七年级数学寒假专题恒等式、恒等变形

第一章整式的运算(4)第一部分例题解析代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它是学好初中代数必备的基本功之一．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．“由繁到简”证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．例2 若abc=1，求证1111=++++++++ccacbbcbaaba评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。

例3 已知bc=ad，求证：ab(c2-d2)=(a2-b2)cd 利用比例的性质证明：∵bc=ad ∴a/b=c/d,(a+b)/b=(c+d)/d, (a-b)/b=(c-d)/d,c/d=c/d将此三式左、右两边分别相乘得∴ab(c2-d2)=(a2-b2)cd评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。

第二部分巩固练习1、计算（x2-3x+n）（x2+mx+8）的结果中不含x2和x3项，则m、n的值为（）BA、m=0，n=0B、m=3，n=1C、m=-3，n=8D、m=-3，n=-92、如果一个多项式与（2x-3）的积是4x2-12x+9，那么这个多项式是（）AA、2x-3B、4x2+9C、8x2-27D、2x+33、若 4a2-2ka+9是一个完全平方的展开形式，试求k的值：（）BA、12B、±6C、6D、±124、下列计算正确的有（）A①、（-4m2a）3=-64m6a3②、(2m2x3)2=4m2x6③、a m-n=a m-a n④、6a n+2÷3a n-1=2a ⑤、(-a3)2=-a6A、1个B、2个C、3个D、4个5、若a、b是有理数，且a 2001+b 2001=0，则ＣA、a=b=0B、a-b=0C、a+b=0D、ab=06、若abc满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是( )A提示：(a+b+c)2≥0,得ab+bc+ca最小值A、27B、18C、15D、127、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=200420012003200120022001x c x b x a ，则ca bc ab c b a ---++222的值是( )Ｄ A 、0 B 、1 C 、2 D 、38、如果11111=++=++z y x z y x ，则下列说法正确的是( ) Ａ提示：先用Z 表示x,y ，讨论中可得到(x-1)(y-1)=0A 、x 、y 、z 中至少有一个为1B 、x 、y 、z 都等于1C 、x 、y 、z 都不等于1D 、以上说法都不对 9、已知=+-=-+-+=-+-+=++-+q q q q b a c c b a a c b b a c c b a a c b 23 ,则( )Ｄ提示：q 3+q 2+q=A*B*C+A*B+A=1A 、1B 、1-qC 、1-q 3D 、1-2q 210、已知a+b+c=10，a 2+b 2+c 2=38，a 3+b 3+c 3=160，则abc 的值是( )BA 、24B 、30C 、36D 、42提示：先求ab+bc+ca,再利用a 3+b 3+c 3公式求abc,再(a 2+b 2+c 2)2,及a 2b 2+ b 2c 2+ c 2 a 2=( ab+ bc+ c a)2,最终可求a ４+b ４+c ４11、已知()()()=+≠--=-a c b a a c b a c b ，则且0 412 212、已知a-b=2，b-c= -3，c-d=5，则(a-c) (b-d) ÷ (a-d)= -1/213、已知abc ≠0，a+b+c=0，则211111b 1a +⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c a c b c 的值为 提示：乘进去，再分组-114、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011911311211 = 11/20 15、已知a 、b 、c 、d 均不为0，当a ≠b 且a d dc c b b a ===时，=-+++++ad c b d c b a 0 第三部分 提高练习１、求证：2(a-b) (a-c)+2(b-c) (b-a)+2(c-a) (c-b)= (b-c)2+(c-a)2+(a-b)2２、求证：(a 2+b 2+c 2) (m 2+n 2+k 2) – (am+bn+ck)2=(an-bm)2+(bk-cn)2+(cm-ak)2(拉格朗日恒等式)３、若14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c)2，求证：a ∶b ∶c=1∶2∶3４、已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3, 求证：a2001+b2001=c2001+d 2001提示：先用立方差公式得到a+b=c＋d=0,或ab=cd两种情况．第二种情况设ab=cd=m，代入a+b=c+d，分解因式．。

代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用例1 、 已知ab=1，求221111ba +++的值 [解] 把ab=1代入，得221111b a +++ =22b ab aba ab ab +++ =b a a b a b +++=1例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理练习：1111,1=++++++++=c ca cb bc b a ab a abc 证明：若二、配方法例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b +之值。

