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第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，3{|log (2)1}B x x =-≤，则()R AC B =（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x x <-≥或C ．{|2}x x ≥D ．{|12}x x x ≤->或 2。
已知复数2i z i-=（其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ）A ．12i -B ．12i +C ．12i --D ．12i -+ 3。
4(12)x -展开式中第3项的二项式系数为（ ）A ．6B ．-6C ．24D ．—244。
执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（ ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．85。
一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm )分布茎叶图如图,测得平均身高为177cm ，有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x ，那么x 的值为（ )A ．5B ．6C ．7D ．8 6.命题“0x ∀>,01xx >-”的否定是（） A ．0,01xx x ∃<≤- B ．0,01x x ∃>≤≤ C ．0,01xx x ∀>≤- D ．0,01x x ∀<≤≤7。
7sin sin sin sin 412412ππππ+=( ）A ．0B ．12C ．3D ．18。
若定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且函数(4)y f x =+为偶函数,则（ ）A ．(2)(3)f f >B ．(2)(5)f f >C ．(3)(5)f f >D ．(3)(6)f f >9.已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为8π,则h =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．210.若圆22(3)(1)3x y +-=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率为（ ） A ．33B ．72C ．2D 711。
NCS20170607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案 C C D D C B B DB A D A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．120; 14. 32; 15. (32)π+; 16.3102三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得1235a a a a ++=，------- 2分即253a a =，所以3(1)14d d +=+，解得2d =．------------ 4分 ∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-．------------ 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)n n n b n n n --=-⋅-+=-⋅-.------------ 7分∴ 22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1n n T n -⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⋅⨯-⎣⎦22222241234(21)(2)n n ⎡⎤=-+-++--⎣⎦------------ 9分22(21)4(1234212)4842n n n n n n +=-+++++-+=-⨯=--．------ 12分 18.【解析】（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）．------------ 4分 （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，------------ 6分则：3464(0)()5125P X ===，1231424(10000)()105125P X C ==⨯⨯=221233141410827(20000)()()()()105105500125P X C C ==⨯⨯+⨯⨯==31132111449(30000)()10101051000P X C C ==+⨯⨯⨯⨯=222233111427(40000)()()10101051000P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=223113(50000)()10101000P X C ==⨯⨯=311(60000)()101000P X ===．∴ X 的分布列为X0 10000 20000 30000 40000 50000 60000P64125 24125 27125 491000 271000 31000 11000 ------------ 10分64482749273101000020000300004000050000600001252501251000100010001000EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯9000=（元）．------------ 12分 19.【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ， 如图所示：有1,3,23AE DE BD ===∴在ABD ∆中，有222AB AD BD =+，即AD BD ⊥又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .---5分 （Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件2AD DC BC ===，则1AE DE ==，3PE =，23BD =． 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,23,0)B ，(1,0,3)P ．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示： 则在Rt CDF ∆中，有3CF =，1DF =，∴(1,3,0)C -．------- 7分 （另解:可不做辅助线，利用2AB DC =求点C 坐标）∴(1,3,0)CD =-，(1,0,3)PD =--，设平面PDC 的法向量1111(,,)n x y z = 则1111113030n CD x y n PD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取13x =，则11y =，11z =-， ∴面PDC 的法向量1(3,1,1)n =-．------- 9分同理有(0,0,3)PE =-，(1,23,3)PB =--，设平面PBE 的法向量2222(,,)n x y z = 则222222302330n PE z n PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ， 取21y =，则223x =，20z =，∴面PBE 的法向量2(23,1,0)n =．--10分 设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，∴123231765cos cos ,65311121n n θ⨯+=<>==++⨯+． 即平面PEB 与平面PDC 所成二面角的余弦值为76565．------- 12分 20.【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：42a c -+=，即42a c =- ①又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c = ②联立方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-=所以椭圆C 的方程为22143y x +=．------- 5分 （Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上．假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为34430x y +-=，此时点N 833(,)55，则联立直线1:32230A M l x y -+=和直线2:332630A N l x y +-=可得点33(1,)2G 据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明： ------- 7分设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22(4143)x y k x y +-==⎧⎪⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ （*）------- 9分因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N yl y x x =--，联立两直线方程得1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证：1212322y y x x -=+-， 即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+，即证1212410()160x x x x -++= ------- 11分将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++ 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上．------- 12分 方法二：设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，因为,,B M N 三点共线，所以221222121222221212123(1)3(1)4444(4)(4)(4)(4)x x y y y y x x x x x x --=⇒=⇒=------， 整理得：121225()80x x x x -++= ------- 8分 又1,,A M G 三点共线，有：313122y yx x =++ ①又2,,A N G 三点共线，有：323222y yx x =-- ② 将①与②两式相除得：222221233212121222231231212123(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x y x x x x y x x x -+++++++=⇒===-------- 即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++，------- 10分 将121225()80x x x x -++=即12125()402x x x x =+-=代入得：2332()92x x +=- 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．------- 12分 方法三：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y .由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>.------- 7分设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+，2212121221214||()4,34k x x x x x x k --=+-=+由1,,A M G 三点共线，有：313122y yx x =++ ①由2,,A N G 三点共线，有：323222y y x x =-- ②①与②两式相除得：32121121212312121212122(2)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83x y x k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x ++-+-++--====------++-+------- 10分 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．------- 12分 21.【解析】（Ⅰ）'()2(24)2(2)(22)2(2)x x x f x e x e a x x e a x =+-++=-++，依题意：当0x >时，函数'()0f x ≥恒成立，即(22)22xx e a x -≥-+恒成立，记(22)()2xx e g x x -=+，则22(2)(22)'()(2)x x xe x x e g x x +--==+22(222)0(2)x x x e x ++>+，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=-，所以21a -≤-，即12a ≥；--- 6分 （Ⅱ）因为['()]'220x f x xe a =+>，所以'()y f x =是(0,)+∞上的增函数，又'(0)420f a =-<，'(1)60f a => ，所以存在(0,1)t ∈使得'()0f t = 且当0a →时1t →，当12a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)．------- 8分 又当(0,)x t ∈，'()0f x <，当(,)x t ∈+∞时，'()0f x >， 所以当x t =时，2min()()(24)(2)tf x f t t e a t ==-++．且有(1)'()02tt e f t a t -=⇒=-+ ∴2min ()()(24)(1)(2)(2)t t t f x f t t e t t e e t t ==---+=-+-．------- 10分记2()(2)t h t e t t =-+-，则22'()(2)(21)1)t t th t e t t e t e t t =-+-+-+=--（-0<，所以(1)()(0)h h t h <<，即最小值的取值范围是(2,2)e --．------- 12分 22.