高一数学__对数函数综合练习题(答案)

对数函数精选练习题（带答案）1．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎝⎛⎦⎤12，1答案 D解析 要使函数解析式有意义，须有log 23(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，所以12<x ≤1，所以函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.2．函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图，则函数g (x )＝a x －b 的图象可能是( ) 答案 D解析 由图象可知0<a <1且0<f (0)<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1， ①0<log a b <1， ②解②得log a 1<log a b <log a a ，∵0<a <1，∴由对数函数的单调性可知a <b <1， 结合①可得a ，b 满足的关系为0<a <b <1，由指数函数的图象和性质可知，g (x )＝a x －b 的图象是单调递减的，且一定在y ＝－1上方．故选D.3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与MN 最接近的是1093.故选D.4．已知函数f (x )是偶函数，定义域为R ，g (x )＝f (x )＋2x ，若g (log 27)＝3，则g ⎝⎛⎭⎫log 217＝( )A ．－4B ．4C ．－277 D.277 答案 C解析 由g (log 27)＝3可得，g (log 27)＝f (log 27)＋7＝3，即f (log 27)＝－4，则g ⎝⎛⎭⎫log 217＝f (－log 27)＋17＝－4＋17＝－277.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝( ) A ．－13 B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 因为log 49＝log 29log 24＝log 23>0，f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－f (－log 23)＝－2－log 23＝－2log2 13＝－13.6．设a ＝log 54－log 52，b ＝ln 23＋ln 3，c ＝1012 lg 5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 A解析 由题意得，a ＝log 54－log 52＝log 52，b ＝ln 23＋ln 3＝ln 2，c ＝10 12 lg 5＝5，得a ＝1log 25，b ＝1log 2e ，而log 25>log 2e>1，所以0<1log 25<1log 2e <1，即0<a <b <1.又c ＝5>1.故a <b <c .故选A.7．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．故选C. 8．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0 答案 D解析 因为log a b >1，所以a >1，b >1或0<a <1,0<b <1，所以(a －1)(b －1)>0，故A 错误； 当a >1时，由log a b >1，得b >a >1，故B ，C 错误．故选D.9．(2019·北京模拟)如图，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C. 2 D.3 答案 D解析 因为直线BC ∥y 轴，所以B ，C 的横坐标相同；又B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，所以|BC |＝2.即正三角形ABC 的边长为2.由点A 的坐标为(m ，n )，得B (m ＋3，n ＋1)，C (m ＋3，n －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝log 2m ＋2，n ＋1＝log 2(m ＋3)＋2，所以log 2m ＋2＋1＝log 2(m ＋3)＋2，所以m ＝ 3.10．(2018·湖北宜昌一中模拟)若函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递增，且b ＝lg 0.9，c ＝20.9，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 B解析 由5＋4x －x 2>0，得－1<x <5， 又函数t ＝5＋4x －x 2的对称轴方程为x ＝2， ∴复合函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)的增区间为(2,5)，∵函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥2，a ＋1≤5，则3≤a ≤4，而b ＝lg 0.9<0,1<c ＝20.9<2，所以b <c <a .11．(2019·石家庄模拟)设方程10x ＝|lg (－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1答案 D解析 作出y ＝10x 与y ＝|lg (－x )|的大致图象，如图．显然x 1<0，x 2<0.不妨设x 1<x 2，则x 1<－1，－1<x 2<0， 所以10 x 1＝lg (－x 1)，10 x 2＝－lg (－x 2)， 此时10 x 1<10 x 2， 即lg (－x 1)<－lg (－x 2)， 由此得lg (x 1x 2)<0，所以0<x 1x 2<1.12．函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________． 答案 (2,2)解析 令x ＝2得y ＝log a 1＋2＝2，所以函数y ＝log a (x －1)＋2的图象恒过定点(2,2)．13．(2019·成都外国语学校模拟)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案 3解析 因为2x ＝3，所以x ＝log 23.又因为y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. 14．(2018·兰州模拟)已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，则a 的值为________． 答案 2或12解析 ①当a >1时，y ＝log a x 在[2,4]上为增函数． 由已知得log a 4－log a 2＝1，所以log a 2＝1，所以a ＝2. ②当0<a <1时，y ＝log a x 在[2,4]上为减函数． 由已知得log a 2－log a 4＝1，所以log a 12＝1，a ＝12.综上知，a 的值为2或12.15．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．答案 (0，＋∞)解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．16．(2019·江苏南京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12 x ，x ≥2，2a x －3a ，x <2(其中a >0，且a ≠1)的值域为R ，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 由题意，分段函数的值域为R ，故其在(－∞，2)上应是单调递减函数，所以0<a <1，根据图象可知，log 122≥2a 2－3a ，解得12≤a ≤1.综上，可得12≤a <1.。

