2012年福建初中数学竞赛初赛试题及答案

初中数学全国竞赛各省市试题汇编（附答案）2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版目录一2012广东初中数学竞赛预赛1二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）4三2012年北京市初二数学竞赛试题9四2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）10五2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案13六2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）14七2012年全国初中数学竞赛试题19八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷20九2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案26十2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷28十一2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】29十二2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题34 十三2012年全国初中数学竞赛试题（副题）38十四2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案40十五2012年全国初中数学竞赛试题（正题）49十六2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案54 小贴士：word目录发生下列问题ctrl+左键显示“由于本机的限制，该操作已被取消，请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决1.开始，运行里输入regedit,回车2.在注册表中，找到HKEY_CURRENT_USERSoftwareClasses.html项3.在默认项上点右键选择修改4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile，确认，然后退出注册表5.重启正在使用的Office程序，然后再次点Office里面超链接，ok了一2012广东初中数学竞赛预赛二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】（A）2,3,1（B）2,2,1（C）1,2,1（D）2,3,2【答】A．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【】（A）（B）（C）（D）【答】C．解：一次函数的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以解得．3．如图，在⊙O中，，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【】（A）0（B）1（C）2（D）3【答】D．解：因为，所以DC=AB；因为，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB=x度，则由△DAB的内角和为180°得：，解得．4.有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【】（A）（B）（C）（D）【答】B．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是.5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个【答】D．解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2=，可得，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，可得，AB的中垂线交y轴于点C5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出．6．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【】（A）（B）（C）（D）【答】A．解：的顶点坐标是，设，，由得，所以．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若，则的值为．【答】7．解：．8．方程的解是．【答】．解：.∴，解得.9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是．【答】．解：分别过点A、作x轴的垂线，垂足分别为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BD．由于点A的坐标是，所以，，所以点的坐标是．10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为．【答】2．解：连接MN，显然将扇形AED向右平移可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于矩形AMND的面积，等于．11．已知α、β是方程的两根，则的值为．【答】．解：∵α是方程的根，∴．∴，又∵∴=．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则≤145，解得≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为，个位数字为（x、y均为0~9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况：…………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为，依题意，得，整理，得x、y均为0~9的整数，∴此时∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为，依题意，得，整理，得，故x为偶数，又∴∴此时∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁．…………………14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是、，点D在线段OA上，BD=BA，点Q 是线段BD上一个动点，点P的坐标是，设直线PQ的解析式为．（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．解：（1）直线经过P，∴．∵B，A，BD=BA，∴点D的坐标是，∴BD的解析式是,依题意，得，∴∴解得……………………………………………7分（2）且k为最大整数，∴.则直线PQ的解析式为.……………………………………………9分又因为抛物线的顶点坐标是，对称轴为．解方程组得即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，∴．解得．……………………………………15分15.如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明是定值．解：（1）证明：如图①，∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，∴四边形OABC是矩形．∴．∵E、G分别是AB、CO的中点，∴∴四边形AECG为平行四边形. ∴……………………………4分连接OB，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．此时∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE．………………………………8分∴．设OA=x，AB=y，则∶=∶，得．…10分又，即．∴，解得．∴当OA的长为时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分（3）如图③，连结GE交PQ于，则．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．由△PCF∽△PEG得，∴==AB，=GE=OA，∴．在Rt△中，，即，又，∴，∴．……………………………………18分三2012年北京市初二数学竞赛试题．选择题(每小题5分，共25分)．方程|2x－4|＝5的所有根的和等于()．A．－0.5B．4.5C．5D．4．在直角坐标系xOy中，直线y＝ax＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y＝ax＋24上的点的坐标是()．A．(3，12)B．(1，20)C．(－0.5，26)D．(－2.5，32) ．两个正数的算术平均数等于，它们乘积的算术平方根等于，则期中的大数比小数大()．A．4B．C．6D．3．在△ABC中，M是AB的中点，N是BC边上一点，且CN ＝2BN，连接AN与MC交于点O，四边形BMON的面积为14cm2，则△ABC的面积为()．A．56cm2B．60cm2C．64cm2D．68cm2．当a＝1.67，b＝1.71，c＝0.46时，等于()．A．20B．15C．10D．5.55．填空题(每小题7分，共35分)．