【配套K12】[学习]四川省成都市高中数学 第二章 点线面的位置关系 第3课时 空间中直线与平面同步

1.2.3.1 直线与平面垂直示范教案整体设计教学分析本节教材给出了两直线垂直和直线与平面垂直的定义，并讨论了判定定理和性质．在教学过程中，要注意调动学生的学习积极性，留出足够思考时间，培养学生的思维能力．值得注意的是尽量使用信息技术，以便突破难点．对于判定定理的证明不作要求，仅供学习有余力的同学参考．三维目标1．掌握两直线垂直和直线与平面垂直的定义，培养学生的空间想象能力．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其推论，提高学生的应用能力．重点难点教学重点：直线与平面垂直的判定定理及其推论．教学难点：归纳判定定理，证明推论2.课时安排1课时教学过程导入新课设计1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象．在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的．设计2.(实例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明．如下图，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直．推进新课新知探究提出问题(1)阅读教材，说说空间中两直线垂直的定义．(2)想想看，如果A，B是空间中的两点，那么在空间中线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形(如下图)？固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转，l的轨迹是怎样的图形？(3)归纳空间直线与平面垂直的定义．(4)直线l⊥平面α，直线m α，则l与m垂直吗？讨论结果：(1)如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．(2)容易发现，空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面．(3)如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(4)如下图，如果l⊥a，垂足为O，直线m是平面α内不过点O的任意一条直线，那么在α内过点O，可引直线m∥a，根据空间直线与平面垂直的定义，由l⊥a可得l⊥m.这就是说：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如上下图所示．直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.提出问题1用直线与平面垂直的定义，直接检验直线是否与平面垂直是困难的.想想看，判定直线与平面垂直是否有容易操作又比较简单的方法？2直线l∥直线m，l⊥平面α，则m与α垂直吗？3直线l⊥平面α，直线m⊥α，则l与m有何位置关系？讨论结果：(1)我们已经知道，一个平面被它所含的两条相交直线完全确定．实际上只要检验这条直线与平面内的两条相交直线是否垂直就可以了，如果都垂直，则这条直线就与平面垂直．当这两条相交直线不都经过这条直线与平面的交点时，可以把它们平行移动到交点处后进行研究．由以上分析，我们归纳出直线与平面垂直的判定定理：定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)如下图，如果直线l平行于直线m，且直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b.根据空间两条直线垂直的定义，易知，m与直线a和b也垂直，所以m与平面α垂直．推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(3)推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B(如下图)求证：l∥m.证明：假设直线m不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α.设m和m′确定的平面为β，α与β的交线为a.因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线a.因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线m和m′必重合，即有l∥m.应用示例思路1例1 过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P(如下图)．甲乙求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．变式训练如下图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC.问：四面体PABC中有几个直角三角形？解：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.所以△PAB，△PAC为直角三角形．又PA⊥BC，AB⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又PB 平面PAB，于是BC⊥PB，所以△PBC也为直角三角形．所以四面体PABC中的四个面都是直角三角形．例2有一根旗杆AB高8 m(如下图)，它的顶端A挂着两条长10 m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D(和旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在△ABC和△ABD中，因为AB＝8 m，BC＝BD＝6 m，AC＝AD＝10 m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2.所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD.又知B，C，D三点不共线，因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．变式训练如下图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC.(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD⊥面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥面ASC.证明：(1)在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，∴SD⊥AC，取AB的中点E，连DE、SE.∵ED∥BC，AB⊥BC，∴DE⊥AB.又SE⊥AB，∴AB⊥面SED，∴AB⊥SD，又AB∩AC＝A，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC，又SD⊥面ABC，∴SD⊥BD，∵SD∩AC＝D，∴BD⊥面ASC.