【解析】（Ⅰ）曲线1C 参数方程为212x a t y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，------- 2分由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.------- 5分（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t ，联解24212y xx a t y t ==+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得2222140t t a -+-=要有两个不同的交点，则2(22)42(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有12122142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ------- 7分 ∴当122t t =时，有21222123211036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意．------- 8分 当122t t =-时，有212221221442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=-=-⋅=-=⎩，符合题意．------- 9分 综上所述，实数a 的值为136a =或94．------- 10分 23.【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112ax x -+-≤． 而由绝对值的几何意义知||1|1|22aa x x -+-≥-，------- 2分 由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a-≤，即04a ≤≤． ∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a< ∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩------- 7分如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a+∞单调递增，∴min ()()1322a af x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．------- 10分。
江西省南昌市2017-2018学年高三下学期第一次模拟考试理数试题 第I 卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i ，则z 1z 2=(A) -2 (B)2 (C)1一i (D)1+i 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得i z +=11，i z -=12，则2)1)(1(21=-+=i i z z ；故选B ． 考点：1.复数的几何意义；2.复数的乘法运算．(2)已知集合），B= {x| y=ln （1-x ）}，则A U B= (A) (B) (D) (一∞,1) 【答案】C 【解析】试题分析：]1,0[}0)1(|{}|{2=≥-=-==x x x x x y x A ，)1,(}01|{)}1ln(|{-∞=>-=-==x x x y x B ，]1,(-∞=∴B A ；故选C ．考点：1.函数的定义域；2.集合的运算．(3)已知p ：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；q ：函数y=x 3+sinx 的图像关于原点 中心对称，则下列是真的是(A)p ∧q (B) p ∨ q (C)(⌝p) ∧( ⌝q) (D)p ∨(⌝q) 【答案】B 【解析】试题分析：)(|cos ||cos ||)cos(|)(x f x x x x f ==-=+=+ππ ，|cos |)(x x f =的最小正周期为π，故p 为假，p ⌝为真，令x x y x g sin )(3+==，则)sin()()(3x x x g -+-=-)()sin (3x g x x -=+-=，即x x y sin 3+=的图象关于原点中心对称，故q 为真；由真值表， 得q p ∨为真；故选B ．考点：1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.复合的真假判定．(4)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =150，由最小二乘法求得回归直线方程为y $= 0.67x+ 54.9，则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为 (A)75 (B)155.4 (C)375 (D)466.2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得30)(5154321=++++=x x x x x x ，且回归直线9.5467.0+=∧x y 恒过点),(y x ，则759.543067.0=+⨯=y ，375554321==++++x y y y y y ；故选C ． 考点：回归直线．(5)(x 2一x+1)3展开式中x 项的系数为(A) -3 (B) -1 (C)1 (D)3 【答案】A 【解析】试题分析：3232]1)[()1(+-=+-x x x x 的展开式的通项为k kk x x C T -+-=3231)(，令13=-k ，则x x x x C T 33)(22232-=-=，即32)1(+-x x 展开式中x 项的系数为3-；故选A ． 考点：二项式定理．(6)从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图， 则输出的x 不小于40的概率为 (A)34 (B)58 (C)78 (D)12【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，得输出的结果为1)13(3++x ，令401)13(3≥++x ，即4049≥+x ，解得4≥x ，即x 的值可能为4,5,6,7,8，所以输出的x 不小于40的概率为85=P ；故选B ． 考点：1.程序框图；2.古典概型．(7)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为 (A)32 (B)94（C)1 (D)2 【答案】D 【解析】试题分析：设等比数列的首项为1a ，公比为q ，因为前4项的和为9，积为814，所以91)1(41=--qq a ，且48164132141==++q a q a ，即29321=q a ，则211)1(11)11(1111132141414321=⋅--=--=+++q a q q a qq a a a a a ；故选D ．考点：等比数列的前n 项和．(8)甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l 门不相同的选法共有(A)30种 (B)36种 (C)60种 (D)72种 【答案】A 【解析】试题分析：因为甲、乙两人从4门课程中各选修两门，有2424C C 种选法，其中甲乙所选的课程完全相同的选法有24C ，所以甲乙所选的课程中至少有l 门不相同的选法共有30242424=-C C C ；故选A ．考点：组合应用题．(9)已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交 点，若FP=3FQ ，则|QF|= (A)83 (B)52(C)3 (D)2 【答案】A 【解析】试题分析：过Q 点作l QM ⊥，由抛物线定义知QF MQ =，由三角形相似得3:2::==PF PQ KF MQ ，所以3843232=⨯==KF MQ ；故选A ．考点：1. 抛物线的定义；2相似三角形.(10)如图网格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得该几何体是由两个三棱锥组合而成（如图所示），其中⊥AD 面ABC ，⊥CE 面ABC ,BCAC ⊥,4,2====CE AD BC AC ，则4)4221(312)2221(3121=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=V V V ；故选D ．考点：1.三视图；2.棱锥的体积．(11)已知点P 在直线x+3y-2=0上，点Q 在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M(x 0，y 0)，且y 0<x 0 +2，则y x 的取值范围是 (A)，使得对任意的a ∈(-2，0]，不等式2me a+f(x 0）> a 2+2a+4（其中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）略；(Ⅱ)2(1,]e ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，讨论参数的取值确定导函数的正负，进而判定函数的单调性；(Ⅱ)先借助（Ⅰ）的结论求出不等式左边的最小值，即将存在性问题转化为左边的最小值大于不等式右边，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．试题解析：（I ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+ （i ）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （ii）当0a <≤24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（iii）当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得()22a a x +∈，所以函数()f x在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增．------------------（6分）（II ）由（I ）知当(2,0]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(2,0]a ∈-， 都存在0(0,1]x ∈，使得不等式202(1)()24a me a f x a a ++>++成立，等价于对任意的(2,0]a ∈-，不等式20max 2(1)()24a me a f x a a ++>++都成立， 即对任意的(2,0]a ∈-，不等式22(1)420ame a a a +--->都成立，记2()2(1)42a h a me a a a =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，2'()2(1)2242(2)(1)a a a h a me a me a a a me =++--=+-，由'()0h a =得2a =-或ln a m =-,因为(2,0]a ∈-，所以2(2)0a +>， ①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <，(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，所以min ()(ln )ln (2ln )0h a h m m m =-=⋅->，所以(2,0]a ∈-时，()0h a >恒成立；②当2m e =时，2'()2(2)(1)a h a a e +=+-，因为(2,0]a ∈-，所以'()0h a >， 此时()h a 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=， 所以(2,0]a ∈-时，()(2)0h a h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->， 所以存在0(2,0)a ∈-使得'()0h a =，因此()0h a >不恒成立． 综上，m 的取值范围是2(1,]e ． ------------------（12分）另解（II ）由（Ⅰ）知，当(2,0]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-， 对任意的(2,0]a ∈-，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式202(1)()24a me a f x a a ++>++成立，等价于对任意的(2,0]a ∈-，不等式20max 2(1)()24a me a f x a a ++>++都成立，即对任意的(2,0]a ∈-，不等式22(1)420ame a a a +--->都成立， 记2()2(1)42ah a me a a a =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，且222(2)04820mh m e e-≥⇒--+-≥⇒≤ ∴对任意的(2,0]a ∈-，不等式22(1)420ame a a a +--->都成立的必要条件为2(1,]m e ∈ 又2'()2(1)2242(2)(1)aaah a me a me a a a me =++--=+-，由'()0h a =得2a =-或ln a m =- 因为(2,0]a ∈-，所以2(2)0a +>，① 当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <，(ln ,0)a m ∈- 时，'()0h a >，所以min ()(ln )ln (2ln )0h a h m m m =-=⋅->，所以(2,0]a ∈-时，()0h a >恒成立；②当2m e =时，2'()2(2)(1)a h a a e +=+-，因为(2,0]a ∈-，所以'()0h a >， 此时()h a 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=， 所以(2,0]a ∈-时，()(2)0h a h >-=成立．综上，m 的取值范围是2(1,]e ． ------------------（12分） 考点：1.函数的单调性；2.导数的综合应用．请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． (22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图， 圆M 与圆N 交于A ， B 两点， 以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C 、D 两点，延长DB 交圆M 于点E ， 延长CB 交圆N 于点F ．已知BC=5， DB=10. (I)求AB 的长； （II ）求CFDE。
