热点1客观题中的集合、复数、平面向量-2018年高考数学三轮复习核心热点(全国通用版)

2018届高考数学热点难点突破—熟记概念巧解复数问题考纲要求:1．理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示形式及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算．3.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．基础知识回顾:一、复数的有关概念 1．复数的概念形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若b ≠0，则a ＋bi 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数． 2．复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 3共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复数的模向量OZ的模r 叫做复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋bi |，即|z |＝|a ＋bi |＝a 2＋b 2.二、复数的几何表示及意义(1)复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R ) ←−−−→一一对应平面向量 OZ .三、复数的运算1．复数的乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi )·(c ＋di )＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(2)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋di ≠0)．2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．应用举例:类型一复数的概念例1．【2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试】若复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A . 2i +B . 2i -C . 5i +D . 5i - 【答案】D点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式，复数z a b i =+实部为a ，虚部为b ，共轭复数OP 实部为()1O P t O A t O B =-+，虚部为()1O P t O A t O B=-+，在复平面内对应的点关于是轴对称。

集合专题复习（知识点+2018年高考题）1、集合（1）把研究的对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。

集合中元素的特性： 、 、 。

(2)只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合 。

（3）元素与集合的关系集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 ，相反，a 不属于集合A 记作 。

①列举法：把集合中的 一一列举出来，然后用一个大括号括上。

②描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 。

(6)集合间的基本关系① 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的____________,记作____________.②如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的____________.记作：_____________.③把不含任何元素的集合叫做____________.记作：∅.并规定：________是任何集合的子集.④如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有 子集， 个真子集， 个非空真子集。

(7)集合间的基本运算①一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的____________,记作：B A Y .②一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的____________ ,记作：B A I .③全集、补集: =A C U ______________________.（8）交集、并集和补集的性质①交集性质：=A A I ，=φI A ，=B A I ；A I （A C U ）= ， ②并集性质：=A A Y ，=φY A ，=B A Y ；A Y （A C U ）= 。

③ 德摩根律： （课本P11练习4题）（A C U ）I （B C U ）= ，（A C U ）Y （B C U ）= 。

考点01 集合1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：a Aa A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：集合非负整数集正整数集整数集有理数集实数集复数集(自然数集)符号N*N 或+NZQRC注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系表示关系自然语言 符号语言图示基本关系子集集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素 A B ⊆（或 B A ⊇）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B ⊂≠（或 B A ⊃≠）相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集 A B =空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 1．集合的基本运算 运算自然语言 符号语言Venn 图交集由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合{|}A B x x A x B =∈∈且并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合|}{A B x x A x B =∈∈或补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{|}UA x x U x A =∈∉且2．集合运算的相关结论 交集 A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = 并集 AB A ⊇AB B ⊇AA A =A A ∅=AB BA =补集()UU A A =UU =∅ UU ∅=()U A A =∅ ()U A A U =3．必记结论(.)UUU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅考向一集合的基本概念解决集合概念问题的一般思路：（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表： 集合(){0|}x f x = (){0|}x f x > (){|}x y f x =(){|}y y f x = (){(,)|}y x y f x =集合的意义方程()0f x =的解集不等式()0f x >的解集函数()y f x =的定义域函数()y f x =的值域函数()y f x =图象上的点集（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.典例1设集合{1,2,4}A =，集合{|,,}B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合B 中元素的个数是 A ．4 B ． C ． D ． 【答案】C【解析】当a =b 时，x =2，4，8；当b a ≠时，x =3，5，6.所以集合B 中元素的个数是6.故选C. 【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确．1．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 A ．3 B ．6 C ．8 D ．10考向二集合间的基本关系集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.典例2 已知集合{}2|320,A x x x x =-+=∈R ，{}|05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A C B⊆⊆的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D方法二：易知{}2|320,A x x x x =-+=∈R ()(){}|120,x x x x =--=∈R {}1,2=，{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为⊆⊆A C B ，所以C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个，故选D.【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．2．已知12{|,01}A y y x x ==≤≤,,若,则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．考向三 集合的基本运算有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有： （1）有限集（数集）间集合的运算求解时，可以用定义法和Venn 图法，在应用Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏. （2）无限集间集合的运算常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围. （3）用德·摩根公式法求解集合间的运算 对于有()()UU A B 和()()U U A B 的情况，可以直接应用德·摩根公式()()()UU U A B A B =和()()()UU U A B A B =进行运算.典例3已知22,{|1},{|log }U A y y x B x y x ===-==R ，则A B =A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．(],1-∞-D ．[)1,+∞ 【答案】D【解析】由题意得[)[)[)1,,1,,1,A B AB =-+∞=+∞∴=+∞,故选D.【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到．3．已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q ()= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}考向四 与集合有关的创新题目与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．典例4 设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V =Z ，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A1．已知集合{}|1A x x =>-，则下列选项正确的是 A ．0A ⊆ B ．{}0A ⊆ C ． A ∅∈ D ．{}0A ∈ 2．已知集合{|4},{|1210}A x x B x x =≥=-≤-≤，则()A B =RA ．（4，＋∞）B ．C ．（12，4] D ．（1，4] 3．已知全集U =R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn)图是A ．B ．C ．D ．4．若集合2={|10}A x ax ax ∈++=R 中只有一个元素,则a =A ．4B ．2C ．0D ．0或45．已知集合{}4,5,6P =，{}1,2,3Q =，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对6．设集合2{|2},{|}M x y x x N x x a ==-=≤，若M N ⊆，则实数的取值范围是________. 7．已知集合{,,}{0,1,2}a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于________.1．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R2．（2017新课标全国Ⅱ文科）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 3．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知集合A ={1,2,3,4}，B ={2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017北京文科）已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则UA =A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞5．（2017天津文科）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()AB C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}1．【答案】D【解析】列举得集合{2,1,3,1,4,1,5,1,3,2,4,2,5,2,4,3,5,3,5,4}B =()()()()()()()()()(),共含有10个元素.【名师点睛】求解时，一定要注意代表元素的含义和集合的类型，是数集还是点集. 2．【答案】D【名师点睛】已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍． 3．【答案】C【解析】根据补集的运算得{2,4,6}UP =，则{2,4,6}{1,2,4}{1,2,4,6}U P Q ==()．故选C ．1．【答案】B【解析】元素与集合的关系，用 ∈ ；集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B 正确. 2．【答案】B【解析】由题意得，[4,)A =+∞，1[0,]2B =，∴()1[0,]2A B =R，故选B ．3．【答案】B 【解析】{}1,0,N =-∴集合N 是集合M 的真子集，故选B.4．【答案】A【解析】由题意得方程210ax ax ++=只有一个实数解,当0a =时,方程无实数解;当0a ≠时,则2=4=0Δa a -,解得4a =(0a =不符合题意,舍去).考点冲关变式拓展5．【答案】C【解析】根据新定义的运算可知{}1,2,3,4,5P Q ⊕=，P Q ∴⊕的所有非空真子集的个数为52230-=，故选C.6．【答案】2a ≥ 【解析】2{|20}{|02},{|},M x x x x x N x x a M N =-≥=≤≤=≤⊆，∴2a ≥.7．【答案】2011．【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<，选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 2．【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 3．【答案】B【解析】由题意可得{}2,4A B =，故A B 中元素的个数为2，所以选B.4．【答案】C直通高考【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22UA x x =-≤≤，故选C.【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 5．【答案】B【解析】由题意可得{}1,2,4,6AB =，所以{}()1,2,4A BC =．故选B ．。

