学业水平考试2016-2017学年高一数学人教版必修1(浙江专用)课时作业：第三章 函数的应用 章末复习课

基 础 过 关1.函数y ＝2－xlg x 的定义域为( ) A.{x |x ≤2} B.{x |0<x ≤2}C.{x |1<x ≤2}D.{x |0<x <1或1<x ≤2}解析由题意知⎩⎨⎧2－x ≥0，lg x ≠0，x >0，∴0<x <1或1<x ≤2.答案 D2.如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.c ＞b ＞a C.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝logb x ，y ＝logc x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0，1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 答案 D3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x（x ≤0），log 2x （x ＞0），那么f⎝ ⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A.27B.127C.－27D.－127解析 f⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝log 22－3＝－3，f⎝ ⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127.答案 B4.若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________. 解析 函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0， ∴x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2，1). 答案 (2，1)5.已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 解析 设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，则－3＝log a 8， ∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.答案 －326.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2，3)∪(3，＋∞).(2)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).7.已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，求b 的值.解 当x ＋3＝1，即x ＝－2时，对任意的a >0且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1. 8.已知函数f (x )＝lg(x －1). (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )在定义域上是增函数.(1)解 要使函数有意义，则x －1>0，解得x >1.由于函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，则有u ＝x －1的值域是(0，＋∞)，那么函数f (x )的值域是R .(2)证明 设x 1，x 2为(1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1.∵1<x 1<x 2，∴0<x 1－1<x 2－1.∴0<x 1－1x 2－1<1.∴lg x 1－1x 2－1<0.∴f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在定义域上是增函数.能 力 提 升9.函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 解析 由⎩⎨⎧1－x >0，3x ＋1>0，可得－13<x <1.答案 D10.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a >1时，y ＝a x 是增函数，y ＝－log a x 是减函数，当0<a <1时，y ＝a x 是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除C 项和D 项，故选A. 答案 A11.(2016·烟台高一检测)若函数y ＝log a 2x ＋1x －1＋3的图象恒过定点P ，则P 点坐标为________. 解析 依题意，令2x ＋1x －1＝1，得x ＝－2，当x ＝－2时，y ＝log a 1＋3＝3.∴点P的坐标为(－2，3). 答案 (－2，3)12.已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，值域为[0，1]，则m 的取值范围为________.解析 作出y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12x 的图象(如图)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝1.由题意结合图象知：1≤m ≤2. 答案 [1，2]13.若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0). (1)求a 的值.(2)求函数f (x )＝log a (x ＋a )＋x 在x ∈[0，2]上的值域. 解 (1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)中， 有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1.因此a ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝log 2(x ＋2)＋x ，x ∈[0，2] ∵y ＝log 2(x ＋2)与y ＝x 在[0，2]上都是增函数.∴f (x )在[0，2]上是增函数.∴f (x )min ＝f (0)＝log 22＋0＝1，f (x )max ＝f (2)＝log 24＋2＝4，故函数f (x )的值域为[1，4].探 究 创 新14.已知f (x )＝|log 3x |. (1)画出函数f (x )的图象；(2)讨论关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R )的解的个数.解 (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0＜x ＜1，对应的函数f (x )的图象为：(2)设函数y ＝|log 3x |和y ＝a .当a ＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个. 当a ＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解. 当a ＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解.。