对数函数【1】练习题(有答案)1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( )A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫23，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－x }，且 x ∈A ，则有( )A ．1＞x 2＞xB ．x 2＞x ＞1C ．x 2＞1＞xD ．x ＞1＞x 23．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( )A ．1＜a ＜bB ．1 ＜b ＜aC ．0 ＜a ＜b ＜1D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( )7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]8．若函数f(x)＝log12()x3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________．10．不等式⎝⎛⎭⎫1310－3x＜3－2x 的解集是_________________________． 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x－x 的图象．(2)函数，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为．13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________．14．当0＜x ＜1时，函数y ＝log (a2－3)x 的图象在x 轴的上方，则a 的取值范围为________． 15．已知 0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a logb(x －3)＜1，则 x 的取值范围为． 16．已知 a ＞1，求函数 f (x )＝log a (1－a x )的定义域和值域．17．已知 0＜a ＜1，b ＞1，ab ＞1，比较log a 1b ，log a b ，log b 1b的大小．18．已知f (x )＝log a x 在[2，+ ∞ )上恒有|f (x )|＞1，求实数a 的取值范围．19．设在离海平面高度h m 处的大气压强是x mm 水银柱高，h 与x 之间的函数关系式为：h ＝k ln x c，其中c 、k 都是常量．已知某地某天在海平面及1000 m 高空的大气压强分别是760 mm 水银柱高和675 mm 水银柱高，求大气压强是720 mm 水银柱高处的高度．20．已知关于x 的方程log 2(x +3)－log 4x 2＝a 的解在区间(3，4)内，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C2．B3．A4．D 5．A 6．B 7．D 8．A9．(3,4) 10．{x |_x ＜2} 11．右，2；(－∞，1)， 12．25613．2π14．a ∈(－2，－3)∪(3，2) 15．(3，4) 16．解 ∵ a ＞1，1－a x ＞0，∴ a x ＜1，∴ x ＜0，即函数的定义域为(－∞ ，0)．∵ a x ＞0且a x ＜1，∴ 0＜1－a x ＜1 ∴log a (1－a x )＜0，即函数的值域是(－∞ ，0)．17．解 ∵ 0＜a ＜1，b ＞1，∴ log a b ＜0，log b 1b ＝－1，log a 1b ＞0，又ab ＞1，∴ b ＞1a ＞1，log a b ＜log a 1a＝－1，∴ log a b ＜log b51b ＜log a 1b． 18．解 由|f (x )|＞1，得log a x ＞1或log a x ＜－1．由log a x ＞1，x ∈[2，+∞ )得 a ＞1，(log a x )最小＝log a 2，∴ log a 2＞1，∴ a ＜2，∴ 1＜a ＜2；由log a x ＜－1，x ∈[2，+ ∞ )得 0＜a ＜1，(log a x )最大＝log a 2，∴ log a 2＜－1，∴ a ＞12， ∴12＜a ＜1． 综上所述，a 的取值范围为(12，1 )∪(1，2)． 19．解 ∵ h ＝k ln x c，当 x ＝760，h ＝0，∴ c ＝760． 当x ＝675时，h ＝1 000，∴ 1 000＝k ln 675760＝k ln0.8907 ∴ k ＝1000ln0.8907＝1000lge lg0.8907当x ＝720时，h ＝1000lge lg0.8907ln 720760＝1000lge lg0.8907·ln0.9473＝1000lge lg0.8907·lg0.9473lge≈456 m ． ∴ 大气压强为720 mm 水银柱高处的高度为456 m ．20．本质上是求函数g (x )＝log 2(x +3)－log 4x 2x ∈(3，4)的值域．∵g (x )＝log 2(x +3)－log 4x 2＝log 2(x +3)－log 2x ＝log 2＝log 2∈∴a ∈．。

