次函数关系，设为v kt b =+，由图表中的数据，可得当10t =时，0v =，当18t =时，80v =，代入得0108018k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得10100k b =⎧⎨=-⎩，所以速度v (千米/小时)与时间t (分钟)的函数关系式：10100v t =-，(其中1018)t ≤≤当20v =时，即2010100t =-，解得12t =，即出发12分钟时车速为20千米/小时.【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式的求解，以及函数的图象的识别与应用，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题.对点特训二：二次函数模型例题1．（23-24高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用x 年()*x N ∈所需的总维护费用为22x x +万元．(1)该甜品店第几年开始盈利？(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案：①当年平均盈利最大时卖出；②当盈利总额达到最大时卖出；试问哪一方案较为划算？说明理由．【答案】(1)第四年，理由见解析(2)两个方案一样，理由见解析【分析】（1）表达出x 年后所得总利润21021y x x =-+-，解不等式，求出答案；（2）设方案①的年平均利润为()w x ，表达出()2110w x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数单调性求出最大值，再求出方案②的总利润，比较后得到结论.【详解】（1）设该甜品店x 年后所得总利润为y 万元，则()22122211021y x x x x x =-+-=-+-，若开始盈利即0y >，∴210210x x -+->，解得37x <<，∴第四年开始盈利．（2）方案①：设年平均利润为()w x ，则()2110y w x x x x ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数性质可得()w x 在()0,21x ∈上单调递增，()21,x ∈+∞上为单调递减．又*x ∈N ，4215<<，4x =时，()344w =，4年总利润为3万元，5x =时，()455w =，5年总利润为4万元，故选择第5年卖出，方案②：()22102154y x x x =-+-=--+，max 4y =，即5x =时总利润最大为4万元，故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在5x =即第5年总利润达到最大值4万元，加上卖设备的2万元，一共6万元利润．例题2．（23-24高一上·广东佛山·期末）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m 万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．(1)当0.5m =时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？(2)当m 在区间[]0.6,0.8上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？【答案】(1)110元，100元，90元.(2)100元，90元.【分析】根据题意列出景区营业额和景区门票的关系，再通过解不等式得出答案.【详解】（1）设景区降价后的门票日均营业额为y 万元，景区门票价格下降了10x ()N x ∈元，因为优惠后的最终门票价格不低于80元，所以1201080x -≥，即4x ≤，由题意得()()120104y x mx =-⨯+，当0.5m =时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则()()1201040.5495x x -⨯+≥，即2520150x x -+≤，即2430x x -+≤，解得13x ≤≤，又因为N x ∈，所以1,2,3x =，12010110,100,90x -=，所以景区门票价格可以为110元，100元，90元.（2）由（1）知()()120104y x mx =-⨯+()N,4x x ∈≤，()()12010120104y x x m x =-⨯+-⨯，因为()120100x x -≥，所以当m 在区间[]0.6,0.8上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，只要0.6m =时门票日均营业额不低于520万元即可，即()()1201040.6520x x -⨯+≥，即2632400x x -+≤，即2316200x x -+≤，解得1023x ≤≤，又因为N x ∈，所以2,3x =，12010100,90x -=，所以景区门票价格可以为100元，90元.精练1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价（元）45678910日均销售量（件）400360320280240200160请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值.【答案】当定价为8.5元时，该商品的日均销售利润最大，且最大值为1210元.【分析】设定价为x 元，日均销售利润为y 元，则21740()12102y x =--+，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由题意表格中的数据可知，当售价为4元时，日销售量为400件，售价每增加1元，日销售量就减少40件.设定价为x 元，日均销售利润为y 元，则217(3)[40040(4)]40()12102y x x x =---=--+，故当178.52x ==时，y 有最大值.所以定价为8.5元时，日均销售利润最大，且最大值为1210元.2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：21020x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，x （单位：万套）为每月生产产品的套数．(1)该企业每月产量x 为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少?(2)若每月生产x 万套产品，每万套售价为：3010x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元?【答案】(1)每月产量20万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元(2)该企业每月生产不小于20(12710)-万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于520万元【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为201020xy x =++，再利用基本不等式即可求出结果；（2）由题意可知月利润2202020x P x =+-，解一元二次不等式2202052020x x +-≥即可求出结果.【详解】（1）设平均每套的成本为y 元，由题有2202020102101221020020x x y x x x x x +==++⋅+=+≥，当且仅当2020xx =，即20x =时，取等号，所以企业每月产量20万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元.（2）设月利润为P 万元，则有22(30)10202020102020x x x P x x x =+---=+-，由题知2202062520x x +-≥，整理得到2400430300x x +-⨯≥，解得30x ≥，所以，该企业每月生产不小于30万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元.对点特训三：分式函数模型（基本不等式工具）典型例题例题1．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为2750m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间A ，B ，C 三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B ，C 区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【答案】(1)3753,32502a x x =-<<(2)25【分析】（1）设矩形花园的长为m y ，结合750xy =，进而求得a 关于x 的关系式；（2）由（1）知37532a x =-，得到15151875(3)2S x x =-+，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：设矩形花园的长为m y ，因为矩形花园的总面积为2750m ，所以750xy =，可得750y x=，又因为阴影部分是宽度为1m 的小路，可得75023a x +=，可得37532a x =-，即a 关于x 的关系式为3753,32502a x x =-<<.