中考数学全景透视复习第讲一元二次方程课件(20201014105742)

一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2
2
b 4ac
2
bx c 0a 0根的判别式是: ax bx c 0a 0
定理与逆定理
一元二次方程
判别式的情况
根的情况
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
a, b, c能构成等腰三角形。
综上所述，m 4或3。
活动五 相信我 我是最棒的
若a为方程
的解，则 x x 5 0 2 3a 3a 5 的值为（ 20 ）
2
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
m 3
且把m 3代入方程，
且把m 4代入方程， 得x 2 4 x 4 0
16 4m 0, m 4
得x 2 4x 3 0，x1 3, x2 1。
三边分别为3、3、1
x1 x2 2
即b cb, c能构成等腰三角形。
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
例2、已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根 2
∴
[ ( 2 m 3 )] 4 ( m 2 )( m 2 ) 0
√ ×
1 3、x2+ ＝１ x

的判别式为 b2－4ac，一般用符号 Δ 表示．
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，即
x1,2＝－b±
b2－4a⇔ 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 x1＝x2＝－2ba；
(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根． 温馨提示： 一元一次方程没有根的判别式，因此，在逆用判 别式时，一定要保证二次项系数不等于零.
的根为
x1
＝
－
f e
，
x2＝－mn .
温馨提示： 解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择 合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解 法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别 式大于或等于0的一元二次方程.
考点三 一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根
系，然后列方程求解．
考点一 一元二次方程的解
例 1(2014·陕西)若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方
程 x2－52ax＋a2＝0 的一个根，则 a 的值为(
)
A．1 或 4
B．－1 或－4
C．－1 或 4
D．1 或 －4
【点拨】把 x＝－2 代入 x2－52ax＋a2＝0，得(－2)2 －52a·(－2)＋a2＝0，解得 a1＝－1，a2＝－4.故选 B.
1．已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m－1)x2＋x
＋1＝0 的一个根，则 m 的值是( B )
A．1
B．－1
C．0
D．无法确定
解析：把 x＝1 代入(m－1)x2＋x＋1＝0，
得(m－1)＋1＋1＝0，解得 m＝－1，
此时 m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选 B.

配方法 公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或

一元二次方程
人教版 九年级上册
导入新知
讨论问题： 1.什么是方程？ 2.我们学过哪几类方程？ 3.回忆一下什么叫一元一次方程？方程的“元“和”次“是什么意思？
1.含有未知数的等式叫方程。 2.一元一次方程、二元一次、分式方程方程。 3. “元”是指方程中的未知数的个数，“次”是指未知数的最高指数， 一元一次，就是说方程中只有一个未知数，未知数的最高指数为1。
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新知讲解
二、自学检测
请同学们辨别下列各式是否为一元二次方程？
(1) 4x2 = 81
√
(2) 2x2 - 1= 3y
×
(3) 3x(x-1)= 5x + 2 ×
(4) 2x2 + 3x – 1
√
(5) 2x2+3x=2x2 -1 √
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新知讲解
三、总结思考、深入探究
x
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新知讲解
解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为 （100－2x）cm，宽为（50－2x）cm
100-2x
x
x
50-2x
x
x
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新知讲解
解：根据方盒的底面积为3600cm2，得
（100－2 x）（50－2x）=3600.
整 理，得
4x2－300x+1400=0.
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谢谢观看！
请同学们自学课本第3页一元二次方程的概念以下部分， 勾画并记忆. (3分钟) 注意：
1.理解并记住一元二次方程的一般形式、二次项、二次项系数等概念； 2.思考云图中的问题“为什么规定a≠0？” ；
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1.一元二次方程的一般形式有什么特点？

③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
注意：系数包含 前面的符号
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
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知识点二：一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次 方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
例题讲解
例2 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
第二十一章 一元二次方程
一元二次方程
-.
知识回顾
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8 2x+3
没有未知数 代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式

• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，

经历从特殊到一般的分析过程
一次会议上，每两个参加会议的人都互相 握了一次手，有人统计一共握了66次手。 这次会议到会的人数是多少？
预设：
展示时小组4位同学的握手会杂乱无序。
设计问题：
怎样安排有序握手，才能发现规律，寻找到计算方法呢？ 小组交流，再展示。
复杂问题条理化、简单化
说教法
一次会议上，每两个参加会议的人都互相 握了一次手，有人统计一共握了66次手。 这次会议到会的人数是多少？
设计意图：
利用一组难度逐渐递进的数学问题，通过学生合作探究， 领悟数学思想，使学生加深对“握手问题”实质的理解，进而 形成这类数学问题的知识链，掌握这类问题的解题要领。
反思课堂教学
1、十字相乘法分解因式在课本的相关练习较少，学 生应用不熟练，因此应平时补充相关的练习进行巩 固。 2、学生对较大的数不会笔算开平方或出错较多，因 此应结合题目及时、反复的讲述开方运算中的估算 方法。
突破策略：
对于学生采用的解方程方法，先不进行评论，让运用不同解 法的学生分别予以呈现，由学生分析探讨各种方法的优劣，使学 生更深入的理解各方法的特点和熟悉解方程的各个步骤。
归纳： 1、一元二次方程化简为一般形式时，为方便求解方程的
各项系数尽可能化为整数。 2、配方法一般适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数
预设：学生展示
握手方式一：
ABCD A B CD
AB C D
设计问题：
如何计算？（3+2+1=6），进而追问5个人呢？20个人呢？ n个人呢？
一次会议上，每两个参加会议的人都互相 握了一次手，有人统计一共握了66次手。 这次会议到会的人数是多少？
握手方式二：
A
B
A