浙江省2016-2017学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列四个集合中，是空集的是（）A．{∅} B．{0} C．{x|x＞8或x＜4} D．{x∈R|x2+2=0}2．tan（﹣330°）的值为（）A． B．C．D．3．函数y=的定义域为（）A．（，+∞）B．[﹣∞，1） C．[，1）D．（，1]4．要得到函数的图象，只需将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．当a＞0且a≠1时，函数y=a x﹣1+3的图象一定经过点（）A．（4，1）B．（1，4）C．（1，3）D．（﹣1，3）6．直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的相邻两点间的距离是（）A．πB．C．D．7．已知函数f（x）=2x2+mx+4，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则f（1）的取值范围是（）A．f（1）=14 B．f（1）＞14 C．f（1）≤14 D．f（1）≥148．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y310．已知函数f（x）=且方程f2（x）﹣af（x）+=0恰有四个不同实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（，）C．（2，4）D．（，]二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷中的横线上．11．已知tanx=，则= ．12．已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={x∈Z|x2≤3}，如图阴影部分所表示的集合为．13．f（x﹣1）=x2﹣2x，则= ．14．设，则函数的最大值为．15．设函数，，，则方程有个实数根．三、解答题：本大题有5小题，共10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．17．已知集合A={x|＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁B）；R（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为﹣，﹣．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．19．已知函数是奇函数．（1）求实数m的值；（2）是否存在实数p，a，当x∈（p，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞）．若存在，求出实数p，a；若不存在，说明理由；（3）令函数g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）a f（x）﹣5，当x∈[4，5]时，求函数g（x）的最大值．20．已知函数g（x）=asinx+bcosx+c（1）当b=0时，求g（x）的值域；（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，…，且xn﹣xn﹣1=3（n≥2），求f（x）的解析式．浙江省2016-2017学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列四个集合中，是空集的是（）A．{∅} B．{0} C．{x|x＞8或x＜4} D．{x∈R|x2+2=0}【考点】空集的定义、性质及运算．【分析】直接利用空集的定义与性质判断选项的正误即可．【解答】解：空集是没有任何元素的集合，A中含有元素∅，所以A不正确；B中含有运算0，所以不正确；C中集合是无限集，所以不正确；D中方程无解，所以D是空集，正确．故选：D．2．tan（﹣330°）的值为（）A． B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：tan（﹣330°）=tan30°=，故选：A．3．函数y=的定义域为（）A．（，+∞）B．[﹣∞，1） C．[，1）D．（，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则log（4x﹣3）≥0，0.5即0＜4x﹣3≤1，解得＜x≤1，故函数的定义域为（，1]，故选：D4．要得到函数的图象，只需将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式化简函数解析式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：∵=cos[﹣（3x﹣）]=cos（3x﹣）=cos[3（x﹣）]，∴将函数y=cos3x的图象向右平移个单位即可得到函数的图象．故选：A．5．当a＞0且a≠1时，函数y=a x﹣1+3的图象一定经过点（）A．（4，1）B．（1，4）C．（1，3）D．（﹣1，3）【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数型函数的性质，令x﹣1=0即可求得点的坐标．【解答】解：∵y=a x﹣1+3（a＞0且a≠1），∴当x﹣1=0，即x=1时，y=4，∴函数y=a x﹣1+3（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，4）．故选B．6．直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的相邻两点间的距离是（）A．πB．C．D．【考点】正切函数的图象．【分析】根据直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的两点间的距离正好等于y=tan3x的一个周期，得出结论．【解答】解：直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的两点间的距离正好等于y=tan3x的一个周期，即，故选C．7．已知函数f（x）=2x2+mx+4，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则f（1）的取值范围是（）A．f（1）=14 B．f（1）＞14 C．f（1）≤14 D．f（1）≥14【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知得到对称轴x=﹣≥﹣2，解出m范围，得到f（1）的范围．【解答】解：由已知函数f（x）=2x2+mx+4，m∈R，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则对称轴x=﹣≥﹣2，所以m≤8，又f（1）=6+m，所以f（1）﹣6≤8，所以f（1）≤14，故选C．8．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】三角函数的化简求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin （α﹣β）=sin （）=cos α成立．故选：C ．9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．＞B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）C ．sinx ＞sinyD ．x 3＞y 3【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 【解答】解：∵实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），∴x ＞y ，A ．若x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但==，故＞不成立．B ．若x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但ln （x 2+1）=ln （y 2+1）=ln2，故ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）不成立．C ．当x=π，y=0时，满足x ＞y ，此时sinx=sin π=0，siny=sin0=0，有sinx ＞siny ，但sinx ＞siny 不成立．D ．∵函数y=x 3为增函数，故当x ＞y 时，x 3＞y 3，恒成立， 故选：D ．10．已知函数f （x ）=且方程f 2（x ）﹣af （x ）+=0恰有四个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） B ．（，） C ．（2，4） D ．（，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数f （x ）=的图象，从而化为x 2﹣ax+=0在（1，2]上有两个不同的根，从而解得．【解答】解：作函数f （x ）=的图象如下，结合图象可知，当1＜b≤2时，f（x）=b有两个不同的解，故x2﹣ax+=0在（1，2]上有两个不同的根，故，解得，＜a＜，故选：B．二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷中的横线上．11．已知tanx=，则= 10 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=，∴原式===10．故答案为：1012．已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={x∈Z|x2≤3}，如图阴影部分所表示的集合为{2} ．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合B）．表示为A∩（∁UB={x∈Z|x2≤3}={﹣1，0，1}，B={x∈Z|x≠0且x≠±1}，则∁U则A∩（∁B）={2}，U故答案为：{2}．13．f（x﹣1）=x2﹣2x，则= 1 ．【考点】函数的值．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（x﹣1）=x2﹣2x，则=f[（）﹣1]= 2﹣2=3+2=1．故答案为：1．14．设，则函数的最大值为．【考点】三角函数的最值．【分析】变形可得2x∈（0，π），y=﹣，表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，数形结合可得．【解答】解：∵，∴2x∈（0，π），变形可得y==﹣，表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，而点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，结合图象可得当直线倾斜角为150°（相切）时，函数取最大值﹣tan150°=，故答案为：．15．设函数，，，则方程有 2n+1 个实数根．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分别n=1，2，3，再归纳法即可求出答案．【解答】解：当n=1时，f 1（x ）=|（）|x|﹣|=，即当﹣1≤x ≤1时，（）|x|=，或x ＜﹣1或x ＞1时，（）|x|=，此时方程有22个解，当n=2时，f 2（x ）=|f 1（x ）﹣|=，即f 1（x ）=，f 1（x ）=，此时方程有23个解，当n=3时，f 3（x ）=|f 2（x ）﹣|=，即f 2（x ）=，f 2（x ）=，此时方程有24个解，依此类推，方程有2n+1个解．故答案为：2n+1三、解答题：本大题有5小题，共10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ），x ∈R （其中）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]17．已知集合A={x|＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．B）；（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁R（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．【分析】（1）通过解一元二次不等式求得集合B；（2）解分式不等式求得集合Q，根据A∩B=（﹣1，4），A=（﹣1，5）得4是方程x2﹣2x﹣m=0的一个根，求得m=8，再验证是否满足条件．【解答】解：（1）当m=3时，由x 2﹣2x ﹣3＜0⇒﹣1＜x ＜3，由＞1⇒﹣1＜x ＜5，∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜3}； （2）若A ∩B={x|﹣1＜x ＜4}， ∵A=（﹣1，5），∴4是方程x 2﹣2x ﹣m=0的一个根， ∴m=8，此时B=（﹣2，4），满足A ∩B=（﹣1，4）． ∴m=8．18．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为﹣，﹣．（1）求tan （α+β）的值； （2）求α+2β的值．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）先求出A 、B 的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出tan α和 tan β，再利用两角和的正切公式求得tan （α+β）的值．（2）先求出 tan2β，tan （α+2β）=1．由（1）可得α∈（，）、β∈（，π），可得α+2β∈（2π，），从而求得 α+2β 的值．【解答】解：（1）平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为﹣，﹣，则A ，B 的横坐标分别为=，=．∴tan α==﹣7，tan β==﹣，∴tan （α+β）==﹣．（2）由于tan2β==﹣，tan（α+2β）==1．由（1）可得α∈（，）、β∈（，π），故α+2β∈（2π，），∴α+2β=．19．已知函数是奇函数．（1）求实数m的值；（2）是否存在实数p，a，当x∈（p，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞）．若存在，求出实数p，a；若不存在，说明理由；（3）令函数g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）a f（x）﹣5，当x∈[4，5]时，求函数g（x）的最大值．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）利用奇函数的定义，即可求实数m的值；（2）分类讨论，利用当x∈（p，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），可得结论；（3）g（x）=﹣ax2+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1，分类讨论，求出函数g（x）的最大值．【解答】解：（1）∵函数是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=±1又 m=1时，表达式无意义，所以m=﹣1…（2）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），①当p＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．此时f（x）为增函数，其值域为（与题设矛盾，无解）；…②当1≤p≤a﹣2时，有a＞3．此时f（x）为减函数，其值域为（1，+∞）知…符合题意综上①②：存在这样的实数p，a满足条件，…（3）∵g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）a f（x）﹣5，∴g（x）=﹣ax2+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1①当时，函数g（x）在[4，5]上单调递减所以g（x）max=g（4）=﹣16a+25…②当时，函数g（x）在[4，5]上单调递增所以g（x）max=g（5）=﹣25a+31…③当时，函数g（x）在上单调递增，在上单调递减所以…15分综上①②③，…20．已知函数g（x）=asinx+bcosx+c（1）当b=0时，求g（x）的值域；（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，…，且xn﹣xn﹣1=3（n≥2），求f（x）的解析式．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c，分a=0和a≠0两种情况，分别求出函数g（x）的值域．（2）当a=1，c=0时，由 g（x）=sinx+bcosx，且图象关于x=对称，求出b的值，可得函数 y=cos（x+），由 x+=kπ，k∈z，求出x的解析式，即可得到函数的对称轴方程．（3）由g（x）图象上有一个最低点（，1），求得g（x）=（c﹣1）sin（x﹣）+c．再由函数图象的变换规律求得f（x）=（c﹣1）sin x+c．由题意可得，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，或过f（x）的对称中心．分别求出c的值，再检验得出结论．【解答】解：（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c．当a=0时，值域为：{c}．当a≠0时，值域为：[c﹣|a|，c+|a|]．（2）当a=1，c=0时，∵g（x）=sinx+bcosx 且图象关于x=对称，∴||=，∴b=﹣．∴函数 y=bsinx+acosx 即：y=﹣sinx+cosx= cos（x+）．由 x+=kπ，k∈z，可得函数的对称轴为：x=kπ﹣，k∈z．（3）由g（x）=asinx+bcosx+c= sin（x+∅）+c，其中，sin∅=，cos∅=．由g（x）图象上有一个最低点（，1），所以，∴，∴g（x）=（c﹣1）sin（x﹣）+c．又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，则f（x）=（c﹣1）sin x+c．又∵f（x）=3的所有正根从小到大依次为 x1、x2、x3…xn、…，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），所以y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，要么是y=，即：2c﹣1=3或 1﹣c+c=3（矛盾）或=3，解得c=2 或 c=3．当c=2时，函数的 f（x）=sin+2，T=6．直线 y=3和 f（x）=sin+2相交，且 xn ﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），周期为3（矛盾）．当c=3时，函数 f（x）=2sin+3，T=6．直线直线 y=3和 f（x）=2sin+3相交，且 xn ﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），周期为6（满足条件）．综上：f（x）=2sin+2．。