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数．．△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝13cm，自A分别作∠C平分线的垂线，垂足为M，作∠B的平分线的垂线，垂足为N，连接MN，则＿＿＿＿．．实数x和y满足x2＋12xy＋52y2－8y＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．．P为等边△ABC内一点，AP＝3cm，BP＝4cm，CP＝5cm，则四边形ABCP的面积等于＿＿cm2．(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a，b，c，是常数．(满分15分)．已知正整数n可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n的最小值．(满分15分)．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝70°，P为形内一点，∠PAB＝40°，∠PBA＝20°，求证：PA＋PB＝PC．四2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）1、下列运算正确的是（）A．x2‧x3=x6B．2x3x=5x2C．(x2)3=x6D ．x6x2=x32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（）A．129B．120C．108D．963、实数a＝20123－2012，下列各数中不能整除a的是（）A．2013B．2012C．2011D．20104、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（）A．B．C．D．5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（）6、要使有意义，则的取值范围为A．B．C．D．7、菱形的两条对角线之和为L、面积为S，则它的边长为（）A．B．C．D．8、如图2，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC 边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△CEF是等腰三角形②四边形ADFE是菱形③四边形BFED是平行四边形④∠BDF+∠CEF＝2∠AA．1B．2C．3D．49、如图3，直线x＝1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴，则有()A．a＋b＋c＝0B．b＞a＋cC．b＝2aD．abc＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm，10cm，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，结果是（）A．甲板能穿过，乙板不能穿过B．甲板不能穿过，乙板能穿过C．甲、乙两板都能穿过D．甲、乙两板都不能穿过二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x与y互为相反数，且，那么的值为__________.12、一次函数y=ax+b的图象如图4所示，则化简得________.13、若x=－1是关于x的方程a2x2+2011ax－2012=0的一个根，则a的值为__________.14、一只船从A码头顺水航行到B码头用6小时，由B码头逆水航行到A码头需8小时，则一块塑料泡沫从A码头顺水漂流到B码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．15、如图5，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是．16、如图6，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB=145°，则∠DBE的度数是________.18、如图8所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折，点B、D分别落在对角线AC的点B＇和D＇上，则线段EG的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：（1）如图9（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；（2）如图9（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．五2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）题号12345678910答案CDDACBABDB7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a＋b＋c＜0,当x=-1时有a-b＋c＞0,即a＋c＞b,即b＜a＋c，函数的对称轴为，则b＝－2a，因为抛物线的开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，所以c＜0，由b＝－2a可得b＜0．所以abc＞0，因而正确答案为D10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm，BC=10cm，∠C=60°，过点A过AE//CD，交BC于点E，过点B作BE⊥CD于点F，可求得AB=cm＞8.5cm，BE=cm＞8.5cm铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD，可求得BD=cm＜8.5cm，所以铁板乙可以穿过；所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、12、a+113、a1=2012,a2=－114、4815、单位面积16、3个17、85°18、17、分析：易证△CEA与△CDB全等，从而有∠DBC=∠EAC，因为，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°，所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°18、分析：AB＝4cm，BC＝3cm，可求得AC=5cm，由题意可知CB＇=BC=3cm，AB＇=2cm设BE=x，则AE=4-x，则有(4-x)2-x2=22,x=1.5cm，即BE=DG=1.5cm，过点G作GF⊥AB于点F，则可求出EF=1cm，所以EG=三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分.解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x天就可以完成此项工程，依题意得：，解得：x=20答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y天，依题意得：，解得y=40。

2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c||||a b b c ++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果2a =-1123a+++的值为（ ）．（A） （B（C ）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100，　， ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为2 E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）A ．3 B ．3 C ．3 D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t = ． 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝ ． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)-个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知21a =-，32b =-，62c =-，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A ．6 B ．5 C ．26 D ．254．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98.5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 解：根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个．（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）． 如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个； 同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个． 因此，这样的四位数共有6×4=24个．（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个．