人教b版数学高一必修1同步练习-1.2.1_集合之间的关系 有答案

.2 集合之间的关系与运算1．2.1 集合之间的关系1．设A ＝{正方形}，B ＝{矩形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．C ⊆D D ．A ⊆C2．下列命题中正确的是( )A ．空集没有子集B ．空集是任一集合的真子集C ．空集中的元素个数为零D ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集3．集合A ＝{x|0≤x<3，且x ∈N }的真子集个数为( )A ．16B ．8C ．7D ．44．用恰当的符号填空(＝，⊆，⊇)．(1)已知集合M ＝{1,3,5}，集合P ＝{5,1,3}，则M__________P ；(2)设集合A ＝{x|(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝{x|x －3x ＋3＝0}，则A__________B. 5．用适当的符号填空．(1)a____{a ，b ，c}；(2)0____{x|x 2＝0}；(3)∅____{x|x 2＋1＝0}；(4){0,1}____N ；(5){0}____{x|x 2＝x}；(6){2,1}____{x|x 2－3x ＋2＝0}．1．若集合A ＝{正方形，}B ＝{菱形}，C ＝{矩形}，D ＝{平行四边形}，则下列关系中错误的是……( )A ．AB CB ．A B DC ．A C DD ．A C B2．若集合M ＝{(x ，y)|xy>0且x ＋y>0}，N ＝{(x ，y)|x>0，y>0}，则有( )A ．N ∈MB ．N MC ．N MD ．M ＝N3．设集合M ＝{x|x>1}，P ＝{x|x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．M PD ．M ∪P ＝R4．已知集合A ＝{x|x 2＝a 2，a>0}，B ＝{x|nx ＝a}，若，则n 的取值集合为__________．5．已知A ＝{a,0，－1}，B ＝{c ＋b ，1a ＋b，1}，且A ＝B ，则a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.6．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a}，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}．求：(1)使A ＝{2,3,4}的x 值；(2)使2∈B ，的a ，x 的值；(3)使B ＝C 的a ，x 的值．7．若A ＝{x|－3≤x ≤4}，B ＝{x|2m －1≤x ≤m ＋1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围．1．下列各式中，正确的是( )A ．23⊆{x|x ≤4}B ．23∈{x|x ≤4}C ．{23≤3}D ．{23}∈{x|x ≤4}2．与集合{x ∈N |x>1，且x ≤3}相等的集合是( )A ．{2}B ．{1,2,3}C ．{x|x ＝3，或x ＝2}D ．{x|x ＝3，且x ＝2}3．设集合A ＝{x|1<x<2}，B ＝{x|x<a}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a>2C ．a ≤1D ．a>14．设A ＝{0,1}，B ＝{x|x ⊆A}，则A 与B 的关系是( )A ．B ．A ∈BC ．B ⊆AD ．A ＝B5.A ＝{1,3，a}，B ＝{a 2－a ＋1,1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.6.已知集合A ＝{(a ，b)|a 2＋2b －1＝2a －1，a ∈R ，b ∈R }，B ＝{(1，12)}，则A____B. 7．满足的集合A 的个数有__________个．8．已知集合M 满足{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，写出所有可能的集合M.9．同时满足①M⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M则6－a∈M的非空集合M有多少个？写出这些集合．10．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}．写出满足下列条件的一个集合C.C中各元素加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减去2后，则变为B的一个子集．答案与解析课前预习1．C四个集合之间的关系借助维恩图表示为：显然，A⊆B⊆C，而C D.2．C空集是任意集合的子集，是任一非空集合的真子集．3．C A＝{0,1,2}，则A的单元素子集有{0}，{1}，{2}；双元素子集有{0,1}，{0,2}，{1,2}；还有空集，故共有7个真子集．点评：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集．4．(1)＝(2)⊇(2)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴A⊇B.5．(1)∈(2)∈(3)＝(6)＝(1)是元素和集合的关系；(2)是元素和集合的关系，且{x|x2＝0}＝{0}；(3)是集合与集合的关系，且{x|x2＋1＝0}＝∅；(4)是集合与集合的关系；(5)是集合与集合的关系，且{x|x2＝x}＝{0,1}；(6)是集合与集合之间的关系，且{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}．课堂巩固1．A 正方形是特殊的菱形和矩形；菱形和矩形是特殊的平行四边形．2．D 关键要弄清集合M 、N 中元素的特征性质，其中M 中元素满足：xy>0且x ＋y>0，即为x>0，y>0，所以与N 中元素的特殊性质相同，故M ＝N.3．C 由x 2>1可得x>1或x<－1，∴4．{0，－1,1} ∵A ＝{－a ，a}，当n ＝0时，nx ＝a 无解，即B ＝∅；当n ＝－1时，B ＝{－a}；当n ＝1时，B ＝{a}，∴n 的取值集合为{0，－1,1}．5．1 －2 2 由A ＝B 可得a ＝1，c ＋b ＝0，1a ＋b＝－1， ∴a ＝1，b ＝－2，c ＝2.6．解：(1)由题意知{2,3,4}＝{2,4，x 2－5x ＋9}，∴x 2－5x ＋9＝3.解得，x ＝2或x ＝3.(2)∵2∈B ，，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋9＝3，x 2＋ax ＋a ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－23，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－74，x ＝3.