数学建模案例分析消费分布规律的分类概率统计方法建模

在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。

用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。

拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。

在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。

其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。

回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。

相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。

逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。

数学建模中的概率统计方法选讲案例一：常用分布及中心极限定理与“DVD 在线租赁”问题（2005B ）“DVD 在线租赁”为2005年全国大学生建模竞赛的B 题，原题参见附件中的文件“2005B ”。

现考虑问题（1）：网站正准备购买一些新的DVD ，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？问题（1）的分析与求解：可以通过“点估计”的方法，得到抽样的1000名会员租赁上述5种DVD 的概率为● 通过1000个样本来推断10万个会员的“总体”： 假设随机变量，否则种个会员租第第⎩⎨⎧=,0,1DVDj i ij ξ 其中10000,...,2,1=i . 显然，ij ξ服从两点分布，即j ij p P ==)1(ξ,而上表就给出了这些概率的估计值。

进一步，设∑==Ni ij j 1ξη，10000=N ，即表示10000人中愿意租赁第j 张DVD 的人数，显然，随机变量),10000(~j j p B η。

● 由De Moivre —Laplace 中心极限定理，如果准备了)5.0(j E η张DVD ，则满足至少jη5.0人看到该DVD 的概率（可靠性）为5.0)0(}0)5.0()5.0(5.0{)}5.0(5.0{=Φ≈≤-=≤j j j j j D E P E P ηηηηη显然，为了增加右边的可靠性，比如，增加到0.99，则由等式99.0)33.2(})5.0()5.0()5.0()5.0(5.0{}5.0{=Φ≈-≤-=≤j j j j j j D E X D E P X P ηηηηηη,可知)1(100002133.25000)5.0(33.2)5.0(j j j j j p p p D E X -⨯⨯+=+=ηη如何考虑“60％的会员每个月会租赁DVD 两次，40％的会员每个月会租赁DVD 一次”的问题？方法一：10万人的60%为6万人，每个月租赁两次，即12万次；40%为4万人，每月租赁一次，即4万次，合计每月有16万人次的租赁，对于第j 张DVD ，能否类似地假设为∑==Mi ij j 1ξη，16000=M ，而且随机变量),16000(~j j p B η，然后再求？答案是否定的，因为),16000(~j j p B η不再成立。

