分类思想在初中数学教学中渗透

如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想作者：邓凤文来源：《中学教学参考·理科版》2013年第09期分类讨论是人们常用的重要思想方法，在生产活动、科学实验、日常的生活中都常需要用到它.因此在初中数学教学中，教师要注重数学分类讨论思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学分类讨论思想方法在解题中的指导作用.本文从以下几点简述如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想.一、在概念教学中渗透分类讨论意识分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何进行合理分类.这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，给予强化，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识.在初中数学教学内容中，许多数学概念的定义，如实数和有理数的分类、绝对值的化简、一元二次方程的概念中对二次项系数的限定、平方根中对于被开方数的限定、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式、两圆的五种位置关系……都渗透着分类讨论的数学思想，对涉及分类讨论思想的问题，教师在讲授时要准确、科学，要让学生对分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握.如对于一元二次方程一般式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的规定，教学时，先让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0 中 k 的限制条件，随后进行了概念的变式，隐去“一元二次”四字，问这是个怎样的方程，并如何求解.学生对概念中关键字词及补充条件的理解后，就能很清晰地对 a=0与a≠0两种情况作分类讨论.在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，在学习知识的过程中体会到为什么要分类，更要遵循分类的同一性、相称性、互斥性、层次性原则，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法，从而在体会分类的完整性和严谨性中训练了思维的条理性和目的性.二、在运用法则、定理、公式或运算性质时渗透分类讨论思想初中数学教材中许多定义、定理、公式、运算性质等本身就是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习过程中逐步体会分类讨论的思想.如七年级上册引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数或将有理数分为整数、分数.（责任编辑金铃）让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复、不遗漏，标准不同则分类不同的基本原则.此时可提出问题“ -a 一定是负数吗？”启发学生分 a>0，a=0，a0，a=0，a引导学生探索推导有理数加法法则的过程，实际上就是应用分类思想解决问题的一个完整的过程.在学习知识的过程中，学生深深体会到为什么要分类，更要遵循分类的基本原则.又如九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.在几何证明题中，常常由于图形的形状、位置的不同而要进行分类讨论.此证明过程中为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如下图）去证，要让学生画图、测量、分析、讨论后找到思路，而不能在学生活动之前就给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，学生就无法体会分类证明的目的和优点.在数学教学中，我们应该重视法则、定理、公式的论证推理过程，揭示分类讨论的化繁为简，化难为易，化分散为系统的本质，使学生进一步增强分类意识，加深对分类讨论的理解和掌握.三、在解题过程中突出与强化分类讨论的思想要解好数学问题，不仅要有足够的数学知识和技能，而且要有清晰的解题思路，在解题的过程中，如何让学生学会运用分类讨论的数学思想，是教学的一个很重要的任务.在教学过程中，可让学生通过练习体会分类讨论思想在不同类型的题目中的运用.1分类讨论思想在函数中的应用[例1]函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标.分析：本题中的函数是什么类型的函数并没有确定，所以要根据a的不同取值，分别考虑此函数是一次函数或者二次函数两种情况.4分类讨论在动态型几何中的应用[例4]如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E.（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式.（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由.图1分析：1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到.2过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长.3将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等.4第（3）题，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形的情况，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标.以上是我们在教学中碰到的一些运用分类讨论的思想解决问题的实例，除此之外还有很多.在此不一一列举.总之，数学中的分类讨论思想是一种重要的数学思想，通过加强对学生分类讨论思想的训练，有利于提高学生学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性.教师在确定教学目标、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐进、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学.在进行数学思维训练时，应多鼓励学生用新方法、新思路，拓宽思维领域，以克服思维的呆板性，培养学生多角度、全方位思考的习惯.（责任编辑金铃）。

