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空间几何体的表面积与体积公式大全一、 全（表）面积（含侧面积） 1、柱体① 棱柱② 圆柱 2、锥体①棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=② 圆锥：l c S 底圆锥侧21=3、 台体① 棱台：h c c S)(21‘下底上底棱台侧+=②圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、 球体① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥 ② 圆锥3、① 棱台 ② 圆台 4、球体① 球：r V 334π=球② 球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。
三、 拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3222)(ππ=⨯==圆柱圆柱侧面积：r h cS r r 242)2(ππ=⨯==圆柱侧因此：球体体积：r r V 3334232ππ=⨯=球 球体表面积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+ =即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点P 。
设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。
易知：PDC ∆∽PAB ∆，设h PE 1=， 则h h PF +=1由相似三角形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得：SS h S h 上下上-=1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴h S S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代入：SS h S h 上下上-=1得：hS S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S SS S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n ），n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。
高中数学立体几何体积和表面积计算技巧在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，其中计算几何体的体积和表面积是必不可少的技巧。
本文将介绍一些常见的计算技巧，并通过具体的题目来说明这些技巧的应用。
一、立体几何体的体积计算技巧1. 直接计算法对于常见的几何体，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体，可以直接使用相应的公式进行计算。
举例来说，如果要计算一个长方体的体积，可以使用公式 V = lwh，其中 l、w 和 h 分别表示长方体的长、宽和高。
如果已知长方体的长为 6 cm，宽为 4 cm，高为 3 cm，则可以直接代入公式计算得到体积 V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³。
2. 分割法对于复杂的几何体，可以通过将其分割成若干简单的几何体来计算体积。
这种方法常用于计算不规则体的体积。
举例来说，如果要计算一个由三棱锥和一个正方体组成的复合体的体积，可以先计算三棱锥的体积，再计算正方体的体积，最后将两者相加。
3. 单位体积法对于一些特殊的几何体，可以利用单位体积的性质来计算体积。
这种方法常用于计算球台、球冠等几何体的体积。
举例来说，如果要计算一个球台的体积，可以先计算整个球的体积，再减去球冠的体积。
具体计算步骤如下：步骤一：计算整个球的体积，使用公式V = (4/3)πr³，其中 r 表示球的半径。
步骤二：计算球冠的体积，使用公式V = (1/3)πh²(3r - h)，其中 h 表示球台的高度。
步骤三：将步骤一的结果减去步骤二的结果，即可得到球台的体积。
二、立体几何体的表面积计算技巧1. 直接计算法对于常见的几何体，可以直接使用相应的公式进行表面积的计算。
举例来说，如果要计算一个长方体的表面积，可以使用公式 S = 2lw + 2lh +2wh，其中 l、w 和 h 分别表示长方体的长、宽和高。
如果已知长方体的长为 6 cm，宽为 4 cm，高为 3 cm，则可以直接代入公式计算得到表面积 S = 2(6×4) + 2(6×3) +2(4×3) = 108 cm²。
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法知识点梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积圆柱：侧面积为$S_\text{侧}=2\pi rh$，体积为$V=\pir^2h$圆锥：侧面积为$S_\text{侧}=\pi rl$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$圆台：侧面积为$S_\text{侧}=\pi(r_1+r_2)l$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$直棱柱、正棱锥、正棱台、球的表面积和体积公式不再赘述。
2.几何体的表面积直棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。
一公式法例1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为。
解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况：①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\sqrt{3}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
所以正三棱柱的体积为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
例2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）。
