概率ch3-3

同理可得
E min( X , Y ) 11 23 339 2 , E min( X , Y ) , D min( X , Y ) . 20 20 400


例 2 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴, y 轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求E(X)， x y 1 0 E(-3X+2Y)，E(XY)。 y 2, ( x , y ) A 解 f ( x, y) 0 0, 其它； 0 0 1 EX xf ( x , y )dxdy dx x 2dy . 3 1 1 x
数学期望的性质 性质1 设 C 是常数, 则有 E (C ) C . 性质2 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有

E (CX ) CE ( X ).
性质3 设 X 是一个随机变量,a,b常数, 则有
E aX b aE X b .
性质4 E ( ai X i ) ai EX i
i 1 i 1
n
n
性质5 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有 E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) 0.
(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 D(CX ) C 2 D( X ). (3) a,b是常数, 则有 D aX b a 2 D X ; 设 X, Y 是相互独立 E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
j j i
i
i
j
（2）
对连续型，设联合密度函数为 f ( x, y ).
2
D X ( x E X ) f X ( x)dx



( x E X )2 f ( x, y)dydx,
D Y





( y E Y )2 f ( x, y)dxdy.

2

5 2 13 23 2 , 20 20 20 20 5 2 13 59 ( 1) 2 22 , 20 20 20 20
D max( X , Y ) E max( X , Y ) E 2 max( X , Y )
2


59 23 2 651 ( ) . 20 20 400
11 E Y ,E Y 20
2
41 699 20 ,D Y 400 .
（2）关于 （X ，Y ）的联合分布律为
E X Y (3)
E X Y

2

6 2 6 3 3 1 (2) 0 1 3 , 20 20 20 20 20 2 6 2 6 3 3 23 9 4 0 1 9 , 20 20 20 20 20 5
（1）对离散型，设联合分布律为 P{ X xi , Y y j } pij .
D X ( xi E X ) 2 pi ( xi E X ) 2 pij ,
D Y ( y j E Y ) 2 p j ( y j E Y ) 2 pij .
§3.3 二维随机变量的期望与方差
一 二维随便变量的期望与方差
因为从二维随机变量(X,Y)的概率分布可确定X和Y的概率分布， 所以从(X,Y)的联合分布可求出X和Y的数学期望E(X)和E(Y). （1）若离散型分布律为 pij , 则
E X xi P{ X xi } xi pij xi pi
性质2 设(X,Y)是二维随机变量，且X和Y相互独立，若
g ( X , Y ) ( X )h(Y ), E ( X ) , E h(Y ) 存在，则
E g ( X , Y ) E ( X ) E h(Y ) .
由二维随机变量(X,Y)的概率分布可求得X和Y的方差.
x
E (3 X 4Y )

E( XY )


1 xyf ( x , y )dxdy 1dx1 xx 2 ydy 12 .

1 dx 2( 3 x 2 y )dy . 3 1 x 1 0 0
0 0
(3 x 4 y ) f ( x , y )dxdy

则 E (Z )
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
性质1 设(X,Y)是二维随机变量，且X和Y相互独立，若E(X)， E(Y)存在，则
E XY E X E Y .
性质1可推广到有限个随机变量的情形，对于n个相互独立的 随机变量，有
n n E X i E X i . i 1 i 1
D( X Y ) D(X ) D(Y ).
作业 P97
3；4
87 ( X Y ) 2 E 2 X Y . D X Y E 20
（3）X Y 的分布律为
1 71 279 E XY , E ( XY )2 , D XY . 4 20 80
（4）
E max( X , Y ) ( 1) E max( X , Y )


xf ( x, y)dydx

yf ( x, y)dxdy
函数的期望有如下推广：若(X, Y)是二维随机变量， g ( x , y) 是二元连续函数， Z g( X , Y ) (1) 若 ( X, Y ) 的分布律为
且
i , j 1
g( x , y
E Y y j P{Y y j } y j pij y j p j
j j i j
i
i
j
i
（2）若连续型密度函数为 f ( x, y), 则
E X xf X ( x)dx

EY yfY


( y)dx
(3) E XY , D XY ;
(4) E max( X , Y ) , D max( X ,Y ) , E min( X ,Y ) , D min( X ,Y ) .
解 （1）关于 X 和Y 的边缘分布律分别为
3 7 1 2 , 20 20 20 3 7 41 2 2 2 E X (1) 2 , 20 20 20 719 2 2 D X E X E X . 400 同理可得 E X (1)
i


P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1,2,
j
) p ij 绝对收敛， E ( Z ) 则
i , j 1
g(x , y ) p
i j

ij
(2) 若(X ,Y)的概率密度为 f ( x , y ) ，且

g( x , y ) f (x , y)dxdy 绝对收敛，
另外 D X E X 2 E 2 X , D Y E Y 2 E 2 Y .


例1 设 ( X , Y ) 的联合分布律为
求 (1) E X , D X , E Y , D Y ;
(2) E X Y , D X Y ;