对数函数知识点及典型例题讲解

对数函数及其性质知识点总结与例题讲解本节知识点（1）对数函数的概念; （2）对数函数的图象及其性质; （3）与对数函数有关的函数的定义域; （4）与对数函数有关的函数的值域;（5）与对数函数有关的函数的单调性及其应用; （6）与对数函数有关的函数的奇偶性; （7）反函数.知识点一 对数函数的概念一般地,函数x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是()+∞,0. 对数函数概念的理解 （1）形如x y a log =;（2）底数a 满足0>a 且1≠a ; （3）真数是x ,而不是含x 的表达式; （4）函数的定义域为()+∞,0. 两种特殊的对数函数特别地,以10为底的对数函数x y lg =叫做常用对数函数;以无理数e 为底的对数函数x y ln =叫做自然对数函数.例1. 给出下列函数:①232log x y =; ②()1log 3-=x y ; ③()x y x 1log +=; ④x y πlog =.其中是对数函数的有【 】（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个解:对于①②,因为对数函数的真数只能是自变量x ,不能是含自变量x 的表达式,所以它们都不是对数函数,而是对数函数型函数;对于③,因为对数函数的底数是一个大于0且不等于1的常数,包含自变量,所以它不是对数函数.对于④,符合对数函数的定义. 故对数函数只有一个,选择【 A 】.例2. 下列函数中,是对数函数的是【 】（A ）()x y -=21log （B ）()x y -=1log 24（C ）x y ln = （D ）()x y a a +=2log解:选择【 C 】.知识点二 对数函数的图象及其性质一般地,对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象和性质如下表所示:对数函数图象的三个关键点对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象经过三个关键点:()0,1,()1,a 和⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a .利用对数函数图象的三个关键点,可以快速地作出对数函数图象的简图.特别提醒指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫⎝⎛-a 1,1.根据这三个关键点,可以快速地作出指数函数图象的简图.不难得出:在同一平面直角坐标系中,对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）图象的三个关键点与指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）图象的三个关键点关于直线x y =对称. 底数对对数函数图象的影响 （1）对数函数的对称性结论 函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象与函数x y a1log =（0>a 且1≠a ）的图象关于x 轴对称.事实上,x x x y a a alog log log 111-===-,因为函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称,所以函数x y a log =与函数x y a1log =的图象关于x 轴对称.观察在同一平面直角坐标系在,分别画出函数x y 2log =,x y 3log =,x y 21log =和x y 31log =的图象,如图所示,体会对数函数图象的对称性.= log 13x12x3x2x（2）底数a 决定对数函数的单调性 当1>a 时,对数函数的图象从左到右是上升的,函数在()∞+0上为增函数;当10<<a 时,对数函数的图象从左到右是下降的,函数在()∞+0上为减函数.（3）底数a 的大小决定对数函数图象相对位置的高低不论是1>a ,还是10<<a ,在第一象限内,取相同的函数值时,图象所对应的对数函数的底数从左到右逐渐变大.（1）上下比较 在直线1=x 的右侧,a 越大,图象越靠近x 轴;当10<<a 时,a 越小,图象越靠近x 轴.（2）左右比较 比较图象与直线1=y 的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越大. 注意 若比较图象与直线1-=y 的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小. 说明 在平面直角坐标系中,对数函数x y a log =的图象与直线1=y 的交点为()1,a ,即交点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就越大;对数函数x y a log =与直线1-=y 的交点为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ,故在第四象限内,交点的横坐标越大（即a1越大）,对数函数的底数反而越小. 关于对数函数函数值正负的判断根据对数函数的图象,当1>a ,1>x ,或10<<a ,10<<x 时,函数值0>y ,简记为同区间为正;当1>a ,10<<x ,或10<<a ,1>x 时,函数值0<y ,简记为异区间为负.即同区间为正,异区间为负.特别地,当1=x 时,0=y ,即对数函数的图象恒过点()0,1. 例3. 函数x y 2log =的定义域是[)64,1,则函数的值域是【 】（A ）R （B ）[)+∞,0 （C ）[)6,0 （D ）[)64,0解:∵12>=a ,∴函数x y 2log =在[)64,1上为增函数∴1log 2≤64log log 22<x ,∴0≤6log 2<x ,即0≤6<y . ∴函数的值域是[)6,0.选择【 C 】.例4. 已知()()1log -=x x f a （0>a 且1≠a ）,则函数()x f 的图象必过定点______. 解:∵对数函数的图象恒过定点()0,1∴令11=-x ,即2=x ,则()01log ==a x f∴函数()x f 的图象必过定点()0,2.例5. 函数()()11log +-=x x f a （0>a 且1≠a ）的图象恒过点【 】（A ）()1,1 （B ）()2,1 （C ）()1,2 （D ）()2,2解:令11=-x ,则2=x ,111log =+=a y∴函数()x f 的图象恒过点()1,2. 选择【 C 】.例6. （1）函数()()432log --=x x f a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点【 】（A ）()0,1 （B ）()4,1- （C ）()0,2 （D ）()4,2- （2）已知函数()21log ++=x y a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点A ,若点A 也在函数()b x f x +=2的图象上,则=b 【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解:（1）令132=-x ,则2=x ,4-=y∴函数()x f 的图象恒过定点()4,2-. 选择【 D 】.（2）令11=+x ,则0=x ,2=y ,∴()2,0A .把()2,0A 代入()b x f x +=2得:220=+b ,解之得:1=b . 选择【 B 】.例7. 函数()22log 1+++=+x a ax y （0>a 且1≠a ）的图象必经过的点是【 】（A ）()3,0 （B ）()2,2 （C ）()2,1- （D ）()3,1-解:令12=+x ,则1-=x ,321021log 0=++=++=a y a .∴该函数的图象必经过点()3,1-. 选择【 D 】.例8. 已知0>a 且1≠a ,0>b 且1≠b ,如果无论b a ,在给定的范围内取任何值时,函数()2log -+=x x y a 与函数2+=-c x b y 的图象总经过同一个定点,则实数c 的值为__________.解:令12=-x ,则3=x ,31log 3=+=a y∴定点的坐标为()3,3∴函数2+=-c x b y 的图象恒过点()3,3令03=-=-c c x ,则32,30=+==b y c ,符合题意. ∴实数c 的值是3.例9. 已知函数()()xx f -+=21log 2,则函数的值域是【 】（A ）[)2,0 （B ）()+∞,0 （C ）()2,0 （D ）[)+∞,0解:设()xx g -+=21,∵02>-x,∴()1>x g ,即()()+∞∈,1x g .∴()01log 21log 22=>+-x ,即()0>x f . ∴该函数的值域是()+∞,0. 选择【 B 】.例10. 不等式()()x x ->+3log 12log 2121的解集是__________.分析:对数函数在其定义域内为单调函数,其单调性与底数a 有关.本题中121<=a ,函数在()+∞,0内为减函数,据此可列出关于两个真数的不等式. 解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧-<+>->+xx x x 31203012,解之得:3221<<-x .∴该不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-32,21.例11. 若函数()()a x ax x f +-=2lg 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2121,分析:本题考查二次函数的函数值恒大于0的问题,注意分类讨论.函数()()a x ax x f +-=2lg 的定义域为R 的意思是不论x 为任何实数,总有()02>+-=a x ax x g 成立,属于R 上的恒成立问题.解:设()a x ax x g +-=2,由题意可知,()0>x g 在R 上恒成立.当0=a 时,()x x g -=,不符合题意,舍去;当0≠a 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆>041022a a ,解之得:21>a . ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21.选择【 C 】.例12. 若函数()1log 2+-=ax x y a （0>a 且1≠a ）有最小值,则实数a 的取值范围是__________.解:设()12+-=ax x x g ,当1>a 时,()min min log x g y a =,则()0min >x g∴042<-=∆a ,解之得:22<<-a . ∴21<<a ;当10<<a 时,()max min log x g y a =,由于()max x g 不存在,所以此种情况不符合题意. 综上所述,实数a 的取值范围是()2,1.例13. 设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=x a x f a 1log ,其中10<<a . （1）证明:()x f 是()+∞,a 上的减函数; （2）若()1>x f ,求x 的取值范围.证明:（1）任取()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,则有()()()()a x x a x x x a x a x a x a x f x f a a a a --=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2112212121log 11log 1log 1log ∵()()()()()()()a x x x x a a x x a x x a x x a x x a x x --=----=---212121*********,()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,且10<<a∴,021<-x x ()021>-a x x∴()()02121<--a x x x x a ,即()()12112<--a x x a x x ∴()()01log log 2112=>--a aa x x a x x ,∴()()()()2121,0x f x f x f x f >>-.∴()x f 是()+∞,a 上的减函数; 证法二:设()xax g -=1,任取()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,则有 ()()()21211221211111xx x x a x x a x a x a x g x g -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-. ∵()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,且10<<a ∴()0,02121<->x x a x x ∴()()()()2121,0x g x g x g x g >>- ∴()x g 在()+∞,a 上是增函数 ∵10<<a∴()()x g x a x f a a log 1log =⎪⎭⎫⎝⎛-=是()+∞,a 上的减函数;解:（2）∵()1>x f ,∴a x a a a log 1log >⎪⎭⎫⎝⎛-∵10<<a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-axa x a 101,解之得:a a x a -<<1.∴x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a 1,.