解：由题意可知此几何体是一个四棱锥，由图可知底面两条对角线的长分别为2和3，底面边长为2，所以底面菱形的面积为$S=\frac{3}{2}$，侧棱为$\sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{13}$，则棱锥的高$h=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
高中数学立体几何体的表面积与体积求解在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，涉及到的知识点包括立体的表面积与体积的求解。
本文将通过具体的例题来说明如何求解不同类型的立体几何体的表面积与体积，并提供一些解题技巧和指导。
一、长方体的表面积与体积求解长方体是最常见的立体几何体之一，它的六个面都是矩形。
我们可以通过求解长方体的表面积与体积来熟悉立体几何的计算方法。
例题1：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求它的表面积和体积。
解析：长方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于底面积乘以高。
根据题目给出的数据，我们可以计算得到该长方体的表面积和体积。
表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高) = 2(3×4 + 3×5 + 4×5) = 94cm²体积 = 长×宽×高 = 3×4×5 = 60cm³通过这个例题，我们可以看到求解长方体的表面积和体积的方法是比较简单的，只需要根据公式进行计算即可。
在实际应用中，我们可以通过测量长方体的边长来求解它的表面积和体积。
二、正方体的表面积与体积求解正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。
与长方体类似，我们也可以通过求解正方体的表面积与体积来加深对立体几何的理解。
例题2：一个正方体的边长为6cm，求它的表面积和体积。
解析：正方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于边长的立方。
根据题目给出的数据，我们可以计算得到该正方体的表面积和体积。
表面积 = 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 = 216cm²体积 = 边长的立方 = 6³ = 216cm³从这个例题中，我们可以看到正方体的表面积和体积是相等的，这是因为它的六个面都是正方形，所以每个面的面积都相等。
空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）1、①棱柱②圆柱2、①②3、①②4、①球：②③二、1、①棱柱②圆柱2、①棱锥②圆锥3、①棱台②圆台4、①球：②③三、1、2、则+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式：)(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点P 。
则∴V 即：)(33)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S S S S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n ），n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。
这些圆柱的高为nr，则：每个圆柱的体积h S V i i ==nrr i 2π……=2r nr ⨯π=[3r n n π=[3r n n π当→n ∴V 半球5、 ∴S =球6、（1则其体积为：a V 3=正方体四个角上切下的每一个三棱锥体积为：中间剩下的正四面体的体积为：a a a a hSV 322231]60sin 21[3131)32232()2()2(=-⨯︒⨯⨯⨯==⨯⨯正三棱锥这样一个即：61（2 (a)(b)(c)(d)(e)（3（a ） 正方体内切球直径=正方体棱长（b ） 正方体内切球与正四面体的四条棱相切。
（c ） 与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半 （d ） 设正四面体棱长为a ，则与其棱都相切的球半径为r 1有：aar 422211=⨯= 7、利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。
证明：作如下构造：在底面半径和高都是r 的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。
如图：R ，∴S 1π=即：S 1 8、 正方体与球（1） 正方体的内切球正方体的棱长=a 球体的直径d （2） 正方体的外接球正方体的体对角线=a 3球体的直径d（3） 规律：①正方体的内切球与外接球的球心为同一点； ②正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上； ③正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：3:1 ④正四面体内切球与外接球体积之比为：1：339（∴a h r 12641==即：a a r V 33321663434)126(πππ===球∴π3:18=V V 球正四机体： （2）正四面体的外接球 外接球的半径=)2332(224343a a⨯-⨯=⨯高=a 46 ∴2:33122:86:33ππ==aaV V 正四面体球 （310、 （1 球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。