2016-2017学年第一学期期末统考高一数学试卷 一、选择题: （本大题共12小题，每小题5分，共60分，）1.集合U={}6,5,4,3,2,1，A={}5,3,1,B={}5,4,2,则A ⋂()B C U 等于 A.()6,3,1 B {}3,1 C. {}1 D.{}5,4,2 2.已知集合A=[]6,0，集合B=[]3,0,则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A. f: x →y=61x B. f: x →y=31x C. f: x →y=21x D. f: x →y=x3.已知A(2,0,1),B(1,-3,1),点M 在x 轴上，且到A 、B 两点间的距离相等,则M 的坐标为( ) A.(-3,0,0) B.(0,-3,0) C.(0,0,-3) D.(0,0,3)4.函数y=x 2+2(m-1)x+3在区间()2,-∞-上是单调递减的，则m 的取值范围是( )A. m ≤3B. m ≥3C. m ≤-3D. m ≥-3 5.函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间( ) A.(81,41) B. (41,21) C.(21,1) D.(1,2) 6.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，其中主视图和左视图均为等腰三角形，俯视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是( ) A.1 B. 2 C . 3 D.47.已知二次函数f(x)=x 2-x+a(a>0)，若f(m)<0，则f(m-1)的值是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a 有关8.直线x+y+6=0截圆x 2+y 2=4得劣弧所对圆心角为( )A.6π B. 3π C. 2πD. 32π9.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1A.EF与BB 1垂直 B. EF 与A 1C 1异面 C.EF 与CD 异面D.EF 与BD 垂直10.已知偶函数f(x)在[]2,0单调递减，若a=f(0.54),b=f(log 214),c=f(26.0),则a, b, c 的大小关系是( ) A. a>b>c B. c>a>b C. a>c>b D .b>c>a11.已知圆C 与直线3x-4y=0及3x-4y=10都相切，圆心在直线4x+3y=0上，则圆C 的方程为( )A. (x-53)2+(y+54)2=1B. (x+53)2+(y+54)2=1 C.(x+53)2+(y-54)2=1 D. (x-53)2+(y-54)2=112.对于函数f(x),若任给实数a,b,c ，f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为 “可构造三角形函数”。