（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个．因此，满足要求的四位数共有4+24+8+8=44个． 故选C ．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝3．4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >.由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BDCD OD =， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=.又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)-个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x b c =--++，所以点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b ==，所以tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=212=22111)]22==⋅. 又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，所以111)](22b ⋅=⋅. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）. 因此，抛物线的解析式为21466y x x =-+-.------------------------------------------------------------------------怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<解答：1a ===b ==，2c ===1显然：b a c <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 解答：222222223232()234x xy y x xy y y x y y ++=+++=++=由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+2⨯9=34故5555544444x y x y x y x y x y y y y y y +=-+=+=+=-⎧⎧⎧⎧+=±=±⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩、，由、、、得 4444=9=1=9=1y y y y x x x x ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--⎩⎩⎩⎩、、、共4组解。

3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A．3 B．3 C．3 D．3EBD解答：如图，做G H ⊥BE 于H ，易证Rt △AB E ∽Rt △GHB ，设GH=a ，则HE=a ，BH=2-a ， 由GH BH a 2-a 2==a=AB BE 123得解得，故BG=3。

4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 解答：44222222219=2=21=2()48a ab b a b a b ab a b ab ab +++-+-++--+2（） 考查以ab 整体为自变量的函数的图像为抛物线219y=2()48ab --+其对称轴为14ab = 由22222020a b ab a b ab +-≥++≥和知1122ab -≤≤ 又1111()4242-->-，故当12ab =-时，函数取最小值0。

2012年福建省泉州市初中毕业升学考试数学试题一、选择题（每小题3分，共21分） 1.-7的相反数是（ ） A.-7 B. 7 C. -71 D. 71 2.42)(a 等于（ ）A.24a B.42a C.8a D.6a3.把不等式x +1≥0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）4.下面左图是两个长方体堆成的物体，则这一物体的正视图是（ ）5.若y =k x －4的函数值y 随x 的增大而增大，则k 的值可能是下列的（ ） A .－4 B .－21C. 0D.3 6.下列图形中有且只有两条对称轴的中心对称图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C.圆 D.菱形7.如图，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF//AB,与AC 、BC 分别交于点E 、F,则（ ） A . EF ＞AE+BF B. EF ＜AE+BF C. EF=AE+BF D. EF ≤AE+BF二、填空题（每小题4分，共40分） 8.比较大小：- 9.因式分解：5-2x x = .A B C D A B C D正面（第7题图）10.光的速度大约是300 000 000米/每秒，将300 000 000用科学记数法表示为 .11.某校初一年段举行科技创新比赛活动，各班选择送的学生数分别为3、2、2、6、6、5，则这组数据的平均数是 .12. n 边形的内角和为900 °，则n = . 13.计算：111---m m m = . 14.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=6，AD ⊥BC 于D ，则BD= .15.如图，在△ABC 中，∠A=60 °，∠B=40 °，点D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，则∠1= . 16.如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，AD 绕着点A 顺时针旋转，当点D 落在BC 上点D ′时，则 AD ′= ，∠AD ′B= .17.在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线，简记为P （x l ）（x 为自然数）.（1）如图①，∠A=90 °，∠B=∠C ，当BP=2PA 时，P （1l ）、P （2l ）都是过点P 的△ABC 的相似线（其中1l ⊥BC ，2l ⊥AC ），此外，还有 条；（2）如图②，∠C=90 °，∠B=30 °，当BABP= 时 ，p （x l ）裁得三角形面积为△ABC 面积的41.二、选择题（共89分）18.（9分）计算：0-12012-39-4-123⨯+⨯.DC B A 1ED C B A D /D C B A l 2l 1PCBA30°CBA（第14题图） （第15题图） （第16题图） （第17题图）（图①） （图②）19.（9分）先化简，再求值：)2)(2()32x x x -+++（,其中，x =－2.20.（9分）在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”四个围棋子，它们除了颜色之外没有其它区别. （1）随机地从盒中提出一子，则提出白子的概率是多少？（2）随机地从盒中提出一子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出恰好提出“一黑一白”的概率.21.（9分）如图，BD 是平行四边形ABCD 的一条对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. 求证：∠DAE=∠BCF22.（9分）为了了解参与“泉州非物质文化进校园”活动的情况，某校就报名参与参加花灯、南音、高甲戏、闽南语四个兴趣小组的学生进行抽样调查，下面是根据收集的数据进行绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：F ED C B A （第21题图）（1）此次共调查了 名同学，扇形统计图中“闽南语”部分的圆心角是 度，请你把条形统计图补充完整；（2）如果把每位教师最多只能辅导同一兴趣小组的学生20名，现该校共有1200名学生报甸参加兴趣小组，请你估计学校至少应安排多少名高甲戏兴趣小组的教师.23.（9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数y =xk与直线的交点A 、B 均在格点上，根据所给的直角坐标系（O 是坐标原点），解答下列问题：（1）分别写出点A 、B 的坐标后，把直线AB 向右平移5个单位，再向上平移5个单位，画出平移后的直线//B A ;（2）若点C 在函数y =xk的图像上，△ABC 是以AB 为底的等腰三角形，请写出点C 的坐标.组别高甲戏闽南语南音花灯人数451550高甲戏闽南语南音花灯40%（第22题图） 被抽查的学生人数条形统计图 被抽查的学生人数分布扇形统计图 （第23题图）24.（9分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG ”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b 元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）0y 、1y （单位：元）与正常运营时间x （单位：天）之间分别满足关系式：0y =ax 、1y =b +50x ，如图所示.