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浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》说课稿一. 教材分析《相似三角形的性质及应用》是浙教版数学九年级上册第四章第五节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义、性质的基础上，进一步探讨相似三角形的性质及应用。
通过本节的学习，使学生能够理解和掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的定义和性质有一定的了解。
但是，学生对相似三角形的性质及应用的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、交流等方式，进一步理解和掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解和掌握相似三角形的性质，能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等方式，培养学生的观察能力、思考能力和交流能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的性质及应用。
2.教学难点：相似三角形的性质的推导和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生通过观察、思考、交流等方式，理解和掌握相似三角形的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解和掌握相似三角形的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习相似三角形的定义和性质，引导学生进入本节内容的学习。
2.探究：提出问题，引导学生观察、思考、交流，探究相似三角形的性质。
3.讲解：讲解相似三角形的性质及应用，引导学生理解和掌握相似三角形的性质。
4.练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学的内容。
5.总结：对本节内容进行总结，强调相似三角形的性质及应用。
七. 说板书设计板书设计如下：相似三角形的性质及应用•对应边成比例•对应角相等•解决实际问题•证明相似三角形八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩来进行。
4.5相似三角形的性质及其应用教材分析本节课是初中浙教版九年级上册“相似形”这章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。
它是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。
教学目标【知识与能力目标】经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.【过程与方法目标】培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.【情感态度价值观目标】在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.教学重难点【教学重点】相似三角形的性质定理.【教学难点】相似三角形性质定理的应用．课前准备教师准备：课件、多媒体；学生准备：课本，练习本，三角板；教学过程一、导入新课在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.二、新课学习在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的立柱。
（1） 试写出△ABC 与△A /B /C /的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2） △ACD 与△A /C /D /相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
（3） 如果CD=1.5cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？（4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？ ［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=21 /A A ∠=∠/,B B ∠=∠///,B C A ACB ∠=∠（2）△ACD ∽△A ′C ′D ′∵////,B A D C AB CD ⊥⊥∴0///90,=∠=∠C D A ADC∵/A A ∠=∠∴△ACD ∽△A ′C ′D ′（两个角分别相等的两个三角形相似） ∴//C A AC =//D A AD =//D C CD =21 （3）∵D C CD ''=21，CD=1.5cm ∴C /D /=3cm（4）相似三角形对应高的比等于相似比目的：通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系.效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的表面看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比过渡语：刚才我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究:内容：探究活动二：（投影片）如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠B AC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。