第一部分平面向量的概念及线性运算向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】1. 判断正误（在括号内打或“X”）⑴零向量与任意向量平行.（）（2）若a// b, b// c,贝U a// c.（）⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（）⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（）2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（）A.①B.③C.①③D.①②3.(2017•枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =()A.2B.3C. —2D. —34.(2015 •全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X =5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示).1 26.（2017 •嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE= 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ , 入2= _______________ .考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是 _________ （填序号）.①若I a| = |b| ,则a= b；②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a= b, b= c,贝V a= c.【训练1】下列命题中，正确的是 _________ （填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；a, b都是单位向量，则a= b；考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若 AB= a + b , BC= 2a + 8b , CD= 3( a — b ).求证：A, B , ⑵ 试确定实数k ,使ka + b 和a + kb 共线.【训练 3】已知向量 AB= a + 3b , BC= 5a + 3b , CD=- 3a + 3b ，则( )A.AB, C 三点共线 B.A, B, D 三点共线 C.A, C D 三点共线D.B, C, D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1. 平面向量的基本定理如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 对实数入1,入2,使a =入e+入2e 2.其中，不共线的向量 e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a =(X 1, y” , b = (X 2, y 2)，贝U③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 答案③考点二平面向量的线性运算1【例2】(2017 •潍坊模拟)在厶ABC 中, P , Q 分别是AB BC 的三等分点，且 AP= 3AB BQ= 13BC 若AB= a , AC= b ,则 PQ=( )311 A ・3a +3b 1 1B. — 3a +3b 1 1 C.J a -3b1 1 D. - 3a — 3b【训练2】(1)如图，正方形 ABCDK 点 E 是DC 的中点, 靠近B 点的三等分点，那么 EF 等于(A .^AB ^2D 三点共线;a ,有且只有-点F 是BC 的一个A BC.a+ b= (x i + X2, y土y) , a—b= (x i—X2, y i—y2), X a=(入x i, hy , | a| = ：x1+y?.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(x i，y i)，B(x?，y?)，则AB= (x? —X i，y?—y i)，| AB = : (x?—X i)?+( y? —y i) 24. 平面向量共线的坐标表示设a= (x i, y i) , b= (x?, y?)，贝y a// b? x i y? —x?y i = o.【基础练习】i.(?0i7 •东阳月考)已知向量a= (2 , 4) , b= ( —1 , 1),则2a+ b 等于()A.(5 , 7)B.(5 , 9)C.(3 ,7)D.(3 , 9)2.(20i5 -全国I卷)已知点A(0 , i), B(3 , 2),向量AC= ( —4, —3),则向量BC=( )A.( —7,—4)B.(7 ,4)C.( —1,4)D.(i ,4)3.(20i6 -全国n卷)已知向量a= (m4) , b= (3 , —2)，且a / b,则m=4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺顶点A—i, —2),耳3 , —i) , C(5 , 6),则顶点D的坐标为考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(2014 •全国I卷)设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点，贝U EB+ F C= ( )A.ADB.[A DC.1B CD. BC >4【训练1】如图，已知AB= a , AC= b , BD= 3DC用a , b表示AD则AD= __ .a DC"考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a = (5 , 2) , b= ( —4, —3) , c= (x , y),若3a—2b+ c = 0,则c =( ) A.( —23 , —12) B.(23 , 12)C.(7 , 0)D.( —7 , 0)【训练2】(1)已知点A— 1 , 5)和向量a= (2, 3),若AB= 3a ,则点B的坐标为()A.(7 , 4)B.(7 , 14)C.(5 , 4)D.(5 , 14)⑵(2015 •江苏卷)已知向量a= (2 , 1), b= (1 , —2).若na+ nb= (9 , —8)( m n € R),则m—n的值为_________ .