试根据图像解决下列问题：（1）每辆车改装前每天的燃料费a = 元；每辆车的改装费b = 元，正常运营 天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；（2）某出租汽车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？25.（12分）已知：A 、B 、C 三点不在同一直线上. （1）若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上，ⅰ）如图①，当∠A=45°，R =1时，求∠BOC 的度数和BC 的长； ⅱ）如图②，当∠A 为锐角时，求证sinA=RBC2; (2)若定长线段BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN （B 、C 均与A 不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP ⊥AM,CP ⊥AN,交点为P ，试探索：在整个滑动过程中，P 、A 两点间的距离是否保持不变？请说明理由.)CBC P NM C A B （第25题图）（图①）（图②） （图③）26.（14分）如图，O 为坐标原点，直线l 绕着点A （0,2）旋转，与经过点C （0,1）的二次函数y =h x 241的图像交于不同的两点P 、Q. （1）求h 的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ 面积的最小值（不必说理）；（3）过点P 、C 作直线，与x 轴交于点B.试问：在直线l 的旋转过程中，四边形AOBQ 是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状.四、附加题（共10分）友情提示：请同学们做完上面的考题后，估计一下你的得分情况.如果你的全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分不超过90分；如果你全卷总分已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分. 1.（5分）方程x -5=0的解是 .2.（5分）如图，点A 、O 、B 在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC= °.O CA B （第26题图） （附加题图）答案：一选择题：1.B ；2.C ；3.B ；4.A ；5.D ；6.D ；7.C二填空题：8. ＜；9. ()5-x x ；10.3×108；11.4；12.7；13.1；14.3；15.80；16.2，30；17.（1），（2）21或43或43； 三、解答题：18.6；19.6x +13，当x =－2时，原式1；20.（1）P （白子）=41，（2）P （一黑一白）=21； 21.略22.（1）100名，90；（2）9名23.（1）A （－1，－4、B （－4，－1）），（2）C 点的坐标为C 1（－2，－2）或C 2（2，2） 24.（1）a =90；b =4000，100；（2）. x =200； 25.（1）略；（2）AP=602sian =334 26.（1）h =1；（2）P （－2，2）、Q （2，2）；。

2012年初中数学竞赛九年级试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（A）11 （B）12 （C）13 （D）143．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.一、选择题1．D 解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan，tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.。

2012年全国初中数学竞赛试题考试时间 2012年3月18日 9:30-11:30 满分150分答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.如果实数a ，b ，ca b b c +++可以化简为（ ）A .2c -aB . 2a -2bC . –aD .a2.在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）A .10B .9C . 7D .53.如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形.∠ADC =30°，AD =3，BD =5，则CD的长为（ ）A .B .4C .D .4.5(第1题图)BADC4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）A .1B .2C .3D .45.黑板上写有1111,,,,23100⋅⋅⋅共有100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a+b+ab ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A .2012B .101C .100D .99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是____________.7.如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点.以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC =12.延长BC ，与⊙O 分别交于D ,E 两点，则CE -BD 的值等于___________.8.如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，那么2011120122x x 的值为_______________.9.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为_____________.10.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD =DC .分别延长BA ,CD ,交点为E .作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F .若AE =AO ,BC =6，则CF 的长为___________.(第6题图)AB OCED(第7题图)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，AO =8，AB =AC ，sin ∠ ABC =45.CD 与y 轴交于点E ，且C O E A D E S S ∆∆=.已知经过B ,C ,E 三点的图像是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.12.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ,BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB +AD =2BD .13.已知整数a ，b 满足：a -b 是素数，且ab 是完全平方数.当a ≥2012时，求a 的最小值.14.将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a ，b ，c （可以相同）使得ba c =，求n 的最小值.IABDOC2012年全国初中数学竞赛试卷答案（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c a b b c ++可以化简为（ C ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以()()()a b b c a a b c a b c a +++=-+++--+=-2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ） A ．10 B ．9 C ．7 D ．5解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩以上共计9对()x y ，3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23B ．4C ．52D ．4.5 解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ． 又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒． 在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE 4=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数．由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--． 因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1． 所以 x 的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有111123100，　，　，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A ．2012B ．101C ．100D ．