（2）解：由（1）知，37532a x =-，则375315151875(2)(3)(25)(25)()(3)22S x a x a x a x x x x=-+-=-=-⨯-=-+1515187512152322x x ≤-⋅=，当且仅当18753x x =时，即25x =时，等号成立，所以当25m x =时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为21215m 2.例题2．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位；cm ）满足关系：()()161102C x x x =≤≤+，设()f x 为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．(1)求()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【答案】(1)()()51281102f x x x x =+≤≤+(2)当隔热层修建6cm 厚时，总费用最小，最小值为112万元【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得；（2）利用基本不等式求解即可.【详解】（1）每年能源消耗费用为()162C x x =+，建造费用为8x ，∴()()()5123288,1102f x C x x x x x =+=+≤≤+.（2）因为110x ≤≤，所以()()()51251282162821611222f x x x x x =++-≥⨯+-=++，当且仅当()512822x x =++，即6x =时，等号成立，所以当6x =时，()f x 取得最小值()6112f =，∴当隔热层修建6cm 厚时，总费用最小，最小值为112万元.精练1．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m 欧元/平方米（其中25m >），其中投入()256003m -万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n （单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.【答案】(1)40(2)102万平方米，售价为30欧元.分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x 欧元/平方米，列不等式计算即可得；（2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得.【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到()25x x ≥欧元/平方米，则有()802252000x x --≥⎡⎤⎣⎦，解得：2540x ≤≤，所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.（2）()25200050026003mn m m ³+++-，整理得：25150023mn m m ³++，除以m 得：1500523n m m ³++，由基本不等式得：150051500522210233n m m mm �+匙+=，当且仅当150053m m =，即3025m =>时，等号成立，所以该种玻璃的销售量n 至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米.2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用(0)m m ≥万元满足31x km =-+（其中k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．(1)求常数k 的值，并将2023年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？【答案】(1)2k =，1628(0)1y m m m =--≥+；(2)投入3万元，最大利润为21万元.【分析】（1）当0m =时1x =，求得2k =，由题意中变量之间的关系列出函数即可.（2）由（1）可得1629(1)1y m m =-+++，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）依题意，当0m =时，1x =，则13k =-，解得2k =，即231x m =-+，又每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯元，因此816(1.5)(816)48x y x x m x m x +=⨯-++=+-21648(3)2811m m m m =+--=--++，所以2k =，1628(0)1y m m m =--≥+.（2）由（1）知，16162829(1)11y m m m m =--=-++++，由0m ≥，得161612(1)811m m m m ++≥⋅+=++，当且仅当1611m m =++，即3m =时取等号，因此当3m =时，max 29821y =-=，所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元.对点特训四：分段函数模型典型例题例题1．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量()x ϕ（单位：千克）与单株施肥量x （单位：千克）之间的关系为()232,031645,36x x x x x ϕ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，且单株投入的年平均成本为10x 元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为()f x （单位：元）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)()21010320,0316045010,36x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪⎩(2)施肥量为3kg 时，单株年利润最大为380元【分析】（1）利用利润=单株产量⨯售价-成本，结合分段函数即可得解；（2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出03x ≤≤和36x <≤时对应的()max f x ，从而得解.【详解】（1）当03x ≤≤时，()()223210*********f x x x x x =+⨯-=-+，当36x <≤时，()1601010450101645f x x x x x ⎛⎫=⨯-=--⎭- ⎪⎝，故()21010320,0316045010,36x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪⎩；（2）当03x ≤≤时，()21010320f x x x =-+开口向上，其对称轴为12x =，所以其最大值为()23103103320380f =⨯-⨯+=，当36x <≤时，()1601601604501045010450210370f x x x x xx x ⎛⎫=--=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当16010x x=，即4x =时，等号成立，综上，施肥量为3kg 时，单株年利润最大为380元.例题2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x 千台空调，需另投入成本()f x 万元，当年产量不足30千台时，2()550f x x x =+，当年产量不小于30千台时，3600()3013150f x x x=+-．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数解析式．(2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)()25250200,030,36002950,30.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩(2)当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售额-成本公式，分类讨论即可求解；（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，利用二次函数的性质及基本不等式即可求解．【详解】（1）当030x <<时，22()(0.31000)2005505250200W x x x x x x =⨯---=-+-，当30x ≥时，36003600()(0.31000)20030131502950W x x x x x x=⨯---+=--，所以()25250200,030,36002950,30.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩（2）当030x <<时，2()5(25)2925W x x =--+，当25x =时，()W x 取得最大值2925万元；当30x ≥时，3600()2950W x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为360036002120x x x x+≥⋅=，当且仅当60x =时，等号成立，所以当60x =时，()W x 取得最大值2830万元．