(3)∵B ＝C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(a ＋1)x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，x ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，x ＝－1. 7．解：∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，得2m －1>m ＋1，∴m>2；当B ≠∅时，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4.解之，得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围为m ≥－1.点评：本题容易忽略B ＝∅的情况，出现B ⊆A 或时，一定要讨论全面． 课后检测1．B 弄清楚元素与集合之间，集合与集合之间的关系如何正确表达．2．C {x ∈N |x>1，且x ≤3}＝{2,3}＝{x|x ＝2，或x ＝3}．3．A 借助数轴：点评：当研究数集之间的关系时，数轴是很有效的工具．4．B 集合B 中元素的特征性质是x ⊆A ，∴x 是A 的子集，即集合B 是由集合A 的全体子集所构成的．∴A ∈B.点评：B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，集合A 只是集合B 中的一个元素．5．－2或2 ∵B ⊆A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，由a 2－a ＋1＝3解得a ＝－1或2，由a 2－a ＋1＝a 解得a ＝1，不合题意，∴a ＝－1或2.6．＝ A ＝{(a ，b)|a 2＋2b －1＝2a －1，a ∈R ，b ∈R }＝{(a ，b)|－(a －1)2＝2b －1，a ∈R ，b ∈R }＝{(1，12)}＝B. 7．2 因为，所以A 中至少含有元素1,2,3.同时，所以A 不可能为{1,2,3,4,5}．所以符合题意的集合A 只可能为{1,2,3,4}或{1,2,3,5}．8．解：①当M 中含有两个元素时，M 为{1,2}；②当M 中含有三个元素时，M 为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；③当M 中含有四个元素时，M 为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；④当M 中含有五个元素时，M 为{1,2,3,4,5}．所以满足条件的集合M 为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．9．解：由题意知，a ∈M,6－a ∈M ，且M ⊆{1,2,3,4,5}，故以M 中元素的个数进行分类．①M 中含1个元素时，若3∈M ，则6－3∈M ，∴M ＝{3}；②M 中含2个元素时，M 为{1,5}，{2,4}；③M 中含3个元素时，M 为{1,3,5}，{2,3,4}；④M 中含4个元素时，M 为{1,2,4,5}⑤M 中含5个元素时，M 为{1,2,3,4,5}．因此满足条件的集合共有7个，即{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5，}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．10.解：若A 中元素减去2，得0,2,4,6,7，则C 中元素必在其中，B 中元素加2得3,4,5,7,10，则C 中元素必在其中，所以C 中元素只能是4或7.故C ＝{4}，或C ＝{7}，或C ＝{4,7}．点评：本题采用了逆向思维的方式，要体会“正难则反”的思维方法．。

第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A[答案] A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.6．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N *；3________Z ； 0________N ；(－1)0________N *； 3＋2________Q ；43________Q .(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题9．已知集合A 含有a －2,2a 2＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32.[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2＝0}[答案] B[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[答案] D[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．[答案] {k |5＜k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝________.[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意． 三、解答题7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A ，∴1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等．第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．下列命题中，正确的有( )①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形，∴C⊆B.4．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B ，所以a ≥2. 二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}； {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}． (2)Z ________{x ∈R |x 2＋2＝0}； 0________{0}；Ø________{0}；N ________{0}． [答案] (1)(2) ∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x ∈R |x 2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x ∈R |x 2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝________. [答案] 0或2或－1[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A ＝{x |x －3＞2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }． [解析] (1)∵A ＝{x |x －3＞2}＝{x |x ＞5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}，∴利用数轴判断A 、B 的关系． 