大学生消费问题的层次分析模型1.问题的提出及相关问题的分析大学生的消费结构是指大学生所消费的各种消费资料之间的比例关系．全面细致地了解大学生的消费状况具有重要的现实意义．关注大学生的消费行为，引导大学生科学消费，可以使大学生在校时合理使用有限的经济收入，进行科学消费．因此帮助大学生树立起适度、合理的消费观念，对于促进经济的发展和社会进步有着重要的意义．1.1目前大学生的消费来源当今大学生的经济来源主要包括:家庭供给、家教兼职、特困补助和奖学金．大学生由于其自身社会角色的限制，没有独立的经济来源,主要靠家庭供给．大学生消费收入差距悬殊，主要受家庭收入的影响．1.2目前大学生的消费状况目前大学生的消费主要由生活消费、学习消费、娱乐消费三部分构成．生活消费,如吃饭、购置生活必需品;学习消费,如学习用品等;娱乐消费,如购物、旅游等．随着生活水平的提高和网络信息化的发展,大学生消费呈现出多样化．在市场经济的今天，大学生的消费形式、内容、消费心理以及消费观念都发生了显着的变化．大学生传统必需型消费呈明显下降趋势，如饮食消费、衣着消费所占比例下降，其他形式的消费比例逐渐增加．学习消费主要集中在购买学习参考书、英语和计算机等级考试等和学习工具上．娱乐消费主要表现为休闲、旅游等方面，并呈上涨趋势．通讯消费主要表现在手机话费、上网等方面．大学生的人际交往消费、恋爱消费也成为日常支出的一个重要方面．1.3研究目的了解当代大学生消费的基本情况，发现大学生日常消费中存在的一些问题，为大学生的消费提供正确合理的建议指导,帮助大学生确立正确的消费观．2数据说明与符号约定2.1数据说明以韶关学院学生为调查的对象，通过问卷调查所得数据，调查问卷的原始数据见附录．问卷是通过对60名韶关学院学生随机发放，并收回有效问卷52份而得．由调查的统计结果可知：在校大学生平均的月总支出为514.8077，学习支出为64.42308元，食物支出占301.7308元，衣着支出为62.5元，通讯支出为39.32692元，娱乐支出为51.05769元．家庭月人均收入不同的在校大学生在月总支出和其他各项具体支出方面存在差异，在校大学生的月总支出主要用于食物支出、其他方面的支出相对较少，这反应了当代大学生的消费仍然是以物质消费为基础，这是由在校大学生的非独立经济地位决定的． 2.2符号约定y y 为学生的平均月消费(元)1x 1x 为学生每月由家庭提供的收入(元)2x 2x 为学生每月做家教等兼职所获取的收入(元) 3x 3x 为学生每月的特困补助的收入(元)0β0β为自发性消费321,,βββ边际消费倾向 ε表示其它随机因素的影响． A 因素对目标的判断矩阵λA 的最大特征值A 的最大特征值所对应的特征向量*a a 的权重向量，即用a 的每个元素除以各元素之和所得的矩阵1B 费用对决策准则的判断矩阵 2B 健康对决策准则的判断矩阵 3B 心理对决策准则的判断矩阵4B 发展对决策准则的判断矩阵i λi B 的最大特征值()4,3,2,1 i =i b i B 的最大特征值所对应的特征向量()4,3,2,1 i = i b i b 的权重向量，即用i b 的每个元素除以各元素之和所得的矩阵()4,3,2,1 i =A CI A 的一致性指标i CI i B 的一致性指标()4,3,2,1 i =Z CI 因素的一致性指标 A RI A 的平均随机一致性指标i RI i B 的平均随机一致性指标()4,3,2,1 i =A CR A 的一致性判断指标，规定小于0.1时，说明满足一致性准则 Z CR 因素的一致性判断指标，规定小于0.1时，说明满足一致性准则ω准则的权重向量，我们用以判断各种准则的支出比例3消费问题的数学模型我们利用调查所得的数据进行了统计分析和数学建模．具体模型步骤如下：3.1消费函数的计量模型多元线性回归模型εββββ++++=3322110x x x y 应用MATLAB 得到回归方程为:解得9225.02=R ,5127.1900=F .其中2R 为复相关系数，0F 为F 检验的临界值，0()P F F >为观察值F 大于临界值0F 的概率，且在显着性水平01.0=α下0)(0=>F F P ,越接近0表示回归方程在在显着性水平0.01α=下回归越显着,这表明回归结果非常合理. 3.2层次分析模型将决策的目标、考虑的因素和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图．根据考察的实际情况，层次结构图1为：图1层次结构图其中最高层为消费，即应怎样消费．最低层分为学习、饮食、衣着、通讯、娱乐五个方面，即我们的消费应在学习、饮食、衣着、通讯、娱乐五个方面按照怎样的比例消费．中间层分为费用、健康、心理、发展四个因素．费用是指价格的高低对决策的影响；健康是指对身体的有利或有害程度对决策的影响；心理是指个人消费的不同动机，包括正常动机和不良动机对决策的影响；发展是指个体为了满足今后成长、进步等要求而不断增长自身修养和素质的一种预期投资对决策的影响．构造判断矩阵：每一个具有向下隶属关系的元素作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列．表1重要性标度含义表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=171571171311715513511A 计算A 的特征根0E A λ-= A 有最大特征根0735.4=λ,对应的特征向量为 首先求解齐次线性方程()0E A X λ-=解得特征向量为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7118.00791.06761.01731.0a ,归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*4340.00482.04122.01055.0a 对所得的数据进行一致性检验,步骤如下: （1）.计算一致性指标（2）查表确定相应的平均随机一致性指标RI表2平均随机一致性指标RI 表当RI <0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，RI >0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正． 故：A 有比较合理的一致性． 第二步,备选对象对决策准则的判断矩阵是 费用对决策准则的判断矩阵可作以下假设:1B 有最大特征根和对应特征向量2828.51=λ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1337.00603.02708.08225.04781.01b 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*0822.00371.01665.05057.02939.01b健康对决策准则的判断矩阵可作以下假设:2B 有最大特征根和对应特征向量2182.52=λ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2948.00626.01737.09282.01324.02b 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*1852.00393.01091.05831.00832.02b心理对决策准则的判断矩阵可作以下假设3B 有最大特征根和对应特征向量0032.53=λ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4764.02101.06432.02156.05184.03b 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*2308.01018.03117.01045.02512.03b发展对决策准则的判断矩阵可作以下假设:4B 有最大特征根和对应特征向量0246.54=λ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1833.00993.01833.03548.08927.04b 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*1070.00580.01070.02071.05210.04b所以，令于是对象对目标的排序： 模型分析：排列的一致性检验： 令：所以，有合理的一致性．所以，()T0757.01243.00861.06027.01034.0=即：消费按照学习：饮食：衣着：通讯：娱乐应为()0757.01243.00861.06027.01034.03.3自身消费模型结合自身的情况，我的月总支出，学习支出，饮食支出：衣着支出：通讯支出：娱乐支出分别是：600,80：350：50：80：40，即比例是0.1333;0.5833;0.0833;0.1333;0.06674模型的优缺点本文给出了大学生消费问题的模型，即层次分析模型．此模型由于是关系到个人的决策问题所以多少带有个人的主观意识，如文章中的成对比较矩阵很大成分上就是作者本人的意见，但是它通过了一致性检验以及符合当今社会的常规，所以此模型还是可行的．6参考文献[1]刘来福.数学模型与数学建模.?北京:北京师范大学出版社,1997[2]李海涛.MATLAB程序设计教程.高等教育出版社[3]袁震东等.数学建模简明教程[M]．哈尔滨：华东师范大学出版社，2001[4]姜启源等．数学模型(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2003[5]杨启帆等．数学建模[M]．北京：浙江大学出版社，1999[6]梁国业等．数学建模[M]．北京：冶金工业出版社，2004[7]王兵团．数学建模基础[M]．北京：清华大学出版社，2004．[8]甘应爱．高校毕业生就业手册[M]．北京：中山大学大学出版社，2005[9]武小莉.加强大学生正确消费观的培养.山西高等学校第15卷第12期20037附录7.1调查问卷大学生消费调查问卷１．您的家庭人均月收入为（）A．400以下B．400—800C．800-1200D．1200-1600E．1600以上2．您的月消费额大概为多少（）A.300以下B.300-500C.500-700D.700-1000E.1000以上?3．您每月由家庭提供的收入是（）A.200以下B.200-400C.400-600D.600-800E.800以上?4．您每月做家教等兼职所获取的收入是（）A.100以下B.100-200C.200-300D.300-400E.400以上5．您每月平均的特困生补助的收入是（）A.50以下B.50-100C.100-150D.150-200E.200以上6．您每学期学习方面的花费（包括文具、书籍、复印、培训班）（）A.100以下B.100-200C.200-300D.300-400E.400以上7．您每月饮食方面支出（包括零食饮料）大概为多少（）A.250以下B.250-350C.350-450D.450-600E.600以上8.您花在服饰方面平均每个月的消费是（）A.50以下B.50-100C.100-200D.200-300E.300以上9.您每月用于娱乐方面（看电影,购买游戏光盘,CD等）的支出（）A.基本不花费B.50以下C.50-100D.100-200E.200以上10.您拥有手机吗？如果有，每个月话费支出为多少？如果没有，请回答下一题．A．50以下B．50-100C．100-150D．150-200E．200以上11.您每月用于通讯方面的支出为多少（仅限于使用电话卡的情况）（）A.20以下B.20-40C.40-60D.60-80E.80以上12.您花费的资金主要来自（）A.勤工俭学B.在外做家教C.给企业打工D.主要从家里拿钱E.其他13.您觉得您现在每月消费情况如何（）A.高得惨不忍睹B.偏高C.刚刚好D.偏低E.低得一塌糊涂注：本问卷共发放60份，收回有效问卷52份．发放以我们周围的同学为主，基本上做到了随机发放．7.2数据的统计表3有关数据统计表（单位：元）人均收入月总支出家庭提供家教补助学习食物衣着通讯娱乐300 250 250 80 100 20 200 20 5 5 300 250 200 100 70 50 200 30 10 10 300 300 300 100 70 60 250 30 20 20 300 300 200 100 70 40 200 20 20 20 350 300 250 100 70 50 200 20 20 10 400 300 250 100 100 100 250 50 30 50 400 300 300 0 0 50 200 20 20 10 400 350 300 100 70 70 200 30 25 25 400 400 400 100 100 50 250 50 30 20 400 400 400 0 70 50 250 50 30 20 450 450 400 50 70 60 250 50 50 40 500 350 400 180 50 50 200 50 30 20 500 500 500 0 0 50 300 50 50 50 550 500 300 100 100 80 300 50 40 30 600 370 400 150 70 55 230 40 20 30 600 400 600 0 70 55 250 50 25 30 650 450 450 0 0 50 250 50 50 50700 450 500 300 100 70 260 55 35 30 700 450 450 100 70 70 300 30 20 30 700 500 500 0 0 50 300 50 50 50 700 500 500 0 0 50 300 50 50 50 750 500 500 0 0 80 300 50 40 30 750 500 500 0 0 80 300 60 40 20 800 450 500 120 120 80 250 70 20 30 800 450 500 100 0 50 250 50 50 50 800 500 600 200 100 50 300 60 40 50 800 700 600 150 50 100 500 80 80 50 900 500 500 200 80 75 270 60 35 60 900 500 500 0 0 40 300 80 40 40 1000 500 600 0 0 60 300 50 60 30 1000 550 600 100 0 85 300 50 45 70 1000 600 700 0 80 50 350 60 40 100 1000 650 700 150 0 60 350 70 20 150 1100 650 600 150 50 60 350 70 20 150 1100 700 800 120 0 90 370 115 25 85 1100 750 800 0 0 80 380 150 40 100 1200 700 700 150 0 55 350 140 50 105 1200 700 800 200 100 70 380 120 30 100 1300 800 900 80 0 45 400 180 55 120 1400 600 800 0 50 40 350 80 55 75 1500 600 600 0 0 80 300 20 30 20 1500 600 600 0 0 60 400 60 40 40 1600 600 600 0 0 80 400 50 50 20 1600 750 800 100 70 70 400 120 40 120 1700 550 600 0 0 70 350 50 30 50 1800 700 700 0 0 80 400 100 60 60 2000 500 700 0 0 50 250 60 60 30 2000 600 400 0 0 100 350 50 50 50 2100 600 60 0 0 80 350 50 70 50 2100 700 700 0 0 100 400 100 50 50 2200 500 500 0 0 50 300 50 50 50 2500 700 700 0 0 100 300 100 100 100 6.3回归分析编程clearx=[ 250 80 100; 250 100 100; 400 180 50;400 150 70;600 0 70;500 300 100;500 120 120;600 200 100;600 150 50;500 200 80;600 100 0;700 0 80;700 150 0;600 150 50;600 200 100;800 120 0;800 0 0;700 150 0;800 300 100;800 100 100;600 100 100;700 100 0;900 0 50;900 80 0;800 0 50;900 200 0;1000 100 0;1000 0 80;1200 0 100;1100 150 0;1200 200 0;900 150 70;1100 100 70;1200 180 0;900 100 0;1200 0 70;1500 0 0;800 180 0;1100 0 0;1000 200 0;400 100 50;1200 200 0;1100 150 0;1300 200 0;900 180 0;1500 0 0;1600 0 0;1500 300 0;1500 100 0;1500 180 0;1500 200 0;1800 100 0;];x1=[x,ones(52,1)];y=[250300350370400450450500700500550600650650700700750700700750500650700800600850900700900950100075090012008001100130070090011006001100950150010001200110015001200140015001600];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x1,0.01)bstats。

