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投针试验练习目标导航1.经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.2.能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.基础过关1.抛掷一枚质量分布均匀的骰子后，出现点数3的概率是（）A.12B.14C.16D.182.抛图钉时，图钉落地有两种情况，一种是针尖向下（如图一所示）一种是钉帽向下（如图二所示），你能通过列表分别算出它们的概率吗？3.小明做“击鼓传花”的游戏，两手交替不停地在鼓上拍打，当喊停时，请你估计小明右手落在鼓上的概率是多少？4.如图，有一轮盘，它的指针一头粗一头细.（1）若将指针固定，转动转盘，指针细的一头指向蓝色区域的概率是多少？.（2）若将转盘固定，转动指针，则细的一头指向蓝色区域的概率和（1）中的概率一样吗？不妨亲自试验一下.5.频数和频率都能反映一个对象在实验总次数中出现的频繁程度，我认为：（1）频数和频率间的关系是_________；（2）每个实验结果出现的频数之和等于_________；（3）每个实验结果出现的频率之和等于_________；6.有三个大小、形状完全相同的骰子，将它们同时抛到地面上，如果把这三个骰子看成一个三角形的顶点，那么构成三角形的概率是多少？构成直角三角形的概率是多少？请组成合作小组进行试验，并讨论其原因.能力提升7.如图，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm和5cm，口袋外有2张卡片，分别写有4cm和5cm.现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别为三条线段的长度，回答下列问题：（1）求这三条线段能构成三角形的概率；（2）求这三条线段能构成直角三角形的概率；（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率；8.如图，数轴上两点A、B，在线段AB上任取一点，同点C到表示1的点的距离不大于2的概率是.9.小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是.聚沙成塔表中是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率．（1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________；（2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_________次正面，正面出现的频率是_________；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________；。
北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》是北师大版数学教材九年级上册第六章第二节的内容。
这一节主要介绍了投针试验的基本概念、原理和应用。
教材通过具体的案例，让学生了解投针试验的原理，培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于概率和统计方面的知识有一定的了解。
但是，对于投针试验这一概念和相关原理可能比较陌生，需要通过具体案例和实践操作来理解和掌握。
三. 说教学目标1.让学生了解投针试验的基本概念和原理。
2.培养学生运用投针试验解决实际问题的能力。
3.培养学生合作交流、归纳总结的能力。
四. 说教学重难点1.投针试验的基本概念和原理。
2.投针试验在实际问题中的应用。
五.说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的案例引导学生理解和掌握投针试验的原理和应用。
2.利用多媒体手段，展示投针试验的实验过程和结果，增强学生的直观感受。
3.学生进行小组讨论和实践操作，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
六.说教学过程1.引入：通过讲解和演示，引导学生了解投针试验的基本概念和原理。
2.实践操作：学生进行小组讨论和实践操作，让学生亲身体验投针试验的过程和结果。
3.案例分析：通过具体的案例，引导学生运用投针试验解决实际问题。
4.归纳总结：学生进行小组讨论和总结，引导学生理解投针试验的应用和意义。
5.巩固提高：布置适量的练习题，让学生进一步巩固和提高投针试验的应用能力。
七.说板书设计板书设计要简洁明了，突出投针试验的基本概念和原理。
可以设计如下：•投针试验是一种实验方法，通过投掷针来研究随机现象。
•投针试验的基本原理是针的随机投掷结果与概率有关。
•投针试验可以应用于估计圆周率π的值。
•投针试验可以解决其他与随机现象相关的问题。
八.说教学评价教学评价主要包括两个方面：过程评价和结果评价。
1.过程评价：主要评价学生在小组讨论和实践操作中的参与程度、合作交流能力和问题解决能力。
北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》教学设计一. 教材分析《投针试验》是北师大版数学九年级上册第六章第二节的内容。
本节课主要介绍了投针试验的基本原理和应用，通过投针试验可以估计π的值。
教材通过实例引导学生探究投针试验的规律，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对概率和统计有一定的了解。
但投针试验作为一种特殊的概率实验，对学生来说较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生逐步理解投针试验的原理，并运用到实际问题中。
三. 教学目标1.了解投针试验的基本原理，学会进行投针试验。
2.能够运用投针试验估计π的值。
3.培养学生的观察能力、思考能力和合作能力。
4.提高学生对数学的兴趣和好奇心。
四. 教学重难点1.投针试验的基本原理。
2.如何进行投针试验。
3.投针试验在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：教师讲解投针试验的基本原理和步骤。
2.演示法：教师演示投针试验，学生跟随操作。
3.讨论法：学生分组讨论，分享投针试验的结果和感受。
4.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用投针试验解决问题。
六. 教学准备1.投针试验材料：针、圆盘、直尺。
2.投针试验教学课件。
3.实际问题案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入投针试验的背景，激发学生的兴趣。
例如，讲述古人是如何猜测π的值的，引出投针试验这一方法。
2.呈现（10分钟）教师讲解投针试验的基本原理和步骤，引导学生理解投针试验的意义。
3.操练（10分钟）学生分组进行投针试验，记录试验结果。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师邀请部分学生分享投针试验的结果和感受，引导学生总结投针试验的规律。
5.拓展（10分钟）教师提出实际问题，引导学生运用投针试验解决问题。
例如，估计一个多边形的周长。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，巩固投针试验的知识。
7.家庭作业（5分钟）教师布置相关的家庭作业，巩固投针试验的知识。
Buffon投针实验一、实验目的：在计算机上用试验方法求圆周率的近似值。
二、实验原理：假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷长度为L(L≤1)的针，则针与平行线相交的概率 P=。