别式是否非负；求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，
即以 x1、x2 为根的一 元二次方程为 x 2 x1 x2 x x1 x2 0 ；求字母
系数的值时，需使二次项系数 a 0 ，同时满足 0 ；求代数式的
值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和 x1 x2 、两根之
b 2 4ac 72 4 112 1 0，即原方程有解。
所以，当 k＝2时， ABC 是以 BC为斜边的直角三角形。
本节课主要学习了有关一元二次方程的知识，一定要牢牢掌握一元二次方程 的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系，其中重点一元二次方程的解法， 难点是一元二次方程的应用。在解一元二次方程时，一般经常用公式法（万能法） 和因式分解法，配方法是很少用的，但很重要，一定要牢牢掌握，直接开平方法 一般是用于解特殊形式（（x+m）2=n（n≥0））的一元二次方程，解一元二次方 程的循序是：直接开平方法→因式分解法→公式法。列一元二次方程解应用题的关 键是找出题中的等量关系。
的
形式，当 b 2 4 ac 0 .时，用直接开平方法求解。
⑶公式法：ax2 bx c 0a 0的求根公式为 x b b 2 4ac b 2 4ac 0 2a ⑷因式分解法：将方程右边化为零左边化为两个一次因式的 积 ，令每个因
式等于0，得到两个 一元一次 方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解。
解：设这两次降价的平均降价率为 解这个方程得
xx，1 根0据.1，题x意2 得1.910不00合1题 意x2，舍81去0。
答：这两次降价的平均降价率为10% 。
巩固训练
拐实基 础
考点1 一元二次方程的解法
1、若关于 x 的一元二次方程 x 2 k 3x k 0 的一个根是－2，则另一个

解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
拓展训练 之 求根公式推导
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式推导过程如下：
第一步：约分
第二步：配方
第三步：通分
第四步：开平方
拓展训练 之 几何意义
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的几何意义
整理，得x2-36x+35=0.
解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意舍去，所以 x=1.
答:道路宽为1米.
解应用题 之 精选例题
【数学问题】
5、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互 换后再乘以原数得736，求原来两位数. 解:设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5-x)，原来的两位数就是: 10(5-x)+x，新的两位数就是:10x+(5-x).可列出方程:
【例题】
1、解方程 x²-8x+15=0 解：利用十字相乘法，-8=-3-5， 15=3×5
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
方程解法 之 基本方法 • 配方法
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

(1)求m的取值范围;
2
2
解:(1)根据题意,得Δ=(2m-1) -4m ≥0,即-4m+1≥0,

∴m≤ .

(2)如果方程的两个实数根为 x1,x2,且 + =7,求 m 的值.
解:(2)由根与系数的关系,得
2
x1+x2=-(2m-1),x1x2=m .
∵ + =(x1+x2) -2x1x2=7,
2
2
2
2
∴(2m-1) -2m =7,即 m -2m-3=0.
解得 m1=3(舍去),m2=-1.
∴m 的值为-1.
用一元二次方程的根与系数的关系求字母系数的值时,不要忽略根的
判别式b2-4ac≥0这一重要条件.
2
[变式 3] (2023 江安一模)已知 x1,x2 是方程 x -3x-4=0 的两个实数根,则
(3)(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2;

(4)|x1-x2|= ( + ) - .
一元二次方程的应用
常见类型:
(1)增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为
2
a(1+x)
a(1+x),两次增长后的值为
;
(2)利润问题:单件利润=单价-成本;
总利润=单件利润×销量=总收入-总成本;
相同.
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率.
解:(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x.
依题意,得1 000(1+x)2=1 440,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.

积为3x2 cm2．
200cm
根据等量关系， 可以列出方程
200×150-
3x2=
3
4
200×150× ．
化简， 整理得
x2-2500=0．
150cm
新知讲解
解： (2)该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
根据等量关系，可以列出方程
75(1+x)2=108．
化简， 整理得
25x2+50x-11=0．
这是一元一次方程，不是一元二次方程.
(2) 5x(x+1)+7=5x2-4.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从
500千克增加到605千克，设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程
为（ B ）
A．500(1 + ) = 605
B．500(1 + )2 = 605
作二次项系数、 一次项系数、 常数项.
例如方程x2-2500=0中二次项系数是1, 一次项系数是0，常数项是
-2500.
典例精析
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系
数、一次项系数和常数项.
(1) 3x(1-x)+10=2(x+2)；
(2) 5x(x+1)+7=5x2-4.
解:
(1)去括号，得3x-3x2+10=2x+4.
移项，合并同类项，得-3x2+x+6=0，
这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项
是6.
典例精析
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系