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第三章 插 值 法在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。
有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。
于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。
本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。
这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。
本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。
§1.插值的基本概念插值定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i ==(3—１)则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。
包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。
关于函数插值，我们要回答以下几个问题：(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n 10x ,,x ,x 及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。
(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。
(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。
如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。
现在首先回答第一个问题：由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。
故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。
定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。
§2 等距节点插值和差分摘要：在等距节点情况下，通过使用差分可减少Newton 插值公式的计算量。
本节首先介绍等距节点下的差分公式、差分与差商之间关系，根据待估值点x 的位置不同，引入表初公式、表末公式和Bessel 公式，最后说明在使用差分计算插值时需注意的两点：（1）不宜用高阶差分公式；（2）差分公式是一个不稳定的计算公式。
等距节点：1,1,2,,i i x x h i n +-==，h 称为步长2.2.1 差分概念一阶差分：()()()1i i i f x f x f x +∆=- 二阶差分：()()()21i i i f x f x f x +∆=∆-∆ … … … …k 阶差分：()()()111k k k i i i f x f x f x --+∆=∆-∆()()()()()()()()()123110231(1)(1)ki i k i k i k i k k k i i kk jk j j k k f x f x kf x f x x kf x f x k f x j ++-+-+--+-+=⎛⎫⎛⎫∆=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2.2.2 差分与差商关系定理2.2.1 在等距节点的情况下 ()()1121,,,,!k k k k f x f x x x x h k +∆=.利用归纳法证明这个公式是在Newton 公式中使用差商的基础 2.2.3 差分表()()()()()()()()()()()()()()()11221233212344321234554321x f x x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x x f x f x f x f x f x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆2.2.4 根据待估值点x 的位置不同选择不同的计算公式 给定等距节点组：{}12,,,n x x x● 表初公式：如果x 在节点中最小的那个节点附近 节点选取：1213111,,2,,.k x x x h x x h x x kh +=+=+=+x 的表示：1x x ph =+牛顿公式：()(1)(1)(1)2111112!!10.p p p p p k k k kjj P x ph f p f f f p f j --⋅⋅-+=+=+∆+∆++∆⎛⎫=∆ ⎪⎝⎭∑例2.2.1 有函数表x 0.5 0.6 0.7 0.8 f(x) 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 求f(0.54).解：差分表(1)(1)(2)23!0.540.5,0.1,0.4(0.54)0.47940.0852(0.0056)(0.0008)0.5142p p p p p x ph h p P p ---==+===+⨯+-+-=● 表末公式：如果x 在最大节点附近 节点选取与编号：010200(max),,2,,.k x x x h x x h x x kh ---=-=-=-x 的表示：0x x ph =-牛顿公式：()()(1)(1)(1)200122!!0()(1)1.p p p p p k kk kk kjjj j P x ph f x p f f f p f j --⋅⋅-+----=-=-∆+∆++-∆⎛⎫=-∆ ⎪⎝⎭∑● 贝塞尔(Bessel)公式：如果x 在中间节点附近 节点选取与编号：121012,,,,,,,,k k k x x x x x x x -+-+-第一种组序：01122(1),,,,,,k k x x x x x x x ----，Newton 公式1：()1121200011212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--==++-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 第二种组序：()10211,,,,,,k k x x x x x x ---Newton 公式2：()112120110111212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--+==+-+-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ Bessel 公式：（Newton1+Newton2）/2()12101002211111/222211.22k j j j j jk j j j p j f f p P x ph f j j f f p j j -+-=---+=+-⎛⎫+-+=+∆+ ⎪+⎝⎭∆+∆+-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑Bessel 公式适合计算01,01x x x p <<<<，特别是12p =.()2244011021102132821282f f f f f f P x h ---+∆+∆∆+∆+=-++ 例 2.2.2 表2.10求()f 0.525Bessel 公式的截断误差：取2n 个节点()()22(2)22(1)11111(1),2!2222n n n nf R x n n h n x x ξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<< 2.2.5 差分公式的缺点1）高阶差分容易造成有效数字的丢失，见表2.10 原因？2）差分容易扩大传播误差3322321123230012323411012332422110232433201123364x y x y y x y y y x y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y εεεεεεεεεεεεε------------------∆∆∆+∆+∆+∆+∆-∆-∆-∆-∆∆+∆-∆+∆∆-∆∆-。
第三章 参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节 几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的 选择，或者说在旋转与平移变化下不变 的性质。
2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中： 为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时） 的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件 也称权性。
这种表示下，曲线 （面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。
其中 一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。
（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。
4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性， 其余两种只具有几何不变性。
5、几何不变性的意义： （1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。
2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。
• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。
• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。
• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。
第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。
插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nn x x x x x x x x x A1022112111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x defx x x W 10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnn n n n nn n x x xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。
3.1构造Lagrange 插值多项式p(x)逼近f(x)=3x ,要求 （1） 取节点1,110=-=x x 作线性插值； （2） 取节点10,1210==-=x x x ，作抛物插值； （3） 取节点2,10,13210===-=x x x x ，作三次插值； 解：(1)将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=)(001010x x x x y y y ---+代入1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=x(2)将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x 得： p 2(x)=x（3）将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x 得： p 3(x)= 3x3.2给定三个数据点（0,1），（1,2），（2,4），求过这些点的插值多项式p(x)。
解：由已知点数据有：1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=代入 1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x 得：p 2(x)=1222++x x 3.3给定节点，，4,31,13210===-=x x x x 试分别对下列函数导出Lagrange 插值余项： （1） f(x)=2x 343+-x （2） f(x)=34x 2-x 解：（1）将节点代入f(x)得1y ,100=-=x ，3,111==y x ,101,322==y x ，246,433==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=将1y ,100=-=x ，3,111==y x ,101,322==y x ，246,433==y x 代入上式得： p 3(x)=2x 343+-x所以： Lagrange 插值余项R(x)=f(x)-p 3(x)=0(2)将节点代入f(x)得3y ,100=-=x ，1,111-==y x ,27,322==y x ，128,433==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=将3y ,100=-=x ，1,111-==y x ,27,322==y x ，128,433==y x 代入上式得： p 3(x)=12711x 523+--x x 所以： Lagrange 插值余项R(x)=f(x)-p 3(x)=34x 2-x -（12711x 523+--x x ）=127117234-++-x x x x 3.5 依据数据表试用线性插值和抛物插值分别计算的近似值并估计误差。
解：(a)线性插值公式为：1010010()()y y P x y x x x x -=+-- （1）其中01010.32,0.34,0.314567,0.333487x x y y ====，将其代入（1）式，1010010()()0.3334870.3145670.314567(0.32)0.340.32y y y P x y x x x x x -==+---=+--10.3334870.314567(0.3367)0.314567(0.33670.32)0.340.320.3303652y P -==+--= 线性插值误差计算公式为：101''()()()()()2f f x P x x x x x ξ-=-- 011max ''()sin 0.3335x x x f x ξ≤≤==所以估计误差为：6101''()1()()()()0.33350.01670.00339.21022f f x P x x x x x ξ--=--≤⨯⨯⨯=⨯ (b)抛物线插值公式为：2001122020112012010210120001()()()()()()()()()()()()()()()()P x l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =++------=++------ （2） 其中0120120.32,0.34,0.36,0.314567,0.333487,0.352274,x x x y y y ======代入得 012()1250(0.34)(0.36)()2500(0.32)(0.36)()1250(0.32)(0.34)l x x x l x x x l x x x =--=---=--将012012,,,0.314567,0.333487,0.352274l l l y y y ===代入（2）可得：2001122()()()()0.330374P x l x y l x y l x y =++=抛物线插值误差计算公式为：2012'''()()()()()()6f f x P x x x x x x x ξ-=---020max '''()cos 0.949x x x f x ξ≤≤==所以估计误差20127'''()()()()()()610.9490.01670.00330.023362.0310f f x P x x x x x x x ξ--=---≤⨯⨯⨯⨯=⨯3.7 证明：对于以01,x x 为节点的一次插值多项式()P x 。
插值误差满足01210()()()max ''()8x x x x x f x P x f x ≤≤--≤。
证明：由定理3.1.5可知：01010101''()()()()()[,]21max ''()()()2x x x f f x P x x x x x x x f x x x x x ξξ≤≤-=--∈≤--因为：22201010011()((222))x x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ -⎭⎝-⎪⎝⎭= 从几何上解释上式成立！所以：010101012012101()()max ''()()()21max ''()22()max ''()8x x x x x x x x x f x P x f x x x x x x x f x x x f x ≤≤≤≤<<-≤---⎛⎫≤ ⎪⎝⎭-≤3.11 依据数据表用Neville 解：根据Neville 方法迭代公式有：1'1()(0,1,,)()()()nn ii i n ix P n x y x x x ωω+=+=-∑，代入3x = 所以01(0,1)010110()3x x x x P x y y x x x x x --=+==--21(1,2)1212213231()1 1.41421356 1.828427121221x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----32(2,3)2323323432() 1.414213562 1.707106782442x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----34(3.4)3434433534()2 2.23606798 1.763932024554x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----02(0,1,2)(0,1)(1,2)02203230()3 1.82842712=1.242640680220x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----31(1,2,3)(1,2)(2,3)13313431() 1.82842712 1.70710678=1.7475468931441x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----42(2,3,4)(2,3)(3,4)24423532() 1.70710678 1.76393202 1.7260485272552x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----30(0,1,2,3)(0,1,2)(1,2,3)03303430() 1.24264068 1.747546893=1.621320340440x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----41(1,2,3,4)(1,2,3)(2,3,4)14413531() 1.747546893 1.726048527 1.736797711551x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----04(0,1,2,3,4)(0,1,2,3)(1,2,3,4)04403530() 1.62132034 1.73679771 1.6906067620550x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----3.12设f(x)=7x x 323+++x ，试求差商f[1,2,3,4],f[1,2,3,4,5]的值。