空间⼏何体的体积与⾯积的全部公式空间⼏何体的体积与⾯积的全bai部公式：1、圆柱体（duR为圆柱体上下底圆zhi半径，h为圆柱体⾼）S=2πdaoR²+2πRhV=πR²h2、圆锥体（r为圆锥体低圆半径,h为其⾼）S=πR²+πR[(h²+R²)的平⽅根]V=πR²h/33、正⽅体（a为边长）S=6a²V=a³4、长⽅体（a为长，b为宽，c为⾼）S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱（S为底⾯积，h为⾼）V＝Sh6、棱锥（S为底⾯积，h为⾼）V＝Sh/37、棱台（S1和S2分别为上、下底⾯积，h为⾼）V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、圆柱（r为底半径，h为⾼，C为底⾯周长，S底为底⾯积，S侧为侧⾯积，S表为表⾯积）C＝2πr，S底＝πr²，S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr²h9、圆台（r为上底半径，R为下底半径，h为⾼）S= πR²＋πrl＋πRl＋πr²V＝πh(R²＋Rr＋r²)/310、球（r为半径，d为直径）S=4πr²V＝4/3πr^3＝πd^3/6扩展资料：巧记空间⼏何体中的⾯积和体积公式的⽅法：1. ⾯积问题：空间⼏何体的⾯积主要分为两类：侧⾯积和表⾯积，其中的重点是旋转体的侧⾯积公式。
对于多⾯体的⾯积，其各个⾯都是多边形，这个在⼩学阶段就研究过了。
其中，只需要记住圆台的侧⾯积公式就够了。
将圆台侧⾯打开，是⼀个扇环，很像⼀个梯形。
所以圆台的侧⾯积就按照梯形来进⾏计算，就很容易理解。
如下图所⽰：圆台侧⾯积公式对于圆柱和圆锥的侧⾯积公式，不需要单独去记忆，只需要将其看成⼀个特殊的圆台就⾏了。
圆柱体就是上下底相同的圆台，圆锥体就是上底为0的圆台。
2. 体积问题：按照上⾯的思路，把柱体和椎体看成⼀个特殊的台体，因此也只需要记住⼀个台体的体积公式就可以啦。
立体几何图形公式大全最早的几何学当属平面几何。
平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。
平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。
为了计算体积和面积问题，人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。
立方图形名称符号面积S和体积V1、正方体 a-边长 S=6a2 ; V=a32、长方体a-长;b-宽 ;c-高; S=2(ab+ac+bc) ; V=abc3、圆柱 r-底半径;h-高;C—底面周长;S底—底面积;S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h =πr2h4、空心圆柱 R-外圆半径;r-内圆半径;h-高V=πh(R2-r2)5、直圆锥r-底半径;h-高V=πr2h/36、圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/37、棱柱S-底面积;h-高;V=Sh8、棱锥 S-底面积h-高 ;V=Sh/39、棱台S1和S2-上、下底面积h-高 ;V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/310、拟柱体S1-上底面积 ;S2-下底面积 ;S0-中截面积 ;h-高V=h(S1+S2+4S0)/611、球 r-半径 ;d-直径V=4/3πr3=πd2/612、球缺 h-球缺高;r-球半径;a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)13、球台r1和r2-球台上、下底半径;h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/614、圆环体R-环体半径;D-环体直径;r-环体截面半径;d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/415、桶状体D-桶腹直径;d-桶底直径;h-桶高V=πh(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。
中考数学中的立体几何体积与表面积计算方法实例总结立体几何体是中考数学中的一个重要内容，掌握计算其体积和表面积的方法能帮助学生在考试中更好地解答相关题目。
本文将对中考数学中常见的几种立体几何体的体积和表面积计算方法进行总结和实例讲解。
一、长方体体积和表面积的计算方法及实例长方体是最常见的立体几何体之一，计算其体积和表面积相对简单。
长方体的体积可以通过长、宽、高三边的乘积来计算，即 V = lwh，其中 V 表示体积，l 表示长，w 表示宽，h 表示高。
例如，已知一个长方体的长为 5cm，宽为 3cm，高为 2cm，代入公式可以得到该长方体的体积为 30cm³。
长方体的表面积可以通过计算其六个面的面积，并将其相加得到。
一个长方体有 2 个底面和 4 个侧面，底面的面积为 l*w，侧面的面积为l*h 或 w*h。
将这些面积相加即可得到长方体的表面积。
例如，一个长方体的长为 5cm，宽为 3cm，高为 2cm，代入公式可以得到该长方体的表面积为 62cm²。
二、正方体体积和表面积的计算方法及实例正方体是边长相等的长方体，计算其体积和表面积也相对简单。
正方体的体积可以通过边长的立方来计算，即V = a³，其中V 表示体积，a 表示边长。
例如，已知一个正方体的边长为 4cm，代入公式可以得到该正方体的体积为 64cm³。
正方体的表面积可以通过计算其六个面的面积，并将其相加得到。
正方体的每个面都是正方形，因此每个面的面积为 a²。
将这些面积相加即可得到正方体的表面积。
例如，一个正方体的边长为 4cm，代入公式可以得到该正方体的表面积为 96cm²。
三、圆柱体体积和表面积的计算方法及实例圆柱体是由两个平行圆面和一个连接两个圆面的侧面组成的立体几何体。
计算圆柱体的体积和表面积需要用到圆的相关公式。
圆柱体的体积可以通过计算底面圆的面积乘以高来得到，即V = πr²h，其中 V表示体积，π 表示圆周率，r 表示底面圆的半径，h 表示高。
高中数学的几何体表面积和体积公式是哪些高中数学的几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)数学基础差的学生如何提高数学成绩基础薄弱的同学提高数学成绩的方法数学基础打牢，是个非常重要的事，很多及格成绩不到的同学，基本是连计算和公式都不是很过关。
对于这一类学生有以下几点建议。
空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）①棱柱、②圆柱.2・锥体①棱锥：S^ = ^h [②圆锥:= /3、台体①棱台• S梭台侧=空（6?上底+c下底）方'» S全= s±+s『s下②圆台：S杭台側=*（6底+cQZ -4、球体①球：S球=勿/②球冠：略③球缺：略二、体积1、柱体①棱柱} V,=S h②圆柱S S 2、锥体①棱锥} v.=\sh②圆锥S S3、 台体V 台肓//（S 匕+ JS 上S F + S 下）台=齐方（厂上+Jr 上厂下+厂下） 4、 球体①球：V 球② 球冠：略VyT/③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高力计算；而圆锥、圆台的 侧面积计算时使用母线/计算。
