椭圆焦半径公式的证明和应用精品

椭圆和双曲线的焦半径公式椭圆和双曲线的焦半径公式是数学中的重要公式，它们可以用来计算椭圆和双曲线的焦点到中心的距离。

下面我们来详细介绍这两个公式的推导过程。

一、椭圆的焦半径公式椭圆是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

则椭圆的焦半径公式为：r = √(a^2 - b^2)其中，r表示椭圆的焦半径。

推导过程如下：1. 根据椭圆的定义，可以得到以下两个方程：PF1 + PF2 = 2aPF1PF2 = 4b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。

2. 将PF1和PF2表示成坐标形式，设点P的坐标为(x,y)，焦点F1的坐标为(-c,0)，焦点F2的坐标为(c,0)（其中，c为椭圆的离心率），则有：PF1 = √[(x + c)^2 + y^2]PF2 = √[(x - c)^2 + y^2]3. 将PF1和PF2代入第一个方程中，得到：√[(x + c)^2 + y^2] + √[(x - c)^2 + y^2] = 2a4. 对上式两边平方，化简得：x^2 + y^2 = a^2 - c^25. 将c表示成a和b的形式，即c = √(a^2 - b^2)，代入上式中，得到：x^2 + y^2 = b^2这是一个标准的椭圆方程，中心在原点，长轴为2b，短轴为2a。

6. 由于椭圆的焦半径r等于焦点到中心的距离，因此有：r = √(c^2 + b^2) = √(a^2 - b^2)这就是椭圆的焦半径公式。

二、双曲线的焦半径公式双曲线是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。

设双曲线的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，焦距为2c。

则双曲线的焦半径公式为：r = √(c^2 + b^2)其中，b表示双曲线的半轴长度。

推导过程如下：1. 根据双曲线的定义，可以得到以下两个方程：PF1 - PF2 = 2aPF1PF2 = -b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。

椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径,根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。

在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。

一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点,分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。

证法1:。

因为,所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以,而。

∴，。

二、公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（)、C（）到焦点F（4,0）的距离成等差数列，求的值。

解：在已知椭圆中,右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。

∵，，，而｜AF｜、｜BF|、|CF|成等差数列.∴，即，。

评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解,即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。

例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。

已知P、、是一个直角三角形的三个顶点,且，求的值。

解：由椭圆方程可知a=3，b=2,并求得,离心率.由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。

由焦半径公式，得，。

(1）若∠为直角，则，即，解得，故。

（2)若∠为直角，则，即=，解得，故。

评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。

例3 已知椭圆C：，为其两个焦点,问能否在椭圆C上找一点M，使点M到左准线的距离|MN｜是与的等比中项.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解:设存在点M（），使,由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得,或.因此，点M不存在。

评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时,如果直接用两点间距离公式,运算将非常复杂,而选用焦半径公式可使运算简。

000焦半径公式00连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

00椭圆的焦半径公式00设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。

00推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e000可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。

00所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em00双曲线的焦半径公式00双曲线的焦半径及其应用：0001：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

002．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1000总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）00具体：00点P(x,y)在右支上00│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a000点P(x,y)在左支上00│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)00抛物线的焦半径公式00抛物线r=x+p/2</CA>00通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦00双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c000a²－b²=c²00抛物线的通径是2p00抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2. 000000。