因为29252830>，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元．精练1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x xx x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）(1)写单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩；(2)当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.【分析】（1）根据给定的函数关系，直接求出()f x 的解析式.（2）结合二次函数最值、基本不等式求最值，分段求出函数()f x 的最大值，再比较大小即可.【详解】（1）依题意，()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，所以27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩.（2）当02x ≤≤时，2()7530225f x x x =-+，其图象开口向上，对称轴为15x =，因此()f x 在1[0,]5上单调递减，在1[,2]5上单调递增，()f x 在[]0,2上的最大值为()2465f =；当25x <≤时，()()()7501750750307503013011x f x x x x x+-=-=--++++()2525780301780302148011x x xx ⎛⎫=-++≤-⨯⋅+= ⎪++⎝⎭，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立，而465480<，则当4x =时，max ()480f x =，所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a 个单位（04a <≤且R a ∈）的试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中[](]1,0,57()11,5,112xx xf x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨-⎪∈⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效.(1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？(2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m 个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m 的最小值.【答案】(1)7天；(2)2.【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的净化剂的有效时间即可.（2）由题设()5=11413x g x x m x --+⋅≥-，将问题化为()()1375x x m x --≥-在[6,11]x ∈上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【详解】（1）因为一次投放4个单位的净化剂，所以水中释放的浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +⎧≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当05x ≤≤时，()4147x x+≥-，解得35x ≤≤；当511x ≤≤时，2224x -≥，解得59x ≤≤，综上，39x ≤≤，所以一次投放4个单位的净化剂，则有效时间可持续7天.（2）设从第一次投放起，经过()611x x ≤≤天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+⋅---．因为611x ≤≤，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+⋅≥-，即()()1375x x m x --≥-，令5x t -=，[]1,6t ∈，所以()()281610t t m t tt --⎛⎫≥-=-+ ⎪⎝⎭，因为162168t t+≥=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.对点特训五：对钩函数及其应用典型例题例题1．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战.某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游.2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点.该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元.调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业.据统计，若动员()0,x x x >∈N 户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高100x，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为()4025x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.在动员x 户从事乡村旅游后，还要确保剩下的400x -户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入.(1)求x 的取值范围；(2)要使从事乡村旅游的这x 户的年总收入始终不高于400x -户从事种植业的所有农户年总收入，求a 的最大值.（参考数据：200115.53≈，400 3.48115≈，4003.45116≈）【答案】(1){}0300,x x x N <≤∈(2)最大值为9.93【分析】（1）由题意可得()440014400100x x ⎛⎫⨯-⨯+≥⨯ ⎪⎝⎭，解出即可；（2）分别表示出从事乡村旅游的x 户农民年总收入、()400x -户从事种植业的农户总年收入，然后建立不等式求解即可.【详解】（1）依题意得()440014400100x x ⎛⎫⨯-⨯+≥⨯ ⎪⎝⎭，整理得23000x x -≤，解得0300x ≤≤，又0,x x >∈N ，所以x 的取值范围为{}0300,x x x N <≤∈.（2）从事乡村旅游的x 户农民年总收入为425x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，()400x -户从事种植业的农户总年收入为()44001100x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭依题意得()()4440010300,,025100x x a x x x x a ⎛⎫⎛⎫-≤-+<≤∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N恒成立，即234003100x ax x ≤++恒成立，所以40033100xa x ≤++恒成立.因为函数()40033100xf x x =++在2000,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在200,3003⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以当2003x =时，()f x 最小，又x ∈N ，所以115x =或者116.…当115x =时，()40031153 3.48 3.4539.93115100f x ⨯=++≈++=，当116x =时，()40031163 3.45 3.4839.93116100f x ⨯=++≈++=，所以09.93a <≤，所以a 的最大值为9.93例题2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，某工厂欲将一块边长为40m 的等边三角形ABC 区域用一条公共通道DE 分成面积相等的两个办公区域，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设AD x =.（公共通道DE 所占面积忽略不计）（1）令AE y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（2）若公共通道DE 每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x 值.【答案】（1）800y x=，2040x ≤≤；（2）当202x =时，造价最小为400002元；当20x =或40x =时，造价最大为400003元.【分析】（1）由已知条件得12ADE ABC S S =，再根据三角形的面积公式可求得答案；（2）在ADE V 中，利用余弦定理得222640000800DE x x =+-.设函数()22640000800f x x x =+-，运用函数的单调性可求得造价的最小值和最大值，以及所对就的x 的值.【详解】解：（1）∵12ADE ABC S S =，∴2111sin 6040sin 60222x AE ⋅⋅︒=⨯⨯⨯︒，。

