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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。
(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。
(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。
（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。
（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。
参考答案一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1—5 C A B B D二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. ___6_____.7. 2111⎛⎫⎪⎝⎭8. 13 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--100010001000aa ba b c d a b c a b c d+==++++++++解二 ()()111410111111101101001bD c a d++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2AB -A =B -E2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E()()12-∴B =A -E A-E()()()1-=A -E A -E A +E()=A+E315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪⎪-⎝⎭()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解：12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪X -- ⎪ ⎪-⎝⎭则，331=22111113-⎛⎫⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.19.解：()12345,,,,αααααT T T T TA =1114311143113210113121355000003156700000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪----- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴向量组的秩=2且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).20.解：对增广矩阵作初等行变换()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 同解方程组为1342342132x x x x x x =---⎧⎨=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*=1200ηT --，，， 导出组同解方程组为13423423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，基础解系()1=1110ξT--，，，，()2=2301ξT-，，，，通解为*1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，21.解：特征方程()()2200=0212221001a a aλλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ单位化为2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3ξ单位化为3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 正交矩阵()123100,,00Q p p p ⎛⎫⎪⎪==⎝，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1Q Q -A =Λ.011101110-⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭22.解：二次型矩阵()()211=11=21=011λλλλλλ--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，132333x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1111-⎛⎫⎪P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当时,1232233x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭，3112⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭因此=0⎛ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X=TY . 化二次型为2221232f y y y =-++.四.证明题（本大题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3.设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此123123123202020k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解， 故1230k k k ===.因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.说明：1.试卷题目均要求为自学考试真题；2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；4.试卷格式统一为：宋体 五号 单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。