椭圆焦半径定比的一个性质及应用胡贵平(甘肃省白银市第一中学ꎬ甘肃白银７３０９００)摘㊀要:圆锥曲线焦点弦问题中涉及定比分点ꎬ常规解法是把比例关系坐标表示ꎬ计算量较大ꎬ借用定义很容易得出离心率㊁倾斜角与定比的一个性质ꎬ应用性质解焦点弦问题ꎬ事半功倍.关键词:椭圆ꎻ焦半径ꎻ定比中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００４３－０３收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:胡贵平(１９７８－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀圆锥曲线中焦点弦是同一直线上两个焦半径之和.由于过焦点ꎬ焦点弦所在直线方程由倾斜角确定ꎬ焦点Ｆ是焦点弦ＡＢ的定比分点ꎬ若ＡＦң＝λＦＢң(λ>０)ꎬ则离心率ｅ㊁直线的倾斜角θ与定比λ之间满足ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.利用焦半径定比性质解决圆锥曲线焦点弦问题更加简捷有效.１椭圆焦半径定比性质设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的右焦点为点Ｆꎬ过点Ｆ的直线ｌ与椭圆相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ直线ｌ的倾斜角为θꎬ且ＡＦң＝λＦＢң(λ>０)ꎬ则ｅ㊁θ㊁λ间满足ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.证明㊀在әＡＦ１Ｆ中ꎬ根据椭圆的定义ꎬ有ＡＦ１＋ＡＦ＝２ａ.由余弦定理ꎬ得｜ＡＦ１｜２＝｜ＡＦ｜２＋｜Ｆ１Ｆ｜２－２ＡＦＦ１Ｆｃｏｓ(π－θ).即(２ａ－ＡＦ)２＝ＡＦ２＋(２ｃ)２＋２ＡＦ(２ｃ) ｃｏｓθ.所以ａ２－ｃ２＝ＡＦ (ａ＋ｃｃｏｓθ).即ＡＦ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.同理可得ＢＦ＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ.因为ＡＦң＝λＦＢң(λ>０)ꎬ所以ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ＝λ ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ.所以ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.推导椭圆焦半径定比性质也可以使用椭圆的第二定义ꎬ通过 将焦半径转化为到准线的距离 即可.如果以椭圆的右焦点为极点ꎬｘ轴正方向为极轴ꎬ建立极坐标系ꎬ则椭圆上任意一点(ρꎬθ)满足的极坐标方程为ρ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.应用公式注意ꎬ当焦点Ｆ为弦ＡＢ内分点时有ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ当焦点Ｆ为弦ＡＢ外分点时有－ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.推论㊀椭圆焦点弦公式ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ＋ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θ.特别地ꎬＡＢｍｉｎ＝２ｂ２ａꎬ当且仅当ｃｏｓ２θ＝０时ꎬＡＢ最小ꎬ此时焦点弦垂直于ｘ轴ꎻＡＢｍａｘ＝２ａꎬ当且仅当ｃｏｓ２θ＝１时ꎬＡＢ最大ꎬ此时焦点弦为长轴长.对于焦点在ｙ轴上时ꎬ焦半径公式将ｃｏｓθ换成ｓｉｎθ.很容易得到对于经过椭圆左焦点的弦长ꎬ此公３４式同样适用.２椭圆焦半径定比性质应用２.１求离心率例１㊀设Ｆ１㊁Ｆ２分别是椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ过点Ｆ１的直线交椭圆Ｅ于ＡꎬＢ两点.若ＡＦ１＝３Ｆ１ＢꎬＡＦ２ʅｘ轴ꎬ则椭圆Ｅ的离心率为.解析㊀设直线ＡＢ的倾斜角为θꎬ则Ｆ１Ｆ２＝２ｃꎬＡＦ１＝ｂ２ａ.所以ｃｏｓθ＝２ｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２.因为ＡＦ１＝３Ｆ１Ｂꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得ｅ ２ｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２＝３－１３＋１＝１２.即４ｅｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２＝１.所以４ｅ＝４＋ｂ４ａ２ｃ２＝４＋(１ｅ－ｅ)２.解得ｅ２＝１３(负值已舍)ꎬ所以ｅ＝３３.２.２求方程例２㊀(２０１９年全国Ⅰ卷理)已知椭圆Ｃ的焦点为Ｆ１(－１ꎬ０)ꎬＦ２(１ꎬ０)ꎬ过点Ｆ２的直线与Ｃ交于Ａ㊁Ｂ两点.若｜ＡＦ２｜＝２｜Ｆ２Ｂ｜ꎬ｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜ꎬ则Ｃ的方程为(㊀㊀).Ａ.ｘ２２＋ｙ２＝１㊀㊀㊀Ｂ.ｘ２３＋ｙ２２＝１Ｃ.ｘ２４＋ｙ２３＝１Ｄ.ｘ２５＋ｙ２４＝１解析㊀由椭圆Ｃ的焦点为Ｆ１(－１ꎬ０)ꎬＦ２(１ꎬ０)可知ｃ＝１.设直线ＡＢ的倾斜角为θꎬ因为｜ＡＦ２｜＝２｜Ｆ２Ｂ｜ꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得ｅｃｏｓθ＝１３.即ｃｏｓθ＝１３ｅ.又｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜ꎬ可设｜ＢＦ２｜＝ｍꎬ则｜ＡＦ２｜＝２ｍꎬ｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝３ｍ.