4.5 相似三角形的性质及其应用一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，身高为 1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0 m，BC=8.0 m，则旗杆的高度是( )A. 6.4 mB. 7.0 mC. 8.0 mD. 9.0 m2. 两个相似多边形，一组对应边的长分别是 2 cm和 3 cm，如果它们的面积之和是78 cm2，那么较大的多边形面积为( )A. 44.8 cm2B. 49.92 cm2C. 52 cm2D. 54 cm23. 如图是幻灯机的工作原理图，其中幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离为20 cm，幻灯片与屏幕间的距离为1.8 m，幻灯片上的图案的高度是8 cm，屏幕上图案的高度应为( )A. 72 cmB. 7.2 mC. 80 cmD. 8 m4. 某块面积为4000 m2的多边形草坪，在某市政建设规划设计图纸上的面积为250 cm2，这块草坪某条边的长度是40 m，则它在设计图纸上的长度是( )A. 4 cmB. 5 cmC. 10 cmD. 40 cm5. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10 m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC=30 m．如果DE=20 m，则河宽AD为( )m C. 10 m D. 30 mA. 20 mB. 2036. 如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为( )A. 4B. 4√2C. 6D. 4√37. 如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20 m，EC=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于( )A. 60 mB. 40 mC. 30 mD. 20 m8. 某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9:4，其中一块草坪的周长是36 m，则另一块草坪的周长是( )A. 24 mB. 54 mC. 24 m或54 mD. 36 m或54 m9. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是 1.6 m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2 m 和1 m，那么塔高AB为( )．A. 24mB. 22mC. 20mD. 18m10. 如图，以M(−5,0)为圆心，4为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是⊙M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于C，D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E，F，则EF 的长( )．A. 等于4√2B. 等于4√3C. 等于6D. 随P点二、填空题（共10小题；共50分）11. 利用影长测量物体的高度，通常利用“相似三角形对应边”的原理解决，在同一时刻物高与影长的比．12. 同一时刻阳光下，哥哥的身高是 1.68 m，在地面上的影子长是 2.1 m，同一时刻测得弟弟的影子长是1.8 m，则弟弟的身高是m．13. 已知两个三角形相似，它们的一组对应边分别是3和4，那么它们对应高的比等于．14. 如图，为测量电视塔AB的高度（包括台阶高），小亮在他与电视塔之间竖立一根 5 m高的标杆（即CE），当他距标杆 2 m时（即点D处），塔尖A、标杆的顶端E与小亮的眼睛F恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是 1.6 m，标杆与电视塔之间的距离是108 m，则电视塔的高度是 m．15. 为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树(AB)的高度约为米（精确到0.1米）．16. 如图，小明用长为 3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的顶端C、A与O点在一条直线上，则根据图中数据可得旗杆AB的高为 m．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P 与Q的坐标分别为，．18. （1）如图，斜坡长OA=30 m，若沿斜坡向上走 5 m时上升了 1 m，则到达坡顶点A时上升了 m；（2）在某一时刻，测得一根高为 1.8 m的竹竿的影长为 3 m，同时得—幢高楼的影长为90 m，这幢高楼的高度是 m．19. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．20. 如图，某校有一呈梯形状的运动场，现只测量出△CDE的面积为m，△ABE的面积为n，则梯形状运动场的面积为．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3:4，则△ABC与△DEF的面积之比为A. 4:3B. 3:4C. 16:9D. 9:1622. 如图，为了测量山脚B，C之间的距离，选定一点O，量得OB=120步，OC=80步，在BO的延长线上取点D，使OD=60步，在CO的延长线上取点A，使OA=40步，量得AD=68步．你知道B、C之间相距多少步吗?23. 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．24. 如图，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直．在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ．25. 已知四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．Ⅰ如图，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF =ADDC；Ⅱ如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DECF= ADDC成立?并证明你的结论；Ⅲ如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90∘，DE⊥CF，请直接写出DECF的值．答案第一部分1. C2. D3. C4. C5. A6. B7. B8. C9. A 10. C第二部分11. 成比例；相等12. 1.4413. 3:414. 188.615. 5.616. 9．17. (2,4−2√2)、(√2,√2)18. （1）6；（2）54 .19. 320. m+n+2√mn第三部分21. D 22. ∵OAOC =ODOB=12，∠AOD=∠BOC．∴△AOD∽△COB．∴OAOC =ADBC．又AD=68，∴BC=136．答：B，C之间相距136步．23. 在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴DEAB =DFAC=12．又∠D=∠A，∴△DEF∼△ABC，相似比为12．∴△DEF的周长为12×24=12，面积为(12)2×48=12．24. ∵∠PQR=∠PST=90∘，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST．∴PQPS =QRST，即PQPQ+QS =QRST，PQPQ+45=6090，PQ×90=(PQ+45)×60．解得PQ=90．因此河的宽度PQ为90 m．25. （1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90∘．∴∠DCF+∠CFD=90∘．∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠CFD=90∘．∴∠ADE=∠DCF．∴△ADE∽△DCF．∴DFCF =ADDC．（2）当∠B+∠EGC=180∘时，DECF=ADDC成立．证明：在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A=∠CDM．∵∠B+∠EGC=180∘，∴∠AED=∠FCB．∵AD∥BC，∴∠FCB=∠CFM．∴∠CMF=∠AED．∴△ADE∽△DCM．∴DECM =ADDC，即DECF=ADDC．（3）DECF=2524．初中数学试卷。
2024年浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质及应用》是浙教版数学九年级上册第4.5节的内容。
本节主要介绍相似三角形的性质，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等以及相似比的概念。
同时，通过实际例题让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
本节内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习相似多边形、三角函数等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于相似三角形的性质及应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的认知水平，注重引导，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
2.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其证明。
2.相似三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似三角形的性质。
2.利用多媒体辅助教学，展示相似三角形的动态变化，增强学生的直观感受。
3.运用实例分析法，让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
4.小组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题及答案。
4.三角板、直尺等绘图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示两组三角形，让学生观察并判断它们是否相似。
通过直观的展示，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的定义及其性质，包括对应边成比例、对应角相等。
通过示例和证明，让学生理解和掌握相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行动手操作，利用三角板、直尺等工具，绘制一组相似三角形，并验证它们的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》是本学期的重点内容，主要让学生了解相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例让学生感知相似三角形的性质，从而达到理解并掌握知识的目的。
二. 学情分析九年级的学生已经有了一定的数学基础，对于图形和几何有一定的认识。
但是，对于相似三角形的性质及其应用，还需要通过实例和活动来引导学生理解和掌握。
同时，学生需要培养观察、思考、解决问题的能力，提高他们的逻辑思维和空间想象力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并掌握相似三角形的判定方法。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质及其应用。
2.难点：相似三角形的判定方法，以及如何运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、解决问题。
2.运用多媒体辅助教学，通过动画和实例，让学生更直观地理解相似三角形的性质。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相似三角形的相关实例和图片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如建筑设计、地图绘制等，引导学生思考这些实例中是否存在相似三角形。
让学生认识到相似三角形在生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示相似三角形的定义和性质，让学生直观地感受相似三角形的特点。
同时，通过动画演示相似三角形的判定方法，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找一个实例，运用相似三角形的性质进行解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成。
题目难度逐步提高，让学生在解决问题中巩固相似三角形的性质。
4．5 相似三角形的性质及其应用(3)1．在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm变成了4 cm，那么这次复印的多边形的面积变为原来的(D)A．不变B．2倍C．4倍D．16倍(第2题)2．如图，为估计某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m3．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15 m(如图)，然后在A处树立一根高2 m的标杆，测得标杆的影长AC为3 m，则楼高为(A)A．10 m B．12 m C．15 m D．22.5 m,(第3题)),(第4题))4. 如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20 m，镜子与小华的距离ED＝2 m，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距地面的高度CD＝1.5 m，则铁塔AB的高度是__15__m.5．