例3 已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l.求证：AP在α内．证明：设AP 与l 确定的平面为β.假设AP 不在α内，则设α与β相交于直线AM(如下图)．因为l⊥α，AM ⊂α，所以l⊥AM.又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A 有两条直线垂直于l.这是不可能的，所以AP 一定在α内．变式训练如下图，已知直线a⊥b，b⊥α，aα.求证：a∥α.证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b′作平面β，设α∩β＝a′，∵b′∥b，a⊥b，∴a⊥b′. ∵b⊥α，b′∥b，∴b′⊥α. 又∵a′⊂α，∴b′⊥a′.由a ，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′ 知a∥a′.∴a∥α.点评：反复使用线面垂直的性质定理和判定定理，是解决立体几何垂直问题的常用策略.2. 2008安徽，理4 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( )A ．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C ．若m∥α，m∥β，则α∥β D ．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 解析：垂直于同一个平面的两条不同的直线平行． 答案：D思路2例4 如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心． 求证：A 1O⊥平面GBD.证明：∵⎭⎪⎬⎪⎫A 1A⊥BD AC⊥BD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BD⊥平面A 1AO A 1O ⊂面A 1AO ⇒BD⊥A 1O.又∵A 1O 2＝A 1A 2＋AO 2＝a 2＋(22a)2＝32a 2， OG 2＝OC 2＋CG 2＝(22a)2＋(a 2)2＝34a 2， A 1G 2＝A 1C 21＋C 1G 2＝(2a)2＋(a 2)2＝94a 2，∴A 1O 2＋OG 2＝A 1G 2.∴A 1O⊥OG.又BD∩OG＝O ，∴A 1O⊥平面GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法． 变式训练如下图，已知点P 为平面ABC 外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.证明：过P 作PO⊥平面ABC 于O ，连结OA 、OB 、OC. ∵PO⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO. 又∵OA ⊂平面PAO ，∴BC⊥OA. 同理，可证AB⊥OC. ∴O 是△ABC 的垂心． ∴OB⊥AC.可证PO⊥AC. ∴AC⊥平面PBO. 又PB ⊂平面PBO ， ∴PB⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直．用符号语言证明问题显得清晰、简洁．知能训练如下图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a.(1)求证：BD 1⊥平面B 1AC ； (2)求B 到平面B 1AC 的距离． (1)证明：∵AB⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C ， ∴B 1C⊥面ABC 1D 1.又BD 1⊂面ABC 1D 1，∴B 1C⊥BD 1. ∵B 1B⊥AC，BD⊥AC，∴AC⊥面BB 1D 1D.又BD 1⊂面BB 1D 1D ，∴AC⊥BD 1. 又B 1C∩AC＝C ， ∴BD 1⊥平面B 1AC.(2)解：∵O∈BD，∴连结OB 1交BD 1于E. 又O∈AC，∴OB 1⊂面B 1AC.∴BE⊥OE，且BE 即为所求距离． ∵BE OB ＝BD BD 1， ∴BE＝BD BD 1·OB＝2a 3a ·22a ＝33a. 2．已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角．求证：l⊥α.证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO ＝BO ＝CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA、△POB、△POC 中，∵PO＝PO ＝PO ，AO ＝BO ＝CO ，∠POA＝∠POB＝∠POC， ∴△POA≌△POB≌△POC.∴PA＝PB ＝PC.取AB 的中点D ， 连接OD 、PD ，则OD⊥AB，PD⊥AB.∵PD∩OD＝D ，∴AB⊥平面POD.∵PO 平面POD ，∴PO⊥AB. 同理，可证PO⊥BC.∵AB α，BC α，AB∩BC＝B ，∴PO⊥α，即l⊥α.若l 不经过点O 时，可经过点O 作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α， ∴l⊥α. 拓展提升如下图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC＝90°，O 为BC 中点．证明SO⊥平面ABC.证明：如下图，由题设，知AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA.连结OA ，△ABC 为等腰直角三角形， 所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝22 SA.从而OA2＋SO2＝SA2.所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO.又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.课堂小结本节学习了：1．两直线垂直、直线与平面垂直的有关概念；2．判定直线与平面垂直和直线与直线垂直；3．转化的数学思想方法应用．作业本节练习A 5题；练习B 4,5题．设计感想本节教学设计容量较大，拓展内容较多，建议课前要求学生预习，在教学中使用信息技术，减少板书内容，把教学时间应用到判定定理的应用上．备课资料镜面对称如下图(1)所示，如果平面α通过线段AA′的中点O，且垂直于直线AA′，那么平面α叫做线段AA′的垂直平分面(或中垂面)．并称点A，A′关于平面α成镜面对称，平面α叫做A，A′的对称平面．如果一个图形F的所有点关于平面α的对称点构成几何图形F′(如下图(2))，则称F，F′关于平面α成镜面对称．(1) (2)如果一个图形F通过镜面对称变换后的图形仍是它自身，则这个图形称作镜面对称图形．根据以上定义，请探索研究以下问题：(1)线段的中垂面有哪些性质？(2)你学过的空间图形，有哪些是镜面对称图形？(3)写一篇研究镜面对称的小论文，探索镜面对称的性质和应用．。