根据椭圆的定义可知｜ＢＦ１｜＋｜ＢＦ２｜＝３ｍ＋ｍ＝２ａ.得ｍ＝１２ａ.所以｜ＢＦ２｜＝１２ａꎬ｜ＡＦ２｜＝ａ.由焦半径可知ꎬ｜ＡＦ２｜＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ.所以ａ＝ｂ２ａ－ｃ/３ｅ.即２ａ２＝３ｂ２.联立ａ２＝ｂ２＋ｃ２ꎬ得ａ２＝３ꎬｂ２＝２.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２３＋ｙ２２＝１.２.３求斜率例３㊀(２０１０年全国Ⅱ卷理)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的离心率为３２ꎬ过右焦点Ｆ且斜率为ｋ(ｋ>０)的直线与Ｃ相交于Ａ㊁Ｂ两点.若ＡＦң＝３ＦＢңꎬ则ｋ＝(㊀㊀).㊀Ａ.１㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.２解析㊀设直线ＡＢ的倾斜角为θ(０<θ<π２)ꎬ因为ＡＦң＝３ＦＢңꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得３２ｃｏｓθ＝３－１３＋１.解得ｃｏｓθ＝３３.所以ｋ＝ｔａｎθ＝２.３椭圆焦半径定比性质推论应用３.１求面积例４㊀已知椭圆ｘ２３＋ｙ２２＝１的左㊁右焦点为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ过点Ｆ１的直线交椭圆于Ｂ㊁Ｄ两点ꎬ过点Ｆ２的直线交椭圆于Ａ㊁Ｃ两点ꎬ且ＡＣʅＢＤꎬ则四边形ＡＢＣＤ的面积的最小值为.解析㊀设直线ＢＤ的倾斜角为θꎬ４４则直线ＡＣ的倾斜角为θ＋π２或θ－π２ꎬＢＤ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θꎬＡＣ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｓｉｎ２θꎬ所以四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ＝１２ＡＣ ＢＤ＝１２ ２ａｂ２ａ２－ｃ２ｓｉｎ２θ ２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θ＝２ａ２ｂ４ａ４－ａ２ｃ２＋(ｃ４ｓｉｎ２２θ)/４＝２４６＋(ｓｉｎ２２θ)/４.因为０ɤｓｉｎ２２θɤ１ꎬ所以当ｓｉｎ２２θ＝１时ꎬ四边形ＡＢＣＤ的面积取得最小值９６２５.３.２求坐标例５㊀(２０１１年浙江卷理)设Ｆ１㊁Ｆ２分别为椭圆ｘ２３＋ｙ２＝１的左㊁右焦点ꎬ点Ａ㊁Ｂ在椭圆上ꎬ若Ｆ１Ａң＝５Ｆ２Ｂңꎬ则点Ａ的坐标是.解析㊀设直线ＡＦ１的倾斜角为θꎬ则ＡＦ１＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθꎬＢＦ２＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.因为Ｆ１Ａң＝５Ｆ２Ｂңꎬ所以ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ＝５ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.即１３－２ｃｏｓθ＝５３＋２ｃｏｓθ.解得ｃｏｓθ＝６３.所以ＡＦ１＝１３－２ˑ６/３＝３.又ａ＝３ꎬ根据椭圆短轴的端点到焦点的距离等于长半轴长ꎬ所以点Ａ的坐标为０ꎬ１()或０ꎬ－１().３.３综合应用例６㊀(２０１１年浙江卷理)设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左焦点为Ｆꎬ过点Ｆ的直线与椭圆Ｃ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ直线ｌ的倾斜角为６０ʎꎬＡＦң＝２ＦＢң.(１)求椭圆Ｃ的离心率ꎻ(２)如果｜ＡＢ｜＝１５４ꎬ求椭圆Ｃ的方程.解析㊀(１)设直线ＡＢ的倾斜角为θꎬ则ＡＦ＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθꎬＢＦ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ因为ＡＦң＝２ＦＢңꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得ｅｃｏｓ６０ʎ＝２－１２＋１.所以离心率ｅ＝２３.(２)因为ＡＢ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θꎬ即２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２６０ʎ＝１５４.所以３２ａｂ２＝４５ａ２＋１５ｂ２.由ｅ＝ｃａ＝２３ꎬ得ｂ＝５３ａ.联立解得ａ＝３ꎬｂ＝５.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２９＋ｙ２５＝１.拓展㊀双曲线也有类似结论.设双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为Ｆꎬ过点Ｆ的直线ｌ与双曲线相交于同一支上Ａ㊁Ｂ两点ꎬ直线ｌ的倾斜角为θꎬ且ＡＦң＝λＦＢң(λ>０)ꎬ则ｅ㊁θ㊁λ间满足ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.推论㊀当Ａ㊁Ｂ位于双曲线同一支上时ꎬ焦点弦长ＡＢ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θ.当Ａ㊁Ｂ位于双曲线不同支上时ꎬ焦点弦长ＡＢ＝２ａｂ２ｃ２ｃｏｓ２θ－ａ２.抛物线类似结论比较简单ꎬ请读者自行归纳.参考文献:[１]曲大海.椭圆与双曲线焦半径的新算法[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０１９(０３):８－１０.[责任编辑:李㊀璟]５４。