99解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=+++⋅⋅+ ， 解得，1101x +=，100x =．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．解：前四次操作的结果分别为32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由已知得，27264878180487x x -≤⎧⎨->⎩．解得719x <≤．容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，．z CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 32-．解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042k k k ∆=--+≥，由此得2(3)0k -≤．又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =．此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-．故20111201222123x x x ==-9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++．于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =． 当8m =时，40b =，5a =； 当9m =时，20b =，35a =，5522a b a +>=．不合题设．故8m =． 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF E C ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 223 ．解：如图，连接AC ，BD ，OD ．由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒．依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， 所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此BC BACF AD=．因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =， 所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是2DE OEDC OB==． 因此223DE CD AD CE AD ===，． 由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =．故AD CF BC BA =⋅==． 三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，． 由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△． 所以1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，． 因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+． 将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-．12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=． 解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ． 故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ， 所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BCCD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）．因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=．因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)， 所以 222a m n m -+=，221a m n --=．解得2(1)4m a +=， 214m n -=．于是214m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即2(1)20124m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2(891)4a +≥=2025．当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =． 因此，a 的最小值为2025．14．将23n ，　，　，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b ac =，求n 的最小值．解：当1621n =-时，把23n ，　，　，分成如下两个数组：{}88162322121+- ，　，　，　，　，　和{}84521- ，　，　，　．在数组{}88162322121+- ，　，　，　，　，　中，由于38821632221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 在数组{}84521- ，　，　，　中，由于48421>-， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时ba c =；如果8在第二组，我们取16482abc ===，，，此时ba c =． 综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。

2012年全国九年级义务教育初中中考数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.已知1a =,b =2c =,那么,,a b c 的大小关系是 ( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a << 【答】C. 因为11a =+,1b =,所以110a b<<,故b a <.又2)1)c a -=-=1),而221)30-=->,1>,故c a >.因此b a c <<.2.方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 ( ) A.3. B.4. C.5. D.6. 【答】B.方程即22()234x y y ++=,显然x y +必须是偶数,所以可设2x y t +=,则原方程变为22217t y +=,它的整数解为2,3,t y =±⎧⎨=±⎩从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)-,(1,3),(7,3)-,(1,3)--,共4组.3.已知正方形ABCD 的边长为1,E 为BC 边的延长线上一点,CE ＝1,连接AE,与CD 交于点F,连接BF 并延长与线段DE 交于点G,则BG 的长为 ( )【答】D.过点C 作CP//BG,交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1,所以CP 是△BEG 的中位线,所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1,AD//CE,所以△ADF ≌△ECF,所以CF ＝DF,又CP//FG,所以FG 是△DCP 的中位线,所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE.连接BD,易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°,所以∠BDE ＝90°. 又BD,所以BG3==. 4.已知实数,a b 满足221a b +=,则44a ab b ++的最小值为 ( )EC AA.18-.B.0.C.1.D.98. 【答】B.442222222219()2122()48a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+.因为222||1ab a b ≤+=,所以1122ab -≤≤,从而311444ab -≤-≤,故2190()416ab ≤-≤,因此219902()488ab ≤--+≤,即44908a ab b ≤++≤.因此44a ab b ++的最小值为0,当22a b =-=或22a b ==-时取得. 5.若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+,则实数p 的所有可能的值之和为 ( )A.0.B.34-.C.1-.D.54-. 【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-,1232x x p ⋅=--,所以2222121212()2464x x x x x x p p +=+-⋅=++,332212121212()[()3]2(496)x x x x x x x x p p p +=++-⋅=-++.