如图所示，AB .(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴B A .10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )， 则N ＝{x |x ＝t －13，t ∈Z }；当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋16，t ∈Z }．观察集合M ，N 可知M N .对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝s ＋16，s ∈Z }，当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝2s －12＋16，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －13，s ∈Z }．观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：MN ＝P .解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －1＋16，n －1∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }，比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴MP ＝N .综上可知M P ＝N .能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}，∴MN ，故选B.解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．Ø∈A[答案] B[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2a∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的值不可能是3.4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.6．集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝－x ＋2，y ＝12x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝12x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ，解得a ＝0，b ＝－1.8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x >3}，则M ∪N ＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x ≤5}C ．{x |3<x ≤5}D ．{x |x ≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2[答案] D[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则( )A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø[答案] C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图．要使A∩B＝Ø，应有a<－1.二、填空题7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x ＝0,1或－2.8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.三、解答题9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾，∴a ≠0.②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}．综上可知a ＝－1.10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2<2，∴a ＞－4. 能力提升一、选择题1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－1,1} [答案] C[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( )A ．(1，－1)B ．{x ＝1或y ＝－1}C ．{1，－1}D ．{(1，－1)} [答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0x －y ＝2的解∴M ∩P ＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )A ．C AB ．AC C ．C ⊆AD ．A ⊆C [答案] D[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．[答案] ②③④[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.[答案] {－2，－1,4}[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2， 所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}，所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．三、解答题7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．[解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12. 8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2.当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－2a ＋2＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2.综上可得a ＝2或a ≤－2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,5}，集合B ＝{1,2}，则(∁I B )∩A 为( )A ．