000焦半径公式00连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

00椭圆的焦半径公式00设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。

00推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e000可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。

00所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em00双曲线的焦半径公式00双曲线的焦半径及其应用：0001：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

002．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1000总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）00具体：00点P(x,y)在右支上00│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a000点P(x,y)在左支上00│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)00抛物线的焦半径公式00抛物线r=x+p/2</CA>00通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦00双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c000a²－b²=c²00抛物线的通径是2p00抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2. 000000。

证明焦半径公式一、椭圆焦半径公式的证明。

（一）椭圆的标准方程。

设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F_1(-c,0)，F_2(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。

（二）设点P(x_0,y_0)在椭圆上。

1. 求PF_1（左焦半径）- 根据两点间距离公式，PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}。

- 因为点P(x_0,y_0)在椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上，所以y_0^2=b^2(1-frac{x_0^2}{a^2})。

- 将y_0^2=b^2(1 - frac{x_0^2}{a^2})代入PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}中，得到：PF_1=√((x_0)+c)^2+b^2(1-frac{x_{0^2}{a^2})} =√(x_0)^2+2cx_{0+c^2+b^2-frac{b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{a^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^2c^2+a^2b^2-b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{(a^2)-b^{2)x_0^2+2a^2cx_0+a^2(b^2+c^2)}{a^2}}- 又因为c^2=a^2-b^2，所以：PF_1=√(frac{c^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^4}{a^2}} =√(frac{(cx_0)+a^2)^2{a^2}} =<=ft frac{cx_0+a^2}{a}right- 因为-a≤slant x_0≤slant a且a > 0，c>0，所以cx_0+a^2>0，则PF_1 = a +ex_0（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。

2. 求PF_2（右焦半径）- 同样根据两点间距离公式，PF_2=√((x_0)-c)^2+y_{0^2}。

椭圆的焦半径公式椭圆是一种常见的几何形状，它有两个焦点和一个不变的总长度。

在数学中，椭圆可以通过其焦点到弦的距离比的平方等于1的定义来描述。

焦半径是一个用来描述椭圆形状的参数，它是从焦点到椭圆上的一点的距离。

下面将介绍椭圆的焦半径公式以及其推导过程。

在椭圆上任意取一点P，并设其距离左焦点F1的距离为r1，距离右焦点F2的距离为r2、根据椭圆的定义，可以得到以下的等式：(r1+r2)^2=(2a)^2其中，2a表示椭圆的长轴长度。

接下来，我们将推导出焦半径公式。

将焦点F1处的坐标设为(-c,0)，焦点F2处的坐标设为(c,0)。

椭圆的离心率定义为c/a。

根据离心率的定义，我们可以得到以下等式：c^2=a^2-b^2其中，a表示椭圆的长轴长度，b表示椭圆的短轴长度。

将上述等式代入到等式(r1+r2)^2=(2a)^2中，可以得到：(r1+r2)^2=(2a)^2[(r1+r2)^2]/(4a^2)=1[(r1^2+2r1r2+r2^2)]/(4a^2)=1[(r1^2+2r1r2+r2^2)]/(4a^2)=[(r1^2+r2^2-b^2)]/(a^2)（将c^2=a^2-b^2代入）r1^2+2r1r2+r2^2=4a^2-4b^2接下来，我们对等式进行处理，得到焦半径公式。

注意到等式左边可以写为一个完全平方的形式，可表示为(r1+r2)^2，因此我们将等式进行如下变形：r1^2+2r1r2+r2^2=(r1+r2)^2=4a^2-4b^2r1^2+r2^2+2r1r2=4a^2-4b^2(r1-r2)^2=4a^2-4b^2r1-r2=±2√(a^2-b^2)r1+r2=2a将上述两个等式相加，可以得到：2r1=2a±2√(a^2-b^2)r1=a±√(a^2-b^2)类似地，对焦点F2处的坐标进行处理，可以得到：r2=a∓√(a^2-b^2)因此，我们得到了椭圆的焦半径公式，即：r1=a±√(a^2-b^2)r2=a∓√(a^2-b^2)需要注意的是，焦半径的计算需要知道椭圆的长轴长度a和短轴长度b。

椭圆焦半径公式的证明及巧用
一、椭圆焦半径公式的证明
设椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，中心点为
O(0,0)，则椭圆的参数方程为：
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，θ为椭圆上任意一点P的极角，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。

将P的坐标代入椭圆焦半径的定义式，得到：c=(F1P+F2P)/2
c=[(-c-x)²+y²+(c-x)²+y²]½/2
c=[2a²-2x²]½/2
将x=a*cosθ代入上式，得到：
c=[2a²-2a²cos²θ]½/2
c=a(1-cos²θ)½
c=a*sinθ
因此，椭圆焦半径的公式为c=a*sinθ。

二、椭圆焦半径公式的巧用
1.焦距的计算
在光学中，焦距是指光线从远处垂直射入透镜后汇聚到的点与透镜的距离。

对于一个椭圆形的反射器或折射器，其焦距可以通过椭圆焦半径公式计算得到。

2.卫星轨道的计算
卫星轨道是指卫星绕地球或其他天体运行的路径。

对于一个地球同步轨道，其轨道形状为椭圆，可以通过椭圆焦半径公式计算出卫星与地球的距离。

3.椭圆的绘制
在计算机图形学中，椭圆的绘制是一个常见的问题。

通过椭圆焦半径公式，可以计算出椭圆上每个点的坐标，并将其绘制出来。

椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径是椭圆所具有的重要特性之一，它影响并决定了椭圆的形状及大小。

