利用定积分求曲线围成的面积

12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：当f(x )0时，由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x) = f (x)，则．曲线围成的面积1.设f和g是区间［a,b］上的连续函数且对任意的x［a,b］有f(x )g(x)，则直线x=a和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为：b b bf (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。

解：先求出P点坐标。

y= x2x = 0解方程组y = x x=0y= 2x x = 2P点的坐标是(2,4) 。

2所求的面积= 2x - x2dx = x20=4-8=4b1.定积分的几何意义：当f(x )0时，积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、a3 33例3 例2．计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ，以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。

f (x )-g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx ac1 c2 c 3例3：求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。

解：当 f (x )= g (x )时图像的交点，即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0x = 0或 1解：所求面积=-11 (x2 +1)dx = 3-2x 2dx =-1 3x -2x 3 3-1 14 32.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ]，阴影部分面积可以表示为：例 4 ：求阴影部分的面积。

积分学中的面积与弧长在数学领域中，积分学是一个重要的分支，其涉及到计算曲线下面的面积以及曲线的弧长。

在本文中，我们将探讨积分学中的面积与弧长的相关概念和计算方法。

一、面积计算在积分学中，我们可以利用定积分的概念来计算曲线下面的面积。

定积分的符号表示为∫，代表某一区间上函数曲线下的面积。

具体而言，在一维情况下，我们可以通过积分计算直线与坐标轴所夹的曲线下的面积。

以一个简单的例子来说明，假设我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上的面积，其中f(x)是一个连续函数。

我们可以将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后选择每个小区间上的一个代表点xi。

对于每个小区间，我们可以计算出f(xi)与Δx的乘积，得到该小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加即可。

当我们将n趋近于无穷大时，这个近似的和将会趋近于实际的曲线下面的面积。

而对于二维情况，我们可以通过对平面上的曲线进行积分来计算曲线所围成的区域的面积。

同样地，我们可以将曲线所围成的区域分成无穷多个小区域，然后通过计算每个小区域的面积，最后将所有小区域的面积相加来得到曲线围成的区域的面积。

二、弧长计算除了计算面积，积分学也可以用来计算曲线的弧长。

在数学中，曲线的弧长指的是曲线的长度。

在实际应用中，计算曲线的弧长在几何学、物理学等领域中都有着广泛的应用。

同样地，我们可以利用定积分的概念来计算曲线的弧长。

在一维情况下，假设我们有一个曲线y = f(x)，其中f(x)是一个连续函数。

我们可以将曲线所在的区间[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

然后，用勾股定理计算出每个小区间的弦长，并将这些弦长相加，即可得到曲线在区间[a, b]上的弧长的近似值。

当我们将n趋近于无穷大时，这个近似值将会趋近于曲线的实际弧长。

值得注意的是，计算弧长时所使用的公式与曲线的参数方程和极坐标方程有关。

对于参数方程，我们需要分别计算x和y的导数，然后再套入弧长的积分公式中进行计算。

利用定积分求曲线围成的面积
定积分是数学中一种重要的积分计算方法，用于求解两变量t和y之间函数关系的积分。

它是一种对曲线积分测量技术，通常用于求曲线所围成的面积。

下面介绍定积分求曲
线围成的面积的原理，以及如何运用定积分求解。

首先，求曲线所围成的面积，要求先将曲线分解为多个小矩形，这就是定积分技术的
基础。

定积分技术可以用原函数曲线在一个区间内离散对应的多个矩形累加得到该区间内
的整个积分值，其具体流程如下：
1. 首先确定积分区间，确定积分上下限，通常记做a和b；
2. 确定在积分区间中拆分的点数，也就是将积分区间拆分成多少子区间，其记号为n；
3. 经过上面的步骤后，就可以确定出定积分的“积分步长”h=（b-a）/ n；
4. 接下来根据所给函数，计算一下积分步长h对应的函数值，我们将这个值记为Fi，i为1,2,...,n，F1为a点处的函数值，F2为a+h点处的函数值，以此类推，Fn为b点处的函数值；
5. 通过上面计算出所有矩形的面积，把它们累加起来，就可以得到整个曲线所围成
的面积；
6. 如果矩形面积很小，也就是说n足够大，则积分值基本已经接近其实际值；
7. 再把整个曲线所围成的面积减去各个子矩形与曲线实际接触处的总面积，也就是
被曲线分割的矩形的形面积，就可以得到最终的积分结果了。