(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题1.函数y ＝x 2－2x －3的零点是( ) A.1，－3B.3，－1C.1，2D.不存在解析 令x 2－2x －3＝0得x ＝－1或x ＝3，故选B. 答案 B2.函数y ＝1＋1x 的零点是( ) A.(－1，0)B.－1C.1D.0解析 令1＋1x ＝0，得x ＝－1，即为函数的零点. 答案 B3.若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B.[－2，1]C.[－1，2]D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析 因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以 f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1. 答案 D4.函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( ) A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)与(1，e)D.(e ，＋∞)解析 易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－1＝ln 3－ln e ＝ln 3e >0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间(2，3).答案 B5.方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( ) A.0B.1C.2D.无穷多个解析 画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案 B6.若函数y＝f(x)在区间[0，4]上的图象是一条连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0，4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.与0的大小关系无法确定解析∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，∴f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，故方程的两个根所在的区间是(－3，－1)和(2，4)，选A. 答案 A7.甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙.在上述股票交易中()A.甲刚好盈亏平衡B.甲盈利9元C.甲盈利1元D.甲亏本1.1元解析甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元，而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元.答案 C8.函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中a<b<c，则y＝f(x)在(a，c)上零点个数为()A.2B.至少2个C.奇数D.偶数解析因为函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，由f(a)·f(b)<0，知y＝f(x)在(a，b)上至少有1个零点，由f(b)·f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有1个零点，所以y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点.答案 B二、填空题9.若f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________.解析由题意知f(0)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点，在区间(－∞，0)上也必有一个零点，所以f(x)在定义域R上有三个零点.答案 310.已知函数f(x)＝x2＋ax－1的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数a 的取值范围是________.解析根据该二次函数的图象可知，实数a的取值满足f(1)<0，即12＋a－1<0，得a<0.答案(－∞，0)11.一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为________；定义域为________.解析该函数是指数函数，解析式为y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，x∈N}.答案a(1＋p%)x{x|0≤x≤m，x∈N}12.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于变量x最有可能呈指数型函数变化的变量是________(仅有一个变量).解析以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的，从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从1开始变化，其中变量y4的增长速度最快，则y4关于x呈指数型函数变化.答案y413.函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则m＝________，另一个零点是________.解析因为函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，所以(－6)2＋(－6)m－6＝0，解得m＝5，所以f(x)＝x2＋5x－6，由x2＋5x－6＝0得x＝－6或x＝1，所以另一个零点是1.答案5 114.已知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.解析 画出函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示，观察图象可知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c.答案 a ＜b ＜c15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.解析 (1)由题图可设y ＝kt (0≤t ≤0.1)，把点(0.1，1)分别代入y ＝kt 和y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a ，解得k ＝10，a ＝0.1. (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1＜0.25，解得t ＞0.6.答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤110，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t ＞110(2)0.6三、解答题16.讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1，2]内实数解的存在性，并说明理由. 解 令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1，2]上都为增函数. ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1，2]上为增函数， ∵f (1)＝4＋1－15＝－10＜0， f (2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1，2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1，2]内有一个实数解.17.已知函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个零点，且都大于2，求实数m 的取值范围.解 函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个大于2的零点，即方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）2－4（5－m ）>02－m 2>24＋2（m －2）＋5－m >0，解得－5<m <－4.故实数m 的取值范围是(－5，－4).18.某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式P ＝15m ＋36，Q ＝65＋23m .(1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分钟)的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使所得分数最高.解 (1)设对卷Ⅱ用x 分钟，则对卷Ⅰ用120－x 分钟，所以y ＝P ＋Q ＝65＋23x ＋15(120－x )＋36＝－15x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100].(2)令t ＝x ∈[25，10]，则函数为关于t 的二次函数：y ＝－15t 2＋23t ＋125－15(t －53)2＋140. 所以当t ＝53， 即x ＝75时，y max ＝140.答：当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高. 19.已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根. (1)证明 由f (x )＝1得x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1， 即x 2＋(2t －1)x －2t ＝0.因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0， 所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根.(2)解 当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34－t >0，f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t <0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0，故方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根.20.根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f (t )与时间t 满足关系f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ＋11，0≤t ＜20，－t ＋41，20≤t ≤40(t ∈N )，销售量g (t )与时间t 满足关系g (t )＝－13t ＋433(0≤t ≤40，t ∈N ).求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值. 解 据题意，商品的价格随时间t 变化，且在不同的区间0≤t ＜20与20≤t ≤40上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论.设日销售额为F (t ). ①当0≤t ＜20，t ∈N 时，F (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋433＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2122＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4414＋946，故当t ＝10或11时，F (t )max ＝176.②当20≤t ≤40，t ∈N 时，F (t )＝(－t ＋41)(－13t ＋433)＝13(t －42)2－13，故当t＝20时，F(t)max＝161.综合①②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.。