2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1） D．（1，+∞）2．（5分）若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．（5分）已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．（5分）若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．（5分）已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．（5分）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．3211．（5分）抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B． C． D．12．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．14．（5分）已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．（5分）已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n．18．（12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（﹣∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选：C．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数函数的定义域，属于基础题．2．（5分）若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．4．（5分）设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．【点评】本题考查了回归分析与线性回归方程的应用问题，是基础题目．5．（5分）若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查方程思想，比较基础．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．7．（5分）已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．8．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选：D．【点评】本题考查点到直线距离公式的运用，考查垂径定理、余弦定理的运用，属于中档题．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．（5分）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选：A．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥是关键．11．（5分）抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B． C． D．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．12．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．即可得出结论．【解答】解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查数形结合的数学思想，难度大．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为120．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积与投影的计算问题，是基础题目．15．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．【解答】解：由图中数据可得：，S=π×2×圆柱侧1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是圆柱与圆锥的体积及余弦定理，关键是：（1）熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式是关键，（2）将空间问题转化为平面问题是解答立体几何常用的技巧．16．（5分）已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由（I）化简b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，利用并项求和法和等差数列的前n项和公式求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）即3a2=a5，则3（1+d）=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以=4[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）=﹣4（1+2+3+4+…+2n﹣1+2n）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式，以及并项求和法求数列的和，考查化简、变形能力．18．（12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．【分析】（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由题可知，4级污染以下的概率P=1﹣0.002×100=．X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）则：，，，，，，．∴X的分布列为X0100002000030000400005000060000P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解：（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D 平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，则AE=DE=1，，．则D（0，0，0），E（1，0，0），，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（另解：可不作辅助线，利用求点C坐标）∴，，设平面PDC的法向量则，取，则y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）同理有，，设平面PBE的法向量则，取y2=1，则，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣（10分）设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点是否在定直线上的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理、三点共线等知识点的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2e x+（2x﹣4）e x+2a（x+2）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），依题意：当x＞0时，函数f'（x）≥0恒成立，即恒成立，记，则=，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，又f'（0）=4a﹣2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又当x∈（0，t），f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x=t时，．且有由（Ⅰ）知，在（0，+∞）上单调递减，又，g（1）=0，且，故t∈（0，1），∴，t∈（0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）记h（t）=e t（﹣t2+t﹣2），则h'（t）=e t（﹣t2+t﹣2）+e t（﹣2t+1）=e t（﹣t2﹣t ﹣1）＜0，所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查绝对值的几何意义，考查函数的单调性与最小值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．。
绝密★启用前2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B={y|y=√x+1}，那么A∩(C U B)=（）A. ϕB. (0,1]C. (0,1)D. (1,+∞)2．若复数z=21+i3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A. -1B. −iC. 1D. i3．已知α,β均为第一象限的角，那么α>β是sinα>sinβ的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)（i=1,2,3,…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为y^=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是（）A. y与x具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点(x̅,y̅)C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg.5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A. −√33B. √33C. −13D. 136．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A. log210−1B. 2log23−1C. 92D. 67．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,0<φ<π2）的周期为π，若f(α)=1，则f(α+3π2)=（）A. -2B. -1C. 1D. 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则cos∠AOB=（）A. √510B. −√510C. 910D. −9109．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱.A. 28B. 32C. 56D. 7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. 323B. 643C. 16D. 3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，x1+x2+ 4=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为（）A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π312．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)=lnx−x+1，若函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A. (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18) B. (ln2−16,ln2−18)C. (1−ln28,1−ln26) D. (1−ln28,ln2−16)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在多项式(1+2x)6(1+y)5的展开式中，xy3项的系数为__________．，a=2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ，则a在e1⃗⃗⃗ 上的投影是__________．14．已知单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为π315．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD//BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x,y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为__________．三、解答题17．已知等差数列{a n的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n.18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用X元，求X的分布列及数学期望.19．如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD=DC=BC=2，AB=4，ΔPAD为正三角形.（1）求证：BD⊥平面PAD；（2）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值.20．已知椭圆C:x2a +y2b=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1,A2，左、右焦点分别为F1,F2，离心率为12，点B(4,0)，F2为线段A1B的中点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M,N两点，已知直线A1M与A2M相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21．已知函数f(x)=(2x−4)e x+a(x+2)2（x>0,a∈R,e是自然对数的底数）. （1）若f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当a ∈(0,12)时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)最小值的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a,1)，其参数方程为{x =a +√2ty =1+√2t（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ−ρ=0.