上面叙述的是定积分求曲线围成的面积的原理，要实际操作运用定积分求解，还需要
根据实际情况进行处理。

在实际应用中，需要特别注意函数在曲线上断点处不可能出现悬
挂断层，以及曲线上拐点处的积分计算。

只有在这些要点上仔细处理，定积分求曲线围成
的面积才可行。

利用定积分求曲线围成的面积12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校 汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、xb =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()b b ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。

⎰b a f (x )dx =⎰c a f (x )dx +⎰b c f (x )dx 。

解：先求出P 点坐标。

解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。

所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。

解：所求面积=11132221112144(1)32333x x x dx x dx x ---⎡⎤--+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：123123()()()()()()()()c c c ba c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-⎰⎰⎰⎰例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。

利用定积分求曲线围成的面积This manuscript was revised on November 28, 2020利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校 汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、xb =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()bb ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰ 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。

解：先求出P 点坐标。

解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。

所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1 例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。

解：所求面积=例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。

解：当()()=时图像的交点，f xg x即332=⇒-=⇒-=x x x x x x0(1)0例3 例4：求阴影部分的面积。

12.9利用定积分求曲线围成的面积
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•复习回顾:
b 1.定积分的几何意义：当f(x)_O 时，积分 f(x)dx 在几何上表示由y = f(x)、x = a 、x =b _a 与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当f(x)空0时，由y 二f(x)、x 二a 、x 二b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿一莱布尼茨公式
定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a, b ］上的连续函数，并且F (x)= f (x)，则 二•曲线围成的面积
1.设f 和g 是区间［a,b ］上的连续函数且对任意的［a,b ］有f(x) —g(x)，则直线x = a 和直
线x =b 以及曲线间围成的面积可以表示为：
b b b
J f(x)dx —a g(x)dx=J f(x)—g(x)dx a a a 例1求抛物线y =x 2和直线y =2x 所围成的区域面积。

例2.计算曲线y =X 2 • 1和y =4 -X 2，以及直线x =1和x - -
1所围成的区域面积
解：所求面积=
例2
解：先求出P 点坐标 解方程组 P 点的坐标是(2,4) 所求的面积=
2x -x 2dx 二 x 2 0 - A
0 a b
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方,
它们交叉会是什么结果？
考虑区间［a’CiHcitLGqHob］，阴影部分面积可以表示为: 例3:求f(x) =x3和g(x)二x所围成的圭寸闭区域面积
解：当f(x)=g(x)时图像的交点，
即x3 = x 二f - x 0 : (x 2x 1) £
例4:求阴影部分的面积
练习：
1.求阴影部分面积例3例4。

用定积分求面积的两个常用公式浙江 曾经求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．一、两个常用公式公式一：由连续曲线y ＝f (x ),直线x ＝a ，x ＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为A ＝|()|b af x dx ⎰．特别地,⑴当f (x )≥0时(如图1)，A ＝()baf x dx ⎰;⑵当f (x ）≤0时（如图2),A ＝－()b af x dx ⎰；⑶当f (x )有正有负时(如图3），A ＝()c af x dx ⎰－()b cf x dx ⎰．公式二：由连续曲线y ＝f （x )，y ＝g (x ），f (x )≥g (x ）及直线x ＝a ,x ＝b 所围成的图形（如图4)的面积A 为A ＝[()()]b af xg x dx -⎰．二、应用举例例1 由y ＝x 3，x ＝0,x ＝2，y ＝0围成的图形面积．分析:先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．1图2图解：⑴如图1，由公式1，得S ＝230x dx⎰＝42440111|204444x =⨯-⨯=． 评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限,可为正,也可为负或零,而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积,然后将它们加在一起．例2 ⑴由曲线y ＝x 2，y 2＝x 所围成图形的面积．⑵由y ＝14x 2－1，y ＝12x ，y ＝34x 在第一象限所围成图形的面积．分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．解：⑴ 如图2，所求面积为阴影部分．解方程组22y xy x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得交点(0，0)，(1，1）,由公式2，得S＝120)x dx ⎰＝331202211()|33333x x -=-=． ⑵如图3，解方程组211412y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和211434y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x ＝0，x ＝1负的舍去),x ＝4．由公式2，得图形面积S＝1031()42x dx -⎰＋42111[(1)]42x x dx --⎰3图216-=．。