椭圆焦半径公式是椭圆圆周长关于圆心角的函数，可由数学的角度上描述，通常用
L表示圆周长，用2a表示椭圆的长轴，用2b表示椭圆的短轴，用θ表示圆心角，当θ=π时，椭圆周长L即椭圆的长轴2a，而当θ=2π时，椭圆周长L即椭圆的
短轴2b，综上所述，解得椭圆焦半径公式可用下式表示：
$f=\frac{2b^2+2a^2\theta}{4a\theta}$
椭圆焦半径具有重要的工程应用。

例如在电波无线系统中，对于传播衰减，若
能够将天线的辐射模式准确推导，即可准确计算传播衰减误差。

实际中，一般考虑一个圆柱上海具有椭圆形状的发射电子，椭圆焦半径与其发射电子的空间定位有关，也就是说，把椭圆焦半径计算准确，就可以精确推导出发射电子的空间定位，从而推导出从发射端到接收端的信号衰减。

同时，椭圆焦半径还有其他的计算用途，例如在求解受力问题时，当定义椭圆
轴的方向与弯矩（梁的轴向）方向准一致时，椭圆梁的应力通常可以由非定常元素法直接求解，而其中也需要用到椭圆焦半径公式。

此外，研究特殊有限元分析时，椭圆焦半径公式也多次被采用，从而便于精确的求解出有关问题的结果。

综而言之，椭圆焦半径公式求解计算椭圆的形状及大小，具有重要的工程应用，受力分析、有限元分析等多个应用领域都会充分使用到它的方便之处。

1.焦半径公式，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo
│PF2│= a - eXo
（F1 F2分别为其左，右焦点）
2.通径长= 2b²/a
3.焦点三角形面积公式
S⊿PF1F2 = b²tan（θ/2）（θ为∠F1PF2）
（这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线的也是同样方法）
4.（左）准点Q （自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点）
过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB
（在右边也是一样）
二.双曲线
1.通径就不说了
2.焦半径公式（有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些）
3.焦点三角形面积公式
S⊿PF1F2 =b²cot（θ/2）（左右支都是它）
三.抛物线
y²=2px （p＞0）过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点
1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin²θ（θ为直线AB的倾斜角）
2. Y1*Y2 = -p²，X1*X2 = p²/4
3.1/│FA│+ 1/│FB│= 2/p
4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切
5.焦半径公式：│FA│= X1 + p/2 = p/（1-cosθ）
四. 通性直线与圆锥曲线y= F（x）相交于A ，B，则
│AB│=√（1+k²）* [√Δ/│a│]。

椭圆焦半径公式及应用椭圆焦半径公式是指椭圆的焦半径与椭圆的长半轴、短半轴以及离心率之间的关系。

在数学中，椭圆通常由两个焦点和一个常数和直线之间的距离之和等于该常数的所有点组成。

椭圆在很多领域都有广泛的应用，如工程、天文学和天体力学等。

首先，椭圆焦半径公式可以由椭圆的离心率和长短半轴表示。

对于一个椭圆，焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的距离。

椭圆的离心率e定义为焦距与长半轴之比。

则椭圆的焦半径r与长半轴a、离心率e和椭圆上一点到焦点的距离d的关系可以用以下公式表示：r = a(1 - e^2) / (1 - e cosθ)其中，θ是椭圆上一点与焦点和长轴之间的夹角。

1.天文学和天体力学：椭圆是描述行星和卫星轨道的基本几何形状之一、在天文学中，椭圆焦半径公式被用来计算行星和卫星的轨道参数，如半长轴和离心率。

2.工程学：椭圆的焦半径公式在光学工程、雷达系统和卫星通信等领域中有广泛的应用。

例如，在光学镜头设计中，椭圆形镜头可以用来纠正成像系统的畸变。

椭圆焦半径公式可以帮助工程师计算并优化这些镜头的参数。

3.生物医学：椭圆形病灶在医学图像处理和治疗中有重要的应用。

通过计算病灶的焦半径，医生可以确定其位置和大小，从而辅助临床诊断和治疗。

4.地理学和测绘学：在地理信息系统（GIS）和测量领域，椭圆形地球模型常用于地球表面的测量和分析。

椭圆焦半径公式可以用来计算地球上不同点之间的距离和方位。

总之，椭圆焦半径公式是椭圆几何性质的重要描述之一、它在不同领域的应用可以帮助我们理解和解决各种实际问题。

无论是天体轨道计算、工程设计、医学诊断还是地理测量，椭圆焦半径公式都具有重要的地位和实用性。

在今后的研究和实践中，我们可以继续挖掘和应用椭圆焦半径公式的潜力，为人类的进步和发展做出更多的贡献。

焦半径推导公式1. 椭圆焦半径公式推导（以焦点在x轴上的椭圆为例）- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，F_1,F_2为椭圆的左右焦点，坐标分别为(-c,0)，(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。