三、拓展提高1、 祖眶原理：（祖璀：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、 阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2厂的圆柱形容器内装一个最大 的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的？。
①棱台 ②圆台丿分析：圆柱体积：V H1 = s h =（^r）x2r = 2^/圆柱侧面积：S叭削= c/z = （2岔）X2广=4兀/2 彳4 彳因lit :球体体积：|/厅=—x2/r^ =_龙厂球体表面积：S球=4兀厂通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：几冷〃（S上+、恳瓦+ S』证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD。
延长两侧棱相交于一点P 0设台体上底面积为Si，下底面积为S下高为// °易知：\PDCs 型AB，设卩£ =人，则Pf+h由相似三角形的性质得：孚=袋AB PF即：（相似比等于面积比的算术平方根）、用hi整理得：人=尺刃又因为台体的体积二大锥体体积一小锥体体积u台=§s下（九+力r s上人人（S下-S上）+§s下方即：（、瓦+丫瓦）+扣下力=|/z $ + 应7+S卜）4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（兀层），〃越大，每一层越近似于圆柱'"T -HZ）时»每一层都可以看作是一个圆柱。
高中数学立体几何面积体积公式高中数学里，立体几何的面积体积公式那可是相当重要啊！就像我们生活中的各种工具，用对了就能解决大问题。
先来说说棱柱的体积公式，V = Sh ，其中 S 是底面积，h 是高。
想象一下，一个长长的棱柱，就像我们盖房子用的水泥柱子，底面积就是柱子底部那一块的面积，高就是柱子的长度。
棱锥的体积公式是 V = 1/3Sh ，这就好比是一个尖尖的金字塔，体积只有同底面积同高棱柱的三分之一。
圆柱的体积公式V = πr²h ，r 是底面半径，h 是高。
这个公式让我想起之前去蛋糕店，看到那种圆柱形的蛋糕模具，要算出能做多大的蛋糕，就得靠这个公式。
圆锥的体积公式V = 1/3πr²h ，就像甜筒冰激凌的形状，体积也只有同底同高圆柱的三分之一。
球的体积公式V = 4/3πr³ ，表面积公式S = 4πr² 。
球嘛，就像我们踢的足球，通过这个公式就能知道它内部能装多少气，或者外面的皮料有多大面积。
还记得有一次，学校组织我们去工厂参观。
看到工人们在制作一些金属零件，有圆柱形的，也有圆锥形的。
当时师傅就问我们，如果要做一个特定体积的圆柱零件，已知材料的底面积，那应该做多高呢？大家都面面相觑，我心里默默想着这些体积公式，试着算了算，还真算出了答案。
师傅听了直夸我，那一刻，我真切感受到了掌握这些公式的用处和乐趣。
在做数学题的时候，这些公式可不能记错。
有时候一个小数字的错误，就能让整个答案跑偏。
而且，在实际生活中，像装修房子计算用料、设计物品的形状和大小，都离不开这些公式。
学习立体几何的面积体积公式，就像是掌握了一把打开神秘空间大门的钥匙。
我们可以用它去探索未知，解决难题，感受数学在现实世界中的奇妙应用。
所以，同学们可一定要把这些公式牢记于心，灵活运用，让数学成为我们的得力助手！。
空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积）1、柱体①棱柱]----------------A S侧=Ch ■ S全=2S底* S侧②圆柱J _______ ___2、锥体①棱锥：S棱锥侧=^2c底h②圆锥：S圆锥侧=托底l3、台体①棱台:②圆台:S棱台侧S棱台侧_ 1二2（C上底C下底）h_ 1=2 （C上底.C下底）1* S全=S上+ S侧+ S下4、球体①球：S球=4r2②球冠：略③球缺：略S下S下体积1、柱体①棱柱]--------------卜V柱=Sh②圆柱J2、锥体①棱锥r②圆锥」1V柱=3S h3、台体1①棱台］V台=gh （S上NS上S^ +S下）②圆台J V圆台=3兀h （r上+Q r上r下+ r下）4、球体①球：V球=4二r'②球冠：略③球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线I计算。
三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的-。
3分析：圆柱体积：V圆柱=Sh =（二「2）2r=2^r'圆柱侧面积：S圆柱侧=C h =（2 r） 2r = 4二「因此：球体体积：V球=2 2二J=4二r33 3球体表面积：S球=4 r2即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：V台=1h （S上+ S下）证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 延长两侧棱相交于一点P设台体上底面积为S上,下底面积为S下P 高为h。
易知：PDC s .>PAB ,设PE = h i，则PF =h i h由相似三角形的性质得:CD PEAB PFA整理得：h 1 ： =S上hPS 下-VS上又因为台体的体积=大锥体体积一小锥体体积1 11 1 二V台=3S 下(h 1h K3S 上h^3h 1(S下一S上) 下h代入：h= i S 上芬得: V台=3胪L(S下—S"3S 下hJS下3*SrS31 ___ I ------ ------ 1即: V 台=3 S上h (S下S上)3S下人二 V 台=3h （S 上S 上S 下S下）球体体积公式推导即：ShiS 下-h lh （相似比等于面积比的算术平方根）1 ______________=3h (S上S 上S 下S下)4、分析：将半球平行分成相同高度的若干层（ n 层），n 越大，每一层越近似于圆柱，n “ •「时，每一层都可以看作是个圆柱。
