信号与系统第三章4

X(ω) =−X(−ω)
R (ω )
奇函数
F(−ω) = F (ω)
*
X(ω)
实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数， 而相位谱为奇函数
9
二、f(t) = jg(t)是虚函数 是虚函数
F (ω ) = ∫ g (t ) sin ω tdt + j ∫ g (t ) cosω tdt
−∞ −∞ ∞ ∞
偶函数
jω0t ∞
] = F (ω − ω 0 )
jω0t − jω t
FT[ f (t )e
] = ∫ f (t )e
−∞
e
dt = F (ω −ω0 )
21
• 同理 FT [ f (t )e − jω 0 t ] = F (ω + ω 0 )
调幅信号的频谱（载波技术）
的频谱？ 求： f (t ) cos ω 0t 的频谱？
FT [ f (t )] = F (ω )
1 ω a > 0 FT[ f (at)] = ∫ f ( x)e dx = F ( ) a a x −1 ∞ −1 ω − jω a a < 0 FT[ f (at)] = ∫ f ( x)e dx = F ( ) a −∞ a a
13
时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）
a
FT [ f ( at − t 0 )] = x = at − t 0 t = ( x − t0 ) / a
若a < 0,则有绝对值
∫
∞
−∞
f ( at − t 0 ) e − j ω t dt
a >0
1 ∞ − jω ( x − t 0 ) / a dx = ∫ f ( x )e a −∞ ωt − j 0 ∞ 1 − j ( ω )t a = e f ( x ) e a dx ∫− ∞ a ωt − j 0 1 ω a = e F( ) a a 18
∴ FT [ f (t − t0 )] = e
∫
∞
−∞
f ( x )e
− jω x
dx = e
− jω t 0
− jω t 0
F (ω ) #
17
信号平移后，幅度谱不变，相位谱附加相移。
带有尺度变换的时移特性
1 ω FT [ f ( at − t 0 ) ] = F ( )e a a
− j
ω t0
f 换成
− at
FT
1 F (ω ) = a + jω
t换
成
F1
ω
1 F1 (ω ) = FT =? 对 a + jt
称 性
t 换成
ω
5
F1 (ω ) = 2πf (−ω ) = 2πe
+ aω
二、线性（叠加性） 线性（叠加性）
若 则
FT [ f i (t )] = Fi (ω )
τ
t
F (ω ) = τ [ Sa (ωτ / 2 ) + 2 Sa (ωτ )]
2π
τ
ω
7
三、 奇偶虚实性
无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均 成立
时域反摺 频域也反摺
FT [ f (t )] = F (−ω ) * * FT [ f (−t )] = F (ω )
* *
FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ f ( −t )] = F ( −ω )
τ
2
2
t
−
2π
τ
τ
ω
ωc 2π
f (t )
1
F (ω )
−
2π
0
2π
t
ω
c
ωc
−
ωc
2
0
ωc
2
ω
3
若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子
δ (t )
f (t)
1
t
F (ω )
1
t
F (ω )
2πδ (ω )
1
ω
ω
4
a > 1, t > 0
f (t ) = e
f (t ) = e
−α t
2α F (ω ) = 2 α +ω2
f(t)
(−∞ < t < +∞) ϕ (ω ) = 0
F (ω )
0
t
0
ω
11
实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数
e f (t ) = −at − e
− at
(t > 0) (t < 0)
F (ω )
f(t) 0
t
F (ω )
f(t/2)
2 F (2ω )
1
2τ
−τ
压缩
0
τ t
f (2t )
0
−
π τ
Байду номын сангаас1 2
π τ
ω
1
τ
F( ) 2
0
ω
2
扩展
−τ / 4
0
τ /4
t
−
4π
4π
τ
τ
ω
14
等效脉宽与等效频带宽度
F (ω ) = ∫ f (t )e
−∞ ∞ − jω t
dt
1 ∞ jω t f (t) = ∫ F(ω)e dω 2π −∞
FT FT
Eτ 2 ωτ F (ω ) = Sa ( ) 2 4
28
八、积分特性（一）
• 若
ω = 0,
F(ω)
ω
<∞
or F(0) = 0
FT [ f (t )] = F (ω )
• 则
f (τ )dτ = F (ω ) FT ∫ −∞ jω
t
29
八、积分特性（二）
• 若
∫
∞
−∞
F (ω ) e jω t dω
1 ∞ f ( −t ) = F (ω )e − jω t dω , 2π ∫− ∞ 1 ∞ − jω t f (−ω ) = dt ∫− ∞ F ( t ) e 2π
FT [F ( t ) ] = 2π f ( − ω )
2
f (t )
1 0
−τ
τ
0
2π
F (ω )
R(ω) = −R(−ω)
X(ω) = X(−ω)
FT [ f ( − t )] = F ( −ω ) FT [ f ( − t )] = F * (ω )
R (ω )
奇函数
F(−ω) = F (ω)
*
X(ω)
虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数 相位谱仍为奇函数
10
实偶函数的傅立叶变换仍为实 偶函数
例：求三脉冲信号的频谱
单矩形脉冲 f0(t) 的频谱为 F0 (ω ) = Eτ Sa( ) 2 有如下三脉冲信号
ωτ
f (t ) = f 0 (t ) + f 0 (t + T ) + f 0 (t − T )
其频谱为
F (ω ) = F0 (ω )(1 + e = E τ Sa (
jω T
+e
16
五、时移特性
FT [ f ( t ) ] = F ( ω ) 若 − jω FT [ f ( t − t 0 ) ] = F (ω ) e 则 证明： x = t − t0
FT [ f ( x)] = ∫ f ( x)e
∞ −∞ − jω ( x + t 0 )
t0
dx F (ω )
=e
− jω t 0
F ( 0) = 1 × 2 ×
1
1 =1 2
τ =1
B f = f1 (0).τ = 1
F (0) B f = f1 (0)τ = 1
−1 f 2 (t ) 1
1
t
时移不影响带宽
B f = f 2 (0).τ = 1
1 2
t
时域重复影响福频高度 不影响频谱带宽
f 3 (t )
2
4 t B f = f 3 (0).τ = 1
− 2 jω F (ω ) = 2 α +ω2
F (ω ) =
π − 2 ϕ (ω ) = π + 2
2ω
α +ω
2
2
ω
+π 2
jω
(ω > 0) (ω < 0)
ω −2
π
12
四、尺度变换特性
• 若 • 则
ω 1 FT [ f ( at )] = F( ) a a
1 a −∞ ∞
x − jω a
26
三角脉冲
f (t )
df (t ) dt 2E
−
2
τ
2
τ
0
− 2E
τ
2
t
−
τ
2
0
τ
t
τ
F (ω )
2E
τ
2E
d 2 f (t ) (t dt 2
τ
τ
2
2E
τ
2
τ
0
− 4π
4π
−
0
− 4E
t
27
τ
τ
τ
2 E(1 − τ t ) ( t < τ ) 2 f (t ) = 三角脉冲 0 (t > τ ) 2
的频谱
• 方法一：代入定义计算（如前面所述） • 方法二：利用二阶导数的FT
d 2 f (t ) 2 E [δ ( t + τ2 ) + δ ( t − τ2 ) − 2δ ( t ) ] = dt 2 τ 2 E jω τ2 − jω τ 2 ( jω ) F (ω ) = ( e + e 2 − 2) τ 8E ω 2 Eτ 2 ωτ ωτ =− sin 2 Sa ( ) =− 2 4 τ 4