指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的性质的比较如下表所示:知识点三 与对数函数有关的函数的定义域 （1）对数函数x y a log =的定义域为()+∞,0.（2）形如()()x f y x g log =的函数,其定义域由()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠>>100x g x g x f 确定.（3）形如()x f y a log =的函数的定义域,必须保证每一部分都有意义. 例14. 函数()()1lg 1++-=x x x f 的定义域是__________.解:由题意可知:⎩⎨⎧>+≥-0101x x ,解之得:x <-1≤1.∴该函数的定义域为(]1,1-.例15. 函数()1log 232+--=x xy 的定义域是【 】（A ）()3,1- （B ）(]3,1- （C ）()3,∞- （D ）()+∞-,1解:由题意可知:()⎪⎩⎪⎨⎧≠+->+≥-01log 201032x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≠->≤313x x x ,∴31<<-x .∴该函数的定义域为()3,1-. 选择【 A 】.例15. 函数()()x x x f -+-=2lg 11的定义域是【 】（A ）()3,1 （B ）()1,0 （C ）[)2,1 （D ）()2,1解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-120201x x x ,解之得:21<<x .∴该函数的定义域为()2,1. 选择【 D 】.例16. 若函数()1log 2+-=ax x y a 的定义域为R ,则a 的取值范围是【 】（A ）10<<a （B ）20<<a 且1≠a （C ）21<<a （D ）a ≥2解:由题意可知:0>a ,且1≠a .∵函数()1log 2+-=ax x y a 的定义域为R ∴012>+-ax x 在R 上恒成立 ∴042<-=∆a ,解之得:22<<-a . ∴20<<a ,且1≠a . 选择【 B 】.例17. 函数()()1log 14212++--=x x x x f 的定义域是____________.解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥-0101042x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧->≠≤≤-1122x x x ,∴x <-1≤2,且1≠x .∴该函数的定义域是{}1,21≠≤<-x x x 且.例18. 求下列函数的定义域:（1）()()312lg -+-=x x x f ; （2）()()x x 416log 1-+.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-0302x x ,解之得:2>x 且3≠x .∴该函数的定义域为()()+∞,33,2 ;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ,解之得:41<<-x ,且0≠x .∴该函数的定义域为()()4,00,1 -.例19. 函数()()46lg -+-=x x x f 的定义域为【 】（A ）()6,∞- （B ）[)6,4 （C ）[)+∞,4 （D ）()6,4解:由题意可知:⎩⎨⎧≥->-0406x x ,解之得:4≤6<x .∴该函数的定义域为[)6,4. 选择【 B 】.例20. （1）已知函数()()1lg +=x f y 的定义域为(]99,0,则函数()()2log 2+=x f y 的定义域为__________.（2）已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=a x a ax x f 411log 22的定义域为R ,求a 的取值范围.解:（1）∵(]99,0∈x ,∴(]100,11∈+x ,∴(]2,0lg ∈x .∴函数()x f 的定义域为(]2,0.∴()2log 02+<x ≤2,∴21+<x ≤4,解之得:x <-1≤2. ∴函数()()2log 2+=x f y 的定义域为(]2,1-.（2）∵函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=a x a ax x f 411log 22的定义域为R .∴()04112>+-+a x a ax 在R 上恒成立. 当0=a 时,0>-x 不恒成立;当0≠a 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆>01022a a a ,解之得:21>a . 综上所述,a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21.例21. 已知函数()x x f 2log =的值域是[]4,0,则函数()()()22xf x f x +=ϕ的定义域为【 】（A ）[]4,1 （B ）[]8,1 （C ）[]16,1 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,21解:∵函数()x x f 2log =的值域是[]4,0∴0≤x 2log ≤4,∴1≤x ≤16. ∴函数()x f 的定义域为[]16,1. ∵函数()()()22x f x f x +=ϕ∴⎩⎨⎧≤≤≤≤16116212x x ,解之得:1≤x ≤4. ∴函数()x ϕ的定义域为[]4,1. 选择【 A 】.例22. 求函数()31lg 1-+=x y 的定义域.解:由题意可知:⎩⎨⎧≠+>+310101x x ,解之得:1->x 且999≠x . ∴该函数的定义域为()()+∞-,999999,1 .例23. 已知函数()x f 的定义域为[]1,0,求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21的定义域.解:∵函数()x f 的定义域为[]1,0∴0≤()x -3log 21≤1,∴1log 21≤()x -3log 21≤21log 21. ∴1≥x -3≥21,解之得:2≤x ≤25. ∴函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2.例24. 函数()365lg 42-+-+-=x x x x x f 的定义域为【 】（A ）()3,2 （B ）(]4,2 （C ）()(]4,33,2 （D ）()(]6,33,1 -解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≥-0365042x x x x ,即⎩⎨⎧≠>≤≤-3,244x x x 且,∴x <2≤4,且3≠x .∴该函数的定义域为()(]4,33,2 .选择【 C 】.例25. 求下列函数的定义域:（1）()1log 12-=x y ; （2）()3lg -=x y ;（3）()x y 416log 2-=; （4）()()x y x -=-3log 1.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-1101x x ,解之得:1>x 且2≠x .∴该函数的定义域为()()+∞,22,1 ;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≥->-1303x x ,解之得:x ≥4.∴该函数的定义域为[)+∞,4;（3）由题意可知:0416>-x ,解之得:2<x . ∴该函数的定义域为()2,∞-;（4）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠->->-110103x x x ,解之得:31<<x ,且2≠x .∴该函数的定义域为()()3,22,1 .例26. 设函数24x y -=的定义域为A ,函数()x y -=1ln 的定义域为B ,则=B A 【 】（A ）()2,1 （B ）(]2,1 （C ）()1,2- （D ）[)1,2-解:由题意可知:{}{}22042≤≤-=≥-=x x x x A ,{}{}101<=>-=x x x x B ∴{}[)1,212-=<≤-=x x B A . 选择【 D 】.例27. 求下列函数的定义域:（1）()()x x x x x f --+=22lg ; （2）()()x x f 21ln 1-=;（3）()()x x f lg 2ln -=; （4）()()12log 121+=x x f .解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>-+≠-0202x x x x ,即⎩⎨⎧<<-<210x x ,∴01<<-x . ∴该函数的定义域为()0,1-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-121021x x ,解之得:21<x 且0≠x .∴该函数的定义域为()⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,00, ;（3）由题意可知:⎩⎨⎧>->0lg 20x x ,解之得:1000<<x .∴该函数的定义域为()100,0;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≠+>+112012x x ,解之得:21->x ,且0≠x .∴该函数的定义域为()+∞⎪⎭⎫⎝⎛-,00,21 .例28. 求下列函数的定义域:（1）()()x x x f -=2ln ; （2）()()1log 122-=x x f ;（3）()()x x x f 35lg lg -+=; （4）()()125ln 1-+-=x e x x f .解:（1）由题意可知:02>-x x ,()01>-x x ,解之得:0<x 或1>x .∴该函数的定义域为()()+∞∞-,10, ;（2）由题意可知:()()⎩⎨⎧>-+>01log 1log 022x x x ,解之得:210<<x 或2>x .∴该函数的定义域为()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,221,0 ;（3）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≥>03510x x x ,解之得:1≤35<x .∴该函数的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,1;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≥->-01125x e x ,解之得:0≤<x 2.∴该函数的定义域为[)2,0.例29. 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=41log 2ax x x f a 的定义域为R ,则()xx a x g -=22的单调递增区间是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, （B ）()1,∞-（C ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 （D ）()+∞,1解:∵函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=41log 2ax x x f a 的定义域为R ∴0412>++ax x 在R 上恒成立,且0>a ,1≠a . ∴012<-=∆a ,解之得:11<<-a . ∴10<<a .∴()x x a x g -=22的单调递增区间即函数81412222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x y 的单调递减区间,为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,,或⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,.选择【 A 】.例30. 已知函数()()1log -=xa a x f （0>a 且1≠a ）.（1）求()x f 的定义域;（2）若10<<a ,判断()x f 的单调性,并证明你的结论.解:（1）由题意可知:1,01>>-xxa a ,∴0a a x >.当1>a 时,解之得:0>x ;当10<<a 时,解之得:0<x .∴当1>a 时,()x f 的定义域为()+∞,0,当10<<a 时,()x f 的定义域为()0,∞-; （2）()x f 在()0,∞-上为增函数,理由如下: 设()1-=x a x g ,任取()0,,21∞-∈x x ,且21x x <,则有()()()()21211121x x x x a a a a x g x g -=---=-∵10<<a ,21x x <∴021>-x x a a ,∴()()()()2121,0x g x g x g x g >>-. ∴()x g 在()0,∞-上为减函数 ∵10<<a∴()x f 在()0,∞-上为增函数.例31. 求下列函数的定义域:（1）()x y -=2lg ; （2）()x y -=2log 21; （3）()3lg 42+-=x x y .解:（1）由题意可知:()⎩⎨⎧≥-≥-02lg 02x x ,即⎩⎨⎧≥-≤122x x ,∴x ≤1.∴该函数的定义域为(]1,∞-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≤->-1202x x ,解之得:1≤2<x .