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19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。
19.2.3 一次函数与方程、不等式01基础题学问点1一次函数与一元一次方程一元一次方程kx＋b＝0(k≠0，k，b为常数)的解即为函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标；反之，函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标即为方程kx＋b＝0的解．1．若直线y＝kx＋b的图象经过点(1，3)，则方程kx＋b＝3的解是x＝(A)A．1 B．2 C．3 D．42．若方程ax＋b＝0的解是x＝－2，则图中肯定不是直线y＝ax＋b的是(B)A B C D3．(2024·邵阳)如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)．结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是x＝2．学问点2一次函数与一元一次不等式一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集，从“数”的角度看，就是一次函数y＝kx＋b的函数值大于0(或小于0)时相应的自变量x的取值范围；从“形”的角度看，就是一次函数的图象在x轴上方(或下方)时，相应的自变量x的取值范围．4．(2024·遵义)如图，直线y ＝kx ＋3经过点(2，0)，则关于x 的不等式kx ＋3>0的解集是(B )A ．x >2B ．x <2C ．x ≥2D ．x ≤25．一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则不等式kx ＋b ＜0的解集为x ＜1．第5题图 第6题图6．如图，函数y ＝ax －1的图象过点(1，2)，则不等式ax －1＞2的解集是x ＞1．学问点3 一次函数与二元一次方程(组)一般地，每个含有未知数x 和y 的二元一次方程，都可以改写成y ＝kx ＋b(k ，b 是常数且k ≠0)的形式，所以它都对应一个一次函数，也就是一条直线．这条直线上每个点的坐标(x ，y )都是这个二元一次方程的解．方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝mx ＋n 的解是函数y ＝ax ＋b 与函数y ＝mx＋n 的图象的交点坐标，画出这两个一次函数的图象，找出它们的交点，即可得到相应的二元一次方程组的解．7．如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 1的图象l 1与y ＝k 2x ＋b 2的图象l 2相交于点P ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2的解是(A )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝3B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－38．如图，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P(1，b)．(1)求b 的值；(2)不解关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝mx ＋n ，请你干脆写出它的解；(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．解：(1)b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)直线y ＝nx ＋m 也经过点P.理由： ∵点P (1，2)在直线y ＝mx ＋n 上， ∴m ＋n ＝2，即2＝n ×1＋m.∴这说明直线y＝nx＋m也经过点P.02中档题9．如图是直线y＝x－5的图象，点P(2，m)在该直线的下方，则m的取值范围是(D)A．m＞－3B．m＞－1C．m＞0D．m＜－310．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列推断中不正确的是(A) A．方程kx＋b＝0的解是x＝0B．k>0，b>0C．当x<－3时，y<0D．y随x的增大而增大第10题图第12题图11．(2024·遵义期末)函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3)，则依据图象可得关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，ax －y ＋4＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝3．12．(2024·白银)如图，一次函数y ＝－x －2与y ＝2x ＋m 的图象相交于点P(n ，－4)，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m<－x －2，－x －2<0的解集为－2＜x ＜2．13．在同一平面直角坐标系内画一次函数y 1＝－x ＋4和y 2＝2x －5的图象，依据图象求：(1)方程－x ＋4＝2x －5的解；(2)当x 取何值时，y 1＞y 2？当x 取何值时，y 1＞0且y 2＜0?解：如图．(1)由图可知，一次函数y 1＝－x ＋4和y 2＝2x －5的图象相交于点(3，1)， ∴方程－x ＋4＝2x －5的解为x ＝3. (2)当x ＜3时，y 1＞y 2； 当x ＜52时，y 1＞0且y 2＜0.14．如图，已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(5，0)，B(1，4)．(1)求直线AB 的解析式；(2)若直线y ＝2x －4与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标； (3)依据图象，写出关于x 的不等式2x －4＞kx ＋b 的解集．解：(1)∵直线y ＝kx ＋b 经过点A (5，0)，B (1，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5. ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. ∴C (3，2)．(3)依据图象可得x ＞3. 03 综合题15．甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l 1和l 2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m )与甲跑步的时间x(s )之间的函数关系，其中l 1的关系式为y 1＝8x ，问甲追上乙用了多长时间？解：设y 2＝kx ＋b (k ≠0)，依据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝b ，22＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝10. ∴y 2＝6x ＋10.当y 1＝y 2时，8x ＝6x ＋10，解得x ＝5. ∴甲追上乙用了5 s.。
人教版八下数学学霸笔记整理19.2.3 一次函数与方程、不等式1.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.2.因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0 (a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于当某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.3.一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这样直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.4.由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.1.解关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)可以转化为:已知函数y=kx+b的函数值为0,求相应的自变量x的值.从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的横坐标.2.用图象法求解问题,作图要准确.1.规律方法:(1)根据图象求关于x的不等式kx+b>mx+n的解的方法:①求当自变量x取何值时,直线y=(k-m)x+b-n上的点在x轴的上方;②求当x取何值时,直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方.特别说明:不等号为“<”时,道理类似.(2)用图象法解二元一次方程组的一般步骤:①先把方程组中的两个二元一次方程转化成一次函数的形式;②建立平面直角坐标系,画出这两个一次函数的图象;③写出这两条直线的交点的横、纵坐标,从而得出二元一次方程组的近似解(横坐标为x,纵坐标为y).2.解题技巧:(1)在直角坐标系中,以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点的集合组成的图象就是一次函数y=kx+b 的图象.(2)由于两条直线的交点坐标是由这两条直线的解析式所组成的二元一次方程组的解,所以求两条直线的交点坐标时,通常把两个一次函数的解析式联立成二元一次方程组,通过解方程组求得.[典例精析]【例1】 如图,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P ,根据图象可得方程组{x -y =2,2x +y =1的解是( )A.{x =1,y =1B.{x =-1,y =-1C.{x =1,y =-1D.{x =-1,y =1解析:由y=x-2,得x-y=2;由y=-2x+1,得2x+y=1.由图象可知:函数y=x-2和y=-2x+1的图象的交点P 的坐标是(1,-1).∴方程组{x -y =2,2x +y =1的解是{x =1,y =-1.故选C . 答案:C 解题总结:二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解,即两条直线的交点坐标.【例2】 如图,直线y=kx+b 经过点A (-1,-2)和点B (-2,0),直线y=2x 经过点A ,则2x<kx+b<0的解集为( )A.x<-2B.-2<x<-1C.-2<x<0D.-1<x<0解析:2x<kx+b<0体现的几何意义就是直线y=kx+b上,位于直线y=2x上方,x轴下方的那部分点,显然,这些点在点A与点B之间.故选B.答案:B解题总结:解决此类问题关键是仔细观察图形,注意几个关键点(两直线的交点,直线与坐标轴的交点、原点等),数形结合求解即可.。
人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式说课稿一. 教材分析《一次函数与方程、不等式》是人教版数学八年级下册第19章第2节的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了函数、方程、不等式的基本概念和性质的基础上进行讲解的。
通过这部分的学习，使学生能够掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的解法与应用。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程、不等式的概念和性质有一定的了解。
但是，对于一次函数与方程、不等式的关系，以及如何运用一次函数解决实际问题，还需要进一步的学习和引导。
因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，通过引导学生自主探索和合作交流，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，提高学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自尊心，使学生感受到数学的实际应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与方程、不等式的关系，一次函数解决实际问题的方法。
2.教学难点：一次函数与方程、不等式的关系的理解，一次函数解决实际问题的方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
2.教学手段：使用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对一次函数与方程、不等式的关系的思考，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：通过讲解一次函数与方程、不等式的关系，引导学生理解一次函数解决实际问题的方法。