考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a= (1 , 2), b= ( — 2 , m,且a / b,贝U 2a+ 3b= ___________(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2 , 3) , B (4 , — 3)，点P 在线段AB 的延长线上，且| AFf =|| Bp ，则点P 的坐标为 ____________单位向量是()⑵若三点A (1 , - 5),政a , — 2) , q — 2, - 1)共线，则实数a 的值为 _____________ .第三部分 平面向量的数量积及其应用1. 平面向量数量积的有关概念⑴ 向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ,记O A a , O B- b ,则/ AOB- 0 (0 ° < 0 < 180°)叫做向量a 与b 的夹角.⑵ 数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为 0，则数量| a || b |cos 0叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a • b ,即a • b = | a || b |cos ___ 0,规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 • a = 0.⑶数量积几何意义：数量积a • b 等于a 的长度| a |与b 在a 的方向上的投影| b |cos 0的乘积. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2), 0为向量a , b 的夹角.⑴ 数量积：a • b = | a || b |cos 0 = X 1X 2+ y i y 2.(2) 模：| a | = , a • a = , x i + y i . 亠宀 a • bX 1X 2+ y i y 2(3) 夹角：C0S 0= 1 冲=——2222.丨 a ll b | 寸x i + y i •寸X 2 + y 2⑷ 两非零向量 a 丄b 的充要条件：a • b = 0? X 1X 2+ y i y 2= 0.(5)| a • b | <| a || b |(当且仅当 a // b 时等号成立)？ | X 1X 2+ yyl w 寸x ；+ y ： • p x 2+ y 2. 3. 平面向量数量积的运算律：(1) a - b = b • a (交换律).(2)入a • b = X (a • b ) = a •(入b )(结合律).(3)( a + b ) - c = a - c + b - c (分配律). 【基础练习】1. (2015 •全国 n 卷)向量 a = (1 , — 1), b = ( — 1, 2)，则(2a + b ) - a 等于( )A. — 1B.0C.1D.22. (2017 •湖州模拟)已知向量a , b ,其中|a | = 3, | b | = 2，且(a — b )丄a ，则向量a 和b 的 夹角是 ________ .2 n3. (2016 •石家庄模拟)已知平面向量a , b 的夹角为, |a | = 2,|b | = 1，则| a + b | = ________ .【训练3】 (1)(2017 •浙江三市十二校联考)已知点A (1 , 3) , B (4 , — 1)，则与AB 同方向的3-4-- D4 - 53 - 5-3 - 5 -4 -4 - 5-3 - 5A35. (必修4P104例1改编)已知I a| = 5, | b| = 4, a与b的夹角0 = 120°,则向量b在向量a方向上的投影为 _________ .6. _______________________________________ (2017 •瑞安一中检测)已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 a = (1 , 2) , |b | = 1, 且a + b 与a — 2b 垂直，则向量 a • b =； a 与b 的夹角0的余弦值为 ________________________________ .【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知) 【例1】(1)(2015 •四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形, 足B M= 3^C 6N = 2hf c 则 AM ・ NM 等于（ ） A.20B. 15C.9D.6⑵(2016 •天津卷)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点连接DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF • BC 的值为(【训练1】(1)(2017 •义乌市调研)在Rt △ ABC 中 , / A = 90° , AB= AC= 2,点D 为AC 的中 点，点E 满足1BE= 3B C 则尺E ・E3D= _____⑵(2017 •宁波质检)已有正方形 ABC 啲边长为1,点E 是AB 边上的动点，贝U 0E- CB 勺值为 ________ ； 6E - [5C 的最大值为 ______ . 考点二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2016 •全国n 卷)已知向量a = (1 , m ) , b = (3 , — 2),且(a + b )丄b ,则 作( )A. — 8B. — 6C.6D.8⑵ 若向量a = (k , 3), b = (1 , 4), c = (2, 1),已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取值 范围是_______________ .【训练2】(1)(2016 •全国川卷)已知向量BA= 1 ,右3 , BC= , 2 ,则/ ABC=()A.30 °B.45 °C.60°D.120°2 2 2(2)(2016 •全国I 卷)设向量 a = (m 1) , b = (1 , 2),且 |a + b | = | a | + | b | ,贝 Um ^ .考点三平面向量的模及其应用n【例3】(2017 •云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于—,若|a | = 2 , | b | = 3,则 |2a — 3b | =()| AB = 6, |AD | = 4，若点 M N 满D, E 分别是边AB BC 的中点,11A . —8B.81。