2021数学建模中三种统计分析法的运用范文 摘要：　多元统计分析方法是被广泛应用的一种数据处理方法,包括主成分分析、因子分析以及独立成分分析,这三种统计分析方法可以应用在多变量、大数据的处理过程当中。

现阶段,数学建模竞赛得到了许多院校的重视,而许多建模竞赛的题目都要进行数据的预处理,因此,可以将三种统计分析方法应用在数学建模数据分析当中。

本文主要对主成分分析、因子分析以及独立成分分析方法进行简介,进一步研究了三种统计分析方法在数据建模中的应用。

关键词：　主成分分析;因子分析; 独立成分分析; 数学建模; 数学建模竞赛等与样本数据相关的问题都需要进行数据的统计预处理,在此过程中,涉及的数据以及变量较多,因此增加了数据处理的复杂程度,在处理时希望把多变量转换为较少的综合变量,从而能够反映出相应的变量信息。

而主成分分析、因子分析以及独立成分分析方法可以处理多变量、大样本的数据信息,同时能够进行降维处理,在数学建模竞赛当中得到了较为广泛的应用。

因此,对这三种统计分析方法进行研究具有实际的应用意义。

一、三种统计分析方法简介 (一)主成分分析 主成分分析法(PCA)就是指通过正交变换,把分量相关的多个变化转化为分量不相关的综合变量的过程。

其中,被选择出来的变量叫作主成分,可以对数据的各种指标进行解释;而综合变量不仅要能够反映出原变量的信息,还要保证互不相关。

主成分分析法是一种数学变换方法,在变换的过程中,变量的方差是不变的,还要以方差递减的形式把变换后的综合变量进行排序。

(二)因子分析 因子分析法(FA)是主成分分析法的推广,主要是把原始的变量通过一些公共的因子变量来表示,是一种研究把多个观测变量转变为少数的不相关的综合变量的一种统计分析方法。

此种方法主要针对在大量观测数据当中得到一部分有价值的、难以直接测量的、相对独立的因子。

(三)独立成分分析 独立成分分析法(ICA)是主成分分析法以及因子分析法的延伸,此种方法应用效果较好,一旦其他的统计方法失效,那么依然可以找出支持观测数据的内在因子。