（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 1与曲线C 2交于A,B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x −a|+|x −1|，a ∈R（1）若不等式f(x)≤2−|x −1|有解，求实数a 的取值范围； （2）当a <2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a 的值.参考答案1．C 【解析】A ={x|y =lgx}=(0,+∞)，B ={y|y =√x +1}=[1,+∞)，所以C U B =(−∞,1),A ∩(C U B)=(0,1)，选C. 2．C 【解析】z =21+i3=21−i=1+i ，故复数z 的虚部是1，选C3．D【解析】试题分析：因为α,β角的终边均在第一象限，所以当α=π3+2π,β=π3时，满足α>β，但sinα=sinβ，则sinα>sinβ不成立；若当α=π6,β=π3时，满足sinα>sinβ，当α>β不成立，所以“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：充要条件的判定． 4．D【解析】由回归直线方程定义知：因为斜率大于零，所以y 与x 具有正线性相关关系；回归直线过样本的中心点(x̅,y ̅)；身高增加每增加1cm ，则其体重约增加k =0.85kg ;身高为160cm ，则可估计其体重约为0.85×160−85.71=50.29kg ，但不可断定.选D. 5．C【解析】x 2+my 2=1⇒x 2−y 21−m=1,所以√1+(1−m)1=2⇒m =−13，选C.6．B【解析】第一次循环，S =3+log 2√2,i =2；第二次循环，S =3+log 2√2+log 2√32,i =3；以此类推得第七次循环，S =3+log 2√2+log 2√32+⋯+log 2√87=3+log 2√8=92,i =8；结束循环输出log 292=2log 23−1，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．B【解析】由题意得π=2πω⇒ω=2，Asin(2α+φ)=1,所以f(α+3π2)=Asin(2α+3π+φ)=−Asin(2α+φ)=-1，选B. 8．D【解析】圆心O 到直线y =2x +1距离√5所以cos∠AOB 2=1√52=2√5cos∠AOB =2×(2√5)2−1=−910.选D.9．B【解析】设甲乙丙各有x,y,z 钱，则有x +y2+z2=90,x2+y +z2=70,x2+y2+z =56,解得x =72,y=32,z=4，选B.10．A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是13×4×12×42=323，选A.11．D【解析】由抛物线定义得AF=x1+2,BF=x2+2,所以由x1+x2+4=2√33|AB|得AF+BF=2√33|AB|,因此cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=14|AF|2+14|BF|2−32|AF|⋅|BF|2|AF|⋅|BF|≥1 4×2|AF|⋅|BF|−32|AF|⋅|BF|2|AF|⋅|BF|=−12所以0<∠AFB≤2π3，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|=x0+p2；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12．A【解析】f(2−x)=f(x)=f(−x)⇒T=2,当x∈[1,2]时，f′(x)=1x−1≤0,作出y=f(x)图形，由图可知直线y=−mx过点A(−6,ln2−1)时有六个交点，过点B(−8,ln2−1)时有八个交点，过点C(6,ln2−1)时有六个交点，过点D(8,ln2−1)时有八个交点，因此要使函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，需m∈(1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)，选A.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 13．120;【解析】由题意得xy3项的系数为C61×2×C53=120.14．32;【解析】a在e1⃗⃗⃗ 上的投影是a⃗ ⋅e1⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ |=（(2e1⃗⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗⃗ )⋅e1⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ |=2−1×1×cosπ3=32.15．(3+√2)π;【解析】几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，表面积为πrl+2πrℎ+πr2=π×1×√2+ 2π×1×1+π×1=√2π+3π点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．16．3√102【解析】设这五个数为x,x+d,x+2d,x+3d,x+4d=y，则x2+(x+4d)2=4，令x=2cosθ,x+4d=2sinθ，则d=sinθ−cosθ2，因此后三项和等于3(x+3d)=32(cosθ+3sinθ)≤32√10.17．（Ⅰ）a n=2n−1（Ⅱ）−8n2−4n【解析】试题分析: （Ⅰ）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（Ⅱ）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析: （Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，即3a2=a5，所以3(1+d)=1+4d，解得d=2．∴a n=1+(n−1)×2=2n−1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b n=(−1)n−1⋅(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1⋅(4n2−1).∴T2n=(4×12−1)−(4×22−1)+(4×32−1)−(4×42−1)+⋯+(−1)2n−1⋅[4×(2n)2−1]=4[12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2]=−4(1+2+3+4+⋯+2n−1+2n)=−4×2n(2n+1)2=−8n2−4n．点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型有分段型（如a n={n,n为奇数2n,n为偶数）及本题的符号型（如a n=(−1)n n2）18．（Ⅰ）110（Ⅱ）EX=9000【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110（天）． （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000， 则：P(X =0)=(45)3=64125，P(X =10000)=C 31×110×(45)2=24125P(X =20000)=C 32×(110)2×(45)+C 31×(110)×(45)2=108500=27125 P(X =30000)=(110)3+C 31×110×C 21×110×45=491000P(X =40000)=C 32×(110)2×110+C 32×(110)2×45=271000P(X =50000)=C 32×(110)2×110=31000P(X =60000)=(110)3=11000．EX =0×64125+10000×48250+20000×27125+30000×491000+40000×271000+50000×31000+60000×11000 =9000（元）． 19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7√6565【解析】试题分析: （Ⅰ）已知面面垂直，所以利用面面垂直的性质定理证明线面垂直.而要利用面面垂直性质定理，需在其中一平面内寻找或论证与两平面交线的垂线，本题通过计算，利用勾股定理得到线线垂直.（Ⅱ）求二面角的方法，一般为利用空间向量数量积进行求解：先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，再根据向量数量积求两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角余弦值.试题解析:（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 如图所示：有AE =1,DE =√3,BD =2√3∴在ΔABD 中，有AB 2=AD 2+BD 2，即AD ⊥BD又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .（Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且ΔPAD 为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件AD =DC =BC =2，则AE =DE =1，PE =√3，BD =2√3． 则D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(0,2√3,0)，P(1,0,√3)．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示：则在RtΔCDF 中，有CF =√3，DF =1，∴C(−1,√3,0)．（另解:可不做辅助线，利用AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 求点C 坐标） ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3)，设平面PDC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1−√3y 1=0 n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1−√3z 1=0 ，取x 1=√3，则y 1=1，z 1=−1，∴面PDC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−1)．同理有PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√3,−√3)，设平面PBE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3z 2=0 n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2+2√3y 2−√3z 2=0 ， 取y 2=1，则x 2=2√3，z 2=0，∴面PBE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(2√3,1,0)．--10分设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ， ∴cosθ=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >|=√3×2√3+13+1+1×12+1=7√6565．即平面PEB 与平面PDC 所成二面角的余弦值为7√6565． 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．（Ⅰ）x 24+y 23=1（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析: （Ⅰ）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即根据条件建立关于a,b,c 的两个独立条件，再与a 2=b 2+c 2联立方程组，解出a,b,c 的值，（Ⅱ）先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线x =1，再根据条件证明点G 横坐标为1.由题意设M,N 两点坐标，用M,N 两点坐标表示点G 横坐标.根据直线l 方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得M,N 两点坐标关系（用直线l 斜率表示），并代入点G 横坐标表达式，化简可得为定值. 试题解析: （Ⅰ）设点A 1(−a,0),F 2(c,0)，由题意可知：c =−a+42，即a =4−2c ①又因为椭圆的离心率e =ca =12，即a =2c ② 联立方程①②可得：a =2,c =1，则b 2=a 2−c 2=3 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线x =x 0上． 假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为√3x +4y −4√3=0，此时点N(85,3√35)， 则联立直线l A 1M :√3x −2y +2√3=0和直线l A 2N :3√3x +2y −6√3=0可得点G(1,3√32) 据此猜想点G 在直线x =1上，下面对猜想给予证明：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，联立方程{y =k(x −4)x 24+y 23=1可得：(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0,Δ>0由韦达定理可得x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2 （*）因为直线l A 1M :y =y 1x 1+2(x +2)，l A 2N :y =y 2x2−2(x −2)，联立两直线方程得y 1x1+2(x +2)=y 2x 2−2(x −2)（其中x 为G 点的横坐标）即证：3y 1x 1+2=−y 2x 2−2，即3k(x 1−4)⋅(x 2−2)=−k(x 2−4)⋅(x 1+2)，即证4x 1x 2−10(x 1+x 2)+16=0 将（*）代入上式可得4⋅(64k 2−12)3+4k 2−10×32k 23+4k 2+16=0⇔16k 2−3−20k 2+3+4k 2=0此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上x =1上． 