- 设P(x,y)为椭圆上一点。

- 根据两点间距离公式，| PF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}。

- 因为P(x,y)在椭圆上，所以y^2=b^2(1-frac{x^2}{a^2})。

- 将y^2=b^2(1-frac{x^2}{a^2})代入| PF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}中，得到：- | PF_1|=√((x + c)^2)+b^{2(1-frac{x^2}{a^2})}- 展开并化简：- | PF_1|=√(x^2)+2cx + c^{2+b^2-frac{b^2x^2}{a^2}}- 又因为b^2=a^2-c^2，将其代入上式得：- | PF_1|=√(x^2)+2cx + c^{2+a^2-c^2-frac{(a^2-c^2)x^2}{a^2}}- | PF_1|=√(x^2)(1-frac{a^{2-c^2}{a^2})+2cx + a^2}- 进一步化简1-frac{a^2-c^2}{a^2}=frac{c^2}{a^2}，则|PF_1|=√((c^2))/(a^{2)x^2+2cx + a^2}- 配方可得| PF_1|=√((frac{c){a}x + a)^2}- 因为- a≤slant x≤slant a，所以| PF_1|=a + ex（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。

- 同理，| PF_2|=√((x - c)^2)+y^{2}，按照上述步骤可推导出| PF_2|=a - ex。

2. 双曲线焦半径公式推导（以焦点在x轴上的双曲线为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，F_1,F_2为双曲线的左右焦点，坐标分别为(-c,0)，(c,0)（其中c^2=a^2+b^2）。

焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学 张 忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。

焦半径公式的代数形式：设21,F F 是曲线的左、右焦点，点),(00y x P 在曲线上，记11PF r =、22PF r =为左、右焦半径。

则在椭圆中：0201,ex a r ex a r -=+=；在双曲线中：a ex r a ex r -=+=0201,；在抛物线)0(22>=p px y 中：20p x r +=。

若焦点在y 轴上时，则把相应的0x 改为0y 即可。

因应用情形比较常见，不再叙述。

，本文介绍它的三角形式及其应用。

定理1：若椭圆的离心角为θ，则 (1)|PF 1|＝a ＋ccosθ； (2)|PF 2|＝a －ccosθ． 证明：∵ 椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P 的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形式知：|PF 1|＝a ＋ex p ＝a ＋ea·cosθ＝a ＋c·cosθ,|PF 2|＝a －ex p ＝a －c·cosθ．例1. F 1、F 2是椭圆＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动，则|PF 1|·|PF 2|的最大值 是______， 最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为θ，又知a ＝2，c 2＝3，由定理1得 |PF 1|c·|PF 2|＝a 2－c 2cos 2θ＝4－3cos 2θ∵ 0≤cos 2θ≤1 故知 |PF 1|c·|PF 2|max ＝4－3·0＝4 |PF 1|·|PF 2|min ＝4－3·1＝1例2. 椭圆的左右焦点为F 1、F 2，试问此椭圆的离心率e 在什么值范围内，椭圆上恒存在点P，使得PF1⊥PF2。

解：设椭圆方程为b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)，离心角为θ，依题设、定理1及勾股定理得(2c)2＝(a－ccosθ)2＋(a＋ccosθ)2化简得cos2θ＝．∵0≤cos2θ≤1，∴0≤2－≤1，结合0＜e＜1得≤e＜1为所求。

