八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)

初中数学因式分解的几种经典方法息县六中陈岳因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。

下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。

【1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等2x-3x=0例一：2解：x(2x-3)=0x=0,2x=3/21这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。

【2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：2x-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)【3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把22x -7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 31×3+2×1 =51 3╳2 11×1+2×3 =71 -1╳2 -31×(-3)+2×(-1) =-51 -3╳2 -11×(-1)+2×(-3) =-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式2ax +bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=21.a a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=21.c c ，把2121,,,c c a a ，排列如下：╳按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式2ax +bx +c 的一次项系数b ，即1221c a c a +=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式1a x+c1与22c x a +之积，即2ax +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).这种方法要多实验，多做，多练。

初二因式方程方法和技巧
初二因式方程是初中阶段数学学习的重要内容，解决因式方程需要掌握一些方法和技巧。

下面我将从多个角度介绍初二因式方程的方法和技巧。

1. 因式分解法，因式分解是解决因式方程的基本方法之一。

对于一元二次方程或其他多项式方程，我们可以通过因式分解将其化简为可解的形式。

例如，对于x^2 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x 2)(x 3) = 0，然后求得x的值为2或3。

2. 公式法，对于一元二次方程，我们可以利用求根公式(-
b±√(b²-4ac))/2a来求得方程的解。

这是一种直接求解因式方程的方法，适用于无法直接因式分解的情况。

3. 完全平方式，对于一些特殊的二次方程，我们可以利用完全平方式来求解。

例如，对于x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x+3)^2=0的形式，从而得到x的解为-3。

4. 观察技巧，在解决因式方程的过程中，观察多项式的特点是很重要的。

例如，观察多项式的系数、次数、特殊形式等，可以帮
助我们选择合适的解题方法，从而更快地解决问题。

5. 勾股定理，在一些几何问题中，我们可以利用勾股定理来建立因式方程，然后通过因式分解或其他方法来求解。

总之，初二因式方程的解题方法和技巧包括因式分解法、公式法、完全平方式、观察技巧和勾股定理等。

掌握这些方法和技巧可以帮助学生更好地解决因式方程问题，提高数学解题的效率和准确性。

希望这些介绍能够对你有所帮助。

因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）1 基本方法1.1提公因式法☆☆☆各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式1.2 公式法☆☆☆如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

补充公式:立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)；完全立方公式：a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3=(a±b) 3．公式：a 3+b 3+c 3+3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)例如：a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2。

八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法，例解+练习高清图片，可保存因式分解是初中数学中一个非常重要的概念，了解和掌握因式分解的方法非常有必要。

因此，本文将详细介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法和例解和练习的高清图片。

首先，介绍因式分解的定义：因式分解的意思就是将一个多项式拆分成多个因子，使其值等于原来的多项式的值，并且多项式中的次数不会发生变化，从而达到简单化或剖析多项式的表达式的目的。

其次，介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法：1. 查表法。

查表法是把因式表中的每一项拿出来，然后用多项式中的每一项去比较，如果多项式的某一项是因式列表中某一项的整数倍，就将该因式提取出来，然后分解。

2. 平方差分解法。

找出一个最大的可以合成该多项式中所有次数和为偶数，最高次为偶数的平方差，然后把该多项式拆分成两个多项式，一个多项式中各项次和为x2，另一个多项式中各项次和为x，然后将两个多项式分别用此法求解得出各自因式。

3. 系数法。

如果可以找出多项式中最高次的系数，并将它简化为若干个合数的乘积的形式，然后再将各个因式拆分成单项式，最后将它们一一相乘，即可得到最终的结果。

4. 因式分解辗转相除法。

该方法是把多项式中的每一项的系数提取出来，然后拿系数中的每一项去比较，查找出最大的可以相除的因子，将其因子提取出来，放入前一项，然后再用辗转相减、相除法求出结果。

最后，例解+练习高清图片可直观地帮助学生理解因式分解的方法，加深印象，让学生在掌握并灵活运用这一方法时不会出现停滞，而是可以轻松应对考试中的试题。

综上所述，八年级数学上册中因式分解的4种基本方法都是可有效分解多项式的有效方法，通过举例教学+练习，可以有效帮助学生理解这一概念，加深对因式分解这一技能的掌握。

八年级数学因式分解12种常见方法整理1.提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

如，和的平方、差的平方3.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)4.十字相乘法（经常使用）对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

7.换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

8.求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )9.图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )10.主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