∴该函数的定义域为[)2,1;（3）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥-1303042x x x ,解之得:23-<<-x 或x ≥2.∴该函数的定义域为()[)+∞--,22,3 .知识点四 对数型函数的值域（1）对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的值域利用函数的单调性求解;（2）求形如()x f y a log =的复合函数的值域,先求出()x f 的值域,然后结合对数函数的单调性求出函数()x f y a log =的值域;（3）求形如()x f y a log =的复合函数的值域,其中复合函数()x f y a log =一般是关于x a log 的二次函数,故可以采用换元法求解,注意新元的取值范围.例32. 求函数()1log log 2422--=x x y 的值域.分析:这里要对函数解析式进行一个小小的变形:x x x 22224log log log 2==,变形的依据是对数换底公式的性质:b b a n a n log log =.解:()()1log log 1log log 2222422--=--=x x x x y .函数的定义域为()+∞,0.设∈=x t 2log R ,则4521122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=t t t y .∴该函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45.注意 在求函数的值域时,要先确定函数的定义域. 例33. 求下列函数的值域:（1）()12log 3-=x y ,[]2,1∈x ; （2）()43log 24.0++-=x x y .解:（1）设12-=x t ,则t y 3log =,∵[]2,1∈x ,∴[]3,1∈t .∵函数t y 3log =在[]3,1∈t 上为增函数 ∴13log ,01log 3max 3min ====y y . ∴该函数的值域为[]1,0;（2）由题意可知:0432>++-x x ,即0432<--x x ,解之得:41<<-x .∴该函数的定义域为()4,1-.设42523432+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x t ,则t <0≤425（注意是在函数的定义域()4,1-内）∵函数t y 4.0log =在⎥⎦⎤⎝⎛∈425,0t 内为减函数∴2425log 4.0min -==y ,无最大值. 该函数的值域为[)+∞-,2.例34. 求下列函数的值域:（1）()4log 22+=x y ; （2）()22123log x x y -+=.解:（1）由题意可知,该函数的定义域为R .设42+=x t ,则t y 2log =,[)+∞∈,4t ∴t y 2log =≥24log 2= ∴该函数的值域为[)+∞,2;（2）设()412322+--=-+=x x x t ,则t y 21log =,∵0>t ,∴t <0≤4.∵函数t y 21log =在t <0≤4时为减函数∴t y 21log =≥24log 21-=∴该函数的值域为[)+∞-,2.例35. 求函数5log log 21221+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 在2≤x ≤4时的值域.解:设x t 21log =,则41921522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y . ∵2≤x ≤4,∴4log 21≤x ≤2log 21,即[]1,2--∈t∵函数419212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y 在[]1,2--∈t 上为减函数∴74192112min=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y ,114192122max =+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y .∴该函数的值域为[]11,7.例36. 下列函数中,其定义域和值域分别与函数xy lg 10=的定义域和值域相同的是【 】（A ）x y = （B ）x y lg = （C ）x y 2= （D ）xy 1=解:函数x y x==lg 10,其定义域为()+∞,0,值域为()+∞,0.对于（A ）,函数x y =的定义域为R ,值域为R ; 对于（B ）,函数x y lg =的定义域为()+∞,0,值域为R ; 对于（C ）,函数x y 2=的定义域为R ,值域为()+∞,0; 对于（D ）,函数211-==x xy 的定义域为()+∞,0,值域为()+∞,0.选择【 D 】.例37. 函数()⎩⎨⎧≤-+>+=1,11,ln 22x x a x x a x f 的值域为R ,则实数a 的取值范围是_________. 解:由题意可知,当1>x 时,()a x a x f 2ln 2>+=;当x ≤1时,()x f ≤1+a .∵函数()x f 的定义域为R ∴a 2≤1+a ,解之得:a ≤1. ∴实数a 的取值范围是(]1,∞-.例38. 已知函数()()()x x x f a a -++=3log 1log （0>a 且1>a ）.（1）求函数()x f 的定义域;（2）若函数()x f 的最小值为2-,求实数a 的值.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>->+0301x x ,解之得:31<<-x .∴函数()x f 的定义域为()3,1-;（2）()()()()()()32log 31log 3log 1log 2++-=-+=-++=x x x x x x x f a a a a 设()413222+--=++-=x x x t ,则()t x f y a log ==.∵()3,1-∈x ,∴4max =t当10<<a 时,函数有最小值为4log a ,∴24log -=a ,解之得:21=a （21-=a 舍去）;当1>a 时,函数有最大值为4log a ,无最小值. 综上所述,实数a 的值21. 例39. 函数()()x x x f 2loglog 22⋅=的最小值为__________.分析:这里要用到对数换底公式的性质:b mnb a na m log log =.使用换元法求该函数的最小值,但换元后要注意新元的取值范围.解:()()()()x x x x x x x f 2222222log log log 22log 212loglog +=+⋅=⋅=,函数的定义域为()+∞,0设∈=x t 2log R ,则()412122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==t t t x f y .∴该函数的最小值为()41min min -==x f y .例40. 已知函数()x x f a log =（0>a 且1>a ）在[]4,2上的最大值与最小值的差为1,求a 的值.分析:当对数函数的底数范围不确定时,利用对数函数的单调性时要对底数进行分类讨论.解:当1>a 时,函数()x f 在[]4,2为增函数∴()()()()4log 4,2log 2max min a a f x f f x f ==== ∴12log 2log 4log ==-a a a ,解之得:2=a ; 当10<<a 时,函数()x f 在[]4,2为减函数 ∴()()()()2log 2,4log 4max min a a f x f f x f ====∴121log 4log 2log ==-aa a ,解之得:21=a . 综上所述,2=a 或21=a .例41. 已知函数()()1log ++=x a x f a x在[]1,0上的最大值与最小值之和为a ,则a的值为【 】 （A ）41 （B ）21（C ）2 （D ）4 分析:若指数函数与对数函数的底数相同,则它们在各自定义域上的单调性相同.根据函数单调性的运算性质,可以确定本题中函数()x f 在[]1,0上具有单调性,有鉴于此,在解决本题问题时不用对底数a 进行分类讨论,因为函数()x f 的最大值与最小值在给定闭区间的端点处取得.解:∵函数xa y =与()1log +=x y a 在[]1,0具有相同的单调性∴函数()()1log ++=x a x f a x 在[]1,0为增函数或减函数,具有单调性 ∴函数()x f 的最大值与最小值在[]1,0的端点处取得. ∴()()a a f f a =++=+2log 110,解之得:21=a . 选择【 B 】.例41. 已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,321x x x a x a x f 的值域为R ,那么实数a 的取值范围是__________.解:函数()x f 的值域为函数()x x f ln =（x ≥1）和函数()()a x a x f 321+-=（1<x ）的值域的并集∵当x ≥1时,函数()x x f ln =的值域为[)+∞,0,且函数()x f 的值域为R ,设函数()()a x a x f 321+-=（1<x ）的值域为A∴(]A ⊆∞-0,∴⎩⎨⎧≥+->-0321021a a a ,解之得:1-≤21<a∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1.例42. 已知函数()x x f a log =（10<<a ）在区间[]a a 2,上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为【 】 （A ）41 （B ）22 （C ）42 （D ）21解:∵10<<a∴函数()x x f a log =在[]a a 2,上是减函数∴()()()()12log 2log 2,1log min max +======a a a a a f x f a a f x f ∴()112log 3=+a ,解之得:42=a . 选择【 C 】.例43. 函数()()92log 3+=xx f 的值域为__________.解:该函数的值域为R .∵02>x ,∴992>+x∴()29log 92log 33=>+x ,即()2>x f . ∴函数()()92log 3+=x x f 的值域为()+∞,2.例44. 若函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 32,6x x x x x f a （0>a 且1>a ）的值域为[)+∞,4,则实数a的取值范围为__________.分析:根据分段函数值域的确定方法,函数()x f 的值域为函数()6+-=x x f （x ≤2）的值域与函数()x x f a log 3+=（2>x ）的值域的并集.因为函数()6+-=x x f （x ≤2）的值域为[)+∞,4,所以函数()x x f a log 3+=（2>x ）的值域为[)+∞,4的子集.解:由题意可知:⎩⎨⎧≥+>42log 31a a ,解之得:a <1≤2.∴实数a 的取值范围为(]2,1.例45. 已知函数()()12lg 2++=x ax x f .（1）若()x f 的定义域为R ,求a 的取值范围; （2）若()x f 的值域为R ,求a 的取值范围.分析:（1）函数()x f 的定义域为R 的意思是指0122>++x ax 在R 上恒成立,必要时要对二次项系数a 是否等于0展开讨论;（2）设122++=x ax t ,则()t x f y lg ==.因为函数()x f 的值域为R ,则函数t 必须能取遍()+∞,0内的所有值,所以()+∞,0是函数t 的值域的子集.解:（1）∵()x f 的定义域为R∴0122>++x ax 在R 上恒成立.当0=a 时,012>+x 在R 上不恒成立,舍去;当0≠a 时,则有⎩⎨⎧<-=∆>0440a a ,解之得:1>a .∴a 的取值范围是()+∞,1;（2）若()x f 的值域为R ,则122++=x ax t 的值域应包含()+∞,0（即取遍全体正数）.当0=a 时,∈+=12x t R ,满足题意;当0≠a 时,则有⎩⎨⎧≥-=∆>0440a a ,解之得:a <0≤1.综上所述,a 的取值范围为[]1,0.相关训练 若函数()12++=mx mx x f 的值域为[)+∞,0,则m 的取值范围是【 】（A ）[]4,0 （B ）(]4,0 （C ）()4,0 （D ）[)+∞,4解:当0=m 时,()1=x f ,函数的值域为{}1,不符合题意; 当0≠m 时,设()12++=mx mx x g ,并设其值域为A ,则[)A ⊆+∞,0.∴⎩⎨⎧≥-=∆>0402m m m ,解之得:m ≥4. ∴m 的取值范围是[)+∞,4. 选择【 D 】.例46. （1）若函数()()1log +=x x f a （0>a 且1>a ）的定义域和值域都是[]1,0,则=a __________;（2）已知函数()()12lg 2++=mx mx x f ,若()x f 的值域为R ,则实数m 的取值范围是__________.解:（1）设1+=x t ,则()t x f y a log ==.∵[]1,0∈x ,∴[]2,1∈t .当1>a 时,函数t y a log =在[]2,1∈t 上为增函数,∵且其值域为[]1,0 ∴12log =a ,解之得:2=a ;当10<<a 时,函数t y a log =在[]2,1∈t 上为减函数 ∴02log =a ,无解. 综上所述,2=a ;（2）设()122++=mx mx x g ,值域为A . ∵()x f 的值域为R ,∴()A ⊆+∞,0. 