设针的中心M与最近一条平行线的距离为x，则x~U(0,1);针与平行线的夹角为(不管相交与否)，则~U(0,)如图：()在矩阵上均匀分布，且针与平行线相交的充要条件为x≤=；P=P{ x=}。
记录≤成立的次数，记为由-大数定理：≈,则=2。
在计算机上产生则=~U(0,),i=1,2,…,n;再产生，则, i=1,2,…,n三、实验方法及代码：在计算机上进行模拟实验，求出的实验值。
给定L，在计算机上利用MFC独立随机产生x和，然后判断≤是否成立.代码如下：#include "stdafx.h"#include "buffon.h"#include "ChildView.h"#include "ChoiceDlg.h"#include <ctime>#include <cmath>#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif// CChildViewCChildView::CChildView(){Trynum=1000;}CChildView::~CChildView(){}BEGIN_MESSAGE_MAP(CChildView,CWnd )//{{AFX_MSG_MAP(CChildView)ON_WM_PAINT()ON_COMMAND(ID_TOOL_NUM, OnToolNum)ON_COMMAND(ID_TOOL_RETRY, OnToolRetry)//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()// CChildView message handlersBOOL CChildView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs){if (!CWnd::PreCreateWindow(cs))return FALSE;cs.dwExStyle |= WS_EX_CLIENTEDGE;cs.style &= ~WS_BORDER;cs.lpszClass = AfxRegisterWndClass(CS_HREDRAW|CS_VREDRAW|CS_DBLCLKS,::LoadCursor(NULL, IDC_ARROW), HBRUSH(COLOR_WINDOW+1), NULL);return TRUE;}void CChildView::OnPaint(){CPaintDC dc(this),*pDC;pDC=&dc;CFont font, *pOldFont;font.CreatePointFont(200,"宋体");pOldFont=pDC->SelectObject(&font);pDC->SetTextColor(RGB(255,0,0));pDC->TextOut(100,5,"蒲丰投针试验");pDC->SelectObject(pOldFont);CPen myPen1,myPen2, *pOldPen1,*pOldPen2;CRect rect1(30,30,920,620);pDC->Rectangle(rect1);myPen1.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,0,255));pOldPen1=pDC->SelectObject(&myPen1);for(int i=100;i<600;i+=50){pDC->MoveTo(50,i);pDC->LineTo(900, i);}pDC->SelectObject(pOldPen1);myPen2.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,255,0));pOldPen2=pDC->SelectObject(&myPen2);srand(time(0));int a,b,q,a1,b1,su,flag;np=0;for(int j=0;j<Trynum;j++){a=rand()%850+50;b=rand()%450+100;q=rand()%180;a1=25*cos(q);b1=25*sin(q);su=pow(-1,rand()%2);pDC->MoveTo((a-su*a1),(b-su*b1));pDC->LineTo((a+su*a1),(b+su*b1));if( (b%50) >= 25 )flag =50-b%50;elseflag = b%50;if( 25*sin(q) >= flag )np++;}pDC->SelectObject(pOldPen2);CString str;int c=Trynum/(np*1.0);int d=(int)((Trynum/(np*1.0)*100000))%100000;str.Format("投针次数:%d;\n相交次数:%d;\nπ的估算值:%d.%d",Trynum,np,c,d);MessageBox(str,"实验数据信息");}void CChildView::OnToolNum(){CChoiceDlg mydlg;if(mydlg.DoModal()==IDOK){this->Trynum = mydlg.m_Trynum ;this->RedrawWindow();}}void CChildView::OnToolRetry(){// TODO: Add your command handler code herethis->RedrawWindow();}四、实验数据处理与分析：根据实验数据，得到近似值为3.2313，可得相对误差为δ=（3.2313-π）/π≈0.02856；运行截图：五、实验小结：本次实验，通过MFC进行模拟投针，模拟效果较好，随着投针次数模拟的增多，实验结果逼近于π的真实值，但是实验程序有待优化，在较多投针次数的模拟中，实验程序运行速度较慢，可以改进相关算法来做适当调节。
/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y²；﹤z²；等价于（x+y-z）（x²+y²-z²；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。
若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。
可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
公元1777年的一天，法国科学家布丰（D．Buffon1707-1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。
”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙。
“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。
不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。
”说着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。
由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。
布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：在上面故事中，针长等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离d。
可以想象，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。
现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。
显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点、3个交点、2个交点、1个交点，甚至于都不相交。
由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。