方法二：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),G(x 3,y 3)，x 1,x 2,x 3两两不等， 因为B,M,N 三点共线，所以y 1x 1−4=y 2x2−4⇒y 12(x1−4)2=y 22(x2−4)2⇒3(1−x 124)(x1−4)2=3(1−x 224)(x2−4)2，整理得：2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=0又A 1,M,G 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2 ①又A 2,N,G 三点共线，有：y 3x3−2=y 2x 2−2② 将①与②两式相除得：x 3+2x 3−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)⇒(x 3+2x 3−2)2=y 22(x 1+2)2y 12(x 2−2)2=3(1−x 224)(x 1+2)23(1−x 124)(x 2−2)2=(x 2+2)(x 1+2)(x 1−2)(x 2−2) 即(x 3+2x 3−2)2=(x 2+2)(x 1+2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，将2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=0即x 1x 2=52(x 1+x 2)−4=0代入得：(x 3+2x 3−2)2=9解得x 3=4（舍去）或x 3=1，所以点G 在定直线x =1上．方法三：显然l 与x 轴不垂直，设的方程为y =k(x −4)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 由{y =k(x −4)x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0,Δ>0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),G(x 3,y 3)，x 1,x 2,x 3两两不等， 则x 1+x 2=32k 23+4k2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12√1−4k 23+4k 2,由A 1,M,G 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2 ①由A 2,N,G 三点共线，有：y 3x3−2=y 2x 2−2②①与②两式相除得：x 3+2x 3−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=k(x 2−4)(x 1+2)k(x 1−4)(x 2−2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+3(x 1−x 2)−8x 1x 2−3(x 1+x 2)+(x 1−x 2)+8=−13 解得x 3=4（舍去）或x 3=1，所以点G 在定直线x =1上．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（Ⅰ）a ≥12（Ⅱ）(−2e,−2)【解析】试题分析: （Ⅰ）先将单调性转化为不等式恒成立：当x >0时，函数f′(x)≥0恒成立，再变量分离转化为对应函数最值：−2a ≤(2x−2)e xx+2的最小值，最后根据导数求函数g(x)=(2x−2)e xx+2最值，（Ⅱ）利用二次求导，确定导函数为单调递增函数，再利用零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点，根据导函数符号变化规律得函数在此零点（极小值点）取最小值.最后利用导函数零点表示函数最小值，并根据导函数零点取值范围，利用导数方法确定最小值函数的值域.试题解析: （Ⅰ）f′(x)=2e x +(2x −4)e x +2a(x +2)=(2x −2)e x +2a(x +2)， 依题意：当x >0时，函数f′(x)≥0恒成立，即(2x−2)e xx+2≥−2a 恒成立，记g(x)=(2x−2)e xx+2，则g′(x)=2xe x (x+2)−(2x−2)e x(x+2)=(2x 2+2x+2)e x(x+2)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=−1，所以−2a ≤−1，即a ≥12； （Ⅱ）因为[f′(x)]′=2xe x +2a >0，所以y =f′(x)是(0,+∞)上的增函数， 又f′(0)=4a −2<0，f′(1)=6a >0 ，所以存在t ∈(0,1)使得f′(t)=0 且当a →0时t →1，当a →12时t →0，所以t 的取值范围是(0,1)． 又当x ∈(0,t)，f′(x)<0，当x ∈(t,+∞)时，f′(x)>0，所以当x =t 时，f(x)min =f(t)=(2t −4)e t+a(t +2)2．且有f′(t)=0⇒a =−(t−1)e t t+2∴f(x)min =f(t)=(2t −4)e t −(t −1)(t +2)e t =e t (−t 2+t −2)．记ℎ(t)=e t (−t 2+t −2)，则ℎ′(t)=e t (−t 2+t −2)+e t (−2t +1)=e t （−t 2−t −1)<0，所以ℎ(1)<ℎ(t)<ℎ(0)，即最小值的取值范围是(−2e,−2)． 22．（Ⅰ）y 2=4x （Ⅱ）a =136或94．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线C 1参数方程化为普通方程，利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x 2+y 2将曲线C 2化为直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线参数方程转化为{x =a +√2t2y =1+√2t2（t 为参数，a ∈R ），再根据直线参数方程几何意义由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，最后将直线参数方程代入C 2化为直角坐标方程，利用韦达定理得关于a 的方程，解得a 的值. 试题解析: （Ⅰ）曲线C 1参数方程为{x =a +√2t y =1+√2 ,∴其普通方程x −y −a +1=0，由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ−ρ=0,∴ρ2cos 2θ+4ρcosθ−ρ2=0 ∴x 2+4x −x 2−y 2=0,即曲线C 2的直角坐标方程y 2=4x .（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为t 1,t 2，联解{y 2=4xx =a +√2t y =1+√2t 得2t 2−2√2t +1−4a =0要有两个不同的交点，则Δ=(2√2)2−4×2(1−4a)>0,即a >0，由韦达定理有{t 1+t 2=√2 t 1⋅t 2=1−4a 2根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t 1|,|PB|=2|t 2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t 1|=2×2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=−2t 2 ∴当t 1=2t 2时，有{t 1+t 2=3t 2=√2 t 1⋅t 2=2t 22=1−4a 2⇒a =136>0，符合题意． 当t 1=−2t 2时，有{t 1+t 2=−t 2=√2 t 1⋅t 2=−2t 22=1−4a2⇒a =94>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为a =136或94．23．（Ⅰ）[0,4]（Ⅱ）a =−4．【解析】试题分析: （Ⅰ）先化简不等式f(x)≤2−|x −1|得|x −a2|+|x −1|≤1，再根据绝对值三角不等式得|x −a 2|+|x −1|≥|a 2−1|，最后根据不等式有解得|a2−1|≤1，解不等式得实数a 的取值范围；（Ⅱ）根据绝对值定义将函数f(x)分成三段，结合函数图像可得f(x)min =f(a2)，最后根据方程f(a2)=3求实数a 的值.试题解析: （Ⅰ）由题f(x)≤2−|x −1|，即为|x −a2|+|x −1|≤1． 而由绝对值的几何意义知|x −a2|+|x −1|≥|a2−1|，------- 2分由不等式f(x)≤2−|x−1|有解，∴|a2−1|≤1，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数f(x)=|2x−a|+|x−1|的零点为a2和1，当a<2时知a2<1∴f(x)={−3x+a+1(x<a2)x−a+1(a2≤x≤1)3x−a−1 (x>1)------- 7分如图可知f(x)在(−∞,a2)单调递减，在[a2,+∞)单调递增，∴f(x)min=f(a2)=−a2+1=3，得a=−4<2（合题意），即a=−4．。
绝密★启用前2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B={y|y=√x+1}，那么A∩(C U B)=（）A. ϕB. (0,1]C. (0,1)D. (1,+∞)2．若复数z=21+i3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A. -1B. −iC. 1D. i3．已知α,β均为第一象限的角，那么α>β是sinα>sinβ的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)（i=1,2,3,…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为y^=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是（）A. y与x具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点(x̅,y̅)C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg.5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A. −√33B. √33C. −13D. 136．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A. log210−1B. 2log23−1C. 92D. 67．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,0<φ<π2）的周期为π，若f(α)=1，则f(α+3π2)=（）A. -2B. -1C. 1D. 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则cos∠AOB=（）A. √510B. −√510C. 910D. −9109．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱.A. 28B. 32C. 56D. 7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. 323B. 643C. 16D. 3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，x1+x2+ 4=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为（）A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π312．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)=lnx−x+1，若函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A. (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18) B. (ln2−16,ln2−18)C. (1−ln28,1−ln26) D. (1−ln28,ln2−16)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在多项式(1+2x)6(1+y)5的展开式中，xy3项的系数为__________．，a=2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ，则a在e1⃗⃗⃗ 上的投影是__________．14．已知单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为π315．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD//BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x,y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为__________．三、解答题17．已知等差数列{a n的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n.18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用X元，求X的分布列及数学期望.19．如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD=DC=BC=2，AB=4，ΔPAD为正三角形.（1）求证：BD⊥平面PAD；（2）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值.20．已知椭圆C:x2a +y2b=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1,A2，左、右焦点分别为F1,F2，离心率为12，点B(4,0)，F2为线段A1B的中点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M,N两点，已知直线A1M与A2M相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21．