数学建模思想在“概率统计”教学中应用的实例分析引言随着社会的发展，科学技术的进步，在教学中，传统的教学方法已经不能适应当前的人才培养需求，概率统计在日常工作和生活中，应用的范围较广，也越来越重要，为了更好的实现概率统计教学，提高学生的学习兴趣和学习能力，需要创新教学方法。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，是教学方法的创新，在教学中引入新的教学元素，可以提高学生的学习兴趣，提高学生的动手能力，加深学生对概率统计知识的理解和掌握，所以本次从数学建模思想在概率统计教学中的应用实例进行分析研究。

一、数学建模思想在概率统计教学中的应用意义概率统计是一门理论性、实践性等较强的学科，在统计学、经济学等方面的应用，越来越广泛和深入，随着科学技术的发展，在概率统计教学中，传统的教学方法和教学模式已经无法使用时代的发展和社会对人才培养的需求，为此需要对概率统计教学的方法进行创新改革。

数学建模思想在概率统计教学中的应用，可以帮助学生运用数学思想，将概率统计教学相关的内容与实际问题结合，有助于培养学生的概率统计应用能力。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，可以加深学生对知识的理解[1]。

例如在指数分布教学中，以飞机的等待时间为例进行分析，在某个机场的飞机跑道上来了一架飞机之后，跑道就在等待下一辆飞机的到来，设在（0，t）时间内，该跑道上飞机道路的架数，为，求第二架飞机到来的等待时间h的分布函数？在概率统计教学中，数学建模思想的应用，可以提高学生的学习兴趣，同时又将学生的知识面扩展，实现了理论与实践的结合，实现概率统计教学的目的。

在教学中还有很多例子可以应用，可以让学生学会举一反三，对学生的创新能力、思维能力进行培养和锻炼。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，可以引用先进的教学技术、开展教学实验课，增强学生的动手能力，例如运用计算机技术、统计软件等，让学生参与其中，动手运用，在增强学生概率统计的理论知识的同时，也增强了学生的应用实践能力。

§8 主成分分析的应用主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们尽可能多地包含原变量的信息（降维），从而使得用这几个新变量替代原变量分析问题成为可能。

即在尽可能少丢失信息的前提下从所研究的m 个变量中求出几个新变量，它们能综合原有变量的信息，相互之间又尽可能不含重复信息，用这几个新变量进行统计分析（例如回归分析、判别分析、聚类分析等等）仍能达到我们的目的。

设有n 个样品，m 个变量（指标）的数据矩阵(1)11121(2)21222()12m m n mn n n nm x x x x x x x x X x x x x ⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭寻找k 个新变量12,,,()k y y y k m ≤ ，使得 1、1122,(1,2,,)l l l lm m y a x a x a x l k =+++= 2、12,,k y y y 彼此不相关这便是主成分分析。

主成分的系数向量12(,,,)l l l lm a a a a = 的分量lj a 刻划出第j 个变量关于第l 个主成分的重要性。

可以证明，若12(,,,)T m x x x x = 为m 维随机向量，它的协方差矩阵V 的m 个特征值为120m λλλ≥≥≥≥ ，相应的标准正交化的特征向量为12,,,m u u u ，则12(,,,)T m x x x x = 的第i 主成分为(1,2,,)T i i y u x i m == 。

称1/mi jj λλ=∑为主成分(1,2,,)Ti i y u x i m == 的贡献率，11/k mj jj j λλ==∑∑为主成分12,,k y y y 的累计贡献率，它表达了前k 个主成分中包含原变量12,,,m x x x 的信息量大小，通常取k 使累计贡献率在85%以上即可。

当然这不是一个绝对不变的标准，可以根据实际效果作取舍，例如当后面几个主成分的贡献率较接近时，只选取其中一个就不公平了，若都选入又达不到简化变量的目的，那时常常将它们一同割舍。

高中数学建模的教学探究——以概率与统计教学内容为例发布时间：2021-12-08T01:59:03.075Z 来源：《教学与研究》2021年第21期作者：刘爽[导读] 数学建模是高中数学学科核心素养之一，然而，当前许多所谓的数学建模教学其本质却只是套模和解模，缺乏真正的模型构建的过程。

刘爽大庆市第十三中学黑龙江大庆市 163000摘要：数学建模是高中数学学科核心素养之一，然而，当前许多所谓的数学建模教学其本质却只是套模和解模，缺乏真正的模型构建的过程。

因此，教师应提高培养学生数学建模素养重要性的认识，要多让学生在课堂中通过自主探索与应用来提升建模的素养，而缺乏数学建模素养意识是很多高中数学教师迫切需要解决的问题。

关键词：高中数学；建模教学；概率与统计教学；应用1数学建模的概念数学模型可将数学知识通过数学符号、式子、程序、图形等简捷的方式呈现出来。

数学建模则是从实际的课题中进行抽象和提炼数学模型的过程，是对客观现象以及发展规律的解释。

能够让学生对数学知识有一个形象且整体的了解，并培养学生解决实际问题的能力，同时通过实际生活案例来提升学生数学学习的兴趣，从而间接地起到提高学生数学学习效果的作用。

2高中数学建模教学策略的研究与实践2.1进行建模问题的合理选择首先教师要贴近学生的经验进行选择，教师要了解学生的日常生活，将学生所熟知的现实情景应用于建模问题的选择，这样才能让数学建模课程有序地进行，同时也能够提升学生的学习积极性。

其次，教师还要注意保持问题题材的趣味性。

数学建模题材的选择需要教师选择一些学生感兴趣的内容，这样就能够激发学生的求知欲，让学生对于数学建模课程拥有良好的兴趣。

教师要关注学生感兴趣的热门话题，在寻找数学建模课程与热门话题之间的连接点，从而能够拟订一个富有趣味的建模问题。

最后教师还要注意建模问题难度的适宜性，因为不同的学生具有不同的数学素养，所以教师要保证建模问题的难度适中，让不同层次的学生都能够通过已经具备的知识和方法解决相应的问题，从而就能让学生对数学建模的学习产生一定的自信心，在一定程度上也提升了学生学习的主观能动性。