WORD格式整理……_…_学年第一学期期末考试－20102009_…__…_试卷《线性代数》…__…__…_分钟完卷。
分，1201、本试卷共6页，五个大题，满分100答卷说明：_…_…__…号2、闭卷考试。
…学）线（_总分五三四一二_…__…题号_…__…_分数_…__…_…________________ :_____________ 总分人：评阅人…_名…姓…) 分分,共24一、单项选择题。
(每小题得分……）级封班（11?31_…__…111?3__?…行列式【】1._1?311…__…_3111?_…_业……专3021(B) (D)(A) (C) …__…__…???A?A32?3?A阶方阵，数2. 】设，为，则【_…__）_6?624?24 (D) (A) (C) (B) _密_系（n,BA,阶方阵，则下列式子一定正确的是【】3.已知为…__…__…_222B?2(A?B)AB?A?BAAB? (A) (B)_…_…__…_22B?A?B?B)(A?)(A BA?AB (D) (C)_…__…_…_?0??aA?A3A【】4.设，则为阶方阵, _…__……243aaaa (D) (A) （ B) (C)AB等价，则有 5.设矩阵与【】专业技术参考资料WORD格式整理R(A)?R(B)R(A)?R(B) (A) (B)R(A)?R(B)R(A)R(B)的大小不能确定 (C) 和 (D)n Ax?0Ax?0A r有非零解的系数矩阵【】6.设，则元齐次线性方程组的秩为的充分必要条件是r?nr?nr?n nr? (B) (C) (D) (A)a,a,,a(m?2) 向量组】【 7. 线性相关的充分必要条件是m21a,a,,a (A) 中至少有一个零向量m12a,a,,a (B) 中至少有两个向量成比例m12a,a,,a m?1(C) 个向量线性表示中每个向量都能由其余m21a,a,,a m?1(D) 个向量线性表示中至少有一个向量可由其余m21n A与对角阵相似的充分必要条件是阶方阵】8. 【nn)?R(A A个互不相同的特征值有(A) (B)n AA一定是对称阵个线性无关的特征向量 (D)(C)有) 分,共15二、填空题。
全国 2010 年度 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．已知 2 阶行列式a1a 2m ， b1 b2 n ，则 b 1 b 2（ B ）b 1 b 2c 1 c 2 a 1 c 1 a 2 c 2A ． m nB ． n mC ． m nD ． (m n)b 1b 2b 1 b 2 b 1 b 2m nn m ．a 1 c 1 a 2c 2 a 1a 2 c 1c 22．设 A , B , C 均为 n 阶方阵， AB BA ， AC CA ，则 ABC （ D）A ． ACBB ． CABC ． CBAD ．BCAABC ( AB)C(BA)C B( AC ) B(CA)BCA ．3．设 A 为 3 阶方阵， B 为 4 阶方阵，且 | A | 1 ， | B | 2 ，则行列式 || B | A |之值为（ A）A ． 8B ． 2C ． 2D ．8|| B | A | | 2A | ( 2) 3 | A |8 ．a11a12a 13 ，a 113a 12a13， 1 0 0，1 0 0，则 B （ B）4．A a 21 a 22a 2321 3a 22a 23B aP 0 3 0 Q 3 1 0a 31a32a33a313a 32a330 0 1 0 0 1A ． PAB ．APC ． QAD ．AQa 11 a 12 a 13 1 0 0a 11 3a 12 a 13 B ．AP a 21a 22 a 230 3 0 a 21 3a 22a 23a31a32a330 0 1a313a 32a335．已知 A 是一个 34 矩阵，下列命题中正确的是（C）A ．若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩 ( A )=2B ．若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩 ( A )=2C ．若秩 ( A )=2 ，则 A 中所有 3 阶子式都为 0D ．若秩 ( A )=2 ，则 A 中所有 2 阶子式都不为 06．下列命题中错误的是（C）．．A．只含有 1 个零向量的向量组线性相关B．由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C．由 1 个非零向量组成的向量组线性相关D． 2 个成比例的向量组成的向量组线性相关线性无关，1 , 2 , 3 , 线性相关，则（D）7．已知向量组1,2 , 3A． 1 必能由 2 , 3 ,线性表出B．2必能由 1 , 3 ,线性表出C． 3 必能由 1 , 2,线性表出D．必能由 1 , 2 , 3 线性表出注： 1 ,2,3是 1 ,2,3,的一个极大无关组．8．设A为m n矩阵，m n，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D）A．小于m B．等于m C．小于n D．等于n 注：方程组 Ax=0有 n 个未知量．9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A）A．A T B．A2C．A1D．A| E A T | | (E A)T| |E A |，所以A与 A T有相同的特征值．10．二次型 f ( x1, x2, x3)x12x22x322x1 x2的正惯性指数为（C）A． 0B．1C． 2D．3f (x1 , x2 , x3 )( x1x2 ) 2x32y12y22，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11．行列式20072008的值为 _____________．200920102007200820002000782．200920102000200091012．设矩阵A1 1 3， B20，则 A T B_____________．2010112022A T B1220．01361 113 ．