第1页共6页2023-2024学年高中数学必修一：对数函数一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知a ＝log 213，b ＝5－3，c ＝212，则a ，b ，c 的大小关系为(A )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b解析：∵log 213<log 21＝0,0<5－3<50＝1,212＝2>1，∴a <b <c .故选A.2．若a >b ，则(C )A ．ln(a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |解析：法一：不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．法二：由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立，则ln(a －b )>0不一定成立，故A 不一定成立．因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立．因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立．因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，所以D 不一定成立．故选C.3．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于(D )A ．3B ．9C ．18D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13＝3，m ＝27.4.下列函数中，随着x 的不断增大，增长速度最慢的是(B )A ．y ＝5x B ．y ＝log 5x C ．y ＝x 5D ．y ＝5x。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7B．10C．12D．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x=3，2y=4，所以2x+y=2x⋅2y=3×4=12，故选：C2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、已知函数f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=n−m x不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：利用指数函数的性质求出m，n，得出g(x)的解析式，从而得出结论．∵f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点(2,2)，∴m=n=2，∴g(x)=2−2x ，∴g(x)为减函数，且过点(0,1)， ∴g(x)的函数图象不经过第三象限． 故选：C ．4、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确. 故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.5、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v =v 0 lnM m=1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．7、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．8、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．多选题9、已知函数f(x)=lg(x2+ax−a−1)，下列结论中正确的是（）A．当a=0时，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B．f(x)一定有最小值C．当a=0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}答案：AC分析：A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)，令x 2−1>0，解得x <−1或x >1，则f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A 正确；对于B 、C ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则y =x 2+ax −a −1在[2,+∞)上单调递增，且当x =2时，y >0，则{−a2≤24+2a −a −1>0 ，解得a >−3，故D 错误． 故选：AC ．10、已知n <m ，函数f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤n22−|x−1|−3,n <x ≤m 的值域是[−1,1]，则下列结论正确的是（ ） A ．当n =0时，m ∈(12,2]B ．当n ∈[0,12)时，m ∈(n,2] C ．当n ∈[0,12)时，m ∈[1,2]D ．当n =12时，m ∈(12,2]答案：CD分析：先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出y =log 12(1−x )，x ≥−1和y =22−|x−1|−3，x ≥−1的图象，n =0时，由图可得m 的范围，可判断A ；当n ∈[0,12)时先求出y =log 12(1−x )，−1≤x ≤n 的值域，进而可判断x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即可得m 的范围，可判断B ，C ；当n =12时，先计算f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上的值域，即可得y =22−|x−1|−3，n <x ≤m 的范围，进而可得m 的范围，可判断D ．当x >1时，x −1>0，此时y =22−|x−1|−3=22−x+1−3=23−x −3单调递减，当−1<x <1时，x −1<0，此时y =22−|x−1|−3=22+x−1−3=21+x −3单调递增，所以y =22−|x−1|−3在(−1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x =1时，y =22−|x−1|−3取得最大值，为22−3=1．作出y =log 12(1−x )与y =22−|x−1|−3在[−1,+∞)上的图象如图所示：对于A ，当n =0时，f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤022−|x−1|−3,0<x ≤m，因为f (x )的值域为[−1,1]，结合图象知m ∈[1,2]，故A 不正确；对于B ，当n ∈[0,12)，x ∈[−1,n ]时，1−x ∈[1−n,2]，此时f (x )=log 12(1−x )∈[−1,log 12(1−n )]，此时−1≤f (x )≤log 12(1−n )<1，因为f (x )的值域为[−1,1]，则x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即22−|x−1|−3=1，解得x =1，由图知m ∈[1,2]，故B 不正确，C 正确；对于D ，当n =12时，f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上单调递增，此时f (x )的最小值为f (−1)=log 122=−1，f (x )的最大值为f (12)=log 12(1−12)=1，要使f (x )的值域为[−1,1]，由图知m ∈(12,2]，故D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的值域，解题的关键是根据题意作出f(x)的图象，结合图象逐个分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题 11、已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．1x +12y=1zB ．3x >4y >6zC ．xy >2z 2D ．x +y >(√32+√2)z答案：ACD分析：将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，设3x =4y =6z =t (t >1)， 则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 6t ．对于A ，1x +12y =log t 3+12log t 4=log t 6=1z ，故A 正确； 对于B ，3x =3log 3t ，4y =4log 4t ，6z =6log 6t ， ∵3x 4y =3log 3t 4log 4t=34log 34<1，∴3x <4y ， ∵4y 6z=4log 4t 6log 6t=23log 46<1，∴4y <6z ，∴3x <4y <6z ，故B 错误；对于C ，由1z=1x+12y>2√12xy（x ≠2y ），两边平方，可得xy >2z 2，故C 正确；对于D ，由xy >2z 2，可得x +y >2√xy >2√2z 2=2√2z >(√32+√2)z （x ≠y ），故D 正确． 故选：ACD 填空题12、里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级. 答案：6分析：将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0计算即可得解.将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0得M =lg1000−lg0.001=lg106=6. 所以答案是：6.13、已知函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0 ，若f (a 2−2a )≤f (a −1)，则实数a 的取值范围是_________．答案：[3−√52,+∞)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0在(−∞,0]单调递增，在(0,+∞)为常数函数，且f(0)=2若f(a2−2a)≤f(a−1)则a2−2a≤a−1≤0或a2−2a≤0≤a−1或{a 2−2a≥0a−1≥0则{a 2−3a+1≤0a≤1或{a2−2a≤00≤a−1或{a2−2a≥0a−1≥0解得：3−√52≤a≤1或1≤a≤2或a≥2，综上所述：a∈[3−√52,+∞)所以答案是：[3−√52,+∞)14、设x>0，y>0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2、y2的算术平均值的最小值为__________.答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x+y=2，再利用基本不等式可求得结果.由已知条件可得e x⋅e y=e x+y=e2，所以，x+y=2，因为x>0，y>0，由基本不等式可得x2+y2≥2xy，即2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=4，所以，x2+y22≥1，当且仅当x=y=1时，等号成立.因此，x2、y2的算术平均值的最小值为1.所以答案是：1.解答题15、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么log a M n=nlog a M(n∈R);(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值;(3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305)答案：(1)见解析(2)1712(3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.(3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可.(1)方法一:设x=log a M所以M=a x所以M n=(a x)n=a nx所以log a M n=nx=nlog a M,得证.方法二:设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3) =lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23⋅176log32=1712.(3)方法一:设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。