必修2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
编写人：元丽丽
第一讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个公理
2.异面直线的概念：把 的两条直线叫做异面直线.
3.等角定理
空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 或 . 4.两条异面直线所成的角（夹角）
（1）定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或 角）叫异面直线,a b 所成的夹角. （2）异面直线所成角的范围：
5.空间两条直线的位置关系：
7.空间中平面与平面之间的位置关系
第二讲 直线、平面平行的判定及其性质
1.四个定理
第三讲直线、平面平垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直：
如果直线l与平面α内的一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作 .
直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的 .直线与平面的公共点P叫做 .
2. 直线与平面所成的角：
过斜足上斜足以外的一点向平面平面引，过和的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角.
角的取值范围： .
3.二面角。

第二章点、直线、平面的位置关系小结一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。

2、本章知识结构框图（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

（三）应用举例，深化巩固1、P.82 A 组第1题本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。

2、P.82 A 组第8题本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。

（四）课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.83 B 组第2题。

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。

1.2.2.1 平行直线示范教案整体设计教学分析教材类比初中平面几何知识得到基本性质 4.直接给出了定理并加以证明．值得注意的是教学的重点是基本性质4和定理的应用，即平行直线的判定．三维目标1．掌握基本性质4和等角定理，提高类比和抽象思维能力．2．掌握空间四边形的概念，培养学生空间想象能力．重点难点教学重点：基本性质4和等角定理．教学难点：证明等角定理．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.前面我们学习了平面的基本性质——三个公理及其推论，讨论了公理及其推论的作用，并且对性质公理及其推论的简单应用进行了研究——共面问题的证明、点共线问题的证明、线共点问题的证明，通过具体问题与平面几何知识对照、类比，揭示了三类问题的证明思路、方法与步骤，这些内容是立体几何的基础，我们大家应予以足够的重视．从这节课开始，我们来研究平行直线(板书课题)．设计2.平行与垂直是空间点、直线、平面的位置关系中最重要的情况，在现实生活中，平行与垂直的情形也时常见到，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题回顾平行线的定义和有关定理.在平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，那么在空间中呢？(3)在平面内，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(如下图，AO∥A′O′，BO∥B′O′，∠AOB和∠A′O′B′相等，或∠AOB和∠A′O′B′互补．)在空间中呢？(4)阅读教材，给出空间四边形的概念．讨论结果：(1)在初中几何中，我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，还学过平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．(2)基本性质4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．即，如果直线a∥b，c∥b，那么a∥c(下图)．上述基本性质通常又叫做空间平行线的传递性．(3)定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．已知如下图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′.证明：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD，AE和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′，AE＝A′E′.因为AD A′D′，所以AA′D′D是平行四边形．可得AA′DD′.同理可得AA′EE′.于是DD′EE′.因此DD′E′E是平行四边形．可得DE＝D′E′.于是△ADE≌△A′D′E′.因此∠BAC＝∠B′A′C′.