分类思想在初中数学教学中的有效渗透【关键词】分类思想初中数学有效渗透数学是一门科学性和逻辑性都非常严谨的学科，思维的理念和方法对数学学习有着举足轻重的作用。

初中学生已经在数学知识上涉及了较为丰富的内容，在思维能力上已经跃上了一定的台阶，因此进行数学思想的引导已经有了基础也有了必要。

初中数学课程标准指出：课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。

它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思考方法。

分类思想正是一种重要的数学方法。

何谓分类思想？分类思想是基本数学思想方法之一，它强调根据数学对象所含属性的相同点和不同点，对数学对象进行有序的划分和组织。

分类思考的过程是观察、比较的过程，也是抽象、概括的过程。

那么，在数学教学中应如何有效渗透分类思想呢？一、体验——分类思想的基本认识分类思想既是一种数学思想，也是一种逻辑思考的方法。

在教学过程中，教师首先要让学生知晓分类思想的存在，引导学生体会分类是认识事物、形成概念的基本方法。

只有让学生知其然，才能让学生进一步知其所以然。

例如，新人教版初中数学七年级上册《有理数》一章的学习，可以用来充分体验分类思想。

当学生学习了有理数的定义“有理数是整数和分数的统称”后，教师可以在黑板上进行分类，有理数可分为：整数、分数。

进一步分类，整数分类为：正数、负数、零；分数分类为有限小数、无限小数。

再将分数再一步分类：无限小数分为无限循环小数、无限不循环小数。

同时对无限不循环小数打上红叉，以此引起学生的注意。

同时，对于有理数大小的比较，也可以分为：整数和分数、正数和正数、负数和负数、零和其他数、正数和负数、负数和负数等不同的情况进行比较。

在不同的知识点分类中，让学生体验分类思想对解题的帮助。

二、尝试——分数思想的初步尝试分类可以在保证分类标准科学性的前提下，从不同的类别进行分析和探讨。

因此，在渗透分类思想时，教师可以先提供分类标准的方法，让学生进行尝试，进而学会分类的思想。

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析摘要：初中数学是初中教学体系中的重要组成部分，数学学习需要掌握许多数学思想，比如分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等。

分类讨论思想是一种根据数学对象本质属性的异同，将数学研究对象分为不同种类的数学思想，它贯穿于数学学习的整个过程，也是近年来中考考查的热点之一，是教学的难点。

本文结合七年级数学的教学实践来讨论分类思想的实际运用。

关键词：七年级;数学教学;分类讨论思想一、步步为营，在初中数学教学的过程中逐步渗透分类思想（一）在基本概念的理解中，渗透分类思想七年级学生刚刚从小学进入中学，初中数学相对于小学数学其难度加大了许多，一些学生内心会产生恐惧心理。

因此，教师应根据现阶段学生心理以及身心特点巧妙编写教学方案，将初中复杂的数学知识变得简单化，消除部分同学的畏惧心理，从而提高学生的学习效率。

而分类思想刚好能够满足以上需求。

教师在教学数学基本概念时可以从实际生活入手，比如，在生活中我们都有将衣服以及文具分类的习惯，教师可以作为切入点，将数学分类思想渗透到数学概念中，以便帮助学生加深对数学概念的理解与认识。

如教学有理数的两种分类方法：第一种将有理数分为整数与分数，整数分为正整数、零、负整数;分数分为正分数与负分数。

第二种是将有理数分为正有理数、零、负有理数。

经过以上两种分类，可以让学生了解到有理数在不同的分类标准下有截然不同的理解，帮助学生在分类的过程中充分的理解有理数。

（二）在知识生成过程中，巧用分类思想新课程改革提倡从实际生活引导出数学问题，即以“生活教学”为主。

因此，在实际数学教学过程中，尤其是在某些公式或者数学性质的教学时，教师要善于引导学生了解公式或者数学性质的推理过程。

例如，教师在教学有理数的乘除法则时，可以从三个方面引导学生进行归纳，分别是同号两数相乘、异号两数相乘以及正负数与零相乘的情况，最后学生可以得出“同号得正，异号得负，任何数与零相乘都等于零”的数学结论，以上讨论的方法具有完整清晰的思路，能够让学生初步体会到分类思想的优势所在。

浅析分类思想在初中数学教学中的渗透数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。

它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

一、渗透分类思想，养成分类的意识每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。

如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

例如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。

并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。

如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。

在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。

掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：1.根据数学的概念进行分类有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

2.根据图形的特征或相互间的关系进行分类三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例2等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是---（2002年河南中考题）分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高cd，可得腰上的高或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类在证明圆周角定理时。