⾼⼀数学对数函数经典题及详细答案⾼⼀数学对数函数经典练习题⼀、选择题：（本题共12⼩题,每⼩题4分,共48分,在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1、已知32a =，那么33log 82log 6-⽤a 表⽰是( )A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ Ｄ、 23a a -答案Ａ。

∵3a =2→∴a=log 32则: log 38-2log 36=log 323-２log 3(2*３) =３ｌｏg 32-2［log 32+lo ｇ3３] =３a-2(a+1) =a-22、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为( ) A 、41B 、4 Ｃ、1 Ｄ、4或1答案B 。

∵2log a (M-2Ｎ)=log a M ＋log a N ，∴l ｏｇa (M-2Ｎ）2=ｌog a （ＭN ），∴(M －２N)2＝ＭN ，∴M 2-４MN+4N 2=ＭN ，→m 2-5m ｎ+４n 2=0（两边同除n 2)→(n m ）2-5n m ＋４=０,设x=n m→x 2-5x+4=0→(x 22==1x x ⼜∵2log (2)log log a a a M N M N -=+,看出M-2N ＞０ M>０ N>０∴n m =1答案为:４３、已知221,0,0x y x y +=>>,且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ )A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n - 答案D 。

∵loga(1+x)=ｍ l ｏga [１/(1-x)]=n,loga （1－x)=-n 两式相加得:→ loga [(1＋x)(1-x ）］=m-n →loga （1－ｘ2)＝m-n →∵ x 2+y 2=1，ｘ>0，y>0, → y 2＝1- x 2→ｌｏga(y 2）=m －n ∴２loga （ｙ)＝m-n→ｌog ａ(y)=21(m-n)4. 若x 1,x 2是⽅程lg 2x ＋(lg ３+lg2)lgx+ｌｇ3·lg2 = 0的两根,则x 1x 2的值是( ）.(A)．ｌg ３·lg2 (B)．lg ６ (C).6 （D).61答案D∵⽅程l ｇ2ｘ+（lg2＋lg3)lgx+ｌg ２l ｇ３＝0的两根为1x 、2x ,[注:ｌg 2ｘ即（lgx)2，这⾥可把lg ｘ看成能⽤X ，这是⼆次⽅程。

高一数学对数函数经典题及详细答案1、已知3a=2，那么log3 8-2log3 6用a表示是（）A、a-2.B、5a-2.C、3a-(1+a)。

D、3a-a2/2答案：A。

解析：由3a=2，可得a=log3 2，代入log3 8-2log3 6中得：log3 8-2log3 6=log3 2-2log3 (2×3)=3log3 2-2(log3 2+log33)=3a-2(a+1)=a-2.2、2loga(M-2N)=logaM+logaN，则M的值为（）A、N/4.B、M/4.C、(M+N)2.D、(M-N)2答案：B。

解析：2loga(M-2N)=logaM+logaNloga(M-2N)2=logaMNM-2N=MNM=4N3、已知x+y=1，x>0，y>0，且loga(1+x)=m，loga(1-y)=n，则loga y等于（）A、m+n-2.B、m-n-2.C、(m+n)/2.D、(m-n)/2答案：D。

解析：由已知可得1-x=y，代入loga(1+x)=m中得loga(2-x)=m，两式相减得loga[(2-x)/(1+x)]=m-n，化简得loga[(1-x)/x]=m-n，即loga y=m-n，所以答案为D。

4、若x1，x2是方程lg2x+(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2=0的两根，则x1x2=（）A、1/3.B、1/6.C、1/9.D、1/36答案：B。

解析：将lg2x+(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2=0化为对数形式，得：log2x+(log23+log22)logx+log32=0log2x+(log2×3+log22)logx+log3+log2=0XXXlog2x+log2xlog23+log32+log2=0log2x(1+log23)+log32+log2=0log2x=log32+log2/(1+log23)x=2log32+log2/(1+log23)x1x2=2log32+log2/(1+log23)×2log32+log2/(1+log23)2log32+log2/(1+log23)22log32+2log2/(1+log23)2log2(3/2)2/(1+log23)2log2(9/4)/(1+log23)2log29/(1+log23)2log29/(1+log2+log23)2log29/(3+log23)2log29/(3+log2+log3)2log29/(3+1+log3)2log29/(4+log3)2log29/(4+log3/log10)2log29/(4+0.4771)1/61.答案D，已知lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为16.2.答案C，已知log7[log3(log2x)]=0，则x等于2^3=8，x-1/2=2^3-1/2=15/2，x1•x2=2^3•15/2=60.3.答案C，lg12=2a+b，lg15=b-a+1，比值为(2a+b)/(1-a+b)，化简得到2a+b/(1-a+b)。