(4)如下图(1)所示，顺次连结不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，下图(2)中的四边形可以表示为空间四边形ABCD，线段AC，BD是它的对角线．图(1) 图(2)应用示例思路1例1已知：如下图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 证明：在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点， 所以EH∥BD，EH ＝12BD.同理，FG∥BD，且FG ＝12BD.所以EH∥FG，EH ＝FG.所以四边形EFGH 是平行四边形． 点评：证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；对边分别平行；对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形．变式训练空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC ＝BD. 求证：四边形EFGH 是菱形．证明：连结EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH ＝12BD.同理，FG∥BD，EF∥AC， 且FG ＝12BD ，EF ＝12AC.所以EH∥FG，且EH ＝FG.所以四边形EFGH 为平行四边形． 因为AC ＝BD ， 所以EF ＝EH.所以四边形EFGH 为菱形．思路2例2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和棱CC 1的中点． 求证：EB 1∥DF，ED∥B 1F.证明：如下图，设G 是DD 1的中点，分别连结EG ，GC 1.∵EG A1D1，B1C1A1D1，∴EG B1C1.∴四边形EB1C1G是平行四边形．∴EB1GC1.同理，可证DF GC1.∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形．∴ED∥B1F.变式训练正方体AC1中，E、F分别在棱AA1和CC1上，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．证明：如下图所示，在直线BB1上取一点G，使B1G＝AE，连结A1G，FG，∵B1G＝AE，∴A1E ＝BG.又∵A1E∥BG，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴EB A1G.同理，四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G D1F.∴EB D1F.(公理4)∴四边形EBFD1是平行四边形．知能训练1．如下图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23.求证：四边形EFGH 是梯形．分析：要证明四边形EFGH 有一组对边平行且不相等，先要考虑哪一组对边有平行的可能，由于E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 实质上分别是CB 、CD 的三等分点，连结BD ，问题就变得明了了．证明：连结BD ，∵E、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线．∴EH∥BD，EH ＝12BD.又在△CBD 中，CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG∥BD，FG ＝23BD.根据公理4，EH∥FG.又FG>EH ，∴四边形EFGH 是梯形．2．如下图，P 是△ABC 所在平面外一点，点D 、E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：DE∥AC，DE ＝13AC.分析：由点D 、E 分别是△PAB、△PBC 的重心，想到连结PD 、PE ，并延长与AB 和BC 分别相交，从而构造三角形，充分利用重心的性质及三角形中位线定理．证明：连结PD 、PE 并延长分别交AB 、BC 于点M 、N ， ∵点D 、E 分别是△PAB、△PBC 的重心， ∴M、N 分别是AB 、BC 的中点．连结MN ，则MN∥AC，且MN ＝12AC.①在△PMN 中，∵PD PM ＝PE PN ＝23，∴DE∥MN，且DE ＝23MN.②由①②根据公理4，得DE∥AC，且DE ＝23MN ＝23×12AC ＝13AC.拓展提升已知空间四边形ABCD ，P 、Q 、R 、S 分别是线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，试找到P 、Q 、R 、S 的合适位置和四边形ABCD 所具备的条件，使得四边形PQRS 恰好为一个菱形，并证明你的结论．解：取P 、Q 、R 、S 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且使四边形ABCD 满足AC ＝BD ，可得四边形PQRS 为菱形．证明如下，如下图所示．∵P、Q 为AB 、BC 的中点， ∴PQ12AC ，同理RS 12AC ∴四边形PQRS 是平行四边形， 又PS12BD ，RQ 12BD ，AC ＝BD ， ∴PS＝PQ ，∴四边形PQRS 是菱形． 课堂小结本节课学习了基本性质4和等角定理，以及平行直线的判定． 作业本节练习A 2题；练习B 2题．设计感想平行直线是高考考查的重点．本节不仅选用了传统经典题目，突出了题目的开放性和探究性，并在教材的基础上加以适当拓展，突出了应用．。