2018年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】热点一 集合、复数、平面向量【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】1. （2017全国卷2）设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若1AB =,则B =（）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C【解析】由题意知1x =是方程240x x m -+=的解,代入解得3m =,所以2430x x -+=的解为1x =或3x =,从而{}13B =，.故选C. 2.（2017全国卷3）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=,{}(,)B x y y x ==,则A B 中元素的个数为（）.A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】By=xx 2+y 2=1yxO3.【2016全国卷3】设集合{}(2)(3)0S x x x =--…,{}0T x x =>,则S T I =（）. A.[]2,3 B.(][),23,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][)0,23,+∞U 【答案】D【解析】由{}{}32,0S x x x T x x ==>或??,得S T =I {}0<23.x x x或剠故选D.4.【2016全国卷1】设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B =I （）. A.33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得()1,3A =,3,2B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭,所以3,32A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I .故选D. 5. （2017全国卷1）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =；4:p 若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为（）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p 【答案】B6. （2107全国卷3）设复数z 满足()1i 2i z +=,则z =（）.A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】C【解析】由题意得()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-,则22112z =+=.故选C. 7．【2016全国卷3】若12i z =+,则4i1zz =-（）. A.1 B.1- C.i D.i - 【答案】C【解析】 因为25,z z z⋅==所以4i 4ii 14zz ==-.故选C. 8.【2016全国卷2】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是(). A.()31-，B.()13-，C.()1+∞，D.()3-∞-，【答案】A【解析】由题意知,30m +>,10m -<,所以31m -<<.故选A ．9. （2017全国3理12）在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为（）.A ．3B ．22C.5D ．2【答案】A【解析】解法一：由题意,作出图像,如图所示．设BD 与C 切于点E ,联结CE ．以点A 为坐标原点,AD 为x 轴正半轴,AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系,则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =,||2BC =．所以22125BD =+=．因为BD 切C 于点E ．所以CE ⊥BD ．所以CE是Rt BCD △斜边BD 上的高．122225255BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅====△,即C 的半径为255．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ,可以设出点P 坐标满足的参数方程00252cos 5251sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,而00(,)AP x y =,(0,1)AB =,(2,0)AD =． 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=, 所以0151cos 25x μθ==+,0251sin 5y λθ==+． 两式相加得()222552551sin 1cos 2sin 5555λμθθθϕ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin()3θϕ++≤ (其中5sin 5ϕ=,25cos 5ϕ=),当且仅当π2π2k θϕ=+-,k ∈Z 时,λμ+取得最大值为3．故选A. EPDCBA O ()y x解法二：如图所示,考虑向量线性分解的等系数和线,可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA10. （2017全国卷2）已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）.A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】BPEDCBA解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系,以的BC 的中点为坐标原点,所以()03A ，,()10B -，,()10C ，．设点()P x y ，,()3PA x y =--，,()1PB x y =---，,()1PC x y =--，,所以()222232PA PB PC x y y ⋅+=-+2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时0x =,32y =．故选B.11.【2016全国卷3理文】已知向量13,22BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu v ,31,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u v ,则ABC ∠=（ ）. A.30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】A【解析】由3cos 2BA BC ABC BA BC⋅∠==.又0πABC <∠<,所以π6ABC ∠=. 故选A.12.【2016全国卷1乙理】设向量(,1)m =a ,(1,2)=b ,且222+=+a b a b ,则m = . 【答案】2-【热点深度剖析】1.高考对集合问题的考查,主要以考查概念和计算为主,考查两个集合的交集、并集、补集运算；从考查形式上看,主要以小题形式出现,常联系不等式的解集与不等关系,试题难度较低,一般出现在前三道题中,常考查数形结合、分类讨论等数学思想方法, 预测2018年高考仍是考查集合的运算为主, 理科考查不等式解集的交集与并集运算,文科考查离散数集的运算,理科可能与指对不等式及分式不等式结合,会涉及到集合的交集、并集、补集, 文科主要考查集合的交集与并集运算,另外集合的子集及补集问题已连续3年没有考查,今年考查的可能性比较大．2.从近三年的高考试题来看,复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点,每套高考试卷都有一个小题,并且一般在前三题的位置上,主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算,预测2018年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点,其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！3.从近几年的高考试题来看,向量的运算,向量的几何意义,平面向量基本定理,向量的数量积,向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,及向量的数量积及运算律,向量垂直的充要条件是高考的热点,题型既有选择题、填空题,有时也涉及解答题,往往和解析几何结合出题,函数等结合出题,与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及,而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本,重点突出,有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接,全面考查向量的数量积及运算律等内容．预测2018年高考将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示,向量的数量积,向量的平行,垂直为主要考点.另外还要注意向量与平面几何、三角、解析几何知识交汇问题． 【重点知识整合】1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,2.空集是一个特殊且重要的集合,它不含有元素,是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.要掌握有空集参与的集合间的关系或运算,特别是根据两个集合的包含关系来讨论参数的值或范围时,不要忽视空集的特殊性.如遇到AB =∅时,你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时,你是否忘记∅=A 的情形？3.对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n，12-n .22-n4.集合的运算性质：⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵AB B B A =⇔⊆；⑶A B ⊆⇔u u A B ⊇痧；⑷u uA B A B =∅⇔⊆痧； ⑸u A B U A B =⇔⊆ð； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C AB C A C B =.5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素.如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集.6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.7.复数的基本基本概念：⑴a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.（3）复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<. 8.复数运算公式：设1z a bi =+,2(,,,)z c di a b c d R =+∈,12()()z z a c b d i ±=±+±,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++,1222222(0)z ac bd bc ad i z z c d c d +-=+≠++. 