设(3,1,0,2) T，(3,1,1,4) T，若向量满足 2 3 ，则__________．32(9,3,3,12) T(6,2,0,4) T( 3,5,3,8)T．14．设A为n阶可逆矩阵，且| A |1，则 | | A1| _____________．n| A 1 |1n ．| A |15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0的解，则| A |_____________．n 个方程、 n 个未知量的Ax=0有非零解，则| A |0．16．齐次线性方程组_____________．x1x2x30的基础解系所含解向量的个数为2x1x23x30A 1 11 1 11，基础解系所含解向量的个数为213031n r 3 21．17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是 3 ，则矩阵1 A21必有一个特3征值为 _________．，则1A2有特征值1( 3) 2 3 ，1A21A 有特征值3有特征值1．333318．设矩阵A 1222x0 的特征值为 4,1, 2 ，则数 x _____________．200由 1 x 0 4 1 2 ，得 x 2．a 1 / 2019．已知A 1/ 2b0是正交矩阵，则 a b _____________．001由第 1、2 列正交，即它们的内积1( a b) 0 ，得 a b0．20．二次型 f ( x1, x2, x3)4x1x22x1 x36x2 x3的矩阵是_____________．02120 3 ．130三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21．计算行列式Da b ca2 b 2 c 2的值．a a3b b3c c3解： Da b c a b c111 a 2b2 c 2 a 2 b 2c2abc a b c a a 3 b b3 c c3 a 3 b 3c3 a 2b2 c 2abc( b a)( c a)11abc(b a)(c a)(c b) ．b ac a22．已知矩阵B(2,1,3)， C(1,2,3) ，求（1） A B T C ；（2） A2．解：（1）A B T C 22461 (1,2,3)123；33692（2）注意到CB T(1,2,3) 113 ，所以3246A2(B T C)( B T C)B T (CB T ) C13B T C 13A13123．36923．设向量组1(2,1,3,1) T , 2(1,2,0,1) T ,3( 1,1,3,0) T , 4 (1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．211111011101解： A ( 1, 2, 3121112110110, 4 )0313*******3110121110111 110111011011011001100110，向量组的秩为3，1,2,4000200010001000100000000是一个极大无关组，31 2．24．已知矩阵A 1231401 2 ，B25．（1）求A1；（ 2）解矩阵方程AX B．00113解：（1）( A, E )123100120103 012010010012 0010010010011001211210 1 0 0 12， A 10 12；001001001（2）X A1B 12114490 1 2 2 50 11．001131325．问a为何值时，线性方程组x12x23x342x2ax3 2 有惟一解？有无穷多2x12x23x36解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．123412341234解：( A, b)02 a 202a202a2．2236023200 a 3 012341204 a3时，r ( A, b)r ( A) 3 ，有惟一解，此时 ( A, b)02a202020010001010021002x1202020101， x2 1 ；00100010x3012 3 4 a 3 时， r ( A,b) r ( A)2 n ，有无穷多解，此时 ( A,b)02 3 20 0 01 0 02 1 0 0 2 x 12 230 2 3 2 0 1 3 / 2 1 ， x 2 1，通解为 1k 3 / 2 ，其中 k 为x 30 0 0 00 0 02 01x 3x 3任意常数．2 0 026．设矩阵 A 03 a 的三个特征值分别为1,2,5 ，求正的常数 a 的值及0 a 3可逆矩阵 P ，使 P 1 AP1 0 00 2 0 ．0 0 52 0 03 a解：由 | A |0 3 a 22 (9a 2) 1 2 5 ，得 a24 ， a2 ．a 3 0 a32 0E A0 3 2 ．23对于 11，解 ( E A) x 0 ：10 0 1 0 0 x 1 0 0E A0 2 2 0 1 1 ， x 2x 3 ，取 p 1 1 ；220 0 0x 3x 31对于 22 ，解 ( E A) x 0 ：0 0 0 1 0 x 1 x 1 1E A 012 0 0 1 ， x 20 ，取 p 2 0 ；210 0 0x 3 0对于 35 ，解 ( E A)x 0：30 0 1 0 0 x 1 00 E A0 2 2 0 1 1 ， x 2 x 3 ，取 p 31 ．220 0x 3 x 311 0，则 P 是可逆矩阵，使 P 1AP 1 0 0令 P ( p 1 , p 2 , p 3 )10 1 0 2 0 ． 10 10 0 5四、证明题（本题 6 分）27．设 A ，B ， AB 均为 n 阶正交矩阵，证明 ( AB) 1 A 1B 1 ．证：A ，B ，A B 均为 n 阶正交阵， 则 A T A 1 ，B TB 1 ，( A B)T( AB) 1 ，所以( A B) 1 ( A B) T A T B TA 1B 1．全国 2010 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．设 3 阶方阵 A( 1 ,2 ,3 )，其中i（ i 1,2,3 ）为 A 的列向量，若| B | | ( 12 2 , 2 ,3 ) | 6 ，则 | A | （ C）| A | | ( 1 , 2 , 3 ) | | ( 12 2 , 2 ,3 ) | 6 ．