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高__8__m.,(第5题)),(第6题))6. 如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测出AB＝6 m，则池塘的宽DE为__36__m.7．如图，小明想利用标杆BE测量建筑物的高度，(第7题)如果标杆BE的长为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝8.4m，那么楼高CD是多少？【解】∵BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC＝BECD，即1.61.6＋8.4＝1.2CD，解得CD＝7.5.∴楼高CD是7.5m.(第8题)8. 如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度为x，需先求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB.现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量，若OA∶OC＝OB∶OD＝n，且量得CD ＝b ，求零件的厚度x.【解】 在△OCD 与△OAB 中， ∵OA OC ＝OB OD＝n ， 且∠COD ＝∠AOB ， ∴△OAB ∽△OCD ， ∴ABCD ＝n ，即ABb ＝n ， ∴AB ＝nb.又∵AB ＋2x ＝nb ＋2x ＝a ， ∴x ＝a －nb 2.(第9题)9. 如图，晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3 m，左边的影子长为1.5 m．小亮身高1.80 m，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12 m，则路灯的高为__6.6__ m.(第10题)10．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量步骤如下：小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠(如图所示)，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2 m ，CE ＝0.8 m ，CA ＝30 m(点A ，E ，C 在同一直线上)．已知小明的身高EF 是1.7 m ，请你帮小明求出楼高AB (结果精确到0.1 m)．【解】 过点D 作DG ⊥AB ，分别交AB ，EF 于点G ，H ，则EH ＝AG ＝CD ＝1.2，DH ＝CE ＝0.8，DG ＝CA ＝30.∵EF ∥AB ，∴△DFH ∽△DBG ， ∴FH BG ＝DHDG.由题意，得FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5. ∴0.5BG ＝0.830，解得BG ＝18.75. ∴AB ＝BG ＋AG ＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0， 即楼高AB 约为20.0 m.(第11题)11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连结BC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D.点E 是AB 上一点，CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与CD 的延长线交于点G.求证：BC 2＝BG ·BF.【解】 连结AC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠ABC ＝∠A ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A .∵∠A ＝∠F ，∴∠F ＝∠BCD ＝∠BCG . 又∵∠GBC ＝∠CBF ， ∴△BCG ∽△BFC ， ∴BC BF＝BG BC，即BC 2＝BG ·BF .12．如图是夹文件用的铁夹子在常态下的侧面示意图(单位：mm)．AC ，BC 表示铁夹子的两个面，点O是轴，OD⊥AC于点D，AD＝15 mm，DC＝24 mm，OD＝10 mm.已知铁夹子是轴对称图形，试利用图4－5－8②(CE为对称轴)，求图4－5－8①中A，B两点间的距离．,①),②),(第12题)) 【解】∵铁夹子是轴对称图形，对称轴是CE，点A，B为一组对称点，∴CE⊥AB，AE＝BE.在Rt△AEC和Rt△ODC中，∵∠ACE＝∠OCD，∠AEC＝∠ODC＝90°，∴△AEC ∽△ODC ，∴AE AC ＝OD OC .∵OC ＝OD 2＋DC 2＝102＋242＝26， ∴AE ＝AC ·OD OC ＝（15＋24）×1026＝15， ∴AB ＝2AE ＝30 mm.初中数学试卷。
4.5相似三角形的性质及其应用(一)1．掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”和“三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段”的两个性质．2．会运用上述两个性质解决简单的几何问题．重点：学习“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”关于线段的性质和“三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段”的重要定理．难点：相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点．一、新课导入类比联想老师提问：相似三角形除了对应角相等、对应边等比例外，还有没有其他性质呢？学生进行小组讨论和思考．老师提示：全等三角形除对应角、对应边相等外．其它元素如对应高、对应中线、对应角平分线也相等．那么相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线是相等还是什么关系？学生和老师一起猜测：猜测(1)：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等．猜测(2)：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线成比例．二、新知学习(一)探究1两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等之外，还可得到许多有用的结论，如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，那么， AD和A′D′之间有什么关系？