当0=m 时,()1=x g ,不符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧≥-=∆>04402m m m ,解之得:m ≥1. 综上所述,实数m 的取值范围是[)+∞,1.例47. 已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=4112log 22x k kx x f 的值域为R ,则实数k 的取值范围是__________.解:设()()41122+-+=x k kx x g ,值域为A .∵()x f 的值域为R ,∴()A ⊆+∞,0当0=k 时,()41+-=x x g ,=A R ,符合题意;当0≠k 时,则有()⎩⎨⎧≥--=∆>01202k k k ,解之得:k <0≤41或k ≥1. 综上所述,实数k 的取值范围是[)+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡,141,0 .例48. 若函数()()⎩⎨⎧≥+<+-=1,ln 11,22x x x a x a x f 的值域为R ,则a 的取值范围是________.解:设函数()()()122<+-=x a x a x f 的值域为A .当x ≥1时,函数()x x f ln 1+=的值域为[)+∞,1.∵函数()()⎩⎨⎧≥+<+-=1,ln 11,22x x x a x a x f 的值域为R∴(]A ⊆∞-1,∴⎩⎨⎧≥+->-12202a a a ,解之得:1-≤2<a . ∴a 的取值范围是[)2,1-.例49. 若函数()⎩⎨⎧≤-+->=2,222,log 2x x x x x x f a （0>a 且1>a ）的值域是(]1,-∞-,则实数a 的取值范围是__________.解:设函数()()2log >=x x x f a 的值域为A .函数()()()2112222≤---=-+-=x x x x x f 的值域为(]1,-∞-.∵函数()⎩⎨⎧≤-+->=2,222,log 2x x x x x x f a 的值域是(]1,-∞-∴(]1,-∞-⊆A∴⎩⎨⎧-≤<<12log 10a a ,解之得:21≤1<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.例50. 求函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=121log 21x x x x f x 的值域. 分析:这是分段函数的值域问题,应该清楚,分段函数的值域为各段函数值域的并集.解:当x ≥1时,()x x f 21log =,其值域为(]0,∞-;当1<x 时,()x x f 2=,其值域为()2,0.∴函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=121log 21x x x x f x 的值域为(]()()2,2,00,∞-=∞- .例51. 已知函数()()()14log log 422++=x x x f ,则函数()x f 的最小值是【 】（A ）2 （B ）1631 （C ）815（D ）1 解:()()()()163141log 2log 21log 14log log 22222422+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++=x x x x x x f .∴当41log 2-=x ,即=x 412-时,()x f 取得最小值为1631.选择【 B 】.例52. 设函数()()()1log 2log 22+⋅+=x x x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41.（1）若x t 2log =,求t 的取值范围;（2）求()x f y =的最大值与最小值,求求出最值时对应的x 的值.解:（1）∵x t 2log =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,41x 上单调递增∴41log 2≤t ≤4log 2,即2-≤t ≤2. ∴t 的取值范围为[]2,2-;（2）设x t 2log =,由（1）可知,[]2,2-∈t .∴()()()4123231222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++==t t t t t x f y .∵[]2,2-∈t∴当23-=t ,即42,23log 2=-=x x 时,41min -=y ;当2=t ,即4,2log 2==x x 时,12412322max=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y .例53. 设函数()m x x x f +-=2,且()()1,2,log 2≠==a a f m a f .（1）求m a ,的值;（2）求()x f 2log 的最小值及对应x 的值.解:（1）∵()m x x x f +-=2,()m a f =2log∴()m m a a =+-222log log ,∴()a a 222log log =.∵1≠a ,∴0log 2≠a ∴1log 2=a ,∴2=a . ∵()()22==f a f∴224=+-m ,解之得:2=m ; （2）由（1）可知:()22+-=x x x f .∴()()4721log 2log log log 222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f∴当21log 2=x ,即2=x 时,()x f 2log 取得最小值,最小值为47. 例54. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-+=1,1lg 1,322x x x xx x f ,则()=-)3(f f _________,()x f 的最小值是_________.解:∵()()119lg 3=+=-f∴()()01)3(==-f f f .当x ≥1时,()32-+=xx x f 在[]2,1上为减函数,在[)+∞,2上为增函数∴()()3222min -==fx f ;当1<x 时,[)+∞∈+,112x ∴()01lg min ==x f .综上所述,()x f 的最小值是322-.例55. 下列判断正确的是__________（填序号）.①若()ax x x f 22-=在[)+∞,1上为增函数,则1=a ; ②函数()1ln 2+=x y 的值域是R ; ③函数x y 2=的最小值为1;④在同一平面直角坐标系中,函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.解:对于①,函数()ax x x f 22-=的开口向上,对称轴为直线a x =.∵()x f 在[)+∞,1上为增函数 ∴a ≤1.故①错误;对于②,∵12+x ≥1,∴()1ln 2+=x y ≥01ln = ∴函数()1ln 2+=x y 的值域是[)+∞,0.故②错误; 对于③,∵x ≥0,∴x y 2=≥120=. ∴函数x y 2=的最小值为1.故③正确;对于④,∵在同一平面直角坐标系中,函数()x f 与()x f -的图象关于y 轴对称x xy -=⎪⎭⎫⎝⎛=221∴函数x y 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.故④正确.∴判断正确的是③④.例56. 若函数()()12log 23-+=x ax x g 有最大值1,则实数a 的值等于【 】（A ）21-（B ）41 （C ）41- （D ）4解:∵函数()()12log 23-+=x ax x g 有最大值1,13log 3=∴()122-+=x ax x f 有最大值3.∴⎪⎩⎪⎨⎧=--<34440aa a ,解之得:41-=a .选择【 C 】.例57. 若函数()1log 2+-=ax x y a （0>a 且1≠a ）有最小值,则实数a 的取值范围是__________.解:设12+-=ax x t ,则t y a log =,()+∞∈,0t .当1>a 时,t y a log =在()+∞∈,0t 上为增函数 ∵函数()1log 2+-=ax x y a 有最小值 ∴0442min>-=a t ,解之得:22<<-a .∴21<<a 1;当10<<a 时,t y a log =在()+∞∈,0t 上为减函数,要使函数()1log 2+-=ax x y a 有最小值,则需12+-=ax x t 存在最大值,因为该最大值不存在,所以此种情况不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围是()2,1.例58. 已知函数()x f y =,且()()()2lg 3lg ln lg -+=x x y .（1）求函数()x f 的表达式; （2）求函数()x f 的值域.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>->0203x x ,解之得:2>x∵0ln >y ,∴1>y . ∵()()()2lg 3lg ln lg -+=x x y ∴()x x x x y 6323lg 2-=-= ∴()2632>=-x e y xx即函数()x f 的表达式为()()2632>=-x e x f xx;（2）设()3136322--=-=x x x t ∵2>x ,∴()+∞∈,0t∵函数()t e x f y ==在()+∞∈,0t 上为增函数 ∴函数()()2632>=-x e x f xx的值域为()+∞,1.例59. 已知函数()()xxb a x f -=lg （01>>>b a ）.（1）求函数()x f 的定义域;（2）当()+∞∈,1x 时,函数()x f 的值域为()+∞,0,且()2lg 2=f ,求实数b a ,的值.解:（1）由题意可知:0>-xxb a ,∴xxb a >∵0>xb ,∴1>⎪⎭⎫⎝⎛xb a∵01>>>b a ,∴1>ba,∴0>x . ∴函数()x f 的定义域为()+∞,0; （2）设()x x b a x g -=,∵01>>>b a ∴()x x b a x g -=在()+∞∈,1x 上为增函数 ∵当()+∞∈,1x 时,函数()x f 的值域为()+∞,0 ∴()()+∞∈,1x g ,∴()11=-=b a g . ∵()2lg 2=f ,∴222=-b a解方程组⎩⎨⎧=-=-2122b a b a 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123b a . 例60. 已知函数()()()x p x x x x f -+-+-+=222log 1log 11log （1>p ）.问:()x f 是否存在最值?若存在,请求出它的最值.分析:这是对数型函数的最值问题,应先求出对数型函数的定义域,再确定对数型函数的单调性,根据单调性研究函数的最值.解:由题意可知:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧<>-<>p x x x x 111或∵1>p ,∴p x <<1. ∴函数()x f 的定义域为()p ,1 ∵()()()()()[]x p x x p x x x x f -+=-+-+-+=1log log 1log 11log 2222∴()()[]p x p x x f +-+-=1log 22设()()p x p x x g +-+-=12,∈x ()p ,1,其图象的开口方向向下,对称轴为直线21-=p x . 当21-<p p 时,1-<p ,不符合题意;当1≤21-p ≤p ,即p ≥3时,()()2max 14121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p p g x g ,无最小值. ∴()()()()21log 2141log log 222max 2max -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==p p x g x f ,()x f 无最小值;当121<-p （1>p ）,即31<<p 时,函数()x g 在()p ,1上为减函数 ∴()x g 在()p ,1上既无最大值,也无最小值 ∴函数()x f 当31<<p 时,无最值.综上所述,当p ≥3时,函数()x f 存在最大值为()21log 22-+p ,无最小值;当31<<p 时,函数()x f 既不存在最大值,也不存在最小值.点评 单调函数在给定的开区间上无最大值和最小值,在给定的闭区间上既有最大值,又有最小值,且最大值（最小值）在闭区间的端点处取得. 知识点五 与对数函数有关的函数的单调性及其应用 1.对数值大小的比较（1）同底数的利用函数的单调性; （2）同真数的利用函数的图象;（3）底数与真数都不同的,利用中间数0和1（介值法）. 2.解简单的对数不等式（1）底数确定时,利用对数函数的单调性求解; （2）当底数不确定时,注意对底数进行分类讨论.注意 求解时注意“定义域优先”的原则,要保证每个真数都大于0.点评 简单的对数不等式经过适当的变形一般都可化为()()x g x f a a log log <的形式,当1>a 时,不等式可转化为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>>x g x f x g x f 00;当10<<a 时,不等式可转化为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>x g x f x g x f 00. 例61. 