数理统计建模一、直方图：频率直方图（是连续性随机变量的分布密度曲线的较好拟合），累积频率直方图（是随机变量的分布函数曲线的较好拟合）二、抽样方法：三、统计推断方法：参数估计和假设检验例题1：从一个池塘里捞出1000尾鱼，将其尾部标以红点，仍然放入水中。

经过一段时间，再从池中捞出1000尾鱼，其中有红点的鱼有100尾。

试估计池中有多少尾鱼？例题2：由厂方提出的一箱产品计1000件，从中取出100件，发现其中有2件不合格品。

经约定：如果一箱的废品率超过1%，那么买方就不接受此（整）箱产品；否则买方就得接受。

问此箱产品应否接收？1. 从生活常识角度分析一下：例题1的分析：将1000尾鱼再放入水中以后，鱼的总数不变。

经过一段时间，这些鱼在池中应该分布“均匀”了，而第二次捞出的鱼中，有红点者占捞出鱼总数的100/1000=10%，所以从比例的观点看，池中鱼的总数x应该满足10% x =1000所以x=10000，因而可以认为池中的鱼大约在万尾左右。

例题2的分析：按上例，从比例出发，认为此箱产品的废品率为2/100=2%，它大于1%，因而按照约定，买方可以拒绝接收。

你觉得合理吗？2. 先将上述模型一般化：（1）在上述两个例题中，所考察的个体（鱼，产品）的全体（总体）个数都是一个有限数N。

我们不妨将所考察的个体通称为“球”，并且认为都在一个”袋”中。

（2）在两个问题中，总体的元（个体）都分成两类（有红点或无红点；废品或合格品），将前者通称为“红球”，后者通称为“黑球”记红球个数为M （3）在两个问题中，都从总体中抽出若干个体（一个样本），样本容量为n （4）在两个问题中，样本中含有红球的个数为m（5）假设从总体中抽取任意一球的可能性都相等。

从而上述问题可归结为如下的超几何模型：设有一袋，袋中有N 个球，其中有M 个红球，N-M 个黑球，假设从袋中抽取任意一球的可能性相等。

现从袋中任取n 个球，用X 表示取出的n 个球中的红球数，则{},0,1,2,,m n m M N M n N C C P X m m n C --===3. 总体N 的极大似然估计：易见{}P X m =是N 的函数。