对数函数一、选择题1.设0.32a =,20.3b =,2log 0.3c =,则,,a b c 的大小关系( )A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<2.已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a <<3.式子25123lg lg lg +-= ( )A.2B.1C.0D.﹣24.使式子 2(1)log (1)x x -- 有意义的 x 的值是（ ）A. 1x <- 或 1x >B. 1x > 且 2x ≠C. 1x >D. 2x ≠5.函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是( )A. []3,1-B. ()3,1-C. (][),31,-∞-⋃+∞D. (,3)(1,)-∞-⋃+∞6.已知0a >,且1a ≠,函数x y a =与log ()a y x =-的图像只能是图中的( ) A. B. C. D.7.函数()2()ln 28f x x x =--的单调递增区间是( )A. (),2-∞-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()4,+∞ 8.函数()()20.5f log 2x x x =-++的单调递增区间为( ) A. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.前三个答案都不对二、填空题9.计算: =-⨯5log 3132log 9log 125278__________.10.计算: 4413log 3log 32⨯=__________.11.如图所示的曲线是对数函数log a y x =当a 取4个不同值时的图像,已知a 4313,,,3510,则相应于1234,,,C C C C 的a 值依次为__________.12.函数()()log 21a f x x =--(0,)a a >≠的图像恒过定点__________.13.函数()log 23a y x =++ (0a >且1a ≠)的图像过定点__________.14.若3436x y ==,则21 x y+=__________. 15.已知()()0.450.45log 2log 1x x +>-,则实数x 的取值范围是______.三、解答题16.解不等式: ()()2log 4log 2a a x x ->-.17. 求函数()22log 65y x x =-+的定义域和值域.18. 求函数212log (32)y x x =+-的值域.19.已知()()4log 41x f x =-.1.求()f x 的定义域;2.讨论()f x 的单调性;3.求()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.20.已知指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠且.(1)写出()f x 的反函数()g x 的解析式；(2)解不等式()log (23)a g x x ≤-参考答案1.答案：C解析：因为1a >,01b <<,0c <,所以c b a <<,故选C.2.答案：C解析：由对数和指数的性质可知，∵2log 0.30a =<，0.10221b =>=，1.300.20.21c =<=，∴a c b <<.3.答案：A解析：4.答案：B解析：由 210{1011x x x ->->-≠,解得 1x > 且 2x ≠. 5.答案：D解析：由题意,得2230x x +->,事实上,这是个一元二次不等式,此处,我们有两种解决方法:一是利用函数223y x x =+-的图像观察得到,要求图像正确、严谨;二是利用符号法则,即2230x x +->可因式分解为()()310x x +⋅->,则30,{10x x +>->或30,{10,x x +<-<解得1x >或3x <-, 所以函数()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞.6.答案：B解析：可以从图象所在的位置及单调性来判别.也可以利用函数的性质识别图象,特别注意底数a 对图象的影响。