解下列不等式:（1）()x x ->4log log 7171;（2）121log >x; （3）()()1log 52log ->-x x a a .解:（1）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x 4040,解之得:20<<x .∴该不等式的解集为()2,0;（2）x x xlog 21log > 当1>x 时,x x a log 21log <,不符合题意;当10<<x 时,则有21>x ,∴121<<x . 综上,该不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛1,21;（3）当1>a 时,则有⎪⎩⎪⎨⎧->->->-15201052x x x x ,解之得:4>x ;当10<<a 时,则有⎪⎩⎪⎨⎧-<->->-15201052x x x x ,解之得:425<<x .综上所述,当1>a 时,该不等式的解集为()+∞,4,当10<<a 时,该不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,25. 3.对数型复合函数的单调性对数型复合函数一般分为两类:()x f y a log =型和()x f y a log =型.（1）研究()x f y a log =型复合函数的单调性,令x t a log =,则只需研究x t a log =及()t f y =的单调性即可;（2）研究()x f y a log =型复合函数的单调性,首先由()0>x f 确定函数的定义域,然后判断()x f t =在定义域上的单调性,再结合对数函数的单调性,判断函数()x f y a log =的单调性,其核心是:同增异减.例62. （1）已知121log >a,则a 的取值范围为__________. （2）已知()()1log 2log 7.07.0-<x x ,则x 的取值范围为__________. （3）已知x <0≤21,x a xlog 4<,则a 的取值范围为__________. （4）若实数a 满足a a43log 132log >>,则a 的取值范围为__________. 解:（1）a a alog 21log > 当1>a 时,a a a log 21log <,不符合题意;当10<<a 时,21>a ,∴121<<a .∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛1,21;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧->>->120102x x x x ,解之得:1>x .∴x 的取值范围为()+∞,1; （3）若1>a ,当x <0≤21时,x a x log 04>>,不符合题意; 若10<<a ,当21=x ,且21log 421a =时,解之得:22=a ,∴122<<a . ∴a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22;（4）由132log >a 得:132<<a ;由1log 43<a 得:43>a ∴143<<a ∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛1,43.例63. （1）若πa a log 3log <,则a 的取值范围为__________;（2）若a 55log log <π,则a 的取值范围为__________.解:（1）∵π<3,πa a log 3log <∴1>a ,即a 的取值范围为()+∞,1; （2）∵a 55log log <π∴π>a ,即a 的取值范围为()+∞,π.例64. 若221log <a ,求a 的取值范围. 解:2log 21log a a a<. 当1>a 时,212>a ,符合题意;当10<<a 时,则有212<a ,解之得:2222<<-a ,∴220<<a .综上所述,a 的取值范围为()+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛,122,0 .例65. 若()()x x a a 57log 13log -<+（10<<a ）,求实数x 的取值范围.解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+xx x x 5713057013,解之得:5743<<x .∴实数x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛57,43.例66. 若132log <a,则a 的取值范围是【 】 （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 （D ）()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,132,0解:a a alog 32log < 当1>a 时,a a a log 32log <,符合题意;当10<<a 时,32<a ,∴320<<a .综上所述,a 的取值范围是()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,132,0 .选择【 D 】.例67. 已知021log >a ,若422-+x x a ≤a1,则实数x 的取值范围为__________. 解:∵021log >a,∴10<<a . ∵422-+x x a ≤a1,∴422-+x x a ≤1-a .∴422-+x x ≥1-,解之得:x ≤3-或x ≥1. ∴实数x 的取值范围为(][)+∞-∞-,13, .例68. 已知函数()()()310lg 2lg 2+-=x a x x f ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x . （1）当1=a 时,求函数()x f 的值域;（2）若函数()x f y =的最小值记为()a m ,求()a m 的最大值.解:（1）当1=a 时()()()221lg 1lg 2lg -=+-=x x x x f∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x ,∴[]1,2lg -∈x ∴()()()912,02max min =--==x f x f .∴当1=a 时,求函数()x f 的值域为[]9,0;（2）()()()()a x a x x a x x f 23lg 2lg 310lg 2lg 22-+-=+-=.设x t lg =,则()a at t x f y 2322-+-==.∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x ,∴[]1,2-∈t . 当1>a 时,函数a at t y 2322-+-=在[]1,2-∈t 上为减函数 ∴()a a a y 4423212min -=-+--=,即()a a m 44-=;当2-≤a ≤1时,32232222min +--=-+-=a a a a a y。

对数函数考点与题型归纳一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一 对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14， 所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.考点二 对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[题组训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,0<b ＝log π3<log ππ＝1，而由0<sin 2π5<1,2>1，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a 且f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。

对数函数重难点突破一、知识梳理二、知识精讲知识点一 对数函数及其性质(1)概念：函数 y ＝log a x(a ＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质0<a<1图象定义域： (0，＋∞)值域： R当 x ＝ 1 时， y ＝0，即过定点(1，0)当 x>1 时， y>0； 当 0<x<1 时， y<0在(0，＋∞)上是增函数a>1对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a logaN ＝N ；②log a a b ＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算法则如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； M④log a m M n ＝n mlog a M(m ，n∈R，且 m≠0).(3)换底公式： log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于 1).三、例题讲解(一) 对数函数的概念与图像 例 1、给出下列函数：；①y＝ x πx ．其中是对数函数的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】解： ①y＝x 2 的真数为 x 2，故不是对数函数；3（x ﹣ 1）的真数为x ﹣ 1，故不是对数函数； ③y＝ log x+1x 的底数为 x+1，故不是对数函数；②y＝ log④y＝log πx 是对数函数；故选： A ．【变式训练 1-1】．函数f(x)＝log a |x|＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )【答案】 A②log a ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n∈R)；2 ②y＝log 3（x ﹣ 1）； ③y＝log x+1x ； ④y＝logN【解析】选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g(x)＝log|x|，先画出ax>0 时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0 时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选 A.【变式训练 1-2】．函数f （x ）＝的图象可能是（ ）【答案】解：∵f（x ）＝，∴函数定义域为（﹣∞， 0）∪（0，+∞），∵，∴函数f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，故排除 B 、C ，∵当 0＜x ＜1 时， lnx ＜0，∴f（x ）＝＜0，x∈（0，1）故排除 D ．故选： A ．【变式训练 1-3】．函数 y ＝|lg （x+1） |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．故函数 y ＝ lg （x+1）的图象与 X 轴的交点是（0，0），即函数 y ＝ |lg （x+1） |的图象与 X 轴的公共点是（0， 0），考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意故选： A ． 1273 8【变式训练 1-4】．计算： ＋log 2(log 216)＝________. CD例 2．函数 y ＝ 的图象大致是(A ． ． ．B ．【解析】：原式＝2 331323x 2 ,x 02x1,x083.)＋log24＝＋2＝【答案】 B【变式训练 2-1】．已知a 0 ，b 0且a 1，b 1 ，若logab 1，则下列不等式可能正确的是（）．A．(b1)(b a)0B．(a1)(a b)0C．(a1)(b1)0D．(a1)(b a)0【答案】 AD【解析】∵loga b1logaa，∴若a1，则b a，即b a1．∴(b1)(b a)0，故A正确．(a1)(b a)0，故D正确．若0a1，则0b a1，∴(a1)(a b)0，(a1)(b1)0，故BC错误，2x,x12-3】．图中曲线是对数函数y log x的图象，已知a 取 3 ，，，C 2 ，C3，C4的a 值依次为( )4 3 1【变式训练a3510四个值，则相应于C1，【变式训练2-2】．已知函数f(x)log2(1x),x1，则f(0)f(3)_______.【解析】f(0)f(3)20log1(3)121．故答案为：－14 3 1 4 1 3A ． 3 ， ， ，B ． 3 ， ， ，3 5 10 3 10 54 3 1 4 1 3C ． ， 3 ， ，D ． ， 3 ， ，3 5 10 3 10 5【答案】 A 可得C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 的a 值从小到大依次为： C 4 ，C 3 ， C 2 ， C 1 ，4(二) 比较大小例 3．（2019·浙江湖州高一期中） 下列各式中错误的是（ ）A ． 30.8 30.7B ．log 0.5 0.4 log 0.5 0.6C ． 0.750.10.750.1 D ．log 2 3 log 3 2 【答案】 C【变式训练 3-1】．（2020·全国高一课时练习） 设 alog 3 ,b log 2 3,c log 3 2 则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 【答案】 A1 【解析】 alog 3log 3 3 1, 2log 3 3 log 3 2 c ,1 2【变式训练 3-2】．