大学生花费问题数学模型 ( 层次剖析 )大学生花费问题的层次剖析模型1.问题的提出及有关问题的剖析大学生的花费结构是指大学生所花费的各样花费资料之间的比率关系．全面仔细地认识大学生的花费状况拥有重要的现实意义．关注大学生的花费行为，指引大学生科学花费，能够使大学生在校时合理使用有限的经济收入，进行科学花费．所以帮助大学生建立起适量、合理的花费观点，关于促使经济的发展和社会进步有侧重要的意义．当前大学生的花费根源此刻大学生的经济根源主要包含 : 家庭供应、家教兼职、特困补贴和奖学金．大学生因为其自己社会角色的限制，没有独立的经济根源 , 主要靠家庭供应．大学生花费收入差距悬殊，主要受家庭收入的影响．当前大学生的花费状况当前大学生的花费主要由生活花费、学习花费、娱乐花费三部分组成．生活消费, 如吃饭、购买生活必要品; 学习花费, 如学惯用品等; 娱乐花费, 如购物、旅行等．跟着生活水平的提升和网络信息化的发展, 大学生花费体现出多样化．在市场经济的今日，大学生的花费形式、内容、消操心理以及花费观点都发生了明显的变化．大学生传统必要型花费呈显然降落趋向，如饮食花费、穿着花费所占比率降落，其余形式的花费比率渐渐增添．学习花费主要集中在购买学习参照书、英语和计算机等级考试等和学习工具上．娱乐花费主要表现为休闲、旅行等方面，并奉上升趋向．通信花费主要表此刻手机话费、上网等方面．大学生的人际交往花费、恋爱花费也成为平时支出的一个重要方面．研究目的认识今世大学生花费的基本状况，发现大学平生时花费中存在的一些问题，为大学生的花费供应正确合理的建议指导, 帮助大学生确定正确的花费观．2数听说明与符号商定数听说明以韶关学院学生为检查的对象，经过问卷检查所得数据，检盘问卷的原始数据见附录．问卷是经过对 60名韶关学院学生随机发放，并回收有效问卷52份而得．由检查的统计结果可知：在校大学生均匀的月总支出为，学习支出为元，食品支出占元，穿着支出为元，通信支出为元，娱乐支出为元．家庭月人均收入不一样的在校大学生在月总支出和其余各项详细支出方面存在差别，在校大学生的月总支出主要用于食品支出、其余方面的支出相对较少，这反响了今世大学生的花费仍旧是以物质花费为基础，这是由在校大学生的非独立经济地位决定的．符号商定y y 为学生的均匀月花费 ( 元)x1x 1为学生每个月由家庭供应的收入( 元)x2x 2为学生每个月做家教等兼职所获得的收入(元 )x3x 3为学生每个月的特困补贴的收入( 元)00 为自觉性花费1,2 , 3边沿花费偏向表示其余随机要素的影响．A要素对目标的判断矩阵A的最大特点值a A 的最大特点值所对应的特点向量a a 的权重向量，即用 a 的每个元素除以各元素之和所得的矩阵B1花费对决议准则的判断矩阵B2健康对决议准则的判断矩阵B3心理对决议准则的判断矩阵B4发展对决议准则的判断矩阵B i的最大特点值i 1,2,3, 4ib i B i的最大特点值所对应的特点向量i 1,2,3, 4b i b i的权重向量，即用 b i的每个元素除以各元素之和所得的矩阵i 1,2,3, 4CI A A 的一致性指标CI i B i的一致性指标i 1,2,3, 4CI Z要素的一致性指标RI A A 的均匀随机一致性指标RI i B i的均匀随机一致性指标i1,2,3, 4CR A A 的一致性判断指标，规定小于0.1 时，说明知足一致性准则CR Z要素的一致性判断指标，规定小于 0.1 时，说明知足一致性准则准则的权重向量，我们用以判断各样准则的支出比率3花费问题的数学模型我们利用检查所得的数据进行了统计剖析和数学建模．详细模型步骤以下：花费函数的计量模型多元线性回归模型y0 1 x1 2 x2 3 x3应用 MATLAB获得回归方程为 :y 36.0559 0.8003 x10.7129x 23解得 R 20.9225 , F0 190.5127 .此中R2为复有关系数， F0为F查验的临界值，P( F F0 ) 为察看值F大于临界值 F0的概率，且在显著性水平0.01 下P( F F 0 ) 0 ,越靠近0表示回归方程在在明显性水平下回归越明显 , 这表明回归纳果特别合理 .3.2 层次剖析模型将决议的目标、考虑的要素和决议对象按它们之间的互相关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图．依据观察的实质状况，层次结构图1为：花费目费健心发准方学饮衣通娱图1层次结构图此中最高层为花费，即应如何花费．最低层分为学习、饮食、穿着、通信、娱乐五个方面，即我们的花费应在学习、饮食、穿着、通信、娱乐五个方面依据如何的比率花费．中间层分为花费、健康、心理、发展四个要素．花费是指价钱的高低对决议的影响；健康是指对身体的有益或有害程度对决议的影响；心理是指个人花费的不一样动机，包含正常动机和不良动机对决议的影响；发展是指个体为了知足此后成长、进步等要求而不停增添自己涵养和素质的一种预期投资对决议的影响．结构判断矩阵：每一个拥有向下隶属关系的元素作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素挨次摆列在后来的第一行和第一列．表 1重要性标度含义表重要性标度含义1表示两个元素对比，拥有同样重要性3表示两个元素对比，前者比后者稍重要5表示两个元素对比，前者比后者显然重要7表示两个元素对比，前者比后者激烈重要9表示两个元素对比，前者比后者极端重要2， 4，6，8表示上述判断的中间值若元素 i 与元素 j 的重要性之比为 a ,则元素 j 与ij对应倒数元素 i 的重要性之比为 a=1/aijji第一步 , 要素对目标的判断矩阵可作以下假定:11 3 15 57 51 1计算 A 的特点根 E A 0A1 1 1137 7 7511A 有最大特点根 4.0735, 对应的特点向量为第一求解齐次线性方程( E A) X解得特点向量为：,a归一化 , 得 a对所得的数据进行一致性查验 , 步骤以下 :（1）. 计算一致性指标CI A441414（2）查表确定相应的均匀随机一致性指标RI表 2 均匀随机一致性指标 RI 表矩阵阶数1 2 345 678RI（3）计算一致性比率 RI , 并进行判断C .ICR A当 RI <0.1 时，以为判断矩阵的一致性是能够接受的， RI >0.1 时，以为判断矩阵不切合一致性要求，需要对该判断矩阵进行从头修正．故： A 有比较合理的一致性．第二步 , 备选对象对决议准则的判断矩阵是花费对决议准则的判断矩阵可作以下假定 :1 1 237321595B1 1 3 1 51541 7 1 9 1 511 31 3 1 5 1 431B1有最大特点根和对应特点向量1 5.2828 ,b1归一化 , 得 b1健康对决议准则的判断矩阵可作以下假定:1 1 5 1 211 351795B22 1 7131 21 3 1 9 1 311 55 1 5251B2有最大特点根和对应特点向量2 5.2182 ,b2归一化 , 得 b2心理对决议准则的判断矩阵可作以下假定131 2311 311 211 3B3221321 311 311 2131 221B3有最大特点根和对应特点向量5.0032 ,b3归一化 , 得 b33发展对决议准则的判断矩阵可作以下假定 :135751 31242B4 1 5 1 21211 7 1 4 1 21 1 21 5 1 2121B4有最大特点根和对应特点向量4 5.0246 ,b4归一化 , 得 b4所以，令B (b1 , b2 , b3 , b4 )于是对象对目标的排序：w Ba模型剖析：摆列的一致性查验：CI 1 ( x ) CI 2 ( x ) CI 3 ( x ) CI4( x )令：155RI 1 5142550.05455RI 2 ( x )5143550.0008RI3 ( x )5144550.00615RI 4 ( x )514CI ( x)(CI 1 , CI 2 , CI 3 ,CI 4 )0.00615) CI Z (x)CI ( x) ? a0.00615)RI Z (x)RI ( x) ? a 1.12,1.12, 1.12,CR( x )CI Z ( x ) RI Z ( x )所以，有合理的一致性．T所以，即：花费依据学习：饮食：穿着：通信：娱乐应为自己花费模型联合自己的状况，我的月总支出，学习支出，饮食支出：穿着支出：通信支出：娱乐支出分别是： 600 ,80 ：350：50： 80 ：40，即比率是 0.1333; 0.5833; 0.0833; 4模型的优弊端本文给出了大学生花费问题的模型，即层次剖析模型．此模型因为是关系到个人的决议问题所以多少带有个人的主观意识，如文章中的成对照较矩阵很大成分上就是作者自己的建议，可是它经过了一致性查验以及切合此刻社会的惯例，所以此模型仍是可行的．6参照文件[1]刘来福 . 数学模型与数学建模 . 北京 : 北京师范大学第一版社 , 1997[2]李海涛 .MATLAB 程序设计教程 .高等教育出版社[3]袁震东等 .数学建模简洁教程 [M] ．哈尔滨：华东师范大学第一版社， 2001[4]姜启源等．数学模型 (第三版 ) [M] ．北京：高等教育第一版社， 2003[5]杨启帆等．数学建模 [M] ．北京：浙江大学第一版社，1999[6]梁国业等．数学建模 [M] ．北京：冶金工业第一版社， 2004[7]王兵团．数学建模基础 [M] ．北京：清华大学第一版社， 2004 ．[8]甘应爱．高校毕业生就业手册 [M] ．北京：中山大学大学第一版社， 2005[9]武小莉 .增强盛学生正确花费观的培育 .山西高等学校第 15 卷第 12 期 20037附录检盘问卷大学生花费检盘问卷１．您的家庭人均月收入为（）A．400 以下B．400—800C．800-1200D．1200-1600 E．1600以上2．您的月花费额大体为多少（）以下E. 1000以上3．您每个月由家庭供应的收入是（）以下E. 800以上4．您每个月做家教等兼职所获得的收入是（）以下E. 400 以上5．您每个月均匀的特困生补贴的收入是（）以下E. 200 以上6．您每学期学习方面的花销（包含文具、书本、复印、培训班）（）A.100 以下以上7．您每个月饮食方面支出（包含零食饮料）大体为多少（）A.250 以下以上8.您花在衣饰方面均匀每个月的花费是（）A.50 以下以上9.您每个月用于娱乐方面（看电影, 购买游戏光盘 ,CD 等）的支出（）A. 基本不花销B. 50以下以上10.您拥有手机吗？假如有，每个月话费支出为多少？假如没有，请回答下一题．A． 50 以下B．50-100C．100-150 D．150-200E．200以上11.您每个月用于通信方面的支出为多少（仅限于使用电话卡的状况）（）A.20 以下以上12.您花销的资本主要来自（）A. 勤工俭学B.在外做家教C.给公司打工D. 主要从家里拿钱E.其余13. 您感觉您此刻每个月花费状况如何（A. 高得惨不忍睹B.偏高C.）刚恰好D.偏低E.低得乱七八糟注：本问卷共发放 60 份，回收有效问卷52 份．发放以我们四周的同学为主，基本上做到了随机发放．数据的统计表3有关数据统计表（单位：元）人均月总家庭家教补贴学习食品穿着通信娱乐收入支出供应30025025080100202002055 3002502001007050200301010 3003003001007060250302020 3003002001007040200202020 3503002501007050200202010 400300250100100100250503050 4003003000050200202010 4003503001007070200302525 40040040010010050250503020 40040040007050250503020 450450400507060250505040 5003504001805050200503020 5005005000050300505050 55050030010010080300504030 6003704001507055230402030 60040060007055250502530 6504504500050250505050 70045050030010070260553530 7004504501007070300302030 7005005000050300505050 7005005000050300505050 7505005000080300504030 7505005000080300604020 80045050012012080250702030 80045050010005025050505080050060020010050300604050 80070060015050100500808050 9005005002008075270603560 9005005000040300804040 10005006000060300506030 1000550600100085300504570 1000600700080503506040100 10006507001500603507020150 110065060015050603507020150 11007008001200903701152585 1100750800008038015040100 120070070015005535014050105 12007008002001007038012030100 13008009008004540018055120 140060080005040350805575 15006006000080300203020 15006006000060400604040 16006006000080400505020 1600750800100707040012040120 17005506000070350503050 180070070000804001006060 20005007000050250606030 200060040000100350505050 2100600600080350507050 2100700700001004001005050 22005005000050300505050 250070070000100300100100100回归剖析编程clearx=[250 80100;250100 100; 40018050;40015070;6000 70; 500300100;500120 120;600 200100;60015050;500 20080;6001000; 700080;700 1500;600 15050;600200100;800 1200;800 0 0; 7001500;800300100;800100 100;600100 100;700 1000;900 0 50;90080 0;800 0 50;900 2000; 1000100 0;1000080;1200 0100;1100150 0;12002000;900 15070;1100100 70;1200 1800;900 1000; 1200070;15000 0;800 180 0;110000;1000 2000;400 10050;1200200 0;1100 1500;1300200 0;900180 0;15000 0;1600 00; 1500300 0;1500 100 0;1500 1800; 1500 200 0;1800 100 0;];x1=[x,ones(52,1)];y=[250 300 350 370 400 450 450500700 500 550 600 650650700700 750 700 700 750500650700 800 600 850 900700900950 1000 750 900 12008001100 1300 700 900 1100 60011009501500100012001100 15001200 1400 1500 1600];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x1,0.01)bstats。