高一数学(必修一)《第四章 对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，增长速度最快的是（ ）A ．2020x y =B ．2020y x =C ．2020log y x =D ．2020y x =2．函数()cos lg f x x x =-零点的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．03．函数()22e xx x f x -=的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．4．十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（ ）（提示：31.065 1.208≈）A ．93.8万亿元B ．97万亿元C ．99.9万亿元D ．106.39万亿元 5．函数2sin 2()cos x x f x x x +=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．下列图象中，不可能是()()1R f x ax a x=+∈的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．7．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.现有如下5个模拟函数：①0.580.16y x =-；②2 3.02x y =-；③2 5.58y x x =-+；④2log y x =．请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律（ ）A ．① B ．②C ．③D ．④二、填空题8．旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人．设该旅游团的人数为x 人，飞机票总费用为y 元，旅行社从飞机票中获得的利润为Q 元，当旅游团的人数x =_____________时，旅行社从飞机票中可获得最大利润．三、解答题9．函数121.1()ln 1((,)),x f g x x h x x x ===+的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．10．2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道．探测器实施2次轨道修正，2次近月制动后，顺利进入环月轨道，于12月1日23时11分在月球正面预选区域成功着陆，并开展采样工作．12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，实现了中国首次月球无人采样返回，助力月球成因和演化历史等科学研究．某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V （单位：km/s ）满足ln m M V W M+=，其中W （单位：km/s ）表示它的发动机的喷射速度，m （单位：t ）表示它装载的燃料质量，M （单位：t ）表示它自身的质量（不包括燃料质量）．(1)某单级火箭自身的质量为50t ，发动机的喷射速度为3 km/s ，当它装载100 t 燃料时，求该单级火箭的最大速度（精确到0.1 km/s ）．(2)根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2 km/s ，该单级火箭的最大速度能否超过7.9 km/s ？（参考数据： 2.71828e =…和ln3 1.10≈）11．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观测站，测量最大积雪深度x 与当年灌溉面积y 现有连续6年的实测资料，如下表所示：（1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图像；（2）建立一个基本反映灌溉面积关于最大积雪深度的函数模型；（3）根据所建立的函数模型，问：若今年最大积雪深度用25cm 来估算，可以灌溉土地多少公顷？12．下表是弹簧伸长长度x （单位：cm ）与拉力F （单位：N ）的相关数据：描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式． 参考答案与解析1．A【分析】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断.【详解】2020x y =是指数函数，2020y x =是幂函数，2020log y x =是对数函数， 2020y x =是一次函数 因为当x 足够大时，指数函数增长速度最快故选：A2．A 【分析】由()cos lg 0f x x x =-=，得cos lg x x =，则将函数()f x 零点的个数转化为cos ,lg y x y x ==图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可【详解】由()cos lg 0f x x x =-=，得cos lg x x =所以函数()f x 零点的个数等于cos ,lg y x y x ==图象的交点的个数函数cos ,lg y x y x ==的图象如图所示由图象可知两函数图象有4个交点所以()f x 有4个零点故选：A3．B【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解．【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．故选：B ．4．C【分析】依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%⨯+从而计算可得；【详解】解：依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%82.7 1.20899.901699.9⨯+≈⨯=≈ 故选：C【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.5．