{2}B ．{3,5}C ．{1,3,4,5}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{1,2}，则∁I B ＝{3,4,5}．所以(∁I B )∩A 为{3,5}．故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )A．a≥2B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[答案] A[解析] ∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2，故选A.二、填空题7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.[答案] 58．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________.[答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4}三、解答题9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值．[解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解．[解析] 如图所示，∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A ．(∁U A )∩BB ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩(∁U B )D ．A ∪(∁U B )[答案] C[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是________．[答案] a≥2[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，∁R P＝{x|x＜a}．∵M⊆∁R P，∴由数轴知a≥2.6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________.[答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.①又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A .(2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，即－12≤a <3. 综上可得a ≥－12.第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案] B[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C.方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁UB )∩A ＝{4}，求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 3．(2015·陕西模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠Ø，则( )A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案] C[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．[答案]1 12[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为13的线段，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝112.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．[解析] B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩BØ与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，将3代入方程得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}， 故A －B ≠B －A .又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0[答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[答案] C[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[答案] D[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7[答案] B[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A ．成绩y 不是考试次数x 的函数B ．成绩y 是考试次数x 的函数C ．考试次数x 是成绩y 的函数D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1[答案] D6．(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1x)＝3x ，则f (2)的值为( )。

1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B 版)1.下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若A ⊂∅≠，则A ≠∅. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.若2{01}{0}a a b ，，－＝，，，则20132013a b + 的值 为（ ） A.0 B.1 C. －1 D.23.已知集合{}0,1M =，{}221,N N y x y x =+=∈，则,M N 之间的关系是（ ） A.M N = B.M N ⊂≠ C.N M ⊂≠ D.不确定4.下列5个写法：①{0}∈{0,1}；②{}0⊂∅≠；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}. 其中错误的个数是（ ）A.2B.3C.4D.55.已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊂≠，则m 的取值集合为（ ） A.{2}- B.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D.12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6.