知识导航椭圆是历年高考的必考内容，也是圆锥曲线的核心内容.与椭圆有关的问题一般难度和运算量都较大.而在解题时灵活运用椭圆的焦半径公式，能有效地简化运算,提升解题的效率.一、椭圆的焦半径公式我们把连接椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径.椭圆的焦半径公式有两种形式:坐标式和三角式.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F 1()-c ,0、右焦点为F 1()-c ,0，在椭圆上任取的一点P ()x 0,y 0，则椭圆的坐标式焦半径公式为|PF 1|=a +ex 0，|PF 2|=a -ex 0.这里e 为离心率.若在椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中，过左焦点F 1的直线l 与椭圆交于A ,B 两点（A 位于x 轴上方，B 位于x 轴下方），直线的倾斜角为θ，且椭圆的离心率为e ,则椭圆的角度式焦半径公式为||AF 1=b 2a -c cos θ=b 2a 1-e cos θ；||BF 1=b 2a +c cos θ=b 2a1+e cos θ.二、椭圆焦半径公式的应用1.椭圆的坐标式焦半径公式的应用根据椭圆的坐标式焦半径公式的特点，我们可以利用椭圆的坐标式焦半径公式解答“已知椭圆方程和椭圆上点的坐标，求椭圆的焦半径”的问题.例1.设F 1,F 2是椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若ΔMF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为_______.解：由题意得a =6,b =25,c =4,e =c a =23,因为点M 为椭圆C 上一点且在第一象限，所以当||MF 1=||F 1F 2时,ΔMF 1F 2为等腰三角形设M ()x 0,y 0,则||MF 1=a +ex 0，||F 1F 2=2c =8，所以6+23x 0=8，解得x 0=3，将x 0=3代入椭圆C 方程可得y 0=15，所以M ()3,15.本题若利用两点间距离公式求解,计算过程较为复杂.这里利用椭圆的坐标式焦半径公式表示出||MF 1，根据||MF 1=||F 1F 2求出M 点的坐标.该过程简单，运算量小.例2.如图,ΔABC 为椭圆x 24+y 23=1的内接三角形，且右焦点F 为ΔABC 的重心，则||FA +||FB +||FC =_______.分析:因为ΔABC 为椭圆的内接三角形，F 为椭圆右焦点，所以||FA ，||FB ，||FC 即为椭圆焦半径，可设出A ，B ，C 三点的坐标，用椭圆的坐标式焦半径公式表示出||FA ，||FB ，||FC ，根据右焦点F 为ΔABC 的重心列出关系式，化简即可求出结果.解：根据椭圆的方程可得a =2,b =3,c =1，F ()1，0，e =c a =12，设A ()x 1,y 1，B ()x 2,y 2，C ()x 3,y 3,则||FA =a -ex 1=2-12x 1，||FB =a -ex 2=2-12x2，||FC =a -ex 3=2-12x 3，因为F 为ΔABC 的重心，所以x 1+x 2+x33=1，即x 1+x 2+x 3=3,所以||FA +||FB +||FC =2-12x 1+2-12x 2+2-12x 3=6-x 1+x 2+x32=92.2.椭圆的角度式焦半径公式的应用根据椭圆的角度式焦半径公式的特点，我们可以利用椭圆的角度式焦半径公式解答以下问题：(1)已知椭圆方程和过椭圆焦点的直线的倾斜角角度，求椭圆的焦半径；(2)已知椭圆的方程和椭圆的焦半径关系式，求过椭圆焦点的直线的斜率.例3.过椭圆x 24+y 23=1的左焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，l 与椭圆交于A 、B 两点，则1||AF +1||BF =_______.分析:已知椭圆的方程和过椭圆焦点的直线方程的倾斜角角度，可利用椭圆角度式焦半径公式表示出38解题宝典||AF ,||BF ，这样便可快速求出1||AF +1||BF 的值.解：由题意得a =2,b =3，||AF =b 2a -c cos 60°,||BF =b 2a +c cos 60°,所以1||AF +1||BF =a -c cos 60°b 2+a +c cos 60°b 2=2a b 2=2×23=43.例4.已知椭圆C ：x 22+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点A ,B 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,并且AF 1//BF 2.如果||AF 1-||BF 2=，求直线||AF 1的斜率k .分析:先设∠AF 1F 2=θ，用椭圆角度式焦半径公式表示出||AF 1,||DF 1,然后由椭圆对称性可表示出BF ，根据已知条件列出关系式，即可求出cos θ，再通过三角恒等变换求得tan θ，就能得到所求的斜率.解：由题意得a =2,b =1,c =1,设∠AF 1F 2=θ,由椭圆角度式焦半径公式可得||AF 1=||DF 1=12+cos θ,因为AF 1//BF 2，所以由椭圆对称性可得||BF 2=||DF 1=12+cos θ,又||AF 1-||BF 2=,所以,化简得6cos 2θ+4cos θ-26=0，解得cos θ=由sin θ2+cos θ2=1得sin θ，所以k =tan θ=sin θcos θ.总之，椭圆的焦半径公式的两种形式有着各自的特点和适用范围，在解答与椭圆有关的问题中应用非常广泛.在解题时,我们常常需要将椭圆的焦半径公式与椭圆的方程、定义、性质等结合起来应用.这就要求同学们不仅要加深对概念、公式、性质的理解，强化训练，同时也要培养灵活处理问题的能力.（作者单位：湖南人文科技学院数学系）含参问题的类型有很多，如求参数的取值范围、证明不等式恒成立、判断函数的单调性等.解答含参问题的途径也有很多，如利用方程思想、利用导数法、借助待定系数、利用函数思想等.本文重点探讨一下解答含参问题的三种途径：利用方程思想、利用函数的性质、借助待定系数，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、利用方程思想方程思想是解答高中数学问题的常用思想，是指通过建立方程或者方程组使问题获解的数学思想.在解答含参问题时，我们可以根据代数式的特点建立方程或者方程组，然后利用方程的判别式△=b 2-4ac 、根与系数的关系来解答问题.例1.已知函数f ()x =x 2-()m +5x +2()m +5在定义域内恒为非负数，求方程2x m +1=||m +2+1的根的取值范围.解：因为f ()x 恒为非负数，所以方程f (x )=0的判别式△=()m +52-8()m +5≤0，解得-5≤m ≤3.方程2xm +1=|m +2|+1可化为2x=()m +1()|m -2|+1，当-5≤m ≤2时，2x =()m +1()2-m +1，所以2x =-m 2+2m +3=-()m -12+4，则2x ≤4,x ≤2，当2<m ≤3时，2x =()m +1()m -1=m 2-1,3<m 2-1≤8，所以log 23<x ≤3.39。

