微积分(上)复习资料——概念

《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。

例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。

即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。

3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。

⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。

例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。

⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。

⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。

5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。

⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。

例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。

第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。

2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。

3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。

微积分基本概念第一章 函数、极限连续重点：函数性质与函数的图形函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.一、函数（一）函数的概念 1．函数的定义【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作.),(D x x f y ∈=x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.2．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.3．函数定义域的求法由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.（二）函数的几何特性 1．单调性（1）【定义1.2】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数.（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.2．有界性【定义1.3】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义 1.4】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数. 有界函数的图形完全落在两条平行于x 轴的直线之间.函数是否有界与定义域有关,如nx y 1=（0,+∞）上无界,但在[1,e]上是有界的.有界函数的界是不惟一的,即若对任意D x ∈,都有|()|f x ≤M ,则也一定有|)(|x f ≤)0,0(>>+a M a M .3．奇偶性【定义 1.5】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 【例】 判断下列函数的奇偶性: (1)21)(1)(x x n x f ++=;(2)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-.0,1,0,1)(x e x e x g x x【解】 (1)因为)1(1)(1(1)(22x x n x x n x f ++-=-++-=- 22221111)1)(1(1xx nxx x x x x n++=++++++-=),()1(12x f x x n -=++-= 所以)1(1)(2x x n x f ++=是奇函数.(2)因为)(0,10,10,10,1)()(x g x e x e x e x ex g x xxx -=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--=-----4．周期性【定义 1.6】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.图1-1（三）初等函数 1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c . （2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即xe y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与xy α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义 1.7】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作.),(1R y y f x ∈=-并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1.函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a xlog ==与互为反.,以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧≤->+=.0,1,0,1)(.0,1,0,1)(2x nx x e x g x x x x x f x都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础. （一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义【定义1.9】 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作A a n n =∞→lim1．∞→x 时的极限【定义1.10】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作.)(lim A x f n =∞→当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作.)(lim )(lim )(lim ).)(lim ()(lim A x f A x f A x f A x f A x f n n n n n ===⇔===+∞→+∞→∞→-∞→+∞→3．0x x →时的极限【定义1.11】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作.)(lim 0A x f x x =→4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0.)(lim )(lim )(lim 0A x f A x f A x f x x x x x x ===⇔=-+→→→（三）函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0则A=B . 2．局部有界性 若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。

微积分数学概念
微积分是数学中研究函数变化率、曲线斜率、面积和体积等问题的分支学科。

它主要包括导数和积分两个部分。

1. 导数（Derivative）：导数描述了函数在某一点的变化率。

如果函数在某一点存在导数，那么导数给出了函数在该点的斜率。

它可以用于求解曲线的切线方程、优化问题和速度、加速度等物理问题。

2. 积分（Integral）：积分描述了函数在一段区间上的面积或
体积。

它可以用于求解曲线下的面积、函数的平均值、质量与密度的问题等。

积分的逆运算是导数，所以它们是紧密相关的。

其他与微积分相关的概念包括：
3. 极限（Limit）：极限是描述函数逐渐趋近某一值的过程。

它在导数和积分的计算中起着重要的作用。

4. 泰勒级数（Taylor Series）：泰勒级数是一种将函数表示为
无穷级数的方法。

它可以用于近似计算各种函数的值。

5. 偏导数（Partial Derivative）：偏导数是多元函数的导数。

它描述了函数在某一变量变化时的变化率。

6. 链式法则（Chain Rule）：链式法则描述了复合函数的导数
求导方式。

它是微积分中的重要计算规则。

以上只是微积分中的一部分概念，微积分在数学和应用科学中有广泛的应用，例如物理学、工程学、经济学等领域。

（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。

()()'F x dx F x C =+? 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。

微积分学习微积分的基本概念与计算方法微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数和其变化的研究。