满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合M 的个数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题（每小题6分，共18分）7.用适当的符号填空：（1）{菱形}________ {平行四边形}； {等边三角形}________{等腰三角形 }. （2）∅________2{|20}x x ∈=＋R ； 0____{ 0 }；∅____{ 0 }；{ 0 } _____N .8.已知集合1,6A x x a a ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭＝Z ，123b B x x b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝＝－，Z ，126c C x x c ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝＝＋，Z ，则,,A B C 之间的关系是________．9.已知集合{}2,A x x x =∈ ≤R ,{},B x x a =≥ 且A B ⊆,则实数a 的取值集合是________． 三、解答题（共46分）10．（8分）设集合A ＝{1，a ， b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数,a b 的值．11.（10分）若集合2{|60}M x x x ＝＋－＝，{|20}N x x x a ＝（－）（－）＝，且N M ⊆，求实数a 的值．12．（13分）设集合2{|560}A x x x ＝－＋＝， {}22(21)0B x x a x a a =-+++=，若B A ⊆，求a 的值.13．（15分）已知集合2{|3100}A x x x ＝－－≤. （1）若B A ⊆，{|121}B x m x m ＝＋－≤≤，求实数m 的取值范围； （2）若A B ⊆，{|621}B x m x m ＝－－≤≤，求实数m 的取值范围； （3）若A B ＝，{|621}B x m x m ＝－－≤≤，求实数m 的取值范围．1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B版)得分：二、填空题7． 8． 9.三、解答题10．11．12．13．1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B 版)1.B 解析：空集只有一个子集，就是它本身.空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．2.A 解析：由题意知2,1a a b ⎧=⎨=-⎩或2,1,a b a ⎧=⎨=-⎩解得0,1a b =⎧⎨=-⎩（舍去）或1,1a b =⎧⎨=-⎩或1,1,a b =-⎧⎨=⎩故201320130a b += .3.B 解析:对于集合N ，先确定它的元素，然后判断其与集合M 的关系.由于{}221,N N y x y x =+=∈={}1,0,1-.故选B .4.B 解析：只有②③正确.5.D 解析：1,3,2M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭（1）0;N m =∅⇒=（2）12;2N m ⎧⎫=-⇒=-⎨⎬⎩⎭（3）1{3}.3N m =⇒=∴ 12,0,.3m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭6.B 解析：因为集合M 真包含集合}3,2,1{，所以M 中一定有元素1，2，3，且除此之外至少还有一个元素.又集合M 真包含于集合}6,5,4,3,2,1{，所以M 中最少有4个元素，最多有5个元素.集合M 的个数等于集合}6,5,4{非空真子集的个数，即6223=-. 7.≠⊂≠⊂ ＝ ∈ ≠⊂ ≠⊂8.A ≠⊂B ＝C 解析：用列举法寻找规律．9.{}2a a -≤ 解析：∵ {}{}2,22,A x x x x x =∈=- ≤≤≤R {},B x x a =≥且A B ⊆，∴2a -≤.10.解：∵ A ＝B 且1∈A ，∴ 1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素的互异性矛盾，∴ a ≠1. 若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍去)． ∴ A ＝{1，－1，b }，∴ B ＝{－1，1，－b }. ∴ b ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)． 故a ＝－1，b ＝0即为所求．11.解：由2x ＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3.因此，M ＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时N ≠⊂ M ； 若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a }，此时N 不是M 的子集， 故所求实数a 的值为2或－3.12.解:（方法一）A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}.由B ⊆A ，得B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}或B ＝{2，3}. 因为Δ＝（2a ＋1）2－4a 2－4a ＝1>0，所以B 必不为空集．当B ＝{2}时，需2a ＋1＝4和a 2＋a ＝4同时成立，此时不存在a 的值． 当B ＝{3}时，需2a ＋1＝6和a 2＋a ＝9同时成立，此时不存在a 的值．当B ＝{2，3}时，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立，此时a ＝2. 综上所述，a ＝2.（方法二） A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，B ＝{x |x 2－（2a ＋1）x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |（x －a ）（x －a －1）＝0}＝{a ，a ＋1}， 因为a ≠a ＋1，所以当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3.所以a ＝2.13.解：由2{|3100}A x x x ＝－－≤，得{|25}A x x ＝－≤≤.（1）∵ B ⊆A ，∴ ①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ；②若B ≠∅，则121,21,21 5.m m m m +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≤解得23m ≤≤.由①②，得m 的取值范围是（－∞，3]．（2）若A ⊆B ，则依题意应有216,62,21 5.m m m m ->-⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥解得5,,m m m >-⎧⎪⎨⎪⎩≤4≥3.故34m ≤≤，∴ m 的取值范围是[3，4]．（3）若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅，即不存在m 值使得A ＝B .。