基 础 过 关1.下列函数中，定义域为R 的函数是( ) A.y ＝x 34B.y ＝x －13 C.y ＝x 23D.y ＝x －3解析 y ＝x 34＝4x 3，定义域为[0，＋∞)；y ＝x －13＝13x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y ＝x 23＝3x 2，定义域为R ；y ＝x －3＝1x 3，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案 C2.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.(0，1] C.(0，＋∞)D.[1，＋∞)解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 12x ，x ≥1，log 12x ，0<x <1.当x ≥1时，t ＝log 12x 是减函数，f (x )＝－log 12x 是增函数，故f (x )的单调增区间为[1，＋∞). 答案 D3.已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图象是( )解析 函数y ＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，故f (x )＝2x ，于是f (1－x )＝21－x ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，此函数在R 上为减函数，其图象经过点(0，2)，只有选项C 中的图象符合要求. 答案 C4.已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________.解析 由已知得a ＝32log 23，b ＝log 232－12＝32log 23>32，c ＝log 32<1，故a ＝b >c .答案 a ＝b >c5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________.解析 当x ≥1时，log 12x ≤log 121＝0，∴当x ≥1时，f (x )≤0. 当x <1时，0<2x <21，即0<f (x )<2.因此函数f (x )的值域为(－∞，2). 答案 (－∞，2)6.已知1＜x ＜10，试比较(lg x )2，lg x 2，lg(lg x )的大小. 解 由1＜x ＜10知1＜x 2＜100，故0＜lg x ＜1， (lg x )2＞0，lg x 2＞0，lg(lg x )＜0. 又（lg x ）2lg x 2＝lg x2＜1， 所以(lg x )2＜lg x 2， 因此lg(lg x )＜(lg x )2＜lg x 2.7.已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0，3]时f (x )的值域. 解 因为m ∈{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }， 所以m ＝－1，0，1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数.当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m ＝1时，f (x )＝x 0条件(1)、(2)都不满足；当m ＝0时，f (x )＝x 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数. 所以x ∈[0，3]时，函数f (x )的值域为[0，27].8.已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在(]－ ∞，2上是减函数，∵0＜12＜1，∴y ＝log 12g (x )是减函数，又已知复合函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )＞0，x ∈(－∞，2)恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g （2）＝（2）2－2a ＋a ≥0， ∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)].能 力 提 升9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0log 12（－x ），x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，0)∪(0，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0，1)解析 由题意可得⎩⎨⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解之可得a >1或－1<a <0. 答案 C10.如图所示，函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析 当x ＞0时，f (x )＝log a x ＋1，其图象可以看作f (x )＝log a x 的图象向上平移一个单位而得到的，又因f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)是偶函数，所以x ＜0时的图象与x ＞0时的图象关于y 轴对称. 答案 A11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.解析 ∵函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，∴a 的取值需满足⎩⎨⎧a －2＞0，a ＞1，log a 1≥a －2－1，解得2＜a ≤3.答案 {a |2＜a ≤3}12.已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )(a ＞b ＞0)，则a ·b ＝________. 解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，∴(lg a )2＝(lg b )2，∴(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＝0， ∴lg a ·b ＝0或lg a ＝lg b . 又∵a ＞b ＞0，∴a ·b ＝1. 答案 113.已知函数f (x )＝ln (a x －b x )(a ＞1＞b ＞0). (1)求函数f (x )的定义域I ；(2)判断函数f (x )在定义域I 上的单调性，并说明理由； (3)当a ，b 满足什么关系时，f (x )在区间[1，＋∞)上恒取正值. 解 (1)∵f (x )＝ln(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)要有意义， ∴a x－b x＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1.又a ＞1＞b ＞0，∴ab ＞1，∴x ＞0，∴所求定义域I 为(0，＋∞). (2)f (x )在定义域上是单调递增函数. 证明：令0＜x 1＜x 2，∵a ＞1＞b ＞0， ∴a x 1＜a x 2，b x 1＞b x 2， ∴a x 1－b x 1＜a x 2－b x 2， ∴ln(a x 1－b x 1)＜ln(a x 2－b x 2)，∴f (x 1)＜f (x 2)，故原函数在定义域上是单调递增函数.(3)要使f (x )在区间[1，＋∞)上恒取正值，须f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值大于0.由(2)知f (x )min ＝f (1)＝ln(a －b ). ∵ln(a －b )＞0，∴a －b ＞1.故f (x )在区间[1，＋∞)上恒取正值时有a －b ＞1.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数，∵f (x )在区间[1，2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.。