学习资料函数模型的应用举例［A组学业达标]1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（)A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解析：由图可知,该图象所对应的函数模型是分段函数模型．答案：A2．若镭经过100年后剩留原来质量的95。

76％,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x,y的函数关系是（）答案：A3．用长度为24 m的材料围成一个矩形家禽养殖场,中间加两道隔墙，要使矩形面积最大,隔墙长度应为(）A．3 B．4C．5 D．6解析：设隔墙长度为x m，则矩形的一边长为x m，另一边长为错误!m,∴S＝x·错误!＝－2x2＋12x＝－2(x－3）2＋18（0〈x〈6)∴当x＝3时,S取最大值．故选A。

答案:A4．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋错误!x2，Q＝a＋错误!，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元,则有()A．a＝45，b＝－30 B．a＝30,b＝－45C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30解析：设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元，则y＝xQ－P＝x错误!－错误!＝错误!x2＋(a－5)x－1 000，其中x∈（0,＋∞）．由题意知当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40。

∴错误!整理得错误!解得a＝45,b＝－30。

答案：A5．生产某机器的总成本y(万元）与产量x(台）之间的函数关系式是y＝x2－75x,若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为__________台．解析:设安排生产x台，则获得利润f(x）＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50）2＋2 500.故当x＝50台时，获利润最大．答案：506．把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为__________．解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm,两个三角形的面积和为S＝错误!x2＋错误!（4－x）2＝错误!［(x－2)2＋4]≥2错误!cm2。

考点跟踪突破14 线索与情节一、(2015·广元)阅读下面的文字，回答问题。

民工父亲的“幸福”李良旭①刚刚搬入新居不久。

这天，我面朝着宽大的落地玻璃窗，端坐在电脑前，专心打字。

明媚的阳光像瀑布一样成桶地泼洒进来：温暖、清亮、宁静。

心情，也沐浴在一片暖融融的气氛中。

②突然，大门响起一阵很不规则的敲门声。

③“你找谁？”我警惕地将门打开一条缝隙。

④“我是住在您这片小区里干活的民工，想请您帮个忙。

”那个陌生人嗫嗫嚅嚅地说。

⑤“什么事？你说吧。

”⑥“快到暑假了，我儿子要到城里来看我，他很想知道自己的父亲在城里盖了多少漂亮的房子。

房子是盖了许多，可我从不知道城里人住在里面的情况，我很难给孩子描述清楚。

要是他来了，我能带他到您家看一看吗？”⑦这位民工一口气把话说完后，他望着我，一脸的焦灼和企盼，两眼露出渴求的神情。

⑧我恍然大悟——真是一个心细、慈爱的父亲啊！我也是一个父亲，在工作中取得了一点成绩，或在报刊上发表了一篇小文章，不也是喜欢在儿子面前表现一番吗？那是一个做父亲的自豪和骄傲啊！想到这，我答应了。

⑨他激动得连手也不知道放在哪里好了，脸上现出喜悦的神色。

他连声说道：“您真是大好人啊！我问了好几家，有的一句话也不说，随手就将门咣地关上了；有的还怀疑我是坏人，一直看着我走进了工棚……”⑩几天后，这位民工父亲果然带着一个小男孩来到我家。