已知函数f(x)=(2x−4)e x+a(x+2)2（x>0,a∈R,e是自然对数的底数）. （1）若f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当a ∈(0,12)时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)最小值的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a,1)，其参数方程为{x =a +√2ty =1+√2t（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ−ρ=0.（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 1与曲线C 2交于A,B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x −a|+|x −1|，a ∈R（1）若不等式f(x)≤2−|x −1|有解，求实数a 的取值范围； （2）当a <2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a 的值.参考答案1．C 【解析】A ={x|y =lgx}=(0,+∞)，B ={y|y =√x +1}=[1,+∞)，所以C U B =(−∞,1),A ∩(C U B)=(0,1)，选C. 2．C 【解析】z =21+i3=21−i=1+i ，故复数z 的虚部是1，选C3．D【解析】试题分析：因为α,β角的终边均在第一象限，所以当α=π3+2π,β=π3时，满足α>β，但sinα=sinβ，则sinα>sinβ不成立；若当α=π6,β=π3时，满足sinα>sinβ，当α>β不成立，所以“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：充要条件的判定． 4．D【解析】由回归直线方程定义知：因为斜率大于零，所以y 与x 具有正线性相关关系；回归直线过样本的中心点(x̅,y ̅)；身高增加每增加1cm ，则其体重约增加k =0.85kg ;身高为160cm ，则可估计其体重约为0.85×160−85.71=50.29kg ，但不可断定.选D. 5．C【解析】x 2+my 2=1⇒x 2−y 21−m=1,所以√1+(1−m)1=2⇒m =−13，选C.6．B【解析】第一次循环，S =3+log 2√2,i =2；第二次循环，S =3+log 2√2+log 2√32,i =3；以此类推得第七次循环，S =3+log 2√2+log 2√32+⋯+log 2√87=3+log 2√8=92,i =8；结束循环输出log 292=2log 23−1，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．B【解析】由题意得π=2πω⇒ω=2，Asin(2α+φ)=1,所以f(α+3π2)=Asin(2α+3π+φ)=−Asin(2α+φ)=-1，选B. 8．D【解析】圆心O 到直线y =2x +1距离√5所以cos∠AOB 2=1√52=2√5cos∠AOB =2×(2√5)2−1=−910.选D.9．B【解析】设甲乙丙各有x,y,z 钱，则有x +y2+z2=90,x2+y +z2=70,x2+y2+z =56,解得x =72,y=32,z=4，选B.10．A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是13×4×12×42=323，选A.11．D【解析】由抛物线定义得AF=x1+2,BF=x2+2,所以由x1+x2+4=2√33|AB|得AF+BF=2√33|AB|,因此cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=14|AF|2+14|BF|2−32|AF|⋅|BF|2|AF|⋅|BF|≥1 4×2|AF|⋅|BF|−32|AF|⋅|BF|2|AF|⋅|BF|=−12所以0<∠AFB≤2π3，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|=x0+p2；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12．A【解析】f(2−x)=f(x)=f(−x)⇒T=2,当x∈[1,2]时，f′(x)=1x−1≤0,作出y=f(x)图形，由图可知直线y=−mx过点A(−6,ln2−1)时有六个交点，过点B(−8,ln2−1)时有八个交点，过点C(6,ln2−1)时有六个交点，过点D(8,ln2−1)时有八个交点，因此要使函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，需m∈(1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)，选A.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 13．120;【解析】由题意得xy3项的系数为C61×2×C53=120.14．32;【解析】a在e1⃗⃗⃗ 上的投影是a⃗ ⋅e1⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ |=（(2e1⃗⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗⃗ )⋅e1⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ |=2−1×1×cosπ3=32.15．(3+√2)π;【解析】几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，表面积为πrl+2πrℎ+πr2=π×1×√2+ 2π×1×1+π×1=√2π+3π点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．16．3√102【解析】设这五个数为x,x+d,x+2d,x+3d,x+4d=y，则x2+(x+4d)2=4，令x=2cosθ,x+4d=2sinθ，则d=sinθ−cosθ2，因此后三项和等于3(x+3d)=32(cosθ+3sinθ)≤32√10.17．（Ⅰ）a n=2n−1（Ⅱ）−8n2−4n【解析】试题分析: （Ⅰ）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（Ⅱ）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析: （Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，即3a2=a5，所以3(1+d)=1+4d，解得d=2．∴a n=1+(n−1)×2=2n−1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b n=(−1)n−1⋅(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1⋅(4n2−1).∴T2n=(4×12−1)−(4×22−1)+(4×32−1)−(4×42−1)+⋯+(−1)2n−1⋅[4×(2n)2−1]=4[12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2]=−4(1+2+3+4+⋯+2n−1+2n)=−4×2n(2n+1)2=−8n2−4n．点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型有分段型（如a n={n,n为奇数2n,n为偶数）及本题的符号型（如a n=(−1)n n2）18．（Ⅰ）110（Ⅱ）EX=9000【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110（天）． （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000， 则：P(X =0)=(45)3=64125，P(X =10000)=C 31×110×(45)2=24125P(X =20000)=C 32×(110)2×(45)+C 31×(110)×(45)2=108500=27125 P(X =30000)=(110)3+C 31×110×C 21×110×45=491000P(X =40000)=C 32×(110)2×110+C 32×(110)2×45=271000P(X =50000)=C 32×(110)2×110=31000P(X =60000)=(110)3=11000．EX =0×64125+10000×48250+20000×27125+30000×491000+40000×271000+50000×31000+60000×11000 =9000（元）． 19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7√6565【解析】试题分析: （Ⅰ）已知面面垂直，所以利用面面垂直的性质定理证明线面垂直.而要利用面面垂直性质定理，需在其中一平面内寻找或论证与两平面交线的垂线，本题通过计算，利用勾股定理得到线线垂直.（Ⅱ）求二面角的方法，一般为利用空间向量数量积进行求解：先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，再根据向量数量积求两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角余弦值.试题解析:（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 如图所示：有AE =1,DE =√3,BD =2√3∴在ΔABD 中，有AB 2=AD 2+BD 2，即AD ⊥BD又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .（Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且ΔPAD 为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件AD =DC =BC =2，则AE =DE =1，PE =√3，BD =2√3． 则D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(0,2√3,0)，P(1,0,√3)．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示：则在RtΔCDF 中，有CF =√3，DF =1，∴C(−1,√3,0)．（另解:可不做辅助线，利用AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 求点C 坐标） ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3)，设平面PDC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1−√3y 1=0 n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1−√3z 1=0 ，取x 1=√3，则y 1=1，z 1=−1，∴面PDC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−1)．同理有PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√3,−√3)，设平面PBE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3z 2=0 n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2+2√3y 2−√3z 2=0 ， 取y 2=1，则x 2=2√3，z 2=0，∴面PBE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(2√3,1,0)．--10分设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ， ∴cosθ=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >|=√3×2√3+13+1+1×12+1=7√6565．即平面PEB 与平面PDC 所成二面角的余弦值为7√6565． 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．（Ⅰ）x 24+y 23=1（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析: （Ⅰ）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即根据条件建立关于a,b,c 的两个独立条件，再与a 2=b 2+c 2联立方程组，解出a,b,c 的值，（Ⅱ）先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线x =1，再根据条件证明点G 横坐标为1.由题意设M,N 两点坐标，用M,N 两点坐标表示点G 横坐标.根据直线l 方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得M,N 两点坐标关系（用直线l 斜率表示），并代入点G 横坐标表达式，化简可得为定值. 试题解析: （Ⅰ）设点A 1(−a,0),F 2(c,0)，由题意可知：c =−a+42，即a =4−2c ①又因为椭圆的离心率e =ca =12，即a =2c ② 联立方程①②可得：a =2,c =1，则b 2=a 2−c 2=3 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线x =x 0上． 假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为√3x +4y −4√3=0，此时点N(85,3√35)， 则联立直线l A 1M :√3x −2y +2√3=0和直线l A 2N :3√3x +2y −6√3=0可得点G(1,3√32) 据此猜想点G 在直线x =1上，下面对猜想给予证明：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，联立方程{y =k(x −4)x 24+y 23=1可得：(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0,Δ>0由韦达定理可得x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2 （*）因为直线l A 1M :y =y 1x 1+2(x +2)，l A 2N :y =y 2x2−2(x −2)，联立两直线方程得y 1x1+2(x +2)=y 2x 2−2(x −2)（其中x 为G 点的横坐标）即证：3y 1x 1+2=−y 2x 2−2，即3k(x 1−4)⋅(x 2−2)=−k(x 2−4)⋅(x 1+2)，即证4x 1x 2−10(x 1+x 2)+16=0 将（*）代入上式可得4⋅(64k 2−12)3+4k 2−10×32k 23+4k 2+16=0⇔16k 2−3−20k 2+3+4k 2=0此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上x =1上． 