概率统计课程中的数学模型举例摘要: 结合概率统计课程的教学实践，举例说明如何建立概率统计课程中的某些分布的数学模型，以此激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，从而提高概率统计课堂教学质量。

关键词: 概率统计; 数学建模; 教学方法中图分类号: G642.0 文献标识码: A 文章编号:1.引言数学建模是借助数学知识和方法把实际问题转变为数学问题，来了解实际问题的主要规律，以达到解决实际问题的目的。

概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的一门数学学科，其思想和方法广泛应用于社会生产实践、科技实验及金融经济、化学工程、物理等各个学科领域中。

文献[1-3]表明: 逐步将数学建模的思想和方法渗透和融入到概率论统计的课程教学是必要的，也是切实可行的。

本文作者结合近几年指导学生参加全国大学生数学建模竞赛的经验体会，以及自己的教学实践，来谈谈如何在概率统计课程的教学过程中建立某些概率以及分布的数学模型，以此激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，从而提高课堂教学质量。

2.还原教材的某些概率模型或分布模型的原型现行高校本科的《概率论与数理统计》[4]教材都涉及到很多概率和分布模型，但是这些模型都已经都被高度抽象和概括，失去了具体的来源背景，由此导致学生在学习时只能机械地接受、掌握这些模型，而不会应用这些具体模型去解决现实生活中遇见的实际问题。

在课程教学的备课阶段应还原这些模型的具体背景，引导学生采用数学建模的方法学习这些模型，有助于提高学生数学建模和解决实际问题的能力。

案例1：学习正态分布时，教材直接给出了正态分布的概率密度和分布函数，但这两个函数对非数学专业的学生来说不是很熟悉，甚至有点生疏。

为帮助学生便于接受这个分布模型，可以整理几个学期的期末考试的成绩分布图表，这些分布图表大部分都成正态分布。

这不仅有助于学生在学习数理统计时接受正态分布模型，更能够让学生认识到他们所学的知识来源于实际生活。

然后引导学生采用数学建模的方法学习这个分布模型。

摘要本文以经济学中的消费函数为基础，综合运用逐步回归，层次分析法建立数学模型，利用统计数据，对成都市城乡居民消费差异的问题进行了分析，并根据时间序列分析等预测方法，作出了合理地预测，给出了缩小城乡消费差异的具体方案。