A ． 12B ． 6C ．6D ． 123 0 2 02．计算行列式2 10 5（ A）0 0 2232 3A ． 180B ． 120C ． 120D ． 1803 0 2 0 3 0 22 10 5 03 0180 ．2 10 5 33 ( 2) 300 0 2 3( 2)100 022232 33．若 A 为 3 阶方阵且 | A 1 | 2 ，则 | 2A |（ C）A ．1B ．2C ． 4D ．82| A |1， | 2A | 23| A | 8 1 4 ．224．设 1 , 2 ,3 , 4都是 3 维向量，则必有（B）A ． 1, 2 ,3 ,4线性无关B ． 1 , 2 , 3 ,4 线性相关C ． 1 可由 2 , 3 ,4 线性表示D ． 1 不可由 2 , 3 ,4 线性表示 5．若 A 为 6 阶方阵，齐次方程组 Ax =0 基础解系中解向量的个数为 2，则 r (A) （C）A． 2B．3C． 4D．5由 6 r ( A) 2 ，得 r ( A) 4．6．设A、B为同阶方阵，且r ( A)r ( B) ，则（C）A．A与B相似B．| A | | B |C．A与B等价D．A与B合同注： A 与 B 有相同的等价标准形．7．设A为 3 阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则| A2E |（ D）A． 0B．2C． 3D．24A2E 的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E | 4 3 2 24．8．若A、B相似，则下列说法错误的是（B）．．A．A与B等价B．A与B合同C．| A | | B |D．A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量(1,2,1) 与(2,3, t) 正交，则t（ D）A．2B．0C． 2D．4由内积 2 6t0，得 t4．10．设 3 阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0 ，则（B）A．A正定B．A半正定C．A负定D．A半负定对应的规范型 2z12z220z320 ，是半正定的．二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11．设A32211，则AB01， B______________．0102 4321653AB02110．1120022 4412．设A为 3 阶方阵，且| A | 3 ，则 | 3A 1 | ______________．| 3A 1 | 33 | A 1 | 33133 19 ．| A |313．三元方程x1x2x3 1 的通解是______________．x1 1 x2x3111x2x2，通解是 0k11k2 0 ．x3x300114．设( 1,2,2)，则与反方向的单位向量是 ______________．11( 1,2,2) ．||||315．设 A 为5阶方阵，且r ( A) 3 ，则线性空间W { x | Ax 0} 的维数是______________．W { x | Ax 0} 的维数等于 Ax0 基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 ．16．| 5A 1 | 53153125 ．| A | 2 (1/ 2)117．r ( AB) Ax 0若A、 B 为 5 阶方阵，且Ax0 只有零解，且 r ( B)3 ，则______________．只有零解，所以 A 可逆，从而r ( AB) r ( B) 3 ．21018．实对称矩阵101所对应的二次型 f (x1 , x2 , x3 ) ______________．011f (x1 , x2 , x3 ) 2 x12x322x1 x2 2x 2 x3．19．设 3 元非齐次线性方程组Ax11b 有解12，2 2 ，且 r ( A) 2 ，33则Ax b 的通解是______________．1( 11112 ) 0是 Ax 0 的基础解系， Ax b 的通解是 2k 0 ．203020．设12，则 A T的非零特征值是 ______________．31由T(1,2,3)2 14 ，可得 A2( T ) T14T14A，设A的非零特3征值是，则214，14 ．三、计算题（本大题共 6 小题，每小题9 分，共 54 分）2000121．计算 5 阶行列式D 02000 00200．00020 10002解：连续3次按第2行展开，2001201020021D402088324 ．202012102100220010014322．设矩阵X满足方程010 X 00120 1 ，求X．002010120解：记 A200100143010， B001 ， C20 1 ，则 AXB C ，0020101201 / 200100A 1010，B 100 1 ，001/ 201011431001134 402001420．2212001010223．求非齐次线性方程组x1x23x3 x4 1的通解．3x1x 23x34x44x15x29x38x 40113111*********解： ( A, b)31 3 440 4 6710467 1 1598004671000004 412 4 4 4 0 6 3510 3 / 2 3 / 45 / 40467 104 6 7101 3 / 27 / 4 1 / 4 ，000000000000000x153x33x4 5 / 4 3 / 2 3 / 4 424x2137x4，通解为 1 / 4k13 / 2k27 / 4，k1 ,k 2都是任意常数．4x342010x3x3001x4x424．求向量组1(1,2,1,4) ，2(9,100,10,4) ，3( 2,4,2,8) 的秩和一个极大无关组．192192192解：( 1T, 2T, 3T2100415020410)1021102019014481120801 92 1 02010010，向量组的秩为2，1,2是一个极大无关组．00000000000021225．已知A 5a3的一个特征向量(1,1, 1) T，求 a,b 及所对应的1b2特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．