11.利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

12.待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

八年级因式分解法的四种方法在八年级数学课程中，因式分解是一个重要的内容。

下面我将介绍四种常见的因式分解方法，希望能够满足你的需求。

1. 公因式提取法：公因式提取法是最常见的因式分解方法之一。

它适用于多项式中存在公共因子的情况。

首先，找出多项式中的公因式，然后将这个公因式提取出来，剩下的部分进行简化。

例如，对于多项式2x^2 + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。

2. 完全平方公式：完全平方公式是因式分解中常用的方法之一，适用于形如a^2 + 2ab + b^2或a^2 2ab + b^2的多项式。

利用完全平方公式，我们可以将这些多项式分解成两个平方的和或差。

例如，对于多项式x^2 + 6x + 9，可以将其分解为(x + 3)^2。

3. 分组分解法：分组分解法适用于四项式中存在两对互补的项的情况。

首先，将四项式中的项进行分组，然后在每个组内进行因式分解，最后再进行合并。

例如，对于多项式x^3 + 2x^2 + 3x + 6，可以将其分组为(x^3 + 2x^2) + (3x + 6)，然后在每个组内进行因式分解，得到x^2(x + 2) + 3(x + 2)，最后合并得到(x^2 + 3)(x + 2)。

4. 平方法：平方法适用于三项式中存在平方项和线性项的情况。

它的思路是将三项式中平方项的系数和线性项的系数相乘，然后找到一个数使得它的平方等于这个乘积，然后利用这个数进行分解。

例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，我们可以将5乘以6得到30，找到一个数使得它的平方等于30，即5，然后将多项式分解为(x + 2)(x + 3)。

这些是八年级常见的因式分解方法，每种方法都适用于不同的多项式形式。

在实际应用中，可以根据多项式的特点选择合适的因式分解方法。

希望这些解释能够帮助你更好地理解因式分解的方法。

初中因式分解的（例题详解）一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abcc b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

因式分解方法技巧专题一分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。

常见错误：1、漏项，特别是漏掉2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化3、分解不彻底首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”［例题］把下列各式因式分解：1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y)22. a5-a3.3(x 2-4x) 2-48[点拨 ]看出其中所含的公式是关键练习1、3x 12 x3 2 、2a( x21) 22ax23、3a26a4、56x3yz+14x 2y2z－21xy 2z25、－ 4a3＋ 16a2b－ 26ab26、m416n 4二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法： 1 提公因式法 2 平方差公式法。

先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。

平方差公式运用时注意点：根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：A 、多项式为二项式或可以转化成二项式；B 、两项的符号相反；C、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；D 、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；E、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式[例题 ]分解因式： 3(x+y) 2-27[点拨 ]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解练习1)x 5－ x32) m416n43)25－ 16x221222124)9a －4b .5）25－ 16x ;6） 9a －4b .专题三三项式的分解因式 : 如果一个能分解因式，一般用到下面 2 种方法： 1 提公因式法 2 完全平方公式法。

概念复习：分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法：如果一个多项式各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正，提出负号的同时，括号内各项要改变符号，提公因式的分解因式和单项式乘以多项式是逆运算。