基 础 过 关1.已知y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等的函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( ) A.[－3，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等的函数，故二者的定义域相同.又因为y ＝x ＋3＋1－x 的定义域为{x |－3≤x ≤1}，故选y ＝f (x )的定义域为[－3，1]. 答案 A2.若奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为( ) A.10B.－10C.－15D.15解析 由题意，f (x )在区间[3，6]上也为增函数，所以f (6)＝8，f (3)＝－1，故2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－15. 答案 C3.若对于任意实数x ，都有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，0]上是增函数，则( ) A.f (－2)<f (2) B.f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)D.f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32解析 根据题意可知，f (x )是偶函数.∵f (x )在区间(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f (2).答案 D4.函数f (x )满足：f (x ＋1)＝x (x ＋3)，x ∈R ，则f (x )的最小值为________.解析 由f (x ＋1)＝x (x ＋3)＝(x ＋1)2＋(x ＋1)－2得f (x )＝x 2＋x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－94，所以f (x )的最小值是－94.答案 －945.(2016·辽宁朝阳市重点中学期中)函数f (x )＝ax ＋1x ＋a在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.解析 f (x )＝ax ＋1x ＋a ＝a －a 2－1x －（－a ），若f (x )在(－2，＋∞)为增函数，则⎩⎨⎧a 2－1>0，－a ≤－2，解得a ≥2. 答案 [2，＋∞)6.已知函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝3. (1)求m ；(2)判断函数f (x )的奇偶性.解 (1)∵f (1)＝3，即1＋m ＝3，∴m ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x ，其定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝－x ＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )，所以此函数是奇函数.7.(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值；图① 图②(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，比较f (1)与f (3)的大小，并试作出y 轴右侧的图象.解 (1)奇函数y ＝f (x )在y 轴左侧图象上任一点P (－x ，－f (x ))关于原点的对称点为P ′(x ，f (x ))，下图为补充后的图象.易知f (3)＝－2.(2)偶函数y ＝f (x )在y 轴左侧图象上任一点P (－x ，f (x ))关于y 轴的对称点为P ′(x ，f (x ))，下图为补充后的图象.易知f (1)>f (3).8.设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围.解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， 可知f (x )在(0，＋∞)上递减. ∵2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.能 力 提 升9.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A.4B.3C.2D.1解析 由题意知：f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，① f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，② ①＋②得g (1)＝3. 答案 B10.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( ) A.f (6)>f (7) B.f (6)>f (9) C.f (7)>f (9)D.f (7)>f (10)解析 因为函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，其对称轴是y 轴，所以y ＝f (x )的对称轴是直线x ＝8.故f (7)＝f (9)>f (10). 答案 D11.已知f (x )是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域是________.解析 当x >0时，f (x )的值域是(2，3].根据奇函数的性质可得，f (x )的值域是[－3，－2)∪(2，3].答案[－3，－2)∪(2，3]12.若定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)都有f（x2）－f（x1）x2－x1<0，则f(1)，f(－2)，f(3)的大小关系是________.解析由f（x2）－f（x1）x2－x1<0可知，f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数，所以f(1)>f(2)>f(3).又因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，因此f(1)>f(－2)>f(3). 答案f(1)>f(－2)>f(3)13.已知函数f(x)＝x＋a1＋x2是R上的奇函数.(1)求a的值；(2)用定义证明该函数在[1，＋∞)上的单调性.(1)解因为f(x)＝x＋a1＋x2是R上的奇函数，所以f(0)＝0，解得a＝0，此时f(x)＝x1＋x2是奇函数.(2)证明设x1，x2是[1，＋∞)上的任意两个数，且1≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝（x2－x1）（x1x2－1）（1＋x21）（1＋x22），因为1≤x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2－1>0，1＋x21>0，1＋x22>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数.探究创新14.已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈(0，＋∞)，f(x)<0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2，6]上的最值.(1)证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称. ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x).令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)解设x1<x2，且x1，x2∈(0，＋∞). 则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1).∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x)在R上单调递减.∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴f(x)在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值是－3.。