作为一门基础学科，微积分广泛应用于科学、工程、经济学以及其他许多领域。

在本文中，将介绍微积分的基本概念和计算方法。

I. 微积分的基本概念微积分的核心概念是导数和积分。

导数描述了函数的变化率，而积分则描述了函数下面的面积。

A. 导数导数表示函数在某一点上的变化率。

用数学符号表示为f'(x)，或者dy/dx。

导数的定义是通过极限来推导的，即函数在一个点上的变化率等于该点附近的函数值的极限。

具体计算导数的方法包括使用导数的基本公式，如常数规则、幂规则、和规则等，以及链式法则、隐函数法则等。

B. 积分积分表示函数下面的面积或曲线的长度。

用数学符号表示为∫ f(x) dx。

积分的计算方法有定积分和不定积分两种。

定积分是计算函数在区间上的面积，而不定积分是计算函数的原函数。

计算积分的方法包括使用积分的基本公式，如幂规则、和规则、分部积分等，以及换元积分法等。

II. 微积分的计算方法A. 导数的计算方法1. 使用导数的基本公式：- 常数规则：导数常数等于零。

- 幂规则：对于任何正指数n，导数为nx^(n-1)。

- 和规则：导数的和等于和的导数。

- 乘积规则：导数的乘积等于乘积导数的和。

2. 使用链式法则：对于复合函数，导数的计算可以通过链式法则来求解。

B. 积分的计算方法1. 使用积分的基本公式：- 幂规则：对于任何正指数n，则积分为x^(n+1)/(n+1)。

- 和规则：积分的和等于和的积分。

- 分部积分：将积分化简为两个函数之间的乘积。

2. 使用换元积分法：通过变量替换，将复杂函数转化为简单函数来计算积分。

III. 应用举例A. 导数的应用导数在实际生活中有广泛的应用，例如：- 根据速度函数求加速度：加速度是速度的导数，可以帮助我们了解物体的加速情况。

- 分析函数的极值：通过导数的零点和拐点来判断函数的极值点和拐点。

微积分基本概念与运算规则微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和曲线的性质。

微积分的基本概念和运算规则是我们学习微积分的基础，下面将对其进行详细介绍。

一、微积分的基本概念微积分的基本概念包括导数和积分。

导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数可以用极限的概念来定义，即函数在某一点的导数等于该点的函数值在极限过程中的变化率。

导数的计算可以使用导数的定义公式或者运用一些常见函数的导数规则。

积分是导数的逆运算，它表示函数在一定区间上的累积变化量。

积分可以用定积分和不定积分来表示。

定积分表示函数在一个区间上的积分值，可以通过求解函数的原函数再计算两个端点的函数值之差来求得。

不定积分表示函数的原函数，通过求解导数为给定函数的反函数来得到。

二、导数的运算规则导数的运算规则包括常数法则、幂法则、求和法则、乘积法则和商法则。

常数法则指出，对于任意常数c，导数运算不改变常数的值。

幂法则指出，对于函数f(x) = x^n，其中n是常数，它的导数是f'(x) = nx^(n-1)。

求和法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)的和，它们的导数等于各自导数的和。

乘积法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)的乘积，它们的导数等于f(x)的导数乘以g(x)再加上g(x)的导数乘以f(x)。

商法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)的商，它们的导数等于f(x)的导数乘以g(x)再减去g(x)的导数乘以f(x)，再除以g(x)的平方。

三、积分的运算规则积分的运算规则包括常数法则、线性法则、幂法则、换元法则和分部积分法则。

常数法则指出，对于任意常数c，积分运算不改变常数的值。

线性法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)的和的积分，它们的积分等于各自积分的和。

幂法则指出，对于函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，它的积分是F(x) = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C是常数。

【关键字】知识微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。

2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。

例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。

2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。

3初等函数（P6）称幂函数xk（k为常数），指数函数ax ，对数函数logax （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。

凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。

4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。

（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。

f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。

（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2 时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。

1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x→a的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b，则称变量f(x)在x→a的过程中极限存在。