椭圆焦半径公式推导椭圆是一个非常常见的几何形状，它在许多领域中都有重要的应用，例如天文学、工程学和物理学等。

椭圆的焦半径公式是描述椭圆焦点位置和椭圆长短轴之间的关系的数学公式。

在本文中，我们将推导椭圆焦半径公式，并解释其背后的数学原理。

首先，让我们回顾一下椭圆的基本定义和性质。

椭圆可以通过一个固定点（焦点）F 和一个固定长度之和（焦距）2a 来定义。

该固定长度之和是从椭圆上任意点到焦点 F1 和 F2 的距离之和。

椭圆的中心位于焦点之间的中垂线上，并且其两个焦点之间的距离为 2c（c<a）。

现在，让我们考虑一个椭圆上的任意点 P(x,y)。

我们希望找到点 P到焦点 F1 的距离 r1 和点 P 到焦点 F2 的距离 r2 之间的关系。

为了推导这个关系，我们首先需要找到点 F1 和 F2 与点 P 的关系。

根据椭圆的定义，我们知道焦点 F1 和 F2 到点 P 的距离之和等于焦距 2a。

因此，我们可以得到以下数学关系式：r1 + r2 = 2a要推导椭圆焦半径公式，我们还需要考虑椭圆的数学特性。

根据椭圆的性质，对于任意点 P(x,y)，我们有以下关系式：PF1 + PF2 = 2aPF1 - PF2 = 2c其中 PF1 和 PF2 分别表示点 P 到焦点 F1 和 F2 的距离。

现在，我们可以使用这两个关系式来消除 r2，并得到关于 r1 的方程。

将这两个关系式相加，我们可以得到：2PF1 = 2a + 2c除以 2，我们得到：PF1 = a + c再将这两个关系式相减，我们可以得到：2PF2 = 2a - 2c除以 2，我们得到：PF2 = a - c现在，我们可以用这两个等式替换前面的 r1 和 r2，得到：PF1 + PF2 = 2(PF1) = 2(a + c)PF1 - PF2 = 2(PF2) = 2(a - c)这两个等式可以简化为以下形式：PF1 = a + cPF2 = a - c现在，我们可以将这些方程应用于三角函数的定义。

椭圆焦半径公式的证明及巧用2008年08月31日星期日 21:56命题：证明：说明：巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。

一、用于求离心率例分析：所以，所以。

二、用于求椭圆离心率的取值范围例分析：由得故，即，又。

所以。

三、用于求焦半径的取值范围例分析：所以。

四、用于求两焦半径之积例分析：由知，所以的最小值为，最大值为。

五、用于求三角形的面积例分析：。

由余弦定理得。

解得所以六、用于求点的坐标例分析：及得，解得所以。

七、用于证明定值问题例分析：化简得所以为定值。

八、用于求角的大小例分析：所以所以。

九、用于求线段的比。

例分析：由两式相减并化简得。

所以。

所以。

令，则，故所以，所以。

如图设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，，消去得，。

不妨设，由成等差数列得，即。

易知易知的最值不妨设为椭圆的左焦点，而，则。

故。

设的坐标为，则如图，连，则，由焦半径公式得，即。

若椭圆的焦点在轴上，则有。

我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。

如图1，椭圆的准线方程为和。

由椭圆的第二定义得，化简即得1如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。

2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。

3若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。

4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。

5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。

6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。

由，，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。

，8 如图3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。

9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。

4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。

AB的垂直平行线方程为N的坐标为若椭圆的焦点为。

椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。

一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。

P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。

以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。

（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF 1|=22)(y c x ++ (1) 从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -= (2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x ac a +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a c a - (-a ≤x ≤a)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=a c ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】 依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac 2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x a c a r x a c a r 21 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=ca 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4． 设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。