基 础 过 关1.函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A.答案 A2.若函数f (x )＝(a －1)x 在R 上是指数函数，那么实数a 的取值范围是( )A.(0，1)∪(1，＋∞)B.(1，2)C.(1，2)∪(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析 由题意得a －1>0且a －1≠1，所以a >1且a ≠2.答案 C3.(2016·浙江求实高中期中)函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( )A.(0，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(0，2)解析 因为y ＝a x 的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x 的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x ＋1的图象，所以，函数y ＝a x ＋1的图象经过点(0，2). 答案 D4.函数y ＝4x ＋2的值域是________.解析 因为对于任意x ∈R ，都有4x >0，所以4x ＋2>2，即函数y ＝4x ＋2的值域是(2，＋∞).答案 (2，＋∞)5.已知函数y ＝(a －2)x 是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________.解析 由题知函数y ＝(a －2)x 是减函数，所以0<a －2<1，即2<a <3. 答案 (2，3)6.求函数y ＝32x －1－19的定义域.解 要使函数有意义，则32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2.∵函数y ＝3x 是增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝ax －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域.解 (1)∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， ∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥0. 由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0，2].8.若y ＝(a －3)(a －2)x 是指数函数，求函数f (x )＝a1x ＋2的定义域与值域. 解 因为y ＝(a －3)(a －2)x 是指数函数，所以⎩⎨⎧a －3＝1，a －2>0且a －2≠1，解得a ＝4. 所以f (x )＝41x ＋2由x ＋2≠0，知f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－2}.令t ＝1x ＋2，则t ≠0，所以4t >0且4t ≠1，故f (x )的值域为{y |y >0且y ≠1}. 能 力 提 升9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －12，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A.4 B.14 C.－4 D.－14解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝－2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14. 答案 B10.函数y ＝－e x 的图象( )A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 y ＝e x 的图象与y ＝－e x 的图象关于x 轴对称，y ＝－e x 的图象与y ＝e －x 的图象关于原点对称.答案 D11.(2016·浙江杭州西湖高中月考)已知集合A ＝{x |1≤2x <16}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________.解析 由1≤2x <16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，所以A ∩B ＝{0，1，2}.答案 {0，1，2}12.方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是______.解析 作出y ＝|2x －1|的图象(如图)，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.答案 {a |a ≥1或a ＝0}13.设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x . (1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象.(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3. f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π. f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的指数互为相反数时，它们的图象关于y 轴对称.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1. (1)作出f (x )的简图.(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求实数m 的取值范围.解(1)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示. (2)由(1)知，y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且－1<f (x )≤0.作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.。

单元检测卷（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷第一部分:听力(共两节，满分30分）第一节(共5个小题；每小题1。

5分,满分7。

5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置.听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题.每段对话仅读一遍.1．Where is Jack going to pay a visit?A．Paris. B．London. C．Sydney。

2．What does the woman think of the man’s words?A．Doubtful。

B．Surprised. C．Satisfied.3．At what time does the man want to watch the game？A．Tomorrow morning。

B．Tomorrow night.C．On Friday night。

4．Where will Mary go first?A．To the library。

B．To the teacher’s office。

C．To the teaching building。

5．How much did the woman pay for her plane ticket?A．＄150. B．$120。

C．＄100.第二节(共15个小题；每小题1。

5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6．How does Dave feel about the interview?A．Disappointed。