小男孩十三四岁，黝黑的皮肤，结实的身体，明亮的双眸。

⑪“换上吧。

”我热情地说。

父子俩换上了鞋套，像是生怕将术地板踏坏了似的，步子迈缓，给人一种拘谨的感觉。

我看到，一只大手和一只小手紧紧地握在一起。

父亲对孩子说：“这位叔叔住的这套房子就是爸爸的建筑公司盖的。

我负责砌墙，眼细、心细、手细，不能有丝毫的偏差……对了，爸爸也通过了中级的考试。

现在，我也是有文凭的建筑工人了。

”⑫儿子听着，眼里流露着一种自豪和骄傲的神色。

我又看到，一只小手和一只大手紧紧地握在一起，父亲的腰板似乎挺直了许多。

考点跟踪突破14文言概括、探究、感悟(一)(2017苏州)阅读下面一则文言短文，完成下列各题。

刘凝之，字志安，小名长年，南郡枝江人也。

父期公，衡阳太守。

兄盛公，高尚不仕①。

凝之慕老莱、严子陵为人，推家财与弟及兄子，立屋于野外，非其力不食。

州里重其德行。

州三礼辟②西曹主簿③，不就。

妻梁州刺史郭铨女也，遣送丰丽，凝之悉散之亲属。

妻亦能不慕荣华，与凝之共安俭苦。

(选自《宋书·隐逸列传》，略有删改)【注释】①仕：做官。

②辟：征召。

③主簿：官职名。

1．把文中画线的句子翻译成现代汉语。

(1)立屋于野外，非其力不食。

在荒郊野外建造了房屋，不是自己劳动所得就不享用。

(2)凝之悉散之亲属。

刘凝之把它们都分给了亲属。

2．根据文章内容，说说州里多次礼聘刘凝之做官的原因是什么？刘凝之为什么不接受？重其德行；不慕荣华，安于俭苦。

(二)(2017·东营)阅读【甲】【乙】两文，回答问题。

【甲】少时，一狼径去，其一犬坐于前。

久之，目似瞑，意暇甚。

屠暴起，以刀劈狼首，又数刀毙之。

方欲行，转视积薪后，一狼洞其中，意将隧入以攻其后也。

身已半入，止露尻尾。

屠自后断其股，亦毙之。

乃悟前狼假寐，盖以诱敌。

狼亦黠矣，而顷刻两毙，禽兽之变诈几何哉？止增笑耳。

(蒲松龄《狼》)【乙】苏子夜坐，有鼠方啮。

拊①床而止之，既止复作。

使童子烛之，有橐②中空。

嘐嘐聱聱③，声在橐中。

曰：“嘻！此鼠之见闭而不得去者也。

”发而视之，寂无所有，举烛而索，中有死鼠。

…覆而出之，堕地乃走，虽有敏者，莫措其手。

苏子叹曰：“异哉！是鼠之黠也。

闭于橐中，橐坚而不可穴也。

故不啮而啮，以声致人；不死而死，以形求脱也。

吾闻有生，莫智于人。

扰龙伐蛟，登龟狩麟，役万物而君之，卒见使于一鼠；堕此虫之计中，惊脱兔于处女，乌在其为智也。

”……若有告余者曰：“……不一于汝，而二于物，故一鼠之啮而为之变也。

人能碎千金之璧，不能无失声于破釜；能搏猛虎，不能无变色于蜂虿④：此不一之患也。

考点跟踪突破14文言文朗读停顿与翻译(一)(2018·甘肃兰州)阅读甲乙两段选文，完成下列各题。

(导学号：09394052)【甲】于是入朝见威王，曰：“臣诚知不如徐公美。

臣之妻私臣，臣之妾畏臣，臣之客欲有求于臣，皆以美于徐公。

今齐地方千里，百二十城，宫妇左右莫不私．王，朝廷之臣莫不畏王，四境之内莫不有求于王：由此观之，王之蔽甚矣。

”王曰：“善。

”乃下令：“群臣吏民能面刺寡人之过者，受上赏；上书谏寡人者，受中赏；能谤讥于市朝，闻寡人之耳者，受下赏。

”令初下，群臣进谏，门庭若市；数月之后，时时而间．进；期年之后，虽欲言，无可进者。