21211解：设是所对应的特征值，则 A，即 5a311，从1b211 1而 a 2，可得 a 3 ， b 0 ，1；b 1对于1，解齐次方程组 ( E A) x0：2 12 3 1 2 1 0 1 1 0 1 E A53 3 5 2 3 5 2 3 0 2 21 0210 13 120 1 11 0 1 x 1 x 310 1 1 ， x 2x 3 ，基础解系为 1 ，属于 1 的全部特征向量为0 0 0x 3x 311k1 ， k 为任意非零实数．126．设 A2 1 1 21 21 a ，试确定 a 使 r ( A)2 ．1 12 2解： A21 12 1 1 2 2 11 2 2 1 2 1 a2 11 20 3321 12 212 1a 03 3 a 21 12 20 3 3 2 ， a0 时 r (A) 2 ．0 00 a四、证明题（本大题共1 小题， 6 分）27．若 1 , 2 , 3 是 Axb （ b 0 ）的线性无关解，证明21 ,3 1是对应齐次线性方程组Ax 0 的线性无关解．证：因为 1 ,2 ,3是 Ax b 的解，所以21， 31是 Ax 0 的解；设 k 1 ( 21 )k 2 ( 31 )0，即 ( k 1k 2 ) 1k 1 2k2 30 ，由 1 , 2 ,3线性k 1 k 2 0无关，得 k 1，只有零解 k 1 k 20 ，所以21 ,31线性无关．k 2 0全国 2011 年 1 月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题课程代码： 04184说明：本卷中， A -1 表示方阵 A 的逆矩阵， r ( A ) 表示矩阵 A 的秩，（ , ）表示向量 与 的内积， E 表示单位矩阵， | A | 表示方阵 A 的行列式 .一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）a 11a12a13=4，则行列式2a112a122a131. 设行列式a21 a 22a23 a 21 a 22 a 23=（）a 31a32a333a313a323a332.设矩阵 A， B， C， X 为同阶方阵，且 A，B 可逆， AXB=C，则矩阵 X=（）3. 已知A2+A- E=0，则矩阵A-1 =（）+E+E4. 设 1 , 2 , 3 , 4 ,5 是四维向量，则（）A.1, 2 , 3 , 4 ,5 一定线性无关B. 1 , 2 , 3 , 4 ,5 一定线性相关2 ,C. 5一定可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示D.1一定可以3 ,4 , 5线性表出5. 设A是n阶方阵，若对任意的n 维向量 x 均满足 Ax=0,由则（）=0=E(A)= n<r( A)<(n)6. 设A为n阶方阵，r ( A)< n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是（）=0只有零解=0的基础解系含r ( A)个解向量=0的基础解系含n- r( A) 个解向量=0没有解7. 设 1 ,2 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（）A. 1 2 是Ax=b的解B.1 2 是Ax=b的解C. 31 2 2是Ax=b的解D. 2 1 3 2是Ax=b的解8. 设1，2，3为矩阵 A=39004 5的三个特征值，则1 2 3 = 002（）9.设 P 为正交矩阵，向量,的内积为（,）=2，则（P , P）=（）A. 12C. 3210. 二次型 f ( x1, x2, x3)=x12x22x32 2 x1 x22x1x3 2 x2 x3的秩为（）二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
线代B 试卷答案一、填空题（每小题4分，共40分）.1、132. 2、1632816−−⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3、2−. 4、1(2)X A E A −=− 5、7A =. 6、 73⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 7、24−.8、可能无解. 9、 101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，1. 10、1,2,2,− 1. 二、3132332131323211421419 6.421214111or C C C −−−++=−+=−−+=− （6+1分）三、2131101100101100[,]111010010110112001011101r r r r A I −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦32132(1)101100100311010110010110001211001211r r r r r +−×−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯⎯→−⎯⎯⎯→−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦， 故 1311110.211A −−−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦（6+1分）四、123102*********[]012101210121110201210000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦a a ab （5分） 122323,2 1.x x x x +=⎧⎨−=−⎩ 有无穷多解。