D【分析】根据函数的奇偶性可排除AC ；再根据2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可排除B ，即可得解. 【详解】解：()2sin 2()cos x x f x f x x x ---==-+所以函数()f x 为奇函数，故排除AC ； 又()224111124f πππππππ+++⎛⎫==>> ⎪⎝⎭，排除B. 故选：D.6．B【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除.【详解】当a ＝0时，则()1f x x=，为反比例函数，对应A 中图象，故A 错误； 当0a >时，则()1f x ax x =+是对勾函数，函数为奇函数，且0x >时()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，对应D 中图象，故D 错误；当0a <时，则()1f x ax x=+为奇函数，且0x >时y ax =，1y x =均单调递减，故()f x 在(0,)+∞单调递减，对应C 中图象，故C 错误.故选：B.7．D【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．【详解】解：根据表中数据，画出图象如下：通过图象可看出，2log y x =能比较近似的反应这些数据的规律．故选：D ．8．57或58【分析】根据题意，写出y 与x 的分段函数模型，进而表示出Q 与x 的分段函数模型，然后根据二次函数的性质求解最大值.【详解】解析：依题意，得2800(135),101150(3560),x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N 且且则旅行社的利润280015000(135),1500010115015000(3560).x x x Q y x x x x -≤≤∈⎧=-=⎨-+-<≤∈⎩N N 且且当135x ≤≤且x N ∈时，max 800351500013000Q =⨯-=；当3560x <≤且x N ∈时2115361251022Q x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当57x =或58x =时，Q 最大最大为18060．综上，当57x =或58x =时，旅行社可获最大利润．【点睛】利用分段函数模型解决实际问题的策略：对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小；在求解最值时，一般可利用函数的性质求解，也可以利用基本不等式计算.9．见解析【分析】由题意结合函数图像分别讨论函数在点1，a ，b ，c ，d ，e 时函数值的大小即可得出函数增长的差异.【详解】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得:曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ，曲线C 2对应的函数是12()h x x =曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．10．(1)3.3 km/s(2)该单级火箭的最大速度不能超过7.9 km/s【分析】（1）把3W =，50M =和100m =，代入m M V WlnM +=，即可求出结果． （2）由9m M ，2W =可得210m MV Wln ln M +=，由对数的运算性质结合参考数据可知7.97.9210lne ln =>，从而求出7.9V <．(1)由题知3W =，50M =和100m = ∴10050ln 3ln 3ln 3 3.350m M V W M ++==⨯=≈ ∴该单级火箭的最大速度约为3.3 km/s ．(2) 由题知9m M≤，2W =∴110m M m M M +=+≤ ∴ln2ln10m M V W M +=≤． ∵7.97.9722128100e >>=>∴7.97.9ln ln1002ln10e =>=，∴7.9V <．∴该单级火箭的最大速度不能超过7.9 km/s ．11．（1）见解析；（2） 2.2 1.8y x =+；（3）47.2公顷【分析】（1）根据表中的数据，在坐标轴中描出各点即可；（2）观察（1）中的图像，判断问题所适用的函数模型，并用待定系数法确定函数解析式；（3）把25x =代入（2）求得的函数解析式，求出的函数值即为答案；【详解】解:（1）描点作图如图（2）从图中可以看出，效据点大致都落在条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y （公顷）最大积雪深度x （crn ）满足一次函数模型：y a bx =+取其中的两组数据()10.4,21.1，()24.0,45.8代入y a bx =+得21.110.445.824a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得 2.21.8a b ≈⎧⎨≈⎩. 这样我们得到一个函数模型： 2.2 1.8y x =+（3）由25x =得 2.2 1.82547.2y =+⨯=，即当积雪深度为25cm 时，可以灌溉土地约47.2公顷.【点睛】本题考查了散点图以及求直线方程，解题的关键是把表中的数据处理，构建模型，属于基础题.12．图见解析14.40.20x F F .【分析】本题可结合表中数据绘出函数图像，然后令x kF b ，取点1,14.1、4,57.5代入函数解析式进行计算，即可得出结果.【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像：结合函数图像选择一次函数建立函数模型设函数解析式为x kF b取点1,14.1、4,57.5代入函数解析式中得14.157.54k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得14.4k0.2b故函数解析式为14.40.20x F F，经检验满足题意.。