一、提公因式例题一：a(x-a)(x＋y)2-b(x-a)2(x＋y)练习一：1. -mx(m-x)(x-n)+mn(m-x)(n-x)的公因式是_______________________2. 5m(x-y)²-10m²（y-x)²的公因式是_____________________________3. 12a3（m-n)3+10a²(n-m)3的公因式是_______________________4.a(x-4)(y+3)+b(4-x)(3+y)=(x-4)(y+3)(_____ ____)5. 将x（x+y)(x-y)-x(x+y)²分解因式得____________________________6. (x+y)3-y(x+y)2+x²（y+x)=(_________)(2x+y)7.-35x(x+y)-42(x+y)=(_________)(x+y)(___ _______)8. 2x(a²+b²）-3y(a²+b²）9.（a-b)²-（a-b)(a-c)+(a-b)(b+c)10. m(a-b)(x+y)-n(b-a)(y+x)11. x(x-y-z)+y(z-x+y)-z(y-x+z)12. 8(2x+y)3-12(2x+y)²13. xy(x-y)²-yz(y-x)²+xz(x-y)²14. 35ab(x-y)²-25a²b²（y-x)²+10ab3（y-x)315. a(x-y)2n-a²（y-x)2n+1+a3(x-y)2n16. 3x²（a+3)-4x²y(a+3)二、公式法：a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例题二（1）ayaxyx++-22（2）2222cbaba-+-综合练习二：（1）3223yxyyxx--+（2）baaxbxbxax-+-+-22（3）181696222-+-++aayxyx（4）abbaba4912622-++-（5）92234-+-aaa（6）ybxbyaxa222244+--（7）222yyzxzxyx++--（8）122222++-+-abbbaa（9）)1)(1()2(+---mmyy（10）)2())((abbcaca-+-+(11)abcbaccabcba2)()()(222++++++（12）abccba3333-++三、十字相乘法：（一）、二次项系数为1的二次三项式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例题三：（1）652++x x （2） 672+-x x练习三： (1)24142++x x(2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y(6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax++2c bx ax++2=))((2211c x a c x a ++例题四：101132+-x x练习四：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式 例题五：221288b ab a --练习五：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例题六：(1)22672y xy x +-(2)2322+-xy y x 练习六：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习七：（1）17836--x x（2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x（4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x --（6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x（8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x（10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++四、主元法：例题七：2910322-++--y x y xy x练习八：(1)56422-++-y x y x(2)67222-+--+y x y xy x(3)613622-++-+y x y xy x(4)36355622-++-+b a b ab a五、双十字相乘法：双十字相乘法用于对F Ey Dx CyBxy Ax+++++22型多项式的分解因式条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，f a 21即： 1a 2a c a c a =+1221E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx CyBxy Ax22))((222111f c x a f y c x a ++++例题八：（1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x练习九：（1）67222-+--+y x y xy x（2）22227376z yz xz y xy x -+---五、换元法一： 例题九：分解因式（1）2005)12005(200522---x x 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++型如eabcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++ ∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x练习十：（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++（2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a换元法二：例题十：（1）262234+---x x x x （2）144234+++-x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

八年级数学上册因式分解拔高题型一、知识点梳理：1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变成几个整式的积的形式。

2、因式分解的方法：（1）提公因式法；即 ma+mb+mc=m(a+b+c)；a 22（ 2）运用公式法；平方差公式：b a b a b ；完整平方公式： a22ab b 2= a b2和a22ab b2 a b2（3）十字相乘法：关于二次三项式x2Pxa b p, q ；若能找到两个数 a 、 b ；使b q,a则就有 x2Px q x2(a b) x ab( x a)( x b) ．注：若 q 为正；则 a；b 同号；若 q 为负；则 a；b 异号；二、典型例题：（1）假如9 x 2kx25 是一个完整平方式；那么k 的值是（）A、 15B、±5C、30 D ±30（2）若x2mx15( x3)( x n)则 m=_____； n=______。

（3）计算 2998 2+2998×4+4=。

（4）若x24x 4 的值为0；则 3x 212x 5 的值是________。

例 2：分解因式：224a2(x- y)+9b2 (y- x)2a x 8axy8a y例 3：已知 a –b = 1；a2b 225求ab和a+b的值。

三、加强训练：1、已知 x+y=6； xy=4；则 x2y+xy2的值为.2、察看图形；依据图形面积的关系；不需要连其余的线；便能够获得一个用来分解因式的公式；这个公式是 ______________________。

3、分解因式：(2a- b)2-(a +b)2- 3ma3+6ma2- 3ma a2(m- n)+b2(n- m)m416n4（8）16a472a 2b 281b44、已知： a=2999；b=2995；求a22ab b 25a 5b 6 的值。

5、利用因式分解计算11111111 (11)2232 4 252n26；已知 a 为随意整数；且 a 13 2a2的值总能够被n 整除 (n 为自然数；且n 不等于 1)；则 n 的值为。

八年级因式分解经典题型一、因式分解的概念与方法回顾。

1. 因式分解的定义。

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2. 因式分解的方法。

- 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

例如：ma + mb+mc=m(a + b + c)。

- 公式法。

- 平方差公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 完全平方公式：a^2±2ab + b^2=(a± b)^2。

二、经典题型及解析。

1. 分解因式x^3-2x^2+x- 解析：首先观察多项式各项都有公因式x，先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)。

然后对括号内的式子x^2-2x + 1，可以发现它是一个完全平方形式，即(x -1)^2。

所以原式分解因式的结果为x(x - 1)^2。

2. 分解因式9x^2-16y^2- 解析：这个式子符合平方差公式a^2-b^2的形式，其中a = 3x，b=4y。

根据平方差公式可得(3x + 4y)(3x-4y)。

3. 分解因式4x^2+12xy+9y^2- 解析：观察式子，它符合完全平方公式a^2+2ab + b^2的形式，这里a =2x，b = 3y。

所以原式分解因式的结果为(2x+3y)^2。

4. 分解因式x^4-1- 解析：可先利用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，这里a=x^2，b = 1，得到(x^2+1)(x^2-1)。