燕、赵、韩、魏闻之，皆朝于齐。

此所谓战胜于朝廷。

(选自《邹忌讽齐王纳谏》)【乙】齐威王召即墨①大夫，语之曰：“自子之居．即墨也，毁②言日至。

然吾使人视即墨，田野辟，人民给，官无事，东方以宁；是子不事吾左右以求助也！”封．之万家。

召阿大夫，语之曰：“自子守阿，誉言日至。

吾使人视阿田野不辟人民贫馁。

昔日赵攻鄄，子不救；卫取薛陵，子不知；是子厚币③事吾左右以求誉也！”是日，烹阿大夫及左右尝誉者。

于是群臣耸惧，莫敢饰诈④，务尽其情，齐国大治，强于天下。

(选自《资治通鉴》)【注释】①即墨：古地名。

在今山东平度东南。

②毁：诽谤。

与后文“誉”意思相对。

③厚币：丰厚礼品。

④饰诈：作假骗人。

1．解释下列语句中加点词的意思。

(1)宫妇左右莫不私．王( 偏爱)(2)时时而间．进( 间或，偶然)(3)自子之居．即墨也( 主管，主政)(4)封．之万家( 封赏，赏赐)2．用“/”为乙文中画波浪线的句子标出停顿。

(标两处)吾使人视阿/田野不辟/人民贫馁3．用现代汉语翻译文中画横线的句子。

(1)能谤讥于市朝，闻寡人之耳者，受下赏。

能在公共场所批评议论我的过失，传到我耳朵里的，可得下等奖赏。

(2)是子厚币事吾左右以求誉也！这是你用丰厚的礼品买通我的左右来称赞你啊！4．回答下面问题。

(1)根据甲文的内容填空。

考点跟踪突破14断句与翻译一、(2015·泰州)阅读下面文言文，回答问题。

自昔词人琢磨之苦，至有一字穷岁月，十年成一赋者。

白乐天诗词，疑皆冲口而成，及见今人所藏遗稿，涂窜甚多。

欧阳文忠公作文既毕，贴之墙壁，坐卧观之，改正尽善，方出以示人。

蘧①尝于文忠公诸孙望之处，得东坡先生数诗稿，其和欧叔弼诗云：“渊明为小邑。

”继圈去“为”字，改作“求”字，又连涂“小邑”二字，作“县令”字，凡三改乃成今句。

至“胡椒铢两多，安用八百斛”，初云“胡椒亦安用，乃贮八百斛”，若如初语，未免后人疵议。

又知虽大手笔，不以一时笔快为定，而惮于屡改也。

(选自《春渚纪闻》)【注释】①即本文的作者何蘧。

1.解释下列句中加点词的意思。

(1)至有一字穷．岁月__穷尽，用尽___(2)及．见今人所藏遗稿__到，等到__(3)欧阳文忠公作文既．毕__已经__(4)得东坡先生数．诗稿__数篇，几篇__2．下列各句与例句中“于”的用法相同的一项是( C )例句：蘧尝于文忠公诸孙望之处A．积于今六十岁矣(《捕蛇者说》)B．如使人之所欲莫甚于生(《鱼我所欲也》)C．于厅事之东北角(《口技》)D．何有于我哉(《论语》)3．请根据要求，用“/”标出下面句子的朗读停顿。

(1)疑/皆冲口而成(标在动宾之间)(2)渊明/为小邑(标在主谓之间)4．翻译下列句子。

(1)改正尽善，方出以示人。

(欧阳修)改正得极好后，方才拿出来给人看。

(2)但少闲人如吾两人者耳。

(《记承天寺夜游》)只不过是缺少像我们两个这样的有闲情雅致的人罢了。

5．请你根据选文主要内容为其编写一个文言．．标题：__示例：作文不惮屡改___。

[点拨：本文以白居易、欧阳修、苏轼三大名家为例，说明“好文章是改出来的”，围绕这一中心来添加标题即可)(用原句或自己语言都可]二、(2015·邵阳)阅读下面文言文，回答问题。