9.复数中的几个重要的结论：⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠. 10.复数中的常用计算结论： ⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i ii +-=,11i ii -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11zz zz z =⇔=⇔=；1322i ω=-+,21322i ωω=--=,31ω=,210ωω++=. （1）两个向量的夹角：对于非零向量a ,b ,作,OA a OB b ==,AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ,b 的夹角,当θ＝0时,a ,b 同向,当θ＝π时,a ,b 反向,当θ＝2π时,a ,b 垂直.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ,b ,它们的夹角为θ,我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积）,记作：a ∙b ,即a ∙b ＝cos a b θ.规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量.（3）b 在a 上的投影为||cos b θ,它是一个实数,但不一定大于0.（4）a ∙b 的几何意义：数量积a ∙b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. （5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ,b ,其夹角为θ,则： ①0a b a b ⊥⇔∙=；②当a ,b 同向时,a ∙b ＝a b ,特别地,222,a a a a a a =∙==；当a 与b 反向时,a ∙b ＝－a b ；当θ为锐角时,a ∙b ＞0,且 a b 、不同向,0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时,a ∙b ＜0,且 a b 、不反向,0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ,b 夹角θ的计算公式：cos a b a bθ∙=；④||||||a b a b ∙≤.11．向量的运算： （1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==,那么向量AC 叫做a 与b 的和,即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么,由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同. （2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==,则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±,12)y y ±. ②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==.③若1122(,),(,)A x y B x y ,则()2121,AB x x y y =--,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.④平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=+. ⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+.12．向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+,()()a a λμλμ=,a b b a ∙=∙；(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+,()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙；（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+,()a b c a c b c +∙=∙+∙.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律,即c b a c b a )()(∙≠∙,为什么？13．向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0.如(13)设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===,则k ＝_____时,A,B,C 共线.14．向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=.特别地()()AB AC AB AC ABACABAC+⊥-.【应试技巧点拨】1.分析集合关系时,弄清集合由哪些元素组成,这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化,也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化,同时还要善于将多个参数表示的符号描述法(){}x p x 的集合化到最简形式．此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时．因此分类讨论思想是必须的．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系．2.求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴,进而用集合语言表示,增强运用数形结合思想方法的意识．要善于运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法来解决集合的问题．要注意若A B ⊆,则,A B A A B B ==,U U C A C B ⊇,U A C B φ=这五个关系式的等价性．已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．3.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式,以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥. 4.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.5. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ 相互联系,即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ ； (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观．6. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i 的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式．7.如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题,特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材,常见的结论如下：①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心,特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上的中线AD 上的任意向量,过重心；()1,2AD AB AC =+等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线.②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC的边BC 的高AD 上的任意向量,过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线).④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔O 为ABC ∆的外心.8.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到,其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中,设,AB a AC b ==,则有以下的结论：①,AB AC a b AD +=+=通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D =,可判断四边形为平行四边形；②,,a b AD a b CB +=-=若0a b a b a b +=-⇔⋅=对角线相等或邻边垂直,则平行四边形为矩形；()()0a b a b a b +⋅-=⇔=对角线垂直.则平行四边形为菱形；③222222a b a b a b ++-=+说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+,特别地,当 a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似).9. 向量平行和垂直的重要应用向量平行和垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直或平行；二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.（1）向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0; （2）向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=.10.一个共线结论：,,,O A B C 是平面内不同4点,则,,A B C 共线OC xOA yOB ⇔=+,且1x y +=. 11.向量运算问题的两大处理思路向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义,以及一些具有几何含义的式子,进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算,实际上就是转化为代数问题,即向量问题坐标化. 树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系时,要正确运用共线向量和平面向量的基本定理,去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点. 12.如何恰当的选择向量的数量积的公式求向量的数量积的公式有两个：一是定义式a ∙b ＝cos a b θ；二是坐标式a b ⋅=1212x x y y +.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.13.如何判断三角形形状给出三角形边相关的向量关系式,判断三角形的形状是一个热点题型.此类题的关键是对给定的关系式恰当的去化简,变形,整理.最终能够说明三角形的形状.常用的技巧有： （1）利用向量加减法的运算可以合并或分解. （2）利用拆、添、减项等技巧,对式子进行变形化简. （3）利用一些常见的结论进行判断. 【考场经验分享】1.对于集合问题的考查,常以不等式为载体进行命题,试题难度不大,考查基本的计算能力,因题目为选择题,故在考试中能够恰当应用验证的方法进行解决可节省不少时间.