[解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2则有(ab-1)2+(a-b)2=0∴⎩⎨⎧==-.1,0ab b a解得⎩⎨⎧==;1,1b a ⎩⎨⎧-=-=.1,1b a当a=1，b=1时，b aa b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.例 2 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解 将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴ x=y=z,∴原式=1.练习：,0146422222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a三、因式分解法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ． 证 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0， 所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a ，b ，c ，d 都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以 a ＝b ，c=d ． 所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0， 所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值 [解] ∵|a|+|b|=|ab|+1∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0 (|a|-1)(|b|-1)=0 |a|=1 |b|=1 ∴a=±1或b=±1. 则当a=1，b=1时，a+b=2 当a=1，b=-1时，a+b=0 当a=-1，b=1时，a+b=0当a=-1，b=-1时，a+b=-2[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A ·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。

恒等式证明 知识定位代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．知识梳理知识梳理1：由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．知识梳理2：比较法比较法利用的是：若0，则（作差法）；或若1，则（作商法）。

a a b a ba b b-==== 这也是证明恒等式的重要思路之一。

知识梳理3：分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．知识梳理4：其他解题方法及技巧除了上述方法，设k 、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力．例题精讲【试题来源】【题目】已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．【答案】因为x+y+z=xyz ，所以左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2)=(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2y 2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．【解析】将左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化简成右边．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知1989x 2=1991y 2=1993z 2，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且1111x y z++=198919911993198919911993x y z ++=++ 【答案】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则又因为所以所以【解析】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k ，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】 【题目】求证：()()()()()()222a bcb ca abc a b a c b c b a c a c b ---+=++++++ 【答案】因为所以所以【解析】用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ，c 代b ，a 代c ，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0a b c ++= ，求证()()24442222a b ca b c ++=++ 。

初中数学知识归纳三角恒等变换初中数学知识归纳——三角恒等变换三角恒等变换是初中数学中的重要内容之一，它是解决三角函数相关题目的基础。

在数学学习中，了解并熟练掌握三角恒等变换对于提高解题效率、拓宽思维方式、加深对三角函数的理解都具有重要作用。

本文将对三角恒等变换进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用。

一、基本概念在开始具体介绍三角恒等变换之前，我们首先需要了解一些基本概念。

三角恒等变换是指通过等式变换的方式，将一个三角函数表达式转化为相等的另一个三角函数表达式。

在这个过程中，我们需要用到一些基本的三角函数关系，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。

二、常见恒等变换下面我们将重点介绍一些常见的三角恒等变换，对于初中数学学习而言，这些恒等变换是必须要熟练掌握的。

这些恒等变换可以帮助我们简化计算、拓宽解题思路、提高解题速度。

1. 余弦函数的恒等变换（1）余弦函数和正弦函数之间的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1（2）余弦函数的偶性：cos(-θ) = cosθ（3）余弦函数的倒数：1/cosθ = secθ2. 正弦函数的恒等变换（1）正弦函数和余弦函数之间的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1（2）正弦函数的奇性：sin(-θ) = -sinθ（3）正弦函数的倒数：1/sinθ = cscθ3. 正切函数的恒等变换（1）正切函数和余切函数之间的关系：tanθ = sinθ/cosθ（2）正切函数的奇性：tan(-θ) = -tanθ（3）正切函数的倒数：1/ta nθ = cotθ4. 其他特殊变换（1）和差角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB（2）倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)三、应用举例为了更好地理解和应用三角恒等变换，我们可以通过一些具体的例子来加深印象。

初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、 整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a±b)2=a 2±2ab+b 2③ (a+b) (a 2-ab+b 2)=a 3+b 3④ (a-b) (a 2+ab+b 2)=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3+b 3+c 3-3abc⑦ (a±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、 整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、 余数定理多项式()x f 除以 (x-a) 所得的余数等于()a f 。

特别地()a f =0时，多项式()x f 能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解 因1+2+3+…+1998=()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数， 又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n 、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。

常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是高等数学中非常重要的概念，它是解决各种数学问题的基础。

在学习恒等变形公式时，我们需要掌握一些基本的知识，并学会如何灵活运用公式。

本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、三角函数的基本关系式1. 正弦函数和余弦函数的和差公式sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin bcos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b其中，a、b为任意实数。

2. 正切函数和余切函数的和差公式tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 tan a tan b)cot(a ± b) = (cot a cot b 1) / (cot b ± cot a) 其中，a、b为任意实数，且tan a tan b ≠±1，cot a cot b ≠±1。

3. 二倍角公式sin2a = 2sin a cos acos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1 - 2sin2 atan2a = (2tan a) / (1 - tan2 a)其中，a为任意实数，且tan a ≠±1。