【甲】董宣，字少平，陈留圉人也。

……后特征为洛阳令。

时湖阳公主苍头白日杀人，因匿主家，吏不能得。

2019-2020年中考数学总复习（浙江地区 ）考点跟踪突破14 函数的应用一、选择题[来源:学+科+网Z+X+X+K]1．(xx ·新疆)小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟书后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象是( B )2．(xx ·广州)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系是( B )A ．v ＝320tB ．v ＝320tC ．v ＝20tD ．v ＝20t3．(xx ·海南)某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(单位：公顷/人)与总人口x(单位：人)的函数图象如图所示，则下列说法正确的是( D )A ．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B ．该村人均耕地面积y 与总人口x 成正比例C ．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D ．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷,第3题图) ,第4题图)4．(xx ·六盘水)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( C )A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2[来源:]二、填空题5．(xx ·广州)某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y 米与时间x 小时(0≤x ≤5)的函数关系式为__y ＝6＋0.3x (0≤x ≤5)__．6．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平面交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到直线AB 的距离为9 m ，AB ＝36 m ，D ，E 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7 m ，则DE 的长为__48__m.,第6题图) ,第7题图)7．(xx ·重庆)为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑的路程s(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第__120__秒．三、解答题8．(xx ·绍兴)根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m 2)和开始排水后的时间t(h )之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？(2)当2≤t ≤3.5时，求Q 关于t 的函数表达式．解：(1)暂停排水需要的时间为：2－1.5＝0.5(小时)．∵排水数据为：3.5－0.5＝3(小时)，一共排水900 m 3，∴排水孔排水速度是：900÷3＝300 m 3/h (2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数表达式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450(m 3)，∴(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上，把(2，450)，(3.5，0)代入Q＝kt ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数表达式为Q ＝－300t ＋1050.B 组 能力提升9．(xx ·连云港)如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是( C )A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元10．(xx·扬州)某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a＞0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为__0<a<5__．[来源:][来源:Z#xx#k]11．(xx·杭州)把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；(3)若存在实数t1和t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m 的取值范围．解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15(米)，所以，此时足球离地面的高度为15米(2)∵h＝10，∴20t－5t2＝10，即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋2或t＝2－2，∴经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米(3)∵m≥0，由题意得t1和t2是方程20t －5t2＝m的两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝202－20m>0，∴m<20，∴m的取值范围是0≤m<20.C组拓展培优12．(xx·随州)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x ≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．[来源:]时间x(天)[来源:][来源:学,科,网] 1[来源:]30 60 90每天销售量p(件) 198 140 80 20[来源:](1)求出w与(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．解：(1)当0≤x ≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)，∵y ＝kx ＋b 经过点(0，40)，(50，90)，∴⎩⎨⎧b ＝40，50k ＋b ＝90，解得：⎩⎨⎧k ＝1，b ＝40，∴售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝x ＋40；当50＜x ≤90时，y ＝90，∴售价y 与时间x 的函数关系式为[来源:]y ＝⎩⎨⎧x ＋40（0≤x ≤50，且x 为整数），90（50<x ≤90，且x 为整数）.由表格可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系，设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p ＝mx ＋n (m ，n 为常数，且m ≠0)，∵p ＝mx ＋n 过点(60，80)，(30，140)，∴⎩⎨⎧60m ＋n ＝80，30m ＋n ＝140，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝200，∴p ＝－2x ＋200(0≤x ≤90，且x 为整数)，当0≤x ≤50时，w ＝(y －30)·p ＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)＝－2x 2＋180x ＋2 000；当50＜x ≤90时，w ＝(90－30)(－2x ＋200)＝－120x ＋12 000.综上所述，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是w ＝⎩⎨⎧－2x 2＋180x ＋2 000（0≤x ≤50，且x 为整数）－120x ＋12 000（50<x ≤90，且x 为整数） (2)当0≤x ≤50时，w ＝－2x 2＋180x ＋2 000＝－2(x －45)2＋6 050，∵a ＝－2＜0且0≤x ≤50，∴当x ＝45时，w 取最大值，最大值为6 050元．当50＜x ≤90时，w ＝－120x ＋12 000，∵k ＝－120＜0，w 随x 增大而减小，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为6 000元．∵6 050＞6 000，∴当x ＝45时，w 最大，最大值为6 050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6 050元(3)当0≤x ≤50时，令w ＝－2x 2＋180x ＋2 000≥5 600，即－2x 2＋180x －3 600≥0，解得30≤x ≤50，50－30＋1＝21(天)；当50＜x ≤90时，令w ＝－120x ＋12 000≥5 600，即－120x ＋6 400≥0，解得50＜x ≤5313，∵x 为整数，∴50＜x ≤53，53－50＝3(天)．综上可知：21＋3＝24(天)，故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5 600元o35977 8C89 貉19987 4E13 专27940 6D24 洤 <32490 7EEA 绪 /32405 7E95 纕29641 73C9 珉24368 5F30 弰M22944 59A0 妠21242 52FA 勺。