【证明】∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝B′，又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，∴△ABD∽△A′B′D′.∴ABA′B′＝ADA′D′＝k.结论1：相似三角形的对应高成比例．(二)探究2已知△ABC∽△A′B′C′，AE、A′E′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，且AB∶A′B′＝k，那么AE与A′E′怎样的关系？此证明可以让学生进行解答．【证明】∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，∴ABA′B′＝BCB′C′＝k，∵AE，A′E′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，∴BC＝2BE，B′C′＝2B′E′，∴ABA′B′＝BCB′C′＝BEB′E′＝k.∴△ABE∽△A′B′E′，∴AB A′B′＝AE A′E′＝k. 结论2：相似三角形对应中线的比等于相似比．(三)探究3已知△ABC∽△A′B′C′，AF 、A′F′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，那么AF 与A′F′怎样的关系？此证明可以让学生进行解答．【证明】∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC ＝∠B′A′C′，∠B ＝∠B′，又∵AF、A′F′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线∴∠BAC ＝2∠BAF，∠B ′A ′C ′＝2∠B′A′F′.∴∠BAF ＝∠B′A′F′，∴△ABF ∽△A ′B ′F ′，∴AB A′B′＝AF A′F′＝k. 结论3：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．(四)小结相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线成比例．(五)重心 1．概念：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．(回顾：三角形的三条中线的交点在三角形的内部)2．重心的定理：三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．3．定理证明过程：已知，如图，BD ，CE 是△ABC 的两条中线，P 是它们的中点．求证：DP BP ＝EP CP ＝12.证明：如图，连结DE.∵BD，CE是△ABC的两条中线，∴DE=12 BC，∵∠EDB＝∠DBC，∠DEC＝∠ECB.∴△DEP∽△BCP.∴DPBP＝EPCP＝DEBC＝12.三、新知应用【例1】已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8cm，A′D′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的比为__8∶3__．【分析】根据相似三角形性质可知，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，可求△ABC与△A′B′C′对应高的比．【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，∴AD∶A′D′＝8∶3，∴△ABC与△A′B′C′对应高的比为8∶3.【答案】8∶3说明：本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．【例2】两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线为10，那么另一个三角形对应的中线是________．【解析】∵相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条中线为10.而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，∴另一个三角形对应的中线可能为4，也可能是25.【正解】4或25说明：对于这类题目要分情况讨论，题中的“中线”改成“高”或“角平分线”，做题的方法也是一样的，学习数学要会“举一反三”．四、巩固新知尝试完成下面各题．1．若两个相似三角形的相似比是2∶5，则对应高的比是( A )A．2∶5 B．4∶25C.2∶ 5 D．25∶42．顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是( C )A．1∶4 B．1∶3C．1∶2 D．1∶13．若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为( C )A．15 B．10 C．9 D．34．已知△ABC∽△A′B′C′，BD，B′D′是它们的对应中线，且ACA′C′＝32，B′D′＝4，则BD的长为__6__．五、课堂小结相似三角形的性质：1．相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比．2．三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段．六、课后作业请完成本资料对应的课后作业部分内容．。
4．5 相似三角形的性质及其应用1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为(A)A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶82．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF对应角平分线之比为(B) A．2∶1 B．1∶2C．1∶4 D．4∶1(第3题)3．如图，已知点D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是(B)A．AD＝2DEB．AE＝2DEC．BE＝CED．AE＝3DE4．如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应高线之比是2∶3．5. 已知两个相似三角形的相似比是1∶4，那么它们的对应高线之比是__1∶4__．6. 若两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为70°和60°，则另一个三角形的最大内角和最小内角分别是70°，50°．7. 