b 是123,,a a a 线性组合， （1分）且b 123(32)(12)a a a λλλ=−+−++，λ是任意常数. （1分）五、与121u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦正交的向量x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应满足方程20x y z +−= (3分)它的一个基础解系为12110,1,11v v −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2分) 故与u 正交的所有向量 121101,11x y k k z −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 其中12,k k 为任意常数. (1分){}(,,)20T H x y z x y z =+−=是一个平面，它是3 的子空间，维数是2. (2分)六、证 123121912191219[]2575015130151337810152800015v v v p −−−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦∼∼2分方程112233++=x v x v x v p 无解，p 不属于ColA . 1分由121902575037810Ap −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得p 属于NulA 1+1分（2）由[]123121121257015378000−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦∼A v v v ， 得123,,v v v 线性相关，故123,,v v v 不可以生成3R . 1分ColA 的基为12122,537⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦v v ，维数为2. 1+1分由1232320,50,x x x x x +−=⎧⎨−=⎩ 得 NulA 的基为951−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，维数为1. 1+1分七、解法一 111111111a A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠211101110011a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎯⎯→−−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠ 111010(1)(2)0011a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎯⎯→−−+⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠4分（a ） 当1a ≠时，11110010102010200110011a A a a −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎯⎯→+⎯⎯→+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠方程组有唯一解1231,2, 1.x x a x =−=+=− 2+1分（b ） 当1a =时，111100000000⎛⎞⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠A对应方程为1231x x x ++=，令2132,x k x k ==，得11221321,,,x k k x k x k =−−+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故通解为12123111100,010x x k k x −−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中12,k k 为任意常数. 2+1分解法二 211111111011(1)1101A a a a a aa ==−−=−−−， 4分（a ）当1a ≠时，0A ≠，方程组有唯一解；唯一解1231,2, 1.x x a x =−=+=− 2+1分 （b ）当1a =时，111111111111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠111100000000⎛⎞⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 方程组有无穷多解.(通解的求法同解法一）. 2+1分八、二次型的矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100032023A ,（2分）0)5()1(100320232=−−−=−−−−−=−λλλλλλE A ,特征值1,5321===λλλ. （2分）当51=λ时，0)5(=−x E A的系数矩阵,000100011~4000220225⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=0111p . （1分）当132==λλ时，0)(=−x E A的系数矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−000000011~000022022E A , ,0112⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p .1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p （2分）,1p ,2p 3p 已经正交, 单位化,得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011211e ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011211e ,.1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=e令()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==20001101121321e e e P (1分） 作变换y P x=，二次型化为标准形 2322215y y y f ++=. （1分） 该二次型f 是正定的. （1分）二次型f 在1Tx x =时的最大值是5. （1分）。