在平时训练是应注意这种方法的强化,争取在几秒钟内得到正确答案.2.新课标对复数的要求较低,根据课标的要求,本部分内容的考查不会太难,一般出一道选择题(或填空题)考查基本概念与运算,与概率等结合的题目可能会出,但都比较容易解决．所以本热点必须得满分.3.复数这个热点一般出现在试卷的前三道题目中,难度较低,但是解题时需加小心,千万不能因为不重视而导致失分.例如复数的实部和虚部要分清楚,例如1i -的实部是-1,虚部为1,运算时要注意21i =-. 3.学会必要的检验,例如将求解的复数代入验证,若复数为纯虚数时,实部等于0,要验证虚部不为0,利用复数相等进行复核等方法,确保万无一失.5．求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角． 6.如果高考单独考查向量的运算,如代数或几何运算,一般试题难度较低,位置较为靠前,一般为选择题的前8题,或填空题的前2题,此时应为的全分题,如果向量和其它知识相结合,考查最值等问题,一般会出现在后几道选择题中,难度较大,此时应充分考虑向量的几何意义,或坐标法表示进行解决,在利用坐标法解决问题时,可考虑一般问题特殊化,即恰当的建立坐标系,将问题转化为代数运算,如果探求一些范围问题,适当的代值验证是一个良策. 【名题精选练兵篇】1. 【四川省雅安中学2018届高三下学期第一次模拟】已知集合{}|31,A x x n n Z ==+∈,{}|44B x x =-≤≤,则集合A B ⋂=A. {}4,1,1,4--B. {}2,1,4-C. {}1,4D. {}4,1,2-- 【答案】B【解析】∵集合{}|31,A x x n n Z ==+∈, {}|44B x x =-≤≤ ∴集合{}2,1,4A B ⋂=-,故选B.2．【辽宁省瓦房店市2018届高三下学期第一次模拟】已知全集U Z =,集合{}220,M x x x x Z =--<∈,{}1,0,1,2N =-,则()U C M N ⋂=（ ）A. {}1,2-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,2 【答案】A【解析】由题意易得： {}0,1M =,∴()U C M N ⋂= {}1,2-,故选A3．【四川省成都市龙泉驿区2018届高三3月“二诊”】设集合()22,|1 416x y A x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭, (){},|3 xB x y y ==,则A B ⋂的子集的个数是：（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A4．【山东省济南市2018届高三第一次模拟】已知集合2{|230}A x x x =+-=, {}1,1B =-,则A B ⋃=（ ）A. {}1B. {}1,1,3-C. {}3,1,1--D. {}3,1,1,3-- 【答案】C【解析】集合}{}2{| 2303,1A x x x =+-==-,所以{}3,1,1A B ⋃=--,选C.5．【山东省枣庄市2018届高三二模】已知集合2{|20}A x x x =--≥,则R C A =（ ） A. ()1,2- B. []1,2- C. ()2,1- D. []2,1- 【答案】A【解析】 由题意2{|20}{|2A x x x x x =--≥=≥或1}x ≤-, 所以{|12}R C A x x =-<<,故选A.6．【江西省分宜中学等九校2018届高三联考】已知,m n R ∈,集合{}72,log A m =,集合{},B m n =,若{}1A B ⋂=,则m n +=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】D【解析】因为{}1,A B ⋂=则7log 1,7m m ==, {}{},7,B m n n ==,n=1, 则m n +=8. 故答案为：D.7．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量监】已知(){}2log 31A x y x ==-, {}224B y x y =+=,则()R C A B ⋂=（ ）A. 12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意得： 13A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭, {}2y 2B y =-≤≤,∴(){}112y 22,33R C A B x x y ⎧⎫⎡⎤⋂=≤⋂-≤≤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦故选：A8．【河南省郑州市2018年高中毕业年级第二次质量预】已知集合(){}{}2A |log 31,|02x R x B x R x =∈-≤=∈≤≤,则A B ⋃= ( )A. []0,3B. []1,2C. )[0 ,3D. []1,3 【答案】C9．【辽宁省瓦房店市2018届高三下学期第一次模拟】若复数2iz i-=-,则复数z 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A【解析】212i12i 1i z i -+===+-,复数z 所对应的点()1,2,∴点在第一象限,故选：A 10．【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】复数2i12i=+（ ） A. 42i 55+ B. 42i 55- C. 42i 55-+ D. 42i 55--【答案】A 【解析】()212i 24212555i ii i -==++ .故选：A 11．【四川省成都市龙泉驿区2018届高三3月“二诊”】复数2i 1iz -=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A【解析】∵2i 11=22i i iz -=-=+, ∴复数z 在复平面内对应的点为()2,1,在第一象限.选A.12．【宁夏吴忠市2018届高三下学期联】已知复数()12i i a bi +=+, a R ∈, b R ∈, a b +=（ ） A. 3- B. 1- C. 1 D. 3 【答案】B【解析】因为()122i i i +=-+,所以2,1,1a b a b =-=+=-,选B.13．【山东省济南市2018届高三第一次模拟】欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时, 10i e π+=被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知, 4ie 表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C【解析】由已知有4cos4sin4i e i =+,因为342ππ<<,所以4在第三象限,所以cos40,sin40<<,故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限,选C.14．【江西省临川一中等九校2018届高三联考】已知a 是实数,1a i i +-是实数,则7cos 3a π的值为( ) A.12 B. 12- C. 0 D. 32【答案】A【解析】知a 是实数, 1a i i +-是实数化简为11i 2a a -++（） ,则a=—1, 则77cos cos 33a ππ=-=12. 故答案为：A.15．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量监测】已知复数z 满足()1+243i z i =+,则z 的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】B【解析】由题意得： ()()()()431243105i2i 12121214i i i z i i i +-+-====-++-+ ∴2i z =+,∴z 的虚部是1,故选：B16．【湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考】已知i 为虚数单位,复数322iz i+=-,则以下为真命题的是（ ） A. z 的共轭复数为7455i - B. z 的虚部为85C. 3z =D. z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D17．【四川省成都市龙泉驿区2018届高三3月“二诊”】如图,已知平行四边形ABCD 中, 2BC =,45BAD ∠=︒, E 为线段BC 的中点, BF CD ⊥,则AE BF ⋅=（ ）A. 22B. 2C. 2D. 1 【答案】D【解析】由题意,得2BF FC ==,设(0)AB a a =>,以DC 所在直线为x 轴, FB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系, 则()()()()22,2,0,2,2,0,,,0,022A a B CE F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,22,22AE a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭, ()0,2BF =-,则1AE BF ⋅=.故选D.18．【四川省成都市2018届高三3月“二诊”】已知12,e e 为单位向量,且1e 与122e e +垂直,则12,e e 的夹角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150 【答案】C【解析】设12,e e 的夹角为θ,因为1e 与122e e +垂直,所以()11220e e e ⋅+=,即211220e e e cos θ+=,即12cos 0θ+=,即1cos 2θ=-,又因为000180θ<<,所以0120θ=.故选C. 19．【2018届广东省揭阳市模拟】已知a = πsin ,24b = πcos 24,且、a b 的夹角为π12,则⋅=a b A.116 B. 18 C. 38D. 14 【答案】B【解析】因为a = πsin ,24b = πcos 24,且、a b 的夹角为π12, 所以⋅a b =πcos 12a b = πππsin ?cos ?cos 242412=1ππsin ?cos 22412=1πsin 46=18. 故答案为： B.20．【北京市朝阳区2018年高三一模】在平面直角坐标系xOy 中,已知点()3,0A, ()1,2B ,动点P 满足OP = OA OB λμ+,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 23 【答案】 C【解析】设(),P x y ,则()()3,2,OP OA OB x y λμλμμ=+=+=,3{ 2x yλμμ+=∴= 2{ 332y y x μλ=∴⎛⎫=- ⎪⎝⎭,0123{01 32312232yy x y y x ≤≤⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭()02{0223 2323143y x y x y ≤≤∴≤-≤≤+-≤,所有点P 构成图形如图所示（阴影部分）,13232S =⨯⨯=,故选C . 21．【2018届天津市滨海新区七所重点学校高三联考】已知菱形ABCD 的边长为2,,点E 、F 分别在边,BC CD 上, BE BC λ=, DF DC μ=,若522λμ+=, 则AE AF ⋅的最小值___________． 【答案】322．【山东省济南市2018届高三第一次模拟】已知向量a , b 满足5b =, 253a b +=, 52a b -=,则a =__________．【答案】563【解析】由已知有22224475{250a ab b a a b b +⋅+=-⋅+= ,将2225b b ==代入方程组,解得563a =.。