微积分基本概念微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的变化以及曲线与曲面的面积与体积。

在微积分中，有一些基本概念是必须了解和掌握的。

本文将介绍微积分的几个基本概念，并且结合例子详细解释其含义和应用。

一、导数与微分导数是微积分中的基本概念之一，表示函数的变化率。

大致可以理解为函数曲线在某一点上的斜率。

用数学符号表示，如果函数f(x)在点x处导数存在，则导数可表示为f'(x)或者dy/dx。

例子：考虑函数f(x) = x²，我们可以通过求导来计算其导数。

根据导数的定义，导数f'(x)等于函数在该点的斜率。

对于f(x) = x²，计算导数的过程如下：f'(x) = 2x因此，函数f(x) = x²在任意一点的导数均为2x。

微分是导数的一种表示形式，可以理解为函数在某一点上的变化量。

微分运算可以用来计算函数的极值、切线方程等。

例子：考虑函数f(x) = x²，我们可以通过微分来计算函数在点x处的微分。

微分运算可表示为df(x) = f'(x)dx。

对于f(x) = x²，计算微分的过程如下：df(x) = f'(x)dx = 2xdx因此，函数f(x) = x²在点x处的微分为2xdx。

二、积分与定积分积分是微积分中的另一个基本概念，表示曲线下的面积或者函数的累积和。

积分的运算可以用来求曲线下的面积、函数的定积分等。

定积分是积分的一种特殊形式，表示函数在某一区间上的累积和。

用数学符号表示，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分可表示为∫[a,b]f(x)dx。

例子：考虑函数f(x) = x²，在区间[0,1]上求其定积分。

定积分的计算可以通过积分运算符∫以及被积函数来实现。

对于f(x) = x²，在区间[0,1]上的定积分计算过程如下：∫[0,1]x²dx = [1/3x³]₀¹ = 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0,1]上的定积分为1/3。

高中数学的归纳微积分的基本概念与计算总结在高中数学学习中，微积分是一个重要的学科，它包含着许多基本概念和计算方式。

归纳微积分是微积分的基础，我们需要掌握其中的基本概念，并学会运用这些概念进行计算。

本文将对高中数学中归纳微积分的基本概念与计算方法进行总结。

一、导数与导数的计算导数是微积分的核心概念之一。

在高中数学中，我们学习了导数的定义与性质，并通过一些基本公式进行导数的计算。

常见的导数计算包括：1. 常数的导数计算：对于常数c，其导数为0。

2. 一次函数的导数计算：对于一次函数y=ax+b，其导数为斜率a。

3. 幂函数的导数计算：对于幂函数y=x^n，其导数为y'=nx^(n-1)。

4. 指数函数和对数函数的导数计算：对于指数函数y=a^x，以及对数函数y=log_a(x)，它们的导数分别为y'=a^x ln(a)，以及y'=(1/x) ln(a)。

通过掌握这些基本公式，我们可以计算出各种函数的导数，为解决实际问题提供了重要的工具。

二、不定积分与基本积分的计算不定积分，也称为原函数，是导数的逆运算。

高中数学中，我们学习了一些基本函数的不定积分公式，通过这些公式，可以简化积分的计算。

常见的基本积分计算包括：1. 常数的不定积分计算：对于常数c，其积分为Cx，其中C为常数。

2. 一次函数的不定积分计算：对于一次函数y=ax+b，其积分为(1/2)ax^2+bx。

3. 幂函数的不定积分计算：对于幂函数y=x^n，其中n不等于-1，其积分为(1/(n+1))x^(n+1)。

4. 指数函数和对数函数的不定积分计算：对于指数函数y=a^x，以及对数函数y=log_a(x)，它们的不定积分分别为(1/ln(a))a^x，以及x(log_a(x)-1)。

通过掌握这些基本积分公式，我们可以对各类函数进行积分，求解曲线下的面积等问题。

三、微分方程的求解微分方程是微积分中的另一个重要内容。

我们常见的微分方程包括一阶和二阶微分方程。

微积分数学概念
微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的变化率、极限、积分和微分等概念。

以下是微积分中的几个关键概念：
1.函数：函数是一个数学对象，将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。