（2019 秋•沙坪坝区校级月考） 已知 a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 【分析】容易得出，从而可得出 a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30 ＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a＜c ＜b ．故选： B ． 【变式训练 3-3】．（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ）【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0，CDlog 2 2 b log 2 3 log 2 2 1， a b c .故选： A. ． ． A ． B ． ．．∴．故选： A．(三) 对数函数过定点问题例4.（2019 秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 P，则P 点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令 2x+3＝1，求得x 的值，从而求得P 点的坐标．【答案】解：令 2x+3＝1，可得 x＝﹣ 1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点 P 的坐标为（﹣ 1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式训练 4-1】．函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣ 1，2） D．（﹣ 1，3）【分析】根据 log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣ 1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣ 1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1 是解题的关键．【变式训练 4-2】．已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣ 2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣ 2，故f（﹣2）＝log a1＝0 恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣ 2，0），故选：B．(四) 有关对数函数奇偶性问题例5．（多选题）下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A．y＝x3＋x B．y＝logx2C．y＝2x2 －3 D．y＝x|x|【答案】 ADx 为非奇非偶函数，与题【解析】 A 中， y＝x3＋x 为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符； B 中，y＝log2意不符；C4.1，c f 20.8 ，【变式训练 5-1】．已知奇函数f x在R 上是增函数，若a f log b f log2则a,b,c 的大小关系为( )A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b【答案】 C 5【解析】由题意：a f log21f log25，且：log25log24.12,120.82，据此： log 2 5log 2 4.1 20.8 ，结合函数的单调性有： f log 2 5 f log 2 4.1 f 20.8 ， 即a b c,c b a .本题选择 C 选项.【变式训练 5-2】．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）是偶函数C ．f （x ）是非奇非偶函数D ．f （x ）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可． 【答案】解：由 ＞0，解得：﹣ 1＜x ＜1，故函数f （x ）的定义域是（﹣ 1，1），关于原点对称，而 f （ ﹣x ）＝log 2＝﹣ log 2＝﹣ f （x ），故f （x ）是奇函数，故选： A ．(五) 有关对数函数定义域问题 例 6．函数 y ＝1log 2(x 2)的定义域为( )A ．(－∞ ，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】 Cx 2 0,【变式训练 6-1】．（2018 秋•宜宾期末） 函数 y ＝的定义域是（ ）A ．（ ，+∞）B ．（ ，1]C ．（﹣∞， 1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域． 【答案】解：要使原函数有意义，则 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，即 0＜4x ﹣ 3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选： B ．【解析】：选 C 根据题意得 解得 x>2 且 x≠3，故选 C. log 2 (x 2) 0【变式训练 6-2】．（2018 春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数 y ＝ 的定义域满足： ，解得 ．故选： D ．1【变式训练 6-3】．函数ylog 2 x 2的定义域是__________．【答案】2,3 3,x 2 0 x 2 0因此，函数y 的定义域是2,3 3, .故答案为： 2,3 3, .【变式训练 6-4】．函数f xlog 1 x 2 2x 3 的定义域为______，最小值为______.2【答案】3,1 2 【解析】由题意得 x 2 2x 3 0 ，解得3 x 1，所以函数 f x 的定义域为 3,1 ，令t x 2 2x 3 x 1 2 4 0,4 ，所以g t log 1 t 在 0,4 递减，且g 4 log 1 4 2 .2 2因此函数 f x 的值域为[2, ) ，最小值为 2 .(六) 有关对数函数值域问题及最值问题1例 7．函数f(x)＝ 的值域是( )A ．(－∞ ，1)B ．(0,1)1 log2 x 23x 1【解析】由题意可得log 3 x2 0 ，即x2 1 ，解得 x 2且 x 3.【解析】∵3x ＋1>1， ∴0<13x 1<1，∴函数的值域为(0,1)．【变式训练 7-1】．（2019 秋•南昌校级期中） 函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2 ）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域． 【答案】解：设 u （x ）＝2x+3 ﹣ x 2＝﹣（x ﹣ 1） 2+4，当 x ＝1 时， u （x ）取得最大值 4，∵函数 y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当 u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值，即 y max ＝log 4u （x ） max ＝log 44＝1，8因此，函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2）的值域为（﹣∞， 1]，故填： （﹣∞， 1]．【变式训练 7-2】．已知函数f(x) lg x 2 2x a ，若它的定义域为 R ，则 a_________，若它的值域为 R ，则 a__________． 【答案】 1 1【解析】函数 f(x) lg x 2 2x a 的定义域为 R ，则 x 22x a0恒成立，故 4 4a 0， 即 a1 ；函数 f(x) lg x2 2x a 为 R ，则 0, 是函数 y x 2 2x a 值域的子集，则 4 4a0 ，即 a 1.故答案为： 1； 1.【变式训练 7-3】．）已知f(x)＝log 2(1－x)＋log 2(x ＋3)，求f(x)的定义域、值城．【答案】定义域为 3,1 ，值域为,2 .【解析】由函数 f(x) 有意义得 ，解得 3 x1，因为 f xlog 2 (1 x) log 2 (x 3) log 2 1 x x 3 log 2 x 2 2x 3log 2x 1 2 4 ， 3 x 1， 又因为tx 1 24在( 3, 1) 上递增，在( 1,1) 上递减，所以t 0,4 ，所以log 2 t,2 .所以函数f(x) 的值域为 ,2 .【变式训练 7-4】．设f x log a 1 x log a (3 x)a 0,a 1 ,且 f 1 2 . 1）求a 的值及 fx 的定义域；2）求 fx 在区间 0, 3上的最大值．2 1 x 0 x3 0【答案】1）a2，定义域为1,3；2）2【解析】1）f1loga 2loga2loga42,解得a2.故f x log21x log2(3x),则解得-1< x < 3 ,故f x的定义域为1,3.（2）函数 f x log 2 1 x log 2 3 x log 2 3 x 1 x ,定义域为 1,3 , 01, 3 ,由函数 y log 2 x 在0, 上单调递增, 函数 y 3 x 1 x 在 0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减,可得函数 f x 在0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减.故 f x 在区间 0上的最大值为 f 1 log 2 4 2 .(七) 对数函数的概念与图像例 8．画出下列函数的图象：（1）y ＝lg|x －1| ．（2） y lg(x 1) ．(八) 对数型复合函数的单调性问题例 9．函数f(x) log 1 (2 x)的单调递增区间是( )2A ．( , 2) B ． ( ,0) C ． (2, ) D ． (0, )【答案】 A【解析】由 2 x 0 ，得到x 2 ，令t2 x ，则t 2 x 在(, 2) 上递减，而y log 1 t 在(0,) 上2递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x) log 1 (2 x) 在(, 2) 上递增，故选： A2226 ax在0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（）【变式训练9-1】．函数f x logaA ．(0,1)B ．1,3C．1,3D．3,【答案】B，计算得出，所以 B 选项是正确的.【变式训练 9-2】．已知函数 f(x) log x 2log x 2(a 0, a 1) .(1)当 a 2 时,求 f(2) ；(2)求解关于x 的不等式 f(x) 0 ；(3)若x [2,4], f(x) 4 恒成立,求实数a 的取值范围.2, 1 1, 3 2【解析】 （1）当 a2 时， f x log 2 x 2 log 2 x 2 f 2 1 1 22 （2）由 f x 0 得： log x 2log x 2 log x 2 log x 1 0log a x 1或log a x 2当 a 1 时，解不等式可得： 0 x或 x a 2 1 a综上所述：当 a 1 时， f x 0 的解集为0, 1 a 2,；当 0 a 1时， f x 0 的解集为0, a 21 ,a（3）由 f x4 得： log x 2 log x 6 log x 3 log x 2 0log a x 2 或log a x 3①当 a 1 时，log a x maxlog a 4 ， log a xminlog a 2a当 0 a 1时，解不等式可得： x 或 0 x a 2【答案】（1） 2 ；（2）见解析； （3）【解析】若函数上为减函数,则a a a 2 在1a a a aa a a aloga 42logaa2或loga23logaa3，解得：1a32②当0 a 1时，loga xmaxloga2 ，logaxminloga4loga 2 2 logaa 2 或loga4 3 logaa3 ，解得：综上所述：a的取值范围为22,11,32(九) 对数型复合函数的最值问题2a 1例10．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知f x loga 1x1xa0，a1(1)求f x的定义域；(2)判断f x的奇偶性并予以证明；(3)求使f x 0 的x 的取值范围．【答案】（1）1,1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若 a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则 0<<1，解得－1<x<0.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1 ）直接法， f x f x(正为偶函数，负为减函数)；（2 ）和差法，f x f x0（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，f xf x1（1为偶函数，1为奇函数）.【变式训练10-1】．.（2019·浙江高一期中）已知函数f(x) log3 mx2 8x nx21．2（Ⅰ）若m 4, n 4 ，求函数f(x) 的定义域和值域；（Ⅱ）若函数f(x) 的定义域为R ，值域为[0,2] ，求实数m, n 的值．8]；（Ⅱ）m5,n5.