又由232311224()x x x x +=-+得223312124()x x x x +=-+,所以2246442(496)p p p p p ++=+++,所以(43)(1)0p p p ++=,所以12330,,14p p p ==-=-.代入检验可知:1230,4p p ==-均满足题意,31p =-不满足题意. 因此,实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p +=+-=-.6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd (数字可重复使用),要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 ( )A.36个.B.40个.C.44个.D.48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑:(1)只用1个数字,组成的四位数可以是1111,2222,3333,4444,共有4个.(2)使用2个不同的数字,使用的数字有6种可能(1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4).如果使用的数字是1、2,组成的四位数可以是1122,1221,2112,2211,共有4个；同样地,如果使用的数字是另外5种情况,组成的四位数也各有4个.因此,这样的四位数共有6×4＝24个.(3)使用3个不同的数字,只能是1、2、2、3或2、3、3、4,组成的四位数可以是1232,2123,2321,3212,2343,3234,3432,4323,共有8个.(4)使用4个不同的数字1,2,3,4,组成的四位数可以是1243,1342,2134,2431,3124,3421,4213,4312,共有8个.因此,满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) 1.已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=,则t =_________. 【答】 1±.由1a t b +=得1b t a =-,代入1b t c +=得11t t a c +=-,整理得2(1)()0ct ac t a c -++-= ①又由1c t a+=可得1ac at +=,代入①式得22()0ct at a c -+-=,即2()(1)0c a t --=,又c a ≠,所以210t -=,所以1t =±.验证可知:11,1a b c a a -==-时1t =；11,1a b c a a+=-=-+时1t =-.因此,1t =±. 2.使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 . 【答】 1.设2521m n ⨯+=(其中n 为正整数),则2521(1)(1)mn n n ⨯=-=+-,显然n 为奇数,设21n k =-(其中k 是正整数),则524(1)mk k ⨯=-,即252(1)m k k -⨯=-.显然1k >,此时k 和1k -互质,所以252,11,m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或25,12,m k k -=⎧⎨-=⎩或22,15,m k k -⎧=⎨-=⎩解得5,4k m ==. 因此,满足要求的整数m 只有1个.3.在△ABC 中,已知AB ＝AC,∠A ＝40°,P 为AB 上一点,∠ACP ＝20°,则BCAP＝ . 【答】设D 为BC 的中点,在△ABC 外作∠CAE ＝20°,则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE,PF ⊥AE,则易证△ACE ≌△ACD,所以CE ＝CD ＝12BC. 又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60°＝2AP,PF ＝CE,所以2AP ＝12BC, 因此BCAP4.已知实数,,a b c 满足1abc =-,4a b c ++=,22243131319a b c a a b b c c ++=------,则222a b c ++＝ .【答】332. 因为22313(3)(1)(1)(1)a a a a abc a bc a a bc b c a b c --=-+=+-=--+=--,所以2131(1)(1)a a abc =----.EB同理可得2131(1)(1)b b b a c =----,2131(1)(1)c c c a b =----. 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ++=------,所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c ---=-+-+-. 结合1abc =-,4a b c ++=,可得14ab bc ac ++=-. 因此,222233()2()2a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.实际上,满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422-.第二试 (A)一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c (a b c ≤<),则30a b c ++=.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求c 的值.由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<,所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>,所以15c <.又因为c 为整数,所以1114c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=,把30c a b =--代入,化简得30()4500ab a b -++=,所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯, ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤,所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩……………………15分 所以,直角三角形的斜边长13c =,三角形的外接圆的面积为1694π. ……………………20分 二.(本题满分25分)如图,PA 为⊙O 的切线,PBC 为⊙O 的割线,A D ⊥OP 于点D .证明:2AD BD CD =⋅.2012年全国九年级义务教育初中中考数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页(共4页)证明:连接OA,OB,OC.∵OA ⊥AP,A D ⊥OP,∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅,2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅,∴PB PC PD PO ⋅=⋅,∴D 、B 、C 、O 四点共圆,……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC,∠PBD ＝∠COD,∴△PB D ∽△COD, ……………………20分∴PD BD CD OD=,∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. ……………………25分 三.(本题满分25分)已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C,PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-,若AM//BC,求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +,点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为(3,)b m . 显然,12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根,所以13x b =,23x b =又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ,所以AE……………………5分因为PA 为⊙D 的切线,所以PA ⊥AD,又A E ⊥PD,所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅,即223()||2b c m =+⋅,又易知0m <,所以可得6m =-. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC =,即2222(30)()m b m c +=-+-,把6m =-代入后可解得6c =-(另一解0c =舍去). ……………………15分又因为AM//BC,所以OA OMOB OC =,3||2|6|-=-. ……………………20分 把6c =-代入解得52b =(另一解52b =-舍去). 因此,抛物线的解析式为215662y x x =-+-. ……………………25分2012年全国九年级义务教育初中中考数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页(共5页)。