它描述了变量之间的关系，常用符号表示为f(x)。

在微积分中，函数是研究的对象之一。

2.极限：极限是描述函数或数列趋于某个值的概念。

当自变量趋近于某个值时，函数的取值也会趋近于某个特定的值。

极限可以用符号lim表示，如lim(x→a)f(x)。

3.导数：导数是描述函数在某一点上变化率的概念。

它表示函数图像在某一点的切线斜率，也可以理解为函数在该点的瞬时变化率。

导数可以用符号f'(x)或dy/dx表示。

4.微分：微分是导数的一种应用，用于描述函数的局部线性逼近。

微分可以帮助我们计算函数的极值、判定函数的凹凸性等。

5.积分：积分是导数的逆运算，用于计算函数在一定区间上的累积量。

积分可以理解为曲线下面的面积或函数的累积总量。

积分可以用符号∫表示。

6.微分方程：微分方程是包含导数的方程，描述了函数或曲线的变化规律。

微分方程在物理学、工程学和自然科学等领域中具有广泛的应用。

7.泰勒级数：泰勒级数是一种将函数展开为无穷级数的方法，用于近似复杂函数。

它利用函数的导数在某一点的值来逼近函数的值。

这些概念是微积分的核心基础，它们相互关联，构成了微积分理论的重要组成部分。

微积分的应用范围广泛，涵盖了物理学、工程学、经济学、生物学等多个领域，并在科学研究和实际问题的解决中起着重要作用。

基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。

()()'F x dx F x C =+⎰ 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。

微积分知识点微积分是数学中重要的分支之一，它研究的是变化与运动的规律，能够描述和解决各种实际问题。

本文将介绍微积分的基本概念和常用的知识点。

一、导数与微分1.导数的定义在微积分中，导数表示函数在某一点上的变化率。

对于函数f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx，定义为极限lim Δx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx。

导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。

2.求导法则求导法则是计算导数的基本规则，常用的法则有：- 常数规则：常数的导数为0；- 变量规则：变量的导数为1；- 基本初等函数的导数：如幂函数、指数函数、对数函数的导数等；- 四则运算法则：加减乘除的导数计算规则。

3.高阶导数高阶导数表示函数的导数的导数，记作f''(x)，也可以表示成dy^2/dx^2。

高阶导数的计算方法与一阶导数类似，可以通过多次求导来得到。

4.微分微分是导数的另一种表示形式，它表示函数在某一点上的变化量。

如果y是函数f(x)在x点的值，dx是x的增量，dy是它对应的函数值的增量，那么微分dy可以表示成dy=f'(x)dx。

微分的应用十分广泛，例如在数值计算、误差分析等领域中都有重要的作用。

二、积分与不定积分1.积分的定义积分是导数的逆运算，它表示函数在一定区间上的累积变化量。

对于函数f(x)，在区间[a, b]上的积分记作∫[a, b] f(x)dx，表示在该区间上函数f(x)与x轴之间的面积。

2.定积分与不定积分积分有两种常见形式，一种是定积分，另一种是不定积分。

- 定积分是区间上的积分，表示计算函数在某一区间上的累积量，其结果是一个确定的数值；- 不定积分是函数的积分，表示求解一个函数的原函数（或称为原始函数）。

不定积分的结果是一个包含常数C的函数集合。

3.牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要公式，它连接了定积分和不定积分。

该公式表示定积分与不定积分之间的关系，即∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是函数f(x)的一个原函数。

《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。

2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。

重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。

2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。

例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。

例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。

\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。

高一数学微积分的基本概念与应用微积分是数学中的一门重要学科，它主要研究函数的变化率、极限、导数与积分等概念与应用。

对于高一学生而言，掌握微积分的基本概念和应用是非常重要的。

本文将介绍高一数学微积分的基本概念和应用，并探讨其在实际问题中的运用。

一、微积分的基本概念在微积分中，有几个基本概念是必须要理解和掌握的。

首先是函数的极限概念。

函数的极限是指函数在某一点上无限接近于某个数值的过程。

这是微积分中非常重要的一个概念，它与导数和积分密切相关。

其次是导数的概念，导数表示函数在某一点上的变化率。

导数可以用来解决函数的极值、切线问题等。

最后是积分的概念，积分表示函数在某一区间上的面积或曲线的长度。

积分可以用来求解定积分和不定积分等问题。

二、微积分的应用微积分的应用非常广泛，它在科学、工程、经济学等领域中都有着重要的应用价值。

以下是微积分在实际问题中的几个常见应用：1. 曲线的切线与法线微积分中的导数可以用来求解曲线在某一点的切线和法线。

通过求解导数，我们可以确定曲线在某一点的斜率，从而得到切线的方程。

利用切线的斜率和该点的坐标，可以进一步求解切线方程。

类似地，法线也可以通过导数来求解。

曲线的切线和法线问题是微积分中的常见应用之一。

2. 函数的极值函数的极值问题也是微积分中常见的应用之一。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极大值和极小值点。

通过求解导数等于零的方程，可以得到函数的驻点。

然后通过二阶导数的符号可以确定这些驻点的类型。

利用这些信息，我们就可以找到函数的极值点。

3. 定积分与面积计算微积分中的定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。

通过将曲线与坐标轴之间的区域分成无穷多个小矩形，并使这些小矩形的面积趋近于零，就可以求解出整个区域的面积。

定积分也可以用来解决其他几何问题，如求解曲线的弧长、旋转体的体积等。

4. 变化率与速度、加速度微积分的导数概念可以用来描述函数的变化率。

在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。