方法二：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),G(x 3,y 3)，x 1,x 2,x 3两两不等， 因为B,M,N 三点共线，所以y 1x 1−4=y 2x2−4⇒y 12(x1−4)2=y 22(x2−4)2⇒3(1−x 124)(x1−4)2=3(1−x 224)(x2−4)2，整理得：2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=0又A 1,M,G 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2 ①又A 2,N,G 三点共线，有：y 3x3−2=y 2x 2−2② 将①与②两式相除得：x 3+2x 3−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)⇒(x 3+2x 3−2)2=y 22(x 1+2)2y 12(x 2−2)2=3(1−x 224)(x 1+2)23(1−x 124)(x 2−2)2=(x 2+2)(x 1+2)(x 1−2)(x 2−2) 即(x 3+2x 3−2)2=(x 2+2)(x 1+2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，将2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=0即x 1x 2=52(x 1+x 2)−4=0代入得：(x 3+2x 3−2)2=9解得x 3=4（舍去）或x 3=1，所以点G 在定直线x =1上．方法三：显然l 与x 轴不垂直，设的方程为y =k(x −4)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 由{y =k(x −4)x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0,Δ>0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),G(x 3,y 3)，x 1,x 2,x 3两两不等， 则x 1+x 2=32k 23+4k2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12√1−4k 23+4k 2,由A 1,M,G 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2 ①由A 2,N,G 三点共线，有：y 3x3−2=y 2x 2−2②①与②两式相除得：x 3+2x 3−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=k(x 2−4)(x 1+2)k(x 1−4)(x 2−2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+3(x 1−x 2)−8x 1x 2−3(x 1+x 2)+(x 1−x 2)+8=−13 解得x 3=4（舍去）或x 3=1，所以点G 在定直线x =1上．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（Ⅰ）a ≥12（Ⅱ）(−2e,−2)【解析】试题分析: （Ⅰ）先将单调性转化为不等式恒成立：当x >0时，函数f′(x)≥0恒成立，再变量分离转化为对应函数最值：−2a ≤(2x−2)e xx+2的最小值，最后根据导数求函数g(x)=(2x−2)e xx+2最值，（Ⅱ）利用二次求导，确定导函数为单调递增函数，再利用零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点，根据导函数符号变化规律得函数在此零点（极小值点）取最小值.最后利用导函数零点表示函数最小值，并根据导函数零点取值范围，利用导数方法确定最小值函数的值域.试题解析: （Ⅰ）f′(x)=2e x +(2x −4)e x +2a(x +2)=(2x −2)e x +2a(x +2)， 依题意：当x >0时，函数f′(x)≥0恒成立，即(2x−2)e xx+2≥−2a 恒成立，记g(x)=(2x−2)e xx+2，则g′(x)=2xe x (x+2)−(2x−2)e x(x+2)=(2x 2+2x+2)e x(x+2)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=−1，所以−2a ≤−1，即a ≥12； （Ⅱ）因为[f′(x)]′=2xe x +2a >0，所以y =f′(x)是(0,+∞)上的增函数， 又f′(0)=4a −2<0，f′(1)=6a >0 ，所以存在t ∈(0,1)使得f′(t)=0 且当a →0时t →1，当a →12时t →0，所以t 的取值范围是(0,1)． 又当x ∈(0,t)，f′(x)<0，当x ∈(t,+∞)时，f′(x)>0，所以当x =t 时，f(x)min =f(t)=(2t −4)e t+a(t +2)2．且有f′(t)=0⇒a =−(t−1)e t t+2∴f(x)min =f(t)=(2t −4)e t −(t −1)(t +2)e t =e t (−t 2+t −2)．记ℎ(t)=e t (−t 2+t −2)，则ℎ′(t)=e t (−t 2+t −2)+e t (−2t +1)=e t （−t 2−t −1)<0，所以ℎ(1)<ℎ(t)<ℎ(0)，即最小值的取值范围是(−2e,−2)． 22．（Ⅰ）y 2=4x （Ⅱ）a =136或94．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线C 1参数方程化为普通方程，利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x 2+y 2将曲线C 2化为直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线参数方程转化为{x =a +√2t2y =1+√2t2（t 为参数，a ∈R ），再根据直线参数方程几何意义由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，最后将直线参数方程代入C 2化为直角坐标方程，利用韦达定理得关于a 的方程，解得a 的值. 试题解析: （Ⅰ）曲线C 1参数方程为{x =a +√2t y =1+√2 ,∴其普通方程x −y −a +1=0，由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ−ρ=0,∴ρ2cos 2θ+4ρcosθ−ρ2=0 ∴x 2+4x −x 2−y 2=0,即曲线C 2的直角坐标方程y 2=4x .（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为t 1,t 2，联解{y 2=4xx =a +√2t y =1+√2t 得2t 2−2√2t +1−4a =0要有两个不同的交点，则Δ=(2√2)2−4×2(1−4a)>0,即a >0，由韦达定理有{t 1+t 2=√2 t 1⋅t 2=1−4a 2根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t 1|,|PB|=2|t 2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t 1|=2×2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=−2t 2 ∴当t 1=2t 2时，有{t 1+t 2=3t 2=√2 t 1⋅t 2=2t 22=1−4a 2⇒a =136>0，符合题意． 当t 1=−2t 2时，有{t 1+t 2=−t 2=√2 t 1⋅t 2=−2t 22=1−4a2⇒a =94>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为a =136或94．23．（Ⅰ）[0,4]（Ⅱ）a =−4．【解析】试题分析: （Ⅰ）先化简不等式f(x)≤2−|x −1|得|x −a2|+|x −1|≤1，再根据绝对值三角不等式得|x −a 2|+|x −1|≥|a 2−1|，最后根据不等式有解得|a2−1|≤1，解不等式得实数a 的取值范围；（Ⅱ）根据绝对值定义将函数f(x)分成三段，结合函数图像可得f(x)min =f(a2)，最后根据方程f(a2)=3求实数a 的值.试题解析: （Ⅰ）由题f(x)≤2−|x −1|，即为|x −a2|+|x −1|≤1． 而由绝对值的几何意义知|x −a2|+|x −1|≥|a2−1|，------- 2分由不等式f(x)≤2−|x−1|有解，∴|a2−1|≤1，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数f(x)=|2x−a|+|x−1|的零点为a2和1，当a<2时知a2<1∴f(x)={−3x+a+1(x<a2)x−a+1(a2≤x≤1)3x−a−1 (x>1)------- 7分如图可知f(x)在(−∞,a2)单调递减，在[a2,+∞)单调递增，∴f(x)min=f(a2)=−a2+1=3，得a=−4<2（合题意），即a=−4．。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C 【解析】考点:集合的运算.2. 函数()229x y -= ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-【答案】D 【解析】试题分析：由2901011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩得10x -<<或03x <≤,所以函数的定义域为()(]1,00,3-，故选D.考点：函数的定义域. 3。
下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x ="的逆否命题； 其中真命题的个数是（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C 【解析】考点：逻辑联结词与命题. 4。
幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析:因为函数()()226844m m f x m m x-+=-+是幂函数，所以2441m m -+=，即1m =或3m =，当1m =时,函数3()f x x =在()0,+∞为增函数,符合题意；当3m =时，函数1()f x x -=在()0,+∞为减函数，不符合题意,故选B 。
考点：幂函数的定义与性质.5。
已知函数()21xf x =-+,定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】试题分析：()21,02121,0x xx x f x x -⎧-+≥⎪=-+=⎨-+<⎪⎩,所以()()(),021,0,021,0xx f x x x F x f x x x -⎧>⎧-+≥⎪⎪==⎨⎨-<-<⎪⎪⎩⎩，所以当0x <时，()0,21(21)()xx x F x F x --->-=-+=--=-，所以当0x >时，()0,21(21)()x x x F x F x -<-=-=--+=-，所以函数()F x 是奇函数，故选A.考点：1。
理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2。
函数()229x y -=）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3- 3.下列命题中： ①“200,10xR x x ∃∈-+≤”的否定； ②“若260xx +-≥，则2x >”的否命题；③命题“若2560xx -+=，则2x =”的逆否命题；其中真命题的个数是（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x mm x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为( ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 5.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为( ） A ．()[]2322,0,12f x xx x =-+∈B ．()[]2322,0,12f x xx x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈7。
若函数()()22log 3f x xax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(]4,4-C ．()[),42,-∞-+∞D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．9。