高中数学-点线面位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L ∈ α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2-3平面与平面平行教案新人教B版必修2示范教案教学分析教材通过实际操作归纳出了平面与平面平行的判定定理和性质定理，并通过两个例题展示了应用．值得注意的是根据课程标准，不需要证明判定定理．在教学中，应加强对判定定理和性质定理应用的教学．三维目标1．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，提高学生的归纳能力．2．利用判定和性质定理解决平行问题，提高学生的应用能力，培养学生的空间想象能力．重点难点教学重点：判定定理和性质定理的应用．教学难点：判定定理的归纳．课时安排1课时导入新课设计 1.前面我们已经学习了两直线平行、直线与平面平行的判定定理和性质定理，今天我们学习第三种平行，教师点出课题．设计 2.工人师傅在制造我们学习用的课桌时，怎样检验桌面与地面平行呢？教师点出课题．推进新课讨论结果：(1)教室内的天花板和地面不相交，而是平行，因此两平面的位置关系有两种：相交和平行．如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行．平面α平行于平面β，记作α∥β.(2)如下图，在平面α内，作两条直线a，b，并且a∩b＝P，平移这两条相交的直线a，b到直线a′，b′的位置，设a′∩b′＝P′，由直线与平面平行的判定定理可知：a′∥α，b′∥α.想必同学们已经认识到，由相交直线a′，b′所确定的平面β与平面α不会有公共点．否则，如下图，如果两平面相交，交线为c，于是a′，b′都平行于这两个平面的交线c，这时，过点P′有两条直线平行于交线c，根据平行公理，这是不可能的．由此，我们可以归纳出两个平面平行的判定定理：定理如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．利用直线与平面平行的判定定理，我们可以得到：推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．(3)根据上述定理和推论，在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线(如下图)．(4)观察长方体形的教室，天花板面与地面是平行的．直观上能感觉到，墙面分别与天花板面、地面相交所得到的两条交线也是平行的．一般来说，两个平面平行有如下性质：定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．事实上，由于两条交线分别在两个平行平面内，所以它们不相交，它们又都在同一平面内，由平行线的定义可知它们是平行的．(如下图)．思路1例1已知三棱锥P—ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点(如下图)．求证：平面DEF∥平面ABC.证明：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又知DE平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理EF∥平面ABC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.点评：证明面面平行，通常转化为证明线面平行．变式训练已知：正方体ABCD—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面C1BD.证明：如下图所示，ABCD—A1B1C1D1是正方体，所以BD∥B1D1.又B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1，从而BD∥平面AB1D1.同理可证，BC1∥平面AB1D1.又直线BD与直线BC1交于点B，因此平面C1BD∥平面AB1D1.例2已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F(如下图)．求证：＝.证明：连结DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG.平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF.于是，得＝，＝.所以＝.点评：本例通常可叙述为：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．变式训练如下图，平面α，β，γ两两平行，且直线l与α，β，γ分别相交于点A，B，C，直线m与α，β，γ分别相交于点D，E，F，AB＝6，BC＝2，EF＝3.求DE的长．解：连结DC.设DC与β相交于点G，则平面ACD与α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与β，γ分别相交于直线GE，CF.因为α，β，γ两两平行，所以BG∥AD，GE∥CF.因此＝，＝.所以＝.又因为AB＝6，BC＝2，EF＝3，所以DE＝9.思路2例 3 已知：a、b是异面直线，aα，bβ，a∥β，b∥α.求证：α∥β.证明：如下图，在b上任取点P，显然于是a和点P确定平面γ，且γ与β有公共点P.设γ∩β＝a′，∵a∥β.∴a′∥a.∴a′∥α.这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β.变式训练如下图，平面α∥平面β，平面γ与α交于直线a，γ与β交于直线b，直线c在β内，且c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．答案：(1)c∥α；(2)c∥a.(理由，略)2. 2008江西高考，文9 设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：由题意，m与α斜交，令其在α内的射影为m′，则在α内可作无数条与m′垂直的直线，它们彼此平行．故A错，如下图．在α外，可作与α内直线l平行的直线，故C错；如下图，β，β⊥α，故B正确．与直线m垂直与平面α平行的直线有无数条，故C错．可实现作β的平行平面γ，则m∥γ且γ⊥α，故D错．