1．下列各集合中，只有一个子集的集合为( )． A ．{x |x 2≤0} B ．{x |x 3≤0} C ．{x |x 2<0} D ．{x |x 3<0}2．满足条件{}a {},,,M abcd ⊆的所有不同集合M 的个数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．93．已知{|M x R x =∈≥，a ＝π，给定下列关系：①a ∈M ；②{}a M ；③aM ；④{a }∈M ，其中正确的是( )．A ．①②B ．④C ．③D ．①②④4．已知A ＝{x |x <－1，或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当A ⊇B 时，实数a 的取值范围是( )． A ．a ≥4 B ．a >4 C ．a ≤4 D ．a <4 5．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的是( )．A ．M ＝NB ．MN C ．M N D ．M N ⋂=∅6．集合A ＝{a 2，－1，a 2＋1}有子集________个，真子集________个，非空子集________个．7．已知集合{}2(,)|21,R,R A a b a a a b ==-∈∈，1(1,)2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A ________B .8．已知集合A ＝{x |0<x －a ≤5}，|62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭． (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)A 与B 能否相等？若能，求出a 的值，若不能，请说明理由． 9．已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＝1}，若B A ，求实数m 所构成的集合M ，并写出M 的所有子集．10.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x －a ，a ∈R ，x ∈A }，C ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }，是否存在实数a ，使C ⊆B ？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1. 答案：C解析：只有一个子集的集合是空集． 2. 答案：B解析：满足条件的M 有：{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．3. 答案：A解析：注意元素与集合关系和集合与集合关系的区别． 4. 答案：A解析：数形结合知，14a-≤-，∴a ≥4. 5. 答案：B解析：∵1|(21),4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|(2),4N x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭∴M N Ø. 6. 答案：8 7 7解析：无论a 为何值，集合A 中一定有3个元素． 7. 答案：＝解析：∵221a a =-，∴2(21)0a a +-=，即2(1)0a -=. ∴a －1＝0，且2b －1＝0，解得a ＝1，且12b =， ∴1(1,)2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， ∴A ＝B .8. 解：A ＝{x |a <x ≤a ＋5}，|62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭． (1)若A ⊆B ，则0012156a a a a a a ⎧≥≥-⎧⎪⇒⇔≤≤⎨⎨≤⎩⎪+≤⎩，即所求a 的范围是{a |0≤a ≤1}．(2)若B ⊆A ，则62a -≥，或62256a a a a ⎧-<⎪⎪⎪≤-⎨⎪+≥⎪⎪⎩解得a ≤－12，或1012a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪>-⎩故a ≤－12，即B ⊆A 时，a 的取值范围是{a |a ≤－12}． (3)若A ＝B ，即{}|5|62a B x a x a x x ⎧⎫=<≤+=-<≤⎨⎬⎩⎭， ∴256a a a ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩即01a a =⎧⎨=⎩ 这不可能同时成立． ∴A ≠B .9. 解：由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3， ∴A ＝{2,3}． 由BA 知B ＝{2}，或B ＝{3}，或B =∅，若B =∅，则m ＝0；若B ＝{2}，则12m =， 若B ＝{3}，则13m =，故110,,)23M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭． 从而M 的所有子集为∅，{0}，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，13⎧⎫⎨⎬⎩⎭，10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，10,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭，11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，110,,)23⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 10. 解：A ＝{x |－1≤x ≤2}，当x ∈A 时， －2－a ≤2x －a ≤4－a,0≤x 2≤4；∴B ＝{y |－2－a ≤y ≤4－a ，a ∈R ，y ∈R }， C ＝{z |0≤z ≤4，z ∈R }． 若C ⊆B ，则应有20220440a a a a a --≤≥-⎧⎧⇔⇔-≤≤⎨⎨-≥≤⎩⎩.所以存在实数a ∈{a |－2≤a ≤0}时，C ⊆B .。