【答案】（Ⅰ）定义域为x x1，值域为(,log3【解析】（Ⅰ）若m 4, n 4 ，则 f(x) log34x 2 8x 4x 21，由4x 2 8x 4x 210 ，得到x 22x 1 0 ，得到 x 1 ，故定义域为x x 1 ．4x 28x 4，则 (t 4)x 2 8x t 4 0当t4 时， x 0 符合．64 4(t 4)2 0,又 x 1 ，所以 t 0 ，所以 0t 8 ，则值域为(,log 3 8] ．（Ⅱ）由于函数 f(x) 的定义域为 R ，则mx 2 8x n x 2 1m 0 m 0tmx 2 8x n，由于 f(x) 的值域为[0,2] ，则t [1,9] ，而(t m)x 2 8x t n 0 ，则由 64 4(t m)(t n) 0, 解得t [1,9] ，故 t 1和 t 9 是方程m n 10 m 5意．所以m 5, n 5 ． 【变式训练 10-2】．（2019 秋•荔湾区校级期末）已知函数 f （x ）＝log 3（1+x ）﹣ log 3（ 1 ﹣ x ）． （1）求函数f （x ）定义域，并判断 f （x ）的奇偶性．（2）判断函数f （x ）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）解关于 x 的不等式f （1 ﹣ x ）+f （1 ﹣ x 2 ）＞0．x 2 1 令 t 64 4(t m)(t n) 0 即t2(m n)t mn 16 0 的两个根，则 ，得到 ，符合题mn 16 9 n 5x 2 10 恒成立，则 ，即 ，令 64 4mn 0 mn 16当t 4 时，上述方程要有解，则 ，得到 0 t 4 或4 t 8 ， t 0【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣ 1 ，1）上任取两个不同的自变量x1 ，x2，且设x1＜x2 ，则f（x1）﹣f（x2 ）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1 ）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．四、迁移应用21x,x1,【答案】[0,)【解析】x1时，f(x)21x2，1x1，x0，∴0x1，x1时，f(x)1log2x2，log2x1，x1，所以x1，综上，原不等式的解集为[0, ) ．故答案为：[0,)．217．设函数f(x) 则满足f(x) 2 的x 的取值范围是_______________.1log2x,x1,。

对数函数的图象及性质例题解析题型一 判断对数函数【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________．（1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：题型二【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A 43，35，110B ，43，110，35C ．43，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．题型三 对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例3】求下列函数的定义域．(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，故函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2) 要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，故函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，故函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．题型四 对数型函数的值域的求解方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．方法二、对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数； ②求f (x )的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解． 方法三、对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R)的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例4】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2． ∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4． 又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例4－1】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]． 令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．题型五 对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1) ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1) ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例5】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ． 又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0． ∴b ＝－2．答案：－2,2【例5－1】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．题型六利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．(2)底数不同，真数相同．(3)底数不同，真数也不同．(4)对于多个对数式的大小比较注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例6】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例6－1】若a2＞b＞a＞1，试比较loga ab，logbba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab ＜1．∴logaab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜ba ＜b，∴0＜logbba＜1．由log b a－logbba＝2logbab，∵a2＞b＞1，∴2ab ＞1．∴2logbab＞0，即log b a＞logbba．∴log a b＞log b a＞logb ba＞logaab．题型七 利用对数函数的单调性解不等式常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例7】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-； (2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．故原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 【例7－1】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32． (2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．题型八 对数型函数单调性的讨论（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论； 二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域． (2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．【例8】求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32．设u ＝3－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，∵u ＝3－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数，且y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数y ＝log 2(3－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数．∴函数y ＝log 2(3－2x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32．【例8-1】求函数y ＝log a (a －a x )的单调区间．解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减． 析规律 判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例8－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数， ∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立． ∴1,2210,2au ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．题型九 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．【例9】判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x ＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例9-1】已知函数f (x )＝1log 1a xx+-(a ＞0，且a ≠1)．（1）求函数f (x )的定义域； （2）判断函数f (x )的奇偶性；（3）求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1， 故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )， 又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数． (3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1； 当0＜a ＜1时， 由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0． 故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}． 题型十 反函数【例10】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12x C ．12log x D ．2x －2 解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．【例10-1】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵ 0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9， 即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]． 【例10-2】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点( )A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5) 解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．【例10-3】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝( )A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ． 所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．【例10-5】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值． 分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19． ∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ． ∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例10-6】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=。