2018 年高考“集合、常用逻辑用语、复数”专题命题分析2018年高考数学一共有13份试卷，其中全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷、北京卷、天津卷分文、理科；上海卷、浙江卷、江苏卷不分文、理科. 这些试卷对集合、常用逻辑用语、复数内容的考查风格不尽相同，北京卷与其他试卷的差异比较大. 下面就对各份试卷的特点做出具体分析，并在此基础上预测命题趋势，为一线教师做好高考备考提供方向性的指导.一、题量、题型特点，以及难易度分析13份试卷中，从题面可以直接看出与集合、常用逻辑用语或复数有关的试题一共有35道，若将文、理科试卷中的相同试题除去，则有29道.（1）不同试卷，题量、分值不尽相同.与其他地区试卷相比，北京卷中此部分内容所占题量、分值最大，北京理科卷中与本专题内容有关的试题有6道，共计39分；北京文科卷中与本专题内容有关的试题有5 道，共计25 分. 追溯一下2016 年与2017年北京卷的情况是：2016年，理科卷考查2道相关试题，文科卷考查3道相关试题；2017年，文、理科卷均考查了4道相关试题. 可见，2018年北京卷中出现这种大分值现象并不是稳定的规律. 特别是理科的第20题（满分14分），此题的载体是数列，与往年相比，2018年的试题因为将数列看作一个集合中的元素，于是融合了集合知识，加大了题量、增大了分值.除去北京文、理科2份试卷，其他11份试卷按照题量可以分三组：江苏卷中有4道填空题，共计20分；天津文、理科卷和浙江卷这3份试卷中，各有3道题，其中浙江卷中的3道试题每题4分，共计12分，天津文、理科卷分别共计15分；在其余8份试卷中，各有2道相关试题，分别共计10分.（2）题型基本稳定.除北京理科卷的第20题以外，其他试题都是填空题或者选择题. 这也是本专题内容在高考中一贯的考查方式.（3）以简单题为主.3套6份全国卷中，本专题的试题都排在第1题、第2题的位置. 这一特点与2017年的试卷特点基本一致.江苏卷中有3道试题（第1，2，5题）比较简单，有1道试题（第14题）是填空题中的最后一题，有一定难度.北京理科卷中相关试题的位置分别为第1题、第2题、第6题、第8题、第13题、第20题；北京文科卷中相关试题的位置分别为第1题、第2题、第4题、第8题、第11题. 北京卷整体结构为8道选择题、6道填空题、6道解答题. 无论试题的绝对难度怎样，根据其位置可以判断，在北京文、理科卷中，与本专题相关的试题难度跨越了简单题到难题.天津理科卷中相关试题的位置分别为第1题、第4 题、第9 题；天津文科卷中试题的位置分别为第1题、第3题、第9题. 天津卷整体结构与北京卷一样，据此可判断其题目难度是简单题和中等之下的试题.上海卷中相关试题的位置分别为第5题、第14题.上海卷的结构为6道填空题（每题4分），6道填空题（每题6分），4道选择题（每题5分），5道解答题（每题14分）. 据此可知，上海卷中此类试题为简单题和中等题. 这一特点与天津卷接近.浙江卷中试题的位置分别为第1题、第4题、第6题. 浙江卷中前10道试题为选择题，继而是7道填空题、5道解答题. 据此可知，浙江卷中本专题相关试题跨越简单题到中等题.按照如上分析，可从易到难排序：全国卷、天津卷、上海卷、浙江卷、江苏卷、北京卷. 其中排列在各种题型前两位的试题共有18道，可见简单题所占比例较大二、命题趋势分析1. 集合的命题趋势综观近三年本专题的相关试题，对集合的考查呈现出三个特点：直接考查集合的运算；考查集合的语言功能；考查集合思想的应用. 三大特点以直接考查集合的运算为主，2018年的高考试题突出体现了这一点，而且比较容易. 预计2019年的试题会保持这三大特点，重点体现直接考查集合的运算. 2018年的试题比较简单，2019 年的试题或许会稍微增加难度. 例如，多解一个不等式，或解决一个函数定义域、值域问题之后再回到集合的运算. 对于后两个特点的考查是比较隐性的，根据试题表达与求解的需要而定，有时能从题面上看到集合的影子，有时仅仅体现在求解过程中.2. 常用逻辑用语的命题趋势常用逻辑用语包含的内容稍微多一点：命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. 2018年的高考试题中只考查了前面两部分. 因此，预计2019年可能会出现考查后两部分的试题.此外，对本部分内容的考查，一定是与其他知识紧密结合的，不会出现抽象的、纯粹的常用逻辑用语的试题. 与哪部分知识结合，具有随机性，但从难度上看一般在中等难度及以下.在复杂试题的求解过程中考查本部分知识所蕴含策略的灵活应用. 这种考查方法一般在题面上看不到，但是它确实深耕于试题之中. 这正是由本部分知识的基础性决定的.3. 复数的命题趋势复数部分历年的命题特点是比较稳定的，一般会考查复数的基本概念、计算、几何意义. 试题的难度为简单题. 本部分试题独立性强、难度低，是高考试题中的送分题.。