4. 半角公式sin(a / 2) = ±√[(1 - cos a) / 2]cos(a / 2) = ±√[(1 + cos a) / 2]tan(a / 2) = ±√[(1 - cos a) / (1 + cos a)] 其中，a为任意实数，且cos a ≠±1。

二、指数函数和对数函数的基本关系式5. 指数函数的恒等变形公式a^m × a^n = a^(m+n)(a^m)^n = a^(mn)(a × b)^n = a^n × b^n其中，a、b为正实数，m、n为任意实数。

常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。

在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。

本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。

1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。

2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。

3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。

4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。

这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。

5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。

这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。

6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。

这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。

7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。

这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。

8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。

这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。

9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。

这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。

10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。

第5讲 爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1 求证 ：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n对同底数幂进行合并整理，解 方法一：左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n)235(1011-+-+=n n n=右边，方法二：左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+故 左边=右边．方法一中受右边”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、+与12-n 为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手 1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+.13222.3222=++-+++题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(21321+=++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题： ？=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：);210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =（只写出结果，不必写出中间的过程） 分析此题可得到如下信息：⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(31101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([31)1()2()];1 解 321(3110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;34340010210110031)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知).2)(1(31)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(41321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ …… )]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n).3)(2)(1(41+++=n n n n 在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 321211 11321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+= 读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数xk y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,41 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,2015141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N).)(2008322009a a a a +++试比较M 与N 的大小．题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α 本题可设,)(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解． 解 设,)(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+故 )(2),()(3),(6)(6a c c b c b b a k b a +-=+-=+α).(6a c k -=以上三式相加，得=+++++)(2)(3)(6a c c b b a ).(6a c c b a k -+--即 .0598=++c b a本题运用了连比等式设参数k 的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读 一题，练1题，决出能力高下3-1．已知,26223823122523=-++-=-+++=---+a c a c c b c b bk a b a 则=++--++734232c b a c b a题4 证明 333)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+).2)(2()2(3z y x x z x z y -+-+⋅-+=γ本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解 令①,2a x z y =-+②,2b y x z =-+③,2c z y x =-+ 则原待证恒等式转化为.3333abc c b a =++联想到公式 --++++=-++ab c b a c b a abc c b a 222333)((3).ca bc - 由①+②+③，得 )2()2()2(z y x y x z x z y c b a -++-++⋅-+=++.0=故,03333=-++abc c b a即.3333abc c b a =++原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l 的各项幂表示.13.223-+-x x x4-2．已知z y x z y x ,0,0,200920072005222>>==0>且.1111=++zy x 求证：20072005200920072005+=++z y x .2009+ 4-3．解方程：,23322332⋅---=---x x x x 题5 设x,y,z 互为不相等的非零实数，且x z z y y x 111+=+=+求证： 1222=z y x由于结论为”“1222=z y x 的形式，可以从题设 式中导出x ，y ，z 乘积的形式xy ，yz ，zx 解 由,11xy y x +=+变形可得 ⋅-=-=-yzz y y z y x 11 则①⋅--=y x z y yz 同理可得②,zy x z zx --= ③xz y x xy --= 由①×②×③，得.1222=z y x本题中x ，y ，z 具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x ，y 为互不相等的非零实数，且,11x y y x +=+易推出,11y x y x -=-故有,1-=--=y x x y xy 所以,122=y x 三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x ，y ，z 满足x z z y y x 1,11,41+=+=+ ,37=则xyz= 5-2．已知),35(21),35(21-=+=y x 求226y xy x ++的值． 5-3．已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且=+=+c b b a 11,11x a d d c =+=+试求x 的值， 题6 已知 za a x y a z x a a y 222,,-==-=求证： 由待证式z a a x 2-=知要从题设条件中消去y ．解 由已知，得.,22z a y a x a a y -=-=两式相乘，得),)((22z a x a a a -⋅⋅-= 即⋅+--=x z a az x a a a 2322 所以 ⋅-=x a xaz z 2故 ⋅-=z a a x 2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由-=-=a z x a a y ,2,,2y a 到,,,2z a a x -=发现要消去y 这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知,1=ab 求11+++b b a a 的值． 6-2．设⋅+-=+-=+-=,,,a c a c r c b c b q b a b a P 其中a c c b b a +++,,不为零．求证： ).1()1)(1()1)(1)(1(r q P r q P -⋅--=+++6-3．已知a ，b ，c ，d 满足3,0,,a d c b a d c b a =/+=+≤≤.333d c b ⋅+=+ 求证：.,d b c a ==参考答案与提示。