答案：B例 4 如下图，在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG.证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，∴MN∥HF，PQ∥BD.∵BD∥HF，∴MN∥PQ.∵PR∥GH，PR＝GH，MH∥AR，MH＝AR，∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形．∴AM∥RH，RH∥PG.∴AM∥PG.∵MN∥PQ，MN平面PQG，PQ平面PQG，∴MN∥平面PQG.同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，∴平面MNA∥平面PQG.点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行．变式训练如下图(1)，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F 分别为AB 、CD 的中点．(1) (2)求证：EF∥α，EF∥β.证明：当AB 、CD 共面时，平面ABCD∩α＝AC ，平面ABCD∩β＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD.∵E、F 分别为AB 、CD 的中点，∴EF∥AC.∵AC α，EF α，∴EF∥α.同理，EF∥β.⊂当AB 、CD 异面时，如上图(2)∵ECD，∉∴可在平面ECD 内过点E 作C′D′∥CD，与α、β分别交于C′、D′.平面AC′BD′∩α＝AC′，平面AC′BD′∩β＝BD′，∵α∥β，∴AC′∥BD′.∵E 是AB 中点，∴E 也是C′D′的中点．平面CC′D′D∩α＝CC′，平面CC′D′D∩β＝DD′，∵α∥β，∴CC′∥DD′.∵E、F 分别为C′D′、CD 的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′. ∵CC α，EF α，∴EF∥α.同理，EF∥β.⊂1．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．已知：α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.证明：如下图，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a 、c 、e 和b 、d 、f ，⎭⎬⎫α∥β⎩⎪⎨⎪⎧ a∥c b∥d β∥γ⎩⎪⎨⎪⎧ c∥e d∥f α∥γ. 点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面． 2.如下图，EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，求证：BD∥面EFGH ，AC∥面EFGH.证明：∵四边形EFGH 是平行四边形⎭⎪⎬⎪⎫ EH 面EFGH BD 面EFGH BD∥面EFGH.⇒同理，可证AC∥面EFGH.3．已知：如下图，正方体ABCD —A1B1C1D ，AA1＝2，E 为棱CC1的中点．求证：AC∥平面B1DE.分析：取BB1的中点F ，转化为证明平面ACF∥面B1DE.证明：取BB1的中点F ，连结AF 、CF 、EF.如下图．∵E、F 是CC1、BB1的中点， ∴CEB1F，∴四边形B1FCE 是平行四边形，∴CF∥B1E.∴CF∥平面B1DE.∵E，F 是CC1，BB1的中点， ∴EFBC，又BCAD ， ∴EFAD.∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF∥ED，∴AF∥平面B1DE.又∵AF∩CF＝F ，AF 平面B1DE ，CF 平面B1DE.∴平面ACF∥面B1DE.又AC 平面ACF.⊂∴AC∥面B1DE.如下图，两条异面直线AB 、CD 与三个平行平面α、β、γ分别相交于A 、E 、B 及C 、F 、D ，又AD 、BC 与平面的交点为H 、G.求证：四边形EHFG 为平行四边形．⎭⎪⎬⎪⎫证明：平面ABC∩α＝AC 平面ABC∩β＝EG α∥β AC∥EG.⇒ 同理，AC∥HF.⎭⎪⎬⎪⎫AC∥EG AC∥HF EG∥HF.⇒ 同理，E H∥FG.故四边形EHFG 是平行四边形．本节课学习了：平面与平面平行的判定定理和性质，平行关系的证明策略——转化．本节练习B 2,3题．本节教学设计依据课程标准，通过操作，归纳平面与平面平行的判定定理和性质定理．精选了典型题目，体会判定定理和性质定理的应用．由于课堂容量较大，建议使用信息技术．备选习题1．如下图，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心．(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比．(1)证明：连结PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于D、E、F，连结DE、EF、DF.∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心，∴PA′＝PD，PC′＝PF.∴A′C′∥DF.∵A′C′平面ABC，DF平面ABC，⊂∴A′C′∥平面ABC.同理，A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′，⊂∴平面ABC∥平面A′B′C′.(2)解：由(1)知A′C′DF，又DFAC，∴A′C′AC.同理，A′B′AB，B′C′BC.∴△A′B′C′∽△ABC.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9.2．已知：如下图，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.求证：AB＝CD.证明：∵AB∥CD，∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.∵α∥β，∴BD∥AC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD.。

