「精品」高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积课件北师大版必修2(1)

[思路探究] 作出截面图，如何求出三个球的半径呢 ？
解析： 设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经
a 过四个切点及球心作截面，如图①，所以有 2r1＝a，r1＝2，所以 S1＝4πr21＝πa2.
(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截 面，如图②，
球面上，则这个球的表面积是( )
A．25π
B．50π
C．125π
D．以上都不对
解析： 长方体的体对角线是球的直径，体对角线长 l＝ 32＋42＋52＝5 2，
52 2R＝5 2，R＝ 2 ，S＝4πR2＝50π.
答案： B
3．(2015·重庆高一检测)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π， 则球的表面积为________．
4πr′3
4πr3
∴r′＝ 2r，V′＝ 3 ＝2 2× 3 .
(2)S 表＝πr2＋2πr2＝1，
3π ∴r＝ 3π . 答案： (1)B (2)C
根据三视图计算球的表面积与体积
(1)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
(2)某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，求该几何体的表面积与体积．
[提示 1] 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫 作球体，决定球的大小的因素是球的半径．
4 [提示 2] 3πR3. [提示 3] 4πR2.
1．了解球的表面积和体积的计算公式． 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题． 3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．
球的体积公式 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝__43_π_R_3__.
解析： 由已知，得截面圆的半径 r＝1， ∴球的半径 R＝ 2，∴S 球＝4πR2＝8π. 答案： 8π
4．(1)已知球的直径为 2，求它的表面积和体积．
108π (2)已知球的体积为 3 ，求它的表面积．
解析： (1)因为直径为 2，所以半径 R＝1，
所以表面积 S 球＝4πR2＝4π×12＝4π，
2
3 ∴底面积 S＝ 4 ×62＝9 3(cm2)， ∴V＝Sh＝9 3×2 3＝54(cm3)． 答案： (1)C (2)B
◎已知球的内接正方体体积为 V，求球的表面积．
【错解】 如图(1)所示， 作圆的内接正方形表示正方体截面．
设正方体棱长为 x，球半径为 R，
x3＝V
①
则有 2R ②
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积
与球面面积之比．
[思路探究] 求球的体积和表面积的关键是什么 ？
4 32 [边听边记] (1)3πR3＝ 3 π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π. (2)设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R，则由题意得
4 3
9
＋3π23＝18＋2π.
(2)由三视图知该几何体上部为半径为 1 的球，下部是底面半径为 1 的圆锥．
圆锥的母线长 l＝ 12＋15＝4，
S＝4π×12＋π·1×4＋π·12＝9π. 答案： (1)B (2)9π
有关球的切、接问题
有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方 体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．
1．(1)把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大为原来的( )
A．2 倍
B．2 2倍
C. 2倍
D．3 2倍
(2)一个半球的表面积为 1，则相对应的此球的半径应为( )
1 A.3π
B． 3π
3π C. 3π
3 3π D． 3π
解析： (1)设改变前、后球的半径分别是 r，r′， 则由条件可知 4πr′2＝2×4πr2，
1．如果两个球的体积之比为 8∶27，那么两个球的表面积之比为( )
A．8∶27
B．2∶3
C．4∶9
D．2∶9
4 4 解析： 3πr3∶3πR3＝8∶27，
∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝4∶9. 答案： C
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一
44
4
体积 V 球＝3πR3＝3π×13＝3π.
4 108 (2)因为 V 球＝3πR3＝ 3 π， 所以 R3＝27，R＝3，所以 S 球＝4π×32＝36π.
合作探究·课堂互动
球的表面积和体积
32π (1)球的体积是 3 ，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D． 3
2 解得 R＝ 2 3 V.
∴S 球＝4πR2＝2π3 V2.
即球表面积为 2π3 V2.
【错因】 过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面，得到的是一个宽 为 x，长为 2x，对角线为 3x 如图(2)的矩形，故错解所做的大圆截面是错误的．
【正解】 将错解中的方程②改为 3x＝2R， 得到 S 球＝3π3 V2.
体组成的几何体．
1 S＝2×4π×12＋6×2×2－π×12＝(24＋π)(m2)．
14
2
V＝V 半球＋V 正方体＝2×3π×13＋23＝8＋3π(m3)．
答案： (1)C
[规律方法] 由三视图计算体积与表面积的关注点 (1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是 还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义． (2)根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积，此时要特别 注意球的三视图都是直径相同的圆． (3)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和 交叉．
(3)此类问题的具体解题流程：
3．(1)(2015·大连高一检测)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
(2)正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球，则此棱柱的体积是( )
A．9 3 cm3
B．54 cm3
C．27 cm3
[思路探究] 1.题(1)中由三视图可得到什么样的几何体？ 2．题(2)中由三视图可得到什么样的几何体 ？
解析： (1)由三视图可知是一个由一个半球和倒立的圆锥组成的几何体．
1
14
V＝3π×32×4＋2×3π×33＝30π.
(2)由三视图可知，此几何体是一个由半径为 1 的半球和一个棱长为 2 的正方
球的表面积公式
如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝__4_π_R_2__.
[强化拓展] (1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定 R 都有唯 一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积是关于 R 的函数． (2)球的表面积是以球的半径为半径的圆的面积的 4 倍．
[自主练习]
D．18 3 cm3
解析： (1)设正四棱柱底面边长为 a，则 S 底＝a2， ∴V＝S 底·h＝4a2＝16，∴a＝2. 又正四棱柱内接于球，设球半径为 R， 则(2R)2＝22＋22＋42＝24， ∴R＝ 6， ∴球的表面积为 4πR2＝24π.
33 (2)正三棱柱底面正三角形的边长 a＝ 3 ＝6 (cm)，
2 所以有 2r2＝ 2a，r2＝ 2 a，所以 S2＝4πr22＝2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，
3 所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 2 a， 所以 S3＝4πr23＝3πa2.
[规律方法] 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何 体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中 心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键 是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
2．(1)下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
9 A.2π＋12
9 B．2π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
(2) 某 器 物 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 根 据 图 中 数 据 可 知 该 器 物 的 表 面 积 为 ________．
解析： (1)由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为 V＝32×2
7．3 球的表面积和体积
自主学习·新知突破
前面几节课我们研究了柱体、锥体、台体的表面积与体积，其中圆锥、圆柱、 圆台的表面积和体积都与其形成有关．那么球的表面积与体积与什么有关呢？
[问题 1] 球是怎样形成的？球的大小决定因素是什么？ [问题 2] 半径是 R 的球的体积 V 是多少？ [问题 3] 半径是 R 的球的表面积 S 是多少？
13πr2·h＝43πR3， r＝2R，
1
4
3π(2R)2·h＝3πR3，∴R＝h，r＝2h，
∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2，
S圆锥侧 2 5πh2 5 ∴ S球 ＝ 4πh2 ＝ 2 .
答案： (1)B
[规律方法] 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求出半径 R，然 后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两要素，计算球的表面积或体 积的相关题目也就易如反掌了．