B．Nervous。

基 础 过 关1.若二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可能为( ) A.f (x )＝x 2－1 B.f (x )＝－(x －1)2＋1 C.f (x )＝(x －1)2＋1D.f (x )＝(x －1)2－1解析 设f (x )＝(x －1)2＋c ，由于点(0，0)在图象上，所以f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，所以c ＝－1，所以f (x )＝(x －1)2－1. 答案 D2.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))的值为( )A.3D.0解析 由函数y ＝g (x )的图象知，g (2)＝1，根据y ＝f (x )的对应表格知f (1)＝2，因此f (g (2))＝f (1)＝2. 答案 B3.若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝( )A.52B.25C.43D.34解析 令x ＝2，得2f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝92；令x ＝12，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (2)＝32.消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，得f (2)＝52. 答案 A4.某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是________，值域是________.解析 {1，2，3，4，5}，值域是{85，88，93，86，95}.答案 {1，2，3，4，5} {85，88，93，86，95}5.已知f (x )是一次函数，且其图象过点A (－2，0)，B (1，5)两点，则f (x )＝________. 解析 据题意设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，又图象过点A (－2，0)，B (1，5).所以⎩⎨⎧－2a ＋b ＝0，a ＋b ＝5，解得a ＝53，b ＝103.所以f (x )＝53x ＋103. 答案 53x ＋1036.判断右面的图象是否为函数？如果是，求出定义域、值域和解析式.解 是.观察图象知函数的定义域为[－1，2]，值域为[－1，1].当－1≤x ≤0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎩⎨⎧0＝－a ＋b ，1＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴f (x )＝x ＋1； 当0<x ≤2时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 则－1＝2k ，∴k ＝－12，∴f (x )＝－12x . 综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.7.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数y ＝f (x )的解析式.解 ∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，又f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .8.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架(如图所示)，若矩形底边AB 长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域.解 ∵AB ＝2x ，∴lCD ︵＝πx ，AD ＝l －2x －πx 2，∴y ＝2x ·l －2x －πx 2＋πx 22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 2＋lx .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，l －2x －πx 2>0，解得0<x <l π＋2，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x <l π＋2. 能 力 提 升9.如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°.直线l 与AB 相交.且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右侧的图形面积为y .点A 到直线l 的距离为x .则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 设等腰直角△ABC 的直角边长为a ，依题意，y ＝f (x )＝a 22－x 22，0≤x ≤a .所以y ＝f (x )的图象是开口向下的二次函数的一段. 答案 C10.已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )的解析式是( ) A.f (x )＝x ＋14 B.f (x )＝－2x ＋14 C.f (x )＝－x ＋14D.f (x )＝－x ＋12解析 因为f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，① 所以把①中的x 换成－x 得 f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1.② 由①②解得f (x )＝－x ＋14. 答案 C11.已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则函数f (x )的解析式为________.解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则由3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9得3[a (x ＋1)＋b ]－(ax＋b )＝2x ＋9，即2ax ＋3＋2b ＝2x ＋9，比较对应项系数得⎩⎨⎧2a ＝2，3＋2b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x ＋3. 答案 f (x )＝x ＋312.已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.将x ＝t －12代入f (2x ＋1)＝3x ＋2得f (t )＝3·t －12＋2＝32t ＋12.∴f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，∴32a ＋12＝4，∴a ＝73. 答案 7313.画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域.解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象，如图所示： (1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3).(2)由图象可以看出，当x 1<x 2<1时，函数的图象由左至右呈上升趋势. 函数f (x )的函数值随着x 的增大而增大， 所以f (x 1)<f (x 2).(3)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4].探 究 创 新14.设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y 有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式.解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1). 又f (0)＝1，所以f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

227、点(0, 0)到直线x+y —仁0的距离是A.C.1( )D. 22017年10月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题 (本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个备选项中只有 一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)A. — 2B. -*5、下列函数中，最小正周期为n 的是A. y=si nxB.y=cosxC. 2D.2( )C.y=ta nxD.y=sin "26、函数y=、・k;；1的定义域是1、已知集合 A= {1 , 2, 3} , B={1 , 3, 4}，贝U A U B=A.{1 , 3}B. {1 , 2, 3} 2、已知向量a =(4 , 3)，则|a |= A.3 B.4C. {1 , 3, 4}C.53、设T 为锐角, sin 于1，贝V cos 于3( ) D. {1 , 2, 3, 4}()D.7( )A. 3C.6D.2234、 l0g 2| =A.( — 1 , 2]B. [ — 1, 2]C.( — 1,2)D. [ — 1,2)『x _ v A O,8、设不等式所表示的平面区域为M ,则点（1, 0）, （3, 2）, （ — 1 , 1）中2x + y —4 cO,在M 内的个数为 （）A.0B.1C.2D.3A. a 内的所有直线与I 异面 C. 内存在唯一直线与I 平行B. 内只存在有限条直线与I 共面D . a 内存在无数条直线与I 相交11、图（1）是棱长为1的正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1截去三棱锥 A 1 — AB 1D 1后的几何体, 将其绕着棱DD 1逆时针旋转45°,得到如图（2）的几何体的正视图为 （ ）10、若直线I 不平行于平面 a,且IU a,则A.2x — y+2=0B.x+2y — 1=0C. 2x+y — 2=0D. 2x — y — 2=013、已知a , b 是实数，则 “|a|＜且|b|＜1是 吆+『＜1 ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件I ------■ 疔围是直线PA , PB 的斜率分别为k 1, k 2。