空间几何体的表面积和体积知识梳理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3.正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.()2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32cm3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.4.(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.24πC.36πD.144π5.(2020·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.6＋42B.4＋42C.6＋23D.4＋236.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________.考点一空间几何体的表面积与侧面积1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6＋ 3B.6＋23C.12＋ 3D.12＋233.(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是()A.23π B.324πC.223π D.22π考点二空间几何体的体积角度1简单几何体的体积【例1】(1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A.158B.162C.182D.324(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.【训练1】(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.角度2不规则几何体的体积【例2】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.【训练2】(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.73 B.143C.3D.6考点三多面体与球的切、接问题【例3】(经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.【迁移】本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？【训练3】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.(2)(2021·济南质检)已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，P A＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝22，点D是PB的中点，且CD＝7，则球O的表面积为()A.28π3 B.14π3C.2821π27 D.16π3空间几何体的实际应用“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线.如全国Ⅲ卷第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题.考查运用空间几何求解实际问题的能力.【典例】(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.【训练】(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()A.32π3，4 B.9π2，3C.6π，4D.32π3，3A级基础巩固一、选择题1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.32 3πC.8πD.4π2.(2021·郑州调研)现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为()A.3πB.3π2C.5π2 D.5π3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A.3B.3 2C.1D.3 24.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B.210C.132D.3105.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π46.(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) A. 3 B.32 C.1 D.327.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为98π，则它的表面积是( )A.92πB.9πC.454πD.544π8.(2021·安庆调研)已知在四面体P ABC 中，P A ＝4，BC ＝26，PB ＝PC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P ABC 的外接球的表面积是( ) A.160π B.128π C.40π D.32π二、填空题9.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________.10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________.12.(2021·太原质检)已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为43，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________.B级能力提升13.(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π14.已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，则四面体ABCD的体积为________.15.(2021·贵阳调研)如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB＝3，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，AB⊥CD，CD＝22，则该球的体积为________.16.(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为______.。