问题一要求我们建立反映成都市城乡居民消费行为模型。

消费行为受收入水平、价格水平等多种因素的影响。

而凯恩斯的理论认为，在影响消费的诸多因素中，收入是消费的最重要的因素，因此我们建立了消费与收入的关系模型。

为反映消费观念，政府政策等不可量因素变化对消费的影响，我们把消费函数的参数表示成随年份变化的量，从而构建了随时间变化的模型，用MATLAB 拟合得出城市，农村消费函数分别为0.73410.0039t t t Y X X T =-，0.7630-0.0088t t t Y X X T =，边际消费倾向分别0.73410.0039T -，0.76300.0088T -。

问题二要求我们找出影响成都市城乡居民消费差异的主要因素或指标。

为此我们建立了逐步回归模型，结合实际情况，我们挑选了16项潜在的因素，运用MATLAB 拟合出城镇和农村的消费支出之差与各因素的关系函数，最终留下的五个主要因素，分别为：地区人均生产总值、其他经济单位在岗职工工资、每年新增固定资产、非农业人口占总人口的比例、存入银行及储金会款。

再对这五个因素进行分析，总结出其分别属于收入差距、消费环境、消费观念这三个方面。

问题三要求我们分析在近几年的时间内成都市城乡居民消费差异是扩大、缩小还是维持不变。

我们认为真正衡量消费高低不应当只是消费支出这个指标，必须要把消费结构是否合理这个因素纳入考虑范围之内。

为此我们建立了消费评价指标函数311tij ij i j D m b ===∑∑，其中ij b 为各种消费指标的权重，体现其对消费的贡献大小，ij b 值的通过层次分析法确定，ij m 为相应指标的消费值。

以此评价指标作来衡量城乡居民消费差异的变化情况。

§ 7消费分布规律的分类为研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海 5省份在某年城镇居民生活消费的分布规律，需要用调查资料对这5个省分类•数据见下表：指标 省份、\ X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 辽宁 7.90 39.77 8.49 12.94 19.27 11.05 2.04 13.29 浙江 7.68 50.37 11.35 13.30 19.25 14.59 2.75 14.87 河南 9.42 27.93 8.20 8.14 16.17 9.42 1.55 9.76 甘肃9.1627.98 9.01 9.3215.999.10 1.82 11.35 青海 10.0628.6410.5210.05 16.18 8.391.9610.81其中，X 1 :人均粮食支出；X 2： 人均副食品支出；X 3:人均烟、酒、茶支出；X 4：人均其它副食品支出；X 5：人均衣着商品支出； X 6 : 人均日用品支出；X 7：人均燃料支出；X 8： 人均非商品支出.在科学研究、生产实践、社会生活中，经常会遇到分类的问题 •例如，在考古学中，要将某些 古生物化石进行科学的分类；在生物学中，要根据各生物体的综合特征进行分类；在经济学中， 要考虑哪些经济指标反映的是同一种经济特征；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指 标而将其分为一等品，二等品等等•这些问题可以用聚类分析方法来解决•聚类分析的研究内容包括两个方面，一是对样品进行分类，称为 Q 型聚类法，使用的统计量是样品间的距离；二是对变量进行分类，称为R 型聚类法，使用的统计量是 变量间的相似系数.设共有n 个样品，每个样品 人有p 个变量，它们的观测值可以表示为xi-(x ii, x 2i, ,xpi), i =12,n、样品间的距离、变量间的相似系数相似系数越接近i ,说明变量间的关联程度越好.常用的变量间的相似系数有1、夹角余弦F 面介绍在聚类分析中常用的几种定义样品x i 与样品X j 间的距离.1、Mi nkowski 距离d(X i ,X j )=[》X ki — Xq]km 2、绝对值距离pd(X i ,X j )=送 X ki -Xqk=13、欧氏距离pd(X i ,X j )珂' X kikmX kjn■-(xik - X (i))(Xjk - X(j ))k4n(Xik - X(i ))八(Xjk - X (j))kA值得注意的是，当指标的测量值相差较大时，直接使用以上各式计算距离或相似系数常使数 值较小的变量失去作用， 为此需应先对数据进行标准化， 然后再用标准化的数据来计算 •标准化的具体方法是：*Xki _ X kXki； i-1,2,, n,S k三、类与类之间的距离用G p 和G q 分别代表两个类，它们所包含的样品个数分别记为 n p 和n q ,类G p 和G q 之间的 距离记为D(G p , G q ) •下面给出三种最常用的定义方法 1 最短距离D(G p ,G q ) =min (d j X ^ G p ,X^ G q )类与类之间的最短距离有如下的递推公式，设G r 为由G p 和G q 合并所得，则 G r 与其它类G k (k = p,q)的最短距离为D(G r,Gk)二 mi n {D(G p ,G k ),D(G q ,G k )}2、 最长距离D(G p ,G q ) =max (d j x^ G p ,x^ G q )类与类之间的最长距离有如下的递推公式，设G r 为由G p 和G q 合并所得，则 G r 与其它类G k (k = p,q)的最长距离为D(G r ,G k )二 max{D(G p ,G k ),D(G q ,G k )}3、 类平均距离D(G p ,G q )'' d j npnqXHp X j士q2、相关系数r j、X jk X jkk 4n' (X ik )2 k 4n八(X jk )2k 4rij72, , p其中X ki ,Sk 二「〔I"" k =1,2; , p类与类之间的类平均距离有如下的递推公式，设G r 为由G p 和G q 合并所得，则G r 与其它类G k （k = p,q ）的类平均距离 n p叫匕D(G p ,GQ — D(G q ,G k )，其中 n r n r量间的相似系数r ij 代替就行了 .为简单起见以下均记成 d j .系统聚类法 是目前最流行的方法.有了样品间的距离（或变量间的相似系数）以及类与类之间的距离后，便可进行系统聚类， 基本步骤如下：1、n 个样品（或p 个变量）一开始看作 门类（p 类），计算两两之间的距离（或相似系数） ，构成一个对称矩阵D o=（d jj ），此时显然有D （G p ,G q ） = d pq ；n ■■ .n2、选择D o 中对角线元素以外的下三角部分中的最小元素（相似系数矩阵则选择对角线元素以外 的最大者），设其为D （G p ,G q ），则将G p 和G q 合并为一个新类G r 在 D 。