若一个三角形三边之比为3∶5∶7，一个与之相似的三角形最长边的长为21 cm，则其余两边长的和为24cm.8．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由点B出发沿BA方向向终点A匀速运动，速度为1 cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向向终点C匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ，设点P，Q运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似时，求t的值．(第8题)【解】 在Rt△ACB 中， ∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.由题意，得BP ＝t ，AQ ＝2t ，∴AP ＝5－t . ∵∠A ＝∠A ，∴分两种情况： ①若△APQ ∽△ABC, 则AQ AC ＝AP AB ，即2t 4＝5－t 5， 解得t ＝107.②若△AQP ∽△ABC ， 则AQ AB ＝AP AC ，即2t 5＝5－t 4， 解得t ＝2513.∴当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似时，t 的值为107或2513.9．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝∠E ，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，EF ＝12，则DF ＝10或15． 【解】 ∵∠A ＝∠E ，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，EF ＝12，△ABC 与△DEF 相似， ∴EF AB ＝DF CB 或BC DF ＝AC EF， 即124＝DF 5或5DF ＝612， 解得DF ＝15或10.(第10题)10．如图，点G 是等边△ABC 的重心，过点G 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点D ，E ，点M 在BC 边上．如果以点B ，D ，M 为顶点的三角形与以点C ，E ，M 为顶点的三角形相似(但不全等)，那么S △BDM ∶S △CEM2或2【解】 ∵点G 是等边△ABC 的重心，DE ∥BC ， ∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，BD AB ＝CE AC ＝13， ∴BD ＝13AB ，CE ＝13AC ，∴BD ＝CE .当△BDM ∽△CME 时， 则有BD CM ＝BMCE.设BD ＝a ，CM ＝x ，则CE ＝a ，BC ＝3a ，BM ＝3a －x .∴a x ＝3a －x a ，解得x ＝3±52a . 当CM ＝3－52a 时，BM ＝3＋52a ，∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7＋3 52.当CM ＝3＋52a 时，BM ＝3－52a ，∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7－3 52.当△BDM ∽△CEM 时， 则有BD CE ＝BM CM ＝DMEM＝1，此时△BDM ≌△CEM ，与题意不符．综上所述，S △BDM ∶S △CEM ＝7＋3 52或7－3 52.11．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，AB ＝8.(1)求线段GC 的长；(2)过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．,(第11题))【解】 (1)延长CG 交AB 于点D. ∵点G 是△ABC 的重心， ∴CD 为AB 边上的中线，CG ＝23CD.又∵∠C＝90°，∴CD ＝12AB ＝4，∴CG ＝23CD ＝83.(2)∵MN ∥AB ， ∴△CMN ∽△CAB ， ∴MN AB ＝MC AC . 同理，可证△CMG ∽△CAD ， ∴MC AC ＝CG CD ， ∴MN AB ＝CG CD ＝23， ∴MN ＝23AB ＝163.(第12题)12．已知△ABC(如图所示)． (1)在图中作出△ABC 的重心O ；(2)设BC ，AC ，AB 边的中点分别为M ，N ，G ，度量OM 和OA ，ON 与OB ，OG 与OC ，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间有何关系，并证明．【解】 (1)用尺规作图作出△ABC 三边的中线AM ，BN ，CG ，设它们的交点为O ，则O 为△ABC 的重心(作图略)．(2)通过度量发现：OA ＝2OM ，OB ＝2ON ，OC ＝2OG.猜想：三角形的重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．(第12题解)证明：如解图所示，分别取OB ，OC 的中点K ，H ，连结KH ，HN ，NG ，GK ，如解图． ∵G ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴GN 平行且等于12BC ，同理，KH 平行且等于12BC ，∴GN 平行且等于KH.∴四边形KHNG 是平行四边形， ∴OK ＝ON. ∵BK ＝OK ， ∴OB ＝2ON.同理，OA ＝2OM ，OC ＝2OG.13．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O 是△ABC 的重心(如图①)，连结AO 并延长交BC 于点D ，求证：AO AD ＝23；(2)若AD 是△ABC 的一条中线(如图②)，O 是AD 上一点，且满足AO AD ＝23，那么O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O 是△ABC 的重心，过点O 的一条直线分别与AB ，AC 交于点G ，H(均不与△ABC 的顶点重合)(如图③)，S 四边形BCHG ，S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，求S 四边形BCHGS △AGH的最大值．(第13题)(第13题解①)【解】 (1)连结CO 并延长，交AB 于点E ，如解图①. ∵点O 是△ABC 的重心，∴CE 是AB 边上的中线，点E 是AB 的中点． ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AC ，且DE ＝12AC.∴△AOC ∽△DOE ， ∴AO DO ＝ACDE＝2，∴AO ＝2DO.