而x^2-1还可以继续利用平方差公式分解为(x + 1)(x - 1)，所以最终结果为(x^2+1)(x + 1)(x - 1)。

5. 分解因式2x^2-8- 解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，然后x^2-4可以利用平方差公式分解为(x + 2)(x - 2)，所以原式分解因式的结果为2(x + 2)(x - 2)。

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=98713681368987 5、中考点拨：例1。

实用文档西安乐童教育中心八年级数学因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（ 1） (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2 -b 2=(a+b)(a-b) ；(2) (a ± b) 2 = a 2± 2ab+b2——— a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a 2 2 3 3 3 3 2 2-ab+b ) =a +b ------ a +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2) ．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例. 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca( a b)2 (b c) 2 (c a)2 0 a b c三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式 = ( am an ) (bm bn)=a(m n) b( m n)每组之间还有公因式！=( m n)(a b)例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

初中因式分解方法总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题) x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)a+4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5mm+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-197x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x-x-6x-x+22x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-6令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6令y=x+2x-5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x+9x+23x+15令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)。

因式分解☜重点知识一、提公因式法.1 .公因式：一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式.2 .提公因式法：把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 3.总结：（1）方法规律：一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：①各项整数系数的最大公约数；②各项相同的字母；③相同因式的指数取最小次数.（2）解题方法：①用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；②公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.（3）方法技巧：①用提公因式法分解因式的一般步骤：a .确定公因式；b .把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式. ②为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.例1.分解因式：（1）23296ab b a -； （2）bc ac b ab --+2；（3）()()222+----x x n x m ； （4）117217-++-n n n a a a .变式练习1.分解因式：（1）by bx ay ax +++；（2）bm bx am ax 151032--+ （3）()))(()(32m a y x a m x a m -+--+-☜重点知识二、应用公式法1.分解依据：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.a x y a x y x y 22342()()()-+-+-2.主要公式：（1）平方差公式 ：a b a b a b 22-=+-()() （2）完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()（3）立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() （4）补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=例2. 分解因式：（1）()()a a +--23122；（2）x x y x y x 5222()()-+-.变式练习2. 分解因式： .例 3.已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状.变式练习3.若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<.例4. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值.变式练习4. （1）若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值；（2）已知：x x +=-13，求x x441+的值.重点知识三、分组分解法要把多项式bn bm an am +++分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到)()(n m b n m a +++,又可以提出公因式n m +，从而得到))((n m b a ++ 例4 .分解因式（1）12345-+-+-x x x x x ； （2）323-+x x ； （3）()141222+-+-n mn n m .变式练习4.分解因式：（1）mn n m 2122+--= ；（2）y x y x +--22=；（3）124323--+x x x = .例5.已知：.,0112222的值求且，cd ab bd ac d c b a +=+=+=+变式练习5..,003223的值求且已知：c b a ab b c b abc c a a ++>=++-+重点知识四、十字相乘法1.利用十字相乘法分解因式的实质：逆用()()d cx b ax ++竖式乘法法则．2.十字相乘法的一般规律是：对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数b a ,的积，并且b a +为一次项系数p ，那么它就可以运用公式：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++例6.把下列各式分解因式：（1）652+-x x ； （2）10-32x x +； （3）8-232x x +变式练习6.把下列各式分解因式：（1）22--x x ； （2）2452--x x ； （3）6752-+x x例7.把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3） 22210235y aby b a -+．变式练习7.把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．（7）2224)3(x x --； （8）60)(17)(222++-+x x x x ；（9）2222)332()123(++-++x x x x ； （10）9)2(22--x x .十字相乘法因式分解训练1.=+-342x x2.=--542x x3.=--1032x x4.=+-1072x x5.=--652x x6.=+-562x x7.=+-1282x x8.=--122x x9.=+-1272x x10.=-+6752x x11.=+-18112x x12.=--39102x x13.=+-2522x x14.=--6732x x 15.=--61732x x 16.=--562x x17.=--1262x x 18.=--6562x x 19.=--81362x x 20.=--310252x x 21.=--342x x 22.=-+3142x x 23.=-3-122x x 24.=+311-62x x 25.=12-7-122x x 26.=3-4-42x x27.=3--102x x 28.=3--102x x 29.=12-7-102x x 30.=15--62x x31.=6-5-42x x32.=10-11-62x x。