对数及对数函数1、对数的基本概念（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作b N a=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .（3）指数式与对数式的关系：log xa a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）（4）对数恒等式：2、对数的性质（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a3、对数的运算性质（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③M n M a n alog log =（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义：函数 叫做对数函数，其中x 是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。

（2）复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ，且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2．对数函数的图像：3．对数函数的性质：【回顾一下】① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：题型一、对数式的运算 例题1：填空（1）[])81(log loglog 346＝_____ ___； （2）19lg 3lg 2+-＝ ；（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 316161+＝_____ ___； （5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x （ ）.A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1：计算变式2：3128x y ==，则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1：已知216log =x ，则=x （ ）.A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。

对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质（1）过定点（1，0），（2）在（0，+∞）上是减函数 （2）在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当 x=1 时，y=0; 当 x>1 时, y<0.当 0<x<1 时，y<0;当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=logax(a>0,且a ≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析：考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)6log ,7log 76； (6)8.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y . 解析：根据对数函数x y 2log =的图像可得当1>x 时，0y >；当10<<x 时，12y <<． 答案：(0,)+∞；(1,2)．考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：选A.当a ＞1时，y ＝log a t 为增函数，t ＝(a －1)x ＋1为增函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 为减函数，t ＝(a －1)x ＋1为减函数， ∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0，∴－1＜x ≤0； 当x ＞0时，log 2x ＞1⇒x ＞2，∴x ＞2，综上所述：－1＜x ≤0或x ＞2. 答案：－1＜x ≤0或x ＞24、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .解析：本题实际含有两个不等式，即0)1(log 2>+a …①和)12(log )1(log 22-<+a a …②， 由①得0111log )1(log 22>⇒>+⇒>+a a a ； 由②得121-<+a a ，即2>a ， 答案：2>a5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．解析：根据对数运算法则，方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -可化为：lg 33xx+-＝lg ()1x -， 即33xx+-= 1x -，解得：0x =或5x =，经验证，当5x =时，不满足题意．所以方程的解为：0．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=【解析】（1）∵-x 2-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+16≤16, 又∵-x 2-4x+12>0, ∴0<-x 2-4x+12≤16. ∵x y 21log =在(0,16］上是减函数,∴y ≥16log 21=y =-4. ∴函数的值域为［-4,+∞).（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).令u=a-a x,∵u>0,a>1,∴a x<a,x<1,∴y=log a (a-a x)的定义域为{x|x<1}, ∵a x<a,且a x>0,u=a-a x<a,∴y=log a (a-a x)<log a a=1,∴函数的值域为{y|y<1}.1、求下列函数的定义域、值域：⑴41212-=--x y ⑵)52(log 22++=x x y⑶)54(log 231++-=x x y ⑷)(log 2x x y a --=)10(<<a2.、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．[解析] 由x 2－6x ＋5>0得x >5或x <1因此y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域为(－∞，1)∪(5，＋∞) 设y ＝log 2t ，t ＝x 2－6x ＋5∵x >5或x <1，∴t >0，∴y ∈(－∞，＋∞) 因此y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的值域为R .3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值． 解：令x y 21log =，则09922≤++y y ；解得233-≤≤-y ，即23log 321-≤≤-x ； ∴822≤≤x ，∴]3,23[log 2∈=x t ． ∴)2)(log 3log (log )4(log )3(log )(22222--=⋅=x x xx x f 3log 2)3log 2(3log 2log )3log 2()(log 22222222++-=++-=t t x x ； ∴当]3,23[23log 22∈+=t 时，4)23(log )(22min --=x f ． 4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。

4.4对数函数（基础知识+基本题型）知识点一 对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,.+∞辨析 (1)对数函数的特征：①log a x 的系数是1；②log a x 的底数是不等于1的正数； ③log a x 的真数仅含自变量.x(2)求对数函数的定义域时，应注意：①对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；②对含有字母的式子要分类讨论；③使式子符合实际背景.知识点二 对数函数的图象和性质1.对数函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象和性质()0,+∞.R 2.对数函数的图象与性质的对应关系①这些图象都位于y 轴右方 ①x 可取任意正数，函数值.y R ∈ ②这些图象都经过点(1,0)②无论a 为任何正数，总有log 10a =③图象可以分为两类：一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0，在区间()1,+∞内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反③当1a >时01log 0,1log 0;a a x x x x <<⇒<⎧⎨>⇒>⎩ 当01a <<时01log 0,1log 0a a x x x x <<⇒>⎧⎨>⇒>⎩ ④自左向右看，当1a >时，图象逐渐上升；当01a <<时，图象逐渐下降 ④当1a >时，函数log a y x =是增函数； 当01a <<时，函数log a y x =是减函数3.底数对函数图象的影响(1)函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象无限地靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交；(2)在同一平面直角坐标系中，log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象与1log (0,ay x a =>且1)a ≠的图象关于x 轴对称.(3)对数函数单调性的记忆口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数要求大于0，但等于1却不行； 底数若是大于1，函数从左往右增；底数0到1之间，函数从左往右减； 无论函数增和减，图象都过点(1,0).在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)知识点三 指数函数与对数函数的关系指数函数对数函数解析式()10≠>=a a a y x 且)10(log ≠>=a a x y a 且R ()+∞,0①一般地，函数()y f x a b =±±（a 、b 为正数）的图象可由函数()y f x =的图象变换得到。

对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N4、对数的性质: (1)log 10,log 1a a a ==(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．5、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈⑤log a m M n ＝n mlog a M . ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且特殊情形：log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .类型一、指数式与对数式互化及其应用例1、将下列指数式与对数式互化：（1）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2、求下列各式中x 的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x =100=102，于是x=2； (4)由例3、若x＝log43，则(2x－2－x)2等于( )A.94B.54C.103D.43解由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝33，所以(2x－2－x)2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43.类型二、利用对数恒等式化简求值例4、求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数例5、求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数例6、已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b（2）原式=lg26=6lg2=6a（3）原式=lg2+lg3=a+b（4）原式=lg22+lg3=2a+b（5）原式=1-lg2=1-a（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例8、已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用例11、(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x，；方法二：.例12、求值：(1)；(2)；(3).解：(1)（2）；（3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用例13、求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)例14、已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，。

4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。