1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系【选题明细表】1.下列六个关系式:①{a,b}⊆{b,a};②{a,b}={b,a};③{0}⊆∅;④0∈{0};⑤∅∈{0};⑥∅⊆{0},其中正确的个数为( C )(A)6个(B)5个(C)4个(D)少于4个解析:根据集合自身是自身的子集,可知①正确;根据集合无序性可知②正确;根据集合与集合关系及表示可知③⑤不正确;根据元素与集合之间的关系可知④正确;根据空集是任何集合的子集可知⑥正确.即正确的关系式个数为4个,故选C.2.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x-1},B={(1,0),(3,2)},则下列关系不正确的是( B )(A)(1,0)∈A (B)(3,2)⊆A(C)B⊆A (D)B A解析:因为(3,2)表示元素,而“A”是集合,所以两者之间不能用集合与集合之间的符号“⊆”来表示.故选B.3.已知集合A={x∈N*|0<x<3},则满足条件B⊆A的集合B的个数为( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)8解析:因为A={x∈N*|0<x<3}={1,2},又B⊆A,所以集合B的个数为22=4个,故选C.4.已知集合A={x|x=a2+1,x∈N},B={y|y=b2-4b+5,b∈N},则有( A )(A)A=B (B)A B (C)B A (D)A⊈B解析:由于y=b2-4b+5=(b-2)2+1≥1,所以B={y|y≥1且y∈N},故A=B.故选A.5.集合U,S,T,F的关系如图所示,下列关系错误的有.①S U;②F T;③S T;④S F;⑤S F;⑥F U.解析:根据子集、真子集的Venn图知S U,S T,F U.答案:②④⑤6.(2018·河北衡水市枣强中学期中)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a= .解析:因为B⊆A,所以a2-a+1=3或a2-a+1=a.①由a2-a+1=3得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足B⊆A,当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足B⊆A.②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0,解得a=1,当a=1时,A={1,3,1},不满足集合元素的互异性.综上,若B⊆A,则a=-1或a=2.答案:-1或27.已知非空集合M满足:对任意x∈M,总有x2∉M且∉M,若M⊆{0,1,2,3,4,5},则满足条件M的个数是( A )(A)11 (B)12 (C)15 (D)16解析:由题意M是集合{2,3,4,5}的非空子集,有15个,且2,4不同时出现,同时出现有4个,故满足题意的M有11个.故选A.8.设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则( B )(A)M=N (B)M⊆N (C)N⊆M (D)无法确定解析:由集合M={x|x=+,k∈Z}得x=+=,分子是奇数,由集合N={x|x=+,k∈Z}得x=+=,分子可以是奇数也可以是偶数,则M⊆N,故选B.9.(2018·黑龙江大庆一中段考)已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则B的子集个数为( D )(A)3 (B)4 (C)7 (D)8解析:当⇒z=0,当⇒z=1,当⇒z=1,当⇒z=2,所以B={0,1,2},B的子集个数为23=8,故选D.10.设集合M={x|2a-1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},若N⊆M,则实数a的取值范围是.解析:用数轴表示题中关系如图,显然要使N⊆M,则有解得≤a≤1.答案:{a|≤a≤1}11.已知a∈R,x∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+ (a+1)x-3,1},求:(1)使A={2,3,4}时,x的值;(2)使2∈B,B A时,a,x的值;(3)使B=C时,a,x的值.解:(1)因为A={2,3,4},所以x2-5x+9=3,所以x2-5x+6=0,所以x=2或x=3.(2)因为2∈B且B A,所以所以或均符合题意.所以a=-,x=2或a=-,x=3.(3)因为B=C,所以①-②并整理得a=x-5, ③③代入①并化简得x2-2x-3=0,所以x=3或x=-1.所以a=-2或a=-6,经检验,a=-2,x=3或a=-6,x=-1均符合题意.所以a=-2,x=3或a=-6,x=-1.12.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={y|y=2x-a,a∈R,x∈A},C={z|z=x2, x∈A},是否存在实数a,使C⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.解:A={x|-1≤x≤2},当x∈A时,-2-a≤2x-a≤4-a,0≤x2≤4,所以B={y|-2-a≤y≤4-a,a∈R,y∈R},C={z|0≤z≤4,z∈R}.若C⊆B,则应有⇔⇔-2≤a≤0.所以存在实数a∈{a|-2≤a≤0}时,C⊆B.。

1．下列各集合中，只有一个子集的集合为( )．A ．{x|x 2≤0}B ．{x|x 3≤0}C ．{x|x 2<0}D ．{x|x 3<0}2．满足条件{}a {},,,M a b c d ⊆的所有不同集合M 的个数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．93．已知{|M x R x =∈≥，a ＝π，给定下列关系：①a ∈M ；②{}a M ；③a M ；④{a}∈M ，其中正确的是( )． A ．①② B ．④ C ．③ D ．①②④4．已知A ＝{x|x<－1，或x>2}，B ＝{x|4x ＋a<0}，当A ⊇B 时，实数a 的取值范围是( )．A ．a ≥4B ．a>4C ．a ≤4D ．a<45．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的是( )．A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M N ⋂=∅6．集合A ＝{a 2，－1，a 2＋1}有子集________个，真子集________个，非空子集________个．7．已知集合{}2(,)|21,R,R A a b a a a b ==-∈∈，1(1,)2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A________B.8．已知集合A ＝{x|0<x －a ≤5}，|62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭． (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A与B能否相等？