江西省南昌市2017年高考一模（理科）数学试卷答 案1~5．CCDDC 6~10．BBDBA 11~12．DA 13．120 14．3215．(3π16 17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由345S S S +=可得1235a a a a ++=， 即253a a =，则3114d d +=+()，解得2d = 所以11221n a n n =+⨯=(-)-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1) (21)(21)(1) (41)n n n b n n n --=--+=--g g所以：22222122(411)(421)(431)(441)(1) [4(2)1]n n T n -=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⨯-L g=22222241234(21)(2)[]n n +++-L --- =4(1234212)n n -++++++L - =22(21)4842n n n n +-⨯=-- 18．解：（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为： (0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）． （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10 000，20 000，30 000，40 000，50 000，60 000， 则：3464(0)()5125P X ===，1231424(10000)()105125P X C ==⨯⨯=， 221233141410827(20000)()()C ()()105105500125P X C ==⨯⨯+⨯⨯==， 31132111449(30000)()C C 10101051000P X ==+⨯⨯⨯⨯=，222233111427(40000)()C ()10101051000P X C ==⨯⨯+⨯⨯=，223113(50000)()10101000P X C ==⨯⨯=，311(60000)()101000P X ===．∴X 的分布列为X 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000P64125 24125 27125 491 000 271 000 31 000 11 000644827492731()01000020000300004000050000600001252501251000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=9000（元）．19．证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图所示：有1,AE DE BD ==∴在ABD △中，有222AB AD BD =+，即AD BD ⊥又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD PAD ⊥平面．解：（Ⅱ）由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △为正三角形，E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．由条件2AD DC BC ===，则1AE DE ==，PEBD =． 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E，B，P ．在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示： 则在t R CDF △中，有CF ，1DF =，∴(C -．（另解：可不作辅助线，利用2AB DC =u u u r u u u r求点C 坐标）∴(1,CD =u u u r，(1,0,PD =-u u u r ，设平面PDC 的法向量1111(,,z )n x y =u u r则111111 0 0n CD x n PD x ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩u u r u u u u r g u u r u u u r g，取1x =1111y z ==，-， ∴面PDC的法向量11)n =-u u r．同理有(0,0,PE =u u u r，(PB =-u u u r ，设平面PBE 的法向量2222(,,z )n x y =u u r则222222 0 0n PE n PB x ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g ， 取21y =，则2x =20z =，∴面PBE的法向量2n =u u r．设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，∴12cos |cos(,)|n n θ===u u r u u r即平面PEB 与平面PDC20．解：（Ⅰ）设点12(,0)(,0)-,A a F c ，由题意可知：42a c -+=，即42a c =﹣① 又因为椭圆的离心率1e 2c a ==，即2a c =② 联立方程①②可得：21a c ==，，则2223b a c ==-所以椭圆C 的方程为22143x y +=．解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上．假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-=，此时点8(5N ，则联立直线120A M l y -+和直线220A N l y +-=可得点G据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立方程22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2222(34)3264120k x k x k ++=--，0V ＞由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+（*） 因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 联立两直线方程得1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证： 1212322y y x x -=+-， 即22113(4)(2)(4)(2 )k x x k x x -=+g g ﹣--，即证1212410160x x x x ++=-（）将（*）代入上式可得22222224 (6412)1032160163203403434k k k k k k k-⨯-+=⇔--++=++g 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上．解法二：设11,()M x y ，22(,)N x y ，33(,)G x y ，123,,x x x 两两不等， 因为B M N ,,三点共线，所以221222121222221212123(1)3(1)4444(4)(4)(4)(4)x x y y y y x x x x x x --=⇒=⇒=------， 整理得：12122580x x x x ++=-() 又1A M G ,,三点共线，有：313122y yx x =++① 又2A N G ,,三点共线，有：323222y y x x =--②， 将①与②两式相除得：2222212332121212222131********(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x x y x x y x x x x -+++++++=⇒===--------即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++，将12122580x x x x ++=-()即12125()402x x x x =+-=代入得：2332()92x x +=- 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．解法三：由题意知l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ．由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120k x k x k ++=--，0V ＞．设11,()M x y ，22(,)N x y ，33(,)G x y ，两两不等，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+，12||x x -=， 由1A M G ,,三点共线，有：313122y yx x =++① 由2A N G ,,三点共线，有：323222y y x x =--② ①与②两式相除得：32121121212312121212122(2)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83x y x k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x ++-+-++--====-----++++ 解得34x =（舍去）或3x =1，所以点G 在定直线1x =上．21．解：（Ⅰ）()2e (24)e 2(2)(22)e 2(2)x x x f x x a x x a x '=+-++=-++，依题意：当0x ＞时，函数'()0f x ≥恒成立，即(1)e 2≥x x a x -+恒成立，记(1)e ()2xx g x x -=+，则222e (2)(1)e (1)e '()0(2)(2)＜x x x x x x x x g x x x +--++==-++， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以1()(0)2＜g x g =，所以12≥a ； （Ⅱ）因为()2[]e 20＞x f x x a =+''，所以()y f x '=是(0,)+∞上的增函数， 又(0)420f a '=-＜，(1)60＞f a '=，所以存在0,1()t ∈使得0()f t '= 且当0a →时1t →，当12a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)． 又当(0,)x t ∈，()0＜f x '，当(,)x t ∈+∞时，()0＞f x '，所以当x t =时，2min()()(24)e (2)tf x f t t a t ==-++．且有(1)e (t)02tt f a t -'=⇒=-+由（Ⅰ）知(1)e ()2tt a g t t -=-=+，在(0,)+∞上单调递减，又1(0)2g =，(1)0g =，且1(0,)2a ∈，故(0,1)t ∈，∴2min ()()(24)e (1)(2)e e (2)t t t f x f t t t t t t ==---+=-+-，(0,1)t ∈ 记2()e (2)-t h t t t =+-，则22()e (2)e (21)e (1)0----＜t t t h t t t t t t '=-+++=-， 所以(1)()(0)h h t h ＜＜，即最小值的取值范围是(2e,2)--．22．解：（Ⅰ）曲线1C参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，∴其普通方程10x y a --+=，由曲线2C 的极坐标方程为cos24cos 0-ρθθρ+=，∴22cos24cos 0-ρθρθρ+= ∴22240,x x x y +-=-即曲线2C 的直角坐标方程24y x =．（Ⅱ）设A B 、两点所对应参数分别为12、,t t联解241y xx a y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a =-⨯-V ＞，即0a ＞，由韦达定理有121214 2t t a t t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩g根据参数方程的几何意义可知1||2||PA t =，2||2||PB t =， 又由||2||PA PB =可得12||2|22|t t =⨯，即122t t =或122t t =-∴当122t t =时，有1223t t t +==21221422a t t t -==，∴1036a =＞，符合题意． 当212t t =-时，有122t t t +==-21221422a t t t -=-=，∴904a =＞，符合题意．综上所述，实数a 的值为136a =或94．23．解：（Ⅰ）由题()2|1|≤-f x x -，即为|||1|12≤ax x -+-．而由绝对值的几何意义知|||1||1|22≥a ax x -+--，由不等式|(|)21≤--f x x 有解，∴|1|12≤a-，即04≤≤a ．∴实数a 的取值范围[0,4]．（Ⅱ）函数(||)1|2|--f x x a x =+的零点为2a 和1，当2a ＜时知12＜a，∴31()2()1(1)231(1)＜≤≤＞a x a x a f x x a x x a x ⎧-++⎪⎪⎪-+⎨⎪--⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增， ∴min()()1322a af x f ==-+=，得42a =-＜（合题意），即4a =-．江西省南昌市2017年高考一模（理科）数学试卷解析1．解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即CUB=（﹣∞，1），所以A∩（CUB）=（0，1），故选C．2．解：，故选：C．3．解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D错误．故选：D．5．解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=-1．故选：B．8．解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以：．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．13．解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：32．15．解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π×2×1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：(3π+．16．解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．．17．（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出an；（Ⅱ）由（I）化简bn=（﹣1）n﹣1anan+1，利用并项求和法和等差数列的前n项和公式求出数列{bn}的前2n项和T2n．18．（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．19．（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．20．（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G 在定直线x=1上．21．（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．22．（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．23．（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．2017年3月15日。