高一数学幂函数、指数函数和对数函数练习题1、下列函数一定是指数函数的是 （ ） Ａ、12+=x y B 、3x y = C 、x y -=3 D 、x y 23⋅=2、已知ab >0，下面四个等式中，正确命题的个数为 （ ） ①lg （ab ）=lg a +lg b ②lg b a =lg a －lg b ③b a b a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1ab A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知x =2+1，则lo g 4（x 3－x －6）等于 （ ）A ．23 B ．45 C ．0 D ．21 4、已知m >0时10x =lg （10m ）+lg m 1，则x 的值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－15、下列图像正确的是 （ ）A B C D6、若log a b ·log 3a =5，则b 等于 （ ）A ．a 3B ．a 5C ．35D ．537、5、已知031log 31log >>b a ，则a 、b 的关系是 （ ） A ．1＜b ＜a B ．1＜a ＜b C ．0＜a ＜b ＜1 D ．0＜b ＜a ＜1 8、若函数)1,0(1≠>-+=a a m a y x 的图象在第一、三、四象限内，则 （ ）A 、1>aB 、1>a 且0<mC 、010><<m a 且D 、10<<a9、函数x y -=1)21(的单调递增区间是 （ ） A 、),(+∞-∞ B 、),0(+∞ C 、),1(+∞ D 、)1,0(10、 如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<< 11、下列函数中既是偶函数又是（ ） A ． B ． C ． D ．12、 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ）A ．奇函数是减函数B ．偶函数又是增函数C ．奇函数又是增函数D ．偶函数又是减函数13、若01<<-x ，则下列不等式中成立的是 （ ）A 、 x x x 5.055<<-B 、 x x x -<<55.05C 、x x x 5.055<<-D 、 x x x 555.0<<-14、下列命题中正确的是（ ） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限15、若2<x ，则|3|442x x x --+-的值是_____ _____.16、满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______ _______。

高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（ ）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（ ）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（ ） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去 故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立 故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增 当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可 （1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． （1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足； 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。