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第2课时空间中直线与直线的位置关系基础达标（水平一 )1。

下列说法正确的个数是（）。

①若直线a,b相交,b，c相交，则a,c相交；②若a∥b,则a,b与c所成的角相等;③若a⊥b，b⊥c,则a∥c。

A。

3 B.2 C.1 D。

0【解析】①中a与c也可能异面或平行，③中a与c也可能相交或异面，②正确。

【答案】C2.下列选项中,点P，Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 是异面直线的一个图是（).【解析】易知选项A,B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线。

【答案】C3。

已知两条直线a,b都和第三条直线c垂直并相交，则直线a，b的位置关系是()。

A.平行 B。

相交C。

异面D。

以上都有可能【解析】直线a，b都和第三条直线c垂直并相交,则直线a,b的关系可能平行,可能相交,也可能异面.【答案】D4。

设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()。

A.有无数条B。

有两条C。

至多有两条 D.有一条【解析】如图所示，过点P作直线l'∥l,以l’为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线所在的直线都与l成30°角。

1.2.3 空间中的垂直关系 2
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解平面与平面垂直的定义．
2．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中面面
垂直的有关判定方法及性质．
3．掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，
并能利用以上定理解决空间中的垂直性问题． 1．两个平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条 交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
思考 1 过平面 α 的一条垂线能作多少个平面与平面 α 垂直？
提示：无数个．
思考 2 经过平面的一条斜线与该平面垂直的平面有多少个？
提示：只有一个．
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
判定定理
性质定理 文字
如果一个平面过另一个平面的一条 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂 语言
垂线，则两个平面互相垂直 直于它们交线的直线垂直于另一个平面 图形
语言
符号
语言 a 平面a a 平面⇒ α⊥
β a a a a b a b ⇒a ⊥β
思考 3 (1)两个平面互相垂直，其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系是怎样 的？
(2)两个平面互相垂直，其中一个平面内与交线相交的直线与另一个平面一定垂直吗？ 提示：(1)两个平面互相垂直，其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系可能是平 行，也可能是相交，还可能是在平面内．
(2)两个平面互相垂直，其中一个平面内与交线相交的直线与另一个平面不一定垂直．
1。