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：1.1集合一、集合的基本概念1、相关链接<1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。

<2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。

<3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。

注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征。

如：A={y|y=x2+2},B={(x,y>|y=x2+2}.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。

②注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.③常见集合的意义2、例题解读例1．(1>设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( >(A>9 (B>8 (C>7 (D>6(2>已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，则a=______.【解题指导】(1>从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值.(2>-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论.解读：(1>选B.根据新定义将a+b的值列表如下：由集合中元素的互异性知P+Q中有8个元素，故选B.(2>∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3，∴a=-1或当a=-1时，a-2=2a2+5a=-3,不合题意;当时，A={，-3，12},符合题意,故答案：例2．集合,,若,则的值为( >A.0B.1C.2D.4答案 D解读∵,,∴∴,故选D.例3．下列集合中表示同一集合的是< C ）A．M = {(3，2>}，N = {(2，3>} B．M = {(x，y>|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1} C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1，2}，N = {(1，2>}答案：C解读：由集合中元素的特征<确定性、无序性、唯一性）即得。

高三数学第三轮复习知识点高三是每个学子的转折点，也是备战大学入学考试的关键时期。

而在备战期间，数学是让许多学生感到头疼的学科之一。

为了帮助高三学生更好地复习数学知识，我们将在本文中介绍高三数学第三轮复习的重点知识点。

一、复数复数是高中数学中一个非常重要的概念。

它包括实数和虚数。

实数就是我们通常所说的实际数值，虚数则是以i为单位的平方根（i^2=-1）。

复数的表示形式为 a+bi，其中a为实部，b为虚部。

在复数的运算中，有加法、减法、乘法和除法。

同时，复数也可以表示为极坐标形式，即r(cosθ + isinθ) ，其中 r 和θ 分别为复数的模长和辐角。

二、函数函数是高中数学的核心概念之一。

函数是一种特殊的对应关系，即对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。

常见的函数形式包括数学表达式、图像和函数关系式。

函数的图像是通过将不同的自变量代入函数，得到相应的因变量值，然后将这些数对绘制出来而得到的。

函数之间有加减乘除和复合等运算。

在复习阶段，需要重点掌握常见函数的性质和图像特征，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

三、三角函数三角函数是数学中的一类特殊函数，以角度为自变量，值域为实数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们与圆的关系密切，通过给定角度的对应弧长，可以定义三角函数的值。

同时，三角函数也具有周期性和奇偶性的特点。

在高三数学复习中，需要掌握三角函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、周期和对称轴等。

四、导数与微分导数是微积分的重要概念之一。

它表示函数在某一点的变化速率。

导数的定义是通过极限的方法得到的，即刻画了函数在该点处的切线斜率。

导数有几何意义和物理意义，可以用来求函数的极值和拟合直线。

与导数相关的概念还有微分，微分表示函数在某一点附近的变化。

在高三数学的复习中，需要掌握导数和微分的计算方法，以及应用于函数的最值和曲线若干性质的求解。

五、概率与统计概率和统计是数学中应用性较强的分支，也是高中数学中的一个考察点。