(第13题解②)∵AD ＝AO ＋DO ＝3DO ， ∴AO AD ＝23. (2)点O 是△ABC 的重心．证明如下：过点C 作△ABC 的中线CE 交AB 于点E ，交AD 于点Q ，则点Q 为△ABC 的重心，如解图②.由(1)知AQ AD ＝23，又∵AO AD ＝23，∴点Q 与点O 重合， ∴点O 是△ABC 的重心．(第13题解③)(3)连结DG ，如解图③. 设S △GOD ＝S.由(1)知AO AD ＝23，即OA ＝2OD ，∴S △AOG ＝2S ，S △AGD ＝S △GOD ＋S △AGO ＝3S. 不妨设AG ＝1，BG ＝x. ∵S △BGD S △AGD ＝x1，S △AGD ＝3S ， ∴S △BGD ＝3xS.∴S △ABD ＝S △AGD ＋S △BGD ＝3S ＋3xS ＝(3x ＋3)S ， ∴S △ABC ＝2S △ABD ＝(6x ＋6)S.设OH ＝k·OG，由S △AGO ＝2S ，得S △AOH ＝2kS ， ∴S △AGH ＝S △AGO ＋S △AOH ＝(2k ＋2)S.∴S 四边形BCHG ＝S △ABC －S △AGH ＝(6x ＋6)S －(2k ＋2)S ＝(6x －2k ＋4)S. ∴S 四边形BCHG S △AGH ＝（6x －2k ＋4）S （2k ＋2）S ＝3x －k ＋2k ＋1.① 过点O 作OF∥BC 交AC 于点F ，过点G 作GE∥BC 交AC 于点E ，如解图③，则OF∥GE. ∵O F∥BC， ∴OF CD ＝AO AD ＝23， ∴OF ＝23CD ＝13BC.∵GE ∥BC ，∴GE BC ＝AG AB ＝1x ＋1， ∴GE ＝BCx ＋1；∴OF GE ＝13BC BC x ＋1＝x ＋13. ∵OF ∥GE ， ∴OH GH ＝OF GE ＝x ＋13， ∴OH OG ＝OH GH －OH ＝x ＋12－x， ∴k ＝x ＋12－x.将k ＝x ＋12－x代入①式，得S 四边形BCHG S △AGH ＝3x －k ＋2k ＋1＝3x －x ＋12－x ＋2x ＋12－x＋1＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54， ∴当x ＝12(即BG ＝12AG)时，S 四边形BCHG S △AGH 有最大值，最大值为54.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》说课稿一. 教材分析浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》这一章节是在学生已经掌握了三角形的基本知识的基础上进行讲解的，目的是让学生能够理解和掌握相似三角形的性质及其应用，并能够运用到实际问题中。
本章的内容包括相似三角形的定义、性质以及相似三角形的应用。
在性质方面，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等等。
在应用方面，主要是解决实际问题中的几何问题，如测量问题、面积问题等。
二. 学情分析学生在学习这一章节之前，已经掌握了三角形的基本知识，如三角形的分类、三角形的性质等。
但是，学生对于相似三角形的性质及其应用可能还存在一些困难，如对相似三角形的定义理解不深刻、对于如何运用相似三角形解决实际问题还不够熟练等。
三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，我制定了以下教学目标：1.让学生理解和掌握相似三角形的定义和性质。
2.培养学生运用相似三角形解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 说教学重难点根据教材内容和学情分析，我确定了以下教学重难点：1.相似三角形的定义和性质。
2.如何运用相似三角形解决实际问题。
五. 说教学方法与手段为了达到教学目标，突破教学重难点，我采用了以下教学方法与手段：1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似三角形的性质及其应用。
2.利用多媒体教学手段，展示实际问题，帮助学生更好地理解和运用相似三角形。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
六. 说教学过程1.引入新课：通过展示一些实际问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出相似三角形的概念。
2.讲解相似三角形的定义和性质：通过讲解和示例，让学生理解和掌握相似三角形的定义和性质。
3.应用相似三角形解决实际问题：通过示例和练习，让学生学会如何运用相似三角形解决实际问题。
4.小组合作学习：让学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
4.5相似三角形的性质及其应用（2）教学目标1.通过探究、讨论、猜想、证明，让学生经历探索相似三角形性质的过程，2.体会如何探索研究问题.3.掌握相似三角形的性质：周长之比等于相似比；面积比等于相似比的平方.4.能利用相似三角形的性质解决一些简单的计算问题教学重点探究“相似三角形的面积比等于相似比的平方”与几个性质的应用.教学难点周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方的证明教学方法引导发现法、猜想证明教学过程例1如图是某市部分街道图，比例尺为1:100 000.请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.解：地图上的比例尺为1:100 000，就是地图上的△ABC与实际三角形地块的相似比为1.量得地图上AB=2.7cm，BC=3.0cm，AC=2.0cm，100 000则地图上△ABC的周长为2.7+3.0+2.0=7.7cm.∵7.7三角形地块的实际周长=1100 000∴三角形地块的实际周长为770000cm，即7.7km. 量得BC边上的高线长为1.8cm，∴地图上△ABC的面积为12×3.0×1.8=2.7cm²∵ 2.7三角形地块的实际面积=(1100 000)²∴三角形地块的实际面积为2.7×1010cm，即2.7km².答：估计这个三角形地块的实际周长为7.7km，实际面积为2.7km².例2如图，在△ABC中，作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比应取多少？解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC由△ADE的面积四边形DBCE的面积=1得△ADE的面积△ABC的面积=12∴(ADAB )2=12∴ADAB =12答：若使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比为√22.。