考点跟踪突破14 岳阳楼记(见学生用书第208页)一、(2015·辽宁丹东)阅读下面语段，回答问题。

【甲】嗟夫！予尝求古仁人之心，或异二者之为，何哉？不以物喜，不以己悲；居庙堂之高则忧其民；处江湖之远则忧其君。

是进亦忧，退亦忧。

然则何时而乐耶？其必曰“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”乎。

噫！微斯人，吾谁与归？【乙】王曰：“寡人忧国爱民，固愿得士以治之。

”王斗曰：“王之忧国爱民，不若王爱尺縠①也。

”王曰：“何谓也？”王斗曰：“王使人为冠，不使左右而使工者何也？为能之也。

今王治齐，非左右无使也，臣故曰不如爱尺縠也。

”宣王谢曰：“寡人有罪国家。

”于是举士五人任官，齐国大治。

【注释】①縠(hú)：绉纱一类的丝织品。

1.解释下列加点词语在文中的意思。

(1)予尝求．古仁人之心探求(2)吾谁与归．归依(3)臣故．曰不如爱尺縠也因此，所以(4)于是举．士五人任官任用，选拔2．翻译下列句子。

(1)不以物喜，不以己悲。

不因外物(好坏)和自己(得失)而或喜或悲。

(2)王之忧国爱民，不若王爱尺縠也。

大王关心国家、爱护百姓，比不上大王喜爱(一块)绉纱(尺縠)。

3．【乙】文中王斗向齐宣王进谏，这种“忧国忧君”的做法，印证了【甲】文中的哪句话？居庙堂之高则忧其民；处江湖之远则忧其君。

【参考译文】宣王说：“我关心国家、爱护百姓，固然愿意得到有才能的人来治理国家。

”王斗说：“大王关心国家、爱护百姓，比不上大王喜爱一块绉纱(尺縠)。

”宣王说：“这是什么意思？”王斗说：“大王让人做帽子，不让亲近宠爱的人去做，却让工匠去做，为什么？因为他们会做。

现在，大王治理国家，却一定要用亲近宠爱的人去治理。

所以我说大王关心国家、爱护百姓，比不上大王喜爱(一块)绉纱(尺縠)。

”宣王内疚自责，说：“我对国家有罪。

”于是任用五名贤士为官，齐国因此政治清明，局势安定。

二、(2015·辽宁铁岭)阅读下列甲、乙两段选文，完成各题。

课时14 函数的应用模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．()y f x =的图象的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】把()y g x =中的x 换成x -，y 换成y -得：，，答案为D ．2.“1a =”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】显然，1a =时，在区间[1, +∞)上为增函数,但当在区间[1, +∞)上为增函数时，1a ≤.3．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D4．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p %为( )A ．10%B ．12%C ．25%D ．40%【答案】C【解析】利润300万元，纳税300·p %万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为 200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p %万元，共纳税300·p %＋180·p %＝120(万元)，p %＝14＝25%.5．对于函数y ＝f (x )，若将满足f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，则函数f (x )＝2x ＋x 2＋2x －8的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】由题可知f (x )＝2x＋x 2＋2x －8＝0可变形为2x ＝－x 2－2x ＋8，设y 1＝2x ，y 2＝－x 2－2x ＋8，由y 1，y 2的图象得2个交点，即2个零点，选C.6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－5t ，x ＞3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.5【答案】D7．已知函数f (x )＝(13)x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0【答案】A【解析】设f 1(x )＝(13)x，f 2(x )＝log 2x ，画出f 1(x )和f 2(x )的图象(如图)，易知当0<x 1<x 0时，f 1(x 1)>f 2(x 1)，所以f (x 1)＝f 1(x 1)－f 2(x 1)>0，即f (x 1)的值恒为正值．8．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是 .【答案】【解析】设0x <，则0x ->，，∴ ()1f x x =+，且(0)0f =0x =或0112x x <⎧⎪⎨+<⎪⎩或0112x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得：12x <-或302x ≤≤9．判断方程3x －x 2＝0的负实数根的个数，并说明理由．10．设,a b R ∈,且2a ≠,定义在区间(,)b b -内的函数是奇函数．（1）求b 的取值范围；（2）判断并证明函数()f x 的单调性． 【解析】（1），∴ 2221114a x x -=-∴，∵ 2x 不恒为0，∴24a =，又2a ≠，故2a =-，∴由12012x x->+，得：1122x -<<，由题意：，∴102b <≤．[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）11. （5分）f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0.则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.12. （5分）为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________．【答案】4【解析】依题意y ＝a x－2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2， 解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x－2，解得x ＝4.。