1.2.3.2 平面与平面垂直示范教案整体设计教学分析教材通过实例操作，归纳出了两个平面互相垂直的定义，进一步归纳出了平面与平面垂直的判定定理和性质定理．值得注意的是在教学中要留给学生适当的思考时间，避免出现直接给出定义和定理，那样做会不符合新课标的精神的．三维目标1．掌握两个平面互相垂直的定义，提高学生的归纳能力．2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，以及应用定理解决有关问题，提高学生抽象思维能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：两个平面垂直的判定和性质．教学难点：归纳判定定理和性质定理．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.回顾直线与平面垂直的定义，是用线线垂直来定义的，那么如何定义平面与平面垂直呢？用什么来定义？教师点出课题．设计2.如下图所示，在长方体AC′中，棱AA′垂直平面AC，那么过AA′的平面AB′和平面AD′垂直于平面AC吗？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)如右下图，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD.于是，直线CD⊥平面ABE.容易看到，当∠ABE为直角时，给我们两平面互相垂直的印象．由此归纳出两平面垂直的一个定义？(2)在下图中，由于∠ABE为直角，可知BA⊥BE.又BA⊥CD，所以BA⊥β.这就是说平面α过平面β的垂线BA.现在要问，如果平面α过平面β的垂线BA，那么这两个平面是否相互垂直呢？归纳平面与平面垂直的判定定理．(3)下面我们再来研究两平面垂直的性质．再观察右上图，设平面α与平面β垂直，α∩β＝CD，如果平面α内的直线BA⊥CD，这时，BA是否垂直平面β？归纳平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．讨论结果：(1)如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直，记作α⊥β.(2)答案是肯定的．事实上，只要在平面β内作BE⊥CD，由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE为直角依两个平面垂直的定义，就可以推出α⊥β.由以上观察和分析，我们可以得到平面与平面垂直的判定定理：定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直(如下图)，实际上就是依据这个定理．(3)定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：(如下图)平面α⊥平面β，α∩β＝CD，BA α，BA⊥CD，B为垂足．求证：BA⊥β.证明：在平面β内过点B作BE⊥CD.因为α⊥β，所以BA⊥BE.又因为BA⊥CD，CD∩BE＝B，所以BA⊥β.应用示例思路1例1 已知：如下图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．解：连结BC.因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α和β的交线，所以BD⊥α，BD⊥BC.所以△C BD是直角三角形．在直角△BAC中，BC＝32＋42＝5.在直角△CBD中，CD＝52＋122＝13.所以CD长为13 cm.变式训练如下图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，MN在平面BCC′B′内，MN⊥BC于M.判断MN与AB是否垂直？并说明理由．解：显然，平面BCC′B′⊥平面ABCD，交线为BC.因为MN在平面BCC′B′内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.从而MN⊥AB.例2 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角(如下图)．(1) (2)求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60°.证明：(1)如上图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC.因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.(2)如上图(1)，在直角三角形BAC中，因为AB＝AC＝a，所以BC＝2a，BD＝DC＝22a.如上图(2)，△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝2BD＝2×22a＝a.所以AB＝AC＝BC. 因此∠BAC＝60°.点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直．变式训练如下图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，∠BAD＝60°.求证：平面PBD⊥平面PAC.证明：设AC与BD交于点O，连结PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.思路2例3 如下图，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：(1)直线MF∥平面ABCD；(2)平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：如下图，(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连结BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD.∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.变式训练如左下图，已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ.求证：a⊥γ.证明：如右上图，设α∩γ＝AB，β∩γ＝AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理，PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，且PN∩PM＝P，∴a⊥γ.知能训练如下图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB＝2，SC＝SD＝ 2.求证：平面SAD⊥平面SBC.证明：在△SDC中，∵SC＝SD＝2，CD＝AB＝2，∴∠DSC＝90°，即DS⊥SC.∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，∴BC⊥面SDC.∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面SBC.拓展提升如下图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠B AD＝60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD 的中点．(1)求证：EN∥平面PCD；(2)求证：平面PBC⊥平面ADMN.(1)证明：∵AD∥BC，BC 面PBC，AD面PBC，∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC＝MN，∴AD∥MN.∴MN∥BC.∴点M为PC的中点．∴MN 12 BC.又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.(2)证明：连结PE、BE，∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.又∵PA＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.而AN∩AD＝A，∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.课堂小结知识总结：利用垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．作业本节练习A 4题；练习B 3题．设计感想本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性．在实际应用时，尽量借助于信息技术．备课资料备选习题1.如下图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD；证明：如下图，取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.∴AO⊥BD.连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD.又AO∩B1O＝O，∴BD⊥面AOB1.AB1⊂面AOB1，∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.2.如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．分析：(1)转化为证明B1C∥MD；(2)转化为证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1；(3)可猜测点E为C1C的中点．证明：(1)如下图，连结AB1与A1B相交于M.则M为A1B的中点，连结MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C平面A1BD，MD⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AB＝B1B，∴四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC—A1B1C1中BB1⊥B1C1，BB1∩A1B＝B，∴B1C1⊥平面ABB1A1.(3)解：当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD.又DE 平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE.。