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．9．已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B A，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集．10.已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{y|y＝2x－a，a∈R，x∈A}，C＝{z|z ＝x2，x∈A}，是否存在实数a，使C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1. 答案：C解析：只有一个子集的集合是空集．2. 答案：B解析：满足条件的M 有：{a ，b}，{a ，c}，{a ，d}，{a ，b ，c}，{a ，b ，d}，{a ，c ，d}，{a ，b ，c ，d}．3. 答案：A解析：注意元素与集合关系和集合与集合关系的区别．4. 答案：A 解析：数形结合知，14a -≤-，∴a ≥4. 5. 答案：B解析：∵1|(21),4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|(2),4N x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭ ∴M N Ø.6. 答案：8 7 7解析：无论a 为何值，集合A 中一定有3个元素．7. 答案：＝解析：∵221a a =-，∴2(21)0a a +-=，即2(1)0a -=.∴a －1＝0，且2b －1＝0，解得a ＝1，且12b =，。

1.2.1 集合之间的关系课时过关·能力提升1集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是()A.9B.8C.7D.6x∈N,n∈N,所以x=5-2n的值为5,3或1.所以集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.所以其子集的个数是23=8.2若集合P={x|x<4},Q={x|-2<x<2,x∈Z},则()A.Q∈PB.Q⫋PC.P⫋QD.P=QQ={x|-2<x<2,x∈Z}={-1,0,1},P={x|x<4},所以Q⫋P.3已知集合M={x|x>3},N={x|x>2},则M与N的关系可用Venn图表示为()M⫋N,故D选项正确.4已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.5已知集合M=∈,N=-∈,则集合M,N的关系是()A.M⊆NB.M⫋NC.N⊆MD.N⫋Mn=2m或n=2m+1,m∈Z,则有N=-或-∈=-或x=m+∈.又因为M=∈,所以M⫋N.6若非空数集A={x|2a+ ≤x≤ a-5},B={x| ≤x≤ } 则能使A⊆B成立的所有实数a的取值集合是() A.{a| ≤a≤9}B.{a| ≤a≤9}C.{a|a≤9}D.⌀A为非空数集,∴2a+ ≤ a-5,即a≥ .又∵A⊆B,∴-即9∴ ≤a≤9.综上可知,实数a的取值集合是{a| ≤a≤9}.7已知集合A={1,3,6},集合B={3,a-2},若B⊆A,则实数a的值为.,得a-2=1或a-2=6,解得a=3或a=8.或88已知A={a,0,-1},B=,若A=B,则a=,b=,c=.A=B,可知b+c=0,a=1,=-1,解得a=1,b=-2,c=2.-2 29已知集合P={1,2,3,4},Q={0,2,4,5},则满足A⊆P,且A⊆Q的集合A为.A=⌀,则满足A⊆P且A⊆Q;若A≠⌀,由A⊆P且A⊆Q知集合A是由属于P且属于Q的元素构成,此时A可以为{2},{4},{2,4},故满足条件的集合A为⌀,{2},{4},{2,4}.,{2},{4},{2,4}10已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|(m-1)·x-1=0},且B⊆A,则以实数m为元素所构成的集合M 为.{x|x2-5x+6=0}={2,3}.因为B⊆A,所以B=⌀或{2}或{3}.当B=⌀时,⌀⊆A,满足题意,则m-1=0,即m=1;=2,得m=;当B={2}时,-=3,得m=.当B={3}时,-所以M=.★11已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|m<x<4-m},且B⊆A,求实数m应满足的条件.B是关于x的不等式m<x<4-m的解集,需要对集合B是否为空集分类讨论.B⊆A,所以B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,⌀⊆A,满足题意,则有m≥ -m,此时m≥ ;-当B≠⌀时,则有解得 ≤m<2.-综上可知,实数m满足的条件是 ≤m<2或m≥ 即m≥ .。

集合之间的关系与运算集合之间的关系分钟训练.设{正方形}{矩形}{平行四边形}{梯形},则下列包含关系中不正确的是()答案：解析：四个集合之间的关系借助韦恩图表示为显然,而..下列四个命题：①{};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有()个个个个答案：解析：只有②是正确的..集合{∈，∈}的真子集的个数是( )答案：解析：当时,得到的值分别为.∴集合{∈，∈}{，，}.∴其真子集的个数是..用恰当的符号填空(,,).()已知集合{},集合{},则;()设集合{()()}{},则.答案：() ()解析：()∵{}{},∴.分钟训练.下列说法中正确的是()①空集是任何集合的真子集②若,则③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集④如果不属于的元素也不属于,则.①②.②③.③④.②④答案：.集合{∈<<且≠}的真子集的个数是()答案：解析：∵{∈<<且≠}{∈<<且≠}{},∴它的真子集个数是..已知集合{，}有且只有个子集，则实数的取值范围是().（∞，）∪（，∞）.{≠，∈}.{≠且≠，∈}答案：解析：由已知{，}有且只有个子集，可知≠.解得≠且≠..已知集合{},集合{}.若,则实数.答案：解析：∵,∴∈.∴..图中反映的是“文学作品、散文、小说、叙事散文”这四个文学概念之间的关系,请作适当的选择填入下面的空格为为为为.答案：小说文学作品叙事散文散文.设集合{∈*},集合{∈*},若∈,试判断与集合的关系及集合与的关系.解：∵∈,∴(∈*).()()().设,则∈*,∴(∈*).∴∈.又∈,但,∴.分钟训练.集合{，∈}，{，∈}，{，∈}，则、、之间的关系是( )答案：解析：可简单列举集合中的元素,也可从判断元素的共性和差异入手{，∈}，{，∈}，{，∈}.由于（）和都表示被除余的数，而表示被除余的数，所以..满足条件{，}{，，，}的集合的个数是( )答案：解析：∵{，}{，，，}，∴中至少有、两个元素，至多有、、或、、三个元素.∴集合可能有三种情况：{，}，{，，}，{，，}.∴集合的个数是.故选..(创新题)设集合{∈}{π∈},则下列图中能表示、关系的是()。